I. Ruch krzywoliniowy, opis ruchu we współrzędnych biegunowych

Transkrypt

1 I. Ruch krzwoliniow, opis ruchu w współrzęnch bigunowch II. Osclator harmoniczn III. Ruch w polu lktrcznm i magntcznm IV. Siła Coriolisa Zaania wstępn 1. - cz wktor prękości jst zawsz stczn o toru? - cz wktor przspisznia jst zawsz stczn o toru? - cz wktor przspisznia moż bć: stczn o toru? prostopał o toru? - zapisz ruch punktu po okręgu o prominiu R i śroku w punkci (a,b) z stałą prękością kątową: w współrzęnch kartzjańskich (,), w współrzęnch bigunowch (r, ). 2. Nałaowana cząstka porusza się w jnoronm polu lktrcznm. Opisać ruch cząstki w zalżności o warunków początkowch. 3. W pwnm obszarz przstrzni wtworzono jnoron pol lktrczn, którgo wktor jst równolgł o osi i jnoron pol magntczn, równolgł o osi. Jaką prękość muszą mić cząstki wpaając w obszar tch pól, b poruszał się tam po liniach prostch? 4. Nałaowana cząstka porusza się w jnoronm polu magntcznm. Któr z stwirzń są zawsz prawziw: - cząstka ma stałą nrgię kintczną, - cząstka moż poruszać się po linii prostj z stałą prękością, - cząstka moż poruszać się po linii prostj z stałm przspisznim, - siła ziałająca na cząstkę zalż jni o jj prękości. 5. Przpomnij sobi z szkoł postać sił Lorntza ziałającj na nałaowaną cząstkę w jnoronm polu magntcznm, skirowanm prostopal o prękości początkowj. Wkaż, ż w takij stuacji okrs obigu cząstki w ruchu po okręgu ni zalż o nrgii cząstki (w przbliżniu nirlatwistcznm). I. Ruch krzwoliniow, opis ruchu w współrzęnch bigunowch Wstęp (la wszstkich, w opowinij la każgo awc) Na początk proponuj przpomnić ukła bigunow to sprawia stuntom truności, bo jst inn niż to, co znają otchczas. W poniższch rozważaniach zakłaam, ż wktor położnia r, obwi współrzęn wktora położnia w ukłazi bigunowm ( i ), prękość oraz przspiszni zalżą o czasu. Ab jnak uprościć zapis, w wszstkich poniższch wzorach ni wstępują jawni zalżności o czasu. Wktor położnia w ukłazi bigunowm można wrazić w następując sposób (tu warto się upwnić, ż jst jasn, co to znacz, bo po ukłazi kartzjańskim potrzba chwili na rflksję):

2 (1) r Prękość jst pochoną wktora położnia po czasi. Zgoni z zasaami różniczkowania wilkości wktorowch, liczm pochoną ługości wktora po czasi oraz pochoną wrsora po czasi. W porównaniu z kartzjańskim ukłam współrzęnch, w którm wrsor bł zawsz równolgł o osi ukłau i ich różniczkowani po czasi awało zro, w bigunowm ukłazi współrzęnch wrsow i zminiają swój kirunk. (2) V r Pochoną wrsora po czasi obliczm, rozkłaając wrsor na skłaow w ukłazi kartzjańskim albo, inną mtoą, rozważając mał przrost kąta Po obliczniu pochonj wktora ostajm: (4) cos( cos( cos( Postawiając wzór (4) o wzoru (2) ostajm: (5) V W ukłazi bigunowm wktor prękości posiaa wi skłaow: pirwsz skłanik to prękość raialna (oalania lub zbliżania się o początku ukłau), rugi prękość transwrsalna (stczna o toru). Warto zwrócić uwagę stuntów, ż rugi człon przpomina znaną im z szkoł prękość w ruchu po okręgu równa prominiowi pomnożonmu przz prękość kątową. W analogiczn o sposób obliczm przspiszni w ukłazi bigunowm, al wniki są tu raczj niprzjazn i ni mają prostj intrprtacji, jak w przpaku prękości. Zaani 1. Przkła ruchu krzwoliniowgo (la wszstkich) Rozważć ruch narciarza na torz przstawionm na rsunku. Narsować wktor przspisznia w punktach toru B, D, E i F.

3 Zaani 2. Zastosowani współrzęnch bigunowch (tlko Fizka, la pozostałch jśli zostani czas) W trzch rogach trójkąta równoboczngo o boku a =.6 m znajują się 3 pająki. W pwnj chwili zacznają się on gonić wzajmni tzn. poruszają się z stała prękością v = 5 cm/s skirowaną wzłuż prostj łączącj ango pająka z poprzzającm go kompanm. Dla owolngo pająka znalźć równani ruchu, czas ruchu o spotkania w śroku trójkoąta oraz równani toru ruchu. II. Osclator harmoniczn Zaani 3. Prost osclator harmoniczn (la wszstkich) Na końcu sprężn przmocowanj o ścian znajuj się kulka o masi m=1 g. Kulka wkonuj swobon rgania harmoniczn o amplituzi A=1 cm wzłuż osi, wokół punktu równowagi = cm. Znan są następując informacj z początkowch chwil ruchu: 1. W chwili czasu t= s wchlni wnosiło.5a, a prękość bła zwrócona w kirunku punktu maksmalngo wchlnia. 2. W chwili czasu t=1/12 s kulka znajuj się w punkci maksmalngo wchlnia A. 3. Pomięz chwilą t= s a t=1/12 s kulka ni znalazła się nig w położniu równowagi (= cm). Na postawi tch informacji: a) poaj funkcję opisującą zalżność wchlnia kulki z położnia równowagi (=) o czasu oraz narsuj jj wkrs, b) wznacz okrs tgo ruchu i zaznacz go na powższm wkrsi, c) wznacz częstotliwość tgo ruchu, ) oblicz stałą sprężstości sprężn, na którj zamocowano kulkę, ) wkorzstując analogię mięz ruchm harmonicznm a ruchm po okręgu, wznacz prękość i przspiszni kulki, oraz narsuj ich wkrs, f) poaj wrażnia na nrgię kintczną kulki i nrgię potncjalną sprężn; wkaż opowinim rachunkim, ż nrgia w tm ruchu jst zachowana. Zaani 4. Osclator nrgtczni (Fizka, b osclator mili obrz opanowan w różnch pojściach) Cząstka o masi m i nrgii E znajuj się w polu sił jnowmiarowgo osclatora harmoniczngo:. Wznacz i narsuj potncjał tj sił. Scharaktrzuj punkt przstrzni ostępn cząstc w trakci jj ruchu. Przskutuj ruch tj cząstki w zalżności o jj nrgii. Zaani 5. Wahało matmatczn jakościowo Wkonano wa ukła oświaczaln: w pirwszm mtalową kulkę o masi m zawiszono na nitc o ługości, zaś w rugim taką samą kulkę umiszczono w rninc wgiętj w okrąg o prominiu. Zanibując opor ruchu i fkt związan z tocznim kulki uowonij, ż w obu przpakach ruch kulki opisuj to samo równani, znajź j i rozwiąż la przpaku małch wchlń o położnia równowagi.

4 III. Ruch w polu lktrcznm i magntcznm Zaani 6. Jonow spktromtr masow z slktorm prękości (la wszstkich) Do baania mas nałaowanch cząstk (na przkła jonów różnch izotopów tgo samgo pirwiastka) użwa się ukłau spktromtru masowgo. Ab spktromtr ziałał poprawni, na wjściu musim najpirw uformować wiązkę jonów o obrz okrślonj prękości. 1. W slktorz prękości jon przchozą przz skrzżowan pola magntczn o inukcji B i prostopał o nigo pol lktrczn o natężniu E. Oba pola są prostopał o prękości wpaającch cząstk. Jśli spłnion jst warunk zrowania się całkowitj sił ziałającj na cząstkę o łaunku q F qe qv B to cząstka o prękości v E / B przchozi przz obszar pól ni oznając ochlnia. 2. W spktromtrz masowm, cząstki wpaając z slktora poruszają się w jnoronm polu magntcznm o inukcji B s, skirowanm prostopal o ich prękości początkowj. W polu tm jon o masi m poruszają się po okręgach o prominiu r mv / qb (porównaj zaani wstępn) i po przbciu połow okręgu urzają w klisz (albo inn tktor). 3. Dla jnokrotni zjonizowanch (łaunk równ łaunkowi lktronu q=1, C ) jonów uranu 235 U i 238 U (mas opowinio kg i kg) o prękości v = 25 m/s w polu o inukcji B s =,1 T mam r235 r238 ( m235 m238 ) v / qbs ,9 1,1 m Zaani 7. (tlko fizka lgancki rozwiązani ukłau równań różniczkowch; za zbiorm A. Hnnl t al. Zaania i problm z fizki, tom I, PWN 1993) Znalźć i przskutować ruch cząstki o masi m i łaunku q w jnoronm polu magntcznm o inukcji B=(B,B,B z ). Prękość początkowa v =( v, v, v z ), położni początkow. W prostszj wrsji można rozważć problm wuwmiarow, to znacz prękość początkowa v =( v,, ) prostopała o pola magntczngo B=(,,B z ).

5 IV. Przspiszni i siła Coriolisa Zaani 8. (la wszstkich) Współczsn karabin snajprski naają pociskowi prękość rzęu 1 m/s. Oszacuj, jaki jst maksmaln ochlni pocisku wwołan siłą Coriolisa prz strzlaniu równolgl o powirzchni zimi na olgłość 1 m. W jakich warunkach wartość tgo ochlnia jst maksmalna, a w jakich minimalna? Zaani 9. Z wirzchołka Burż Chalifa (828 m) spuszczono swoboni mał kamk. Zanibują sił oporu znajź ochlni kamka o pionu na powirzchni Zimi.