Równe kąty = (180 <) ACO <) CAO) = (180 2<) ACO) = <) ACO.

Transkrypt

1 Równe kąty

2 Równe kąty ichał Kieza rzykład 1. rzyjmijmy znaczenia jak na rysunku 1 (przyjmujemy też załżenie, że kąt jest stry; w przeciwnym razie pdbna własnść także jest prawdziwa, a dwód jest analgiczny). Wykrzystując twierdzenie kącie wpisanym i kącie śrdkwym trzymujemy <) = 90 <) = <) O = = (180 <) O <) O) = (180 2<) O) = <) O. O rys. 1 rys. 2 rzykład 2. Wprwadźmy znaczenia jak na rysunku 2. Niech i będą dpwiedni punktami przecięcia prstych i z kręgiem. nieważ kręgi i są styczne w punkcie, t istnieje jednkładnść śrdku przekształcająca pierwszy z tych kręgów na drugi. Ta sama jednkładnść przekształca punkty i dpwiedni na punkty i, a więc. W takim razie trapez wpisany w krąg jest równramienny. Zatem łuki i niezawierające punktu są równe, a więc kąty wpisane i parte na tych łukach mają równe miary. rzykład 3. rzyjmijmy znaczenia jak na rysunku 3. Załóżmy, że prsta F przecina krąg pisany na trójkącie pnwnie w punkcie Q, a prstą w punkcie S. Rzpatrując ptęgi punktu S względem kręgu pisaneg na trójkącie i względem kręgu przechdząceg przez punkty,, i F trzymujemy S S = SQ S raz S S = S SF. zieląc je strnami trzymujemy S S = SQ SF, c na mcy twierdzenia dwrtneg d twierdzenia Talesa znacza, że prste Q i F, a więc także są równległe. W takim razie trapez Q wpisany w krąg jest równramienny. Zatem łuki i Q niezawierające punktu są równe, a więc kąty wpisane i Q parte na tych łukach mają równe miary. F S rys. 3 Q 1

3 rzykład 4. rzyjmijmy znaczania jak na rysunku 4. Z twierdzenia kącie między styczną i cięciwą mamy <) = <), skąd wnisek, że trójkąty i mające ddatkw wspólny kąt przy wierzchłku są pdbne (kąt-kąt). Zatem =. nalgicznie uzasadniamy, że =, c p uwzględnieniu równści = prwadzi d wnisku, że =. Stąd i z twierdzenia tlemeusza dla czwrkąta trzymujemy 2 = = + = 2, czyli =. nadt <) = <) = <), więc trójkąty i są pdbne (bkkąt-bk). Zatem <) = <). rys. 4 rzykład 5. rzyjmijmy znaczenia jak na rysunku 5. Niech będzie punktem przecięcia prstej z kręgiem pisanym na trójkącie. Tak jak w przykładzie 4 dwdzimy, że =. Stąd i z twierdzenia tlemeusza dla czwrkąta trzymujemy więc 2 = = + = 2, =. nadt <) = <) = <), a zatem trójkąty i są pdbne (bk-kąt-bk). W takim razie <) = <). rys. 5 2

4 rzykład 6. Wprwadźmy znaczenia jak na rysunku 6. Niech ddatkw O będzie śrdkiem daneg kręgu. nieważ na czwrkątach i O mżna pisać kręgi (b <) O = <) O = 90 ), t = = O, skąd wnisek, że na czwrkącie O także mżna pisać krąg. nieważ O = O, więc łuki O i O teg kręgu niezawierające punktu są równe, a zatem kąty wpisane O i O parte na tych łukach mają równe miary. Stąd, wbec równści kątów i dstajemy tezę. O rys. 6 Zanim przejdziemy d dalszych przykładów, zdefiniujmy przekształcenie zwane inwersją. efinicja. Inwersją względem kręgu śrdku O i prmieniu r (częst mówimy inwersją śrdku O i prmieniu r) nazywamy takie przekształcenie, które każdemu punktwi O przypisuje punkt leżący na półprstej O taki, że O O = r 2. Z definicji natychmiast wynika, że inwersja jest inwlucją, czyli złżna sama z sbą daje identycznść. nadt prawdziwe są następujące własnści inwersji, z których będziemy krzystać: prsta przechdząca przez punkt O przechdzi na siebie, dla dwlneg punktu półprsta O przechdzi na siebie, krąg przechdzący przez śrdek inwersji przechdzi na pewną prstą, prsta nieprzechdząca przez śrdek inwersji przechdzi na pewien krąg przechdzący przez śrdek inwersji, krąg nieprzechdzący przez śrdek inwersji przechdzi na pewien krąg nieprzechdzący przez śrdek inwersji, inwersja zachwuje stycznść prstych i kręgów, inwersja zachwuje kąty między krzywymi kąt między krzywymi t kąt między prstymi stycznymi d tych krzywych w ich punkcie przecięcia. 3

5 rzykład 7. rzyjmijmy znaczenia jak na rysunku 7. Rzważmy przekształcenie będące złżeniem inwersji śrdku i prmieniu z symetrią względem dwusiecznej kąta. rzekształcenie t zamienia półprste i (i punkty i ) raz prstą z kręgiem. W takim razie krąg przejdzie na krąg (gdyż punkt stycznści z dcinkiem przejdzie na punkt leżący na półprstej pza dcinkiem ). Skąd wnisek, że brazem punktu jest punkt. Zatem półprsta przejdzie na półprstą, a skr inwersja zachwuje kąty, t <) = <). rys. 7 rys. 8 rzykład 8. Wprwadźmy znaczenia jak na rysunku 8. nwnie rzważmy przekształcenie będące złżeniem inwersji śrdku i prmieniu z symetrią względem dwusiecznej kąta. rzekształcenie t zamienia półprste i (i punkty i ) raz prstą z kręgiem. W takim razie krąg przejdzie na krąg (gdyż punkt stycznści z dcinkiem przejdzie na punkt leżący na półprstej pza dcinkiem ). Stąd wnisek, że brazem punktu jest punkt. ółprsta przejdzie więc na półprstą, a skr inwersja zachwuje kąty, t <) = <). rzykład 9. rzyjmijmy znaczenia jak na rysunku 9. Niech pnadt O 1 i O 2 będą śrdkami dpwiedni kręgów 1 i 2. Tym razem rzważmy przekształcenie będące złżeniem inwersji śrdku i prmieniu K L z symetrią względem dwusiecznej kąta KL. Rzważane przekształcenie zamienia punkty K i L raz prstą KL z kręgiem. nieważ prste KL i są równległe, t <) K = <) L, więc dane przekształcenie zamiena też półprste i. unkt jest przecięciem półprstej i kręgu, a więc jeg brazem musi być punkt przecięcia półprstej i prstej KL, czyli punkt. nalgicznie uzasadniamy, że brazem punktu jest punkt. nadt łuk K niezawierający punktu przechdzi na dcinek L (i na dwrót), zaś łuk L nie zawierający punktu przechdzi na dcinek K (i na dwrót). W takim razie rzważane przekształcenie zamienia też miejscami kręgi 1 i 2. nadt prsta O 1 jest prstpadła d kręgu 1, a więc przejdzie na prstą przechdzącą przez punkt i prstpadłą d kręgu 2, czyli prstą O 2. Skr inwersja zachwuje kąty, t <) O 1 = <) O 2. K L O 1 O rys. 9 4