Blok 3: Zasady dynamiki Newtona. Siły.

Transkrypt

1 Blk : Zasady dynamiki Newtna. Siły. I. Śrdek masy układu ciał Płżenie śrdka masy pisane jest wektrem: RSM xsm î ysm ĵ zsm kˆ. Dla daneg, nieruchmeg układu ciał, śrdek masy znajduje się zawsze w tym samym miejscu, ale współrzędne płżenia śrdka masy mgą się zmieniać w zależnści d wybraneg układu współrzędnych. W danym układzie współrzędnych współrzędne płżenia śrdka masy blicza się w następujący spsób: xsm M x m x m x m... ysm M y m y m y m... zsm M z m z m z m... gdzie t wektr płżenia ciała masie [ x, y,z t wektr płżenia ciała masie, a [ x, y,z] t wektr płżenia ciała masie, natmiast M jest całkwitą masą układu ciał i M m m m... [ x, y,z] m m, ] Gdy mamy d czynienia nie z ciałami punktwymi, lecz z ciałami większych wymiarach, mżemy bliczać współrzędne śrdka masy tych ciał, jeśli tylk znamy współrzędne śrdków masy ich elementów. Np. Wektr płżenia śrdka masy kła pkazaneg na rysunku mżna bliczyć ze wzrów: xsm M xsm m xsm m ysm M ysm m ysm m zsm M zsm m zsm m gdzie [ xsm, ysm,zsm] znacza wektr płżenia ćwiartki kła masie [ xsm, ysm,zsm znacza wektr płżenia śrdka masy pzstałej części kła masie, natmiast M jest masą całkwitą. Mając t na uwadze, mżna w prsty spsób bliczać współrzędne śrdka masy figur z wycięciami. m, a ] m m II. Zasady dynamiki Newtna. Układ inercjalny. Siła wypadkwa działająca na ciał jest zawsze wektrwą sumą wszystkich sił działających na t ciał: Fwyp F F... Zwykle różne siły działające na ciał są przyłżne d różnych punktów teg ciała. Pmim teg mżemy je sumwać, aby w ten spsób trzymać siłę wypadkwą działającą na ciał. Siła jest przyczyną zmian ruchu, a nie jest przyczyną sameg ruchu, tzn. ciał mże się pruszać nawet, gdy nie działają na nie żadne siły. Prjekt jest współfinanswany z Eurpejskieg Funduszu Spłeczneg w ramach prgramu peracyjneg KAPITAŁ LUDZKI 7

2 I zasada dynamiki Newtna Jeżeli na ciał nie działa żadna siła lub działające siły równważą się (czyli ich wypadkwa jest równa zeru, prstliniwym. F wyp ), t ciał pzstaje w spczynku lub prusza się ruchem jednstajnym Inercjalny układ dniesienia t taki układ, w którym spełnina jest I zasada dynamiki Newtna. Każdy układ inercjalny względem każdeg inneg układu inercjalneg prusza się ruchem jednstajnym prstliniwym lub pzstaje w spczynku. II zasada dynamiki Newtna Jeżeli na ciał masie m działa niezrównważna siła zewnętrzna ciału przyspieszenie a, zgdnie ze wzrem: F a m Wypadkwa siła i przyspieszenie ciała mają ten sam kierunek i zwrt. wyp F wyp, t nadaje na temu Bezpśredni z równania wektrweg, nie mżemy bliczyć żadnych wielkści algebraicznych. Dlateg niezbędna jest zamiana równania wektrweg na równania algebraiczne. Z jedneg równania wektrweg trzymujemy tyle równań algebraicznych, ile współrzędnych przestrzennych zstał zaangażwane w zadaniu (czyli najwyżej trzy). Aby kreślić II zasadę dynamiki Newtna dla knkretneg zagadnienia w zadaniu, nie wystarczy zapisać: a m ; trzeba jawnie wymienić wszystkie siły składające się na siłę wypadkwą. F wyp III zasada dynamiki Newtna Jeżeli ciał A działa na ciał B siłą, t ciał B działa na ciał A siłą, taką, że F AB FBA, czyli równą c d wartści i mającą ten sam kierunek, ale przeciwne zwrty. Siły F AB i F BA F AB nazywane są czasem siłami akcji-reakcji i zawsze występują parami. F BA Siły te jednak nigdy nie równważą się, pnieważ przyłżne są d różnych ciał. III. Trygnmetria kątów strych. Bardz częst w zadaniach z dynamiki, siły działające na ciał nie leżą na jednej prstej. Aby zapisać te równania w pstaci algebraicznej, musimy rzłżyć wszystkie siły na składwe (lub mówiąc inaczej w wybranym przez nas układzie współrzędnych bliczyć wszystkie współrzędne wszystkich sił). Niezbędna d teg celu staje się znajmść funkcji trygnmetrycznych i wartści tych funkcji dla pdstawwych (najczęściej występujących w zadaniach) kątów strych. Funkcje trygnmetryczne kąta streg t ilrazy par bków w trójkącie prstkątnym. Mżna skutecznie nauczyć się rzróżniania definicji pszczególnych funkcji trygnmetrycznych, bez uczenia się ich na pamięć, a jedynie zapamiętując trzy reguły dtyczące tych ilrazów. Prjekt jest współfinanswany z Eurpejskieg Funduszu Spłeczneg w ramach prgramu peracyjneg KAPITAŁ LUDZKI 8

3 . Tylk w definicji funkcji sinus i csinus w mianwniku pjawia się długść przeciwprstkątnej. W definicji funkcji tangens i ctangens w mianwniku pjawia się długść drugiej przyprstkątnej.. W liczniku każdej funkcji trygnmetrycznej znajduje się długść jednej z przyprstkątnych.. W licznikach dwóch funkcji c- znajdują się długści przyprstkątnych płżnych przy kącie W licznikach pzstałych dwóch funkcji (sinus i tangens) znajdują się długści przyprstkątnych płżnych dalek d kąta. Tę statnią regułą mżna zapamiętać także mnemtechnicznie: litera c znajduje się blisk pczątku alfabetu, dlateg funkcje csinus i ctangens mają w licznikach długści przyprstkątnych płżnych przy kącie; natmiast litery s i t znajdują się dalek d pczątku alfabetu, dlateg funkcje sinus i tangens mają w licznikach długści przyprstkątnych płżnych z dala d kąta. Stsując pwyższe reguły, mżemy bliczyć funkcje trygnmetryczne dwóch kątów strych w trójkącie prstkątnym, w którym długści bków znaczn symblami (przeciwprstkątna w klrze czerwnym, przyprstkątne w klrze czarnym): kąt kąt Prjekt jest współfinanswany z Eurpejskieg Funduszu Spłeczneg w ramach prgramu peracyjneg KAPITAŁ LUDZKI 9

4 Przykład.: Rzkład na składwe siły ciężkści klcka znajdująceg się na równi. Zwykle w zadaniu z równią dany jest kąt nachylenia zbcza równi d pzimu, jak pkazan na rysunku. Wówczas, chcąc rzpisać siłę ciężkści na składwe, musimy znaleźć ten sam kąt w trójkącie sił, w którym F c jest przeciwprstkątną, a przyprstkątnymi są dwie składwe siły ciężkści. Kąt w trójkącie sił znajdujemy tak, jak pkazan na rysunku. Wektr czerwny, t składwa siły ciężkści prstpadła d czerwnej linii (zbcza równi), a wektr niebieski (siła ciężkści) t wektr prstpadły d niebieskiej linii (pdstawy równi). Pnieważ kąt znajduje się pmiędzy czerwną a niebieską linią na równi, t ten sam kąt znajduje się pmiędzy czerwnym a niebieskim wektrem w trójkącie sił. Składwa znaczna klrem czerwnym ma długść F mg cs, a składwa znaczna klrem czarnym ma długść F mg sin. Wartści funkcji trygnmetrycznych dla pdstawwych kątów nierzwartych mżna dtwrzyć w tabeli. Wystarczy tylk pamiętać, że sin Wypełniamy tabelę dla funkcji sinus, zaczynając d kąta., dla któreg wpisujemy sin Dla klejnych kątów wartści funkcji sinus t płówki pierwiastków klejnych liczb naturalnych:. sin Pdbnie zaczynając d kąta 9 wypełniamy tabelę dla wiersza dpwiadająceg funkcji csinus (b cs9 ).Klejne wartści płówek pierwiastków klejnych liczb naturalnych wpisujemy w lewą strnę. sin cs Krzystając z zależnści: tg raz ctg, wypełniamy całą tabelę: cs sin cs 4 sin tg 45 ctg Czasami pmcne stają się wzry tżsamści trygnmetrycznych, zwanych jedynkami trygnmetrycznymi: sin cs, dla każdeg kąta tg, dla każdeg kąta k, gdzie k C ctg Prjekt jest współfinanswany z Eurpejskieg Funduszu Spłeczneg w ramach prgramu peracyjneg KAPITAŁ LUDZKI

5 IV. Szczególne siły. Siła ciężkści, siła grawitacji raz ciężar Siły ciężkści i grawitacji raz ciężar mają takie same kierunki, zwrty i wartści jedynie w szczególnych przypadkach. Ogólnie należy przyjąć, że nie znaczają teg sameg. M m Siła grawitacji jest siłą występującą w prawie pwszechneg ciążenia: Fg G. r ( F g ) ( F c ) Siła ciężkści Ziemi: F F F c g dś jest sumą siły grawitacji i siły dśrdkwej (bezwładnści) wynikającej z ruchu ; siła ciężkści równa na kuli ziemskiej się znajdujemy. ( Q) F c m g, gdzie g zależy d teg, w którym miejscu Ciężar ciała jest wskazaniem wagi sprężynwej, jeżeli ciał znajduje się na pdłżu lub wskazaniem siłmierza, jeżeli ciał jest na nim zawieszne. Dla ciała znajdująceg się na pdłżu, ciężar jest zatem zawsze równy sile nacisku ciała na pdłże (a wartść ciężaru jest równa wartści siły sprężystści pdłża): Q N R. Q N raz N R, z czeg wynika, że Nazwy tych trzech sił są częst (nieprawidłw) stswane wymiennie, więc za każdym razem należy zadać pytanie, którą siłę tak naprawdę chdzi w danym zagadnieniu. Siła nacisku Siła nacisku ciała znajdująceg się na pdłżu jest siłą przyłżną d pdłża, a nie d ciała; z teg względu nie pjawia się w równaniach ruchu dla ciał. Siła nacisku jest skierwana prstpadle d pdłża i zwrócna w strnę pdłża, a jej wartść mżna bliczyć z równści: N R, gdzie R jest siłą sprężystści pdłża, przyłżną d ciała. Siły: nacisku ciała na pdłże i sprężystści pdłża są siłami akcji-reakcji, czyli siłami wzajemneg ddziaływania, wynikająceg z III zasady dynamiki Newtna. Siła tarcia Tarcie jest siłą występującą pmiędzy dwma stykającymi się ciałami, będącą skutkiem ddziaływania między cząsteczkami dwóch materiałów, z których te ciała są wyknane. Tarcie jest siłą równległą d graniczących ze sbą pwierzchni bu ciał. W przybliżeniu mżemy traktwać tarcie jak siłę wartści niezależnej d pla pwierzchni trących ciał. Siły tarcia zawsze występują parami jak siły akcji i reakcji: jeżeli np. pdłże działa siłą tarcia na ciał na nim się znajdujące, t także ciał działa na pdłże siłą tarcia takiej samej wartści i kierunku, ale przeciwnym zwrcie. W zadaniach jednak bardz rzadk krzystamy z tej własnści, pnieważ bardz rzadk pjawiają się zagadnienia, w których należy rzważyć jedncześnie ruch bu trących siebie ciał. Dlateg w dalszej części będziemy mówić wyłącznie tarciu, jak sile przyłżnej d ciała przyciśnięteg d jakiejś pwierzchni. Prjekt jest współfinanswany z Eurpejskieg Funduszu Spłeczneg w ramach prgramu peracyjneg KAPITAŁ LUDZKI

6 Rzróżniamy dwa rdzaje tarcie: tarcie statyczne i tarcie kinetyczne. Tarcie statyczne istnieje między ciałem a pwierzchnią, z którą się n styka (ciał spczywa na tym pdłżu lub jest przyciśnięte d pwierzchni), ale tylk wtedy, gdy d ciała zstanie przyłżna siła, która mgłaby je wprawić w ruch (gdyby tarcia statyczneg nie był). Mżna pwiedzieć, że tarcie statyczne pjawia się jak dpwiedź na przyłżną siłę zewnętrzną, która nie jest prstpadła d pdłża. Tarcia statyczneg prawie nigdy nie mżna bliczyć ze wzru, bwiem jeg wartść za każdym razem dstswuje się d wartści składwej siły zewnętrznej równległej d pwierzchni styku. Istnieje jednak pewna wartść graniczna teg tarcia tzw. maksymalne tarcie statyczne. Jeśli wartść składwej siły zewnętrznej równległej d pwierzchni trących ciał przekrczy maksymalną wartść siły tarcia statyczneg, ciał zstanie wprawine w ruch. Maksymalną wartść siły tarcia statyczneg bliczamy ze wzru: Ts max sn, gdzie jest współczynnikiem tarcia statyczneg, charakterystycznym dla pary materiałów, z których wyknane są trące siebie ciała; N - jest wartścią siły nacisku ciała na pwierzchnię, z którą się styka. s Z praktycznych względów wzór ten jest jednak bezużyteczny, pnieważ w równaniach ruchu ciała próżn by szukać wartści siły nacisku (przyłżnej d pdłża). Dlateg bardziej praktyczny jest wzór: Ts max sr, gdzie R jest wartścią siły reakcji (sprężystści) pdłża (pwierzchni, d której ciał jest przyciskane). Tarcie kinetyczne istnieje między ciałem a pwierzchnią, z którą się n styka wtedy, gdy ciał prusza się względem tej pwierzchni. Tarcie kinetyczne mżna zawsze bliczyć ze wzru:, gdzie jest współczynnikiem tarcia kinetyczneg, charakterystycznym dla pary materiałów, z których wyknane są trące siebie ciała; N - jest wartścią siły nacisku ciała na pwierzchnię, z którą się styka. T k N Jednak z pwdów praktycznych wyjaśninych pwyżej dla tarcia statyczneg, wartść tarcia kinetyczneg bliczamy ze wzru: Tk kr, gdzie R jest wartścią siły reakcji (sprężystści) pdłża (pwierzchni, d której ciał jest przyciskane). Dla małych szybkści ciał wartść współczynnika tarcia kinetyczneg ( a tym samym wartść sameg tarcia) jest niezależna d szybkści, z jaką ciał prusza się względem pwierzchni trącej. Naciąg nici Siła naciągu nici niesprężystej t siła, z jaką nić jest napinana. Siła ta c d wartści jest równa sile sprężystści, z jaką nić działa na przyczepine d niej ciał. Naciąg nici jest jednakwy wzdłuż całej nici. Jest n liczbw równy sile, którą wskazałby siłmierz, gdybyśmy nić rzcięli i wstawili g w miejscu rzcięcia. Jeżeli rzpatrujemy układ ciał płącznych nieważką i nierzciągliwą nicią, t siła sprężystści nici jest jedną z sił składwych siły wypadkwej działającej na pjedyncze ciał, czyli wchdzi d II zasady dynamiki Newtna dla pjedynczeg ciała. Nie uwzględnia się jej jednak, jeśli rzpatrujemy układ jak całść i wypisujemy II zasadę dynamiki Newtna dla całeg układu, pnieważ wówczas występuje na jak siła wewnętrzna w tym układzie. k k Prjekt jest współfinanswany z Eurpejskieg Funduszu Spłeczneg w ramach prgramu peracyjneg KAPITAŁ LUDZKI