2. RÓWNOWAGA PRZESTRZENNEGO UKŁADU SIŁ

Transkrypt

1 . RÓWOWG PRZETRZEEGO UKŁDU IŁ Zadaie. Wyzaczyć siły siwe w trzech prętach przegubwych twrzących wysięgik przedstaw a rysuku.. Wysięgik bciąży jest piwą siłą przyłżą w pukcie. Rys.. Rzwiązaie Zakładamy iewiadme siły siwe w prętach,, i. Przyjmujemy układ współrzędych pczątku w pukcie. Jak widać z rysuku siły iewiadme i siła przeciają się w jedym pukcie, mamy więc d czyieia z przestrzeym zbieżym układem sił. Dla takieg układu mża ułżyć trzy rówaia rówwagi rówaia rzutów a sie x, y, z. Rówaia rówwagi: ) ) ix ; cs cs ; cs cs cs, ) ; cs. z (), z (), cs

2 wstawiając d () cs cs Pieważ wartści wszystkich iewiadmych są ddatie złże zwrty sił,, i były prawidłwe. iły i były skierwae d węzła, są więc siłami rzciągającymi. iła skierwaa d węzła jest ściskająca. Zadaie. Jedrda płyta w kształcie półkla prmieiu r zawiesza jest a trzech piwych likach, jak pkaza a rysuku.. Ciężar płyty wysi G i jest skup w śrdku ciężkści płyty C. Wyzaczyć reakcje w puktach pdwieszeia liek. Dae: G k, α. Rys.. Rzwiązaie: Zakładamy iewiadme pdprwe którymi w tym przypadku są siły siwe w likach R, R B, i R C. Pieważ płyta jest bciąża tylk piwą siłą ciężkści G, mamy d czyieia z przestrzeym rówległym układem sił. Dla takieg szczególeg przypadku mamy d

3 dyspzycji trzy rówaia rówwagi: rówaie rzutów a ś piwą i dwa rówaia mmetów względem si leżących w płaszczyźie prstpadłej d si piwej. Rówaia rówwagi:. ; R + R + R G B D. M ix ; R D r csα G OC. M ; R r + R r si α R r B D Oc zacza dległść śrdka ciężkści C półkla d śrdka krzywy krzywy półkla O, która wysi: r OC ; π Z rówaia () trzymujemy wartść reakcji R D : G OC G r R D,9G,9[k], r si α π r z rówaia () R G,9G R B,G R B, Wstawiając d rówaia (): R r +,9G r, (,G R ) R,G B B B R B,G,[k] R G,9G,G,77G,77[k] R,77k; R B,k; R D,9k., Zadaie. Prsty pręt B umieszcz w łżyskach: stpwym i szyjym B i bciąż jak a rysuku... Wyzaczyć ddziaływaie w łżyskach raz kąt α jaki utwrzy z piem pręt w płżeiu rówwagi. Dae: Q, G, R, a, l.

4 Rys... Przykład te rzwiążemy a daych gólych. Przyjmujemy układ współrzędych xyz, raz zakładamy iewiadme pdprwe których dstarczają łżyska stpwe i szyje, rys. Rówaia rówwagi: rówaia rzutów a sie x, y, z ix,,, R R R x y z + R + R By Bz Q G rówaia mmetów względem si x,y,z M M M ix,,, Q R G l siα R R Bz By a G a Q a a Z rówań wyliczmy R x ; R y ; R By R Bz + ( G Q) Q R z G + Q G ( G + Q)

5 Q R si α G l Q R α arcsi G l Zadaie. a rysuku.. przedstawi kstrukcję przestrzeą złżą z -ciu prętów,,,,,. iła P działa a węzeł w płaszczyźie prstkąta BDC, przy czym jej prsta działaia twrzy z prstą piwą C kąt. EK MB. Kąty trójkątów rówramieych EK, BM i DB przy wierzchłkach, B, i D są prste. Obliczyć siły w prętach jeżeli P. Rys... Zadaie t będziemy rzwiązywali jak dwa iezależe zadaia.. Ptraktujemy układ prętów jak kratwicę przestrzeą. I wyzaczymy siły w prętach kratwicy. Zastsujemy metdę węzłów, która plega a tym, że każdy z węzłów, w aszym przykładzie i B musi spełiać waruki rówwagi dla przestrzeeg zbieżeg układu sił. Rysujemy więc każdy z węzłów sb (rys... i..) i zakładamy w prętach iewiadme siły siwe biegące wzdłuż si tych prętów dwlych zwrtach (p. wszystkie d węzła). Pieważ pręt występuje w bu węzłach siła w im występująca musi w każdym z węzłów mieć przeciwy zwrt, tak aby p płączeiu kstrukcji siła ta stawała się siłą wewętrzą. Waruki rówwagi dla zbieżeg przestrzeeg układu sił:

6 dla węzła Rys... Rys... ix ; P cs,77p,77, ; cs cs, ; si + si P cs,p,, dla węzła B ; cs ix P ; cs cs ; si + si + si,p, Wszystkie pszukiwae siły (,... ) miały zwrty przyjęte dwlie. Zak mius przy wyiku mówi, że zwrt siły jest przeciwy d załżeg. Przypmiamy, że siła skierwaa d węzła jest siłą ściskającą zaczaą zakiem, siła d węzła siłą rzciągającą zak +. Pieważ wszystkie siły iewiadme w aszym przykładzie przyjęliśmy jak ściskające, trzymae zaki mówią, że siły i są ddatie. Pzstałe złżyliśmy dbrze, są więc ujeme.

7 Mża zestawić wyiki w astępujący spsób, pkazujący który z prętów jest rzciągay a który ściskay:,,,,,77, +,, +,,. W drugiej wersji ptraktujmy pręt B jak ieważką belkę pdpartą pięcima prętami przegubwymi,,..., i bciążą w pukcie siłą P, rysuek... Wyzaczyć reakcje w puktach K, E, M,, i. Przyjmujemy długść prętów m, a belki B l m. C jak zbaczymy ie ma wpływu a wyiki. Teraz traktujemy biekt jak całść i będziemy krzystali z sześciu rówań rówwagi dla przestrzeeg dwleg układu sił Rys.... ix ; P cs P cs. ; cs + cs cs cs + +. ; si + si + si + si + si P si P. Mix ; a + a a a

8 T rówaie jest tżsame z rówaiem ze względu a symetrię układu względem płaszczyzy Cxz.. M M ; si P cs a + a si si a + si (a + a cs ) p wstawieiu: + P. M ; cs a cs a Z rówań tych trzymamy te same wyiki c pprzedi bez siły, b jest a w tym przypadku siłą wewętrzą. P, P, P. W tym przypadku zak przed wartścią sił mówi tym, że siła ma zwrt przeciwy iż załży. Zadaie. Ciężar P jest zawieszy w pukcie D, jak pkaza a rysuku... Pręty w puktach, B, C i D zamcwae są przegubw. Wyzaczyć reakcje w puktach, B, i C. Rys...

9 Rzwiązaie Jest t przestrzey zbieży układ sił. W puktach, B, C zakładamy iewiadme pdprwe R, R B, R C, działające wzdłuż si prętów przegubwych. Zwrty mżemy dbrać dwlie (rys...). Rys... W celu wyzaczeia iewiadmych pdprwych układamy trzy rówaia rzutów a sie przyjęteg dwlie układu współrzędych,x,y,z.. Przypmiamy: gdy zamy kąt pmiędzy siłą i sią układu współrzędych t rzutem siły a daą ś jest wektr długści rówej ilczywi długść siły i csiusa kąta pmiędzy ddatim zwrtem si a wektrem siły. W przypadku gdy kąt pmiędzy siłą a sią jest iezay musimy przeprwadzić pdwóje rzutwaie (siłę rzutwać a tę płaszczyzę z którą twrzy a zay kąt a astępie dpier a ś układu. Dla lepszej przejrzystści a rysuku.. pkaza kleje etapy rzutwaia reakcji R B, (ajpierw a prstą OD a astępie a si y i z).

10 Rys... ix ; R cs R B cs stąd R R B R si cs + R B si cs R C cs stąd R C ( R si cs ),8R cs R si si + R B si si R C si P R R si R B si,8r,p, si P R C,P, Zadaie. Płyta prstkąta wymiarach a b, ciężarze G, jest pdparta a pdprze przegubwej w pukcie i a łżysku szyjym w pukcie B. Ddatkw w pukcie C jest pdwiesza a lice zaczepiej d ściay w pukcie E,( rys...). Lika twrzy z płaszczyzą płyty kąt, a przekąta płyty biegie pd kątem d bku B. Wyzaczyć iewiadme pdprwe.

11 Rys... Rzwiązaie Jest t przestrzey dwly układ sił. Przyjmujemy układ współrzędych pczątku w pukcie (rys...). Rys... Zakładamy iewiadme pdprwe: ) w pdprze przegubwej reakcję R, rzkładając ją a składwe w kierukach si układu współrzędych X, Y, Z, ) w pukcie B łżysk szyje dstarcza dwóch składwych X B i Z B, ) atmiast siła w lice T przechdzi przez pukt C i biegie wzdłuż liki.

12 Rys... D wyzaczeia iewiadmych pdprwych dyspujemy sześcima rówaiami rówwagi: ). ). ). ix ;,, X Y Z + X T cs + Z B B T cs + T si cs si, G,, ). M, Z b + T si b b G ix B a ). M, G T si a ). M, XB b z () X B, z () T G, G G z () Z B, G G z () Z G,

13 z () Y G G, z () X T G. Zadaie.7. Płyta prstpadłściea BCD ciężarze G pdparta jest a lekkich przegubwych prętach, rys..7.. Wzdłuż krawędzi D i B płyty działają siły i. Wymiary kstrukcji wyszą a m, b m, c m.. Wyzaczyć siły w prętach, czyli iewiadme pdprwe utrzymujące płytę w płżeiu rówwagi. Rys..7. Rys..7. Przystępując d rzwiązaia przyjmujemy układ diesieia O xyz, dwlie, lecz kierując się zasadą, aby sie teg układu były rówległe d mżliwie dużej liczby sił działających w aszym układzie i by mżliwie duż sił przeciał sie, rys... D wyzaczeia rówwagi przestrzeeg układu sił działająceg a ciał sztywe mamy d dyspzycji w ajgóliejszym przypadku rówań rówwagi. ix,,, M M M ix,,.

14 W aszym zadaiu ciałem sztywym jest płyta BCD. Płytę w staie rówwagi utrzymują prste pręty przegubwe, które spełiają rlę pdpór. W pdprach tych występują iewiadme pdprwe (reakcje). W każdym pręcie zakładamy iewiadmą siłę rmalą i kieruku si pręta i dwlym zwrcie p. wszystkie w kieruku płyty. Rzutujemy klej wszystkie siły a sie x, y, z. D teg jedak są am ptrzebe pewe fukcje trygmetrycze kątów α i β siα csα siβ csβ h h + a a h + a h h h + b b + b,,8,8, () + csβ ix () si α si α () si α + si β + csα G Układamy rówaia mmetów względem si x, y,z. () a M ix a + a + si α a + si β a + si α a G h () b M b b siα b + G + h () b csα b cs β a M Z rówaia () csβ, wstawiając d rówaia () csβ a a csα csα b csα csα b,8,8, wstawiając d rówaia (), csα,8

15 z rówaia () h G + b, si α +,, Z rówaia () G h + a,, 9,9 si α si β si α + +, +,8 wstawiając d rówaia (), + si α 9,9 + si β si α + G,, +,8 +, + Tak więc zestawiając wyiki:,; ; 9,9;,; -; -. Pieważ wszystkie iewiadme siły w prętach zstały przyjęte za ściskające, trzymae w wyikach zaki ujeme mówią przeciwym zwrcie siły. więc siły w prętach, i są ściskające, w prętach i rzciągające, w pręcie siła jest zerwa. Zadaie.8 Zaleźć siły w prętach przegubwych twrzących kstrukcję przedstawią a rysuku.8.. Kstrukcja jest bciąża piwą siłą Q przyłżą w pukcie i siłą P działającą wzdłuż prstej przechdzącej przez pukty B i C. Dae: Q, P, a m, b m, c m.

16 Rys..8. Rys..8. W zadaiach teg typu, gdy mamy d czyieia tylk z układem samych prętów przegubwych, ajlepiej jest stswać metdę węzłów. Pieważ cały układ zajduje się w staie rówwagi, a więc i każdy węzeł jak układ przestrzey zbieży musi też być w rówwadze. Przeciamy pszczególe pręty i przykładamy w każdym przecięciu iewiadmą siłę siwą i dwlym zwrcie. iła skierwaa d węzła zakłada, że te pręt jest ściskay, zaś siła d węzła mówi rzciągaiu pręta. Rzwiązaie rzpczyamy d węzła w którym zbiegają się ajwyżej trzy iewiadme siły. W rówaiach rówwagi uwzględiamy czywiście rówież działające w węzłach siły zewętrze czye. W aszym przykładzie przy pewej wprawie mża zauważyć, że siły i muszą być zerwe, c zaczie upraszcza zadaie. Dla celów dydaktyczych ie skrzystamy z teg ułatwieia i ptraktujemy przykład jak góly. Przyjmujemy układ współrzędych Oxyz jak a rys..8. i wyzaczamy fukcje trygmetrycze kątów α i β. d a + c + b + d + e c si α,89 d a cs α,7 d d si β,8 e 9 9

17 Przystępujemy d rzpatrywaia rówwagi I węzła ix ;,, P cs α P si α stąd:,7,7k,89 8,9k Rówaia rówwagi dla węzła II ix ;,, + + cs α csβ si α Q + si βcs α si βsi α stąd: Q,k si α,89 csα,, k Otrzymae w wyikach zaki mówią tym, że załże w tych prętach ściskaie trzeba zmieić a rzciągaie lub dwrtie.