Egzamin ustny semestr piąty. Słuchacz

Transkrypt

1 Egzami usty semestr piąty Słuchacz 4 5 blicza średią ważą i dchyleie stadardwe zestawu daych zlicza biekty w prstych sytuacjach kmbiatryczych blicza prawdpdbieństwa w prstych sytuacjach, stsując klasyczą defiicję prawdpdbieństwa wykrzystuje wzry a liczbę permutacji, kmbiacji, wariacji i wariacji z pwtórzeiami d zliczaia biektów w bardziej złżych sytuacjach kmbiatryczych blicza pchde fukcji wymierych krzysta z własści pchdej d wyzaczeia przedziałów mticzści fukcji zajduje ekstrema fukcji wielmiawych i wymierych rzpzaje w graiastsłupach i strsłupach kąty blicza miary tych kątów rzpzaje w walcach i w stżkach kąt między dcikami raz kąt między dcikami i płaszczyzami blicza miary tych kątów rzpzaje w graiastsłupach i strsłupach kąty między ściaami kreśla, jaką figurą jest day przekrój prstpadłściau płaszczyzą stsuje trygmetrię d bliczeń długści dcików, miar kątów, pól pwierzchi i bjętści wyzacza rówaie prstej przechdzącej przez dwa dae pukty bada rówległść i prstpadłść prstych a pdstawie ich rówań kierukwych wyzacza rówaie prstej, która jest rówległa lub prstpadła d prstej daej w pstaci kierukwej i przechdzi przez day pukt blicza współrzęde puktu przecięcia dwóch prstych wyzacza współrzęde śrdka dcika blicza dległść dwóch puktów zajduje brazy iektórych figur gemetryczych (puktu, prstej, dcika, kręgu, trójkąta itp.) w symetrii siwej względem si układu współrzędych i symetrii śrdkwej względem pczątku układu. iterpretuje graficzie ierówść liiwą z dwiema iewiadmymi raz układy takich ierówści blicza dległść puktu d prstej bada rówległść i prstpadłść prstych a pdstawie ich rówań gólych wykrzystuje defiicje i wyzacza wartści fukcji sius, csius i tages kątów miarach d 0 d 180 blicza miarę kąta streg, dla której fukcja trygmetrycza przyjmuje daą wartść stsuje prste zależści między fukcjami trygmetryczymi zając wartść jedej z fukcji: sius lub csius, wyzacza wartści pzstałych fukcji teg sameg kąta streg wyzacza wyrazy ciągu kreśleg wzrem gólym bada, czy day ciąg jest arytmetyczy lub gemetryczy stsuje wzór a -ty wyraz i a sumę pczątkwych wyrazów ciągu arytmetyczeg stsuje wzór a -ty wyraz i a sumę pczątkwych wyrazów ciągu gemetryczeg stsuje zależści między kątem śrdkwym i kątem wpisaym rzpzaje trójkąty pdbe i wykrzystuje cechy pdbieństwa trójkątów krzysta z własści styczej d kręgu i własści kręgów styczych krzysta z własści fukcji trygmetryczych w łatwych bliczeiach gemetryczych blicza błąd bezwzględy i błąd względy przybliżeia

2 Zestawy zadań 1. Dae są pukty A(-,-6) i B(4,6). a) Wyzacz rówaie prstej AB. b) Wyzacz współrzęde śrdka dcika AB. c) Oblicz długść dcika AB.. Wyzacz rówaie prstej a) rówległej b) prstpadłej d prstej y = x + i przechdzącej przez pukt P(-4,1).. Wyzacz rówaie symetralej dcika AB, jeżeli A=(,-4) i B=(-6,-). 4. Wyzacz rówaie symetralej dcika kńcach A(-,) i B(,10). 5. Prsta k ma rówaie y = x. Wyzacz rówaie prstej l rówległej d prstej k i przechdzącej przez pukt D współrzędych (,1). 6. Wskaż rówaie prstej przechdzącej przez pczątek układu współrzędych 1 i prstpadłej d prstej rówaiu y = x Pukt C(0,) jest wierzchłkiem trapezu ABCD, któreg pdstawa AB jest zawarta w prstej rówaiu y = x 4. Wyzacz rówaie prstej zawierającej pdstawę CD. 8. Zajdź braz puktu A=(,) w symetrii śrdkwej względem pczątku układu współrzędych raz w symetrii siwej względem si układu współrzędych. 9. Pukt B jest symetryczy d puktu A(-17,8) względem pczątku układu współrzędych, a pukt C jest symetryczy d puktu B względem si OY. Pdaj współrzęde puktu C. 10. Pukt A ma współrzęde (5,014). Pukt B jest symetryczy d puktu A względem si Ox, a pukt C jest symetryczy d puktu B względem si Oy. Wyzacz współrzęde puktu C. 11. Pukty E=(4,) i F=(,6) t śrdki bków, dpwiedi AB i BC kwadratu ABCD. Jaką długść ma przekąta teg kwadratu? 1. Pukt S=(,-1) jest śrdkiem dcika AB, gdzie A=(-,). Wyzacz współrzęde puktu B. 1. Pukt S=(4,1) jest śrdkiem dcika AB gdzie A=(a,0) i B=(a+,). Oblicz a. 14. Oblicz współrzęde puktu przecięcia się prstych: y = 5 x + 4, y = x Dae są pukty A(1,1) i B(,5). Odciek A B jest brazem dcika AB w symetrii względem si OY. Wyzacz współrzęde śrdka dcika A B. 16. Pukty A(-5,) i C(,) są przeciwległymi wierzchłkami prstkąta ABCD. Oblicz prmień kręgu pisaeg a tym prstkącie. 17. Okrąg przechdzi przez pukty A(-1,-) i B(5,-) a jeg śrdek leży a prstej y = x + 1. Wyzacz współrzęde śrdka teg kręgu. 18. Pukty A(1,-1) i C(15,8) są przeciwległymi wierzchłkami kwadratu ABCD. W jakim pukcie przeciają się przekąte teg kwadratu? 19. Pukty A(-1,) i B(5,-) są dwma sąsiedimi wierzchłkami rmbu ABCD. Oblicz bwód teg rmbu. 0. Pukty A = ( 5, ) i B = (, ) są wierzchłkami trójkąta rówbczeg ABC. Oblicz bwód teg trójkąta. 1. Pukty B(-,4) i C(5,1) są dwma sąsiedimi wierzchłkami kwadratu ABCD. Oblicz ple teg kwadratu.. Okrąg śrdku w pukcie S = (,7) jest styczy d prstej rówaiu y = x. Oblicz współrzęde puktu styczści.. Pukty A(-1,-5),B(,-1),C(,4) są klejymi wierzchłkami rówległbku ABCD. Oblicz ple teg rówległbku. 4. Pukty A(,1),B(8,),C(6,14) są wierzchłkami trójkąta. Wyskść trójkąta pprwadza z wierzchłka C przecia prstą AB w pukcie D. Oblicz współrzęde puktu D. 5. Oblicz dchyleie stadardwe daych: a),6,6,6,9 b) 8,1,1,1,14 6. Średia arytmetycza liczb: x, 1, 7, 5, 5,,, 11 jest rówa 7. Ile wysi mediaa

3 teg zestawu liczb? 7. D każdeg z pięciu pytań testu pda cztery dpwiedzi. Jeg rzwiązaie plega a zazaczeiu dkładie jedej dpwiedzi a każde z tych pytań. Na ile spsbów mża wypełić te test? 8. Ile jest liczb trzycyfrwych, w których zapisie występują tylk cyfry: 7,8,9? 9. Ile jest wszystkich liczb aturalych trzycyfrwych pdzielych przez 5? 0. Każdy uczestik sptkaia śmisbwej grupy przyjaciół uścisął dłń każdemu z pzstałych człków tej grupy. Ile wysi liczba wszystkich uścisków dłi? 1. Na ile spsbów mża wybrać dwóch graczy spśród 10 zawdików?. Rzucamy jede raz symetryczą sześcieą kstką d gry. Oblicz prawdpdbieństw wyrzuceia liczby czek pdzielej przez.. Rzuc dwiema kstkami d gry. Obliczyć prawdpdbieństw trzymaia sumy czek rówej W urie jest 5 kul białych i czare. Lsujemy z ury kule bez zwracaia. Jakie jest prawdpdbieństw trzymaia: a) dwóch kul białych, b) c ajmiej jedej kuli białej? 5. Rzuc dwa razy kstką d gry. Obliczyć prawdpdbieństw trzymaia za każdym razem liczby czek miejszej iż. 6. W urie jest 6 kul: czare i 4 białe. Lsujemy klej bez zwracaia dwie kule. Oblicz prawdpdbieństw teg, że c ajwyżej jeda z ich jest biała. 7. Ze zbiru { 1,,,4,5} lsujemy bez zwracaia dwie liczby. Oblicz prawdpdbieństw teg, że suma tych liczb jest ieparzysta. 8. Oblicz P(A), jeżeli P ( A) = P( A' ). 9. Ze zbiru liczb { 1,,,4,5,6,7,8 } lsujemy dwa razy p jedej liczbie ze zwracaiem. Oblicz prawdpdbieństw zdarzeia A, plegająceg a wylswaiu liczb, z których pierwsza jest większa d drugiej 4 lub Rzucamy dwa razy symetryczą sześcieą kstką d gry. Oblicz prawdpdbieństw zdarzeia, że ilczy liczb wyrzucych czek jest rówy Ze zbiru liczb { 1,,,4,5,6,7 } lsujemy dwa razy p jedej liczbie ze zwracaiem. Oblicz prawdpdbieństw zdarzeia A, plegająceg a wylswaiu liczb, których ilczy jest pdziely przez Ze zbiru liczb {1,,,..., 7} lsujemy klej dwa razy p jedej liczbie ze zwracaiem. Oblicz prawdpdbieństw wylswaia liczb, których suma jest pdziela przez. 4. Dświadczeie lswe plega a dwukrtym rzucie symetryczą sześcieą kstką d gry. Oblicz prawdpdbieństw zdarzeia A plegająceg a tym, że w pierwszym rzucie trzymamy parzystą liczbę czek i ilczy liczb czek w bu rzutach będzie pdziely przez Rzucamy trzy razy symetryczą metą. Oblicz prawdpdbieństw trzymaia c ajmiej jedej reszki. 45. Zbiór M twrzą wszystkie liczby aturale dwucyfrwe, w zapisie których występują dwie róże cyfry spśród: 1,,, 4, 5. Ze zbiru M lsujemy jedą liczbę, przy czym każda liczba z teg zbiru mże być wylswaa z tym samym prawdpdbieństwem. Oblicz prawdpdbieństw, że wylsujemy liczbę większą d 0, w której cyfra dziesiątek jest miejsza d cyfry jedści. 46. Pwierzchia bcza stżka jest dwa razy większa d pla jeg pdstawy. Pdaj zależść między prmieiem pdstawy a twrzącą stżka. 47. Krawędź pdstawy graiastsłupa prawidłweg czwrkąteg ma długść 5cm. Oblicz ple pwierzchi całkwitej i bjętść teg graiastsłupa, jeśli przekąta jeg ściay bczej twrzy: a) z krawędzią pdstawy kąt 0, b) z krawędzią bczą kąt 0, c) z przekątą graiastsłupa kąt Wyskść strsłupa jest rówa 15cm, a bwód jeg pdstawy wysi 4cm.

4 Oblicz bjętść teg strsłupa, jeśli jest t strsłup prawidłwy a) czwrkąty b) trójkąty. 49. Krawędź pdstawy strsłupa prawidłweg trójkąteg ma długść 6, a krawędź bcza ma długść 4. a) Oblicz kąt achyleia krawędzi bczej teg strsłupa d jeg pdstawy. b) Oblicz bjętść teg strsłupa. 50. Pwierzchia bcza stżka p rzwiięciu jest półklem plu 18 π. Oblicz wyskść teg stżka. 51. Graiastsłup prawidłwy czwrkąty krawędzi pdstawy 6 i wyskści 8 przecięt płaszczyzą przechdzącą przez dkładie jede wierzchłek górej pdstawy i przekątą dlej pdstawy. Jedym z trzymaych w te spsób wielściaów jest strsłup. Oblicz jeg bjętść i ple pwierzchi całkwitej. 5. Objętść sześciau jest rówa 16 cm. Ile wysi ple pwierzchi całkwitej teg sześciau? 5. W strsłupie prawidłwym czwrkątym wszystkie krawędzie mają długść. Oblicz wyskść teg strsłupa. 54. Przekrój siwy stżka jest trójkątem rówramieym pdstawie długści 6cm i plu 15cm. Oblicz bjętść teg stżka. 55. Ple pwierzchi całkwitej prstpadłściau jest rówe 198. Stsuki długści krawędzi prstpadłściau wychdzących z teg sameg wierzchłka prstpadłściau t 1 : :. Oblicz długść przekątej teg prstpadłściau. 56. Ile wysi ple pwierzchi całkwitej walca, któreg przekrjem siwym jest kwadrat bku długści 4? 57. Ostrsłup i graiastsłup mają rówe pla pdstaw i rówe wyskści. Objętść strsłupa jest rówa 81. Oblicz bjętść graiastsłupa. 58. Pdstawą strsłupa prawidłweg jest kwadrat. Wyskść ściay bczej teg strsłupa jest rówa, a tages kąta achyleia ściay bczej strsłupa d 4 6 płaszczyzy jeg pdstawy jest rówy. Oblicz bjętść teg strsłupa Ile wysi ple pwierzchi bczej stżka wyskści 4 i prmieiu pdstawy? 60. Objętść graiastsłupa prawidłweg trójkąteg wyskści 7 jest rówa 8. Oblicz długść krawędzi pdstawy teg graiastsłupa. 61. Ple pdstawy strsłupa prawidłweg czwrkąteg jest rówe 100cm, a jeg ple pwierzchi bczej jest rówe 60cm. Oblicz bjętść teg strsłupa. 6. Ple pwierzchi jedej ściay sześciau jest rówe 4. Oblicz bjętść teg sześciau. 6. Twrząca stżka ma długść 4 i jest achyla d płaszczyzy pdstawy pd kątem 45. Oblicz wyskść teg stżka. 64. Ple pwierzchi całkwitej sześciau jest rówe 54. Oblicz długść przekątej teg sześciau. 65. Oblicz bjętść stżka wyskści 8 i średicy pdstawy Objętść walca wyskści 8 jest rówa 7. Oblicz prmień pdstawy teg walca. 67. Długść krawędzi sześciau jest krótsza d długści jeg przekątej. Oblicz długść przekątej teg sześciau. 68. Objętść sześciau jest rówa 64. Ile wysi ple pwierzchi całkwitej teg sześciau? 69. Twrząca stżka ma długść l, a prmień jeg pdstawy jest rówy r. Pwierzchia bcza teg stżka jest razy większa d pla jeg pdstawy. Zapisz zależść między r i l. 70. Jacek bawi się sześcieymi klckami krawędzi cm. Zbudwał z ich jede duży sześcia krawędzi 8 cm i wykrzystał d teg wszystkie swje klcki. Następie zburzył budwlę i ułżył z tych klcków drugą bryłę graiastsłup prawidłwy czwrkąty. Wtedy kazał się, że zstał mu dkładie jede klcek, któreg ie był gdzie dłżyć. Oblicz stsuek pla pwierzchi całkwitej pierwszej ułżej bryły d pla pwierzchi całkwitej drugiej bryły i wyik pdaj w pstaci ułamka ieskracaleg. 71. Liczba 15 jest przybliżeiem z iedmiarem liczby x. Błąd bezwzględy teg przybliżeia

5 jest rówy 0,4. Wyzacz x. 7. Pdaj przybliżą wartść liczby 54,61 z dkładścią d jedeg miejsca p przeciku. Oblicz błąd bezwzględy i błąd względy przybliżeia. csα 7. Wiedząc, że kąt α jest stry i tg α = blicz. 4 + csα siα csα 74. Kąt α jest stry i tg α =. Oblicz. siα + csα 75. Wyzacz wartści fukcji trygmetryczych kątów strych trójkąta prstkąteg jedej przyprstkątej długści 1 i przeciwprstkątej długści Oblicz cs 10 + si Oblicz wartści pzstałych fukcji trygmetryczych kąta streg α, jeśli 1 a) si α = 0, 8 b) cs α = c) tg α = d) ctg α = Kąt α jest stry raz + = 5. Oblicz wartść wyrażeia si α csα. si α cs α 79. Kąt α jest stry i si α =. Oblicz wartść wyrażeia si α cs α. 80. Na trójkącie bkach długści 7, 8, 15 pisa krąg. Oblicz prmień teg kręgu. 81. Dae są dwa kręgi prmieiach 10 i 15. Miejszy krąg przechdzi przez śrdek większeg kręgu. Ile wysi dległść między śrdkami tych kręgów? 4 8. Jaką miarę ma kąt śrdkwy party a łuku, któreg długść jest rówa 9 długści kręgu? 8. Prmień kręgu pisaeg a trójkącie rówbczym jest rówy 8. Ile wysi wyskść teg trójkąta? 84. Długść bku trójkąta rówbczeg jest rówa 4. Ile wysi prmień kręgu wpisaeg w te trójkąt? 85. Pdstawa trójkąta rówramieeg ma długść 6, a ramię ma długść 5. Jaką długść ma wyskść puszcza a pdstawę? 86. Okrąg pisay a kwadracie ma prmień 4. Jaką długść ma bk teg kwadratu? 87. Krótszy bk prstkąta ma długść 6. Kąt między przekątą prstkąta i dłuższym bkiem ma miarę 0. Jaką długść ma dłuższy bk prstkąta? 88. Cięciwa kręgu ma długść 8 cm i jest ddala d jeg śrdka cm. Ile wysi prmień teg kręgu? 89. Pdstawy trapezu prstkąteg mają długści 6 i 10 raz tages jeg kąta streg jest rówy. Oblicz ple teg trapezu. 90. Day jest rmb, któreg kąt stry ma miarę 45, a jeg ple jest rówe 50. Oblicz wyskść teg rmbu. 91. Zależści między kątem śrdkwym i kątem wpisaym. 9. Pdstawy trapezu rówramieeg mają długści cm i 6cm, a csius kąta przy dłuższej pdstawie jest rówy 1. Oblicz bwód teg trapezu. 9. Trójkąt prstkąty przyprstkątych rówych 1 i 16 jest pdby d trójkąta bwdzie 6. Oblicz długści przeciwprstkątych bu trójkątów. 94. W dziewięciwyrazwym ciągu gemetryczym wyrazach ddatich pierwszy wyraz jest rówy, a stati wyraz jest rówy 1. Ile wysi piąty wyraz teg ciągu? 95. Ciąg ( ) teg ciągu? a jest kreśly wzrem = ( + )( 5) a. Ile wysi liczba ujemych wyrazów 96. Liczby, -1, -4 są trzema pczątkwymi wyrazami ciągu arytmetyczeg ( ) a, kreśleg dla liczb aturalych. Pdaj wzór góly teg ciągu. a jest rówa Suma dziesięciu pczątkwych wyrazów ciągu arytmetyczeg ( ) Pierwszy wyraz teg ciągu jest rówy. Oblicz a 10.

6 98. Ciąg gemetryczy ( a ) 99. Day jest ciąg arytmetyczy ( ) kreśly jest wzrem a =. Oblicz ilraz teg ciągu. 4 a, w którym a raz a = 10 = Oblicz pierwszy wyraz i różicę teg ciągu. a dae są: a 1 = 6, a = 18. Oblicz a 4. a jest kreśly wzrem = W ciągu gemetryczym ( ) 101. Ciąg ( ) a a) Oblicz a 5. b) Który wyraz teg ciągu jest rówy 6? 10. Ciąg (9, x, 19) jest arytmetyczy, a ciąg (x, 4, y, z) jest gemetryczy. Oblicz x, y raz z. 10. Suma S pczątkwych wyrazów peweg ciągu arytmetyczeg ( a ) jest kreśla wzrem S =. Wyzacz wzór a -ty wyraz teg ciągu Pierwszy wyraz ciągu arytmetyczeg jest rówy, czwarty wyraz teg ciągu jest rówy 15. Oblicz sumę sześciu pczątkwych wyrazów teg ciągu Liczby x, y, 19 w pdaej klejści twrzą ciąg arytmetyczy, przy czym x + y = 8. Oblicz x i y W ciągu arytmetyczym ( ) 107. W ciągu gemetryczym ( ) a dae są: a = 1, a 5 = 9. Wyzacz a 1. b dae są: b =, b 4. Wyzacz ilraz teg ciągu. 1 4 = 108. Dla jakich wartści x liczby 6, 11, x twrzą ciąg arytmetyczy? 109. Dla jakich wartści y liczby 6, 1, x 6 twrzą ciąg gemetryczy?