1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

Transkrypt

1 GAL II A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem liniowym przestrzeni V w siebie nazywamy endomorzmem 2) Zbiór endomorzmów przestrzeni V oznaczamy symbolem End K (V ) lub End(V ) gdy nie ma w tpliwo±ci nad jakim ciaªem pracujemy Przykªad 12 Niech [ f E(R ] 2 ) b dzie zadany wzorem f(x, y) = (x + 2y, x) 1 2 Wówczas M(f) st st = 1 0 [ ] 1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A = 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f Denicja 13 1) Endomorzm f E(V ) nazywamy diagonalizowalnym gdy istnieje baza A w której macierz f jest diagonalna M(f) A A = diag(a 1, a 2,, a n ) 2) Macierz kwadratow A Kn n nazywamy diagonalizowaln gdy istnieje taka macierz odwracalna C,»e C 1 AC jest diagonalna C 1 AC = diag(a 1, a 2,, a n ) Denicja 14 Dwie kwadratowe macierze A, B K nazywamy podobnymi je»eli istnieje taka odwracalna macierz C,»e A = C 1 BC Stwierdzenie 15 Macierze A i B s podobne wtedy i tylko wtedy gdy s macierzami tego samego endomorzmu w ró»nych bazach Denicja 16 Niech f b dzie przeksztaªceniem liniowym przestrzeni V w siebie 1) Liczb r nazywamy warto±ci wªasn przeksztaªcenia f je»eli f(α) = rα dla pewnego niezerowego wektora α 2) Wektor α R n nazywamy wektorem wªasnym przeksztaªcenia f je»eli f(α) = rα dla pewnej warto±ci wªasnej r przeksztaªcenia f Uwaga Je»eli f nie ma warto±ci wªasnych to θ nie jest wektorem wªasnym endomorzmu f, w przeciwnym przypadku θ jest wektorem wªasnym dla ka»dej warto±ci wªasnej Denicja 17 Niech M K n n b dzie macierz kwadratow nad ciaªem K Wielomianem charakterystycznym M nazywamy w M (x) = det (M xi) Wielomianem charakterystycznym endomorzmu f nazywamy w M (x) = det (M xi), gdzie M jest macierz f w dowolnej bazie

2 GAL II A Strojnowski str2 Denicja 18 Liczb r nazywamy warto±ci wªasn macierzy kwadratowej M je»eli det (M ri) = 0 czyli r jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego macierzy M Twierdzenie 19 (Sprawdzenie poprawno±ci denicji) Niech A i B b d bazami sko«czenie wymiarowej przestrzeni V Niech M = M(f) A A i N = M(f) B B b d macierzami endomorzmu f w tych bazach Wówczas w M (x) = w N (x) Twierdzenie 110 Niech f End(K n ) b dzie opisane macierz M = M(f) st st Niech r b dzie warto±ci wªasn f Wówczas zbiór wektorów wªasnych o warto±ci wªasnej r jest podprzestrzeni K n b d c zbiorem rozwi za«ukªadu jednorodnego o macierzy M ri Wniosek 111 Zbiór pierwiastków wielomianu charakterystycznego macierzy M jest zbiorem warto±ci wªasnych M Twierdzenie 112 Niezerowe wektory o ró»nych warto±ciach wªasnych tworz zbiór liniowo niezale»ny Twierdzenie 113 Niech f End(K n ) ma n ró»nych warto±ci wªasnych a 1, a 2,, a n Niech B = {α 1, α 2,, α n } b dzie zbiorem niezerowych wektorów wªasnych f odpowiadaj cych tym warto±ciom wªasnym Wówczas B jest baz przestrzeni K n i macierz f w tej bazie ma posta diagonaln a M(f) B B = diag(a 0 a , a 2,, a n ) = a n Denicja 114 Niech f L(V, V ) Podprzestrze«W V nazywamy niezmiennicz gdy f(w ) W Stwierdzenie 115 Podprzestrze«W przestrzeni V jest niezmiennicza wzgl dem f wtedy i tylko wtedy gdy f W End(W ) f obci te do W jest endomor- zmem W Stwierdzenie 116 Niech θ α V Wówczas Lin{α} jest niezmiennicza wzgl dem f wtedy i tylko wtedy gdy α jest wektorem wªasnym Przykªad 117 Przykªadami podprzestrzeni niezmienniczych s : {θ}, ker f i, Im f i, V Denicja 118 Niech f End K V i w(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n K[x] I) Zªo»eniem wielomianu i endomorzmu nazywamy endomorzm w(f) = a 0 Id + a 1 f + a 2 f a n f n II) Je»eli M jest macierz kwadratow to warto±ci wielomianu w punkcie M okre±lamy macierz w(m) = a 0 I + a 1 M + a 2 M a n M n

3 GAL II A Strojnowski str3 Twierdzenie 119 M (w(f)) A A = w ( M(f) A A) Twierdzenie 120 Dla wielomianów w(x) i g(x) oraz macierzy kwadratowej M zachodz nast puj ce wzory: 1) (w + g)(m) = w(m) + g(m) 2) (w g)(m) = w(m) g(m) Twierdzenie 121 Niech f End K V i w(x) K[x] Wówczas ker w(f) i im w(f) s podprzestrzeniami niezmienniczymi Wykªad 2 Denicja 21 Wielomianem unormowanym nazywamy wielomian w(x), którego wspóªczynnik przy najwy»szej pot dze x jest jedynk to znaczy postaci w(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + x n Denicja 22 Niech f End K V Wielomianem minimalnym endomorzmu f nazywamy wielomian w(x), który jest unormowany, najmniejszego mo»liwego stopnia i zeruj cy f, To znaczy w(f) jest przeksztaªceniem zerowym Twierdzenie 23 Niech w(x) b dzie wielomianem minimalnym endomorzmu f Je»eli g(f) = θ to w(x) dzieli g(x) Denicja 24 Niech f End K V Podprzestrzeni cykliczn przestrzeni V wzgl dem f, rozpi t przez wektor α nazywamy V α = lin{α, f(α), f 2 (α), f 3 (α), } Twierdzenie 25 Niech α V Wówczas V α jest najmniejsz podprzestrzeni niezmiennicz zawieraj c wektor α Ponadto, je»eli θ α to baz V α jest zbiór B = {α, f(α), f 2 (α), f 3 (α),, f t 1 (α)}, gdzie t jest wymiarem przestrzeni V α Twierdzenie 26 Niech V = Lin{α, f(α), f 2 (α), f 3 (α),, f n 1 (α)} b dzie przestrzeni cykliczn wymiaru n Niech f n (α) = n 1 i=0 a i f i (α) Wówczas wielomianem minimalnym f jest w(x) = x n n 1 i=0 a i x i za± wielomianem charakterystycznym ( 1) n w(x) Wniosek 27 Niech V = V (α) b dzie sko«czenie wymiarow przestrzeni cykliczn, za± f End V Wówczas wielomiany minimalny i charakterystyczny f ró»ni si co najwy»ej znakiem

4 GAL II A Strojnowski str4 Twierdzenie 28 (Cayleya-Hamiltona) Niech w f (x) = w M (x) = n i=0 a ix j b dzie wielomianem charakterystycznym endomorzmu f i macierzy kwadratowej M Wersja 1 Wielomian minimalny dzieli wielomian charakterystyczny Wersja 2 Endomorzm w f (f) = a 0 Id + a 1 f + a 2 f a n f n θ jest przeksztaªceniem zerowym Wersja 3 Macierz w M (M) = a 0 I + a 1 M + a 2 M a n M n = [0] jest macierz zerow Dowód: Niech f L(V ; V ) Niech α b dzie dowolnym wektorem przestrzeni V za± W = Lin{α, f(α), f 2 (α), f 3 (α),, f t 1 (α)} b dzie przestrzeni cykliczn wymiaru t Niech f t (α) = t 1 i=0 a if i (α) Oznaczmy symbolem g endomor- zm f obci ty do W Poniewa» W jest podprzestrzeni niezmiennicz wzgl dem f wi c g jest endomorzmem W Oznaczmy w g (x) wielomian charakterystyczny g i w f (x) wielomian charakterystyczny f Na mocy lematu 415 w f (x) = w g (x)h(x) dla pewnego h(x) K[x] za± na mocy twierdzenia 312 w g (g)(α) = θ Zatem w f (f)(α) = θ Wobec dowolno±ci wyboru wektora α otrzymujemy,»e przeksztaªcenie w f (f) jest zerowe Zastosowania Podnoszenie macierzy kwadratowych do du»ych pot g Algorytm 1) Liczymy wielomian charakterystyczny w M (x) 2) Dzielimy z reszt x n = h(x) w M (x) + r(x) st r(x) < st w M (x) 3) Wstawiaj c do równania 2) pierwiastki w M (x) obliczamy r(x) Je»eli w M (x) ma pierwiastki wielokrotne to musimy pierwiastki wstawia do pochodnych równania 2) 4) Obliczamy M n = r(m) Wyliczanie dowolnego wyrazu ci gu rekurencyjnego Niech (a n ) b dzie zdeniowany wzorem: dane a 0, a 1,, a n 1 i a k = n 1 i=0 b ia k n+i b 1 b 2 b n Deniujemy macierz M = a k a k+1 a k 1 a k Teraz M = a k n+2 a k n+1 i a k n+3 a k n+2

5 GAL II A Strojnowski str5 M k a n 1 a n 2 a 1 a 0 = a n+k 1 a n+k 2 a k+1 a k Stwierdzenie 29 Niech w(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n 1 x n 1 +x n K[x] 0 0 a a 1 b dzie wielomianem Wówczas istnieje macierz M = 0 1 a a n 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu [ ] 0 1 Przykªad 210 Pierwiastkiem wielomianu x jest macierz 1 0 Daje [ to R- ] liniowy monomorzm φ : C R 2 2 okre±lony wzorem φ(a + bi) = a b Monomorzm ten zachowuje mno»enie i ponadto: b a φ(z 1 ) = φ(z) 1 φ(z) = φ(z) T z 2 = detφ(z) Twierdzenie 211 Niech f End K V i wielomian minimalny m f (x) = h(x)g(x) jest iloczynem wielomianów wzgl dnie pierwszych i unormowanych Deniujemy endomorzmy f g (x) = g(f) i f h (x) = h(f) Wówczas: 1) Im f g = Ker f h jest podprzestrzeni niezmiennicz wzgl dem f 2) Im f h = Ker f g jest podprzestrzeni niezmiennicz wzgl dem f 3) V = Im f g Im f h 4) Wielomian minimalny przeksztaªcenia f Im fg, b d cego obci ciem f do przestrzeni Im f g jest równy h(x) 5) Wielomian minimalny przeksztaªcenia f Im fh, b d cego obci ciem f do przestrzeni Im f h jest równy g(x)