Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

Transkrypt

1 Algebr WYKŁAD 6 ALGEBRA

2 Ogóln postć ukłdu równń liniowych Rozwżmy ukłd m równń liniowych z n niewidomymi m m n n mn n n n b b b m o współczynnikch ik orz b i. Mcierz ukłdu równń wymiru m n m postć A m n m, n. ALGEBRA

3 Ogóln postć ukłdu równń liniowych Definicj Mcierz rozszerzon jest to mcierz powstł przez dopisnie do mcierzy głównej ukłdu równń wektor wyrzów wolnych C m m n n mn b b b m (inne oznczenie mcierzy rozszerzonej A B). ALGEBRA 3

4 Ogóln postć ukłdu równń liniowych Twierdzenie (Kronecker Cpellego) Jeżeli rzędy mcierzy ukłdu równń orz mcierzy rozszerzonej są sobie równe orz są równe liczbie niewidomych rz A = rz C = n, to ukłd równń m dokłdnie jedno rozwiąznie (ukłd oznczony). Jeżeli rzędy mcierzy ukłdu równń orz mcierzy rozszerzonej są sobie równe, le są mniejsze od liczby niewidomych rz A = rz C < n, to ukłd równń m nieskończenie wiele rozwiązń (ukłd nieoznczony). Jeżeli rząd mcierzy głównej jest mniejszy niż rząd mcierzy rozszerzonej rza < rz C, to ukłd równń nie m rozwiązń (ukłd sprzeczny). ALGEBRA 4

5 Algorytm rozwiązywni ukłdu równń liniowych A X = B Krok. Wyznczmy rząd mcierzy ukłdu A. Krok. Wyznczmy rząd mcierzy rozszerzonej A B. Jeżeli rz A < rz A B, to koniec procedury - ukłd równń jest sprzeczny. Jeżeli rz A = rz A B, to krok 3. Krok 3. Rozwiązujemy ukłd równń. ) Jeżeli rz A = rz A B = liczb niewidomych, to ukłd równń jest oznczony (możn go rozwiązć np. stosując wzory Crmer), b) Jeżeli Ogóln postć ukłdu równń liniowych rz A = rz A B = r < liczb niewidomych, ukłd równń jest nieoznczony. Aby go rozwiązć wybiermy z ukłdu r równń odpowidjących nieosobliwej podmcierzy rzędu r. Pozostwimy po lewej stronie niewidome związne z podmcierzą, zś pozostłe przenosimy n drugą stronę równni i trktujemy jko prmetry rozwiązni. Odrzucone równni będą spełnione przez znlezione rozwiąznie. ALGEBRA 5

6 Ogóln postć ukłdu równń liniowych Przykłd Rozwiązć ukłd równń: y z 5 y z 4 y z Obliczmy wyzncznik mcierzy ukłdu równń A Poniewż det A = 0 (kolumn 3 jest różnicą drugiej i pierwszej) ukłd nie jest oznczony. ALGEBRA 6

7 Ogóln postć ukłdu równń liniowych Przykłd (c. d.) Wyznczmy rząd mcierzy A. Jest on równy, poniewż np. 3 0 Obliczmy rząd mcierzy rozszerzonej C (A B):. 5 C 4 Rząd C jest równy (trzeci wiersz jest różnicą drugiego i pierwszego!). Poniewż rz A = rz C = jest mniejszy od liczby niewidomych (n = 3), ukłd równń jest nieoznczony. ALGEBRA 7

8 Ogóln postć ukłdu równń liniowych Przykłd (c. d.) Dokonujemy jego redukcji wybierjąc z mcierzy ukłdu nieosobliwą podmcierz np. przez wykreślenie z mcierzy A trzeciego wiersz i trzeciej kolumny. Pozostwimy niewidome i y. Niewidomą z przenosimy n drugą stronę. Otrzymujemy ukłd równń: y z 5 Jest to ukłd równń Crmer względem niewidomych i y. Niewidomą z trktujemy jko prmetr i oznczmy z = t. Rozwiązni ukłdu równń mją postć = t +, y = - t +, z = t, t R. Uwg Wybierjąc inną podmcierz nieosobliwą otrzymujemy rozwiązni równowżne. y z 4 ALGEBRA 8

9 Ogóln postć ukłdu równń liniowych Przykłd Rozwiązć ukłd równń: y z 4y z 3y z 3 Obliczmy rząd mcierzy ukłdu równń: det Wyzncznik mcierzy jest równy 0, ztem szukmy podmcierzy o niezerowym wyznczniku, np. det 3 0 Stąd rz A =. ALGEBRA 9

10 Ogóln postć ukłdu równń liniowych Przykłd (c. d.) Obliczmy rząd mcierzy rozszerzonej: Poniewż C det Stąd rz C = 3. Poniewż rza < rzc ukłd równń nie m rozwiązń (jest sprzeczny). ALGEBRA 0

11 Ogóln postć ukłdu równń liniowych Zdnie Sprwdzić, czy ukłd równń o podnej mcierzy rozszerzonej jest oznczony, nieoznczony czy sprzeczny: A B 6 5 ALGEBRA

12 Zbudowny przez IBM dl merykńskiego Deprtmentu Energii, superkomputer Rodrunner 5 mj 008 roku osiągnął moc obliczeniową,06 PFLOPS w benchmrku LINPACK. Czyni go to pierwszym w historii superkomputerem o mocy obliczeniowej przewyższjącej PFLOPS. Rodrunner zbudowny zostł w oprciu o 960 mikroprocesorów PowerXCell 8i orz 69 dwurdzeniowych mikroprocesorów AMD Opteron. Zjmuje powierzchnię 560 m². Zdnie Ile czsu zjęłoby wykonnie wszystkich opercji mnożeni przy rozwiązywniu ukłdu 0 równń liniowych o 0 niewidomych metodą Crmer, przy obliczniu wyznczników metodą rozwinięci Lplce e. Wskzówk: Wyzncznik jest sumą! skłdników, z których kżdy jest iloczynem 0 liczb.! = petflops = 0 5 opercji n sekundę. Rodrunner ALGEBRA

13 TOP500 List - June 0 (-00) R m nd R pek vlues re in TFlops. For more detils bout other fields, check the TOP500 description. Power dt in KW for entire system Rn k Site Computer/Yer Vendor Cores R m R pek Power DOE/NNSA/LLNL United Sttes Sequoi - BlueGene/Q, Power BQC 6C.60 GHz, Custom / 0 IBM RIKEN Advnced Institute for Computtionl Science (AICS) Jpn K computer, SPARC64 VIIIf.0GHz, Tofu interconnect / 0 Fujitsu DOE/SC/Argonne Ntionl Lbortory United Sttes Mir - BlueGene/Q, Power BQC 6C.60GHz, Custom / 0 IBM Leibniz Rechenzentrum Germny SuperMUC - idtple DX360M4, Xeon E C.70GHz, Infinibnd FDR / 0 IBM Ntionl Supercomputing Center in Tinjin Chin Tinhe-A - NUDT YH MPP, Xeon X5670 6C.93 GHz, NVIDIA 050 / 00 NUDT DOE/SC/Ok Ridge Ntionl Lbortory United Sttes Jgur - Cry XK6, Opteron 674 6C.00GHz, Cry Gemini interconnect, NVIDIA 090 / 009 Cry Inc

14 The Sequoi supercomputer system built by IBM for the U.S. Deprtment of Energy s Lwrence Livermore Ntionl Lbortory, in Cliforni, is the now the most powerful supercomputer on erth. ALGEBRA 4

15 Metod elimincji Guss Metod elimincji Guss (Guss-Jordn) Algorytm Guss poleg n odpowiednim przeksztłceniu ukłdu równń przy użyciu tzw. przeksztłceń elementrnych. Definicj Przeksztłcenimi elementrnymi ukłdu równń liniowych nzywmy nstępujące opercje: zminę kolejności równń w ukłdzie, pomnożenie dowolnego równni przez liczbę różną od 0, dodnie (stronmi) do dowolnego równni innego równni tego ukłdu, dodnie (stronmi) do dowolnego równni innego równni tego ukłdu pomnożonego przez dowolną liczbę. ALGEBRA 5

16 Metod elimincji Guss Twierdzenie Wykonnie skończonej liczby przeksztłceń elementrnych nie zmieni rozwiązni ukłdu równń liniowych (tzn. wykonując n dnym ukłdzie równń przeksztłceni elementrne otrzymujemy ukłd równń równowżny dnemu ukłdowi). Wykonnie skończonej liczby przeksztłceń elementrnych nie zmieni rzędu mcierzy ukłdu (ogólnie kżdej mcierzy). Jeżeli mcierz jest nieosobliw, to z pomocą przeksztłceń elementrnych możn ją sprowdzić do mcierzy jednostkowej. ALGEBRA 6

17 Metod elimincji Guss Metod elimincji Guss dl ukłdu Crmer Istotą metody Guss jest sprowdzenie mcierzy głównej A ukłdu równń njpierw do mcierzy górnotrójkątnej (Etp l), nstępnie do mcierzy digonlnej (Etp ll), z pomocą odpowiedniej sekwencji opercji elementrnych. Niech R, R, R n oznczją kolejne równni ukłdu, tzn. R : n n = b R : n n = b. R n : n + n +..+ nn n = b n, ALGEBRA 7

18 Metod elimincji Guss Złóżmy, że ETAP l 0 (w przeciwnym wypdku zmienimy kolejność równń). Eliminujemy pierwszą niewidomą ze wszystkich równń oprócz pierwszego z pomocą nstępujących przeksztłceń R R R 3 3 R R n n R ALGEBRA 8

19 Metod elimincji Guss Eliminując w nlogiczny sposób niewidomą ze wszystkich równń począwszy od trzeciego i powtrzjąc proces dl kolejnych niewidomych, po (n -) krokch dostjemy równowżny ukłd równń z mcierzą trójdigonlną górną n n = b ã +..+ ã n n = b ~.. ã nn n = b ~ n ETAP ll Z osttniego równni wyznczmy n. Pozostłe niewidome zś w kolejności n-, n-,,,. ALGEBRA 9

20 Metod elimincji Guss Przykłd Rozwiązć ukłd równń liniowych ALGEBRA 0

21 Metod elimincji Guss Przykłd (c. d.) ETAP l Krok. (elimincj niewidomej ) ) Mnożymy pierwsze z równń przez /3 i odejmujemy od równni drugiego b) Mnożymy pierwsze z równń przez /3 i odejmujemy od równni trzeciego ALGEBRA

22 Metod elimincji Guss Przykłd (c. d.) ETAP l Krok. (elimincj niewidomej y) Mnożymy drugie z równń przez / i odejmujemy od równni trzeciego ALGEBRA

23 Metod elimincji Guss Przykłd (c. d.) ETAP ll Krok. (wyznczenie niewidomej z) Z równni trzeciego wyliczmy wrtość z 3 z Krok. Wyliczoną wrtość z wstwimy do równni drugiego i znjdujemy wrtość y Krok 3. Wrtości z i y wstwimy do równni pierwszego i obliczmy wrtość,, ALGEBRA 3

24 Metod elimincji Guss Uwg Prezentowne wyżej przeksztłceni ukłdu równń są w istocie opercjmi wykonywnymi n mcierzy rozszerzonej ukłdu. Progrmy komputerowe relizujące te przeksztłceni umożliwiją rozwiązywnie ukłdów równń o brdzo dużej liczbie niewidomych. ALGEBRA 4

25 Metod elimincji Guss Ogóln postć ukłdu równń liniowych W przypdku ogólnego ukłdu równń rozszerzmy przeksztłceni elementrne o dw nstępne: skreślenie wiersz złożonego z smych zer, skreślenie wiersz proporcjonlnego do innego wiersz. ALGEBRA 5

26 Metod elimincji Guss Przykłd Wykorzystnie metody elimincji Guss do rozwiązni ukłdu równń Mcierz rozszerzon ukłdu równń ALGEBRA 6

27 Metod elimincji Guss Przykłd (c. d.) Mcierz A B przeksztłcmy w ten sposób, że osttni wiersz mnożymy przez /3 i zmienimy miejscmi z pierwszym W kolejnym kroku od trzeciego wiersz odejmujemy pierwszy wiersz pomnożony przez 4 Osttni wiersz jest równy wierszowi drugiemu pomnożonemu przez (-) - ztem go skreślmy ALGEBRA 7

28 Metod elimincji Guss Przykłd (c. d.) Kolejnym przeksztłceniem jest odjęcie drugiego wiersz od pierwszego Otrzymliśmy równowżny ukłd równń postci Jest to ukłd nieoznczony z dwom prmetrmi. Przyjmując zmienne z i t jko prmetry otrzymmy ALGEBRA 8

29 Metod elimincji Guss A' W ogólnym przypdku mcierz rozszerzon A B zostje przeksztłcon do mcierzy B' Liczb r jest rzędem mcierzy ukłdu A. Osttni wiersz może nie występowć. 0 0 Mcierz jednostkow stopni r t t, r r, r 0 0 t t, n r, n z z z r r ALGEBRA 9

30 Metod elimincji Guss Mogą zistnieć nstępujące przypdki: jeśli z r+ 0, to ukłd A X = B jest sprzeczny, jeśli osttni wiersz się nie pojwi i n = r, to ukłd A X = B jest oznczony (m jednoznczne rozwiąznie) z, z,., n z n jeśli osttni wiersz się nie pojwi i n > r, to ukłd jest nieoznczony. Po przyjęciu zmiennych r+,., n jko prmetrów, otrzymujemy:, z t, r t, n r r z r t r, r t r, n n ALGEBRA 30

31 Uzupełnieni ALGEBRA 3

32 Przeksztłceni elementrne mcierzy Definicj Przeksztłcenimi elementrnymi mcierzy nzywmy: Pomnożenie dowolnego wiersz (kolumny) mcierzy przez różną od zer liczbę rzeczywistą. Zminę miejscmi dwóch dowolnych wierszy (kolumn) mcierzy. Dodnie do dowolnego wiersz (kolumny) innego wiersz (kolumny) pomnożonego przez dowolną liczbę rzeczywistą. Wykonnie odpowiedniej sekwencji przeksztłceń elementrnych n mcierzy jednostkowej pozwl wyznczyć mcierz odwrotną do dnej mcierzy nieosobliwej. ALGEBRA 3

33 Przeksztłceni elementrne mcierzy Przykłd ALGEBRA 33

34 Dziękuję z uwgę