Analiza matematyczna I

Transkrypt

1 KAPITAŁ LUDZKI NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI UNIA EUROPEJSKA EUROPEJSKI FUNDUSZ SPOŁECZNY Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania 4.. Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki Analiza matematyczna I dla sªuchaczy kierunku Informatyka Stosowana Miªosz Michalski Instytut Fizyki UMK UMK Toru«204 Projekt wspóªnansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego

2 2

3 Spis tre±ci Wst p 5 I Kilka u»ytecznych nierówno±ci 7 I. Kresy podzbiorów prostej rzeczywistej I.2 Nierówno± Bernoulliego I.3 Nierówno± Cauchy'ego I.4 Nierówno±ci Cauchy'ego-Schwarza i Höldera I.5 Nierówno± Minkowskiego I.6 Nierówno± Jensena I.7 Zadania do rozdziaªu I II Ci gi i szeregi 9 II. Zbie»no± w przestrzeniach metrycznych II.2 Ci gi i ich granice: podstawowe wªasno±ci II.3 Arytmetyczne i porz dkowe wªasno±ci granic Operacje arytmetyczne na ci gach Porz dek w R a zbie»no± ci gów Liczba e Granice dolna i górna ci gu liczbowego Notacja asymptotyczna BachmannaLandaua II.4 Specjalne klasy ci gów II.5 Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnych Asymptotyka sum szeregów Kilka uwag o wªasno±ciach szeregów zbie»nych II.6 Zadania do rozdziaªu II III Funkcje: granice i ci gªo± 69 III. Ogólne wªasno±ci funkcji i funkcje elementarne III.2 Granica i ci gªo± funkcji Denicja granicy funkcji Klasy asymptotyczne Ci gªo± III.3 Twierdzenia o funkcjach ci gªych III.4 Ci gi i szeregi funkcyjne Ci gi funkcyjne, zbie»no± jednostajna

4 4 SPIS TRE CI 2 Szeregi funkcyjne Szeregi pot gowe III.5 Zadania do rozdziaªu III IV Rachunek ró»niczkowy 97 IV. Pochodne funkcji jednej zmiennej Pochodna pierwszego rz du Pochodne wy»szych rz dów IV.2 Twierdzenia o pochodnych i ich zastosowania IV.3 Inne zastosowania twierdzenia o warto±ci ±redniej IV.4 Przebieg funkcji a pochodne wy»szych rz dów IV.5 Funkcje sklejane IV.6 Wzór i szereg Taylora Wzór Taylora i jego reszta Szeregi Taylora IV.7 Wyra»enia nieoznaczone i reguªa de L'Hospitala IV.8 Ró»niczkowanie ci gów i szeregów IV.9 Pochodne funkcji wielu zmiennych IV.0 Zastsowania pochodnych funkcji wielu zmiennych Oszacowania bª dów rachunkowych Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Metoda najmniejszych kwadratów Ekstrema warunkowe funkcji metoda wspóªczynników nieoznaczonych IV. Funkcje uwikªane IV.2 Zadania do rozdziaªu IV V Rachunek caªkowy 53 V. Caªki nieoznaczone Podstawowe wzory caªkowe Caªkowanie funkcji wymiernych Caªki z funkcji niewymiernych Caªki trygonometryczne V.2 Caªka oznaczona Podstawowy wzór rachunku ró»niczkowego i caªkowego Caªki niewªa±ciwe Caªkowe kryterium zbie»no±ci szeregu Zastosowania caªki oznaczonej Caªkowanie ci gów i szeregów funkcyjnych Ortogonalne szeregi funkcyjne V.3 Zadania do rozdziaªu V

5 Wst p Specyka niniejszego kursu analizy matematycznej uwarunkowana jest gªownie znikom liczb godzin (30 godz. wykªadu i 30 godz. wicze«), podczas gdy typowe programy analizy matematycznej obejmuj co najmniej 2 semestry, zwykle w wi kszym wymiarze godzinowym w ka»dym z nich. Wykªad jest adresowany do studentów informatyki stosowanej i to tak»e wpªywa istotnie na dobór materiaªu. Ustalaj c priorytety co do zakresu tematycznego wykªadu uznaªem,»e oprócz przyswojenia niezb dnych, podstawowych technik rachunkowych (umiej tno± obliczania granic, oceny sumowalno±ci szeregów, obliczania pochodnych i caªek) studenci powinni pozna te elementy analizy matematycznej, które najpilniej odpowiadaj potrzebom przyszªych informatyków. W szczególno±ci, za konieczne uznaªem przemycenie w tym kursie kilku technik z bardziej zaawansowanych dziaªów analizy, jak funkcje wielu zmiennych (ekstrema funkcji wielu zmiennych, metoda wspóªczynników nieoznaczonych Lagrange'a, metoda gradientu, operowanie funkcjami uwikªanymi) lub analiza harmoniczna i teoria aproksymacji (fourierowskie rozwini cia funkcji w ró»nych bazach wielomianowych, trygonometrycznych itp.). Niektóre z tych technik pojawi si w zastosowaniach podczas kursów metod numerycznych oraz symulacji i modelowania komputerowego na II roku, chodzi wi c tak»e o to, aby stworzy baz poj ciow i wyksztaªci niezb dne umiej tno±ci rachunkowe dla tych przedmiotów. Jednak ten krótki kurs jest jedyn, jak s dz, okazj aby uzmysªowi naszym studentom,»e poznawane przez nich metody analityczne tworz jednolity i spójny logicznie zbiór narz dzi stanowi cy niezb dne minimum warsztatowe ka»dego numeryka rozwi zuj cego zawodowo zadania z zakresu zastosowa«matematyki i informatyki. Skrypt niniejszy zawiera zdecydowanie wi cej materiaªu ni» to, co mo»liwe jest do racjonalnego omówienia podczas 30-godzinnego wykªadu. Opracowuj c go kierowaªem si nadziej,»e w nieokre±lonej przyszªo±ci, w bardziej sprzyjaj cych okoliczno±ciach, w programie studiów informatyki stosowanej znajdzie si wi cej godzin na przekazanie naszym studentom podstawowej wiedzy matematycznej, bez której trudno jest twórczo i powa»nie uprawia dzi± zawód informatyka. Mam tak»e nadziej,»e lepiej zmotywowani studenci znajd czas i ochot na samodzielne studiowanie niektórych, ponadobowi zkowych cz ±ci tego skryptu. 5

6 6 SPIS TRE CI Z powodu ograniczenia czasowego wykªad w niewielkim tylko stopniu prezentuje dowody twierdze«. Zamiast tego skupiam si na ksztaªtowaniu u sªuchaczy intuicji geometrycznych i w przypadku wicze«sprawno±ci rachunkowej. Miªosz Michalski Zakªad Fizyki Matematycznej IF UMK

7 Rozdziaª I Kilka u»ytecznych nierówno±ci W matematyce nierówno±ci peªni rol prostych, u»ytecznych narz dzi, przy pomocy których uzasadniamy bardziej zªo»one wªasno±ci ci gów, szeregów lub funkcji, takie jak np. zbie»no± do okre±lonych warto±ci granicznych lub ci gªo±. W wymiarze bardziej praktycznym nierówno±ci sªu» cz sto do uzasadnienia poprawno±ci przybli»onych oblicze«oraz do oceny poziomu bª du w takich obliczeniach. W niniejszym rozdziale zapoznamy si z kilkoma klasycznymi nierówno±ciami i ich dowodami. B dziemy si do nich wielokrotnie odwoªywa w dalszej cz ±ci skryptu. Zauwa»my,»e nierówno±ci odnosz si do wielko±ci rzeczywistych, x R, dla których okre±lona jest relacja porz dku liniowego <. Ma wi c sens stwierdzenie x jest mniejsze ni» y, które trudno byªoby rozs dnie zinterpretowa, gdyby x i y byªy np. liczbami zespolonymi. Na zbiorze liczb zespolonych C nie jest bowiem okre±lona»adna naturalna, zgodna z naszymi intuicjami relacja porz dku. Elementarnym przykªadem nierówno±ci jest znana ze szkoªy ±redniej najprostsza wersja tzw. nierówno±ci trójk ta, mianowicie x + y x + y, gdzie x, y s dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a symbol oznacza warto± bezwzgl dn. Dowód tej nierówno±ci przeprowadzi mo»na poprzez szczegóªowe rozpatrzenie wszystkich mo»liwych kombinacji znaków liczb x i y i ich wielko±ci oraz stosowne dla ka»dej z tych sytuacji opuszczenie znaku warto±ci bezwzgl dnej. Jednak mniej oczywiste jest,»e taka sama nierówno± prawdziwa jest tak»e w dziedzinie zespolonej, gdy x interpretowane jest jako moduª liczby x, a wi c wielko± rzeczywista. Zobaczymy,»e obydwa te przypadki s w istocie realizacjami ogólniejszej nierówno±ci, zwanej w matematyce nierówno±ci Minkowskiego, odnosz cej si do wektorów x i y z dowolnej unormowanej przestrzeni liniowej. I. Kresy podzbiorów prostej rzeczywistej Rozpoczniemy od zaznajomienia si z bardzo u»ytecznymi poj ciami kresów podzbiorów A R. DEFINICJA. Maksimum zbioru A R, w zapisie max A, jest to liczba M A, taka,»e dla dowolnego x A zachodzi x M. Minimum zbioru A, min A, jest to liczba m A, dla której zachodzi m x dla wszelkich x A. 7

8 8 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI Istotn cech maksimum i minimum zbioru jest to,»e s one jego elementami. Istnieje wiele zbiorów nieposiadaj cych maksimum lub minimum. Najprostszym przykªadem takiego zbioru jest odcinek otwarty (0, ). DEFINICJA.2 Ka»da liczb P, tak»e dla wszystkich x A speªniona jest nierówno± x P nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A. Je±li za± P x dla wszystkich x A, wówczas P nazywamy ograniczeniem dolnym A. Zbiór ogranicze«górnych A oznaczamy symbolem Â, natomiast zbiór jego ogranicze«dolnych symbolem Ǎ. Je±li zbiór posiada maksimum i minimum, s one automatycznie jego ograniczeniami górnym i dolnym. Przedziaª A = (0, ) posiada wiele ogranicze«górnych i dolnych. Górnymi ograniczeniami s np. liczby, 2, π, 00 itp. Šatwo sprawdzi,»e  = [, ) oraz Ǎ = (, 0]. Natomiast przedziaª niewªa±ciwy B = [0, ) nie posiada ogranicze«górnych, a wi c ˆB = Ø. Z drugiej strony ˇB = (, 0]. DEFINICJA.3 Kresem górnym lub supremum zbioru A, sup A, nazywamy najmniejsze z jego ogranicze«górnych, sup A = min Â, je±li tylko  Ø. Je±li  = Ø wówczas przyjmujemy,»e sup A =. Podobnie kresem dolnym lub inmum A, w zapisie inf A, nazywamy najwi ksze w±ród jego ogranicze«dolnych, inf A = max Ǎ, je±li Ǎ Ø. Jak poprzednio, inf A =, je±li A nie posiada ogranicze«dolnych. W naszym poprzednim przykªadzie A = (0, ) mamy inf A = 0 oraz sup A =. Dla B = [0, ) mamy inf B = min B = 0 oraz sup B =. Wa»n wªasno±ci kresów jest to,»e ka»dy podzbiór R je posiada, w najgorszym razie mog one by niesko«czone. Dlatego s to z reguªy poj cia bardziej u»yteczne ni» min i max. I.2 Nierówno± Bernoulliego Nierówno±, któr zajmiemy si jako pierwsz, zostaªa sformuªowana i udowodniona przez XVII-wiecznego matematyka szwajcarskiego Jakuba Bernoulliego, czªonka bardzo znanej i zasªu»onej dla rozwoju nauk matematycznych i przyrodniczych rodziny Bernoullich. Bratankiem Jakuba byª Daniel Bernoulli (700782), któremu zawdzi czamy m.in. podwaliny wspóªczesnej hydro- i aerodynamiki a tak»e podstawy rachunku prawdopodobie«stwa. LEMAT. (Nierówno± Bernoulliego) Dla dowolnej liczby rzeczywistej x > oraz dowolnego naturalnego n zachodzi nierówno± Równo± zachodzi jedynie gdy x = 0. ( + x) n + nx. (.) Dowód. Nierówno± Bernoulliego ªatwo jest udowodni indukcyjnie. Zauwa»my bowiem,»e (.) jest trywialnie speªniona dla n =. Zaªó»my wi c,»e nierówno± ta jest prawdziwa dla pewnej liczby naturalnej n. Wówczas (+x) n+ = (+x) n (+x) (+nx)(+x) = +nx+x+nx 2 +(n+)x,

9 gdzie pierwsza z nierówno±ci powy»ej wynika z zaªo»enia indukcyjnego dla n oraz z faktu,»e czynnik + x > 0, natomiast druga jest konsekwencj opuszczenia w przedostatnim wzorze dodatniego wyrazu nx 2. Oczywi±cie wyraz ten wynosi 0 jedynie gdy x = 0, sk d równo± w (.) mo»liwa jest wyª cznie w tym wªa±nie przypadku. Nierówno± Bernoulliego pojawia si cz sto w literaturze w ogólniejszej postaci, gdy dopuszczamy równie» dodatnie niecaªkowite warto±ci wykªadnika n, mianowicie ( + x) α + αx, x >, α, (.2) ( + x) α + αx, x >, 0 < α <. (.3) Formuªy powy»sze nazywamy uogólnionymi nierówno±ciami Bernoulliego. Do ich dowodu potrzebowa b dziemy jednak troch bardziej zaawansowanych technik, dlatego przesuniemy szczegóªow dyskusj na ten temat do podrozdziaªu IV.3. I.3 Nierówno± Cauchy'ego Kolejna nierówno± udowodniona zostaªa przez genialnego matematyka francuskiego Augustina L. Cauchy'ego (789857), który w I poªowie XIX wieku stworzyª rygorystyczne podstawy wspóªczesnej analizy matematycznej. Nazwisko tego matematyka pojawia si b dzie wielokrotnie podczas naszego wykªadu. Zacznijmy od sformuªowania i krótkiego omówienia nierówno±ci Cauchy'ego. Jej dowód poka»e,»e mimo pozornie bardziej skomplikowanej postaci, nierówno± ta jest w istocie równowa»na poznanej przez nas przed chwil nierówno±ci Bernoulliego. Prawdziwo± nierówno±ci Cauchy'ego udowodnimy wykorzystuj c nierówno± Bernoulliego, a nast pnie przekonamy si,»e zachodzi tak»e implikacja odwrotna: nierówno± Bernoulliego oka»e si szczególnym przypadkiem nierówno±ci Cauchy'ego. LEMAT.2 (Nierówno± Cauchy'ego) Niech a, a 2,..., a n b d nieujemnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas zachodzi nast puj ca nierówno± : n a a 2 a n a + a a n n 9. (.4) Równo± w powy»szym wzorze zachodzi wyª cznie wtedy, gdy a = a 2 = = a n. Zanim przejdziemy do dowodu, zauwa»my,»e wielko±ci wyst puj ce w (.4) s dobrze znane: s to ±rednie geometryczna (G n ) i arytmetyczna (A n ) obliczone dla ukªadu n nieujemnych liczb. Je±li dodatkowo zaªo»ymy,»e»adna z liczb a i nie jest zerem, mo»emy policzy tak»e ich ±redni harmoniczn, H n = ( a + a ) a n. (.5) n Jest to jak wida odwrotno± ±redniej arytmetycznej odwrotno±ci poszczególnych liczb a i. Okazuje si,»e nierówno± Cauchy'ego mo»na uzupeªni do nast puj cej nierówno±ci podwójnej: H n G n A n, (.6)

10 0 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI jednak pierwsza z nich jest tylko prost konsekwencj tej drugiej oryginalnej nierówno±ci Cauchy'ego. Stwierdzamy to bªyskawicznie zapisuj c nierówno± Cauchy'ego dla liczb postaci a i : n a a 2 a n = n a a 2 a n a + a a n n, czyli G n H n, co wobec zaªo»onej dodatnio±ci wszystkich liczb jest równowa»ne relacji H n G n. Dowód. Istnieje bardzo wiele ró»nych dowodów nierówno±ci Cauchy'ego. Przytoczony tu bardzo zgrabny dowód pochodzi z ksi»ki []. B dziemy u»ywa oznaczenia A k na ±redni arytmetyczn pocz tkowych k elementów ci gu a,..., a n. W szczególno±ci A = a. Zauwa»my na pocz tek,»e je±li a = = a n, wówczas oczywi±cie G n = A n. Je±li za± niektóre (lecz nie wszystkie) a i = 0, wówczas z pewno±ci 0 = G n < A n. Zaªó»my wi c,»e 0 nie wyst puje w ci gu a i, a zatem a i > 0 dla i =,..., n. Wówczas wszystkie liczby A k > 0, a wi c tak»e A k A k > 0 sk d A k A k >. (.7) Mo»emy zatem zastosowa nierówno± Bernoulliego dla n = k podstawiaj c w niej w roli x liczb A k A k. Otrzymujemy kolejno ( + x) k = ( Ak A k ) k + k ( ) Ak A k = A k + ka k ka k A k = ka k (k )A k A k = a k A k, gdzie w ostatnim kroku skorzystali±my z oczywistej równo±ci ka k = a + + a k. Mno» c lew i prawa stron powy»szej nierówno±ci przez A k k otrzymujemy A k k a k A k k. Nierówno± ta jest jednakowo prawdziwa dla k = 2, 3,..., n, st d przez iteracj otrzymujemy A n n a n A n n a n a n A n 2 n 2 a n a 2 A = a n a 2 a = G n n. (.8) Zatem, wyci gaj c z obydwu stron n-ty pierwiastek udowadniamy,»e A n G n. Pozostaje jeszcze przekona si,»e równo± A n = G n jednoznacznie poci ga za sob a =... = a n. Je±li wi c A n = G n, to tak»e wszystkie nierówno±ci w (.8) przechodz w równo±ci, a wi c ka»da z u»ytych tam nierówno±ci Bernoulliego musiaªa

11 by równo±ci. To za± oznacza, zgodnie z Lematem.,»e x = A k = A k dla wszystkich k =,..., n. Zatem kolejno mamy a = A = A 2 = a + a 2 2, A k A k = 0, a wi c sk d a 2 = a. Nast pnie a wi c a 3 = a i dalej podobnie a» do n. a = A 2 = A 3 = 2a + a 3 3, Wyka»emy na koniec,»e prawdziwo± nierówno±ci Bernoulliego mo»na wywnioskowa z nierówno±ci Cauchy'ego, bowiem t pierwsz mo»na uwa»a w istocie za szczególny przypadek drugiej. Niech x >. Przyjmijmy nast puj ce dane: x = + nx, x 2 = = x n =. Je±li x 0 (co oznacza,»e x ), wówczas zapisuj c dla nich nierówno± n Cauchyego n ( + nx) + nx n = n + nx n = + x, po podniesieniu obu stron do n-tej potegi otrzymamy nierówno± Bernoulliego. Je±li za± < x < n, wówczas x < 0 i tym samym u»ycie nierówno±ci Cauchy'ego jest niemo»liwe. Jednak wówczas nierówno± Bernoulliego jest oczywista bez dowodu, mamy bowiem ( + x) n > 0 > + nx. I.4 Nierówno±ci Cauchy'ego-Schwarza i Höldera Pierwsza z wymienionych w tytule podrozdziaªu nierówno±ci wyst puje w literaturze matematycznej pod wieloma innymi nazwami: Schwarza, BuniakowskiegoSchwarza lub Cauchy'egoBuniakowskiegoSchwarza. Bez w tpienia Cauchy byª pierwszym, który udowodniª najprostsz jej posta dla sko«czonych sum liczbowych, natomiast»yj cy pó¹niej Buniakowski i Schwarz zajmowali si nieco ogólniejsz wersj tej nierówno±ci w postaci caªkowej. Nierówno± ta jest z kolei szczególnym przypadkiem jeszcze ogólniejszej nierówno±ci Höldera (Otto Hölder byª wybitnym matematykiem niemieckim»yj cym w latach ). LEMAT.3 (Nierówno±ci Cauchy'ego-Schwarza i Höldera) Niech p, q > b d liczbami takimi,»e p + q =. Wówczas dla dowolnych dwóch ci gów liczb a a 2,..., a n oraz b, b 2,..., b n zachodzi nast puj ca nierówno± n a i b i n p a i p q n i= i= i= b i q (.9) zwana nierówno±ci Höldera. W szczególnym przypadku p = q = 2 nosi ona nazw nierówno±ci Cauchy'ego-Schwarza.

12 2 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI Nierówno± Schwarza podawana jest najcz ±ciej w równowa»nej postaci kwadratowej ( n ) 2 ( n ) ( n ) a i b i a 2 i b 2 i, (.0) i= i= i= bez warto±ci bezwzgl dnych wokóª a i i b i. Dla ogólnej nierówno±ci Höldera u»ycie warto±ci bezwzgl dnych jest istotne, poniewa» liczby p i q w niej wyst puj ce przewa»nie nie s caªkowite, a mog by nawet niewymierne. Wówczas okre±lenie warto±ci a p i, b q i mogªoby by problematyczne, gdyby a i b d¹ b i byªy ujemne. O ile dowód nierówno±ci Schwarza jest bardzo prosty, przekonamy si,»e uzasadnienie nierówno±ci Höldera wymaga znacznie wi cej wysiªku. Rozwa»my proste wyra»enie n (a i x + b i ) 2. i= Jako suma kwadratów jest ono nieujemne dla dowolnej warto±ci x. Podnosz c kolejne skªadniki do kwadratu i grupuj c wyrazy z identycznymi pot gami x otrzymamy Ax 2 + 2Bx + C 0, gdzie wprowadzili±my oznaczenia A = i a 2 i, B = i a i b i oraz C = i b 2 i. Staªy dodatni znak tego trójmianu oznacza,»e musi zachodzi 4B 2 4AC 0 a st d natychmiast odczytujemy nierówno± Cauchy'ego-Schwarza dla ci gów liczb a i oraz b i. Przejdziemy obecnie do dowodu nierówno±ci Höldera. Dowód. Skorzystamy tu z uogólnionej nierówno±ci Bernoulliego dla 0 < α < : ( + x) α + αx. Przyjmijmy +x = a oraz β = α. Poniewa» x > mo»emy przyj,»e obydwie b liczby a i b s dodatnie. Przepisuj c nierówno± Bernoulliego mamy ( ) a α ( ) a + α b b. Mno» c obie strony przez b α otrzymujemy a α b α + αab α αb α = b α ( α) + αab α. Nast pnie mno»ymy obie strony przez b β pami taj c,»e β = α : a α b β αa + βb. Wprowad¹my oznaczenia p = i q =. Oczywi±cie mamy wówczas p, q > i α β + =. Je±li teraz napiszemy w miejsce a i b odpowiednio a p i b q, ostatnia p q nierówno± zamieni si na a b p ap + q bq. (.)

13 Przypomnijmy: nierówno± ta zachodzi dla dowolnych liczb nieujemnych a i b oraz dla p, q > takich,»e p + q =. We¹my obecnie liczby a,..., a n i b,..., b n. Zaªo»ymy na pocz tek dla wygody,»e liczby te nie s caªkiem dowolne, ale»e speªniaj równo±ci 3 n a i p = i= n i= b i q =. (.2) Zobaczymy za chwil,»e zaªo»enie to mo»na ªatwo opu±ci. Dla kolejnych par a i, b i zapiszmy nierówno±ci (.) a b p a p + q b q a n b n p a n p + q b n q. Sumuj c je stronami i uwzgl dniaj c zaªo»enie (.2) oraz zwi zek p + q = uzyskujemy n i= a i b i. (.3) Zauwa»my,»e przy zaªo»eniu (.2) jest to w istocie kompletna nierówno± Höldera, w której prawa strona jest iloczynem dwóch jedynek. Przyjmijmy z kolei,»e (.2) nie jest speªnione, tj.»e A = n a i p lub B = i= n b i q, i= i zmodykujmy nasze wyj±ciowe liczby a i oraz b i przeskalowuj c je nast puj co: ã i = a i p A, bi = b i q B Oczywi±cie dla tych liczb warunek (.2) jest automatycznie speªniony, a zatem zachodzi dla nich (.3), czyli n ã i bi = i= n i= a i p A b i q B. Je±li teraz pomno»ymy obie strony przez iloczyn p A q B, otrzymamy ostatecznie nierówno± Höldera w ogólnym przypadku. I.5 Nierówno± Minkowskiego Zajmiemy si z kolei wa»n w matematyce nierówno±ci Minkowskiego. Hermann Minkowski byª niemieckim matematykiem urodzonym w 864 r. w Kownie na Litwie w rodzinie polsko-»ydowskiej. Na przeªomie wieków pracowaª w Zurychu, gdzie

14 4 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI byª wykªadowc Einsteina. Znany jest przede wszystkim z wprowadzenia eleganckiego j zyka geometrii do zyki, zwªaszcza do szczególnej teorii wzgl dno±ci. Jak zobaczymy, omawiana tu nierówno± Minkowskiego posiada bardzo intuicyjn geometryczn interpretacj. Dla ustalonej warto±ci wska¹nika n N o ci gach liczb a..., a n wygodnie jest my±le jako o wektorach a = [a,..., a n ] z przestrzeni liniowej R n lub C n wyra»onych w ustalonej ortogonalnej bazie. Wprowad¹my oznaczenie a p = n p a i p, (.4) gdzie p. Wielko± t nazywamy p-norm wektora a i interpretujemy jako miar jego dªugo±ci. Zauwa»my,»e u»ycie w powy»szym wzorze warto±ci bezwzgl dnych (lub moduªów w przypadku zespolonym) zwalnia nas z obowi zku dbania o nieujemno± liczb a i. Dla p = prawa strona wzoru redukuje si do i a i. LEMAT.4 (Nierówno± Minkowskiego) Dla dowolnych wektorów a, b w przestrzeni R n i dowolnej liczby p zachodzi i= a + b p a p + b p. (.5) Równo± zachodzi wyª cznie wtedy, gdy wektory a i b s wspóªliniowe, to jest gdy a = λb dla pewnego λ R lub C. Y a + b Przyjrzyjmy si tej nierówno±ci w prostym przypadku, gdy n = 2 i p = 2 oraz a i R. Wówczas a 2 = a 2 + a 2 2 jest zwykª, znan z geometrii analitycznej, euklidesow miar dªugo±ci wektora, a nierówno± Minkowskiego wyra»a oczywist relacj mi dzy dªugo±ciami boków trójk ta, jak na Rys... Posªuguj c si codzienb X a Z Rys..: Ilustracja nierówno±ci trójk ta nym j zykiem wypowiemy to nast puj co: odlegªo± jak pokonujemy poruszaj c si z punktu X do punktu Y jest najmniejsza je±li przebywamy t drog bezpo±rednio (tj. wzdªu» wektora a + b), bez odwiedzania po drodze jakiegokolwiek punktu po±redniego Z. Tak wi c nierówno± Minkowskiego uogólnia intuicyjn nierówno± trójk ta z przestrzeni euklidesowej, formuªuj c j w kontek±cie bardziej ogólnych miar dªugo±ci w R n i C n. Jej dowód wykorzystuje nierówno± Höldera.

15 Dowód. Je±li p =, nierówno± Minkowskiego przyjmuje szczególnie prost posta 5 n a i + b i i= n a i + i= n b i, i= któr uzasadniamy stosuj c zwykª nierówno± dla moduªów, a i + b i a i + b i, do ka»dego ze skªadników. Niech wi c p >. a + b p p = n a i + b i p = n a i + b i p a i + b i i= i= n a i a i + b i p + n b i a i + b i p i= i= Do ka»dej z obydwu sum w powy»szym wzorze zastosujemy nierówno± Höldera dobieraj c do p staª q tak aby + =. Mamy zatem p q oraz n a i a i + b i p n p a i p q n ( a i + b i p ) q i= i= i= n b i a i + b i p n p b i p q n ( a i + b i p ) q. i= i= i= Š cz c 3 ostatnie nierówno±ci oraz uwzgl dniaj c fakt,»e (p )q = p otrzymujemy a + b p p ( a p + b p ) a + b p/q p, a wi c po obustronnym podzieleniu przez drugi czynnik po prawej stronie a + b p a p + b p. Udowodnienie,»e równo± obydwu stron zachodzi dokªadnie wtedy, gdy wektory a i b s liniowo zale»ne pozostawiamy jako zadanie na wiczenia. I.6 Nierówno± Jensena Johan Ludvig Jensen (858925) byª du«skim in»ynierem, dyrektorem technicznym kopenhaskiej telefonii. Matematyk zajmowaª si w wolnym czasie dla wªasnej przyjemno±ci. Zawdzi czamy mu mi dzy innymi bardzo wa»n nierówno± opisuj c ogólne wªasno±ci tzw. funkcji wypukªych. Nierówno± Jensena ma charakter fundamentalny, mo»na z niej bowiem wyprowadzi wszystkie omówione przez nas wcze±niej nierówno±ci jako jej przypadki szczególne. Dzieje si tak poniewa» nierówno±ci te odnosz si do szczególnych funkcji wypukªych, a wszystkie one podlegaj nierówno±ci Jensena. Z wa»nymi zastosowaniami tej nierówno±ci spotkacie si Pa«- stwo tak»e w statystyce i rachunku prawdopodobie«stwa. Rozpocznijmy od denicji wypukªo±ci w najprostszym przypadku funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.

16 6 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI DEFINICJA.4 Mówimy,»e funkcja f : R R jest wypukªa na zawartym w jej dziedzinie przedziale [a, b], je±li dla dowolnych x, y [a, b] oraz dla ka»dej liczby 0 α zachodzi nierówno± f ( αx + ( α)y ) αf(x) + ( α)f(y). (.6) Je±li przy zaªo»eniach jak wy»ej zachodzi nierówno± odwrotna, wówczas funkcj tak nazywamy wkl sª na [a, b]. Odwoªajmy si do sugestywnej interpretacji geometrycznej wypukªo±ci: nierówno± (.6) oznacza,»e ci ciwa poprowadzona mi dzy punktami P = (x, f(x)) i Q = (y, f(y)) na wykresie funkcji le»y nad tym wykresem (lub pod nim w przypadku funkcji wkl sªej), p. Rys. (.2). R Q P a x z y b Rys..2: Przebieg funkcji wypukªej. Punkt z = αx + ( α)y dla ró»nych warto±ci α przesuwa si mi dzy punktami x i y. Warto± f(z) odpowiada lewej stronie nierówno±ci (.6), natomiast warto± rz dnej w punkcie R na ci ciwie jej prawej stronie. Przejdziemy teraz do sformuªowania i udowodnienia nierówno±ci Jensena. LEMAT.5 (Nierówno± Jensena) Je±li f jest funkcj wypukª na przedziale [a, b], wówczas dla dowolnych liczb 0 α,..., α n speªniaj cych warunek α + + α n = oraz dla dowolnych x,..., x n [a, b] zachodzi nierówno± f(α x + + α n x n ) α f(x ) + + α n f(x n ). (.7) Dla funkcji wkl sªych nierówno± zachodzi w przeciwn stron. Dowód. Nierówno± Jensena udowodnimy indukcyjnie. Dla n = 2 jest nierówno± jest to»sama z denicj wypukªo±ci, zachodzi wi c z zaªo»enia dla f. Zaªó»my indukcyjnie,»e (.7) zachodzi dla pewnego naturalnego n i rozwa»my nieujemne liczby α + + α n+ = oraz dowolne x,..., x n+ [a, b]. Otrzymujemy kolejno f ( ) α x + + α n x n + α n+ x x+ ( = f α x + + α n x n + (α n + α n+ ) ( ) ) α n α n +α n+ x n + α n+ α n +α n+ x n+

17 a wi c na podstawie zaªo»enia indukcyjnego... α f(x ) + + α n f(x n ) + (α n + α n+ )f ( α n α n+α n+ x n + α n+ α n+α n+ x n+ ) i dalej, z denicji wypukªo±ci f w zastosowaniu do ostatniego skªadnika [ ]... α f(x )+ +α n f(x n ) + (α n +α n+ ) α n α n +α n+ f(x n ) + α n+ α n +α n+ f(x n+ ). Otwieraj c kwadratowy nawias otrzymujemy praw stron nierówno±ci Jensena. I.7 Zadania do rozdziaªu I 7 Zadanie Udowodni podwójn nierówno± n n n! n + 2 Rozwi zanie. Druga z nierówno±ci wynika wprost z formuªy Cauchy'ego G n A n dla ci gu x k = k, k =,..., n. Pierwsz udowodnimy przez indukcj. Dla n = 2 mamy po prostu 2 2. Poka»emy równowa»nie,»e (n + ) n+ ( (n + )! ) 2, zakªadaj c,»e powy»sza nierówno± zachodzi dla n. Mamy wi c (n + ) (n+) = (n + ) n (n + ) = ( n n + n i st d na podstawie zaªo»enia indukcyjnego. ) n(n + ) = n n ( + n) n(n + )... (n!) 2 ( + n) n(n + ). (.8) Wyka»emy teraz pomocniczo równie» przez indukcj,»e ( + n) n n +. Nierówno± ta jest trywialnie prawdziwa dla n =. Dalej, zakªadaj c jej prawdziwo± dla pewnego n, ( + ) n+ = n + ( + )( n + ( + n + Wracaj c do (.8), mamy ostatecznie + n + ) (n + ) = n + 2. ) n ( + )( + ) n n + n (n + ) (n+) (n!) 2 (n + ) 2 = ( (n + )! ) 2.

18 8 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI Zadanie 2 Udowodni,»e dla dodatnich liczb a,..., a n speªniaj cych warunek a a 2 a n = zachodzi a + a a n n. Zadanie 3 Pokaza,»e je±li liczby dodatnie a,..., a n speªniaj warunek a + + a n, wówczas a + a n n 2. Zadanie 4 Pokaza,»e dla dowolnej liczby naturalnej n zachodz nast puj ce nierówno±ci: (a) n + n n > 2 3 ; (b) n + + n n + > ; (c) 2 < 3n + + 3n n + < 2 3. Zadanie 5 Je±li a k > 0, k =,..., n speªniaj warunek a a 2 a n =, wówczas ( + a )( + a 2 ) ( + a n ) 2 n. Wskazówka: skorzysta z nierówno±ci Cauchy'ego Zadanie 6 ak +a k 2. Pokaza,»e równo± lewej i prawej strony w nierówno±ci Minkowskiego (.5) zachodzi dokªadnie wtedy, gdy wektory a i b s liniowo zale»ne. Zadanie 7 Wyprowadzi nierówno± Cauchyego G n A n z nierówno±ci Jensena. Rozwi zanie. Wykorzystamy fakt,»e funkcja wykªadnicza f(x) = 2 x jest wypukªa na R. Niech a a 2,..., a n > 0. Oznaczmy b k = log 2 a k, st d f(b k ) = a k. Przyjmijmy ponadto α = = α n =. Na podstawie nierówno±ci Jensena dla f n 2 n b + + n b n n 2b + + n 2bn. Przeksztaªcaj c lew stron tej nierówno±ci otrzymujemy 2 n b + + n b n = 2 n k log 2 a k = ( 2 log 2 k k) a /n = n a a n = G n, za± prawa strona jest równa ±redniej arytmetycznej liczb a k.

19 Rozdziaª II Ci gi i szeregi W tym rozdziale zajmiemy si teori granic ci gów i szeregów liczbowych oraz praktycznymi metodami ich wyznaczania. Granica i przechodzenie do granicy s bardzo wa»nymi, elementarnymi poj ciami w analizie matematycznej: wystarczy wspomnie,»e wi kszo± obiektów i konstrukcji matematycznych wykorzystuje w swoich denicjach przej±cia graniczne. W pierwszym podrozdziale postaramy si przedstawi poj cie zbie»no±ci i granicy ci gu przez odwoªanie si do intuicji geometrycznych. Nasz dyskusj poprowadzimy w abstrakcyjnym j zyku przestrzeni metrycznych, wydaje si bowiem,»e ªatwiej jest zrozumie w ten sposób istot poj cia zbie»no±ci i granicy oraz nauczy si operowa nimi w ró»nych kontekstach, ogólniejszych ni» raczej specyczna zbie»no± w zbiorze liczb rzeczywistych. Podrozdziaª drugi po±wi cony b dzie twierdzeniom o zbie»no- ±ci ci gów w ogólnych przestrzeniach metrycznych. Dopiero w podrozdziale trzecim zajmiemy si ci gami liczb rzeczywistych i zobaczymy, jak specyczna struktura algebraiczna i porz dkowa tej przestrzeni pozwala na sformuªowanie bardziej szczegóªowych twierdze«i technik badania zbie»no±ci ci gów. Szczególnej uwadze czytelnika polecamy metody obliczania granic ci gów zadanych rekurencyjnie, opisane w podrozdziale czwartym. Ci gi takie powstaj bardzo cz sto w procesach obliczeniowych opartych o iteracyjne metody wyznaczania rozwi za«niektórych równa«. Analiza poprawno±ci algorytmów tego typu powinna zawiera werykacj zbie»no- ±ci metody do oczekiwanego rozwi zania. Dalsza cz ± rozdziaªu po±wi cona b dzie teorii szeregów liczbowych. Pod poj ciem ci gu w zbiorze X rozumie b dziemy od tej chwili niesko«czony i uporz dkowany zbiór elementów z X, {x, x 2, x 3,...}, przy czym uporz dkowanie zadane jest przez jednoznaczn numeracj elementów ci gu liczbami n =, 2, 3,... Innymi sªowy, ci g jest po prostu funkcj okre±lon na zbiorze liczb naturalnych o warto±ciach w zbiorze X, a wi c x : N X, gdzie dla prostoty u»ywamy zapisu x n zamiast tradycyjnej funkcyjnej notacji x(n). W roli zbioru X najcz ±ciej wyst powa b dzie zbiór liczb rzeczywistych R lub zespolonych C, ale na wst pie zajmiemy si bardziej ogólnym przypadkiem. W szczególno±ci X mo»e by zbiorem punktów pªaszczyzny R 2 lub 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej R 3, a nawet w bardziej zaawansowanych zastosowaniach zbiorem funkcji, np. ci gªych na odcinku [a, b]. W numerycznych zastosowaniach cz sto konstruuje si wªa±nie ci gi wielomianów przybli»aj cych pewn interesuj c, ale kªopotliw w bezpo±rednim obliczaniu funkcj. 9

20 20 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI II. Zbie»no± w przestrzeniach metrycznych Wyobra¹my sobie niesko«czony ci g punktów P, P 2,... rozrzuconych na pªaszczy¹nie. Je±li ci g taki mieliby±my okre±li jako zbie»ny, intuicja podpowiada nam,»e kolejne jego punkty powinny stopniowo skupia si w jednym miejscu. Spróbujmy nada temu ostatniemu poj ciu bardziej precyzyjne znaczenie. Miejsce na pªaszczy¹nie wyznaczone jest przez punkt, nazwijmy go Q. Odwoªuj c si do tego punktu (np. przez wspóªrz dne, je±li zostaªy ustalone) okre±lamy dokªadne poªo»enie miejsca, na ogóª jednak my±limy nie o samym punkcie, lecz tak»e o niewielkim jego otoczeniu. Samo skupianie si elementów P i naszego ci gu w otoczeniu punktu Q nabiera precyzyjnego znaczenia, je±li opiszemy je jako proces zbli»ania si, a wi c zmniejszania odlegªo±ci mi dzy kolejnymi punktami P i a punktem Q (zauwa»my przy okazji,»e odlegªo±ci mi dzy samymi punktami P i tak»e b d malaªy). Chc c zatem opisa poj cie zbie»no±ci w sposób matematycznie precyzyjny a zarazem dostatecznie ogólny, musimy okre±li w zbiorze punktów, gdzie ta zbie»no± ma zachodzi sposób mierzenia odlegªo±ci, a wi c oceny, co to znaczy blisko b d¹ daleko. Nasz zbiór punktów albo inaczej przestrze«, w której realizowa si b dzie zbie»no±, nie musi by pªaszczyzn, a wi c tak»e mówi c odlegªo± nie powinni±my my±le o»adnej konkretnej jej mierze. Denicja przestrzeni metrycznej, do sformuªowania której zmierzamy, nie narzuca konkretnego sposobu pomiaru odlegªo±ci, natomiast postuluje trzy elementarne wªasno±ci, które ka»da rozs dna miara odlegªo±ci posiada powinna. S to najprostsze wªasno±ci takiej miary zakorzenione w naszej intuicji geometrycznej. DEFINICJA 2. Przestrzeni metryczn (X, d) nazywamy zbiór X wraz funkcj d: X X R + zwan metryk (lub odlegªo±ci ), która ka»dej parze punktów z X przyporz dkowuje nieujemn liczb rzeczywist i posiada przy tym nast puj ce wªasno±ci: (i) Dla dowolnego x X d(x, x) = 0; ponadto je±li d(x, y) = 0, wówczas x = y. (ii) Dla ka»dej pary punktów x, y X zachodzi d(x, y) = d(y, x). (iii) Dla dowolnych punktów x, y, z X zachodzi d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Wªasno± (i) stwierdza,»e odlegªo± punktu od samego siebie jest zawsze zerowa. Dalsza jej cz ± orzeka,»e zerowa odlegªo± mo»liwa jest wyª cznie mi dzy punktem x a nim samym, a wi c»e odlegªo± dwóch ró»nych punktów nie mo»e wynosi 0. Wªasno± (ii) zwana symetri funkcji d stwierdza,»e kierunek pomiaru odlegªo±ci jest nieistotny. Nie dziwi nas przecie»,»e np. z Torunia do Bydgoszczy jest tak samo daleko jak z Bydgoszczy do Torunia. Wªasno± (iii) to tzw. nierówno± trójk ta. Mówi ona,»e odlegªo± liczona z punktu x do z bezpo±rednio jest najmniejsza. Jej pomiar przez jakikolwiek punkt po±redni y zawsze zwróci wynik niemniejszy ni» d(x, z). W zadaniach na ko«cu tego rozdziaªu podamy przykªady ciekawych przestrzeni metrycznych. Powtórzmy: denicja ta charakteryzuje minimalne wªasno±ci, jakie musi posiada sensowna miara odlegªo±ci mi dzy punktami przestrzeni. Dzi ki niej b dziemy za chwil mogli zdeniowa poj cie zbie»no±ci i granicy ci gu w sposób ogólny, abstrahuj cy od tego, czy b dziemy mieli na my±li zbie»no± ci gów liczb rzeczywistych,

21 zbie»no± na pªaszczy¹nie zespolonej, w R 3, czy te» np. zbie»no± ci gów funkcji. W ka»dym z tych przypadków inna jest przestrze«x, a wi c inny jest te» sposób mierzenia w niej odlegªo±ci, lecz charakteryzacja ci gów zbie»nych jest podobna. Przykªad 2. Przestrzenie liniowe R n i C n, n s klasycznymi przykªadami przestrzeni metrycznych z miar odlegªo±ci dan przez dowoln p-norm (.4), d(x, y) = x y p = n p x k y k p. Funkcja d posiada oczywi±cie wymagane wªasno±ci (i) oraz (ii) metryki. Speªnia tak»e nierówno± trójk ta (iii) jest to bªyskawiczna konsekwencja nierówno±ci Minkowskigo. Denicja ci gu zbie»nego i jego granicy, któr obecnie sformuªujemy, pochodzi od A. Cauchy'ego. DEFINICJA 2.2 Niech dany b dzie niesko«czony ci g punktów x, x 2,... w przestrzeni metrycznej (X, d). Je±li istnieje punkt g X taki,»e k= ε > 0 N N n > N d(x n, g) < ε, (2.) wówczas mówimy,»e ci g x n jest zbie»ny do granicy g, co zapisujemy symbolicznie lim x n = g lub x n g. n n Gdy nie prowadzi to do niejasno±ci, opuszczamy cz sto indeks n pod symbolem lim pisz c po prostu lim x n = g. Zauwa»my jeszcze,»e ka»dy zbie»ny ci g {x n } w przestrzeni metrycznej (X, d) deniuje zbie»ny do 0 ci g liczb rzeczywistych: r n = d(x n, g). Tak wi c zbie»no± lim x n = g zapisujemy czasem równowa»nie jako lim d(x n, g) = 0. Dla niewprawionego czytelnika notacja z kwantykatorami mo»e stanowi pewne utrudnienie w zrozumieniu sensu denicji. Spróbujmy wi c zinterpretowa (2.). Nierówno± d(x n, g) < ε oznacza,»e w naszej przestrzeni metrycznej x n znajduje si w pobli»u punktu g, przy czym blisko± t charakteryzuje parametr ε. Zbiór wszystkich punktów w X le» cych w odlegªo±ci mniejszej ni» ε od g opisany podobn nierówno±ci, K ε (g) = { x X : d(x, g) < ε }, jest wªa±nie takim niewielkim s siedztwem (lub otoczeniem) g. Przez analogi z geometri przestrzeni euklidesowej R 3 ten zbiór nazywamy kul otwart o ±rodku w punkcie g i promieniu ε. W zadaniach na ko«cu rozdziaªu przekonamy si,»e ksztaªt kuli zale»y od sposobu mierzenia odlegªo±ci w X, a wi c od postaci funkcji d. Wracaj c do naszej denicji, kwantykatory w (2.) pozwalaj nam zwi ¹le wysªowi wªasno± zbie»nego ci gu x n polegaj c na tym,»e w dowolnie maªej kuli wokóª g (wyznaczonej przez swobodny wybór promienia ε) znajdziemy wszystkie bez wyj tku wyrazy ci gu x n o dostatecznie wysokich numerach, a konkretnie wy»szych ni» 2

22 22 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI pewna liczba N. Je±li wi c jakie± elementy naszego ci gu nie mieszcz si w wybranej kuli, wówczas ich numery nie mog przekracza N, a zatem jest ich sko«czenie wiele nie wi cej ni» N. Sama liczba N zale»y na ogóª od wyboru ε: im mniejsza kula wokóª g, tym wi cej elementów ci gu le»e mo»e poza ni, a wi c tym wi ksza jest liczba N. Wa»ne jest jednak to,»e w ka»dym wypadku jest to liczba sko«czona. W matematyce cz sto operujemy niesko«czonymi zbiorami obiektów posiadaj - cych pewn wspóln wªasno±. Je±li porzucaj c drobiazgowo± dopuszczamy nieliczne wyj tki od tej wspólnej reguªy, a precyzyjniej sko«czenie wiele takich wyj tków, mówimy wówczas krótko,»e prawie wszystkie elementy zbioru posiadaj postulowan cech. Np. prawdziwe jest stwierdzenie,»e prawie wszystkie liczby pierwsze s nieparzyste (bo jedynie liczba 2 narusza t zasad ) lub,»e prawie wszystkie liczby naturalne speªniaj relacj n 2 < 2 n (nie speªniaj jej bowiem liczby n = 2, 3, 4). Natomiast nieprawdziwe jest stwierdzenie,»e pierwiastki kwadratowe z prawie wszystkich liczb naturalnych s niewymierne, poniewa» nie jest to prawd dla niesko«czenie wielu liczb b d cych kwadratami, n =, 4, 9, 6, 25,... U»ywaj c powy»szej terminologii mo»emy zwi ¹le wysªowi denicj zbie»no±ci nast puj co: lim n x n = g, gdy w ka»dej, niewa»ne jak maªej, kuli wokóª g le» prawie wszystkie wyrazy ci gu x n. Przykªad 2.2 Przeanalizujmy jak ogólna metryczna denicja granicy ci gu realizuje si w najprostszym przypadku, gdy X = R oraz d(x, y) = x y. Przekonamy si,»e granic ci gu x n = jest 0. Niech wi c ε > 0 b dzie dowolne. Kul K n ε(0) jest w tym wypadku przedziaª otwarty ( ε, ε), a badanie czy element ci gu x n le»y w tej kuli sprowadza si do nierówno±ci x n 0 < ε czyli równowa»nie n < ε. Zero jest granic ci gu x n, je±li nierówno± ta zachodzi dla wszystkich bez wyj tku n powy»ej pewnej warto±ci N. Dla odwrotno±ci otrzymujemy równowa»nie n >, a ε wi c poszukiwane N = [ ] ε, gdzie [x] oznacza cz ± caªkowit x. Wszystkie wyrazy ci gu pocz wszy od n = N + le» wi c w kuli K n ε(0), a zatem 0. n Dla odmiany podamy teraz prosty przykªad ci gu, który nie posiada granicy. Obierzmy w przestrzeni metrycznej X dwa ró»ne punkty A i B. Jako»e A B, mamy wi c d(a, B) = r > 0. Nasz ci g utworzymy teraz nast puj co: P k = A, gdy k jest nieparzyste oraz P k = B, gdy k jest parzyste, a wi c ci g ten ma posta A, B, A, B,... Twierdzimy, i» nie jest to ci g zbie»ny, a wi c nie istnieje dla niego punkt graniczny g. Sprawd¹my najpierw,»e A nie mo»e by jego granic. W tym celu wybierzmy ε < r i rozwa»my kul K 2 ε(a). Oczywi±cie B K ε (A). Poniewa» wszystkie wyrazy ci gu o numerach parzystych P k = B le» na zewn trz tej kuli, nieprawd jest, jakoby zawieraªa ona prawie wszystkie jego wyrazy. Identyczne rozumowanie pokazuje,»e B równie» nie mo»e by t granic. Czy jakikolwiek inny punkt C mógªby ni by? Wybieraj c ε < min{d(a, C), d(b, C)} przekonujemy si natychmiast,»e kula K ε (C) nie zawieraªaby w ogóle elementów ci gu, wi c C granic by nie mo»e. W bardzo podobny sposób dowodzi si nast puj cego prostego faktu.

23 23 LEMAT 2. Ci g mo»e posiada co najwy»ej jedn granic. Gdyby bowiem g g 2 miaªy by dwoma granicami tego samego ci gu, wówczas wystarczyªoby wybra ε mniejszy ni» poªowa odlegªo±ci mi dzy g a g 2, dla którego ka»da z rozª cznych kul K ε (g ) i K ε (g 2 ) musiaªaby zawiera prawie wszystkie wyrazy ci gu, a to oczywi±cie nie jest mo»liwe. Zako«czymy ten podrozdziaª denicj tzw. punktu skupienia zbioru w przestrzeni metrycznej. Poj cie to ma wiele wspólnego z poj ciem granicy ci gu. DEFINICJA 2.3 Niech A b dzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Mówimy,»e p X jest punktem skupienia zbioru A, je±li ε > 0 q A taki,»e q p oraz d(q, p) < ε. Mówi c pro±ciej, w dowolnie maªej odlegªo±ci od punktu skupienia p znajduj si zawsze jakie± punkty zbioru A inne ni» p. Sam punkt p mo»e, lecz nie musi, nale»e do A. Oto prosty przykªad: je±li A = (0, ) R, ka»da z liczb p [0, ] jest jego punktem skupienia. O ile granica ci gu jest zawsze punktem skupienia zbioru jego elementów (z wyª czeniem ci gów staªych), to jednak punkt skupienia ci gu nie musi by jego granic, por. zadanie 4. Prawd jest natomiast,»e je±li p jest punktem skupienia zbioru A, wówczas z elementów A mo»na zbudowa ci g zbie»ny do p. II.2 Ci gi i ich granice: podstawowe wªasno±ci W tym podrozdziale opiszemy najprostsze wªasno±ci ci gów w ogólnych przestrzeniach metrycznych. Cz sto z powodów praktycznych nie interesujemy si caªym ci giem {x n }, a jedynie pewnym jego niesko«czonym podci giem. Przykªadem podci gu {x n } mo»e by ci g zªo»ony wyª cznie z wyrazów o numerach parzystych, {x 2k : k =, 2,...} lub ci g zªo»ony z tych elementów x n, których numery s liczbami pierwszymi, n = p k, k =, 2,... Istotne jest, aby podci g, jakkolwiek go wybierzemy, zawieraª niesko«czenie wiele wyrazów. O ci gu {x n } (zbie»nym lub nie) powiemy,»e jest ograniczony, je±li istnieje kula K r (S) w przestrzeni metrycznej X zawieraj ca wszystkie bez wyj tku wyrazy tego ci gu. Zacznijmy od dwóch prostych stwierdze«dotycz cych ci gów zbie»nych. LEMAT 2.2 (i) Ka»dy ci g zbie»ny jest ograniczony. (ii) Ka»dy podci g ci gu zbie»nego jest zbie»ny do tej samej granicy. Uzasadniaj c prawdziwo± stwierdzenia (i), we¹my dowoln kul otaczaj c granic g naszego ci gu, K ε (g). Kula ta zawiera z zaªo»enia prawie wszystkie elementy ci gu. Na zewn trz pozostaje wi c sko«czona ich liczba, w najgorszym razie s to wszystkie elementy x,..., x N. Wybierzmy r = max{d(x, g),..., d(x N, g)} +. Wówczas kula K r (g) zawiera wszystkie elementy ci gu, a wi c jest on ograniczony. Przykªad ci gu A, B, A, B... z poprzedniego podrozdziaªu pokazuje,»e stwierdzenie odwrotne nie

24 24 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI jest na ogóª prawdziwe ci g ograniczony nie musi by zbie»ny cho, jak si za chwil przekonamy, w nieskomplikowanych sytuacjach mo»na z niego wyodr bni podci g zbie»ny. Uzasadnienie wªasno±ci (ii) jest tak»e bardzo proste: skoro ka»da kula otaczaj ca granic g ci gu x n zawiera prawie wszystkie jego wyrazy, zawiera ona automatycznie prawie wszystkie wyrazy dowolnego jego podci gu, a wi c ka»dy taki podci g zbiega tak»e do g. To z pozoru banalne stwierdzenie ma znaczenie praktyczne: zdarza si,»e wiemy o ci gu, i» ma on granic, ale nie umiemy jej wyliczy, gdy np. wyrazy ci gu zawieraj niepor czne arytmetycznie funkcje typu n. Czasem mo»na omin t trudno± obliczaj c granic pewnego podci gu, np. zªo»onego z wyrazów o numerach n = k 2, dla których obliczanie pierwiastka jest ªatwe. Przejdziemy teraz do bardzo wa»nej charakteryzacji ci gów zbie»nych podanej przez Cauchy'ego. Chodzi w niej o to, aby uwolni si od konieczno±ci jawnego u»ycia granicy g, która mo»e by nieznana lub trudna do obliczenia. Pomysª Cauchy'ego polegaª na wykorzystaniu obserwacji,»e je±li wyrazy ci gu skupiaj si wokóª warto±ci granicznej, to zbli»aj si tak»e wzgl dem siebie. DEFINICJA 2.4 (Wªasno± Cauchyego) Mówimy,»e ci g {x n } w przestrzeni metrycznej (X, d) jest ci giem Cauchy'ego, je±li speªnia on nast puj cy warunek ε > 0 N N m, n > N d(x m, x n ) < ε. (2.2) Podobnie jak w przypadku denicji granicy (2.), dostatecznie dalekie wyrazu ci gu le» wzgl dem siebie w odlegªo±ci mniejszej ni» dowolnie wybrane ε lub, innymi sªowy, prawie wszystkie wyrazy takiego ci gu zmieszcz si w dowolnie maªej kuli. Mo»na ªatwo uzasadni,»e ka»dy ci g zbie»ny posiada wªasno± Cauchy'ego. Wybierzmy w tym celu dowolnie maªe ε. Skoro ci g jest zbie»ny, istnieje N takie,»e wszystkie elementy ci gu o numerach wy»szych ni» N speªniaj nierówno± d(x n, g) < ε. Bior c dowolne dwie liczby m, n > N i korzystaj c z nierówno±ci 2 trójk ta mamy wówczas d(x m, x n ) d(x m, g) + d(x n, g) < ε 2 + ε 2 = ε, a wi c jest to ci g Cauchy'ego. Niestety nie wszystkie ci gi posiadaj ce wªasno± Cauchy'ego s automatycznie zbie»ne. Jest to jednak defekt nie tyle samych ci gów tego typu, co pewnych przestrzeni metrycznych. Chodzi o to,»e potencjalny punkt graniczny ci gu Cauchy'ego mo»e le»e poza przestrzeni X. Oto dwa typowe przykªady. Przykªad 2.3 Niech X = (0, ), przy czym jako metryk wybieramy zwykª odlegªo± punktów na prostej d(x, y) = x y. Rozwa»my najprostszy ci g x n =. Jest n to ci g zbie»ny do zera w R, a wi c ma wªasno± Cauchy'ego wzgl dem (tej samej) metryki d. Jednak poniewa» 0 X ci g ten nie jest zbie»ny w X jest zbie»ny poza X.

25 Przykªad 2.4 Niech z kolei nasz przestrzeni b dzie zbiór liczb wymiernych X = Q z odlegªo±ci d(x, y) = x y. Rozwa»my nast puj cy ci g: x =.4 x 2 =.4 x 0 = w którym rozpoznajemy ci g kolejnych dziesi tnych a wi c wymiernych przybli»e«liczby 2. Jest to ci g Cauchy'ego w X, bo dla m, n > N mamy x m x n < 0 N. Jednak poniewa» jego granica 2 Q (por. zadanie 5), nie jest on zbie»ny w X. Przestrze«Q jest niezwykle dziurawa, brakuje w niej bowiem wszystkich niewymiernych granic ci gów zbudowanych z ich kolejnych wymiernych przybli»e«. W obydwu przytoczonych wy»ej przykªadach przestrzenie metryczne s niezupeªne. Defekt niezupeªno±ci polega wªa±nie na nieobecno±ci w X niektórych punktów granicznych ci gów Cauchy'ego. Ka»d niezupeªn przestrze«metryczn X mo»na jednak rozszerzy do przestrzeni zupeªnej najmniejszej przestrzeni metrycznej z d zgodnym ze star metryk, zawieraj cej X oraz granice wszystkich ci gów Cauchy'ego w X. Dla naszych przykªadów s to odpowiednio przedziaª domkni ty [0, ] i zbór liczb rzeczywistych R. Sformuªujemy teraz stosown denicj. DEFINICJA 2.5 Przestrze«metryczn (X, d) nazywamy zupeªn, je±li wszystkie zawarte w niej ci gi Cauchy'ego s zbie»ne. Dla wielu ci gów konstruowanych w praktyce stosunkowo ªatwo jest udowodni wªasno± Cauchy'ego. Je±li pracujemy w przestrzeni zupeªnej, takiej jak R lub C, mamy wówczas pewno± co do zbie»no±ci takiego ci gu. Np. ci gi Cauchy'ego powstaj cz sto w efekcie dziaªania iteracyjnych procedur numerycznych. Wªasno± Cauchy'ego jest wówczas gwarancj zbie»no±ci takich procesów obliczeniowych. Wrócimy obecnie do ci gów ograniczonych w zupeªnej przestrzeni metrycznej X. Jak ju» stwierdzili±my, nie wszystkie ci gi ograniczone s zbie»ne, jednak na ogóª zawieraj one zbie»ne podci gi. Intuicja geometryczna zwi zana z tym faktem jest nast puj ca: je±li w ograniczonym obszarze przestrzeni metrycznej (a wi c np. w pewnej kuli) mieliby±my pomie±ci niesko«czenie wiele punktów, niemo»liwe jest zachowanie ustalonej separacji miedzy nimi to jest z góry ustalonej minimalnej, dodatniej odlegªo±ci mi dzy ka»d par punktów. Skoro obszar jest ograniczony a liczba punktów niesko«czona, je±li podzielimy go na 2 mniejsze podobszary, przynajmniej w jednym z nich musi si znale¹ niesko«czenie wiele punktów. Powtórzmy nast pnie to rozumowanie dla tego podobszaru i kolejno dla coraz to mniejszych jego cz ±ci, za ka»dym razem wybieraj c ten kawaªek, w którym le»y niesko«czenie wiele punktów. Jak wida te punkty powinny si gdzie± kumulowa. Je±li w ka»- dym kroku wybiera b dziemy po jednym punkcie z kolejnych coraz to mniejszych podobszarów, zbudujemy zbie»ny podci g. 25

26 26 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI O ile intuicje te s poprawne w odniesieniu do prostych przestrzeni metrycznych, takich jak np. R 3, okazuj si jednak zawodne w przypadku przestrzeni niesko«czenie wymiarowych. Nale» do nich w szczególno±ci przestrzenie zawieraj ce funkcje okre±lonej klasy. Przestrzenie te zajmuj wa»ne miejsce w zaawansowanych zastosowaniach matematyki, np. w zyce matematycznej, w modelowaniu procesów stochastycznych lub w teorii cz stkowych równa«ró»niczkowych. Z oczywistych wzgl dów nie b dziemy si nimi zajmowa podczas naszego kursu analizy. Poprzestaniemy na uwadze,»e przestrzenie, w których zgodnie z nasz intuicj ka»dy ci g ograniczony zawiera podci g zbie»ny, s to tzw. przestrzenie lokalnie zwarte. S nimi w szczególno±ci przestrzenie R i C, a tak»e przestrzenie sko«czenie wymiarowe R n i C n. Orzeka o tym tzw. twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Ponadto lokalnie zwarte przestrzenie metryczne s automatycznie zupeªne. II.3 Arytmetyczne i porz dkowe wªasno±ci granic Zajmiemy si teraz ci gami liczb rzeczywistych. Wiele stwierdze«o takich ci gach ma sens tak»e dla ogólniejszych ci gów liczb zespolonych. Zarówno R jak i C s zupeªnymi, lokalnie zwartymi przestrzeniami metrycznymi z metryk d(x, y) = x y (dla liczb rzeczywistych jest to zwykªa warto± bezwzgl dna, dla liczb zespolonych jest to moduª z = (Re z) 2 + (Im z) 2 ), tak wi c ci gi Cauchy'ego s w nich automatycznie zbie»ne, a ci gi ograniczone zawieraj zbie»ne podci gi. Jednak oprócz struktury metrycznej zbiory R i C posiadaj tak»e bogat struktur algebraiczn ciaªa liczbowego. Przeanalizujemy jak arytmetyka liczb przenosi si na ci gi. Zbiór liczb rzeczywistych posiada ponadto struktur porz dkow relacj x y (nie posiada jej natomiast zbiór C). Zobaczymy,»e ta struktura równie» bywa pomocna przy poszukiwaniu granic ci gów. Operacje arytmetyczne na ci gach Rozpoczniemy od sformuªowania twierdzenia o arytmetycznych wªasno±ciach ci - gów. TWIERDZENIE 2. Niech {x n } oraz {y n } b d ci gami liczbowymi (w R lub w C) posiadaj cymi sko«czone granice, lim x n = x, lim y n = y. Wówczas (i) lim n (x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n n = x ± y (ii) lim n x n y n = lim n x n lim n y n = x y x n (iii) lim n y n = lim x n = x, o ile y 0. lim y n y Dowód. Udowodnimy twierdzenie dla sumy i iloczynu dwóch ci gów pozostawiaj c przypadki ró»nicy i ilorazu jako zadania. Dowód dla sumy ci gów jest nast puj cy. Wybierzmy ε > 0. Skoro lim x n = x oraz lim y n = y, istniej wska¹niki N i N 2 (na ogóª ró»ne dla ró»nych ci gów) takie,»e x n x < ε 2 dla wszelkich n > N oraz y n y < ε 2, gdy tylko n > N 2. St d dla

27 n > max{n, N 2 }, korzystaj c z nierówno±ci trójk ta (wszak a b jest metryk ) otrzymujemy (x n + y n ) (x + y) = (x n x) + (y n y) x n x + y n y < ε 2 + ε 2 = ε, a wi c lim(x n + y n ) = x + y. Przejd¹my teraz do dowodu twierdzenia dla iloczynu ci gów. Rozpocznijmy od nast puj cej nierówno±ci wynikaj cej z zastosowania nierówno±ci trójk ta oraz oczywistej to»samo±ci ab = a b : x n y n xy = x n y n + xy n xy n xy = (x n x)y n + (y n y)x x n x y n + y n y x. Poniewa» ci g y n jest zbie»ny, jest wi c ograniczony. Istnieje zatem liczba M > 0 taka,»e y n < M dla wszystkich n. Zwi kszaj c w razie potrzeby M mo»emy równocze±nie zaªo»y,»e tak»e x < M, a zatem x n y n xy x n x M + y n y M. Wybierzmy dowolne ε > 0. Podobnie jak poprzednio, z zaªo»enia o zbie»no±ci x n i y n, istniej wska¹niki N i N 2 takie,»e x n x < ε oraz y 2M n y < ε, je±li tylko 2M n > max{n, N 2 }. Š cz c to z ostatni nierówno±ci mamy a wi c x n y n xy. x n y n xy < ε 2M M + ε 2M M = ε, Je±li jeden z ci gów jest staªy, np. x n = C dla n =, 2,..., otrzymujemy natychmiast inn u»yteczn to»samo± : lim n C y n = C lim n y n = C y. Okazuje si,»e podobne twierdzenie ªatwo jest udowodni tak»e dla ci gów wektorów w przestrzeniach liniowych, a wi c np. w R 3 i C 3, przy czym zbie»no± w nich jest oczywi±cie rozumiana jako zbie»no± w przestrzeniach metrycznych z odlegªo±ci d(x, y) = x y 2 = x y 2 + x 2 y x 3 y 3 2. lub z odlegªo±ci zadan przez p-norm, d(x, y) = x y p, p. (.4). Operacjami okre±lnymi dla wektorów s dodawanie i mno»enie przez skalary (odejmowanie rozumiane jest jako dodawanie wektora pomno»onego przez ). Je±li wi c ci gi wektórów {x n } i {y n } maj sko«czone granice x i y, wówczas, podobnie jak dla ci gów liczbowych, lim (x n + y n n ) = x + y oraz lim λx n = λx, n dla λ R lub C. Je±li za± tak»e λ n jest ci giem skalarów o sko«czonej granicy, wówczas podobnie lim λ n x n = λx. Prócz tego uzasadni mo»na ªatwo nast puj ce to»samo±ci lim n x n y n = x y oraz lim n x n y n = x y, 27

28 28 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI gdzie i s odpowiednio iloczynami skalarnym i wektorowym w R m lub C m. Zauwa»my jeszcze,»e zbie»no± w przestrzeniach wektorowych R m i C m w sensie metryki deniowanej przez dowoln p-norm jest równowa»na jednoczesnej zbie»no- ±ci w R lub C wszystkich wspóªrz dnych z osobna, a wi c lim x n x p = 0 k =,..., m lim x (k) n n n = x (k), gdzie x n = [ ] [ x () n, x (2) n,..., x (m) n oraz x = x (), x (2),..., x (m)]. Przykªad 2.5 Przyjrzyjmy si jak w praktyce dziaªa udowodnione przez nas twierdzenie. Rozwa»my w tym celu ci g liczbowy x n = 3n2 2n +, n =, 2,... (n + )(2n + 3) Przeksztaªcimy wyrazy naszego ci gu wyª czaj c w liczniku i mianowniku n 2 przed nawias, ( x n = n ) n n 2 ), n 2 ( + n )( n sk d po skróceniu n 2 i u»yciu stosownych reguª arytmetycznych z Twierdzenia 2. mamy kolejno lim ( )( n n 2 ) = lim( n n 2 + n lim ( )( ) = lim 3 lim 2 + lim n n 2 + n n lim ( ) ( ) + n n lim n = = 3 2. Istotne jest,»e granica w mianowniku nie wynosiªa 0. Rozszerzymy obecnie zakres Twierdzenia 2. tak by obejmowaªo ono równie» przypadki niesko«czonych granic. U±ci±lijmy najpierw poj cie takiej granicy: o ci gu liczbowym x n R mówimy,»e jest rozbie»ny do niesko«czono±ci lub»e jego granic jest, gdy speªnia on warunek ) M > 0 N n > N x n > M. (2.3) Dla ci gów zespolonych z n rozbie»no± do oznacza,»e ci g z n speªnia warunek (2.3). Je±li zezwolimy w Twierdzeniu 2. by np. lim y n =, granic ci gu x n + y n byªoby wyra»enie x +. Poniewa» jednak symbol nie jest liczb, nie mo»na traktowa dodawania w tym wyra»eniu dosªownie. By nada podobnym formuªom precyzyjny sens, nale»aªoby odczytywa jako nieograniczenie du»e wielko±ci. A wi c, je±li do sko«czonego x dodajemy nieograniczenie du»e wielko±ci, wynik staje si tak»e nieograniczenie du»y: przy takiej interpretacji nabiera sensu zapis x + =. Podobnie, poniewa» suma dwóch nieograniczenie du»ych wielko±ci jest nieograniczenie du»a, dobrze okre±lona jest formuªa + =.

29 Inaczej rzecz ma si z ró»nic dwóch nieograniczenie du»ych wielko±ci: jaki sens mogliby±my nada symbolicznemu wyra»eniu? Czy mo»na przyj,»e ró»nica ta wynosi 0? Przeanalizujmy to na najprostszych przykªadach. Niech x n = y n = n, a wi c obydwa ci gi rosn nieograniczenie, lim x n = lim y n =. W tym przypadku oczywi±cie lim(x n y n ) = lim(n n) = 0, nale»aªoby wi c przyj,»e rzeczywi±cie = 0. We¹my jednak nieco inny przykªad x n = 2n, y n = n. Tym razem lim(x n y n ) = lim(2n n) = lim n =, sk d =!? Jeszcze inaczej: x n = n + 5, y n = n, a wi c lim(x n y n ) = lim(n + 5 n) = 5, wypadaªoby zatem przyj,»e = 5. Musimy zgodzi si,»e wynik jest nieokre±lony, zale»y bowiem od wzajemnej, szczegóªowej relacji nieograniczenie du»ych wyrazów x n i y n. W zadaniu 6 proponujemy czytelnikowi skonstruowanie przykªadu, w którym lim x n = lim y n =, natomiast ci g x n y n granicy w ogóle nie posiada. Powinno nas to przekona,»e symbolicznemu wyra»eniu nie mo»na nada jednoznacznej, sensownej interpretacji. Takich nieokre±lonych sytuacji jest wi cej. Niech np. lim x n = oraz lim y n = 0. Badaj c granic lim x n y n stajemy wobec problemu okre±lenia warto±ci wyra»enia 0. Nie mo»na tego zrobi jednoznacznie, poniewa» w ci gu x n y n w mno»eniu spotykaj si liczby nieograniczenie du»e z liczbami bliskimi zeru, w wyniku czego mog powstawa zarówno liczby du»e jak i maªe, zale»nie od szczegóªowej relacji mi dzy wielko±ciami x n i y n. Podobnie rzecz ma si z wyra»eniami nieokre±lonymi typu 0 oraz. Przeanalizujemy je w zadaniu 7, natomiast w zadaniu 8 zbudujemy 0 tabliczki dziaªa«na wielko±ciach niesko«czonych spójne z reguªami sko«czonej arytmetyki. Mo»emy teraz sformuªowa nast puj ce rozszerzenie Twierdzenia TWIERDZENIE 2. (ci g dalszy) Je±li zaªo»ymy,»e jedna lub obydwie granice x lub y s niesko«czone, wówczas wyª czaj c nieokre±lono±ci typu, 0 oraz tezy twierdzenia pozostaj w mocy z uwzgl dnieniem spójnych z reguªami arytmetyki dziaªa«na wielko±ciach nieograniczenie du»ych. Ponadto dopuszczenie w punkcie (iii) lim y n = 0 (z wyª czeniem nieoznaczono±ci 0 ) prowadzi do rozbie»no±ci ci gu 0 x n yn do ± zale»nie od kombinacji znaków x n i y n. Przykªad 2.6 Obliczymy granic ci gu x n = n 2 + 3x + 2 n. Jest to przykªad nieokre±lono±ci typu. Wyra»enia w których pojawiaj si ró»nice pierwiastków kwadratowych upraszczamy z wykorzystaniem wzorów skróconego mno»enia (a b)(a + b) = a 2 b 2 oraz odpowiednio (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 b 3 w przypadku, gdy wyra»enie zawiera ró»nic pierwiastków sze±ciennych. Przeksztaªcamy wi c x n to»samo±ciowo mno» c i dziel c wyra»enie przez sum wyst puj cych w nim wielko±ci: x n = ( n 2 + 3x + 2 n)( n 2 + 3x n) n2 + 3n n = n2 + 3n + 2 n 2 n2 + 3x n = 3n + 2 n2 + 3n n.

30 30 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI Wyª czaj c n przed nawias w liczniku i mianowniku i przechodz c do granicy zgodnie z reguªami Tw. 2. otrzymujemy x n = n(3 + 2 n ) n ( + 3 n + 2 n 2 + ) = n n n 2 n = 3 2. Przykªad 2.7 Wyka»emy teraz,»e dla dowolnego ustalonego wykªadnika p > 0 oraz dla dowolnej staªej a > zachodzi lim n n p a n = 0. (2.4) Jest to przykªad wyra»enia nieoznaczonego typu. Fakt,»e granica ta wynosi 0 wskazuje,»e wzrost wykªadniczy a n jest szybszy ni» wzrost pot gowy n p niezale»nie od wielko±ci podstawy a i wykªadnika p. Nie dziwi nas to np. dla prostego przypadku, gdy p = a a = 2: wszak nasze codzienne do±wiadczenie potwierdza,»e n ro±nie wolniej ni» 2 n. Jednak jest to fakt znacznie mniej oczywisty dla np. p = 0 i a =.0. Mo»na ªatwo policzy kilka pocz tkowych wyrazów takiego ci gu wg. (2.4): x 0.99, x 2 004, x , x 4 0 6,... itd. x n nie wygl da tu wcale jak ci g zbie»ny do 0. Jest to jednak wra»enie myl ce. W rzeczywisto±ci zbie»no± i sama granica lub rozbie»no± ci gu nie zale» wogóle od jego dowolnie dªugiego, sko«czonego odcinka pocz tkowego x,..., x N. Rozwa»my na pocz tek przypadek p =, a wi c x n = n a n. Poniewa» z zaªo»enia a >, a wi c a = + δ dla pewnego δ > 0. St d prawdziwe jest oszacowanie a n = ( + δ) n = + nδ + ( ) n δ δ n > 2 n(n ) 2 δ 2, (2.5) gdzie z rozwini cia dwumiennego dla ( + δ) n zachowali±my jedynie 3-ci skªadnik, opuszczaj c pozostaªe (dodatnie) wyrazy. Zatem x n = n a < n n n(n ) δ = (n ) δ. 2 Wida wi c,»e wyrazy ci gu x n s ograniczone z góry przez malej ce do zera wraz 2 z n uªamki. St d oczywisty ju» wniosek,»e x (n )δ 2 n 0. Z kolei niech p >. Zauwa»my,»e przypadek 0 < p < nie wymaga osobnej uwagi, gdy» wówczas n p n i mo»na bez zmian zastosowa ostatni argument. Przeksztaª my wyrazy naszego ci gu nast puj co: n p a n = ( ) p n p n. a

31 Poniewa» a >, wi c tak»e b = p a >. Zatem ci g w powy»szym wyra»eniu w nawiasach y n = n zbiega do zera, a st d x b n n = yn p tak»e. Zauwa»my na koniec,»e identyczne rozumowanie przeprowadzi mo»na w przypadku, gdy a C, oczywi±cie pod warunkiem,»e a >. W tym celu w naszym dowodzie wystarczy zast pi liczb a przez a. 3 Przykªad 2.8 Zbadajmy obecnie granic ciagu x n = an n!, gdzie a jest dowoln liczb rzeczywist lub zespolon. Je±li a wówczas oczywi- ±cie lim x n = 0. Okazuje si,»e granica ta zawsze wynosi zero niezale»nie od a. Niech wi c a > oraz niech m b dzie najwi ksz liczb naturaln nie przekraczaj c a. Mamy zatem a m+ <. Dla n m + napiszemy a n = a n! a 2 a m a m + a n = M a m + a n ( ) n m a < M. m + To ostatnie wyra»enie d»y do 0 wraz z n, a wi c tak»e x n 0. Udowodnili±my innymi sªowy,»e n! ro±nie szybciej ni» dowolna funkcja wykªadnicza a n. Przytoczymy z kolei bez dowodu bardzo u»yteczne twierdzenie, pomocne przy badaniu nieoznaczono±ci typu. Twierdzenie to zostaªo niezale»nie podane przez dwóch XIX w. matematyków Austriaka Otto Stolza i Wªocha Ernesto Cesàro. TWIERDZENIE 2.2 (StolzCesàro) Niech x n oraz y n b d dwoma ci gami liczb rzeczywistych, przy czym niech y n b dzie ci giem ±ci±le rosn cym... < y n < y n+ <..., przynajmniej od pewnego miejsca. Je±li istnieje sko«czona lub niesko«- czona granica lim n wówczas jest ona tak»e granic ci gu x n y n. x n+ x n y n+ y n, (2.6) Twierdzenie to jest nazywane reguª de l'hôpitala dla ci gów. W±ród jego zastosowa«na pierwszy plan wysuwa si nast puj cy wynik. Przypomnijmy,»e A n, G n i H n oznaczaj ±rednie arytmetyczn, geometryczn i harmoniczn liczb a, a 2,..., a n LEMAT 2.3 Niech lim a n = a, przy czym granica ta mo»e by sko«czona lub nie. Wówczas lim A n = a, a przy dodatkowym zaªo»eniu,»e wszystkie a n > 0 tak»e lim G n = a oraz lim H n = a. Dowód. Stosuj c twierdzenie Stolza do ci gów x n = a + a a n oraz y n = n otrzymujemy natychmiast lim A n = lim x n yn = a. Je±li a 0, mamy lim a n =, a a

32 32 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI wi c stosuj c identycznie twierdzenie Stolza tym razem do x n = a + a a n i y n = n dostajemy lim Hn =, a wi c lim H a n = a. W wypadku, gdy lim a n =, wówczas lim a n = 0, a wi c lim Hn = 0, czyli lim H n =. Gdy za± a = 0, wówczas lim a n =, sk d lim Hn = i ostatecznie lim H n = 0. Z nierówno±ci Cauchy'ego (.6) otrzymujemy lim G n = a we wszystkich tych wypadkach. Przykªad 2.9 Je±li wszystkie a n > 0 oraz lim a n+ a n = g, wówczas tak»e lim n a n = g. Jest to prosty wniosek pªyn cy z zastosowania Lematu 2.3 do ci gu b = a i b n+ = a n+ a n, n i do ±redniej G n. W szczególno±ci bior c a n = n mamy b n = n+, sk d n n n lim n =. Inny, bardziej bezpo±redni dowód tej wa»nej formuªy opiera si na spostrze»eniu,»e n n > dla dowolnego n. Niech zatem n n = + c n, c n > 0. St d, podnosz c obie strony do n-tej pot gi i stosuj c tak sam sztuczk jak w (2.5), n = ( + c n ) n > n(n ) 2 c 2 n = n(n ) 2 ( n n ) 2, a wi c 0 < n n < 2. Poniewa» prawa strona maleje do 0 wraz z n, mamy n zatem n n. Przykªad ten pokazuje,»e tak»e dla dowolnego ustalonego a > 0, lim n a =. 2 Porz dek w R a zbie»no± ci gów Przeanalizujemy obecnie w jaki sposób liniowy porz dek w zbiorze liczb rzeczywistych przenosi si na wªasno±ci ci gów. Pierwszy rezultat jest raczej oczywisty. LEMAT 2.4 Zaªó»my,»e dla ci gów {x n } i {y n } w R zachodzi x n y n, dla wszystkich n (przynajmniej od pwenego miejsca n > N). Je±li istniej ich sko«czone lub niesko«czone granice, wóczas tak»e lim x n lim y n. n n Dowód. Przyjmijmy niewprost,»e mimo i» x n y n dla prawie wszystkich n, mamy lim x n = x > y = lim y n. Niech 0 < ε < x y. Wówczas przedziaªy K 2 ε(y) i K ε (x) s rozª czne oraz y + ε < x ε. Z zaªo»enia o zbie»no±ci obu ci gów wynika 2 2 jednak,»e w K ε (y) le» prawie wszystkie elementy y n, a w K ε (x) prawie wszystkie wyrazy x n, a to oznacza»e wszystkie one musz speªnia nierówno± y n < x n. Wobec sprzeczno±ci wnosimy,»e x y. Zauwa»my,»e je±li nierówno± mi dzy wyrazami ci gów jest ostra, x n < y n, ich granice mimo to mog by równe, tak jak w prostym przypadku dwóch ci gów zbie»nych do 0: x n = n i y n = n. Omówimy nast pnie bardzo wa»ne i praktyczne twierdzenie o 3 ci gach.

33 TWIERDZENIE 2.3 Niech dane b d 3 ci gi liczb rzeczywistych {a n }, {b n } i {c n } speªniaj ce podwójn nierówno± 33 a n c n b n dla prawie wszystkich n. Je±li lim a n = lim b n = g, wówczas tak»e ci g {c n } jest zbie»ny oraz lim c n = g. Dowód. Przyjmijmy,»e nierówno± a n c n b n zachodzi dla wszystkich n > N 0. Niech ε > 0. W przedziale K ε (g) znajduj si wszystkie elementy a n powy»ej numeru N i wszystkie b n powy»ej numeru N 2. Bior c N = max{n 0, N, N 2 } otrzymujemy wi c g ε < a n c n b n < g + ε je±li tylko n > N. A zatem tak»e prawie wszystkie c n le» w K ε (g). Przykªad 2.0 Poka»emy jak wykorzysta ostatnie twierdzenie do wyznaczania niektórych granic. Rozwa»my ci g c n = n 2 n + 3 n. W roli ci gów {a n } i {b n } wybierzemy a n = n 3 n n 2 n + 3 n n 3 n + 3 n = b n. a n powstaje tu przez opuszczenie pod pierwiastkiem dodatniego skªadnika 2 n (st d a n < c n ), natomiast b n przez zast pienie tego samego 2 n wi kszym skªadnikiem 3 n (a wi c c n < b n ). Poniewa» {a n } jest ci giem staªym o granicy 3, natomiast lim b n = lim n 2 3 n = lim 3 n 2 = 3, zatem tak»e lim c n = 3. Zauwa»my,»e przy wyborze ci gów ograniczaj cych {a n } i {b n } mamy zazwyczaj pewn swobod, jednak istotne jest to aby miaªy one wspóln granic. Cz stym bª dem przy próbie stosowania twierdzenia o 3 ci gach jest wybór {a n } i {b n } tak,»e lim a n = a < b = lim b n. Wówczas o zbie»no±ci {c n } nie mo»na wnioskowa niczego: mo»e on a priori zbiega do ka»dej liczby mi dzy a i b, mo»e te» nie posiada granicy w ogóle, np. oscyluj c mi dzy dwoma liczbami p q z przedziaªu [a, b]. Zwró my tak»e uwag,»e twierdzenia o 3 ci gach u»yli±my z pewnym wyprzedzeniem niejawnie w dowodzie Lematu 2.3 i w Przykªadach W istocie w dowodach zbie»no±ci pewnego ci gu liczb dodatnich do 0, ograniczamy go zwykle z doªu po prostu przez a n = 0, a z góry przez jakikolwiek zbie»ny do 0 ci g o szczególnie prostej postaci n p, wybieraj c stosownie pot g p > 0. Szczególn klas ci gów stanowi liczbowe post py monotoniczne: ±ci±le rosn ce x n < x n+ lub malej ce x n > x n+, a tak»e sªabo rosn ce x n x n+ lub sªabo malej ce x n x n+ dla prawie wszystkich indeksów n. Ka»dy ci g monotoniczny ma granic, w najgorszym razie niesko«czon. Zachodzi nast puj ce wa»ne twierdzenie. TWIERDZENIE 2.4 Ka»dy ci g monotoniczny i ograniczony ma sko«czon granic. Je±li jest to ci g rosnacy, wówczas lim x n = sup{x n }, a je±li jest to ci g malej cy, wówczas lim x n = inf{x n }.

34 34 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI Dowód. Przeprowadzimy dowód dla ci gu rosn cego, w drugim przypadku jest on analogiczny. Skoro ci g jest ograniczony, zbiór jego ogranicze«górnych jest niepusty, a wi c istnieje sko«czone g = sup{x n }. Poka»emy,»e jest ono granic ci gu. We¹my dowolne ε > 0. Wówczas istnieje wska¹nik N taki,»e g ε < x N g, poniewa» w przeciwnym razie g nie mogªoby by najmniejszym z ogranicze«górnych (wbrew zaªo»eniu g ε równie» byªoby wtedy ograniczeniem górnym). Zatem korzystaj c z monotoniczno±ci ci gu g ε < x N x n g dla wszystkich n > N. Oznacza to,»e przedziaª K ε (g) zawiera prawie wszystkie wyrazy ci gu {x n }, a wi c lim x n = g. 3 Liczba e Naszym kolejnym celem jest obliczenie granicy bardzo wa»nego ci gu, a mianowicie a n = ( + n) n. (2.7) Przy przej±ciu z n jest to kolejny przykªad wyra»enia nieoznaczonego, tym razem postaci. Jego podstaw stanowi ci g malej cy do, podczas gdy wykªadnik ro±nie nieograniczenie. Nieoznaczono± bierze si st d,»e nieco wi ksza od podstawa podnoszona jest do du»ej pot gi, a wi c wynik mo»e znacznie odbiega od, zale»nie od tego w jaki sposób tempo zbli»ania si podstawy do ma si do tempa wzrostu wykªadnika. Poka»emy,»e ci g (2.7) ro±nie monotonicznie i jest ograniczony, a wi c na podstawie Twierdzenia 2.4 ma granic. Korzystaj c z nierówno±ci Bernoulliego (.) dla x = n 2, n 2, otrzymujemy ( ) n > + n ( ) n 2 n 2 = n. Rozpisuj c lew stron tej nierówno±ci jako (( )( )) n + n n i dziel c obie jej strony przez ( n n) mamy dalej ( + n) n > ( ) n = n ( ) n n ( = + ) n, n n a wi c nasz ci g jest ±ci±le rosn cy, a n < a n+. Oto kilka pocz tkowych wyrazów: a = 2, a 2 = 2.25, a , a , a ,... W kolejnym kroku poka»emy,»e wyrazy a n s ograniczone z góry przez 3. U»ywaj c

35 35 wzoru dwumiennego Newtona mamy ( ) n + = + ( ) n + ( ) n + ( ) n + + ( n n n 2 n 2 3 n 3 n ) n n = + n n + n(n ) 2 n 2 + n(n )(n 2) 2 3 n n(n ) 2 n n n = + + n + ( n)( n) ( n)( n) ( 2 n n < n < n < 3. Tak wi c udowodnili±my,»e ci g (2.7) jest zbie»ny do granicy nie przekraczaj cej liczby 3. W rzeczywisto±ci granic t jest liczba e, która obok liczby π jest jedn z najwa»niejszych staªych w matematyce. Oto jej przybli»ona warto± : e Jest ona, podobnie jak π, tzw. liczb przest pn. Oznacza to,»e e nie jest pierwiastkiem»adnego wielomianu o wspóªczynnikach caªkowitych (pierwiastki takich wielomianów to tzw. liczby algebraiczne). Liczba e jest w szczególno±ci podstaw logarytmów naturalnych, ln x = log e x. Logarytm naturalny, podobnie jak logarytmy o innych podstawach, okre±lony jest dla liczb rzeczywistych dodatnich. Funkcja y = ln x jest funkcj odwrotn do wykªadniczej y = e x. W dalszym ci gu naszego wykªadu wielokrotnie spotkamy sie jeszcze z tymi funkcjami. Poznamy w szczególno- ±ci ciekawy zwi zek y = e x z funkcjami trygonometrycznymi, który jednak ujawnia si w peªni po rozszerzeniu ich do dziedziny zespolonej. Niewielkim dodatkowym wysiªkiem mo»na pokaza,»e bardzo podobny do (2.7) ci g, mianowicie b n = ( ) n+ ( ) + n = an + n jest ±ci±le malej cy, bn > b n+. Ponadto a n < b n, mamy wi c dla dowolnego n a < a 2 < < a n < b n < b 2 < b. Co wi cej lim b n = lim a n lim ( + n) = e = e. Mo»na wi c u»y obydwu ci gów do policzenia nieco lepszego przybli»enia liczby e ni» przy pomocy ka»dego z nich z osobna. Np. a 5 = oraz b 5 = , sk d e a 5+b 5 = , a wi c 2 bª d tego przybli»enia jest ju» mniejszy ni» Podamy tu jeszcze jeden wa»ny wynik uªatwiaj cy poszukiwanie granic dla nieoznaczono±ci postaci. LEMAT 2.5 Niech {a n } i {b n } b d ci gami w R takimi,»e lim a n = 0, lim b n = oraz lim a n b n = c. Wówczas n ) lim ( + a n) b n = e c. (2.8) n Dowód. Pierwszy krok polega na wyliczeniu nieco prostszej granicy lim ( + b n ) bn

36 36 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI przy zaªo»eniu,»e b n. Rozpatrzymy w tym celu pomocniczy ci g c n = [b n ] utworzony z cz ±ci caªkowitych liczb b n. Oczywi±cie ( ) + cn c n e jako podci g (2.7). Mamy ponadto ( + ) cn < ( + ) bn < ( + ) cn+, c n + bn cn a st d, na podstawie twierdzenia o 3 ci gach, ±rodkowe wyra»enie zbiega do liczby e. Okazuje si przy tym,»e granica pozostaje taka sama, je±li wzi ci g b n. Bior c bowiem pomocniczo c n = b n napiszemy ( + ) bn ( = ) cn ( ) cn cn ( = = + ) cn e. bn c n c n c n Prosty rachunek pokazuje tak»e,»e dla dowolnego c R lim ( + c b n ) bn = e c, por. zadanie 2. Przejd¹my do dowodu równo±ci (2.8). Skoro a n b n c, zatem wybieraj c dowolnie ε > 0 mamy c ε < a n b n < c + ε dla dostatecznie du»ych n lub równowa»nie c ε b n < a n < c+ε b n. W konsekwencji ( + c ε b n ) bn < ( + an ) b n < ( + c + ε b n ) bn. Przechodz c do granicy otrzymujemy st d e c ε lim( + a n ) bn e c+ε. Wobec dowolno±ci w wyborze ε > 0 wnioskujemy,»e lim( + a n ) b n = e c. Wynik Lematu 2.5 pozostaje w mocy, je±li a n b n ±, przy czym w tych wypadkach granica (2.8) wynosi odpowiednio lub 0. Gdy a n b n, wówczas dla dowolnie du»ego M mamy M < a n b n dla prawie wszystkich n, a wi c M b n < a n. St d ( + M b n ) bn < ( + a n ) bn, a zatem e M < lim( + a n ) bn i w konsekwencji prawa strona musi rozbiega do wobec dowolno±ci M. Podobnie pokazujemy,»e dla a n b n granica (2.8) wynosi 0. 4 Granice dolna i górna ci gu liczbowego Przypu± my,»e mamy dwa ci gi zbie»ne a n a oraz b n b. Utwórzmy ci g {x n }, ukªadaj c na przemian wyrazy a n i b n : a, b, a 2, b 2,... Ci g ten oczywi±cie nie b dzie zbie»ny, je±li a b. Je±li ani {a n } ani {b n } nie s staªe, wtedy ci g {x n } ma dwa punkty skupienia. Mo»emy ten proces kontynuowa dokªadaj c wci» nowe ci gi zbie»ne lub nie i wplataj c ich elementy mi dzy wyrazy uzyskanego poprzednio ci gu x n. To wplatanie nie musi odbywa si regularnie, tj. np. co drugi lub co trzeci wyraz. Mo»na zamiast tego ukªada kolejno

37 odcinane na przemian fragmenty obu ci gów o losowo wybranej dªugo±ci w procesie przypominaj cym tasowanie talii kart. Chcemy w ten sposób uzmysªowi czytelnikowi jak wygl da struktura ogólnych ci gów liczbowych. Mog one posiada wiele (a nawet niesko«czenie wiele!) punktów skupienia, mog zatem zawiera ró»ne podci gi zbie»ne, staªe lub rozbie»ne. W szczególno±ci powinno by jasne,»e wªasno±ci takie jak zbie»no± lub monotoniczno± s z zasady bardzo wyj tkowe w±ród ci gów. By jednak radzi sobie w praktyce tak»e z ci gami o mniej przejrzystej strukturze, wprowadzimy poj cia granicy górnej i dolnej. Opisowo s to najwi ksza i najmniejsza z liczb takich,»e w rozwa»anym ci gu mo»na znale¹ podci gi do nich zbie»ne. Cz sto, cho nie zawsze, odpowiadaj one najwi kszemu i najmniejszemu punktowi skupienia tego ci gu. W przypadku, gdy ci g jest nieograniczony, granice te mog by równe ±. Dla ci gu {a n } R, oznaczmy przez A n zbiór jego elementów od n-tego wzwy», tj. A n = {a n, a n+,...}. Utwórzmy nast pnie odpowiednie ci gi ogranicze«dolnych i górnych: ǎ n = inf A n, oraz â n = sup A n, n =, 2,... W sytuacji, gdy ci g {a n } jest nieograniczony z doªu lub z góry, wówczas ǎ n = lub â n = +, zgodnie z denicjami sup i inf. Niezale»nie od tego, poniewa» A A 2, ci gi ogranicze«s zawsze monotoniczne: ǎ ǎ 2 oraz â â 2. Istniej wi c ich granice, w najgorszym razie niesko«czone. DEFINICJA 2.6 Granic doln ci gu {a n } (w zapisie lim inf a n lub lim a n ) nazywamy granic ci gu jego ogranicze«dolnych, 37 lim inf n a n = lim n ǎ n = sup{ǎ n }. n Podobnie granic górn {a n }, (w notacji lim sup a n lub lim a n ) nazywamy granic ci gu jego ogranicze«górnych, lim sup a n = lim â n n n = inf n {â n}. Oto kilka wªasno±ci granic górnych i dolnych. LEMAT 2.6 Dla dowolnych ci gów {a n } i {b n } zachodz nast puj ce nierówno±ci: (i) lim inf a n lim sup a n, za± równo± zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ci g {a n } ma granic równ ka»dej z powy»szych. (ii) Je±li a n b n, to tak»e lim inf a n lim inf b n oraz lim sup a n lim sup b n. (iii) Pomijaj c nieokre±lono±ci typu, mamy lim inf a n + lim inf b n lim inf(a n + b n ) lim inf a n + lim sup b n lim sup(a n + b n ) lim sup a n + lim sup b n.

38 38 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI Dowód. W punkcie (i) zauwa»my,»e dla dowolnego ci gu ǎ n a n â n (2.9) dla wszystkich warto±ci n, a wi c na podstawie Lematu 2.4 lim inf a n lim sup a n. Je±li obydwie te granice s równe sko«czonej liczbie g, z twierdzenia o 3 ci gach otrzymujemy natychmiast,»e lim a n = g. Gdy g =, oznacza to,»e â n = dla wszystkich n, natomiast ǎ n ro±nie nieograniczenie. Wówczas tak»e z (2.9) wynika,»e lim a n =. Podobnie dla g =. Uzasadnienie (ii) jest natychmiastowe, je±li zauwa»y,»e a n b n poci ga ǎ n ˇbn oraz â n ˆb n. Przyjmijmy niewprost,»e zachodzi nierówno± odwrotna, np. ǎ n > ˇb n. Poniewa» dowolnie blisko ˇb n musz si znale¹ jakie± elementy zbioru B n = {b n, b n+,...}, istniej wi c b k takie,»e ˇb n b k < ǎ n. Lecz odpowiadaj cy mu element a k na pewno le»y powy»ej ǎ n, a to oznacza,»e b k < a k niezgodnie z zaªo»eniem. Identyczny argument przeprowadzi mo»na dla ogranicze«górnych. Dowód wªasno±ci (iii) pomijamy. Wspomnijmy tylko,»e opiera si on na kilku prostych do udowodnienia nierówno±ciach dla kresów, takich jak a n + b n â n + ˆb n, gdzie przez a n + b n oznaczyli±my supremum zbioru {a n + b n, a n+ + b n+,...}. Zainteresowany czytelnik znajdzie szczegóªy np. w doskonaªym zbiorze zada«[4], t. I, zad Przykªad 2. Policzymy lim inf i lim sup dla ci gu x n = n (3 + ( ) n) n + 3n. Zauwa»my,»e ci g ten zawiera 2 podciagi x k = k 2 k + 3 k dla k nieparzystych, x k = k 4 k + 3 k dla k parzystych, ka»dy z nich zbie»ny: pierwszy do 3 a drugi do 4. Dla dowolnego ε > 0 mo»emy tak wybra N,»e gdy k > N, wówczas 3 ε < x k < 3 + ε dla k nieparzystych oraz 4 ε < x k < 4+ε dla k parzystych. A zatem 3 ε ˇx k 3+ε oraz 4 ε ˆx k 4+ε. St d wobec dowolno±ci ε otrzymujemy lim inf x n = 3 i lim sup x n = 4. Prosta struktura tego przykªadu pozwalaj ca na ªatwe wyodr bnienie 2 zbie»nych podci gów umo»liwiªa nam omini cie w tym wypadku skomplikowanego na ogóª zadania jawnego wyznaczania ˇx n i ˆx n. Przykªad 2.2 Tym razem rozwa»my ci g postaci x n = 2n2 7 [ ] 2n 2 7

39 por. [4], zad (a). Jak poprzednio, [ ] oznacza cz ± caªkowit. Przyjrzyjmy si kluczowej dla rozwi zania tego zadania podzielno±ci liczb postaci 2n 2 przez 7. W tym celu rozwa»my kolejno liczby n = 7k + r dla r=0,,...,6. Mamy 2n 2 = 2(7k + r) 2 = 98k kr + 2r 2 = 7(4k 2 + 4kr) + 2r 2. Pierwszy skªadnik jest podzielny przez 7, wi c o postaci cz ±ci uªamkowej 2n2 7 decyduje wyª cznie 2r 2. Dla kolejnych warto±ci r otrzymujemy 2r 2 = 0, 2, 8, 8, 32, 50, 72, a wi c mo»liwe reszty z dzielenia przez 7 to kolejno: 0, 2,, 4, 4,, 2. Zatem ci g x n przyjmuje naprzemiennie warto±ci w zbiorze { 0, 7, 2 7, 4 7}, a wi c lim inf xn = 0 oraz lim sup x n = Notacja asymptotyczna BachmannaLandaua Niemieccy matematycy P. Bachmann i E. Landau na przeªomie XIX i XX wieku wprowadzili u»yteczn notacj pozwalaj c w prosty sposób charakteryzowa klasy funkcji liczbowych o podobnym tempie wzrostu. W szczególno±ci mo»na u»y jej do opisu tempa wzrostu wyrazów ci gów rozbie»nych do +. Nieco pó¹niej wrócimy do tej tematyki w szerszym kontek±cie oceny tempa zmian funkcji f : R R. Jak to widzieli±my w Przykªadach 2.7 i 2.8 (por. tak»e zadanie 3 na ko«cu tego rozdzia- ªu) obliczanie wielu granic typu polega wªa±nie na porównaniu tempa wzrostu wyst puj cych w nich wielko±ci. Np. granica (2.4) mówi nam,»e wyrazy ka»dego ci gu postaci x n = n p rosn wraz z n wolniej ni» wyrazy dowolnego ci gu y n = a n gdy a >. Wyra»amy to krótko stwierdzeniem,»e wzrost pot gowy jest zawsze wolniejszy ni» wzrost wykªadniczy, a w notacji BachmannaLandaua stwierdzeniem,»e n p jest klasy o(a n ), w zapisie n p o(a n ) lub tradycyjnie, cho z formalnego punktu widzenia niepoprawnie, n p = o(a n ). Mimo i» posta wyrazów ci gu mo»e by bardzo zªo»ona i zawiªa, czasami wystarcza nam wiedza o tym, z jak prost funkcj mo»na porówna ich asymptotyk. Np. ci g x n = 3 2n 4 n 3 +3 ro±nie do podobnie jak znacznie prostsze wyra»enie n+5 y n = 3 n. W konwencji BachmannaLandaua powiemy,»e x n jest klasy O(n /3 ) lub»e x n O(n /3 ) lub x n = O(n /3 ). Przejd¹my do formalnych denicji. 39 DEFINICJA 2.7 Niech {x n } i {y n } b d dwoma ci gami liczbowymi rozbie»nymi do +. ) Mówimy,»e x n jest klasy O(y n ), je±li istniej N N oraz M R takie,»e dla wszystkich n > N speªniona jest nierówno± x n M y n, lub równowa»nie lim sup x n yn M. 2) Stwierdzenie,»e x n jest klasy o(y n ) oznacza,»e lim x n yn = 0. 3) Mówimy,»e x n jest klasy Ω(y n ), je±li lim sup xn y n M dla pewnego M > 0. 4) Mówimy, ze x n jest klasy ω(y n ), je±li lim y n x n = 0. 5) Okre±lenie,»e x n jest klasy Θ(y n ) oznacza,»e x n O(y n ) Ω(y n ), lub równowa»nie,»e istniej staªe M, M 2 > 0 oraz N N, takie»e M y n x n M 2 y n dla wszystkich n > N.

40 40 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI Klas x n O(y n ) charakteryzuje w j zyku potocznym stwierdzenie,»e x n ro±nie co najwy»ej tak szybko jak y n, podczas gdy dla x n o(y n ) powiemy,»e x n ro±nie wolniej ni» y n. Podobnie asymptotyka typu Ω(y n ) i ω(y n ) oznacza,»e dany ci g x n ro±nie co najmniej tak szybko lub odpowiednio szybciej ni» y n. W ko«cu x n Θ(y n ) oznacza,»e x n ro±nie tak jak y n. Notacja Bachmanna-Landaua wykorzystywana jest intensywnie w teorii zªo»ono±ci obliczeniowej dla charakteryzacji szybko±ci dziaªania algorytmów na danych wej±ciowych rozmiaru n. Stwierdzenie,»e pewna metoda obliczeniowa jest klasy O(f(n)) oznacza,»e je±li przetwarzane dane skªadaj si z n obiektów, algorytm produkuje rozwi zanie po wykonaniu nie wi cej ni» staªej wielokrotno±ci f(n) elementarnych kroków. Np. naiwne metody sortowania porz dkuj ci g n liczb wykonuj c Ω(n 2 ) porówna«i przestawie«, natomiast metody bardziej zaawansowane s w stanie wykona to samo zadanie w liczbie kroków rz du O(n log 2 n). Przekªada si to na szybszy czas dziaªania metod o ni»szej zªo»ono±ci. Przykªadowo sortowanie 000 liczb z zastosowaniem najprostszych metod wymaga rz du miliona operacji, podczas gdy bardziej zaawansowane algorytmy potrzebuj rz du kroków, a wi c wykonaj to samo zadanie ok. 00 razy szybciej. II.4 Specjalne klasy ci gów Na zako«czenie cz ±ci rozdziaªu po±wi conej ci gom liczbowym przyjrzymy si kilku specjalnym ich klasom. Rozpoczniemy od analizy zbie»no±ci tzw. ci gów subaddytywnych. Podobnie jak w przypadku monotoniczno±ci, wªasno± subaddytywno±ci ci gu automatycznie implikuje istnienie granicy (by mo»e niesko«czonej) tym razem jednak jest to granica nie tyle samego ci gu subaddytywnego co pewnej jego modykacji. Ci gi subaddytywne pojawiaj si cz sto w zastosowaniach: w teorii prawdopodobie«stwa i procesów stochastycznych, w tzw. teorii ergodycznej a tak»e w zyce statystycznej. DEFINICJA 2.8 Ci g liczbowy {x n } R, którego wyrazy speªniaj warunek nazywamy ci giem subaddytywnym. x m+n x m + x n dla wszystkich m, n, A oto podstawowy wynik dotycz cy ci gów subaddytywnych, zwany w literaturze lematem Fekete od nazwiska jego autora, Michaela Fekete, w giersko-»ydowskiego matematyka,»yj cego w latach Fekete pocz tkowo pracowaª w Budapeszcie, gdzie jednym z jego studentów byª János Neumann, pó¹niej lepiej znany jako John von Neumann jeden z najwybitniejszych matematyków i zyków matematycznych XX wieku, pomysªodawca architektury wspóªczesnych komputerów. LEMAT 2.7 (Lemat subaddytywny Fekete) Niech {x n } b dzie subaddytywnym ci - giem o wyrazach nieujemnych, x n 0. Wówczas istnieje sko«czona granica x n lim n n = inf n { } xn. n

41 Dowód. Skoro x n 0, a wi c tak»e xn 0 dla wszystkich n, a zatem istnieje n sko«czone C = inf { } x nn. St d dla dowolnie wybranego ε > 0 istnieje wska¹nik m taki,»e C x m m < C + ε. Oznaczaj c przez M = max{x 2, x 2,..., x m }, wybierzmy p dostatecznie du»e aby tak»e M < ε. We¹my teraz dowolne n > mp i zapiszmy mp 2 je w postaci n = mq + r, gdzie r {0,,..., m } oraz q p. Korzystaj c z subaddytywno±ci ci gu i z zaªo»onych przed chwil nierówno±ci napiszemy 4 C x n n x mq + x r mq + r q x m mq + x r mq x m m + M mp < C + ε 2 + ε 2 = C + ε, gdzie dla zwi zªo±ci zapisu przyjmujemy dodatkowo x 0 = 0 (w przypadku, gdy { r = } 0). Tak wi c w odlegªo±ci mniejszej ni» ε od C le» wszystkie wyrazy ci gu xnn o numerach wy»szych od mp, a wi c ci g ten zbiega do C. Dodajmy tylko,»e je±li zªagodzimy warunek o dodatnio±ci (tj. o ograniczeniu z doªu) ci gu {x n }, granica C mo»e okaza si równa. Zajmiemy si z kolei badaniem zachowania si ci gów okre±lonych pewn relacj rekurencyjn, a wi c przepisem w ogólnej postaci x = a, x n+ = F (x n ), n =, 2,... lub, gdy rekurencja si ga dwa rz dy wstecz, x = a, x 2 = b, x n+ = F (x n, x n ), n = 2, 3,... Znalezienie jawnej postaci wyrazów x n nie zawsze jest proste, o ile w ogóle mo»liwe, mimo to zapis rekurencyjny pozwala nadal na badanie zbie»no±ci takich ci gów. Badanie ci gów rekurencyjnych jest umiej tno±ci szczególnie wa»n dla informatyka. Chodzi bowiem o to,»e wiele algorytmów numerycznych opartych jest na takim wªa±nie schemacie rekurencyjnym: kolejne przybli»enie poszukiwanej warto±ci obliczane jest na podstawie poprzedniego. Przykªadem mo»e by tu elementarna metoda wyznaczania przybli»e«pierwiastków nieliniowego równania G(x) = 0 zwana metod poªowienia przedziaªu (lub metod bisekcji), podobnie jak metoda siecznych lub metoda stycznych Newtona. Sama funkcja F nie musi by dana jednolitym analitycznym wzorem, nale»aªoby raczej rozumie j jako funkcj w sensie j zyka programowania, a wi c fragment algorytmu wyznaczaj cy w sko«czonej liczbie kroków kolejn warto± x. Np. w metodzie poªowienia przedziaªu jest to obliczenie ±redniej arytmetycznej ±rodka przedziaªu, próbkowanie w tym punkcie znaku funkcji G i na tej podstawie wariantowy wybór nowych ko«ców przedziaªu izolacji poszukiwanego pierwiastka. Skuteczno± wspomnianych tu metod numerycznych zale»na jest od tempa ich zbie»no±ci, istotne jest zatem aby umie wykaza,»e dany algorytm produkuje zbie»- ny ci g przybli»e«oraz, na tyle na ile to mo»liwe, oceni jak szybko ta zbie»no± post puje. Jednym z podstawowych, ogólnych narz dzi do badania zbie»no±ci rekurencyjnie zadanych ci gów jest tzw. twierdzenie Banacha o punkcie staªym odwzorowa«zw»aj cych (inaczej: kontrakcji) w ogólnych przestrzeniach metrycznych. Co ciekawe, ma ono zastosowanie równie» w grace komputerowej, gdzie iteracje F

42 42 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI wykonywanie s nie tyle na danych numerycznych, co na obrazach cyfrowych z odpowiednio okre±lon odlegªo±ci w zbiorze takich obrazów. Stefan Banach (892945) jest najbardziej znanym w ±wiecie polskim matematykiem, którego prace maj fundamentalne znaczenie m.in. dla analizy funkcjonalnej i jej zastosowa«. Zwi zany byª z lwowsk szkoª matematyczn skupiaj c w okresie mi dzywojennym najwybitniejszych polskich matematyków. Odwzorowaniem zw»aj cym lub kontrakcj w przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamy funkcj F : X X o nast puj cej globalnej wªasno±ci: istnieje staªa 0 < λ < taka,»e dla dowolnych punktów x, y X zachodzi d(f (x), F (y)) λd(x, y). Jest to wi c odwzorowanie, pod dziaªaniem którego punkty przestrzeni zbli»aj si do siebie. TWIERDZENIE 2.5 (Twierdzenie Banacha o kontrakcji) Kontrakcja F : X X w zupeªniej przestrzeni metrycznej (X, d) ma dokªadnie jeden punkt staªy x = F (x). Ponadto dla dowolnego punktu a X ci g {a, F (a), F (F (a)),...} jest zbie»ny do x. Pominiemy szczegóªy dowodu, cho w istocie nie jest on skomplikowany, por. np. [8], Twierdzenie VIII... Zauwa»ymy tylko,»e gdyby kontrakcja F miaªa 2 ró»ne punkty staªe, x = F (x) i y = F (y), wówczas d(x, y) = d(f (x), F (y)) λd(x, y), co wobec faktu,»e λ < mo»liwe jest jedynie gdy d(x, y) = 0. To za± oznacza,»e wbrew zaªo»eniu x = y. Pokazuje si ponadto,»e {a, F (a), F (F (a)),...} jest ci giem Cauchy'ego, a wi c ma on granic w z zaªo»enia zupeªnej przestrzeni X. St d ju» tylko krok do pokazania,»e granic t mo»e by jedynie punkt staªy x. Z twierdzenia Banacha wynika ciekawy i nieco zaskakuj cy wniosek: je±li map Polski rozªo»ymy na ziemi gdzie± na terytorium naszego kraju, wówczas dokªadnie jeden punkt na mapie pokrywa si z rzeczywistym odpowiadaj cym mu punktem na ziemi. Zajmiemy si obecnie kilkoma przykªadami ci gów zadanych rekurencyjnie. Przykªad 2.3 Ci g Fibonacciego zdeniowany jest relacj rekurencyjn II rz du f = f 2 =, f n+ = f n + f n. (2.0) Nie jest to ci g zbie»ny, co mo»na ªatwo spostrzec obliczaj c kilka jego pocz tkowych wyrazów:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,... Jest on jednak bardzo interesuj cy, poniewa» mniej lub bardziej niespodziewanie pojawia si w wielu kontekstach, niekoniecznie matematycznych: w biologii (w opisie procesów wzrostu ro±lin, formowania si ksztaªtów kwiatostanów lub muszli, wzrostu populacji królików itp.), w ekonomii (w tzw. analizie technicznej przy prognozowaniu uktuacji cen na rynku papierów warto±ciowych), tak»e w muzykologii (w analizie struktury rytmicznej utworów muzycznych). Istnieje wiele bardzo ciekawych ilustrowanych ¹ródeª internetowych na ten temat (p. Wikipedia, Google, itp.). W matematyce liczby te pojawiaj si natomiast cz sto w zagadnieniach kombinatorycznych: jako sumy liczone wzdªu» pewnych przek tnych w trójk cie Pascala, w przeliczaniu ci gów binarnych (np. liczba ci gów zero-jedynkowych dªugo±ci n bez s siaduj cych jedynek jest równa f n+2 ). Sam Leonardo Fibonacci byª wªoskim matematykiem»yj cym na przeªomie XII i XIII wieku. Swoje nauki pobieraª u matematyków arabskich. Zajmowaª si arytmetyk i geometri. Wprowadziª do europejskiej matematyki arabski system pozycyjny

43 zapisu liczb. Co ciekawe, idea ci gu Fibonacciego pojawia si w hinduskiej matematyce znacznie wcze±niej, bo ju» ok. 200 lat pne. Ci g Fibonacciego nie jest co prawda ci giem geometrycznym, jednak proporcja jego kolejnych wyrazów ustala si asymptotycznie wraz z rosn cym n, 43 f n+ lim = n f n 5 +. (2.) 2 Jest to liczba znana od staro»ytno±ci jako zªota proporcja. Wyja±nimy ten fakt za chwil. Relacja (2.0) deniuj ca ci g jest szczególnym przypadkiem tzw. liniowej jednorodnej relacji rekurencyjnej o staªych wspóªczynnikach. Dla wszystkich ci gów rekurencyjnych deniowanych relacjami tego typu znale¹ mo»na zamkni t posta analityczn dla ich wyrazów c n = g(n). Na ogóª uªatwia to znacznie operowanie takimi ci gami. Znajdziemy obecnie zamkni ty wzór na wyrazy ci gu Fibonacciego. Jak powiedzieli±my przed chwil nie jest to ci g geometryczny, jednak dzi ki liniowo±ci deniuj cej go relacji (f n w niej wyst puj ce pojawiaj si wyª cznie w -szej pot dze) mo»na spodziewa si,»e da si on wyrazi jako suma ró»nych ci - gów geometrycznych, z których ka»dy z osobna speªnia relacj (2.0). Mamy wi c dla ka»dego takiego ci gu aq n+ = aq n + aq n. Dziel c obie strony przez aq n otrzymujemy tzw. równanie charakterystyczne zwi - zane z relacj (2.0), q 2 = q +. Rozwi zuj c to równanie, otrzymujemy q = + 5 oraz q 2 2 = 5, a zatem spodziewamy si wyrazi ci g Fibonacciego jako sum dwóch ci gów 2 geometrycznych: f n = aq n + bq n 2. Staªe a i b znajdziemy przez uzgodnienie z warunkami pocz tkowymi: f = = aq + bq 2 i f 2 = = aq 2 + bq 2 2. Rozwi zaniem powy»szego ukªadu równa«s liczby a = 5 i b = 5, zatem ostatecznie f n = ( ) n + 5 ( ) n Poniewa» jednak q 2 <, drugi skªadnik szybko maleje do 0 wraz z n i w efekcie f n ( ) n + 5, 5 2 sk d wyja±nienie asymptotyki (2.). W pó¹niejszej cz ±ci wykªadu spotkamy si z bardzo podobn metod rozwi zywania liniowych jednorodnych równa«ró»niczkowych wy»szych rz dów ze staªymi wspóªczynnikami.

44 44 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI Kolejne przykªady ilustruj metody badania zbie»no±ci ci gów rekurencyjnych. Jak wspomnieli±my wcze±niej, podstawowym narz dziem jest tu twierdzenie Banacha. Czasem jednak ªatwiej jest udowodni bezpo±rednio,»e generowany ci g ma wªasno± Cauchy'ego, a zatem jest zbie»ny (je±li tylko pracujemy w zupeªnej przestrzeni metrycznej). Tak jest w np. w przypadku metody bisekcji: w ka»dej kolejnej iteracji dªugo± przedziaªu izolacji pierwiastka maleje o poªow, a wszystkie dalsze punkty ci gu generowane b d w tym przedziale, a wi c ten ci g ma automatycznie wªasno± Cauchy'ego. Jeszcze inn metod mo»e by udowodnienie,»e generowany ci g jest monotoniczny i ograniczony, to jednak nie musi by prawd dla ka»dej funkcji F deniuj cej relacj rekursywn. W ko«cu mo»na si posªu»y wygodn metod graczn, któr opiszemy poni»ej, jednak powinna by ona traktowana raczej jako wskazówka ni» jako dowód zbie»no±ci sam w sobie. Wnioski mog bowiem zale»e od dokªadno±ci z jak jeste±my w stanie narysowa wykres odwzorowania generuj cego y = F (x). Przykªad 2.4 Niech c > 0. Rozwa»my ci g zadany relacj x = c, x n+ = c + xn, n =, 2,... Oto kilka jego pocz tkowych wyrazów: x = c, x 2 = c + c, x 3 = c + c + c,... Wida,»e próba znalezienia zamkni tego wyra»enia na x n jest raczej bezcelowa. Stosuj c metod indukcji matematycznej przekonamy si,»e niezale»nie od warto±ci c, {x n } jest ci giem rosn cym i ograniczonym. Nie ulega w tpliwo±ci,»e c < c + c, a wi c x < x 2. Zaªó»my,»e x n < x n. Wówczas x n = c + x n < c + x n = x n+. Widzimy wi c,»e ci g {x n } jest ±ci±le rosn cy. Sprawdzimy,»e jest on ograniczony przez liczb c +. Oczywi±cie jest to prawd dla x. Zakªadaj c,»e x n < c +, otrzymujemy x n+ = c + x n < c + c + < c + 2 c + = ( c + ) 2 = c +, a zatem x n < c+ dla wszystkich n. Ci g jest wi c zbie»ny. Jego granic policzymy przechodz c po lewej i prawej stronie relacji rekurencyjnej z n do niesko«czono±ci: x n+ = c + x n n g = c + g, sk d g 2 = c + g, a zatem g = 2( 4c + + ). Drugi pierwiastek równania kwadratowego jest ujemny, nie speªnia wi c warunków naszego zadania. Wykorzystanie twierdzenia Banacha do udowodnienia,»e ci g zdeniowany relacj rekurencyjn jest zbie»ny, wymaga uprzedniego sprawdzenia czy odwzorowanie F jest kontrakcj. Najprostszy sposób by si o tym przekona polega na obliczeniu pochodnej funkcji F i sprawdzeniu czy speªnia ona nierówno± F (x) < w

45 F ( a ) - F ( b ) rozwa»anym przedziale w R. Tym samym wyprzedzamy nieco materiaª wykªadu. Sugerujemy czytelnikowi by powtórnie przeanalizowaª ni»ej omawiane przykªady po zapoznaniu si z materiaªem rozdziaªu IV naszego skryptu. Poprzestaniemy na razie na geometrycznej ilustracji zwi zku warto±ci pochodnej odwzorowania z posiadan przez nie wªasno±ci zw»ania. Im wi ksza warto± bezwzgl dna pochodnej F w jakim± punkcie, tym wi ksze jest tempo wzrostu lub malenia funkcji F w otoczeniu tego punktu, a wi c tym bardziej stromy jest tam jej wykres. Warto± pochodnej F (x) jest zarazem warto±ci tangensa k ta nachylenia linii stycznej w tym punkcie wzgl dem osi OX. Warto± pochodnej F (x) = oznacza,»e k t nachylenia stycznej wynosi 45, wi ksze warto±ci»e nachylenie jest bardziej strome, za± mniejsze»e jest mniej strome. Rys. 2. (a) pokazuje,»e w otoczeniu punktu x, w którym F (x) < odwzorowanie jest zw»aj ce: F (a) F (b) < a b, natomiast Rys. 2. (b),»e tam gdzie F (x) > jest ono rozszerzaj ce, tj. F (a) F (b) > a b. Precyzyjnie charakteryzuje wszystkie te sytuacje tzw. twierdzenie o warto±ci ±redniej, z którym zapoznamy si w dalszej cz ±ci skryptu. 45 (a) (b) F ( x ) < F ( a ) - F ( b ) -F ( x ) > a - b a - b a x b a x b Rys. 2.: Ilustracja zwi zku pochodnej odwzorowania z wªasno±ci (a) zw»ania F (a) F (b) < a b oraz (b) rozszerzania F (a) F (b) > a b. Oczywi±cie punktem, w którym powinni±my bada pochodn funkcji F jest jej punkt staªy x = F (x), czyli potencjalna granica naszego ci gu. Dowiadujemy si w ten sposób czy w jego otoczeniu odwzorowanie F jest zw»aj ce czy te» nie. Przykªad 2.5 Przekonajmy si,»e samo przej±cie do granicy w relacji rekurencyjnej x n+ = F (x n ) g = F (g) nie stanowi rozwi zania problemu, bowiem tylko szczegóªowa analiza zachowania ci gu x n mo»e pokaza,»e jest on zbie»ny a wi c,»e obliczone g jest rzeczywi±cie jego granic. W tym celu we¹my np. x n+ = 4x n ( x n ). (2.2) Zauwa»my,»e w tym wypadku F odwzorowuje odcinek [0, ] w siebie, a wi c je±li x [0, ], to kolejne elementy x n zawsze pozostan w tym odcinku. Metod t mo»na ªatwo uogólni tak»e na przypadek odwzorowa«w C, a tak»e w R n lub C n

46 46 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI Równanie na warto± graniczn ma tym razem posta g = 4g( g), a jego pierwiastki to g = 0 oraz g = 3. Przyjrzyjmy si zachowaniu tego ci gu rozpoczynaj c blisko potencjalnej granicy g = 0, np. x = Kolejne warto±ci (podajemy 4 przybli»enia) to: 0.9, 0.656, , , , ,... a wi c raczej nie dopatrzymy si tu zbie»no±ci. Podobinie, rozpoczynaj c blisko g = 0.75, np. bior c x = 0.8 otrzymujemy w kolejnych iteracjach: 0.64, 0.926, , , , ,... Zatem g = 0.75 tak»e nie sprawia wra»enia punktu granicznego. W rzeczywisto±ci niezale»nie od wyboru punktu startowego x (0, ) generowane ci gi nie wykazuj wªasno±ci Cauchy'ego, a wi c nie s zbie»ne. Dzieje si tak po cz ±ci dlatego,»e odwzorowanie F nie jest kontrakcj na odcinku [0, ]. W szczególno±ci F (0) = 4 i F ( 3 ) = 2, a wi c w pobli»u swoich punktów staªych jest to odwzorowanie rozszerzaj ce, powi kszaj ce odlegªo±ci. Tak wi c, je±li x n znajdzie si kiedykolwiek w 4 pobli»u g, kolejna iteracja odrzuci go dalej. Nie mo»e by wi c mowy o zbie»no±ci, a ani g = 0 ani te» g = 3 nie s granicami generowanych ci gów niezale»nie od 4 wyboru punktu startowego x. Nasz przykªad jest do± szczególny: relacja (2.2) wykorzystywana jest jako generator liczb pseudolosowych w programach, które z takich obiektów korzystaj. Pseudolosowo± oznacza,»e cho generowane ci gi liczb nie s tak naprawd losowe (s przecie» uzyskiwane w drodze deterministycznych oblicze«), to jednak w sytuacji, gdy nie znamy ich rzeczywistego ¹ródªa, nie jeste±my w stanie odró»ni ich od prawdziwie losowych ci gów przez poddanie ich specjalistycznym statystycznym testom. Widzimy wi c,»e zachowanie ci gów deniowanych nawet bardzo prostymi relacjami rekurencyjnymi mo»e by niezwykle skomplikowane, bardzo dalekie od zachowania ci gów Cauchy'ego. Przykªad 2.6 Niech tym razem x n+ = Oto kilka pocz tkowych wyrazów tego ciagu:, + x n, oraz x =. 2, 2 3, 3 5, 5 7, 7 9,... Nie jest to wi c ci g monotoniczny jego wyrazy s na przemian wi ksze lub mniejsze od poprzednich. Lepsz metod analizy okazuje si tu odwoªanie si do twierdzenia Banacha. Po pierwsze zauwa»my,»e odwzorowanie generuj ce F (x) = przeksztaªca przedziaª [0, ] w siebie, F ([0, ]) [0, ], a wi c je±li wybierzemy x [0, ], x+ iteracje nigdy nie wyprowadz nas poza ten przedziaª. Ponadto ªatwo stwierdzamy,»e pochodna F (x) = speªnia nierówno± F (x) < dla wszystkich (+x) 2 x (0, ]. Wyª czaj c nieistotny punkt brzegowy x = 0, F jest zatem kontrakcj na przedziale (0, ]. Musi wi c posiada w tym przedziale unikalny punkt staªy, który

47 47 F( x) - x x2 x3 g Rys. 2.2: Konstrukcja ci gu x n+ = c + x n, por. Przykªad 2.4. jest granic zdeniowanego wy»ej ci gu. Obliczymy t granic rozwi zuj c równanie x = F (x), a wi c x = lub równowa»nie +x x2 + x = 0. Spo±ród dwóch pierwiastków tego równania tylko jeden nale»y do przedziaªu (0, ], x = 5. Jest to 2 zarazem granica naszego ci gu. Przedstawimy na koniec bardzo u»yteczn graczn metod analizy zachowania ci gu x n+ = F (x n ). Zilustrujemy j rysunkami odpowiadaj cymi jako±ciowo sytuacjom omawianym w ostatnich trzech przykªadach. Rozpoczynamy zawsze od sporz dzenia wykresu funkcji y = F (x), staraj c si wiernie zachowa proporcje odlegªo±ci i nachylenia w przebiegu tej krzywej. Nast pnie kre±limy prost y = x. Punkty przeci cia obu linii to oczywi±cie punkty staªe odwzorowania, g = F (g). Jak wspomnieli±my wcze±niej, k t nachylenia krzywej y = F (x) w punkcie staªym g (lub równowa»nie warto± pochodnej F (g) ) decyduje o jego stabilno±ci b d¹ niestabilno±ci. Wokóª punktów stabilnych odwzorowanie F jest zw»aj ce, je±li wi c x n znajdzie si w takim obszarze, kolejne iteracje b d generowaªy punkty zbiegaj ce do g. Je±li F jest rozszerzaj ce wokóª g, punkt ten jest niestabilny ci gi rozpoczynaj ce si blisko g b d oddalaªy si od niego. Przeanalizujmy Rys. 2.2 przedstawiaj cy pocz tkowe kroki konstrukcji ci gu x n+ = c + x n. W tym przykªadzie F jest zw»aj ce w otoczeniu g, nachylenie krzywej y = F (x) jest mniejsze ni» jednostkowe nachylenie y = x. Rozpoczynamy od zlokalizowania punktu x na osi OX (wybrali±my go tutaj dowolnie). Z kolei okre±lamy x 2 = F (x ) przez wytyczenie pionowej linii z x do punktu jej przeci cia z wykresem F, a nast pnie wykorzystujemy lini y = x do precyzyjnego przeniesienia warto±ci F (x ) na o± OX. W rzeczywisto±ci nie ma nawet potrzeby odkªadania x 2 na osi odci tych, wystarczy bowiem poprowadzi od razu kolejny pionowy odcinek z punktu (x 2, x 2 ) na linii y = x do wykresu F okre±laj c tym samym x 3 = F (x 2 ) itd. Tak wi c proces konstrukcji ci gu odpowiada wytyczeniu linii ªamanej z punktu x na osi OX o kolejnych segmentach na przemian pionowych do punktu przeci cia z wykresem y = F (x) i poziomych do przeci cia z lini y = x.

48 48 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI F( x) x x g x x Rys. 2.3: Konstrukcja ci gu x n+ = +x n, por. Przykªad 2.6. Rys. 2.2 pokazuje,»e powstaj cy ci g {x n } jest monotonicznie rosn cy i ograniczony przez punkt staªy g. Z rysunku mo»na tak»e odczyta inn ciekaw wªasno± funkcji F : je±li wybra x powy»ej punktu g, powstanie ci g monotonicznie malej cy, równie» zbie»ny do g. Tak wi c w naszym przykªadzie g jest granic ka»dego ci gu rekurencyjnego x n+ = F (x n ), niezale»nie od wyboru punktu startowego x. Kolejny rysunek 2.3 ilustruje konstrukcj z Przykªadu 2.6. Podobnie jak poprzednio, odwzorowanie F (x) = jest kontrakcj na odcinku (0, ] (cho znak +x pochodnej jest tu ujemny bowiem F jest funkcj malej c ) i powstaj cy ci g jest zbie»ny do punktu staªego g. Nie jest on jednak monotoniczny, wykonuj c gasn ce oscylacje wokóª g. F( x) x x g x 4 x 2 3 Rys. 2.4: Konstrukcja ci gu x n+ = 4x n ( x n ), por. Przykªad 2.5.

49 W ko«cu ilustracja 2.4 pokazuje przebieg iteracji x n+ = 4x n ( x n ) opisanej w Przykªadzie 2.5. Wybór x w pobli»u niestabilnego punktu staªego g = 3 sprawia,»e 4 nast pny element ci gu l duje w wi kszej od niego odlegªo±ci. Zach camy czytelnika do samodzielnego prze±ledzenia poªo»enia kolejnych elementów ci gu, gdy obierzemy nowy punkt startowy minimalnie przesuni ty wzgl dem x z rysunku. Powstaj cy wówczas ci g jest diametralnie ró»ny maªe zakªócenie danych pocz tkowych powoduje na ogóª bardzo du»e odchylenia w przebiegu iteracji ju» po niewielkiej liczbie kroków. Jest to cecha wspólna procesów deniowanych przez relacje x n+ = F (x n ) gdy F jest odwzorowaniem rozszerzaj cym. Ta wªa±nie cecha decyduje o mo»liwo±ci wykorzystania F (x) jako iteracyjnego generatora liczb pseudolosowych. II.5 Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe s formalnymi sumami niesko«czonych ci gów w R lub C. Mo»na je jednak uogólni tak»e na klasy wszelkich innych obiektów, dla których okre±lone jest dodawanie i przej±cie do granicy, a wi c na elementy liniowych przestrzeni metrycznych, takich jak np. wektory, macierze lub funkcje o warto±ciach w takich przestrzeniach. Z szeregami funkcyjnymi spotkamy si jeszcze w dalszej cz ±ci skryptu, peªni one bowiem istotn rol w wa»nej dla informatyka teorii aproksymacji i w teorii sygnaªów. DEFINICJA 2.9 Szeregiem liczbowym w R lub C nazywamy formaln, niesko«czon sum a n = a + a 2 + n= ci gu liczbowego {a n }. Sum cz ±ciow szeregu nazywamy liczb S N b d c sko«czon sum jego kolejnych wyrazów od do N, 49 S N = N a n = a + a a N. n= Sum szeregu nazywamy liczb S zdeniowan jako granica ci gu jego sum cz ±ciowych N S = lim S N = lim a n, N N je±li ta granica istnieje. Szereg o sko«czonej sumie nazywamy zbie»nym, je±li za± ci g sum cz ±ciowych nie jest zbie»ny, wówczas szereg nazywamy rozbie»nym. Dodajmy,»e w przypadku szeregów rzeczywistych, którymi gªównie b dziemy si tu zajmowa, podobnie jak w przypadku ci gów, niesko«czono± S N mo»e by traktowana jako granica niewªa±ciwa w odró»nieniu od sytuacji, gdy ci g {S N } nie ma granicy w ogóle. Je±li nie prowadzi to do niejasno±ci, opuszczamy cz sto indeks sumacyjny n i zakres jego zmienno±ci na rzecz prostszego zapisu a n. Nasz pierwszy przykªad pokazuje dlaczego niesko«czonej sumy nie mo»na traktowa w sposób dosªowny, a jedynie jako skrótowy zapis granicy ci gu sum cz ±ciowych tylko poprzez tak interpretacj suma szeregu nabiera bowiem sensu. n=

50 50 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI Przykªad 2.7 Rozwa»my sum n= ( ) n+ = + + Jak pami tamy, do elementarnych wªasno±ci dziaªania + nale» ª czno±, (a + b) + c = a + (b + c), oraz przemienno±, a + b = b + a. Je±li posªu»y si tymi reguªami w odniesieniu do niesko«czonej sumy, otrzymamy z jednej strony ( ) n+ = ( ) + ( ) + = = 0, z drugiej natomiast ( ) n+ = + ( ) + ( ) + = =. Niespójno± ta wynika z faktu,»e ani wªasno± ª czno±ci ani przemienno± nie przenosi si automatycznie na sumy niesko«czone, s to bowiem cechy przysªuguj ce przede wszystkim sko«czonym sumom 2. Przykªad ten pokazuje,»e zapis a n ma rzeczywi±cie jedynie formalny charakter, nie jest za± sum dosªownym sensie. Sumy cz ±ciowe w naszym przykªadzie wyliczaj si nast puj co: S =, S 2 = 0, S 3 =, S 4 = 0,..., a wi c nie tworz ci gu zbie»nego. Szereg ( ) n+ jest zatem rozbie»ny. Sformuªujemy na pocz tek prosty lecz wa»ny warunek konieczny zbie»no±ci szeregu. LEMAT 2.8 (Warunek konieczny zbie»no±ci szeregu) Szereg a n mo»e by zbie»ny jedynie wtedy, gdy ci g jego wyrazów d»y do zera, tj. gdy lim a n = 0 (2.3) n Dowód. Je±li szereg ma sko«czon sum S, to z denicji S n S. Wtedy tak»e S n S. Poniewa» jednak a n = S n S n, zatem lim a n = lim(s n S n ) = lim S n lim S n = S S = 0. Podkre±lmy: jest to jedynie warunek konieczny, a nie dostateczny zbie»no±ci szeregu. Je±li wi c a n nie zbiega do 0, szereg na pewno nie b dzie zbie»ny, natomiast sam fakt zbie»no±ci a n 0 nie gwarantuje jeszcze zbie»no±ci szeregu. Jak si za chwil przekonamy, zbie»no± szeregu zale»y krytycznie od tempa w jakim jego skªadniki a n malej do 0. Drugi warunek, tym razem konieczny i dostateczny, nazywany jest warunkiem Cauchy'ego zbie»no±ci szeregu. Jest on w istocie prostym przeniesieniem wªasno±ci Cauchy'ego dla ci gów na szeregi. LEMAT 2.9 (Warunek Cauchy'ego dla szeregów) Szereg a n tylko wtedy, gdy jest zbie»ny wtedy i ε > 0 N k > 0 a N+ + a N a N+k < ε. (2.4) Dowód. Wystarczy zauwa»y,»e ci g sum cz ±ciowych {S n } szeregu jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy speªnia warunek Cauchy'ego (2.2), co wobec równo±ci S N+k S N = a N+ + a N a N+k stanowi dowód naszego lematu. Przejd¹my do dwóch przykªadów, w których b dziemy w stanie policzy dokªadne warto±ci graniczne sum szeregów. Jest to sytuacja wyj tkowa: najcz ±ciej bowiem 2 Pod koniec tego rozdziaªu opiszemy w jakich warunkach i w jakim zakresie przemienno± i ª czno± mo»e przysªugiwa niesko«czonym szeregom

51 potramy co najwy»ej zaklasykowa szereg jako zbie»ny, natomiast policzenie jego sumy pozostaje zadaniem znacznie trudniejszym. Przykªad 2.8 Poka»emy zbie»no± i policzymy sum szeregu postaci n= n(n + ). Zauwa»my w tym celu,»e n(n+) = n n+. Zatem S N = N(N + ) = }{{} }{{} a wi c lim S N =. Przykªad N N + = N +, Zajmiemy si teraz sum ci gu geometrycznego n=0 5 q n = + q + q 2 + (2.5) Zauwa»my,»e standardowo sumowanie szeregu geometrycznego odbywa si od zerowej pot gi q. Nie ograniczamy si tu do q rzeczywistych, nasza analiza dziaªa tak samo dla q zespolonych. Korzystaj c z dotychczasowej wiedzy o ci gu geometrycznym, q n 0 jedynie wtedy, gdy q <. Tak wi c (2.5) mo»e by zbie»ny tylko dla liczb q ±ci±le wewn trz koªa jednostkowego na pªaszczy¹nie C. Wyprowadzimy wzór na jego sum cz ±ciow S N korzystaj c ze swoistego samopodobie«stwa ci gu kolejnych pot g liczby q: S N = + q + q q N = + q + q q N + q N+ }{{} qn+ a wi c S N qs N wzór = + q ( + q + q q N ) q N+ = + qs N q N+, = S N ( q) = q N+, sk d otrzymujemy znany sk din d S N = qn+, (2.6) q je±li tylko q. Zauwa»my,»e nasze wyprowadzenie do tej pory nie korzystaªo z zaªo»enia q <. W rzeczywisto±ci ostatni wzór jest prawdziwy dla wszystkich q (poza tym dla q = mamy bez wysiªku S N = N + ), natomiast sko«czona granica ci gu {S N } istnieje wyª cznie dla q <, gdy q N+ w liczniku zbiega do 0: S = lim S q N+ N = lim N N q = q. (2.7) Nieco ogólniej, szereg geometryczny mo»e zaczyna si od dowolnego wyrazu a 0, a kolejne powstaj przez mno»enie przez q, a n+ = qa n. Wówczas wzór na sum takiego szeregu przyjmuje posta S = a 0 q.

52 52 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI Przykªad 2.20 Kolejny przykªad dotyczy bardzo wa»nej klasy szeregów tzw. szeregów harmonicznych (por. np. [2, 7]). Jak zobaczymy w nast pnym podrozdziale, zbie»no± lub rozbie»no± bardzo wielu szeregów mo»e by rozstrzygni ta przez porównanie ich z sumami harmonicznymi. Szeregiem harmonicznym rz du α > 0 nazywamy sum n. (2.8) α n= Zajmiemy si na pocz tek szeregiem rz du. Poniewa» i ogólnie a zatem > 2, > 2 2 n n n + 2 > n 2n 2 = n+ 2, S 2 n+ = > + n = + n +. 2 Widzimy wi c,»e ci g sum cz ±ciowych tego szeregu ro±nie nieograniczenie, a zatem nie mo»e by zbie»ny. Szereg harmoniczny -szego rz du byª przedmiotem zainteresowania matematyków od bardzo dawna. Powy»szy dowód jego rozbie»no±ci pochodzi ze ±redniowiecza, pojawia si mianowicie w pismach XIV wiecznego francuskiego lozofa i matematyka Mikoªaja z Orseme. Leonard Euler, jeden z najbardziej twórczych matematyków wszechczasów, badaª w XVIII w. tempo jego wzrostu i przybli»enia sum cz ±ciowych. Oszacowaª mi dzy innymi sum miliona jego pocz tkowych wyrazów na okoªo 4. S n ro±nie w tym samym tempie co ln n, a wi c jest to bardzo powolny wzrost. Rozwa»my z kolei przypadek α = 2. Dla sum cz ±ciowych S N, korzystaj c z Przykªadu 2.8 mamy tym razem S N = N 2 < (N )N = 2 N. Ci g {S N } jest wi c ograniczony a zarazem monotoniczny, poniewa» wyrazy szeregu harmonicznego s dodatnie. Widzimy zatem,»e szereg harmoniczny rz du 2 jest zbie»ny. Zauwa»my nast pnie,»e dla 0 < α < mamy n α > n, sk d natychmiast pªynie wniosek,»e wszystkie szeregi harmoniczne rz du 0 < α < s rozbie»ne. Z drugiej strony, poniewa» dla α > 2 szeregi rz du wiekszego ni» 2 s zbie»ne. n α < n 2,

53 Do kompletnej charakteryzacji zachowania szeregów harmonicznych pozostaje nam analiza przypadku < α < 2. Je±li α >, to µ = <. Mamy wówczas 2 α ) S 2 n = + < + 2 ( 2 + ) ( + α 3 α ) + + α 7 α n + + α 22α 2 nα = + 2 α + ( 2 α = µn+ µ n= < µ, ) ( ) n 2 α ( 2 nα + + (2 n+ ) α a wi c i tym razem monotoniczny ci g sum cz ±ciowych jest ograniczony. Reasumuj c, jest rozbie»ny dla 0 < α (2.9) n α jest zbie»ny dla α >. Wró my na chwil do warunku koniecznego zbie»no±ci szeregu, (2.3) z Lematu 2.8. Wszystkie szeregi harmoniczne oczywi±cie ten warunek speªniaj. Wida wi c,»e zbie»no± a n do zera w tempie porównywalnym z gdy 0 < α jest niewystarczaj ca do sko«czonej sumowalno±ci szeregu. Z drugiej strony, gdy a n maleje do n α 0 tak samo lub szybciej ni» dla α >, wówczas zbie»no± szeregu jest a n α n jest pewna. Zauwa»my przy okazji,»e na podstawie (2.4) z Przykªadu 2.7 wykªadnicze tempo zbie»no±ci do 0 wyrazów szeregu geometrycznego q n 0, q <, jest nieporównanie wi ksze ni» tempo malenia do 0 wyrazów jakiejkolwiek sumy harmonicznej, niezale»nie od tego jak du»e wzi α. Mówi c obrazowo, szeregi geometryczne znajduj si gª boko wewn trz domeny szeregów zbie»nych, podczas gdy zbie»ne szeregi harmoniczne le» na jej obrze»ach, s siaduj c blisko z szeregami rozbie»nymi. Uwaga ta b dzie miaªa znaczenie przy omawianiu tzw. porównawczych kryteriów zbie»no±ci szeregów. Z szeregami harmonicznymi zwi zana jest tzw. funkcja ζ Riemanna. Jest ona zdeniowana jako ζ(α) = n, α >. α n= Funkcja ta pojawia si, a bardziej precyzyjnie jej przedªu»enie w α do dziedziny zespolonej, w zaskakuj cy sposób w bardzo wielu dziaªach matematyki. Zwi zana z jej zachowaniem tzw. hipoteza Riemanna jest jednym z najwa»niejszych, do dzi± nierozwi zanych, problemów matematyki. Przed przej±ciem do bardziej szczegóªowego omówienia zbie»no±ci szeregów o wyrazach dodatnich, podamy bez dowodu jeszcze 2 wªasno±ci szeregów ogólnych. S one prostymi konsekwencjami zastosowania Twierdzenia 2. do ci gów sum cz ±ciowych. LEMAT 2.0 Je±li szeregi liczbowe a n oraz b n w R lub C s zbie»ne, wówczas zbie»ne s tak»e szeregi (a n + b n ) oraz ca n, przy czym (a n + b n ) = n= a n + n= b n n= oraz ca n n= = c a n. n= 53

54 54 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich Szeregi rzeczywiste o wyrazach dodatnich stanowi stosunkowo najlepiej zbadan klas. Ich analiza jest ªatwiejsza dzi ki temu,»e ci gi sum cz ±ciowych rosn w tym wypadku monotoniczne. Wystarczy wi c,»e potramy wskaza dla nich jakiekolwiek ograniczenie górne, by uzyska kompletny dowód zbie»no±ci. Pierwszy wynik, który tu omówimy, stanowi podstawowe narz dzie badania zbie»- no±ci szeregów przez porównywanie ich z innymi sumami, których zbie»no± lub rozbie»no± jest znana. TWIERDZENIE 2.6 (Kryterium porównawcze) Zaªó»my,»e wyrazy dwóch szeregów an i b n speªniaj nierówno± 0 a n b n dla prawie wszystkich (czyli wszystkich pocz wszy od pewnego miejsca) wska¹ników n. Wówczas: (i) je±li szereg b n jest zbie»ny, wówczas równie» a n jest zbie»ny; (ii) je±li szereg a n jest rozbie»ny, wówczas tak»e b n jest rozbie»ny. Prawdziwo± tego twierdzenia jest oczywist konsekwencj Twierdzenia 2.4 zastosowanego do ci gów sum cz ±ciowych. Je±li b n jest zbie»ny, jego suma stanowi ograniczenie z góry dla monotonicznego ci gu sum cz ±ciowych a n, a wi c on te» jest zbie»ny. Odwrotnie, je±li ci g sum cz ±ciowych a n ro±nie nieograniczenie, tak samo musi zachowywa si ci g sum cz ±ciowych szeregu b n. Zauwa»my,»e kryterium porównawcze pojawiªo si ju» niejawnie w naszej analizie szeregów harmonicznych w Przykªadzie 2.20 Jest oczywiste,»e do skutecznego wykorzystania tego kryterium w praktyce niezb dny jest mo»liwie obszerny katalog znanych, sklasykowanych szeregów zbie»nych i rozbie»nych. Takimi szeregami s z jednej strony sumy harmoniczne, z drugiej za± sumy geometryczne. Przykªad 2.2 Zbadajmy zbie»no± szeregu n n. n= n Przeksztaªcimy w tym celu jego wyrazy, mno» c je i dziel c przez sum pierwiastków z licznika: n n n = n (n ) n( n + n ) n n. Ostatni uªamek jest wyrazem zbie»nego szeregu harmonicznego rz du 3 2 nasz szereg jest tak»e zbie»ny. >, a zatem Je±li x n jest szeregiem geometrycznym o wyrazie pocz tkowym x 0 0 i ilorazie q, wówczas oczywi±cie n xn = q n x 0 q oraz x n+ x n = q.

55 To proste spostrze»enie stanowi punkt wyj±cia dla konstrukcji dwóch klasycznych kryteriów zbie»no±ci, polegaj cych na porównaniu badanego szeregu a n z szeregiem geometrycznym, a precyzyjniej na zbadaniu czy tempo zbie»no±ci do 0 wyrazów a n jest porównywalne z wykªadnicz zbie»no±ci skªadników sumy geometrycznej q n 0, gdy q <. TWIERDZENIE 2.7 (Kryterium Cauchy'ego) Niech c b dzie granic górn 55 c = lim sup n a n, (2.20) sko«czon lub nie, obliczon dla szeregu a n o wyrazach nieujemnych. Wówczas je±li c <, szereg ten jest zbie»ny, a gdy c >, jest on rozbie»ny. Przypadek c = nie rozstrzyga o zbie»no±ci b d¹ rozbie»no±ci a n. Je±li istnieje granica lim n a n, wtedy oczywi±cie mo»na zast pi lim sup w (2.20) t zwykª granic, jednak kryterium Cauchy'ego w powy»szym nieco ogólniejszym sformuªowaniu potra wskaza szereg zbie»ny, nawet gdy lim n a n nie istnieje, por. Przykªad 2.23 TWIERDZENIE 2.8 (Kryterium d'alemberta) Je±li dla szeregu a n o wyrazach dodatnich istnieje granica d = lim a n+, (2.2) a n wówczas jest on zbie»ny, gdy d <, a rozbie»ny, gdy d >. Przypadek d = nie rozstrzyga o zbie»no±ci b d¹ rozbie»no±ci szeregu. Inaczej ni» w przypadku kryterium Cauchy'ego, osªabienie warunku (2.2) przez u»ycie lim sup prowadzi do mniej precyzyjnego testu ewentualnej rozbie»no±ci a n. Je±li bowiem lim sup a n+ a n = δ <, zbie»no± jest zagwarantowana, tak jak poprzednio, natomiast gdy δ >, szereg a n mo»e by zarówno rozbie»ny jak i zbie»ny. Przykªad 2.24 poni»ej ilustruje t wªa±nie sytuacj. Relacj mi dzy obydwoma kryteriami charakteryzuje bardziej szczegóªowo nast puj ca nierówno± (podajemy j tu bez dowodu): lim inf a n+ a n lim inf n a n lim sup n a n lim sup a n+ a n. Widzimy wi c,»e istnienie zwykªej granicy d = lim a n+ a n gwarantuje istnienie (identycznej!) granicy c = lim n a n, cho niekoniecznie na odwrót. A wi c ka»dy przypadek klasykowany jako zbie»ny lub rozbie»ny przez kryterium d'alemberta w postaci (2.2) jest zawsze tak samo rozpoznawany przez kryterium Cauchy'ego. Ró»nica miedzy tymi kryteriami mo»e si jednak pojawi, gdy nie istnieje granica d. Mo»e si bowiem zdarzy,»e lim sup n a n < < lim sup a n+ a n (por. przywoªany ju» wy»ej Przykªad 2.24). Obydwa omawiane tu kryteria mo»na odrobin wzmocni, tak»e pozwalaj one na troch bardziej precyzyjn analiz przypadków w tpliwych, gdy c = d =. Oznaczaj c pomocnicze ci gi Cauchy'ego i d'alemberta odpowiednio przez c n = n an i d n = a n+ a n, formuªujemy uzupeªnienie obydwu kryteriów nast puj co [2]:

56 56 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI Je±li dla prawie wszystkich wska¹ników n wówczas szereg a n jest rozbie»ny. c n lub d n, (2.22) Tak wi c np. zbie»no± {c n } lub {d n } do od strony prawej czyli poprzez liczby wi ksze ni» wyklucza sko«czon sumowalno± szeregu a n, p. np. zad. 6. Z drugiej za± strony zbie»no± obydwu ci gów do od lewej strony nie przes dza jeszcze o rozbie»no±ci a n. Zauwa»my w ko«cu,»e ani kryterium Cauchy'ego ani kryterium d'alemberta nie s w stanie odró»ni zbie»nych i rozbie»nych szeregów harmonicznych, bowiem dla dowolnego α > 0 ( ) /(n + lim n )α n α = lim = lim nα =, /n α n + przy czym zarówno {c n } jak i {d n } osi gaj granic od lewej strony. Mówi c opisowo, obydwa kryteria s zbyt maªo czuªe by zarejestrowa subteln ró»nic mi dzy zbie»nymi a rozbie»nymi szeregami harmonicznymi. Z punktu widzenia zbie»nego szeregu geometrycznego wyrazy wszystkich szeregów harmonicznych malej zbyt wolno by porównanie mogªo da konkluzywn odpowied¹ (por. nasz komentarz bezpo±rednio po (2.9). Przykªad 2.22 Zbadamy zbie»no± nast puj cego szeregu: n= n σ, gdy σ > 0 oraz a >. an Stosuj c kryterium Cauchy'ego sprawdzamy natychmiast,»e lim n n σ a n = a lim n n σ = a <, a wi c jest to szereg zbie»ny, o tempie zbie»no±ci podobnym do szeregu geometrycznego o q = a. Przykªad 2.23 Startuj c z szeregu geometrycznego a n = 2 n, zbudujmy nowy szereg ukªadaj c na przemian wyrazy a n i 0, b 2k = 0, b 2k = a k, a wi c bn = Nie ulega w tpliwo±ci,»e b n jest zbie»ny i ma sum identyczn z szeregiem a n. Ci g pomocniczy c n = n b n nie ma jednak granicy, poniewa» jest naprzemienny: 0, 2, 0, 2,... Istnieje natomiast jego granica górna, lim sup c n = 2. Poniewa» jest ona mniejsza ni», szereg b n jest zbie»ny na podstawie kryterium Cauchy'ego. Wida st d,»e u»ycie w sformuªowaniu kryterium Cauchy'ego zwykªej granicy ci gu c n zamiast granicy górnej wykluczaªoby niepotrzebnie wiele przypadków z zakresu stosowalno±ci tego kryterium.

57 Przykªad 2.24 Podobnie jak poprzednio, na bazie ci gu geometrycznego a n = 2 n, n, zbudujemy szereg b n nast puj co: b 2k = a 2k oraz b 2k = a 2k (por. [7], str. 58, zad. 8). Tak wi c, konstrukcja b n polega w gruncie rzeczy na przestawieniu w ci gu a n s siaduj cych wyrazów o numerach nieparzystych i parzystych, bn = Pomocniczy ci g d n = b n+ b n z kryterium d'alemberta ma wi c nast puj c posta : 2,, 2,,, a tym samym nie posiada granicy. Granica górna {d 8 8 n} natomiast wynosi 2. Widzimy,»e kryterium d'alemberta zawodzi w tym przypadku. Zauwa»my przy tym,»e nie jest tu speªniony warunek szczegóªowy (2.22), bowiem nie jest prawd,»e prawie wszystkie wyrazy d n przewy»szaj. Policzmy z kolei górn granic ci gu c n = n b n : dla wyrazów nieparzystych mamy c 2k = 2k 2k ; = 22k 2 2 = 2k 2 Podobnie dla wyrazów parzystych c 2k = 2k 2k 2 = 22k 2 = 2k 2 2k k 2 2. Tym samym kryterium Cauchy'ego poprawnie rozpoznaje szereg b n jako zbie»ny. 57 Podamy teraz bez dowodu tzw. kryterium Raabego, które w odró»nieniu od dwóch poprzednich potra rozró»ni przypadki zbie»nych i rozbie»nych szeregów harmonicznych. Istnieje wiele kryteriów podobnego typu, niektóre o relatywnie wi kszej czuªo±ci, nie b dziemy ich jednak omawia w naszym skrypcie. Zainteresowanego czytelnika odsyªamy do literatury, np. do podr cznika [2], t. II. TWIERDZENIE 2.9 (Kryterium Raabego) Je±li dla szeregu a n o wyrazach dodatnich istnieje granica ( ) an r = lim n, n a n+ wówczas a n jest zbie»ny, gdy r > i rozbie»ny, gdy r <. Przypadek r = nie rozstrzyga o zbie»no±ci b d¹ rozbie»no±ci szeregu. Zamiast dowodu, przyjrzyjmy si, jak wygl da granica Raabego r dla szeregów harmonicznych. Mamy ogólnie r n ( /n α ) = n /(n + ) α (( ) n + α ) = n n (( = n + ) α ). n Gdy α =, ªatwo stwierdzamy,»e r n = dla wszystkich n, a wi c kryterium Raabego jest za sªabe by poprawnie sklasykowa ten graniczny przypadek. Gdy α >, na

58 58 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI podstawie uogólnionej nierówno±ci Bernoulliego (.2) kontynuujemy ostatni wzór nast puj co: (( r n = n + ) α ) n ( + α ) n n = α, a wi c r α >. Gdy za± 0 < α <, na podstawie (.3) otrzymujemy podobnie n ( + α ) n = α, a zatem r α <. r n Zako«czymy ten podrozdziaª omówieniem, równie» bez dowodu, jeszcze jednego bardzo praktycznego kryterium, zwanego lematem o zag szczaniu. Jego sformuªowanie i pierwszy dowód zawdzi czamy Cauchy'emu. LEMAT 2. (O zag szczaniu) Szereg o wyrazach dodatnich n= a n monotonicznie malej cych do zera jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy zbie»ny jest szereg k=0 2 k a 2 k. Ponadto je±li S jest sum pierwszego szeregu a S sum drugiego, wówczas S S 2S. Zwracamy uwag,»e zaªo»enie o monotoniczno±ci ci gu wyrazów, a a 2, jest istotne. Wystarczy jednak by zachodziªo ono od pewnego miejsca, niekoniecznie od pocz tku ci gu. W celu lepszego zrozumienia lematu przeanalizujmy na przykªadzie jak powstaje druga pomocnicza suma: pojawiaj si w niej wyrazy a n o numerach n = 2 k powielone 2 k razy. Je±li wówczas S = a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8, S = a + a 2 + a 2 + a 4 + a 4 + a 4 + a 4 + a 8 +, a wi c zamiast a 3 w S pojawia si drugi egzemplarz a 2, zamiast a 5, a 6, a 7 trzykrotnie powielony zostaje element a 4 itd. Zwró my uwag,»e warunek w tym lemacie jest zarówno dostateczny jak i konieczny dla zbie»no±ci wyj±ciowego szeregu. Przykªad 2.25 Stosuj c lemat o zag szczaniu zbadamy zbie»no± szeregu n=2 n ln n. Zauwa»my,»e poniewa» wzrost logarytmiczny jest wolniejszy ni» pot gowy, dla ka»- dego ε > 0 i prawie wszystkich warto±ci n zachodzi nierówno± n = α n n ε n ln n n, gdzie α = +ε >. Tak wi c jest to przypadek po±redni mi dzy zbie»nymi sumami harmonicznymi rz du α > (dla α dowolnie bliskich ) a rozbie»nym szeregiem harmonicznym rz du. Pytanie o jego zbie»no± jest zatem bardzo intryguj ce.

59 59 Zgodnie z lematem tworzymy sum pomocnicz k= 2 k 2 k ln(2 k ) = k ln 2 = ln 2 k= Poniewa» jest ona rozbie»na, tak samo rozbie»ny jest wi c badany przez nas szereg n ln n. 2 Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnych W tym podrozdziale porzucimy wymaganie nieujemno±ci wyrazów szeregu a n, tym samym trac c wygodn wªasno± automatycznej monotoniczno±ci sum cz ±ciowych. Je±li wyrazy a n s dowolne, mo»na zawsze odwoªa si do kryteriów poprzedniego podrozdziaªu zast puj c a n warto±ciami bezwzgl dnymi a n. Ze wzgl du jednak na fakt,»e a + a a n a + a a n, sumy cz ±ciowe wyj±ciowego szeregu S n s oczywi±cie ograniczone przez sumy cz ±ciowe szeregu z warto±ciami bezwzgl dnymi S n. Badaj c w szczególno±ci czy ci g sum cz ±ciowych posiada wªasno± Cauchy'ego, napiszemy dla n > m S n S m = a m+ + a m+2 + a n a m+ + a m+2 + a n = S n S m. Tak wi c zbie»no± szeregu a n poci ga za sob zbie»no± a n, jednak niekoniecznie na odwrót: szereg a n mo»e by zbie»ny, podczas gdy a n jest rozbie»ny. Rozró»nienie tych sytuacji prowadzi do nast puj cej denicji. DEFINICJA 2.0 Szereg a n nazywamy bezwzgl dnie zbie»nym, je±li zbie»ny jest szereg a n. Je±li szereg a n jest zbie»ny cho nie jest zbie»ny bezwzgl dnie, nazywamy go zbie»nym warunkowo. Zauwa»my,»e dotychczasowa dyskusja dotyczy mo»e bez jakichkolwiek zmian tak»e szeregów o wyrazach zespolonych, bowiem wszystko co powiedzieli±my wynika jedynie od wªasno±ci trójk ta a + b a + b. Tak wi c do stwierdzenia zbie»no±ci bezwzgl dnej posiadamy caªy arsenaª metod opracowanych dla szeregów o wyrazach dodatnich, natomiast aparat badawczy do wykrywania zbie»no±ci warunkowej jest znacznie ubo»szy. Podstawowym narz dziem jest tu kryterium Leibniza. Gottfried Wilhelm Leibniz byª wybitnym XVII-wiecznym niemieckim lozofem. W kr gu jego bardzo szerokich zainteresowa«pozostawaªy tak»e matematyka i zyka. Obok Isaaca Newtona uwa»any jest za twórc rachunku ró»niczkowego i caªkowego. TWIERDZENIE 2.0 (Kryterium Leibniza) Je±li warto±ci bezwzgl dne wyrazów szeregu rzeczywistego a n od pewnego miejsca malej monotonicznie do 0, a n a n+, a one same tworz ci g naprzemienny, to jest a n a n+ 0 dla n > N, wówczas szereg ten jest zbie»ny. Szkic dowodu. Uzasadnienie tego twierdzenia bierze si ze szczegóªowej analizy zachowania ci gu sum cz ±ciowych. Zauwa»ymy tylko,»e od wska¹nika N, od którego ci g a n staje si naprzemienny, sumy te zachowuj si w sposób oscyluj cy k= k.

60 60 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI S n S n+ S n+2..., przy czym oscylacje te systematycznie malej, tak jak z zaªo»enia malej wyrazy a n. W konsekwencji ci g {S n } jest zbie»ny. Przykªad 2.26 Szereg anharmoniczny + + speªnia zaªo»enia kryterium Leibniza, jest wi c zbie»ny. Jest to przykªad szeregu zbie»nego warunkowo, poniewa» suma utworzona z warto±ci bezwzgl dnych jego wyrazów to rozbie»ny szereg harmoniczny rz du. Kolejne dwa kryteria, którym chcemy po±wi ci uwag, znajduj zastosowanie, gdy skªadniki badanego szeregu s iloczynami prostszych wyra»e«, n= a n b n, (2.23) gdzie {a n } jest ci giem rzeczywistym, a {b n } mo»e by rzeczywisty lub zespolony. Ocena zbie»no±ci takich szeregów polega na zbadaniu czy ci gi {a n } i {b n } z osobna speªniaj okre±lone zaªo»enia. TWIERDZENIE 2. (Kryterium Abela) Je±li szereg b n jest zbie»ny, natomiast liczby a n tworz ci g monotoniczny i ograniczony, wóczas szereg (2.23) jest zbie»ny. TWIERDZENIE 2.2 (Kryterium Dirichleta) Je±li ci g sum cz ±ciowych szeregu b n jest ograniczony 3, a ci g {a n } zbiega monotonicznie do 0, wówczas szereg (2.23) jest zbie»ny. Szkic dowodu. Dowody obydwu powy»szych twierdze«s podobne i opieraj si na prostym do wykazania fakcie,»e przyj te zaªo»enia o ci gach {a n } i {b n } poci - gaja za sob wªasno± Cauchy'ego (2.4) szeregu a n b n. Przykªad 2.27 Je±li nieujemny ci g {a n } maleje monotonicznie do 0, wówczas bior c jako b n = ( ) n+ wypeªniamy» dania kryterium Dirichleta, a zatem szereg ( ) n+ a n jest na pewno zbie»ny. W ten sposób kryterium Leibniza okazuje si szczególnym wnioskiem pªyn cym z kryterium Dirichleta. 3 Asymptotyka sum szeregów Jak widzieli±my, kryteria zbie»no±ci szeregów bior si z porównania szybko±ci, z jak ich wyrazy a n malej do 0, z podobn asymptotyk dla szeregów o znanej zbie»no±ci, np. geometrycznych (kryteria Caucy'egi i d'alamberta) lub harmonicznych (kryterium Raabego). Jednakj czasem przydaje si bardziej szczegóªowy wgl d w zachowanie ci gów sum cz ±ciowych, np. dla mo»liwie dokªadnej oceny tempa ich zbie»no±ci lub dokªadno±ci z jak suma cz ±ciowa S N przybli»a prawdziw sum szeregu S. W przypadku szeregów rozbie»nych interesuj ce mo»e by oszacowanie tempa wzrostu S N. Przydatna okazuje si tu notacja asymptotyczna Bachmanna- Landaua. Rozwa»my np. szereg harmoniczny. Poszukajmy prostego wyra»enia f(n) n, które powie nam w jakim tempie rosn sumy cz ±ciowe S(N) dla tego szeregu, 3 Zauwa»my,»e jest to warunek sªabszy od zbie»no±ci b n.

61 S N = O(f(n)). Korzystaj c z nierówno±ci, które udowodnili±my przy analizie zbie»- no±ci ci gu (2.7) do liczby e, ( + n) n < e < ( + n) n+, 6 przez logarytmowanie otrzymamy ( n ln + ) n ( < < (n + ) ln + ) n lub równowa»nie Tak wi c n + < ln n + n < n. 0 < n ln n + < n n n + = n(n + ) < n. 2 St d wniosek,»e szereg ( n n ln n + ) jest zbie»ny. Niech C oznacza jego sum. n Dla sumy cz ±ciowej C N natomiast mamy N n= ( n ln n + ) n = N n= N n ln n + n= n = S N ln(n + ), gdzie S N oznacza jak wy»ej sum cz ±ciow szeregu harmonicznego. Tak wi c S N ln(n + ) C, a zatem S N = C + ln(n + ) + ε n, gdzie ε n 0. Mo»emy zatem ostatecznie napisa S N = O(ln N), por. Defninicja 2.7 ). 4 Kilka uwag o wªasno±ciach szeregów zbie»nych W Przykªadzie 2.7 przekonywali±my,»e ani ª czno± dodawania ani jego przemienno± nie mog by bezkrytycznie przenoszone na niesko«czone sumy. W tym podrozdziale zbierzemy najwa»niejsze fakty dotycz ce zakresu i warunków w jakich przemienno± i ª czno± mog obowi zywa dla szeregów. Wyniki te podajemy bez dowodów, które bli»ej zainteresowany czytelnik znajdzie w II tomie ksi»ki [2]. Fakt. Je±li szereg a n jest zbie»ny, wówczas dla jego wyrazów obowi zuje prawo ª czno±ci, pod warunkiem jednak,»e nie zmieniamy kolejno±ci w jakiej wyst puj. Innymi sªowy szereg utworzony z sum sko«czonych odcinków ci gu wyrazów {a n } (a + + a n ) + (a n a n2 ) + + (a nk a nk+ ) + jest zbie»ny do tej samej sumy co szereg a n. Fakt 2. Szereg bezwzgl dnie zbie»ny podlega prawu przemienno±ci, tj. dowolne przestawienie jego wyrazów nie zmienia ani jego zbie»no±ci ani te» sumy. Fakt 3. (Twierdzenie Riemanna) Wyrazy ka»dego szeregu a n zbie»nego warunkowo mo»na przestawi w taki sposób, aby staª si zbie»ny do dowolnej z góry zadanej liczby, a nawet tak, by staª si rozbie»ny.

62 62 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI II.6 Zadania do rozdziaªu II Zadanie Sprawdzi, czy podane ni»ej przykªady przestrzeni X z odlegªo±ci d speªniaj wszystkie aksjomaty przestrzni metrycznej. a) X = {, 2,..., n}, d(x, y) =, gdy x y oraz d(x, y) = 0 gdy x = y. Jest to tzw. metryka tramwajowa. Punkty k X to przystanki tramwajowe poª czone jedn lini, a odlegªo± liczona jest cen jednorazowego biletu na przejazd. b) X jest rodzin wszystkich podzbiorów zbioru {, 2,..., N}, a d(a, B) jest liczb elementów ró»nicy symetrycznej A B zbiorów A i B. c) X jest zbiorem wszystkich ciagów binarnych ustalonej dªugo±ci, a d jest odlegªo±ci Hamminga, tj. d(x, y) jest równe liczbie miejsc, na jakiej ci gi x i y si ró»ni. d) Metryka przez rzek : X = R 2 P {M}, gdzie P jest ustalon prost, a M punktem na tej prostej. Ukªad ten wyobra»a teren podzielony rzek P, a M jest mostem na tej rzece. d(a, B) jest zwykª odleglo±ci euklidesow na pªaszczy¹nie je±li punkty A i B le» po tej samej stronie rzeki, natomiast gdy le» po przeciwnych jej stronach, d(a, B) jest sum zwykªych odlegªo±ci tych punktów od mostu M. Zadanie 2 Naszkicowa kule K r (x 0 ) w nast puj cych przestrzeniach metrycznych: a) R 2 z odlegªo±ci d(x, y) = x y p dla p =, 2, 3. Wskazówka: x y = x y + x 2 y 2. b) R 2 z odlegªo±ci d(x, y) = x y = max{ x y, x 2 y 2 }. c) R 2 z odlegªo±ci przez rzek jak w Zad.. Narysowa kule dla ró»nych poªo»e«punktu x 0 i wielko±ci r wzgl dem rzeki. Zadanie 3 Wykaza prawdziwo± formuª (i) oraz (iii) odpowiednio dla granic ró»nicy i ilorazu dwóch ci gów w Twierdzeniu 2.. Zadanie 4 Zbudowa przykªad ci gu x n R, który posiada punkt skupienia nie b d cy jego granic. Zadanie 5 Pokaza,»e liczba 2 nie jest wymierna. Dlatego ci g dziesi tnych (a wi c wymiernych) przybli»e«2, mimo i» posiada w zbiorze Q wªasno± Cauchy'ego, nie jest w tej przestrzeni zbie»ny (p. Przykªad 2.4).

63 Zadanie 6 Poda przykªad 2 ci gów rozbie»nych do, takich»e ci g b d cy ich ró»nic nie jest zbie»ny. Zadanie 7 Dla ka»dego z przypadków nieokre±lono±ci 0, 0 oraz poda przykªady ci gów 0 zbie»nych do 0 i/lub rozbie»nych do, takich»e ich iloczyny lub odpowiednio ilorazy maj granice a) równe 0, b) sko«czone 0, c) niesko«czone, d) nie maj granicy. Zadanie 8 Zbudowa spójne z zasadami arytmetyki liczb sko«czonych tabliczki dodawania, odejmowania, mno»enia i dzielenia mi dzy nast puj cymi wielko±ciami: 0, sko«czone c 0,. W przypadku nieoznaczono±ci w stosownej rubryce wpisa znak? Zadanie 9 Obliczy granice nast puj cych ci gów lim n x n : a) x n = (2n ) 3 (4n ) 2 ( 5n) b) x n = ( n + 3) 2 n + 2n + ( )n c) x n = n n2 d) x n = 3 n3 + n e) x n = n + n + n f) x n = n 2 5n 3 + 3n + 4 g) x n = n n (2n ) 2n h) x n = n n 2 63 i) x n = 4n2 + 7n 2n j) x n = n n 2 + 5n k) x n = n n 3 + 5n 2 7 l) x n = 3 n 2 n 3 + n m) x n = 4n 5 2 2n 7

64 64 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI n) x n = 2n+ 3 n+2 o) x n = ( 3 2 p) x n = n! n n q) x n = ( n+5 n 3 n+2 ) n 2 n+ 3 n+ ) n r) x n = ( 4 n ) 3 n s) x n = ( ) 2n+ n+ n+2 t) x n = n ( 2 3 ) n + ( 3 4) n u) x n = n+ n + ( ) n v) x n = n + sin n2 n + cos n w) x n = sin2 n n x) x n = n n y) x n = n2 + + n n2 + n z) x n = 2n 2n 2 cos n + 2n n 2n n( )n n 2 + Zadanie 0 Korzystaj c z twierdzenia Stolza-Cesàro obliczy granice: n n (a) lim n n (b) lim n n n n ( (c) lim n ) n 2 n ( ) n (d) n lim a + a2 a n an, a > n ( (e) lim n n ) n n + 2n

65 Zadanie Pokaza,»e je±li {a n } jest ci giem zbie»nym w R lub C, wówczas lim a n = lim a n. Zadanie 2 Pokaza nie korzystaj c z (2.8),»e dla dowolnego ci gu x n i c R zachodzi lim n ( + c x n ) xn = e c. Zadanie 3 Pokaza,»e dla dowolnego α > 0 ci g o wyrazach x n = ln n zbiega do 0. nα Rozwi zanie. Niech na pocz tek α =. Mamy wóczas ln n lim n n = lim ln n n = ln = 0. n Je±li z kolei α >, wówczas n α > n, a zatem 0 ln n n α ln n n, sk d na podstawie twierdzenia o 3 ci gach otrzymujemy zbie»no± x n do 0. W ko«cu przyjmijmy,»e 0 < α <. Niech k n = [ln n], gdzie [c] oznacza cz ± caªkowit liczby c. Oczywi±cie k n oraz k n ln n k n +, a wi c e kn n. Mo»emy zatem napisa 0 ln n k n + = k n + = k n n α e αk n a k n a + k n a, k n gdzie a = e α >. Wystarczy teraz zauwa»y,»e obydwa skªadniki po prawej stronie zbiegaj do 0, w tym pierwszy z nich jako podci g (2.4) z Przykªadu 2.7 przy p =. Zadanie 4 Jak poprzednio, przez {A n } oznaczamy ci g kolejnych ±rednich arytmetycznych ci - gu {a n }. Pokaza,»e zachodz nast puj ce nierówno±ci: 65 lim inf a n lim inf A n lim sup n n n A n lim sup a n. n Zadanie 5 Zbada zbie»no± n a n gdy: a) a n = n5 + 2 n b) a n = 23n+ 3 2n c) a n = n n d) a n = log n n 3

66 66 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI ( 3 n e) a n = n 5) ( ) 3n + n f) a n = ( ) n 4n + g) a n = 3 n sin 2 n h) a n = n00 99 n 00 n n n i) a n = n j) a n = ln n4 + 2n 2 n 4 + k) a n ln(n + ) = 3n + l) a n = (n 2 + )2 n n 3 n/2 m) a n = 3 n n 3 n) a n = n ln(n + ) n + n o) a n = n p) a n = n n 2 + n n n q) a n = r) a n = 3 n Zadanie 6 Zbada czy szereg jest zbie»ny. ( 2 ) n 2 n n= ( e n n! n) Rozwi zanie. Zastosujemy kryterium d'alemberta. Mamy kolejno a n+ a n = = e ( (n + )! e n+ ) n ) n+ n! ( e n ) n e = ) n = ( n n + ( n+ n e ( ) n, + n

67 a zatem test d'alemberta w standardowej postaci nie rozstrzyga zbie»no±ci w tym wypadku. Spróbujmy jednak przyjrze si bli»ej w jaki sposób osi gana jest tu granica. Jak pamietamy, ( n + n) ro±nie monotonicznie do granicy e. Wobec tego ostatni uªamek w wyprowadzeniu powy»ej d»y do poprzez liczby wi ksze od, a to oznacza»e a n+ a n > dla wszystkich n. Na podstawie szczegóªowego kryterium d'alemberta (2.22) rozwa»any szereg jest rozbie»ny. Zadanie 7 Znale¹ sum szeregu a) a n = 2 ( 2n)/3 b) a n = 3n + 4 n c) a n = d) a n = 5 n a n n= gdy: n(n + ) ( a) n, a > 0 e) a n = 2n + n 2 (n + ) 2 ( f) a n = ln + ) n 67 g) a n = n 2 n Zadanie 8 Zbada zbie»no± a n n= gdy: a) a n = ( n)n (2n)! b) a n = ( 3)n (2n + ) n c) a n = ( ) n n ln(n + ) d) a n = ( )n+ n 7 n e) a n = ( )n (n 3) n 2 f) a n = ( )n (2n + ) n(n + 2) Zadanie 9 Znale¹ wyra»enie asymptotyczne O(f(N)) opisuj ce zachowanie si reszty S S N dla szeregu geometrycznego q n.

68 68 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI

69 Rozdziaª III Funkcje: granice i ci gªo± W rozdziale tym przywoªamy podstawowe denicje i twierdzenia dotycz ce ogólnych wªasno±ci funkcji. Najwa»niejsz cz ± rozdziaªu stanowi omówienie poj cia granicy funkcji, denicja ci gªo±ci i twierdzenia o wªasno±ciach funkcji ci gªych. B dziemy zajmowa si gªównie funkcjami rzeczywistymi f : R R, jednak wsz dzie tam, gdzie to mo»liwe, podamy denicje w sformuªowaniu ogólnym, odnosz cym si do odwzorowa«mi dzy przestrzeniami metrycznymi (X, d X ) i (Y, d Y ), f : X Y. Struktura metryczna w X i Y wystarcza bowiem by zdeniowa granic funkcji w punkcie i dalej wªasno± ci gªo±ci. W ten sposób nasze denicje b d obejmowaªy jednocze±nie wa»ne przypadki odwzorowa«zespolonych f : C n C lub funkcji mi dzy przestrzeniami wielowymiarowymi f : R n R m. III. Ogólne wªasno±ci funkcji i funkcje elementarne Przypomnijmy na pocz tek kilka poj dotycz cych najbardziej ogólnych funkcji f : X Y rozumianych jako jednoznaczne odwzorowania mi dzy dowolnymi zbiorami X i Y. Zbiór X nazywany dziedzin funkcji f (oznaczany tak»e symbolem D(f)) skªada si ze wszystkich tych punktów x, w których warto± funkcji jest poprawnie okre±lona. Zbiór Y nazywa si przeciwdziedzin funkcji. Funkcja mo»e, cho nie musi, wypeªnia swoimi warto±ciami caªy zbiór Y. O takiej funkcji mówimy wówczas,»e jest odwzorowaniem na zbiór Y. W przeciwnym wypadku wyró»niamy podzbiór W (f) Y, w którym funkcja f przyjmuje swoje warto±ci i nazywamy go zbiorem warto±ci funkcji f, albo te» krótko jej obrazem. Funkcja nazywana jest ró»nowarto±ciow, je±li nie przyjmuje swych warto±ci wielokrotnie, to znaczy,»e je- ±li x x 2 s dwoma ró»nymi punktami w X, wówczas warto±ci funkcji w tych punktach tak»e musz by ró»ne, f(x ) f(x 2 ). Je±li A jest podzbiorem dziedziny X, przez f(a) oznaczamy obraz zbioru A w Y, a wi c zbiór wszystkich tych y Y, dla których mo»na wskaza cho jedno x A takie,»e y = f(x). Je±li za± B jest podzbiorem Y, wówczas symbolem f (B) oznaczamy przeciwobraz zbioru B, a wi c zbiór tych x X, dla których f(x) wpada do B. Przykªad 3. Oto dwa przykªady funkcji F : R 2 R 2. Pierwsza jest funkcj 69

70 70 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO liniow dan wzorem F [ x y ] = [ a b c d ] [ x y ] = [ ax + by cx + dy ] lub krócej, w notacji wektorowej, F (v) = Av. Je±li F jest ró»nowarto±ciowa, to z równo±ci F (v) = F (w) musi wynika równo± argumentów v = w. Mamy wi c Av = Aw czyli A(v w) = 0, a zatem ró»nowarto±ciowo± F oznacza,»e jedynym rozwi zaniem ostatniego ukªadu równa«mo»e by tylko wektor 0. To za± jest równowa»ne» daniu by det A 0. W tym wypadku F jest tak»e odwzorowaniem na, bo dla dowolnego b jeste±my w stanie jednoznacznie wyznaczy v, dla którego b = F (v) znajdujemy je rozwi zuj c ukªad równa«av = b. Rozwi zaniem tym jest oczywi±cie wektor v = A b. Gdyby det A = 0, wówczas dla pewnych wektorów b rozwi zanie takie byªoby niemo»liwe, bo ukªad Av = b byªby sprzeczny, a odpowiadaj cy mu ukªad jednorodny Av = 0 miaªby tak»e niezerowe rozwi zania. Tak wi c w przypadku funkcji liniowej, to warto± wyznacznika macierzy odwzorowania jest wska¹nikiem czy funkcja jest ró»nowarto±ciowa i na czy te» nie. Jako drugi przykªad rozpatrzmy funkcj nieliniow [ ] [ x x G = 2 y 2 ]. y 2xy Šatwo stwierdzi,»e nie mo»e by ona ró»nowarto±ciowa, poniewa» np. dla v = [, ] i w = [, ] warto±ci funkcji s identyczne, G(v) = G(w) = [0, 2]. To za±,»e G jest funkcj na, wynika z rozwi zalno±ci ukªadu równa«x 2 y 2 = a 2xy = b, dla dowolnych parametrów a i b. Zach camy czytelnika do samodzielnego znalezienia tego rozwi zania (w istocie zawsze s 2 rozwi zania). Je±li g : X Y oraz f : Y Z, mo»na wówczas okre±li funkcj zªo»on h : X Z za pomoc przepisu h(x) = f(g(x)). Piszemy tak»e h = f g. Przykªadem odwzorowania zªo»onego jest wa»na funkcja h(x) = e x2, gdzie funkcja kwadratowa g(x) = x 2 wprowadzona jest jako argument drugiej elementarnej funkcji f(x) = e x. Zªo»enie f g jest mo»liwe, je±li tylko obraz funkcji g zawiera si w dziedzinie f, W (g) D(f). Skªadanie funkcji nie jest przemienne, f g g f, tak jak np. w naszym przykªadzie: k(x) = g(f(x)) = (e x ) 2 = e 2x h(x). Je±li funkcja f : X Y jest ró»nowarto±ciowa, wówczas istnieje funkcja do niej odwrotna, to znaczy taka funkcja g : W (f) X,»e g f = Id X, gdzie Id X oznacza funkcj identyczno±ciow na zbiorze X, Id X (x) = x. Piszemy wówczas g = f. Dziedzin funkcji odwrotnej jest przeciwdziedzina f je±li jest ona funkcj na, w przeciwnym za± razie jest ni obraz funkcji f, W (f) Y. Funkcja F z Przykªadu 3. posiada odwrotn, gdy tylko det A 0 i jest ni funkcja liniowa zadana macierz A. Jej dziedzin jest caªa pªaszczyzna R 2, poniewa» f jest, jak widzieli±my, automatycznie funkcj na. Funkcj odwrotn do f(x) = e x jest logarytm naturalny f (x) = ln x, jej dziedzin jest póªo± dodatnia R +, poniewa» jest to obraz funkcji

71 f. Funkcja G z Przykªadu 3. nie posiada jednoznacznej funkcji odwrotnej, poniewa» nie jest ró»nowarto±ciowa, podobnie jak funkcja g(x) = x 2. Tym niemniej dla ka»dej z nich mo»na znale¹ jednoznaczne gaª zie funkcji odwrotnej, je±li umiej tnie ograniczy ich dziedziny tak, by staªy si na nich ró»nowarto±ciowe. W przypadku g(x) = x 2 wystarczy wzi R + za jej dziedzin. Wówczas g : R + R + dana przez g (x) = x jest jednoznaczn gaª zi funkcji odwrotnej do f, drug tak gaª zi jest g : R + R, g (x) = x. Funkcj G nale»aªoby ograniczy do stosownie wybranej póªpªaszczyzny, czyni c z niej funkcj ró»nowarto±ciow. Gaª ¹ odwrotna byªaby wówczas funkcj z R 2 na t póªpªaszczyzn. Okre±limy teraz pewne wªasno±ci maj ce sens jedynie dla funkcji rzeczywistych f : R R, bowiem ich denicje odwoªuj si bezpo±rednio do struktury porz dkowej i algebraicznej w R. DEFINICJA 3. Funkcj f : R R nazywamy rosn c (odp. ±ci±le rosn c ), je±li dla dowolnych argumentów x < x 2 mamy f(x ) f(x 2 ) (odpowiednio f(x ) < f(x 2 )). Gdy za± zachodz relacje odwrotne, f(x ) f(x 2 ) (odp. f(x ) > f(x 2 )), funkcj f nazywamy malej c (lub odp. ±ci±le malej c ). Ogólnie o funkcji, która jest rosn ca lub malej ca w caªej dziedzinie mówimy,»e jest monotoniczna. Funkcje ±ci±le monotoniczne s oczywi±cie ró»nowarto±ciowe, a wi c odwracalne. Przypomnijmy w tym miejscu denicj.4 funkcji wypukªej i wkl sªej z rozdziaªu I. S to proste lecz wa»ne wªasno±ci, mówi ce wiele o innych cechach odwzorowa«je posiadaj cych. Ani funkcje wypukªe ani wkl sªe nie musz koniecznie by ró»nowarto±ciowe, a wi c odwracalne. Nast pne istotne wªasno±ci funkcji rzeczywistych dotycz ich symetrii wzgl dem punktu x = 0 lub wzgl dem innego ustalonego punktu x = a DEFINICJA 3.2 Funkcj f : R R nazywamy parzyst, je±li dla wszystkich argumentów x speªnia ona warunek f( x) = f(x). Je±li za± f( x) = f(x), wówczas funkcj tak nazywamy nieparzyst. Ogólnie je±li dla pewnego ustalonego punktu a R dla f speªniona jest równo± f(a x) = f(a + x), funkcj tak nazywamy symetryczn wzgl dem a. Natomiast gdy f(a x) = f(a + x), o f mówimy,»e jest antysymetryczna wzgl dem a. Widzimy,»e parzysto± funkcji f to to samo, co jej symetryczno± wzgl dem a = 0. Funkcja, która jest zarazem parzysta i nieparzysta speªnia dla wszystkich x równo± f(x) = f( x) = f(x), a to jest mo»liwe jedynie, gdy f(x) = 0 na caªej dziedzinie. Nie ka»da funkcja ma wªasno± parzysto±ci b d¹ nieparzysto±ci. Najªatwiej zda sobie z tego spraw je±li wyobrazimy sobie jak wygl daj wykresy funkcji parzystych i nieparzystych: dla tych pierwszych s one symetryczne wzgl dem osi OY, za± dla tych drugich symetryczne wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. Bardzo ªatwo wi c wyobrazi sobie funkcj, której wykres nie posiada»adnej z wymienionych symetrii. Ciekawe jest natomiast,»e dowoln funkcj mo»na ªatwo rozªo»y na sum funkcji parzystej i nieparzystej. Oznaczmy bowiem dla dowolnej funkcji f 7 f p (x) = f(x) + f( x) 2 oraz f np (x) = f(x) f( x) 2. (3.)

72 72 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO Rys. 3.: Przebieg funkcji y = cosh x i y = sinh x (w spªaszczonej dla czytelno±ci rysunku skali w kierunku OY). Lini przerywan zaznaczono ksztaªt wykªadniczych skªadników obydwu funkcji, ± 2 e±x. Zwró my uwag,»e w miar oddalania si argumentu x od 0, przebieg funkcji hiperbolicznych w praktyce przestaje ró»ni si od funkcji wykªadniczej 2 e±x, poniewa» jeden ze skªadników wykªadniczych maleje wówczas bardzo szybko do 0. Jak ªatwo sprawdzi, f p jest funkcj parzyst, a f np nieparzyst. Ponadto f(x) = f p (x) + f np (x). f p nazywana jest cz ±ci parzyst funkcji f, a f np jej cz ±ci nieparzyst. Dwie wa»ne funkcje zdeniowane s w ten sposób. S to tzw. hiperboliczne odpowiedniki funkcji trygonometrycznych cosinus i sinus hiperboliczny: cosh x = ex + e x 2 oraz sinh x = ex e x. (3.2) 2 Jak wida, s to odpowiednio cz ±ci parzysta i nieparzysta funkcji wykªadniczej f(x) = e x. Rysunek 3. ilustruje przebieg funkcji hiperbolicznych. Na rysunku lini przerywan naniesiono tak»e przebieg skªadników wykªadniczych y = ± 2 e±x dla ka»dej z tych funkcji, by zaakcentowa podobie«stwo ich ksztaªtów. Funkcje y = sinh x i y = cosh x posiadaj funkcje odwrotne, y = arcsinh x i y = arccosh x, przy czym o ile pierwsza z nich jest dobrze okre±lona na caªej osi rzeczywsistej (jako»e sinh x jest funkcj ró»nowarto±ciow na R), o tyle odwrócenie cosh x wymaga ograniczenia jej dziedziny do liczb rzeczywistych dodatnich. W ten sposób arccosh : [, ) R +. W zadaniu 8 wyprowadzimy jawne wzory na te funkcje. Ostatnia wªasno±, o której chcemy tu wspomnie to inny rodzaj symetrii funkcji, mianowicie symetria translacyjna. DEFINICJA 3.3 Funkcj f : R R nazywamy okresow, je±li istnieje liczba c > 0 taka,»e dla dowolnego x zachodzi f(x) = f(x + c). Liczb c nazywamy wówczas okresem funkcji f je±li jest to najmniejsza dodatnia liczba o tej wªasno±ci. Znane nam funkcje okresowe to przede wszystkim funkcje trygonometryczne: sinus i cosinus o okresie 2π oraz tangens i cotangens o okresie π.

73 W powy»szej dyskusji o wªasno±ciach odwzorowa«w roli przykªadów pojawiªy si znane nam z licealnej matematyki funkcje elementarne, takie jak funkcja kwadratowa, pierwiastek lub funkcje trygonometryczne. Spróbujmy zatem usystematyzowa nasza wiedz na temat funkcji elementarnych. Dzielimy je na nast puj ce grupy: I. Wielomiany, czyli funkcje w ogólnej postaci w(x) = a 0 x n + a x n + a n x + a n. II. Funkcje wymierne, u(x) = p(x), gdzie p i q s wielomianami. q(x) III. Funkcje niewymierne powstaj ce ze skªadania funkcji wymiernych z pierwiastkami caªkowitych stopni, np. f(x) = x2 + 5x + 3x + x 2 + x + 2x 7 2 x. x + IV. Funkcje wykªadnicze i logarytmiczne, f(x) = a x, f(x) = log b x. V. Funkcje trygonometryczne i funkcje do nich odwrotne (cyklometryczne): sin x, cos x, tg x, ctg x oraz arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x. VI Funkcje hiperboliczne sinh x, cosh x, tgh x = sinh x cosh x, ctgh x =. cosh x sinh x Domena funkcji elementarnych skªada si ww. grup i wszystkich funkcji powstaj cych przez wykonanie sko«czonej liczby operacji arytmetycznych i zªo»e«innych funkcji elementarnych. Jak si przekonamy pó¹niej, operacja ró»niczkowania wykonywana na funkcjach elementarnych produkuje zawsze funkcje elementarne, podczas gdy caªkowanie cz sto wyprowadza poza t klas, prowadz c do funkcji nieelementarnych, a wi c niemo»liwych do wyra»enia w zamkni tej postaci. III.2 Granica i ci gªo± funkcji Denicja granicy funkcji Zdeniujemy granic funkcji w punkcie w sposób maksymalnie ogólny, dla odwzorowa«mi dzy przestrzeniami metrycznymi. DEFINICJA 3.4 Mówimy,»e funkcja F : X Y ma granic w punkcie a X równ g Y, w zapisie lim F (x) = g, je±li dla ka»dego ci gu {x n } D(F ) zbie»nego do a, x a ci g warto±ci funkcji y n = F (x n ) jest zbie»ny do g. ci±le rzecz bior c, do funkcji elementarnych zaliczane s zwyczajowo tak»e funkcje algebraiczne deniowane jako pierwiastki równa«wielomianowych w(x) = 0. Jest to znacznie szersza denicja, ni» ta któr zamierzamy tu przyj c na czas dyskusji o funkcjach elementarnych, obejmuje ona bowiem funkcje, których nie mo»na wyrazi za pomoc sko«czonej liczby operacji arytmetycznych, pot gowa«i pierwiastkowa«. 73

74 74 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO x n` x n` x n X ` a F y n `` y n g Y y n ` Rys. 3.2: Granica funkcji F w punkcie a. Dowolnie wybrane ci gi {x n } zbie»ne do a odwzorowywane s przez F na ci gi {y n } zbie»ne do g. Zbie»no± x n a jest oczywi±cie zbie»no±ci w przestrzeni metrycznej (X, d X ), a zbie»no± y n g jest zbie»no±ci wzgl dem metryki d Y w przestrzeni (Y, d Y ). Zauwa»my,»e punkt a nie musi koniecznie nale»e do dziedziny funkcji F (tak w istocie w praktyce cz sto si zdarza), wystarczy»e jest on punktem skupienia dziedziny, a wi c,»e mo»na wybra w zbiorze D(F ) ci g zbie»ny do a. Rys. 3.2 ilustruje ide granicy funkcji: ró»ne, dowolnie wybierane ci gi argumentów {x n }, {x n} itd. zbie»ne do a zawsze odwzorowywane s na ci gi warto±ci funkcji y n = F (x n ), y n = F (x n) itd. zbie»ne do g. Denicja 3.4 pochodzi od Heinricha Eduarda Heinego, XIX w. niemieckiego matematyka. Poni»ej podamy równowa»n denicj granicy, nie odwoªuj c si bezpo- ±rednio do poj cia ci gu, sformuªowan przez A. Cauchy'ego. DEFINICJA 3.5 Funkcja F : X Y ma w punkcie a granic równ g je±li speªniony jest warunek ε > 0 δ > 0 x D(F ) je±li 0 < d X (x, a) < δ, to d Y (F (x), g) < ε. (3.3) Sens warunku Cauchy'ego (3.3) jest nast puj cy. Wybieraj c dowolnie maª kul K = K ε (g) wokóª punktu g Y znajdziemy zawsze dostatecznie maªy ale niezerowy promie«δ taki,»e obraz przez funkcj F zbioru L = K δ (a) {a} (t.j. kuli wokóª a z usuni tym ±rodkiem) zawiera si w K, F (L) K. Punkt a jest wykluczony ze zbioru L bo, jak zaznaczyli±my wy»ej, dobra denicja granicy nie powinna zale»e od tego czy a D(F ) wystarczy, by byª on punktem skupienia dziedziny. Mówi c najkrócej: punkty bliskie a odwzorowywane s blisko g. Przejdziemy teraz do kilku przykªadów. Przykªad 3.2 Niniejszy przykªad pokazuje typow metod badania granicy funkcji przy u»yciu ci gów, a wi c z bezpo±rednim wykorzystaniem denicji Heinego. Post pujemy tak zwykle w przypadku funkcji wielu zmiennych lub w sytuacjach,

75 gdy nie mo»na odwoªa si bezpo±rednio do znacznie wygodniejszej metody bazuj - cej na arytmetycznych wªasno±ciach granicy. T druga metod omówimy w dalszej cz ±ci rozdziaªu. Zbadamy czy istnieje granica funkcji F : R 2 R danej wzorem F (x, y) = xy x 2 + y 2 w punkcie P = (0, 0). Punkt ten nie nale»y do dziedziny F, natomiast jest jej punktem skupienia. Rozwa»ymy ró»ne ci gi punktów P n = (x n, y n ) zbie»ne na pªaszczy¹nie do (0, 0). Niech na pocz tek x n = n i y n = 0. Obliczamy 75 F (x n, y n ) = 0 n ( n )2 + 0 = 0 dla wszystkich n, a wi c obrazem wybranego przez nas ci gu jest ci g staªy o wyrazach równych 0. Wybieraj c inny ci g, np. x n = 0 i y n = n, ponownie otrzymamy F (x n, y n ) = 0. Nie mo»na jednak jeszcze na tej podstawie wnosi,»e granic funkcji F w punkcie P jest 0. Warto± ta musiaªaby by osi gana dla wszystkich ci gów P n P. Je±li zamiast powy»szych wybierzemy ci g x n = y n = n, wówczas F (x n, y n ) = n n ( n )2 + ( = n )2 2 dla wszystkich n. Wskazali±my zatem ci g, który po odwzorowaniu przez F nie zbiega jak poprzednie do 0. Wynika st d,»e F nie ma granicy w punkcie (0, 0). Zmodykujmy nasz funkcj nast puj co: F (x, y) = xy2 x 2 + y 2. Niech {P n = (x n, y n )} b dzie dowolnym ci giem zbie»nym do punktu (0, 0). Dla ka»dego n oznaczmy m n = max{ x n, y n }. Zauwa»my,»e tak okre±lony ci g {m n } zbiega do 0. Mamy tym razem F (x n, y n ) 0 = x ny 2 n x 2 n + y 2 n m3 n m 2 n = m n 0, poniewa» z jednej strony x n y 2 n m 3 n, z drugiej za± x 2 n + y 2 n m 2 n. Pokazali±my wi c,»e niezale»nie od wyboru {P n } ci g warto±ci funkcji F (x n, y n ) 0, a wi c 0 jest granic F w punkcie P = (0, 0). Zwró my jeszcze uwag,»e podobna technika nie byªaby pomocna w poprzednim przypadku, bowiem jedyna nierówno±, któr byliby±my w stanie uzasadni to F (x n, y n ) = x ny n x 2 n + y 2 n m2 n m 2 n =, nie gwarantuj ca zbie»no±ci ci gu warto±ci F. Reasumuj c, metoda badania granicy funkcji bezpo±rednio z denicji Heinego jest wygodna w przypadku, gdy trzeba wykaza brak tej granicy wystarczy wówczas wskaza dwa ró»ne ci gi argumentów

76 76 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO zbie»ne do punktu a, dla których odpowiednie ci gi warto±ci funkcji maj ró»ne granice (lub przynajmniej jeden z nich nie jest zbie»ny). Z kolei pokazanie,»e g jest granic funkcji F wymaga dowodu zbie»no±ci F (x n ) g dla wszystkich ci gów x n a, a to z reguªy jest bardziej skomplikowane. Kolejny lemat okazuje si bardzo u»yteczny przy wyznaczaniu granic funkcji zªo»onych. LEMAT 3. Niech F : X Y oraz G : Y Z b d funkcjami, posiadaj cymi granice lim x a F (x) = b oraz lim y b G(y) = c. Zaªó»my ponadto,»e funkcja F nie przyjmuje warto±ci b w pewnym otoczeniu punktu a (z dopuszczalnym wyj tkiem samego punktu a, F (a) = b). Wówczas lim G(F (x)) = lim G(y) = c. x a y b Dowód. Dowód tego faktu jest bardzo prosty: Niech bowiem lim n x n = a i niech y n = F (x n ). Z zaªo»enia lim n F (x n ) = lim n y n = b oraz y n b dla prawie wszystkich n. Zatem lim n G(y n ) = c czyli tak»e lim n G(F (x n )) = c. Podobnie jak w przypadku analizy ci gów liczbowych, je±li mamy do czynienia z funkcjami o warto±ciach rzeczywistych b d¹ zespolonych, w obliczaniu granic pomagaj nam zwykle ich arytmetyczne wªasno±ci. Dowód twierdzenia, które podajemy ni»ej jest powtórzeniem analogicznego dowodu dla ci gów (p. Twierdzenie 2.). TWIERDZENIE 3. Zaªó»my,»e dla funkcji F, G : X R (lub F, G : X C) istniej sko«czone granice lim F (x) oraz lim G(x). Wówczas x a x a (i) lim x a F (x) ± G(x) = lim x a F (x) ± lim x a G(x) (ii) lim x a F (x) G(x) = lim x a F (x) lim x a G(x) F (x) (iii) lim x a G(x) lim F (x) =, je±li tylko lim G(x) 0. lim G(x) Ponadto reguªy te przenosz si tak»e na przypadek granic niewªa±ciwych ± oraz lim G(x) = 0 w (iii) za wyj tkiem sytuacji nieokre±lonych typu, 0, oraz 0 0. W przypadku funkcji o warto±ciach rzeczywistych mamy tak»e odpowiedniki twierdze«2.4 i 2.3 o porz dkowych wªasno±ciach ci gów. TWIERDZENIE 3.2 Je±li dla wszystkich x z pewnego otoczenia punktu a zachodzi nierówno± F (x) G(x) lub F (x) < G(x), wówczas tak»e lim F (x) lim G(x) je±li x a x a tylko te granice istniej, sko«czone lub nie. Je±li dla wszystkich x w pewnym otoczeniu punktu a mamy F (x) H(x) G(x) oraz x a lim F (x) = x a lim G(x) = g, wówczas istnieje tak»e granica lim x a H(x) i jest jak pozostaªe równa g.

77 77 Zilustrujemy teraz zastosowanie tych twierdze«kilkoma przykªadami. Przykªad 3.3 Zbadamy istnienie granicy funkcji wymiernej f(x) = x2 3x + 2 x 2 + x 2 w nienale» cym do dziedziny f punkcie x =. Rozwi zanie jest nast puj ce: x 2 3x + 2 lim x x 2 + x 2 = lim (x 2)(x ) x (x + 2)(x ) = lim x 2 lim(x 2) x x + 2 = x lim (x + 2) = 3. x Ten prosty przykªad wymaga pewnego komentarza. Pozornie oczywiste przej±cie od funkcji f(x) = (x 2)(x ) x 2 do g(x) = jest poprawne wyª cznie pod symbolem (x+2)(x ) x+2 granicy. Chodzi o to,»e obydwie funkcje ró»ni si dziedzinami o punkt x =, a wi c nieprawd jest,»e f = g. Zgodnie z denicj granicy zapis lim x oznacza,»e nast puj ce po nim wyra»enie b dzie obliczane dla x bliskich ale zawsze ró»nych od, a w tej sytuacji mo»na ju» uto»sami funkcje f i g. Zbadajmy dla odmiany granic w x = nast puj cej funkcji: f(x) = x2 3x + 2 (x + 2) x = x 2 3x + 2 (x + 2)(x ) x2 3x + 2 (x + 2)(x ) dla x > dla x < Tym razem wynik zale»e b dzie od tego, czy do punktu x = zbli»amy si poprzez liczby mniejsze (a wi c od lewej strony) czy te» przez liczby wi ksze. Przykªady odpowiednich ci gów to np. x n =, a z drugiej strony x n n = +. Dla odró»nienia n obu sytuacji piszemy wówczas odpowiednio lim f(x) oraz lim f(x) i mówimy o x x + granicach lewo- i prawostronnych. Oczywi±cie ma to sens dla funkcji o dziedzinie w zbiorze R, gdy poj cia na lewo i na prawo od punktu a s dobrze okre±lone. Wracaj c do naszego przykªadu mamy oraz (x 2)(x ) lim x (x + 2) x (x 2)(x ) lim x + (x + 2) x = lim x x 2 x + 2 = 3 = lim x + x 2 x + 2 = 3. Tak wi c ci g warto±ci funkcji f zbiega albo do albo do zale»nie od kierunku 3 3 podchodzenia z argumentem x do punktu. Funkcja f nie ma zatem granicy w punkcie. W ostatnim przykªadzie okre±lili±my poj cia granic jednostronnych. Zachodzi prosty do udowodnienia fakt: Funkcja f : R R ma w punkcie a granic g wtedy i tylko wtedy, gdy istniej i s równe g obydwie granice jednostronne lim f(x) = x a + lim f(x) = g. x a

78 78 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO A P 3 B O P P 2 C Rys. 3.3: P jest polem trójk ta OAC, P 2 jest polem wycinka koªa o k cie ±rodkowym α, natomiast P 3 jest polem trójk ta OB. Przykªad 3.4 Zajmiemy si teraz obliczeniem wa»nej granicy sin α lim α 0 α =. (3.4) Rys. 3.3 wyja±nia nasz konstrukcj. Porównuj c pola 3 trójk tów mamy oczywist nierówno± P P 2 P 3, a wi c 2 sin α cos α 2 α 2 tg α, sk d, mno» c wszystkie strony przez 2 i dziel c przez sin α otrzymujemy za± przechodz c do odwrotno±ci cos α α sin α cos α, cos α sin α α cos α. Korzystaj c teraz z Twierdzenia 3.2 i przechodz c z α do 0 otrzymujemy natychmiast (3.4). Przykªad 3.5 Jak widzieli±my w Przykªadzie 3.3, jedn z przyczyn nieistnienia granicy funkcji mo»e by to,»e jej granice jednostronne w danym punkcie nie s sobie równe. Niniejszy przykªad dotyczy sytuacji, w której nie istniej nawet granice jednostronne. Zbadamy zachowanie funkcji f(x) = sin x

79 Rys. 3.4: Przebieg funkcji f(x) = sin x. przy przej±ciu x 0. Rys. 3.4 pokazuje przybli»ony przebieg tej funkcji. W miar zbli»ania si x do 0 +, argument funkcji sinus ro±nie nieograniczenie, a zatem oscylacje f(x) w przedziale [, ] staj si coraz szybsze. Zachowanie tej funkcji po lewej stronie 0 jest podobne z racji jej nieparzysto±ci. Rysunek podpowiada,»e umiej tnie wybieraj c x n 0 + mo»na wyprodukowa ci gi warto±ci funkcji f(x n ) zbie»ne do dowolnej granicy γ [, ], a tak»e ci gi niezbie»ne. Np. by uzyska ci g x k takich,»e f(x k ) = 0, rozwi zujemy równanie sin x k = 0 = kπ, k =, 2,... x k = x k kπ 0. Podobnie, dla dowolnego γ [, ] wyznaczymy ci g x k, dla których f(x k ) = γ: sin x k = γ x k = α + 2kπ, k = 0,,... x k = Z drugiej strony bior c np. x k = 2 (2k+)π ci g f(x k ) = ( ) k. 2 Klasy asymptotyczne α + 2kπ 0. dla k = 0,, 2,..., otrzymujemy niezbie»ny Wrócimy na chwil do notacji asymptotycznej Bachmanna-Landaua, omawianej wcze±niej w kontek±cie rozbie»no±ci ci gów liczbowych, str. 39. Podobnie jak poprzednio, celem jest prosta charakteryzacja tempa wzrostu lub malenia f(x) ± przy x a, gdzie tym razem a mo»e by równie» punktem sko«czonym. Np. powiemy,»e ln x jest klasy o( ) w pobli»u x = 0, bowiem lim x x 0 ln x + = lim /x x 0 + x ln x = 0. Zwró my uwag,»e nie jest tu istotny nawet ujemny znak ln x chodzi o charakteryzacj tempa rozbie»no±ci logarytmu w pobli»u 0. Z drugiej strony potrzebna bywa tak»e charakteryzacja szybko±ci, z jak pewne wielko±ci malej do 0. Powiemy np.»e sin x jest klasy O(x) w otoczeniu 0, bowiem sin x jak ju» wiemy lim x 0 =, a zatem sin x jest tam wielko±ci ograniczon. x x Podamy tym razem jedynie dwie najbardziej u»yteczne w praktyce denicje. DEFINICJA 3.6 ) Mówimy,»e f(x) jest klasy o(g(x)) w otoczeniu punktu a, co zapisujemy jako f(x) = o(g(x)) lub f(x) o(g(x)) dla x a, je±li f(x) lim x a g(x) = 0,

80 80 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO przy czym dotyczy to tak»e sytuacji, w których granica ma tylko sens jednostronny lub gdy a = ±. 2) Mówimy,»e f(x) jest klasy O(g(x)) w otoczeniu punktu a, co zapisujemy jako f(x) = O(g(x)) lub f(x) O(g(x)) dla x a, je±li istnieje M > 0 oraz δ > 0, dla których f(x) M g(x) gdy x a < δ lub równowa»nie 3 Ci gªo± lim sup x a f(x) g(x) M. Intuicyjnie ci gªo± funkcji f : R R oznacza,»e jeste±my w stanie narysowa jej wykres bez odrywania oªówka od kartki papieru. Nieco inaczej mo»emy opisa t wªasno± mówi c,»e maªe zmiany argumentu wywoªuj maªe zmiany warto±ci funkcji. Do ci gªo±ci jeste±my przyzwyczajeni, bowiem znakomita wi kszo± procesów otaczaj cego nas ±wiata ma charakter ci gªy. Nieliczne zjawiska, w których manifestuje si nieci gªo± zyka okre±la mianem krytycznych. Matematyczna denicja ci gªo±ci odwoªuje si do poj cia granicy, mo»e zatem by sformuªowana bardzo ogólnie, dla odwzorowa«mi dzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi. DEFINICJA 3.7 Mówimy,»e funkcja F : X Y jest ci gªa w punkcie a D(F ), je±li posiada ona w tym punkcie granic równ swojej w nim warto±ci lim F (x) = x a F (a). Funkcj nazywamy ci gª na zbiorze A, je±li jest ona ci gªa w ka»dym punkcie a A. O funkcji ci gªej w ka»dym punkcie swojej dziedziny mówimy krótko,»e jest ci gªa. Zwró my uwag,»e o ile potramy oblicza granice funkcji w punktach spoza jej dziedziny, o tyle nie mo»na mówi o ci gªo±ci funkcji w takich punktach. Ci gªo± lub nieci gªo± mo»liwe s tylko tam, gdzie funkcja jest okre±lona. W ten sposób funkcja f(x) = jest ci gªa w swojej dziedzinie R {0}. Z kolei przyczyn nieci gªo±ci mo»e x by ka»dy z nast puj cych przypadków niespeªnienia wymaga«denicji 3.7: a) Granica lim x a F (x) istnieje, lecz nie jest równa warto±ci F (a), np. x 2 x 0 F (x) = x = 0 b) Dla funkcji F : R R, istniej granice jednostronne lecz nie s sobie równe, przy czym jedna z nich mo»e by równa warto±ci F (a). Mówimy wówczas o jednostronnej ci gªo±ci F, odpowiednio lewo- lub prawostronnej, np. x 2 + x 0 F (x) = x x < 0 c) Granica lim x a F (x) nie istnieje, nawet w sensie jednostronnym mimo,»e funkcja jest okre±lona w punkcie a, np. sin x 0 x F (x) = 0 x = 0

81 8 Rys. 3.5 ilustruje opisane wy»ej typy nieci gªo±ci a) i b). a) b) Rys. 3.5: a) Funkcja posiadaj ca granic lecz nieci gªa. b) Funkcja prawostronnie ci gªa. Ci gªo± jednostronna ma oczywi±cie sens wyª cznie dla funkcji zmiennej rzeczywistej, gdy mo»emy mówi o lewo- i prawostronnych granicach x a i x a +. W przypadku funkcji okre±lonych na dowolnej przestrzeni metrycznej mo»liwe jest zdeniowanie ogólniejszego poj cia ci gªo±ci w zbli»onym duchu, jednak pod warunkiem,»e funkcja przyjmuje warto±ci rzeczywiste, F : X R. Odno±na denicja jest nast puj ca. DEFINICJA 3.8 O funkcji F : X R mówimy,»e jest póªci gªa z góry (z doªu) w punkcie a D(F ), je±li lim sup F (x) F (a) (odpowiednio lim inf F (x) F (a)). x a x a Šatwo przekona si,»e je±li funkcja jest jednocze±nie póªci gª z góry i z doªu w jakim± punkcie, oznacza to,»e jest tam ci gªa. Podobnie, jednoczesna ci gªo± lewoi prawostronna implikuje zwykª ci gªo± w danym punkcie. Funkcje elementarne s z reguªy ci gªe w swoich dziedzinach. Dziaªania arytmetyczne wykonywane na funkcjach ci gªych, jak i skªadanie funkcji ci gªych, produkuj tak»e funkcje ci gªe. 2 S to proste konsekwencje odpowiednich twierdze«dla granic funkcji. Przykªadem prostej funkcji nieci gªej jest cz ± caªkowita, f(x) = [x]. Jest ona nieci gªa w ka»dym punkcie x Z, np. lim x [x] = 0, podczas gdy lim x +[x] =. Jest ona oczywi±cie prawostronnie ci gªa oraz póªci gªa z góry w ka»dym z tych punktów. Przykªad 3.6 Cz sto mniej lub bardziej ±wiadomie korzystamy z ci gªo±ci funkcji przy obliczaniu granic pewnych ci gów. Oto przykªad: zbadajmy granic ci gu x n = n ( ln(n + ) ln n ). Przeksztaªcaj c kolejno mamy lim n( ln(n + ) ln n ) ( ) ( n + = lim n ln = lim ln + ) n n n n n n ( = ln lim + n = ln e =. n n) 2 W przypadku dzielenia, h(x) = f(x)/g(x), mo»e pojawi si problem nieokre±lono±ci funkcji h w punktach, w których g przyjmuje warto± 0. Poniewa» jednak punkty te nie nale» do dziedziny h, nie maj wpªywu na jej ci gªo±.

82 82 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO Przeniesienie symbolu lim pod logarytm jest wªa±nie wykorzystaniem jego ci gªo±ci: jest to wszak operacja wykonana wg schematu lim n F (x n ) = F ( lim n x n ) = F (a), gdzie a jest granic wyliczon dla ci gu {x n }. Pierwsza z równo±ci jest prawdziwa jedynie gdy funkcja F jest ci gªa w a. Denicj ci gªo±ci 3.7 mo»na przeformuªowa w taki sposób, by odwoªywaªa si bezpo±rednio do granicy funkcji w ci gowym uj ciu Heinego 3.4 lub, równowa»nie, do denicji Cauchy'ego, 3.5 To drugie sfomuªowanie pozwala lepiej dostrzec pewn do± subteln lecz wa»n wªasno± zwi zan z ci gªo±ci funkcji na okre±lonym zbiorze: w uj ciu Cauchy'ego funkcja F : X Y jest ci gªa w A X je±li speªniony jest warunek x 0 A ε > 0 δ > 0 x A (3.5) je±li d X (x x 0 ) < δ, to d Y ( F (x) F (x0 ) ) < ε. A wi c dostatecznie maªa zmiana argumentu x w obr bie zbioru A powoduje w kontrolowany sposób maª zmian warto±ci funkcji F. Wa»ne pytanie, które mo»na tu postawi jest nast puj ce: czy podobnie maªa zmiana x gdziekolwiek w A wywoªuje jednakowo maªe wahanie warto±ci funkcji? Jest to pytanie o tzw. ci gªo± jednostajn F. Odpowiedni warunek ró»ni si od (3.5) kolejno±ci kwantykatorów. Pytamy tu czy dla zadanej wielko±ci ε mo»emy dobra δ jednakowe dla wszystkich miejsc x 0 w A zapewniaj ce,»e mniejsze ni» δ odchylenie od x 0 nie wywoªa zmiany warto±ci funkcji wi kszej ni» ε, ε > 0 δ > 0 x 0, x A (3.6) je±li d X (x x 0 ) < δ, to d Y ( F (x) F (x0 ) ) < ε. Zilustrujemy t wªasno± stosownym przykªadem. Przykªad 3.7 Funkcja f : (0, ) R + dana wzorem f(x) = jest ci gªa, lecz x nie jednostajnie ci gªa w swojej dziedzinie. Problemem jest nieograniczone tempo jej wzrostu w miar zbli»ania si argumentu x do 0. Wybrawszy ε > 0, poszukajmy odpowiedniej dla tej funkcji liczby δ. Warunek, który chcemy speªni to ε > x = x x 0 x 0 xx 0 dla wszystkich x z przedziaªu 0 < x 0 δ < x < x 0 + δ, sk d xx 0 ε > δ > x x 0. Najmniejsza mo»liwa warto± lewej strony tej nierówno±ci to (x 0 δ)x 0 ε, a wi c St d otrzymujemy ostatecznie x 2 0ε > δ + δx 0 ε = δ( + x 0 ε). x 2 0ε + x 0 ε > δ. Jak wida, po ustaleniu x 0 i ε jeste±my w stanie natychmiast wyliczy stosowne δ > 0, natomiast nie potramy uwolni wyboru δ od zale»no±ci od x 0. To samo

83 mo»na zaobserwowa tak»e inaczej: dla ka»dego δ, niewa»ne jak maªego, istniej zawsze liczby 0 < x, x 0 < δ dla których ró»nica x x 0 mo»e by dowolnie du»a. Z drugiej strony, gdyby ograniczy dziedzin tej samej funkcji y = do przedziaªu x [α, ], gdzie α > 0, wówczas z uwagi na to,»e x 0 α), mieliby±my x 2 0ε + x 0 ε α2 ε + αε > δ niezale»nie od lokalizacji x 0 wewn trz dziedziny. Zako«czymy bie» cy podrozdziaª wa»nym twierdzeniem, mówi cym o tym, w jakich warunkach zwykªa ci gªo± gwarantuje automatycznie ci gªo± jednostajn. Podajemy je bez dowodu. TWIERDZENIE 3.3 Funkcja ci gªa na zbiorze zwartym jest w nim automatycznie ci gªa jednostajnie. Najbardziej istotn konsekwencj tego ogólnego twierdzenia jest dla nas fakt,»e ka»da funkcja f : R R ci gªa na przedziale domkni tym [a, b] jest w nim ci gªa jednostajnie. III.3 Twierdzenia o funkcjach ci gªych Podamy teraz kilka twierdze«opisuj cych zachowanie rzeczywistych funkcji ci gªych na przedziaªach domkni tych. Mo»na bez trudu sformuªowa ich nieco ogólniejsze wersje dla funkcji rzeczywistych okre±lonych na przestrzeni metrycznej F : X R przy ograniczeniu ich do zwartych podzbiorów w X. Dowody lub ich szkice podajemy tylko wówczas, gdy maj one walor konstrukcyjny. Zwró my uwag,»e tezy omawianych tu twierdze«mog cz sto wydawa si intuicyjnie oczywiste. Wynika to ze wspomnianego ju» wy»ej naszego przyzwyczajenia do ci gªo±ci procesów obserwowanych w otaczaj cym ±wiecie. Jednak intuicja w matematyce mo»e peªni co najwy»ej rol pomocnicz, a twierdzenia wymagaj zawsze formalnego dowodu. TWIERDZENIE 3.4 (Weierstrassa) Ka»da funkcja f ci gªa w przedziale [a, b] jest tam ograniczona. Ponadto osi ga ona w [a, b] swoje kresy dolny i górny, m oraz M (tj. istniej punkty p, q [a, b] takie,»e f(p) = m oraz f(q) = M). Dowód. Na podstawie Twierdzenia 3.3 zachodzi warunek (3.6). Wybieraj c np. ε =, istnieje δ takie,»e dla dowolnych dwóch punktów x, x [a, b] odlegªych o mniej ni» δ zachodzi f(x) f(x ) <. Wybieraj c liczb n tak aby b a < δ, mo»emy podzieli n przedziaª [a, b] równomiernie na n podprzedziaªów a = a 0 < a < < a n = b, ka»dy o dªugo±ci mniejszej ni» δ. Zatem dla ka»dego z nich, wybieraj c dowolnie punkt x, a k x a k+, mamy f(x) f(a k ) <, a wi c f(x) < + f(a k ). 83 Je±li teraz oznaczymy przez C = max 0 k n ( + f(a k ) ), wówczas f(x) < C, a wi c nasza funkcja jest ograniczona na [a, b]. Istniej zatem kresy górny i dolny zbioru

84 84 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO jej warto±ci, tj. M = sup x [a,b] f(x) i m = inf x [a,b] f(x). Dalej, gdyby M nie byªo osi gane jako warto± f w pewnym punkcie q [a, b], wówczas M f(x) > 0 na caªym tym przedziale, a zatem funkcja g(x) = M f(x) byªaby okre±lona i ci gªa na [a, b]. Na podstawie tego co ustalili±my powy»ej, byªaby ona ograniczona na [a, b]: dla pewnego N zachodziªoby g(x) < N, czyli równowa»nie f(x) < M dla wszystkich a x b. To jednak przeczyªoby temu,»e M jest N kresem górnym f na [a, b]. A zatem M = f(q) dla pewnego q [a, b]. Identyczny argument pokazuje,»e kres dolny m te» jest przez funkcj f osi gany. Kolejne twierdzenie ma fundamentalne znaczenie, miedzy innymi dla uzasadnienia poprawno±ci wszelkich metod numerycznego wyznaczania pierwiastków równa«. TWIERDZENIE 3.5 (Wªasno± Darboux) Funkcja ci gªa w przedziale [a, b] przechodzi od jednej swojej warto±ci do drugiej przez wszystkie warto±ci po±rednie: dla dowolnego y le» cego pomi dzy liczbami f(a) i f(b) istnieje c [a, b] takie,»e y = f(c). Natychmiastowym wnioskiem z powy»szego twierdzenia jest fakt,»e je±li warto±ci funkcji ci gªej ró»ni si znakiem na ko«cach przedziaªu, f(a) f(b) < 0, to le»y w nim co najmniej jeden pierwiastek równania f(x) = 0. Dowód Twierdzenia 3.5, podany oryginalnie przez czeskiego matematyka i teologa Bernarda Bolzano (74848), posªuguje si bardzo podobn do poprzedniego argumentu technik : sprowadzamy do absurdu przypuszczenie,»e y f(x) w caªym [a, b], a wi c,»e funkcja g(x) = y f(x) jest tam ci gªa i przez to ograniczona. Szczegóªowy dowód pomijamy, p. np. [6], Ÿ 5.4. Obydwa ostatnie twierdzenia prowadz do nast puj cego podsumowuj cego je wniosku: Funkcja ci gªa w [a, b] przyjmuje w nim wszystkie warto±ci od swojego minimum m do maksimum M wª cznie. Innymi sªowy, zbiorem warto±ci funkcji jest przedziaª domkni ty [m, M]. Je±li f : [a, b] R jest ró»nowarto±ciowa, posiada funkcj odwrotn. Jak mo»na si spodziewa, ci gªo± f gwarantuje ci gªo± funkcji odwrotnej. TWIERDZENIE 3.6 Je±li y = f(x) jest funkcj ci gª i ró»nowarto±ciow w [a, b], to funkcja do niej odwrotna x = g(y) jest tak»e ciagªa w przedziale [m, M], gdzie m i M oznaczaj odpowiednio kresy dolny i górny f w [a, b]. Dowód. Na podstawie sformuªowanego przed chwil wniosku, funkcja g jest okre±lona w caªym przedziale [m, M]. Niech d [m, M], c = g(d) oraz niech {y n } [m, M] b dzie dowolnym ci giem zbie»nym do d. Mo»na wi c wskaza jednoznacznie ci g {x n } [a, b] taki,»e x n = g(y n ), n =, 2,... Pozostaje nam udowodnienie,»e g(y n ) = x n c = g(d). Gdyby ci g {x n } nie byª zbie»ny do c, wówczas, jako»e jest ograniczony, musiaªby zawiera podci g {x nk } zbie»ny do innej liczby c c. Skoro funkcja f jest z zaªo»enia ci gªa, zatem lim k f(x nk ) = f(c ). Poniewa» jednak

85 85 y nk = f(x nk ) jest podci giem zbie»nego ci gu {y n }, musi mie identyczn z nim granic. St d f(c ) = d = f(c) i na podstawie ró»nowarto±ciowo±ci c = c. Jako wnioski pªyn ce z ostatniego twierdzenia zanotujmy ci gªo± funkcji okre- ±lonych jako odwrotne do prostych funkcji elementarnych, ograniczonych je±li trzeba do tych kawaªków dziedziny, w których staj si ró»nowarto±ciowe, a wi c np. y = x /n, y = log a x, y = arcsin x, y = arccos x itd. Zako«czymy ten podrozdziaª zgodnym z nasz intuicj wynikiem wi» cym ró»- nowarto±ciowo± z monotoniczno±ci funkcji ci gªych. TWIERDZENIE 3.7 Ka»da funkcja ró»nowarto±ciowa i ci gªa na przedziale [a, b] jest w nim ±ci±le monotoniczna: albo ±ci±le rosn ca, albo te» ±ci±le malej ca. Dowód tego twierdzenia pomijamy. III.4 Ci gi i szeregi funkcyjne Rozdziaª niniejszy stanowi w swoim zamierzeniu elementarne wprowadzenie do teorii aproksymacji, która jest dziaªem analizy koncentruj cym si na technikach przybli-»ania funkcji okre±lonej klasy innymi, z reguªy ªatwiejszymi do obliczania, prostymi funkcjami, np. takimi jak wielomiany. Zadania aproksymacyjne s typowymi zadaniami z zakresu metod numerycznych nale» cych do kanonu wyksztaªcenia informatycznego. Ci gi funkcyjne, zbie»no± jednostajna W celu wprowadzenia niezb dnych poj posªu»ymy si prostym przykªadem. Niech f(x) = e x i zaªó»my,»e interesuj nas warto±ci f dla x w zakresie x. Bezpo±rednie obliczanie f(x) jest z reguªy trudne, bowiem z jednej strony nie dysponujemy dokªadn warto±ci staªej e, z drugiej za± wyznaczanie uªamkowych pot g jest obliczeniowo skomplikowane. Jak si przekonamy w podrozdziale IV.6, przybli»one warto±ci e x mo»na wyznacza w caªym interesuj cym nas przedziale posªuguj c si wielomianami w n (x) = + x + x2 2! + x3 3! + + xn n!, przy czym bª d takiego przybli»enia n (x) = e x w n (x) nie przekracza wielko±ci liczby 3 x n+, a wi c w otoczeniu 0 jest klasy (n+)! O(xn+ ) albo w alternatywnej charakteryzacji o(x n ). Wielomiany w n (x) tworz wi c ci g przybli»e«funkcji e x o dokªadno±ci wzrastaj cej wraz z n. Podana przed chwil asymptotyka dotyczy zachowania si bª du n dla x 0, gdy jednak chodzi o oszacowanie dokªadno±ci przybli»enia dla konkretnej warto±ci x, jak widzimy n jest wówczas zale»na od x. Jednak uwzgl dniaj c fakt,»e x, mo»na pozby si tej zale»no±ci za cen nieco mniej precyzyjnego okre- ±lenia wielko±ci bª du: n (x) 3 dla wszystkich x [, ] lub równowa»nie (n+)! sup x [,] n (x) 3. (n+)!

86 86 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO Zauwa»my,»e dla dowolnych funkcji ci gªych f i g okre±lonych na przedziale [a, b], przyjmuj cych warto±ci rzeczywiste lub zespolone, wielko± d(f, g) = sup f(x) g(x) (3.7) x [a,b] jest sko«czona i speªnia wszystkie postulaty metryki z Denicji 2.. Innymi sªowy zbiór funkcji ci gªych na odcinku [a, b] o warto±ciach w R lub C jest wraz z okre- ±lon wy»ej odlegªo±ci d przestrzeni metryczn. Okazuje si,»e jest to przestrze«zupeªna, a wi c ka»dy ci g Cauchy'ego jest w niej zbie»ny. Oznaczamy j symbolem C([a, b]). Zmierzamy do tego by wyrazi wªasno± aproksymacji funkcji f przez ci g kolejnych przybli»e«{g n } w terminach zbie»no±ci g n f w przestrzeni C([a, b]). W naszym przykªadzie sup x n jest miar odlegªo±ci n-tego wielomianowego przybli-»enia w n od funkcji e x niezale»n od x. Poniewa» wielko± ta maleje do 0 wraz ze wzrostem n, ci g wielomianów {w n } zbiega do e x w powy»szym sensie. Podkre±lmy: przybli»enie jednostajne funkcji f(x) przez pewn funkcj g(x) jest jednakowo dokªadne dla wszystkich x [a, b]. DEFINICJA 3.9 Zbie»no± lim n g n = f w przestrzeni metrycznej C([a, b]) nazywamy zbie»no±ci jednostajn ci gów funkcyjnych. Istotn konsekwencj faktu,»e C([a, b]) jest zupeªn przestrzeni metryczn jest automatyczna ci gªo± granicy ka»dego jednostajnie zbie»nego ci gu funkcji ci gªych. Nast puj ce twierdzenie pokazuje,»e rozwa»any przez nas przed chwil przykªad jest typowy w tym sensie,»e ci g przybli»e«stanowi w nim wielomiany. Nie jest bowiem a priori oczywiste,»e ka»da funkcja ci gªa daje si dobrze przybli»a bardzo por cznymi w procedurach obliczeniowych funkcjami jakimi s wielomiany. TWIERDZENIE 3.8 (Weierstrass) Ka»da funkcja ci gªa na odcinku jest granic jednostajnie zbie»nego ci gu wielomianów. Istnieje wiele metod konstrukcji wielomianów przybli»aj cych jednostajnie dan funkcj. Nie b dziemy tu jednak rozwija tego zagadnienia, odsyªaj c zainteresowanego czytelnika do stosownych podr czników i wykªadu metod numerycznych. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których z powodów praktycznych wygodnie jest posªugiwa si sªabszym poj ciem zbie»no±ci ci gów funkcyjnych. Mamy tu na my±li tzw. zbie»no± punktow. Dotyczy to w szczególno±ci sytuacji, gdy nie mo»na zredukowa dziedziny rozwa»anych funkcji do domkni tego przedziaªu lub gdy przybli»ane funkcje s nieci gªe i w zwi zku z tym le» poza przestrzeniami C([a, b]). DEFINICJA 3.0 Mówimy,»e ci g funkcji {g n } okre±lonych na wspólnej dziedzinie D R o warto±ciach w R lub C jest zbie»ny punktowo do funkcji f tak»e okre±lonej na D, je±li dla ka»dego x D z osobna zbie»ny jest ci g warto±ci {g n (x)} przy czym lim n g n(x) = f(x). Ka»dy ci g zbie»ny jednostajnie zbiega tak»e punktowo do swojej funkcji granicznej, jednak stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Przykªadem jest ci g funkcji f n (x) = x n na odcinku [0, ].

87 Przykªad 3.8 Niech f n : [0, ] [0, ] b d dane przez f n (x) = x n. Zauwa»amy ªatwo,»e dla ka»dego 0 x < ci g f n (x) = x n maleje do 0, natomiast dla x = jest to ci g staªy. St d funkcja graniczna f(x) ma posta f(x) = 0 0 x < x = Jako funkcja nieci gªa, f nie jest elementem przestrzeni metrycznej C([0, ]). Poniewa» funkcje f n (x) = x n s ci gªe na [0, ], nie mog tworzy ci gu jednostajnie zbie»nego, w przeciwnym bowiem razie ci g ten miaªby granic w C([0, ]]. Istota ró»nicy mi dzy zbie»no±ci punktow a jednostajn polega na tym,»e w przypadku tej ostatniej zbie»no± {g n (x)} do f(x) przebiega jednakowo szybko we wszystkich punktach x [a, b], podczas gdy dla zbie»no±ci punktowej jej tempo w ró»nych punktach x mo»e by nieporównywalne. A wi c oszacowanie bª du g n (x) f(x) dla punktowego przybli»enia g n zale»y na ogóª delikatnie od x: g n (x) bardzo dokªadne dla cz ±ci punktów x mo»e by nieakceptowalnie sªabe jako przybli-»enie f(x) w innych cz ±ciach przedziaªu [a, b]. Trzeba wówczas si gn do znacznie dalszych elementów ci gu {g n } w celu poprawy tego przybli»enia (w szczególno±ci mog to by wielomiany o wiele wy»szego stopnia, których obliczanie w praktyce wymaga znacznie wi kszego nakªadu pracy). 2 Szeregi funkcyjne W dalszej cz ±ci rozdziaªu zajmiemy si szeregami funkcyjnymi. Niech dany b dzie ci g funkcji {f n } okre±lonych na tym samym zbiorze f n : D R lub f n : D C. Szereg funkcyjny jest formaln sum n= 87 f n (x). (3.8) Podobnie jak w przypadku szeregów liczbowych, szereg funkcyjny (3.8) nazywamy zbie»nym, gdy zbie»ny jest ci g sum cz ±ciowych S N (x) = N f n (x). n= Zale»nie od rodzaju zbie»no±ci ci gu {S N } mówimy odpowiednio o zbie»no±ci punktowej b d¹ jednostajnej szeregu (3.8). Zbie»no± ta jest dodatkowo bezwzgl dna je±li zachodzi tak»e dla szeregu f n (x). n= Nasz pierwszy wniosek jest prost konsekwencj zupeªno±ci przestrzeni metrycznej C(D), w której zgodnie jego z zaªo»eniem zbiega ci g sum cz ±ciowych {S N }. TWIERDZENIE 3.9 Suma S(x) jednostajnie zbie»nego szeregu funkcji ci gªych jest funkcj ci gª.

88 88 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO Kolejne twierdzenie charakteryzuje zbie»no± szeregu (3.8) przez zbie»no± odpowiedniego szeregu liczbowego utworzonego z ogranicze«funkcji f n. TWIERDZENIE 3.0 (Kryterium Weierstrassa zbie»no±ci jednostajnej) Zaªó»my,»e dla ka»dego n istnieje liczba b n 0 taka,»e sup x D f n (x) b n. Wówczas je- ±li zbie»ny jest szereg n= b n, wtedy tak»e n= f n (x) jest zbie»ny jednostajnie i bezwzgl dnie. Dowód. Zbie»no± b n oznacza,»e szereg ten speªnia warunek Cauchy'ego (2.4), to jest»e dla dowolnego ε istnieje indeks N taki,»e nierówno± b N+ + b N b N+k < ε speªniona jest dla dowolnego k > 0. St d na podstawie zaªo»enia mamy tak»e S N+k (x) S N (x) = sup f N+ (x) + f N+2 (x) + + f N+k (x) sup x D x D sup x D ( fn+ (x) + f N+2 (x) + + f N+k (x) ) sup f N+ (x) + sup f N+2 (x) + + sup f N+k (x) ) x D x D x D b N+ + b N b N+k < ε, a wi c sumy cz ±ciowe {S n (x)} tak»e tworz ci g Cauchy'ego w C(D). Poniewa» jest to przestrze«zupeªna, ci g {S N (x)} jest w niej jednostajnie zbie»ny. Zbie»no± bezwzgl dna szeregu (3.8) wynika bezpo±rednio z przedostatniej nierówno±ci. Innym wa»nym narz dziem badania zbie»no±ci jednostajnej sum (3.8) jest kryterium Dirichleta, b d ce w istocie przeniesieniem Twierdzenia 2.2 na przypadek szeregów funkcyjnych. TWIERDZENIE 3. (Kryterium Dirichleta zbie»no±ci jednostajnej) Szereg n= a n (x) f n (x) (3.9) jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze D je±li funkcje a n (x) tworz ci g monotoniczny zbie»ny jednostajnie do 0 oraz sumy cz ±ciowe F N (x) = N n= f n (x) s wspólnie ograniczone na D, t.j. istnieje M takie,»e F N (x) M dla wszystkich N i x D. Szkic dowodu. Podobnie jak w przypadku szeregów liczbowych w Twierdzeniu 2.2 dowód polega na wykazaniu,»e (3.9) speªnia wªasno± Cauchy'ego (2.4) jednostajnie w x. Wykorzystujemy przy tym zaªo»enie o jednostajnej zbie»no±ci ci gu {a n (x)} do 0, które pozwala na oszacowanie a n (x) < ε dla dostatecznie du»ych n niezale»nie od x. Przykªad 3.9 Wybieraj c w (3.9) jako a n (x) funkcje staªe, zbadamy zbie»no± wa»nych szeregów trygonometrycznych a n sin nx n= oraz n= a n cos nx. (3.0)

89 Zakªadamy oczywi±cie monotoniczn zbie»no± ci gu {a n } do 0. By speªni drugie z zaªo»e«warunku Dirichleta, przyjmuj c odpowiednio f n (x) = sin nx lub f n (x) = cos nx, nale»y pokaza,»e ograniczone s sumy cz ±ciowe F N (x) = N n= f n (x). Skorzystamy tu z to»samo±ci trygonometrycznych, które mo»na ªatwo udowodni indukcyjnie: N n= N n= 89 sin nx = cos 2 x cos(n + 2 )x 2 sin 2 x, (3.) cos nx = sin(n + 2 )x sin 2 x 2 sin 2 x. (3.2) Udowodnimy pierwsz z nich. Zauwa»my,»e dla N = mamy L = sin x = 2 sin 2 x sin x 2 sin 2 x = cos 2 x cos 3 2 x 2 sin 2 x = P. Zakªadaj c wi c prawdziwo± wzoru (3.) dla N, otrzymujemy kolejno N sin nx + sin(n + )x n= = cos 2 x cos(n + 2 )x 2 sin 2 x + sin(n + )x = cos x cos(n + )x + 2 sin x sin(n + )x sin x 2 = cos 2 x cos(n + 2 )x + cos(n + 2 )x cos(n )x 2 sin 2 x = cos 2 x cos((n + ) + 2 )x 2 sin 2 x. Podobnie przeprowadza si dowód drugiej to»samo±ci. Mo»emy teraz stwierdzi,»e obydwie sumy (3., 3.2) s ogranicznone, niezale»nie od N, przez liczb /(sin 2 x), bo liczniki prawych stron udowodnionych dopiero co to»samo±ci oszacowuj si z góry przez 2. Oczywi±cie nale»y wykluczy uprzednio warto±ci x = 2kπ, k = 0, ±, ±2,... St d ju» pªynie wniosek o jednostajnej zbie»no±ci sum (3.0) w dowolnym przedziale domkni tym nie zawieraj cym wielokrotno±ci 2π. 3 Szeregi pot gowe Szczególn klas szeregów funkcyjnych stanowi szeregi pot gowe. S to sumy postaci n=0 a n x n, (3.3) gdzie wspóªczynniki a n oraz argument x mog przyjmowa warto±ci rzeczywiste lub zespolone. Jak wida, szeregi pot gowe s naturalnym uogólnieniem wielomianów sko«czonego stopnia. Zbie»ne szeregi pot gowe stanowi bardzo wygodn rachunkowo reprezentacj pewnych obszernych klas funkcji i dlatego cz sto pojawiaj si w

90 90 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO zastosowaniach, w szczególno±ci w zagadnieniach aproksymacyjnych lub w metodach rozwi zywania równa«ró»niczkowych. W porównaniu z ogólnymi szeregami funkcyjnymi f n (x), prosta algebraiczna struktura szeregów pot gowych pozwala na precyzyjn analiz zakresu zmienno±ci x gwarantuj cego zbie»no± sumy (3.3). Mo»na w tym celu odwoªa si bezpo±rednio do kryterium Cauchy'ego, Twierdzenie 2.7 lim sup n n a n x n = x lim sup n n a n = x c <, (3.4) a wi c x <, pod warunkiem,»e c nie jest równe ani 0 ani. Wprowadzaj c c oznaczenie /c gdy 0 < c <, ϱ = gdy c = 0, 0 gdy c =, zapiszemy warunek (3.4) w peªnej ogólno±ci jako x < ϱ. (3.5) Je±li wi c x przyjmuje warto±ci rzeczywiste, powy»szy warunek zbie»no±ci szeregu (3.3) wyznacza otwarty przedziaª na R, natomiast gdy x jest zespolone, (3.5) opisuje otwarte koªo w C st d przyj ªo si okre±la wielko± ϱ jako promie«zbie»no±ci szeregu (3.3). Nast puj cy lemat wyczerpuj co charakteryzuje zbie»no± szeregów pot gowych. LEMAT 3.2 Szereg pot gowy jest zbie»ny wewn trz, a rozbie»ny na zewn trz swojego koªa (przedziaªu) zbie»no±ci (3.5), natomiast dla x le» cych na jego brzegu mo»e by zarówno zbie»ny jak i rozbie»ny. Ponadto szereg ten jest zbie»ny jednostajnie i bezwzgl dnie na ka»dym domkni tym podzbiorze swojego koªa (przedziaªu) zbie»no±ci. Dowód. Pierwsza cz ± lematu jest oczywista i wynika bezpo±rednio z (3.4). Zbie»no± jednostajna na domkni tym podzbiorze D koªa (3.5) wynika z zastosowania kryterium Weierstrassa (Twierdzenie 3.0) do naszego przypadku: poniewa» d = sup D x < ϱ, a zatem dla wszystkich x D mamy a n x n a n d n = b n, sk d b n jest na pewno zbie»ny. Nieprzewidywalne zachowanie si szeregów pot gowych na brzegu koªa zbie»no±ci ilustruje poni»szy przykªad. Przykªad 3.0 Rozwa»my szereg pot gowy S(x) = x n n=0 o promieniu zbie»no±ci ϱ =. S(x) jest wi c poprawnie okre±lon funkcj dla x <. Dla x = mamy S() =, szereg jest rozbie»ny, natomiast dla x = szereg

91 S() = + + nie posiada sko«czonej ani niesko«czonej sumy granicznej. Z kolei rozwa»my szereg ( ) n+ R(x) = x n. n n= Poniewa» a n n = n n, promie«zbie»no±ci tak»e i w tym wypadku wynosi. Tym razem R() = + jest szeregiem anharmonicznym (p. Przykªad 2.26), 2 3 a wi c sumuje si do sko«czonej warto±ci w jednym ko«cu przedziaªu zbie»no±ci, podczas gdy w drugim jest rozbie»ny, R( ) = ( ). 2 3 Zauwa»my przy okazji,»e dla pierwszego szeregu mamy S(x) =, poniewa» x jest to zwykªy szereg geometryczny. Równo± ta ma jednak sens wyª cznie dla x < : jak widzieli±my, lewa strona tej równo±ci nie ma wogóle okre±lonej warto±ci w punkcie x =, podczas gdy prawa strona, przeciwnie, ma jednoznaczn warto± =. Podobnie np. S(2) =, natomiast =, itd. Jak przekonamy ( ) 2 2 si w nast pnym rozdziale, dla drugiego rozwa»anego tu szeregu zachodzi równo± R(x) = ln( + x). Tu podobnie, równo± ta ma sens dla x < i jak si okazuje wyj tkowo dla x = : mo»na bowiem udowodni,»e + = ln 2. Z kolei 2 3 np. dla x = 2 suma szeregu R nie istnieje, natomiast prawa strona wynosi ln 3, itp. 9 Zauwa»my na koniec,»e zbie»no± jednostajna szeregu pot gowego na podzbiorach zawartych w kole zbie»no±ci gwarantuje ci gªo± jego sumy S(x). Okazuje si,»e ewentualna zbie»no± w pewnych punktach brzegowych tak»e i tam gwarantuje (jednostronn ) ci gªo± S(x). III.5 Zadania do rozdziaªu III Zadanie Wyznaczy granice Zadanie 2 ( lim + x x oraz lim ( + x) x) /x. x 0 a x Wyznaczy granic lim, gdzie a > 0. x 0 x Rozwi zanie. Zilustrujemy na tym przykªadzie technik obliczania granic przez zamian zmiennej. Wykluczymy najpierw przypadek a =, w którym granica ta trywialnie wynosi 0. Je±li wi c a, zast pimy x przez wyra»enie log a ( + t). Zauwa»my,»e granicy x 0 odpowiada teraz przej±cie t 0. Mamy kolejno a x lim x 0 x a loga(+t) = lim t 0 log a ( + t) = lim log a ( + t) /t = = lim t 0 t log a ( + t) = lim t log a e = ln a. log t a( + t) W ostatnim kroku dokonali±my zamiany podstawy logarytmu zgodnie z ogóln, przydatn to»samo±ci log a b log b c = log a c. Zadanie 3 Policzy nast puj ce granice funkcji ([x] oznacza cz ± caªkowit liczby x):

92 92 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) x 3 8 lim x 2 x 2 lim x 2 x + 2 x lim( ) [x] x 3 x 3 x 2 9 x lim x( x 2 + x) 3 0 x 2 lim x 2 x 2 cos x lim x 0 x 2 tan x sin x lim x 0 x 3 sin 2x lim x 0 sin 3x arctg x lim x 0 x ln( + x) lim x 0 3 x ln(a + x) ln a lim x 0 x e x e x lim x 0 sin x lim x 0 x[ x ] lim 2 /x x 0 lim x 0 xα ln x dla α > 0 + [ ] x b lim (tak»e dla x 0 ) x 0 + a x e /x lim x 0 + e /x + lim x + sin 2x x 0 (tak»e dla x 0 ) Zadanie 4 Wykaza,»e nie istniej granice funkcji: (a) (b) (c) lim sin x x lim 2 /x x 0 lim sin x x

93 93 Zadanie 5 Czy mo»na okre±li funkcj f(x) w punkcie x = 0 tak, by byªa ona ci gªa? (a) (b) (c) f(x) = x + x f(x) = sin x x f(x) = x sin x (d) f(x) = sin2 x cos x (e) f(x) = [x] + [ x], gdzie [x] oznacza cz ± caªkowit liczby x. Zadanie 6 Dla jakich c funkcja f(x) = c x x < 3cx 2 x jest ci gªa? Zadanie 7 Wykaza podstawowe to»samo±ci dla funkcji hiperbolicznych: (a) Jedynka hiperboliczna: cosh 2 x sinh 2 x = (b) sinh 2x = 2 sinh x cosh x (c) cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x (d) sinh x + cosh x = e x (e) sinh(ix) = i sin x, gdzie i C oznacza jednostk urojon. (f) cosh(ix) = cos x (g) sinh x = i sin(ix) (h) cosh x = cos(ix) Zadanie 8 Wyznaczy funkcje odwrotne do sinh x i cosh x. Rozwi zanie. Dla y = sinh x mamy 2y = e x e x. Oznaczaj c t = e x i konsekwentnie /t = e x mamy 2y = t t, czyli t2 2yt = 0, a wi c t = y + y 2 + (bo t = e x jest z zaªo»enia dodatnie) i ostatecznie x = arcsinh y = ln(y + y 2 + ).

94 94 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO By znale¹ funkcj odwrotn do y = cosh x, ograniczamy najpierw jej dziedzin tak, by staªa si ró»nowarto±ciowa, a wi c wprowadzamy ograniczenie x 0. Podobnie jak poprzednio otrzymujemy równanie kwadratowe w t = e x, t 2 2yt + = 0, przy czym tym razem t. Wówczas rozwi zanie ma posta t = y + y 2, a wi c ostatecznie x = arccosh y = ln(y + y 2 ). Zadanie 9 Wyznaczy przedziaª zbie»no±ci szeregu pot gowego: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) ( ) k x k k= k x k k= k 2 (x 3) k k= k=0 k=2 k= k= Zadanie 0 k 3 2 k k! x k x k ln k ( ) k+ (k!) 2 ( x 2 3 ) k k! 3 (2k )( x 2 ) k Dla jakich warto±ci x R zbie»ny jest szereg: (a) (b) (c) (d) (e) (f) x k k= 7 k k= x 2k k= x k=0( 2 ( x + e kx k=0 k= x ) k 2 k! (kx) k ) k

95 95 (g) k= ( x ) k 2 k x + 2

96 96 ROZDZIAŠ III. FUNKCJE: GRANICE I CI GŠO

97 Rozdziaª IV Rachunek ró»niczkowy Rachunek ró»niczkowy i rachunek caªkowy, którym zajmiemy si w nast pnym rozdziale, stanowi centraln cz ± ka»dego kursu analizy matematycznej. Klasyczne uj cie rachunku ró»niczkowego i caªkowego powstaªo w XVII wieku w pracach I. Newtona i G. Leibniza. Dla Newtona punktem wyj±cia byªa zyka i matematyczny, sformalizowany opis ruchu i wielko±ci z nim zwi zanych. Leibniz za± nadaª metodom opracowanym przez Newtona systematyczny, matematyczny opis, w szczególno±ci rozwin ª stosowan do dzi± notacj. Obydwaj niezale»nie udowodnili bardzo wa»ne, podstawowe twierdzenie rachunku ró»niczkowego i caªkowego, które wi»e ze sob obydwa te dziaªy. IV. Pochodne funkcji jednej zmiennej Pochodna pierwszego rz du Okre±limy operacj ró»niczkowania dla funkcji f : R R. Niech punkt x 0 nale»y do przedziaªu otwartego zawartego w dziedzinie funkcji f. Wyra»enie Q f (x 0, h) = f(x 0 + h) f(x 0 ) h nazywamy ilorazem ró»nicowym funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu h. Geometryczny sens ilorazu ró»nicowego obja±nia Rys. 4.. Dla niewielkich h warto± ilorazu ró»nicowego stanowi przybli»on informacj o tym jaki jest lokalny k t nachylenia wykresu y = f(x) do osi OX w pobli»u x 0, a wi c o tym jak szybko ro±nie funkcja f w tym miejscu. By wyeliminowa niedokªadno± takiej charakteryzacji mo»na policzy granic Q f (x 0, h) przy h zmierzaj cym do 0. To wªa±nie prowadzi nas do poj cia pochodnej funkcji f. DEFINICJA 4. Pochodn funkcji f w punkcie x 0 D(f) nazywamy granic ilorazu ró»nicowego Q f (x 0, h) przy h 0 i oznaczamy symbolem df lub krótko f (x dx 0 ), x=x0 a wi c f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim Q f (x 0, h) = lim, (4.) h 0 h 0 h danie to pozwoli nam osi ga punkt x 0 jako granic z dowolnej strony, tak jak wymaga tego denicja pochodnej f w punkcie x 0. 97

98 98 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY h f( x 0 +h)-f(x) x 0 x 0 +h Rys. 4.: Iloraz ró»nicowy funkcji f ma warto± tan α, gdzie α jest k tem nachylenia siecznej ª cz cej punkty ( x 0, f(x 0 ) ) oraz ( x 0 + h, f(x 0 + h) ) na wykresie y = f(x). je±li ta granica istnieje. Mówimy wówczas,»e f jest ró»niczkowalna w punkcie x 0. W obrazie geometrycznym przej±cie graniczne h 0 odpowiada stopniowemu zbli-»aniu si punktu x 0 + h do x 0 i co za tym idzie stopniowemu przechodzeniu siecznej w lini styczn do wykresu y = f(x) w punkcie x 0, por. Rys Rozpocznijmy nasz dyskusj o pochodnych od sformuªowania prostego cho bardzo istotnego wniosku. LEMAT 4. Je±li funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, to jest tam ci gªa. Dowód. Mamy ( h f(x0 + h) f(x 0 ) + f(x 0 ) ) lim f(x) = lim f(x 0 + h) = lim x x 0 h 0 h 0 h = lim h 0 h f(x 0 + h) f(x 0 ) h = 0 f (x 0 ) + f(x 0 ). + lim h 0 h f(x 0) h W ostatniej równo±ci skorzystali±my z faktu,»e granica iloczynu jest równa iloczynowi granic je±li obydwie one s sko«czone. Przyjrzyjmy si na przykªadach w jaki sposób wyznacza mo»na warto±ci pochodnej wprost z denicji. Przykªad 4. Niech f(x) = x 2 i policzmy pochodn f w punkcie x 0 = a. Mamy f (a) = lim h 0 (a + h) 2 a 2 h = lim h 0 2ah + h 2 h = lim h 0 2a + h = 2a.

99 99 x 0 x 0 +h x 0 +h 2 Rys. 4.2: Geometryczna interpretacja pochodnej f (x 0 ). Przy przej±ciu granicznym h 0 sieczne ª cz ce kolejne punkty ( x 0 + h, f(x 0 + h) ) z ( x 0, f(x 0 ) ) zbli»aj si do linii stycznej do wykresu f(x) w punkcie x 0. f (x 0 ) ma wi c warto± tangensa k ta nachylenia tej stycznej do osi OX, czyli jej wspóªczynnika kierunkowego. Poniewa» a byªo dowolne, otrzymali±my ogólny wzór na warto± pochodnej funkcji kwadratowej, (x 2 ) = 2x. Przykªad 4.2 Niech tym razem f(x) = x. Obieraj c x 0 = 0 otrzymujemy odno±ny iloraz ró»nicowy w postaci Q f (0, h) = 0 + h 0 h = h h. Wyra»enie to nie posiada granicy przy h zmierzaj cym do 0, bowiem granice jednostronne Q f (0, h) dla h 0 + oraz h 0 s ró»ne i wynosz odpowiednio + i. Wida wi c,»e funkcja f(x) = x nie jest ró»niczkowalna w 0. Jest to sytuacja typowa dla wszystkich funkcji, których wykresy zawieraj ostrza: w takich punktach nie mo»na jednoznacznie okre±li kierunku linii stycznej. Je±li jednak zapytamy o warto± pochodnej f w punktach x 0 = a innych ni» 0, wyznaczymy j jednoznacznie bez trudu. Je±li a > 0 wówczas dla dostatecznie maªych co do moduªu warto±ci h tak»e a + h > 0. A zatem a + h a lim h 0 h = lim h 0 a + h a h =. Z drugiej strony, gdy a < 0, wówczas tak»e dla dostatecznie maªych h mamy a+h < 0, sk d a + h a (a + h) ( a) lim = lim =. h 0 h h 0 h Jak wida, pochodn funkcji f(x) = x mo»na scharakteryzowa jako f + x > 0 (x) = x < 0,

100 00 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY Rys. 4.3: Funkcja f(x) = x sin przedªu»ona do x = 0 przez warunek f(0) = 0, x por. (4.2). Czynnik x przy zbli»aniu si do 0 powoduje tªumienie coraz to bardziej gwaªtownych oscylacji sin. W ten sposób funkcja ta jest ci gªa w x = 0, natomiast x nie jest tam ró»niczkowalna. podczas gdy punkt x = 0 nie nale»y do jej dziedziny, a wi c pochodna nie jest tam okre±lona. Mo»emy jednak mówi o istnieniu jednostronnych pochodnych w x = 0, lewo- i prawostronnej, to znaczy f (0) = lim h 0 Q f (0, h) = i odpowiednio f +(0) = lim h 0 + Q f (0, h) = +. W nast pnym przykªadzie zajmiemy si funkcj, która mimo»e jest ci gªa, nie posiada nawet pochodnych jednostronnych. Przykªad 4.3 Niech funkcja f okre±lona b dzie jako f(x) = x sin x x 0 0 x = 0, (4.2) Funkcja ta jest ci gªa w x = 0, co sugestywnie pokazuje Rys Jednak nie posiada ona w tym punkcie nawet pochodnych jednostronnych. Mamy bowiem w tym wypadku Q f (0, h) = h sin h 0 h = sin h, które to wyra»enie, jak ju» to wiemy z Przykªadu 3.5, nie posiada nawet jednostronnych granic h 0 +, h 0. Jako jeszcze jeden przykªad policzymy pochodn dla funkcji sinus. W zadaniu prosimy czytelnika o sporz dzenie na wªasny u»ytek tabeli ze wzorami ró»niczkowymi dla innych funkcji elementarnych.

101 Przykªad 4.4 Niech f(x) = sin x. Policzmy pochodn tej funkcji w punkcie x = a. lim h 0 sin(a + h) sin a h = lim h 0 sin a cos h + sin h cos a sin a h = lim h 0 sin a cos h h = sin a 0 + cos a = cos a. + lim h 0 cos a sin h h 0 Wyznaczanie pochodnych funkcji zªo»onych, powstaj cych z funkcji elementarnych przez operacje arytmetyczne i superpozycj, jest proste dzi ki zastosowaniu kliku wzorów i reguª ró»niczkowania, którymi zajmiemy si obecnie. TWIERDZENIE 4. We wszystkich punktach, w których funkcje f i g s jednocze- ±nie ró»niczkowalne zachodz nast puj ce wzory: ( f(x) ± g(x) ) = f (x) ± g (x), (4.3) ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x), (4.4) ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x), g(x) 0, (4.5) g(x) (g(x)) 2 ( ) ( f(x) g(x) = f(x) g(x) g (x) ln f(x) + g(x) f ) (x), f(x), g(x) > 0. (4.6) f(x) Dowód. Udowodnimy formuª (4.5), pozostawiaj c dowody pozostaªych (równie proste) jako wiczenie, Zad. 2. Poniewa» Q f/g (x, h) = ( f(x + h) h g(x + h) f(x) ) g(x) ( ) ( ) h f(x + h) f(x) g(x) h g(x + h) g(x) f(x) =, g(x + h)g(x) wzór (4.5) otrzymujemy natychmiast przechodz c do granicy h 0.. Kolejne twierdzenie dotyczy ró»niczkowania superpozycji dwóch funkcji. TWIERDZENIE 4.2 Je±li funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 oraz funkcja g jest ró»niczkowalna w punkcie y 0 = f(x 0 ), wówczas tak»e funkcja zªo»ona h = g f jest ró»niczkowalna w x 0 oraz zachodzi zwi zek (g f) (x 0 ) = g (y 0 ) f (x 0 ). (4.7) Dowód. Niech y 0 = f(x 0 ) oraz oznaczmy dodatkowo y = f(x 0 + h) i d = y y 0 = f(x 0 +h) f(x 0 ). Poniewa» z denicji lim h Q f (x 0, h) = f (x 0 ), mo»emy wi c napisa f(x 0 + h) f(x 0 ) h = f (x 0 ) + ε(h),

102 02 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY przy czym ε(h) 0 gdy h 0. Podobnie dla funkcji g: g(y 0 + d) g(y 0 ) d przy czym δ(d) 0 je±li tylko d 0. A zatem = g (y 0 ) + δ(d), y y 0 = f(x 0 + h) f(x 0 ) = (f (x 0 ) + ε(h)) h oraz podobnie, St d g(y) g(y 0 ) = (g (y 0 ) + δ(d)) d. g(f(x 0 + h)) g(f(x 0 )) = g(y) g(y 0 ) = (g (y 0 ) + δ(d)) d = (g (y 0 ) + δ(d)) (f(x 0 + h) f(x 0 )) = (g (y 0 ) + δ(d)) (f (x 0 ) + ε(h)) h. Je±li h 0, to równie» z zaªo»enia ε(h) 0. Poniewa» funkcja f jest ci gªa w x 0, h 0 poci ga za sob d = f(x 0 +h) f(x 0 ) 0, a wi c tak»e δ(d) 0. Z ostatniej równo±ci mamy g(f(x 0 + h)) g(f(x 0 )) h = (g (y 0 ) + δ(d)) (f (x 0 ) + ε(h)), sk d, przechodz c do granicy h 0 otrzymujemy (4.7). U»ytecznym poj ciem jest tzw. pochodna logarytmiczna. Znajduje ona zastosowania mi dzy innymi w analizie bª du przy obliczeniach wykonywanych na danych obarczonych niedokªadno±ci wynikaj ca z niedoskonaªego pomiaru. Pochodna logarytmiczna f(x) jest po prostu pochodn funkcji zªo»onej h(x) = ln f(x). Mamy zatem w tym wypadku y = f(x) oraz z = g(y) = ln y, a wi c z = h(x) = (g f)(x). Na podstawie (4.7) obliczamy ( ln f(x) ) = (ln y) f (x) = y f (x) = f (x) f(x). Pochodna logarytmiczna bywa czasem ªatwiejsza do obliczenia ni» pochodna zwykªa. Wówczas mo»na obliczy f na podstawie wzoru f (x) = f(x) (ln f(x) ). Je±li np. f(x) = x x, wówczas ln f(x) = x ln x, a wi c (ln f(x)) = ln x + x = ln x +. St d x f (x) = x x (ln x + ). Podobnie wyznaczy mo»na pochodn funkcji f(x) = x α o dowolnym rzeczywistym wykªadniku α. Mamy ln f(x) = α ln x, a zatem f (x) = x α (α ) = x αxα. Nasze ostatnie twierdzenie dotyczy ró»niczkowania funkcji odwrotnych. TWIERDZENIE 4.3 Je±li funkcja f jest ró»nowarto±ciowa (a wi c odwracalna) w otoczeniu punktu x 0 oraz ró»niczkowalna w tym punkcie, wówczas jej funkcja odwrotna f jest tak»e ró»niczkowalna w y 0 = f(x 0 ) pod warunkiem,»e f (x 0 ) 0. Zachodzi wówczas wzór (f ) (y 0 ) = f (x 0 ). (4.8)

103 Dowód. Poniewa» (f f)(x 0 ) = Id(x 0 ) = x 0, wi c na mocy (4.7) mamy (f ) (y 0 ) f (x 0 ) =, sk d otrzymujemy (4.8). Warto zwróci uwag na dogodno± posªugiwania si ró»niczkow symbolik Leibniza dy : gdy y = f(x), wówczas f (x) = dy, podczas gdy dla x = f (y) napiszemy dx dx (f ) (y) = dx dy. Tak wi c przy przej±ciu do funkcji odwrotnej pochodna zachowuje dy dx si jak zwykªy uªamek. Przykªad 4.5 Zastosujemy wzór (4.8) do obliczenia pochodnych funkcji y = arcsin x i y = arcsinh x. Dla pierwszej z nich zgodnie z przyj tymi oznaczeniami mamy x = sin y. Poniewa» dx dy = (sin y) = cos y = sin 2 y = x 2, otrzymujemy st d (arcsin x) = dy = ) dx /( dx dy = x 2. Podobnie dla funkcji hiperbolicznej mamy x = sinh y, a wi c (por. zad. 7 z rozdziaªu III) sk d (arcsinh x) = +x 2. dx dy = (sinh y) = cosh y = + sinh 2 y = + x 2, 2 Pochodne wy»szych rz dów Pochodna f (x) jako funkcja zmiennej x mo»e tak samo by przedmiotem ró»niczkowania. Pochodn pochodnej (f (x)) nazywamy pochodn drugiego rz du funkcji f i oznaczamy symbolem f (x) lub w notacji Leibniza d2 f. Przez iteracj dx 2 deniujemy tak»e pochodne wy»szych rz dów f (x), f (4) (x),..., f (n) (x). Ogólnie napiszemy d n f dx = d n dx ( d n ) f. dx n Je±li np. f(x) = sin x, kolejne ró»niczkowania produkuj ci g f (x) = cos x, f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (4) (x) = sin x,... Dla wielomianu w(x) = a 0 + a x + a 2 x a n x n, ªatwo sprawdzimy,»e w (k) (x) = k! a k + (k + ) 2 a k+ x + + n (n k + ) a n x n k, 03 sk d a 0 = w(0), a = w (0), a 2 = 2! w (0),..., a n = n! w(n) (0). w(x) mo»na wi c zapisa wzorem, którego przydatno± wkrótce poznamy: w(x) = w(0) + w (0) x + w (0) 2! x w(n) (0) n! x n

104 04 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY Na ogóª obliczanie pochodnych wy»szych rz dów jest pracochªonne, bowiem kolejne ró»niczkowania prowadz zwykle do coraz to bardziej skomplikowanych funkcji f (n) (x). Istnieje metoda pozwalaj ca cz ±ciowo omin te techniczne trudno±ci w przypadku gdy funkcja f dana jest w postaci iloczynu dwóch funkcji, f(x) = g(x)h(x). Mamy mianowicie: d n dx n ( g(x) h(x) ) = n k=0 ( ) n g (k) (x)h (n k) (x). k Jest to tzw. wzór Leibniza. Warto zwróci uwag na jego formalne podobie«stwo do wzoru dwumiennego Newtona (a+b) n = ( ) n k k a k b n k. We wzorze Leibniza zamiast pot gowa«mamy ró»niczkowania rz du k i n k, przy czym przez pochodn rz du 0, g (0) (x), rozumiemy sam funkcj g(x). Wzór ten nietrudno jest udowodni przez indukcj. Przykªad 4.6 Obliczmy 7 pochodn funkcji f(x) = x 2 sin x. Oznaczmy jak we wzorze Leibniza g(x) = x 2 i h(x) = sin x. Poniewa» g jest wielomianem stopnia 2, wi c wszystkie pochodne g (k) stopnia k > 2 znikaj. Zatem suma we wzorze Leibniza redukuje si do pierwszych trzech skªadników: d 7 ( ) ( ) 7 7 dx 7 (x2 sin x) = x 2 (sin x) (7) + (x 2 ) (sin x) (6) + (x 2 ) (sin x) (5) 2 = x 2 ( cos x) + 7(2x)( sin x) + 2 2(cos x) = (42 x 2 ) cos x 4x sin x. Zach camy czytelnika do obliczenia tej pochodnej wprost z denicji, przez kolejnych 7 ró»niczkowa«funkcji f(x). Nale»y zwróci uwag na wa»ny fakt,»e funkcja f ró»niczkowalna w pewnym punkcie x 0 nie musi automatycznie posiada w nim drugiej pochodnej. Mo»e si bowiem zdarzy,»e pochodna f nie b dzie ró»niczkowalna w x 0. Jak pokazuje nast pny przykªad, pochodna, cho istnieje nie musi by nawet ci gªa. Ogólnie rzecz bior c mo»liwe jest,»e funkcja f posiada dobrze okre±lone pochodne rz dów od do k w punkcie x 0 natomiast k-ta pochodna nie jest ju» tam ró»niczkowalna, a wi c pochodna (k + )-szgo rz du nie istnieje. Przykªad 4.7 Niech f(x) = x 2 sin dla x 0 oraz okre±lmy dodatkowo f w x zerze jako f(0) = 0. Podobnie jak funkcja Przykªadu 4.3, jest ona ci gªa w x = 0. Jest tam te» ró»niczkowalna: lim Q h 2 sin f(0, h) = lim 0 h h 0 h 0 h = lim h 0 h sin h = 0. Šatwo równie» wyznaczy pochodn f w dowolnym punkcie x 0, mianowicie f (x) = 2x sin x + x2 cos ( ) = 2x sin x x 2 x cos x. O ile pierwszy skªadnik ma granic 0 dla x 0, o tyle drugi jej nie posiada, tak wi c cho f (0) = 0, nie jest ona tam funkcj ci gª.

105 IV.2 Twierdzenia o pochodnych i ich zastosowania Przytoczymy na pocz tek 2 twierdzenia twierdzenie Cauchy'ego i wynikaj ce wprost z niego twierdzenie Lagrange'a o warto±ci ±redniej. Peªni one bardzo wa»n rol w rachunku ró»niczkowym: pozwalaj w szczególno±ci powi za przebieg funkcji f z zachowaniem jej pochodnej f. Zanim jednak do nich przejdziemy, udowodnimy prosty pomocniczy lemat. LEMAT 4.2 Je±li funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie c i osi ga w tym punkcie lokalne ekstremum (maksimum lub minimum), wówczas f (c) = 0. Dowód. Zaªó»my,»e w x = c funkcja f osi ga swoje lokalne maksimum (dla minimum dowód jest analogiczny). Zatem f(c) f(c + h) dla dowolnych lecz dostatecznie maªych h. Wówczas dla h < 0 mamy f(c+h) f(c) 0, a wi c pochodna h lewostronna (por. Przykªad 4.2) te» speªnia nierówno± f (c) 0. Z kolei dla h > 0 zachodzi f(c+h) f(c) 0, a zatem dla pochodnej prawostronnej mamy f h +(c) 0. Poniewa» jednak funkcja f jest z zaªo»enia ró»niczkowalna w c, zachodzi równo± f (c) = f +(c) = f (c), co jest mo»liwe wyª cznie dla f (c) = 0. Zauwa»my tylko, i» przykªad funkcji f(x) = x 3 pokazuje,»e znikanie pochodnej funkcji w pewnym punkcie nie musi poci ga za sob istnienia ekstremum w tym miejscu. Tak wi c implikacja odwrotna do opisanej w lemacie nie jest na ogóª prawdziwa. TWIERDZENIE 4.4 (Twierdzenie Cauchy'ego) Niech funkcje u i v b d ci gªe w przedziale [a, b] i ró»niczkowalne w jego wn trzu. Wówczas istnieje co najmniej jeden punkt c (a, b) taki,»e zachodzi równo± Dowód. Zauwa»my,»e funkcja 05 [u(b) u(a)] v (c) = [v(b) v(a)] u (c). (4.9) g(x) = [u(b) u(a)] v(x) [v(b) v(a)] u(x) jest z zaªo»enia ci gªa w [a, b] i ró»niczkowalna w (a, b). Ponadto g(a) = g(b). Je±li g byªaby staªa na caªym przedziale, wówczas g (x) = 0 w ka»dym punkcie x, a wi c równo± (4.9) byªaby automatycznie speªniona dla ka»dego c (a, b). Zaªó»my wi c,»e g nie jest staªa i»e gdzie± w (a, b) przyjmuje warto±ci wi ksze ni» g(a) = g(b) (lub mniejsze, a wówczas dowód jest analogiczny). Na podstawie twierdzenia Weierstrassa (por. Twierdzenie 3.4) g osi ga w pewnym punkcie c (a, b) swoje maksimum, a st d na podstawie poprzedniego lematu g (c) = 0. To za± dowodzi prawdziwo±ci (4.9). Wynik ten nazywany jest czasem uogólnionym twierdzeniem o warto±ci ±redniej, poniewa» peªni ce bardzo wa»n rol w analizie matematycznej twierdzenie Lagrange'a o warto±ci ±redniej jest, jak si za chwil przekonamy, jego szczególnie prostym przypadkiem. Nie nale»y jednak nie docenia istotno±ci twierdzenia Lagrange'a. Jest ono na tyle wa»ne,»e w angielsko-j zycznej literaturze matematycznej wprowadzono dla jego nazwy specjalny, powszechnie u»ywany skrót MVT, od Mean Value Theorem.

106 06 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY a) b) R 0 P Q a c b 0 c Rys. 4.4: a) Geometryczny sens twierdzenia o warto±ci ±redniej: wewn trz przedziaªu [a, b] istnieje punkt c, w którym styczna do wykresu f(x) jest równolegªa do linii siecznej ª cz cej punkty P i R odpowiadaj ce warto±ciom f na ko«cach przedziaªu. b) Kontrprzykªady wskazuj ce na niezbywalno± zaªo»e«o ci gªo±ci i ró»niczkowalno±ci f. TWIERDZENIE 4.5 (Twierdzenie Lagrange'a o warto±ci ±redniej) Niech funkcja f b dzie okre±lona i ci gªa w przedziale [a, b] oraz ró»niczkowalna w jego wn trzu. Wówczas istnieje punkt c (a, b) taki,»e zachodzi równo± f(b) f(a) b a Dowód. W (4.9) zast pmy u przez f oraz v przez x. = f (c) (4.0) Podamy jeszcze geometryczn interpretacj twierdzenia Lagrange'a. Zauwa»my zgodnie z Rys. 4.4 a),»e lewa strona (4.0) to proporcja QR / P Q, a wi c tangens k ta nachylenia linii siecznej ª cz cej punkty P i R odpowiadaj ce warto±ciom f na ko«cach przedziaªu [a, b]. f (c) to wspóªczynnik kierunkowy stycznej do wykresu f(x) w punkcie c. Twierdzenie to orzeka wi c,»e je±li poª czy ko«ce regularnego ªuku wykresu funkcji ci gªej i ró»niczkowalnej ci ciw, wtedy w co najmniej jednym punkcie wewn trznym tego ªuku styczna ma ten sam kierunek co ci ciwa. Z kolei Rys. 4.4 b) pokazuje,»e wszystkie zaªo»enia twierdzenia o warto±ci ±redniej s istotne. Gdy f nie jest ci gªa nawet w jednym z ko«ców przedziaªu [a, b] (górny wykres) lub gdy nie jest ró»niczkowalna cho by w jednym punkcie wewn trz [a, b] (dolny wykres), teza twierdzenia przestaje by prawdziwa. Korzystaj c z równowa»nej z (4.0) formuªy f(x + h) = f(x) + f (c)h, x < c < x + h, (4.) przy zaªo»eniu,»e x i x + h le» w spójnym obszarze ró»niczkowalno±ci f, wyprowadzimy obecnie kilka wniosków wi» cych przebieg zmienno±ci funkcji f z warto±ciami jej pochodnej.

107 07 LEMAT 4.3 Zaªó»my,»e f jest ró»niczkowalna w przedziale (a, b). a) Je±li f (c) = 0 dla wszystkich c (a, b), wówczas f jest w tym przedziale staªa. b) Je±li f (c) > 0 (odp. f (c) < 0) dla wszystkich c (a, b), to f jest ±ci±le rosn ca (odp. malej ca) w tym przedziale. c) Je±li f (c) 0 (odp. f (c) 0) dla wszystkich c (a, b), to f jest niemalej ca (odp. nierosn ca) w tym przedziale. d) Je±li f ro±nie (odp. maleje) w (a, b), wówczas f (x) 0 (odp. f (x) 0) dla wszystkich x (a, b). Dowód. a) Poniewa» f (c) = 0 dla wszystkich c (a, b), z (4.) otrzymujemy f(x+h) = f(x) dla wszystkich a x < x+h b, a wi c f jest staªa. b) Podobnie z (4.) otrzymujemy f(x + h) > f(x) (lub odpowiednio f(x + h) < f(x)) dla h > 0, a wi c f jest rosn ca (lub odp. malej ca). c) Jak poprzednio, lecz z relacj f(x + h) f(x) itd. d) Dla funkcji rosn cej, w dowolnym punkcie x (a, b) zarówno przy dodatnim jak i ujemnym h mamy f(x + h) f(x) h > 0. Przechodz c do granicy otrzymujemy wi c f (x) 0. Omówimy jeszcze reguªy pomagaj ce w poszukiwaniu ekstremów funkcji ró»- niczkowalnych. Zerowanie si pochodnej f (c) = 0 w Lemacie 4.2 stanowi warunek konieczny istnienia ekstremum w c, który jednak nie jest jak wskazali±my na to w uwadze bezpo±rednio po jego dowodzie warunkiem dostatecznym. Je±li jednak za» damy dodatkowo, by pochodna przy przej±ciu z lewej do prawej strony przez c zmieniaªa znak z dodatniego na ujemny lub odwrotnie, oznacza to b dzie w ±wietle Lematu 4.3 punkt b),»e funkcja f z rosn cej zmienia si w malej c mamy wi c maksimum w punkcie c lub w drugim wypadku z malej cej na rosn c, co odpowiada minimum. Sformuªujemy ten warunek w mocniejszej i cz sto bardzo przydatnej postaci, bez wymagania istnienia pochodnej w punkcie c. LEMAT 4.4 Zaªó»my,»e w pewnym przedziale (c ε, c) pochodna funkcji f jest stale ujemna (odp. dodatnia), podczas gdy w przedziale (c, c + ε) jest przeciwnego znaku. Je±li przy tym f jest ci gªa w c, wówczas osi ga tam swoje lokalne minimum (odp. maksimum). Oczywisty dowód tego lematu pomijamy. Zilustrujemy jego u»yteczno± dwoma przykªadami. Przykªad 4.8 Niech f(x) = x 2/3. f jest poprawnie okre±lona na caªej osi R. Jej pochodna f (x) = 2 3 x /3, okre±lona jest na zbiorze R {0} i nie przyjmuje nigdzie warto±ci 0. Jednak przy przej±ciu przez punkt 0 zmienia si jej znak: 2 lim x x = oraz lim x x = +,

108 08 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY f(x) f(x) f (x) f (x) a) b) Rys. 4.5: a) Funkcja f(x) = x 2/3 i jej pochodna, p. Przykªad 4.8. b) Funkcja f(x) = x 2 x i jej pochodna, Przykªad 4.9. a zatem f posiada w punkcie 0 minimum, Rys. 4.5 a). Przykªad 4.9 Rozwa»my z kolei funkcj f(x) = x 2 x. By zbada jej lokalne ekstrema, zapiszemy j w rozwini tej postaci i wyznaczymy pochodn dla ka»dego z wariantów: x 2 x x 0 f(x) = f 2x x > 0 (x) = x 2 + x x < 0, 2x + x < 0. Buduj c odpowiedni iloraz ró»nicowy i badaj c jego granice lewo- i prawostronn w x = 0 przekonamy si,»e s one ró»ne, a wi c funkcja f nie jest tam ró»niczkowalna. Wyznaczmy w pierwszej kolejno±ci pierwiastki f (x) = 0. Mamy 2x = 0 przy x > 0 x = 2 2x + = 0 przy x < 0 x = 2. Przy przej±ciu przez punkt x = warto± pochodnej zmienia si z ujemnej na dodatni i podobnie przy przej±ciu przez x =. W punktach tych mamy zatem minima, 2 2 bo funkcja w ka»dym z tych przypadków zmienia swoje zachowanie z malej cej na rosn c. Nast pnie bli»szej analizie powinni±my podda zachowanie pochodnej przy przej- ±ciu przez wszystkie punkty z dziedziny f, w których ta pochodna nie jest okre±lona. W naszym przypadku jest to punkt x = 0. Widzimy,»e lim f (x) = lim 2x + = podczas gdy lim f (x) = lim 2x =, x 0 x 0 x 0 + x 0

109 09 a wi c w x = 0 funkcja z rosn cej zmienia si w malej c, co wskazuje na istnienie lokalnego maksimum w tym punkcie. Rys. 4.5 b) pokazuje przebieg funkcji f i jej pochodnej. IV.3 Inne zastosowania twierdzenia o warto±ci ±redniej Twierdzenie Lagrange'a jest ¹ródªem szeregu u»ytecznych nierówno±ci. Udowodnimy obecnie przy jego pomocy jedn z nich uogólnion nierówno± Bernoulliego dla α, z któr spotkali±my si w rozdziale I, wzór (.2). Uzasadnienie drugiej nierówno±ci Bernoulliego (.3) dla 0 < α < pozostawiamy jako zadanie 9. Niech wi c α oraz f(t) = ( + t) α, gdzie t >. Funkcja f jest ci gªa na dowolnym przedziale [a, b] i ró»niczkowalna na (a, b) je±li tylko a >, a jej pochodna wynosi f (t) = α( + t) α. Przyjmijmy na pocz tek a = 0, b = x > 0. Zapisuj c Twierdzenie Lagrange'a w postaci f(b) = f(a) + f (c)(b a), mamy w naszym przypadku dla pewnego punktu 0 < c < x ( + x) α = + α( + c) α x + αx. Ostatnia nierówno± wynika z faktu,»e skoro α 0, zatem ( + c) α. Niech teraz a = x (, 0) oraz b = 0, a st d x < c < 0. Tym razem zapisuj c tez Twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy = ( + x) α + α( + c) α ( x) ( + x) α + α( x), przy czym ostatnia nierówno± bierze si st d,»e + c oraz»e x > 0. Przenosz c skªadnik αx na lew stron mamy podobnie jak poprzednio +αx (+x) α. Bior c na koniec pod uwag,»e dla x = 0 nierówno± Bernoulliego zamienia si w równo±, w podsumowaniu otrzymujemy (.2) dla wszelkich x >. Inn nierówno±ci, któr ªatwo mo»na uzasadni podobn metod jest ln( + x) x, dla wszystkich x >. (4.2) Niech f(t) = ln( + t), t >. Przyjmuj c a = 0, b = x > 0, mamy tym razem ln( + x) = 0 + x + c dla pewnego 0 < c < x. Nierówno± (4.2) wynika tu natychmiast z faktu,»e +c <. Je±li za± przyj a = x (, 0) oraz b = 0, otrzymamy dla pewnego x < c < 0 0 = ln( + x) + ( x) > ln( + x) + ( x), + c bowiem tym razem > oraz x > 0. To za± razem z obserwacj,»e dla x = 0 +c nierówno± (4.2) przechodzi w równo±, ko«czy jej uzasadnienie. Kolejnym zastosowaniem twierdzenia o warto±ci ±redniej s uzyskiwane z niego formuªy przybli»one. Zaªó»my np.,»e chcemy wyznaczy przybli»on warto± Przyjmuj c f(x) = 3 x, obierzmy b = 30 oraz a = 25. Wybór a nie jest przypadkowy: chodzi o to,»e jest to najbli»sza 30 liczba, dla której znamy dokªadn

110 0 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY f (x) f (x) f (x) f (x) f(x) f(x) Rys. 4.6: a) Funkcja wypukªa i jej pochodne. Warunkiem wypukªo±ci jest f (x) > 0. b) Odpowiedni warunek dla wkl sªo±ci to f (x) < 0. warto± pierwiastka sze±ciennego. Stosuj c twierdzenie o warto±ci ±redniej mo»emy napisa f(30) f(25) = f (c) 5, a wi c 3 30 = c, (4.3) 2 gdzie 25 < c < 30. Niestety twierdzenie gwaratnuje jedynie istnienie warto±ci ±redniej c, nie wskazuj c jak j wyznaczy. Je±li jednak przedziaª [a, b] jest relatywnie maªy, na tyle aby zmienno± f (x) mo»na byªo uzna za nieznaczn, nieznan warto± f (c) mo»a spróbowa przybli»y ªatwiejsz do obliczenia liczb f (d) dla pewnego d [a, b], je±li tylko mo»na takie znale¹. W naszym przykªadzie dogodnym przybli»eniem jest f (25) =. W tym wypadku poszukiwane przybli»enie wynosi zgodnie z (4.3) 5 + = 5.06(6). Wyznaczona przy pomocy kalkulatora 5 warto± tego pierwiaska wynosi ± , a tym samym bª d naszego przybli»enia jest mniejszy ni» 0 3. Samo twierdzenie o warto±ci ±redniej nie umo»liwia niestety oszacowania dokªadno±ci obliczanych przy jego pomocy przybli»onych warto±ci. Jak zobaczymy niebawem, istnieje uogólnienie tego twierdzenia, tzw. wzór Taylora, który pozwala bardziej precyzyjnie oceni jako± uzyskiwanych z niego przybli»e«. IV.4 Przebieg funkcji a pochodne wy»szych rz dów Pochodne wy»szych rz dów tak»e dostarczaj nam informacji o przebiegu zmienno±ci funkcji. Skupimy si tu na dwóch aspektach: wypukªo±ci funkcji f i jej zwi zkach z drug pochodn f oraz na charakteryzacji typu punktów ekstremalnych f przez jej pochodne wy»szych rz dów. Funkcje wypukªe scharakteryzowali±my w rozdziale I przy omawianiu nierówno- ±ci Jensena, por. Denicja.4. Rys. 4.6 ilustruje zwi zek mi dzy wypukªo±ci funkcji

111 a znakiem jej drugiej pochodnej. Je±li f (x) > 0 na pewnym przedziale, oznacza to,»e pierwsza pochodna f (x) jest tam funkcj rosn c. To z kolei mówi nam,»e przy przemieszczaniu si punktu x z lewej do prawej, tangens k ta nachylenia stycznej (a wi c tak»e sam k t) do wykresu funkcji f w punkcie x ro±nie, a wi c styczna powinna pozostawa pod wykresem f(x). Jest to intuicyjny argument przemawiaj cy za wypukªo±ci f(x). Podamy obecnie bardziej formalny dowód tego faktu. Zaªó»my,»e f (x) > 0 na (a, b), a wi c»e f jest tam funkcj rosn c. Niech a < x < x < x 2 < b. Z Twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy f(x) f(x ) x x = f (c ) f (c 2 ) = f(x 2) f(x) x 2 x, (4.4) gdzie x < c < x < c 2 < x 2. Wyra¹my x jako kombinacj wypukª punktów x i x 2, a wi c x = µx + ( µ)x 2, gdzie 0 < µ <. St d x x = ( µ)(x 2 x ) oraz x 2 x = µ(x 2 x ). Wstawiaj c te to»samo±ci w mianownikach ilorazów w nierówno±ci (4.4) otrzymujemy µ(f(x) f(x )) ( µ)(f(x 2 ) f(x)), co jest ju» równowa»ne warunkowi wypukªo±ci (.6), f(x) µf(x ) + ( µ)f(x 2 ). Podobny argument pokazuje,»e f (x) < 0 poci ga za sob wkl sªo± funkcji f w rozwa»anym przedziale. Mo»na tak»e pokaza implikacj odwrotn : je±li funkcja wypukªa jest ci gªa w przedziale [a, b] i dwukrotnie ró»niczkowalna w jego wn trzu, wówczas f (x) 0. Je±li druga pochodna zmienia znak przy przej±ciu przez punkt c, w którym f (c) = 0, wówczas c nazywamy punktem przegi cia funkcji f. Funkcja zmienia tam swój charakter z wkl sªej na wypukª lub odwrotnie. W szczególno±ci ka»dy wielomian stopnia 3 posiada punkt przegi cia, bowiem w tym wypadku f (x) = ax + b przy czym a 0. Przejd¹my teraz do omówienia roli pochodnych wy»szych rz dów przy analizie punktów ekstremalnych f. Je±li pochodna znika w pewnym punkcie f (c) = 0, punkt ten mo»e, lecz nie musi by lokalnym ekstremum funkcji f. Widzieli±my,»e decyduj cym kryterium jest tu zmiana znaku pochodnej przy przej±ciu przez miejsce zerowe c. Prototypowymi przykªadami s z jednej strony funkcja f(x) = x 2, z drugiej za± wspomniana ju» wcze±niej g(x) = x 3. Mamy f (x) = 2x i g (x) = 3x 2. Obydwie pochodne znikaj w x = 0, natomiast jedynie f zmienia przy tym swój znak. Zauwa»my,»e w przypadku funkcji f mamy f (0) = 2, co podpowiada nam,»e pochodna f (x) jest funkcj ±ci±le rosn c w otoczeniu 0. Zatem przechodz c przez x = 0 zmienia swój znak z ujemnego na dodatni, a w konsekwencji funkcja f z malej cej zmienia si w tym miejscu w funkcj rosn c, a wi c ma ona w x = 0 lokalne minimum. Gdyby na pocz tku wzi f(x) = x 2, mieliby±my f (0) = 2, a to z kolei ±wiadczyªoby o ±ci±le malej cym przebiegu f w otoczeniu 0. St d zmiana znaku przebiegaªaby tym razem odwrotnie z warto±ci dodatnich na ujemne. W konsekwencji f miaªaby w 0 maksimum lokalne. Tak wi c to znak warto±ci f (c) w potencjalnym punkcie ekstremalnym c jednoznacznie rozstrzyga o jego charakterze. Z drugiej strony, je±li druga pochodna zeruje si w badanym miejscu, tak jak w przypadku funkcji g, nie mówi ona zupeªnie nic o monotoniczno±ci g w jego

112 2 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY otoczeniu. W naszym przykªadzie g (x) = 3x 2 przy zmianie x mi dzy ε a +ε maleje do 0 poprzez warto±ci dodatnie i nast pnie powraca do nich dla x > 0. Tak wi c na lewo i na prawo od 0 funkcja g jest rosn ca, zmienia si jedynie tempo tego wzrostu, a w konsekwencji nie ma tam lokalnego ekstremum. Z kolei gdyby wzi g(x) = x 4, mieliby±my g (x) = 4x 3 i g (x) = 2x 2. Teraz ponownie x = 0 jest wspólnym miejscem zerowym g i g, jednak tym razem g ro±nie w jego otoczeniu od warto±ci ujemnych do dodatnich, a wi c g ma minimum w zerze. Widzimy zatem,»e samo g (c) = 0 nie mo»e by traktowane jako warunek rozstrzygaj cy o nieistnieniu ekstremum w danym punkcie. Na podstawie powy»szego przykªadu mo»emy sformuªowa intuicyjnie prosty, lecz niekompletny jeszcze wniosek: je±li w pewnym punkcie c, w otoczeniu którego funkcja f jest dwukrotnie ró»niczkowalna, mamy f (c) = 0 oraz f (c) 0, wówczas w tym punkcie f ma lokalne maksimum je±li f (c) < 0 lub minimum gdy f (c) > 0. Kolejne twierdzenie rozstrzyga problem istnienia ekstremum wyczerpuj co. Dowód pomijamy. TWIERDZENIE 4.6 Je±li wszystkie pochodne do rz du n wª cznie te» s równe 0 w punkcie c, f (c) = f (c) = = f (n ) (c) = 0, natomiast n-ta pochodna f (n) (c) jest ró»na od 0, to: je±li n jest parzyste, funkcja f ma ekstremum lokalne w c, przy czym jest to maksimum je±li f (n) (c) < 0 lub minimum, gdy f (n) (c) > 0; 2 je±li n jest nieparzyste, ekstremum nie istnieje. Przykªad 4.0 W praktyce, obliczanie pochodnych wy»szych rz dów i badanie ich znaku w zadanym punkcie c mo»e okaza si znacznie bardziej zªo»one i czasochªonne ni» próba odpowiedzenia na pytanie czy f zmienia znak przy przej±ciu przez swoje miejsce zerowe. Zbadajmy ekstrema lokalne funkcji f(x) = Obliczamy pierwsz i druga pochodn : x3 + x 4. f (x) = x2 (x 4 3) ( + x 4 ) 2, f (x) = 2x(x8 2x 4 + 3) ( + x 4 ) 3. Miejsca zerowe pochodnej f (x) = 0 znajdujemy rozwi zuj c x 2 (x 4 3) = x 2 (x 2 3)(x 2 + 3) = 0 x = 0, x = 4 3, x = Poniewa» czynnik x2 + 3 w f jest stale dodatni, zmiany znaku f s dokªadnie (+x 4 ) 2 takie jak zmiany drugiego czynnika x 2 (x 4 3)(x + 4 3), Rys Wida st d,»e w punkcie x = 4 3 mamy minimum funkcji f, w x = 4 3 jest maksimum, natomiast w x = 0 nie ma ekstremum bowiem pochodna nie zmienia tam znaku. Proponujemy czytelnikowi dotarcie do tych samych wniosków przez analiz znaku warto±ci f w tych punktach. Zauwa»my,»e poniewa» f (0) = 0, niezb dne b dzie obliczenie warto±ci f (0).

113 Rys. 4.7: Analiza ekstremów lokalnych funkcji f(x) = x 3 /( + x 4 ) zmiany znaku pochodnej. IV.5 Funkcje sklejane W praktycznych zastosowaniach rachunku ró»niczkowego i caªkowego cz sto niezb dne jest wykonanie konkretnych oblicze«numerycznych. Jednak dla wielu elementarnych funkcji bezpo±rednie obliczanie dokªadnych warto±ci nie jest mo»liwe. Funkcjami takimi s np. pierwiastki, funkcje trygonometryczne, wykªadnicze, logarytmiczne itd. Posªuguj c si kalkulatorem otrzymujemy jedynie przybli»enia ich rzeczywistych warto±ci. W tym sensie znacznie por czniejsze w u»yciu s wielomiany lub proste funkcje wymierne. Chodzi o to,»e do obliczenia ich warto±ci potrzebne s jedynie 4 podstawowe dziaªania arytmetyczne, które na pozbawionych bª du danych potramy realizowa w sposób dokªadny. (a) (b) f 0 f f 2 x x 2 x n x x 2 Rys. 4.8: (a) Šamana jako funkcja sklejana. (b) Funkcja sklejana zbudowana z nieliniowych segmentów f i : w x poª czenie jest niegªadkie, natomiast w x 2 gªadkie. Gªadko± poª czenia odpowiada ci gªo±ci -szej pochodnej, lim f (x) = lim f 2(x). x x 2 x x + 2 Funkcje sklejane lub splajny (z ang. splines) powstaj z por cznych w obliczeniach segmentów wielomianowych lub wymiernych niewysokiego stopnia, poª czonych w sposób ci gªy. W typowych zastosowaniach s one przybli»eniami innych, trudno obliczalnych funkcji, budowanymi odcinek po odcinku. Najprostszym przykªadem funkcji sklejanej jest ªamana przybli»aj ca pewn krzyw, p. Rys. 4.8 (a). W przypadku splajny wy»szego stopnia, zbudowanej np. z krzywych sze±ciennych, mo»- liwe jest tak»e naªo»enie warunku gªadko±ci poª cze«, a wi c zgodno±ci kierunków stycznych przy przej±ciach mi dzy segmentami. Warunek ten wyra»amy analitycznie

114 4 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY przez równo± jednostronnych pochodnych w punktach sklejenia. Rys. 4.8 (b) ukazuje ró»nic mi dzy niegªadkim a gªadkim poª czeniem splajn. Zauwa»my,»e splajny kwadratowe, których segmenty s ªukami parabol, na ogóª nie mog by poª czone w sposób gªadki w obydwu swoich ko«cach. Wynika to z faktu,»e równianie paraboli y = p(x) = ax 2 +bx+c jest jednoznacznie wyznaczone przez 3 warunki, prowadz ce do ukªadu 3 liniowych równa«na parametry a, b i c. Dwa z nich gwarantuj ci gªo± poª czenia z segmentami s siednimi, np. p(x ) = y, p(x 2 ) = y 2, natomiast trzeci gªadko± w jednym z punktów poª cznia, np. p (x ) = w. Warunek gªadko±ci w drugim ko«cu przedziaªu, p (x 2 ) = w 2, w typowej sytuacji b dzie z nimi sprzeczny. Inaczej rzecz ma si w przypadku splajn sze±ciennych: dwa warunki ci gªo±ci i dwa gªadko±ci w punktach x i x 2 generuj jednoznacznie rozwi zalny ukªad równa«4 4 na parametry segmentu y = ax 3 + bx 2 + cx + d. Funkcje sze±cienne s w istocie najprostszymi funkcjami, które gwarantuj ci gªo± i gªadko± (do -szego rz du) budowanych z nich splajn. Zalet szcze±ciennych splajn jest tak»e stosunkowo niewielki nakªad pracy obliczeniowej przy ich konstrukcji i przetwarzaniu. Abc Rys. 4.9: Rastrowa i wektorowa reprezentacja liternictwa. Funkcje sklejane znajduj interesuj ce zastosowanie w grace wektorowej wykorzystywanej m.in. w systemach CAD do komputerowo wspomaganego projektowania. Gªówn zalet graki wektorowej jest jej skalowalno± : w odró»nieniu od obrazów rastrowych, zbudowanych z pokolorowanych pikselków, obrazy wektorowe mo»na dowolnie powi ksza bez utraty ich jako±ci, por. Rys Mo»liwe jest to dzi ki zadanej przez parametryczne równania, analitycznej reprezentacji ksztaªtu obiektów buduj cych obraz. W grace wektorowej odcinki, koªa, elipsy i inne elementarne obiekty geometryczne reprezentowane s przez opisuj ce je równania w wirtualnej przestrzeni wspóªrz dnych XOY. Ksztaªty bardziej zªo»one, w szczególno±ci kroje liter, reprezentowane s najcz ±ciej przez splajny wielomianowe. Podstawowym narz dziem s tu tzw. krzywe Béziera krzywoliniowe segmenty (najcz ±ciej parabole sze±cienne) w reprezentacji, która umo»liwia ich wygodne, interaktywne kszatªtowanie na ekranie komputera. Krzywe te zostaªy wynalezione w latach 60-tych ubiegªego wieku przez Pierre'a Bézier francuskiego projektanta karoserii samochodowych z rmy Renault. Istniej tak»e wymierne krzywe Béziera, bazuj ce na prostych funkcjach wymiernych. Šatwe jest ponadto uogólnienie konstrukcji tych krzywych na przypadek przestrzenny, jednak tu zajmiemy si wyª cznie konstrukcj segmentów Béziera na pªaszczy¹nie. Ogólnie rzecz ujmuj c, krzywa Béziera jest ªukiem w ukªadzie wspóªrz dnych wraz ze stowarzyszon z nim ªaman ª cz c tzw. punkty kontrolne ªuku. Wielo-

115 5 P P 2 P P 2 P 3 = Q 0 Q 3 P 3 P 0 P 0 (a) (b) Q Q 2 Rys. 4.0: (a) Krzywa Béziera 3 rz du. Punkty kontrolne P 0 i P 3 odpowiadaj pocz tkowi i ko«cowi krzywej, natomiast P i P 2 s ko«cami wektorów stycznych do krzywej w punktach odp. P 0 i P 3. (b) Gªadkie poª czenie dwóch segmentów Béziera. mianowa krzywa Béziera stopnia n ma n + punktów kontrolnych. Interaktywne ksztaªtowanie takich segmentów polega na przeci ganiu punktów kontrolnych za pomoc myszy. Im wy»szy stopie«krzywej, tym bardziej skomplikowana zale»no± jej ksztaªtu od poªo»enia punktów kontrolnych, a w konsekwencji ksztaªtowanie takich krzywych na ekranie staje si nieintuicyjne. Sze±cienne krzywe Béziera, którymi zajmiemy si teraz bardziej szczegóªowo, posiadaj 4 punkty kontrolne P i = (x i, y i ), i = 0,, 2, 3, p. Rys. 4.0 (a). Punkty P 0 i P 3 s po prostu ko«cami krzywej Béziera, natomiast punkty P i P 2 wskazuj kierunki w jakich krzywa ta opuszcza P 0 i odp. P 3. W ten sposób wektory P 0 P = [x x 0, y y 0 ] i P 3 P 2 = [x 2 x 3, y 2 y 3 ] s styczne do swojej krzywej. Zmiana poªo»enia któregokolwiek z tych punktów powoduje odksztaªcenie krzywej Béziera zgodnie z powy»szymi reguªami. Pªaski segment sze±cienny Béziera reprezentowany jest analitycznie przez par sze±ciennych równa«parametrycznych x = x(t), y = y(t), gdzie 0 t, w taki sposób,»e x(0) = x 0, x() = x 3 oraz x (0) (x x 0 ), x () (x 2 x 3 ), (4.5) y(0) = y 0, y() = y 3 oraz y (0) (y y 0 ), y () (y 2 y 3 ). (4.6) Jak poprzednio, (x i, y i ) s wspóªrz dnymi punktu kontrolnego P i, a symbol oznacza tu proporcjonalno±. Krzywe Béziera stopnia n posiadaj por czn reprezentacj w postaci kombinacji liniowych tzw. bazowych wielomianów Bernsteina, ( ) n b n,k (t) = t k ( t) n k, k = 0,,..., n, 0 t. k W naszym przypadku b dzie to x(t) = 3 x k b 3,k (t) = x 0 ( t) 3 + 3x ( t) 2 t + 3x 2 ( t)t 2 + x 3 t 3 k=0

116 6 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY i podobnie dla y(t). Zauwa»my,»e istotnie x(0) = x 0 prostym obliczeniem ªatwo przekona si,»e oraz x() = x 3. Ponadto x (t) = 3(x x 0 )( t) 2 + 6(x 2 x )( t)t + 3(x 3 x 2 )t 2, a wi c x (0) = 3(x x 0 ) oraz x () = 3(x 2 x 3 ) zgodnie z (4.5). Ze wzgl du na symetri wyra»e«parametrycznych x(t) i y(t), mo»na zapisa je w zwi zªej postaci pojedynczym równaniem wektorowym oraz B(t) = ( t) 3 P 0 + t( t) 2 P + t 2 ( t)p 2 + t 3 P 3 B (t) = 3( t) 2 (P P 0 ) + 6t( t)(p 2 P ) + 3t 2 (P 3 P 2 ), gdzie P i oznacza wektor wodz cy punktu P i, OP i. Jak wspomnieli±my wy»ej, bardziej skomplikowane ksztaªty reprezentowane s splajnami zbudowanymi z krzywych Béziera. W terminologii graki wektorowej sa to tzw. ±cie»ki, a punkty sklejenia nazywane s w zªami, które mog by ostre, gªadkie lub symetryczne. Zaªó»my,»e w ±cie»ce dwa s siednie segmenty Béziera maj punkty kontrolne P i i odpowiednio Q i, Rys. 4.0 (b). Warunek ci gªo±ci poª czenia we wspólnym w ¹le wyrazimy przez równo± P 3 = Q 0. W zeª ostry nie narzuca dodatkowych ogranicze«na punkty kontrolne, podczas gdy dla w zªa gªadkiego wymagane jest aby punkty P 2, P 3 = Q 0 i Q byªy wspóªliniowe, a wi c aby wektory P 3 P 2 i Q 0 Q byªy wspóªliniowe. Z kolei symetryczno± w zªa odpowiada,» daniu aby dªugo±ci tych wektorów byªy dodatkowo identyczne. Dzi ki temu krzywizna splajny po obydwu stronach w zªa symetrycznego jest podobna. Analitycznie warunki na gªadko± lub symetri w zªa sprowadzaj si do odpowiednich równo±ci mi dzy pochodnymi x (t) i y (t) po obu jego stronach. Zauwa»my na koniec,»e typowe w projektowaniu gracznym operacje na splajnach, takie jak scalanie dwóch s siednich segmentów (likwidacja w zªa) lub podziaª segmentu na dwa nowe (dodanie w zªa), dzi ki zastosowaniu krzywych Béziera wymagaj jedynie minimalnego nakªadu pracy obliczeniowej. Np. scalenie dwóch krzywych przez usuni cie wspólnego w zªa P 3 = Q 0, Rys. 4.0 (b), polega na okre±leniu dla powstaj cego t drog segmentu nowych punktów kontrolnych R i jako R 0 = P 0, R = P, R 2 = Q 2 oraz R 3 = Q 3. Warto przy tym zauwa»y,»e podczas operacji ª czenia wynikowy segment na ogól zmienia ksztaªt. Podobnie, podziaª segmentu opisanego krzyw B(t) o punktach kontrolnych R i przez dodanie nowego w zªa w punkcie R = ( x(t ), y(t ) ), 0 < t <, polega na utworzeniu symetrycznie sklejonych ze sob segmentów o punktach kontrolnych P 0 = R 0, P = R, P 3 = R oraz P 2 = R B (t ), a z drugiej strony Q 0 = P 3 = R, Q = R + B (t ), Q 2 = R 2 i w ko«cu Q 3 = R 3. IV.6 Wzór i szereg Taylora Wzór Taylora i jego reszta Twierdzenie Lagrange'a stanowi pierwsze przybli»enie tzw. wzoru Taylora.

117 TWIERDZENIE 4.7 Zaªó»my,»e funkcja f jest (n + )-krotnie ró»niczkowalna w pewnym podzbiorze W swojej dziedziny i niech [a, b] W. Wówczas prawdziwy jest nast puj cy wzór f(b) = f(a) + f (a)! gdzie R n jest reszt, dla której zachodzi 2 7 (b a) + + f (n) (a) (b a) n + R n (a, b), (4.7) n! R n (a, b) lim = 0. W szczególno±ci b a (b a) n R n (a, b) = f (n+) (c) (n + )! (b a)n+ (4.8) jest tzw. postaci Lagrange'a reszty, dla pewnego c takiego,»e a < c < b. Wzór (4.7) nazywamy rozwini ciem Taylora rz du n dla funkcji f wokóª punktu a. W szczególnym przypadku, gdy a = 0, nosi on nazw wzoru McLaurina. Dowód. Do dowodu prawdziwo±ci wzoru Taylora posªu»ymy si prostym wnioskiem z Twierdzenia 4.4. Zapiszmy najpierw formuª (4.9) w równowa»nej postaci u(b) u(a) v(b) v(a) = u (c) v (c), a < c < b, (4.9) przy zaªo»eniu,»e v(b) v(a) oraz»e v (c) 0. Zakªadaj c teraz,»e u i v s (n + )-krotnie ró»niczkowalne w [a, b] oraz»e u(a) = v(a) = u (a) = v (a) = = u (n+) (a) = v (n+) (a) = 0, dostajemy kolejno u(b) v(b) = u (c ) v (c ), gdzie a < c < b. Stosuj c ponownie (4.9) do funkcji u i v w przedziale [a, c ] mamy dalej u (c ) v (c ) = u (c 2 ) v (c 2 ), gdzie a < c 2 < c < b. Iteruj c to post powanie kolejno dla u i v a» do u (n+) i v (n+) otrzymujemy ci g równo±ci u(b) v(b) = u (c ) v (c ) = = u(n+) (c n+ ) v (n+) (c n+ ) dla a < c n+ < < c < b. Oznaczaj c na koniec c = c n+, nasz wniosek formuªujemy nast puj co: istnieje punkt c (a, b) taki,»e u(b) v(b) = u(n+) (c) v (n+) (c). (4.20) Przechodz c do dowodu wzoru Taylora oznaczmy u(x) = f(x) f(a) f (a)! (x a) f (n) (a) (x a) n = R n (a, x) n! 2 Oznacza to,»e przy b a reszta R n maleje do 0 szybciej ni» (b a) n, a wi c»e R n (a, b) = o((b a) n ).

118 8 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY oraz v(x) = (x a) n+. Šatwo sprawdzi,»e tak wybrane funkcje u i v speªniaj wszystkie zaªo»enia poczynione dla nich na pocz tku niniejszego dowodu. Obliczaj c otrzymujemy zgodnie z (4.20) u (n+) (x) = f (n+) (x), v (n+) (x) = (n + )!, u(b) v(b) = f(b) f(a) f (a)! (b a) + f (n) (a) n! (b a) n (b a) n+ = u(n+) (c) v (n+) (c) = f (n+) (c) (n + )!, dla pewnego c (a, b), co dowodzi prawdziwo±ci (4.7) z reszt w postaci (4.8). W ko«cu R n (a, b) lim b a (b a) = lim f (n+) (c) (b a) = 0, n b a (n + )! a zatem R n (a, b) = o((b a) n ). Zwró my uwag,»e wzór Taylora ma posta wielomianu. Zwyczajowo w miejsce b piszemy x i wówczas skªadniki we wzorze (4.7) s postaci c k (x a) k, k = 0,, 2,..., gdzie, jak widzimy, warto±ci (staªych wzgl dem x) wspóªczynników c k wyra»aj si przez odpowiednie pochodne f obliczone w punkcie a. Podobnie jak w twierdzeniu o warto±ci ±redniej, formuªa Taylora nie podpowiada jak znale¹ c wyst puj ce w wyrazie resztowym. Chc c okre±li wielko± reszty, która mówi o tym jak bardzo rzeczywista warto± funkcji f(x) po lewej stronie wzoru ró»ni si od wielomianowego przybli»enia po jego prawej stronie, zmuszeni jeste±my posªugiwa si oszacowaniami wyra»enia f (n+) (c). Post powanie to bywa caªkiem skuteczne, je±li np. pochodna f (n+) jest w rozwa»anym przedziale ograniczona liczb M. Wówczas, oszacowanie reszty zapisa mo»na nast puj co: R n (a, x) M (n + )! x a n+ ε, gdzie ε jest wielko±ci bª du. Powy»sze oszacowanie mo»na wykorzysta na 3 ró»ne sposoby. Po pierwsze do oceny wielko±ci bª du przy ustalonym rz dzie przybli»enia n i wielko±ci odchylenia x a. Po drugie, przy zaªo»onym poziomie dopuszczalnego bª du ε dla przybli»enia rz du n, okre±li mo»emy maksymalne dozwolone odchylenie x od a, a wi c zakres x, w którym mo»na bezpiecznie posªugiwa si rozwini ciem Taylora rz du n dla f. Warto tu zauwa»y,»e jako± przybli»enia na ogóª pogarsza si szybko wraz z odlegªo±ci x od a. Po trzecie, dla ustalonych x i ε z powy»szego oszacowania obliczy mo»na minimalny rz d n rozwini cia, który zapewni przybli-»enie f(x) z bª dem nie przekraczaj cym ε. W niektórych zastosowaniach dokªadna posta reszty nie jest istotna, wa»na jest natomiast jej asymptotyka przy x a. Widzieli±my w wyprowadzeniu wzoru Taylora,»e R n maleje do zera wraz z x a szybciej ni» (x a) n, co w symbolice

119 a) -2 b) - -2 Rys. 4.: Rozwini cia Taylora dla funkcji sin x wokóª punktu a = 0: a) rz du y = x i 3 y = x x3 x3 ; b) rz du 5 y = x + x5 i 7 y = x x3 + x5 x7. 3! 3! 5! 3! 5! 7! asymptotycznej zapisujemy jako R n (a, x) = o((x a) n ). Jest to tzw. posta Peano reszty. W nast pnym rozdziale podamy bardzo u»yteczne zastosowanie tej postaci. Przykªad 4. Zapiszemy wzór Taylora dla funkcji f(x) = sin x. Zauwa»my,»e funkcja ta jest dowolnie wiele razy ró»niczkowalna na caªej osi rzeczywistej, w zwi zku z tym mo»emy uzyska wzór dla dowolnie du»ego n. Przyjmijmy a = 0. Do wyznaczenia kolejnych skªadników potrzebne nam b d obliczone warto±ci pochodnych sin x w punkcie 0. Mamy f (x) = cos x, f (x) = sin(x), f (x) = cos x, f (4) (x) = sin x itd. Tak wi c f(0) = f (0) = f (4) (0) = = f (2k) (0) = 0 oraz f (0) = f (5) (0) =... =, podczas gdy f (0) = f (7) (0) = = lub ogólnie f (2k+) (0) = ( ) k dla k = 0,, 2,.... Pisz c x w miejsce b mamy sin x = 0 +! (x 0) + 0 2! (x 0)2 + 3! (x 0)3 + + f (n+) (c) (x 0)n+ (n + )! = x x3 3! + x5 5! x7 7! + + f (n+) (c) (n + )! xn+. Spróbujmy oszacowa warto± reszty mimo nieznajomo±ci punktu c (0, x). Poniewa» (n + )-sza pochodna funkcji sin x zale»nie od rz du jest równa ± sin x lub ± cos x, zatem w ka»dym wypadku f (n+) (c). St d oszacowanie na reszt w postaci Lagrange'a R n (0, x) (n + )! x n+. Wykorzystamy na pocz tek to oszacowanie do oceny wielko±ci bª du dla przyj tego rz du rozwini cia Taylora n oraz dla ustalonej warto±ci x, Je±li np. przyj sin x x x3 + x5 x7, wówczas R 3! 5! 7! 7(0, x) 4320 x 8. Gdy x = 0.5 (wyra»one w mierze ªukowej k ta; odpowiada to ok ), przybli»ona st d warto± sin 0.5 wynosi z bª dem nie wi kszym ni» 2 8 8! 0 7. Drugi ze sposobów wykorzystania reszty to ocena w jakim zakresie zmienno±ci x wokóª punktu a, w obecnym przykªadzie wokóª 0, przyj te przez nas wielomianowe przybli»enie sin x speªnia swoje zadanie z bª dem nie przekraczaj cym z góry zaªo-»onego poziomu. Je±li przyjmiemy np.,»e dopuszczalny bª d to 0 6, a przybli»enie

120 20 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY jest dane, tak jak tutaj, przez 8 pocz tkowych wyrazów wzoru Taylora (wliczaj c wyrazy równe 0), wówczas z nierówno±ci R 7 (0, x) 8! x wynika,»e dopuszczalny zakres x to x < (czyli nie wi cej ni» okoªo 38 ). Przypu± my na koniec,»e zamierzamy obliczy warto± sin (jednego radiana) z dokªadno±ci co najmniej 0 6. Jakiego rz du rozwini cia Taylora w tym celu potrzebujemy? Z nierówno±ci R n (0, ) (n + )! n+ 0 6 wyznaczymy czyni ce jej zado± najmniejsze n. Poniewa» 9! < < 0!, widzimy,»e n + = 0 a wi c wystarczy posªu»y si rozwini ciem 9 rz du. Warto te» dostrzec,»e w rozwa»anym tu przykªadzie funkcji sin x jako± oszacowa«mo»na dodatkowo poprawi o mniej wi cej jedno miejsce dziesi tne, je±li we¹miemy pod uwag niewidoczny we wzorze Taylora, zerowy wyraz 8 rz du, 0 8! x8. Uwzgl dnienie go pozwala nam zapisa reszt jako wyraz rz du 9, a wi c R 8 (0, x) 9! x 9. Rysunki 4. a) i b) pokazuj jak poprawia si jako± przybli»enia sin x przez rozwini cie Taylora wokóª a = 0 wraz ze wzrostem jego rz du. Mo»na te» dostrzec systematyczne powi kszanie si wraz z n zakresów zmienno±ci x, dla których przybli»enia wielomianowe daj rozs dnie dobre wyniki. 2 Szeregi Taylora Je±li reszta R n (a, x) w (4.7) maleje do 0 wraz z n, wówczas ze sko«czonego wzoru Taylora mo»emy przej± do niesko«czonej sumy f(x) = n=0 f (n) (a) (x a) n. (4.2) n! W szczególno±ci, gdy a = 0 wzór Taylora przyjmuje posta szeregu pot gowego f(x) = n=0 a n x n, gdzie a n = f (n) (0) n! (4.22) i nosi nazw szeregu McLaurina dla funkcji f. Warunek zbie»no±ci reszty do 0 ªatwo jest uzyska, je±li pochodne funkcji f s wspólnie ograniczone w przedziale (a, x), f (n) (c) M dla a < c < x. Wówczas R n = a poniewa» x n n! 0, wi c tak»e R n 0. f (n) (c) x n M x n, (4.23) n! n! Przykªad 4.2 Nietrudno sprawdzi,»e dla ustalonej warto±ci x wszystkie pochodne funkcji sin x, cos x, e x, sinh x, cosh x (jak i wielu innych) s wspólnie ograniczone (co do warto±ci bezwzgl dnej) w przedziale [0, x]. Dla sinusa i cosinusa tym

121 ograniczeniem jest po prostu M =, dla pozostaªych 3 funkcji mo»na u»y warto±ci M = e x. A wi c na podstawie (4.23), reszty w odno±nych wzorach Taylora zbiegaj do 0 wraz z n. Oto wynikowe szeregi McLaurina dla tych funkcji: 2 sin x = cos x = e x = sinh x = cosh x = ( ) k x 2k+ k=0 (2k + )! ( ) k x2k k=0 (2k)! x k k! k=0 k=0 k=0 = x x3 3! + x5 5! (4.24) = x2 2! + x4 4! (4.25) = + x! + x2 2! + (4.26) x 2k+ (2k + )! x 2k (2k)! = x + x3 3! + x5 5! + (4.27) = + x2 2! + x4 4! + (4.28) Z kolei dla f(x) = arctg x pokaza mo»na nast puj ce oszacowanie pochodnych: f (n) (x) (n )!. Nie jest to tym razem jedno wspólne ograniczenie niezale»ne od n. Reszty R n mo»na wi c oszacowa przez R n (0, x) n x n i aby zapewni zbie»no± R n 0, nale»y ograniczy zmienno± x do zakresu x <. Wówczas otrzymujemy szereg McLaurina postaci arctg x = ( ) k x2k+ k=0 2k + = x 3 x3 + 5 x5 (4.29) Rozwa»my jeszcze przykªad f(x) = ln( + x) dla x >. Kolejne pochodne tej funkcji to f (n) (x) = ( ) n (n )!( + x) n. W tym wypadku oszacowanie reszty przeprowadzi mo»na nast puj co: R n (0, x) = x n, wi c zbie»no± R n +x n do 0 gwarantuje tu warunek x <, co po rozwi zaniu daje x >. Szereg McLaurina +x 2 ma tym razem posta ln( + x) = k= k xk ( ) k = x x2 2 + x3 3 (4.30) Z analizy promienia zbie»no±ci (4.30) jako szeregu pot gowego wynika,»e sumuje si on sko«czenie tak»e dla < x. Nie dowodzi to jednak jeszcze równo±ci sumy 2 tego szeregu i funkcji log( + x) w wymienionym zakresie. Równo± t uzasadnia si korzystaj c z tzw. postaci Cauchy'ego dla reszty R n, wykracza to jednak poza zakres niniejszego skryptu (por. np. [2], t. II, Ÿ 405). Szeregi Taylora mog by wykorzystane przy deniowaniu tzw. zespolonych przedªu»e«funkcji rzeczywistych. Chodzi tu po prostu o poprawne rozszerzenie dziedziny danej funkcji, z rzeczywistej do zespolonej. Dla wielomianów takiego rozszerzenia dziedziny dokona mo»na bezpo±rednio: je±li np. f : R R dana jest wzorem f(x) = x 2 + 3x, wystarczy zamieni w tym wzorze zmienn rzeczywist x na zespolon z i oblicza warto±ci f zgodnie z reguªami arytmetyki liczb zespolonych. Otrzymujemy w ten sposób przedªu»enie f funkcji f do dziedziny zespolonej,

122 22 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY f : C C. Nie jest to jednak tak oczywiste w przypadku innych funkcji, np. f(x) = sin x, nie wiadomo bowiem a priori jak skutecznie obliczy warto±, dajmy na to, cos iπ. Ogólny schemat post powania jest nast puj cy. Zaªó»my,»e f(x) posiada rozwini cie w pot gowy szereg McLaurina a n x n o promieniu zbie»no±ci ϱ. Poniewa» szereg ten jest bezwzgl dnie zbie»ny wewn trz przedziaªu ( ϱ, ϱ), jego suma jest poprawnie okre±lona tak»e dla argumentów zespolonych z, je±li tylko z < ϱ. W ten sposób deniujemy zespolone przedªu»enie f funkcji f do dziedziny D = {z C : z < ϱ}, f(z) = a n z n. Je±li promie«zbie»no±ci jest niesko«czony, przedªu»enie takie okre±lone jest na caªej pªaszczy¹nie zespolonej C. W szczególno±ci w ten wªa±nie sposób deniujemy rozszerzenia zespolone funkcji e z = sin z = cos z = n=0 k=0 k=0 z n n!, ( ) k z 2k+ (2k + )!, z2k ( ) k (2k)! itp. Korzystaj c z faktu,»e szeregi powy»sze s zbie»ne bezwzgl dnie dla dowolnego z C, a wi c,»e mo»na dowolnie przestawia i grupowa ich wyrazy bez utraty ich zbie»no±ci, por. podrozdziaª II.5.4, udowodnimy interesuj ce zale»no±ci mi dzy zespolonymi rozszerzniami ostatnich 3 funkcji. Mamy e iz = + iz! + (iz)2 + (iz)3 + (iz)4 + 2! 3! 4! = + i z! z2 2! iz3 3! + z4 4! + ( ) ( ) = z2 2! + z4 4! + i z z3 3! + z5 5! = cos z + i sin z, gdzie obliczyli±my warto±ci i 2 =, i 3 = i, i 4 = itd. Šatwo zauwa»y tak»e, korzystaj c z parzysto±ci cosinusa i nieparzysto±ci sinusa,»e e iz = cos z i sin z, a zatem cos z = ( e iz + e iz) oraz sin z = ( e iz e iz). (4.3) 2 2i S to tzw. formuªy Eulera. Šatwo st d zauwa»y,»e dla zespolonych argumentów prawdziwa jest nadal jedynka trygonometryczna, tj. to»samo± sin 2 z + cos 2 z =. Jednak obowi zuj ce dla rzeczywistych x ograniczenia sin x i cos x mog by przekraczane dla zespolonych argumentów. Policzmy bowiem cos iπ = 2( e π + e π).592

123 IV.7 Wyra»enia nieoznaczone i reguªa de L'Hospitala Stosuj c twierdzenie o warto±ci ±redniej w postaci (4.9) udowodnimy reguª de l'hospitala, która bywa pomocna przy obliczaniu niektórych granic. W oryginalnym sformuªowaniu dotyczy ona wyra»e«nieoznaczonych typu 0, jednak jak zobaczymy, 0 przez stosowne transformacje mo»na zaadaptowa j tak»e do innych nieoznaczono- ±ci. 23 TWIERDZENIE 4.8 (Reguªa de l'hospitala) Je±li funkcje f i g s ci gªe i ró»niczkowalne w otoczeniu punktu a (by mo»e z wyj tkiem samego punktu a) oraz lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0, wówczas pod warunkiem,»e ta ostatnia granica istnieje. f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x), (4.32) Dowód. Niech x = a + h. Je±li f i g nie s okre±lone (lub nieci gªe) w x = a, zmie«my ich denicje kªad c f(a) = g(a) = 0. Poniewa» z zaªo»enia granice obu funkcji w a wynosz 0, po tej zmianie staªy si one ci gªe w a, sama zamiana nie wpªywa natomiast w»aden sposób na problem istnienia i warto±ci (lub nieistnienia) granicy f w a. Dla tak skorygowanych f i g mo»emy napisa g f(a + h) g(a + h) f(a + h) f(a) = g(a + h) g(a) = f (c) g (c) dla pewnego a < c < a + h zale»nego od h, jednak takiego,»e c a + gdy h 0 +. St d otrzymujemy równo± granic prawostronnych f(a + h) lim h 0 + g(a + h) = lim f (c) c a + g (c). Podobne rozumowanie prowadzi nas do konkluzji o równo±ci odpowiednich granic lewostronnych. Poniewa» jednak z zaªo»enia granice lewo- i prawostronna f w punkcie a s identyczne, otrzymujemy równo± (4.32). g Je±li, podobnie jak f i g, tak»e f (x) 0 oraz g (x) 0 dla x a, wówczas reguª de l'hospitala mo»na zastosowa do pochodnych, je±li tylko daj si one kolejny raz ró»niczkowa w otoczeniu a. Zdarza si,»e kilka kolejnych ró»niczkowa«f i g prowadzi do ªatwiejszej do obliczenia granicy. Ilustrujemy to kolejnym przykªadem. Przykªad 4.3 Stosuj c dwukrotnie (4.32), policzymy granic typu 0 0 cos x lim. x 0 x 2 Mamy wi c f(x) = cos x oraz g(x) = x 2, obie oczywi±cie ci gªe i wielokrotnie ró»niczkowalne w otoczeniu 0. Poniewa» f (x) = sin x oraz g (x) = 2x tak»e

124 24 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY znikaj w x = 0, posªu»ymy si pochodnymi drugiego rz du, f (x) = cos x oraz g (x) = 2 0. Mamy wi c cos x lim x 0 x 2 sin x = lim x 0 2x = lim cos x x 0 2 = 2. Z kolei zajmiemy si granic f(x) lim x 0 g(x) = lim cos x e x2 /2. x 0 x 4 Šatwo przewidzie,»e przykªad ten b dzie wymagaª 4-krotnego iterowania reguªy de l'hospitala, poniewa» dopiero 4 pochodna funkcji g(x) jest ró»na od 0 w x = 0, a zatem daje nadziej na uproszczenie obliczania granicy ilorazu f i g. Obliczamy kolejne pochodne licznika i mianownika cos x e x2 /2 sin x + xe x2/2 lim = lim x 0 x 4 x 0 4x 3 sin x + (x 3 3x)e x2/2 = lim x 0 24x cos x (x 4 6x 2 + 3)e x2/2 = lim x 0 24 = lim x 0 cos x (x 2 )e x2/2 2x 2 = 2. Reguª de l'hospitala mo»na zastosowa tak»e do uproszczenia oblicze«dla innych typów wyra»e«nieoznaczonych po stosownej transformacji. Po pierwsze mo»na jej u»y w niezmienionym ksztaªcie do obliczania granic typu 0 w niesko«czono±ci, 0 tj. gdy x. Technika dowodu jest tu bardzo prosta: wystarczy podstawi w miejsce x wielko± x =, tak»e x odpowiada przej±ciu t t 0+, a nast pnie okre±li zast pcze funkcje F (t) = f(/t) i G(t) = g(/t), ci gªe i ró»niczkowalne podobnie jak f i g. Oczywi±cie mamy tu tak»e F (t) 0 i G(t) 0 gdy t 0 +. Wówczas f(x) lim x g(x) = lim F (t) t 0 + G(t). Do ostatniej postaci mo»na zastosowa reguª de l'hospitala w oryginalnym sformu- ªowaniu dla granic w sko«czonych punktach a. Mamy przy tym F (t) = d dt f(/t) = f (/t) ( /t 2 ), a wi c F (t) G (t) = f (/t)( /t 2 ) g (/t)( /t 2 ) = f (x) g (x). Troch trudniej uzasadni poprawno± zastosowania reguªy dla nieoznaczono±ci typu. Zainteresowanego czytelnika odsyªamy np. do niezawodnego podr cznika G. M. Fichtenholza, [2], t. I, Ÿ 5. Z kolei dla analizy nieoznaczono±ci typu 0 zastosowa mo»na nast puj cy sposób post powania: je±li f(x) 0 oraz g(x) wówczas zamieniamy badane

125 wyra»enie f(x) g(x) na równowa»ne mu, które jest ju» typu 0 i do niego stosujemy reguª de l'hospitala. Podobnie nieoznaczono± typu przeksztaªcamy /g(x) 0 do postaci f(x) 25 f(x) g(x) = /f(x) /g(x) = /g(x) /f(x) (/f(x))(/g(x)). Ostatnie wyra»enie jest wówczas nieoznaczono±ci typu 0 0. Je±li za± mamy do czynienia z nieoznaczono±ci jednego z typów, 0 0 lub 0, wówczas zamiast f(x) g(x) rozwa»amy równowa»n posta e g(x) ln f(x). Wtedy wyra»enie g(x) ln f(x) jest typu 0 w ka»dym z trzech powy»szych wypadków. Przykªady zastosowania reguªy de l'hospitala do opisanych wy»ej przypadków wyra»e«nieoznaczonych pozostawiamy jako zadania na wiczenia. Przykªad 4.4 Poka»emy obecnie inny, wygodny sposób obliczania granic z Przykªadu 4.3, wykorzystuj cy rozwini cia Taylora z resztami w postaci Peano. W przypadku pierwszej z granic mamy f(x) = cos x = ( x2 + o(x 2 )) 2! = x2 o(x 2 ). Zatem 2! cos x lim x 0 x 2 = lim x 0 x 2 /2! o(x 2 ) x 2 = lim x 0 2 o() = 2. Zauwa»my,»e symbol asymptotyczny o(x 2 ) oznacza z denicji wielko± malej c wraz z x do 0 szybciej ni» x 2, czyli o(x2 ) d»y do 0 w nieznanym tempie. Zgodnie z x 2 konwencj zapisujemy t wielko± jako o() po skróceniu ilorazu przez czynnik x 2. Mo»na równie» skorzysta z faktu,»e w rozwini ciu cos x wokóª a = 0 wszystkie wyrazy nieparzystego rz du s równe 0, a zatem cos x = + 0 x! 2! x ! x3 +o(x 3 ). Tak wi c w rzeczywisto±ci reszta Peano jest tu o jeden rz d mniejsza. Wówczas o(x 3 ) = o(x), a wi c nasza granica osi gana jest w takim samym tempie w jakim x 2 2 x maleje do 0. W drugim przykªadzie wykorzystamy rozwini cia Taylora dla cos x i e x2 /2 w postaci cos x = x2 2! + x4 4! + o(x4 ) oraz e x2 /2 = x2 2 + x4 8 + o(x4 ). Mamy wi c cos x e x2 /2 lim x 0 x 4 = lim x 0 x 4 ( 24 8 ) + o(x4 ) x 4 = lim x o() = 2. Wykorzystali±my tym razem reguª,»e o(x k )±o(x k ) = o(x k ), tj.»e suma lub ró»nica dwóch wielko±ci malej cych do zera szybciej ni» x k maleje do 0 co najmniej w takim samym tempie. Usystematyzujmy na koniec reguªy arytmetyczne dla wyra»e«asymptotycznych typu o(f). Ich uzasadnienie pozostawiamy jako zadanie 6. Niech m, n 0. i) o(x n ) ± o(x m ) = o(x min{m,n} ).

126 26 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY ii) C o(x n ) = o(x n ). iii) x m o(x n ) = o(x n+m ) oraz o(xn ) x m = o(x n m ). iv) ( f(x)+o(x n ) )( g(x)+o(x m ) ) = f(x)g(x)+o(x min{m,n} ), gdy f i g s ograniczone w otoczeniu 0. v) xp + o(x m ) x q + o(x n ) = xp q( + o(x n q ) ) + o(x m q ) vi) Je±li f(x) = g(x) + o(x n ) oraz h(x) M x p w otoczeniu 0, wówczas (f h)(x) = (g h)(x) + o(x pn ). Przykªad 4.5 Policzymy nast puj c granic lim x 0 ( ) sin x /( cos x). x Skorzystamy najpierw z to»samo±ci f g = e g ln f. Wystarczy wi c policzy granic lim x 0 ( ) sin x cos x ln x i jako wynik poda odpowiedni pot g e. Poniewa» sin x = x x3 6 +o(x4 ), argument logarytmu zgodnie z reguª iii) ma posta ω(x) = x2 + 6 o(x3 ). Dla logarytmu u»yjemy nast puj cego prostego rozwini cia ln( + t) = t + o(t). Oznaczaj c przez h(x) = x2 + 6 o(x3 ) otrzymujemy ω(x) = + h(x), a wi c ln ω(x) = ln( + h(x)). Poniewa» h(x) x 2, zgodnie z reguª vi) mo»emy napisa ln( + h(x)); = h(x) + o(x 2 ) = x2 6 + o(x3 ) + o(x 2 ) = x2 6 + o(x2 ), gdzie dla uzasadnienia ostatniej równo±ci u»yli±my reguªy i). W ko«cu cos x = x o(x3 ), a zatem zgodnie z reguª v) ln ( ) sin x x cos x = 6 x2 + o(x 2 ) 2 x2 + o(x 3 ) Ostateczny wynik to e /3. IV.8 Ró»niczkowanie ci gów i szeregów = 3 ( + o(x)) + o() 3. Jak widzieli±my w podrozdziale, przy zbie»no±ci jednostajnej f n f, ci gªo± funkcji f n przenosi si automatycznie na funkcj graniczn. Nie jest to ju» prawd dla ci gów zbie»nych jedynie punktowo. Powstaje naturalne pytanie: czy ró»niczkowalno± funkcji f n równie» zostaje zachowana przy jednostajnym przej±ciu granicznym? Odpowied¹ nie jest w tym przypadku równie prosta jak dla samej ci gªo±ci. Zawiera j nast puj ce twierdzenie, które podajemy bez dowodu.

127 TWIERDZENIE 4.9 Je±li w przedziale [a, b] ci g funkcji ró»niczkowalnych f n zbiega jednostajnie do f oraz je±li wszystkie pochodne f n s ci gªe i tak»e tworz ci g jednostajnie zbie»ny, wówczas jego granica jest funkcj ró»niczkowaln i jest identyczna z f, t.j. d dx lim n f n(x) = lim n d dx f n(x). 27 Widzimy wi c,»e ró»niczkowalno± funkcji granicznej gwarantowana jest jedynie po speªnieniu stosunkowo du»ej liczby zaªo»e«. Zbie»no± ci gu pochodnych {f n} nie wynika na ogóª z samej zbie»no±ci ci gu {f n } i dlatego trzeba uwzgl dni j jako dodatkowe zaªo»enie. Z drugiej strony je±li pochodne f n zbiegaj jednostajnie, mówi to stosunkowo du»o o samych funkcjach f n. Okazuje si bowiem,»e je±li ci g f n jest jednostajnie zbie»ny na [a, b], wówczas ju» zbie»no± ci gu f n (x) zaledwie w jednym punkcie c [a, b] automatycznie poci ga za sob ich zbie»no± jednostajn na ca- ªym tym przedziale. Dzi ki temu twierdzenie mo»e by wysªowione z ªagodniejszym warunkiem na sam ci g f n, nie upraszcza to jednak jego sformuªowania. Podobnie zasadne jest pytanie o ró»niczkowalno± sum niesko«czonych szeregów funkcyjnych. Przytoczone wy»ej twierdzenie zastosowa mo»na w tym przypadku do ci gu sum cz ±ciowych. Oto analogiczny wynik, który w ten sposób otrzymujemy. TWIERDZENIE 4.0 Je±li funkcje f n s ró»niczkowalne w sposób ci gªy w pewnym przedziale [a, b] oraz je±li szeregi f n (x) n i f n(x) n s tam jednostajnie zbie»ne, wówczas suma S(x) = n f n (x) jest funkcj ró»niczkowaln w [a, b] oraz S (x) = n f n(x). Zastosujmy to twierdzenie do szeregów pot gowych. Je±li n a n x n jest zbie»ny w przedziale ( ϱ, ϱ), mo»na wówczas ªatwo pokaza,»e tak»e szereg n a n nx n jest tam zbie»ny. Je±li wi c x ( ϱ, ϱ), mo»na zawsze wybra a i b tak, aby ϱ < a < x < b < ϱ, a wówczas obydwa szeregi s zbie»ne jednostajnie na [a, b]. Innymi sªowy szereg pot gowy o sumie S(x) mo»na ró»niczkowa wyraz po wyrazie wewn trz jego przedziaªu zbie»no±ci. Wynikowy szereg ma wówczas sum równ S (x). Przykªad 4.6 We¹my szereg McLaurina sin x = k=0 ( ) k x2k+. Ró»niczkuj c jego kolejne wyrazy otrzymujemy (2k+)! k=0 ( ) k x2k, a jest to jak wiemy szereg (2k)! McLaurina funkcji cos x. Podobnie dla arctg x = x 3 x3 + 5 x5 7 x7 +, po zró»niczkowaniu otrzymamy w(x) = x 2 +x 4 x 6 +. W wyra»eniu tym ªatwo rozpozna szereg geometryczny o wyrazie q = x 2, a wi c jego suma jest postaci w(x) = =. Oczywi±cie q +x 2 w(x) = (arctg x).

128 28 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY IV.9 Pochodne funkcji wielu zmiennych Wró my na chwil do denicji pochodnej funkcji jednej zmiennej, któr zapiszemy w nieco innej, cho równowa»nej postaci, co uªatwi nam uogólnienie jej na przypadek funkcji wielu zmiennych o warto±ciach wektorowych, F : R n R m. Przepiszmy granic deniuj c warto± f (x 0 ) w równowa»nej postaci f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ) x x 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) lim x x 0 x x 0 = 0. U»ycie w powy»szym warto±ci bezwzgl dnej nic nie zmienia, poniewa» granica wynosi 0. Posta t mo»emy zinterpretowa nast puj co: przyrost funkcji f w otoczeniu punktu x 0, f(x) f(x 0 ), przybli»a si dobrze warto±ci liniowej funkcji y = C(x x 0 ), gdzie wspóªczynnik liniowy C = f (x 0 ). Bª d tego przybli»enia maleje do 0 szybciej ni» pierwsza pot ga odchylenia x x 0, jest wi c wielko±ci klasy o(x x 0 ). O pochodnej f mo»na zatem my±le jako o funkcji, która ka»demu punktowi x 0 (w którym f jest ró»niczkowalna) przyporz dkowuje lokalne odwzorowanie liniowe, b d ce najlepszym z mo»liwych przybli»e«liniowych funkcji f wokóª x 0. W terminach geometrycznych nasze ostatnie stwierdzenie odpowiada obrazowi stycznej do wykresu f w punkcie x 0 jako najlepszemu liniowemu przybli»eniu f w tym miejscu, por. Rys Mówi c obrazowo, cho niezbyt precyzyjnie, pochodn funkcji f mo»- na uto»sami z rodzin stycznych do wykresu f indeksowan punktami styczno±ci. Je±li teraz funkcja F odwzorowuje pewien podzbiór U R n w przestrze«r m, F (x) = y, jej argumenty jak i warto±ci s wektorami odpowiednio w R n i R m. Wówczas jej pochodna w ustalonym punkcie x 0 jest odwzorowaniem liniowym T x0 : R n R m b d cym najlepszym liniowym przybli»eniem F w otoczeniu x 0, to jest F (x 0 + h) F (x 0 ) + T x0 h, przy czym bª d tego przybli»enia η(h) = F (x 0 + h) (F (x 0 ) + T x0 h) speªnia η(h) = o( h ) (pami tajmy,»e warto±ci funkcji F i T x0, a wi c i η s wektorami st d u»ycie normy dla charakteryzacji liczbowej wielko±ci bª du). Formalna denicja jest nast puj ca. DEFINICJA 4.2 Funkcja F : U R m, gdzie U R n, jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 U je±li istnieje odwzorowanie liniowe T x0 : R n R m, dla którego zachodzi równo± lim h 0 F (x 0 + h) F (x 0 ) T x0 h h = 0. (4.33) Pochodna odwzorowania F oznaczana symbolem DF jest zatem rodzin operatorów liniowych {T x } indeksowan przez punkty x U. Piszemy te» DF (x) = T x. Badanie czy dana funkcja jest ró»niczkowalna wprost z powy»szej denicji jest z reguªy trudne. Chodzi bowiem o to,»e obliczanie granic funkcji na przestrzeniach wielowymiarowych jest znacznie bardziej zªo»one ni» to samo zadanie dla funkcji jednej zmiennej. Granica h 0 w denicji pochodnej funkcji na R mo»e by osi gana z lewej lub z prawej strony, podczas gdy w R n jest znacznie wi cej swobody przy

129 osi ganiu punktu 0 przez h: mo»e ono zbli»a si do 0 z ró»nych kierunków, wzdªu» ró»nych linii, niekoniecznie prostych. W ka»dym wypadku granica (4.33) musi identycznie wynosi 0. Je±li jest inaczej, funkcja F nie jest ró»niczkowalna w x 0. Dlatego pochodna DF nazywana jest pochodn mocn (tak»e pochodn Frécheta) do jej istnienia w x 0 potrzeba by funkcja F zachowywaªa si tam bardzo regularnie. W praktyce pochodn T x funkcji F w danym punkcie wyznaczamy inn, ªatwiejsz metod, któr opiszemy poni»ej. Zdeniujemy najpierw pochodn kierunkow. Niech jak poprzednio F : U R m. DEFINICJA 4.3 Pochodn funkcji F w punkcie x 0 U w kierunku wektora jednostkowego e nazywamy granic lim λ 0 F (x 0 + λe) F (x 0 ) λ je±li ta granica istnieje. Oznaczamy j wówczas symbolem D e F (x 0 ). 29, (4.34) Warto±ci pochodnej kierunkowej jest wektor w przestrzeni R m. Ilustruje to schematycznie Rys e F F( x 0 ) F( x + e) 0 x 0 Rys. 4.2: Pochodna kierunkowa D e F (x 0 ). Wektor e wytycza kierunek linii przez punkt x 0 w R n parametryzowanej przez skalar λ (rysunek po lewej). Obrazem tej linii jest krzywa F (x 0 + λe) w R m równie» parametryzowana przez λ (rysunek po prawej). Ró»nica F (x 0 + λe) F (x 0 ) jest wektorem ª cz cym odpowiednie punkty na tej krzywej. Po przeskalowaniu przez /λ w granicy λ 0 stanie si on wektorem stycznym do tej krzywej w punkcie F (x 0 ). Gdy F jest funkcj o warto±ciach rzeczywistych (tj. gdy m = ), wówczas po ustaleniu x 0 i e F (x 0 + λe) = f(λ) jest zwykª funkcj R R, a zatem granica (4.34) jest liczb. Dla n = 2 sytuacj t przedstawia Rys. 4.3, gdzie w dziedzinie R 2 obrali±my standardowy ukªad wspóªrz dnych XOY. O± OZ reprezentuje warto±ci funkcji F. W ogólnym wypadku ustalaj c w przestrzeniach R n i R m standardowe ukªady wspóªrz dnych, funkcj F : U R m zapisa mo»na za pomoc skalarnych funkcji skªadowych, F i : R n R, F (x,..., x n ) = F (x,..., x n ) F m (x,..., x n ). (4.35)

130 30 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY P x 0 e Rys. 4.3: Pochodna kierunkowa dla F : R 2 R. Punkt x 0 = (x 0, y 0 ) i wektor e wytyczaj prost P w pªaszczy¹nie XOY parametryzowan przez λ. Je±li poprowadzi przez t lini pªaszczyzn prostopadle do XOY, przetnie ona powierzchni wykresu z = F (x, y). Z tego przekroju otrzymujemy wykres f(λ) = F (x 0 + λe). Wówczas D e F (x 0, y 0 ) = f (0) jest wspóªczynnikiem kierunkowym stycznej do f(λ) nad punktem x 0. Warto± D e F (x 0, y 0 ) mówi wi c jakie jest lokalne nachylenie wzgl dem poziomu powierzchni wykresu z = F (x, y) je±li poruszamy si po niej od punktu (x 0, y 0, z 0 ) w kierunku zgodnym z wektorem e. Wówczas naturalne b dzie pytanie o pochodne kierunkowe funkcji F j wektorów bazowych ukªadu, e,..., e n. Zauwa»my,»e wzgl dem x + λe j = (x,..., x j, x j + λ, x j+,..., x n ), zatem przy obliczaniu ilorazów ró»nicowych (4.34) istotne s jedynie zmienne x j, bowiem pozostaªe nie zmieniaj w tym procesie swoich warto±ci. Oznacza to,»e pochodn F i w kierunku wektora e j oblicza mo»na tak, jak gdyby to byªa funkcja wyª cznie zmiennej x j, podczas gdy pozostaªe x k traktowane s jako staªe parametry. Okre±lili±my w ten sposób pochodne cz stkowe funkcji F i oznaczane symbolami F i x j. Tak wi c w ustalonym punkcie c = (c,..., c n ) mamy F i x j (c,..., c n ) = D ej F i (c,..., c n ). Przykªad 4.7 Niech F (x, y, z) = [ x + y 4 2z x 3 y + y 2 z ].

131 3 Wówczas F x =, F y = 4y3, F z = 2, F 2 x = 3x2 y, F 2 y = x3 + 2y z, F 2 z = y2 2 z. Jak za chwil zobaczymy, w standardowych sytuacjach ogólne pochodne kierunkowe jak i pochodne Frécheta mog by ªatwo wyra»one przez pochodne cz stkowe. Rozwa»my najpierw najprostszy przypadek funkcji skalarnej dwóch zmiennych z = F (x, y). Celem naszym jest policzenie pochodnej kierunkowej D v F (x 0, y 0 ), gdzie v = (v, v 2 ), przy czym zgodnie z denicj v = v 2 + v2 2 =. Mamy kolejno F (x 0 + tv, y 0 + tv 2 ) F (x 0, y 0 ) (4.36) t = ( F (x0 + tv, y 0 + tv 2 ) F (x 0 + tv, y 0 ) + F (x 0 + tv, y 0 ) F (x 0, y 0 ) ) t = ( F (x0 + tv, y 0 + tv 2 ) F (x 0 + tv, y 0 ) ) + ( F (x0 + tv, y 0 ) F (x 0, y 0 ) ) t t = t F y (x 0 + tv, c 2 ) tv 2 + t F x (c, y 0 ) tv = F x (c, y 0 ) v + F y (x 0 + tv, c 2 ) v 2, gdzie w przedostatniej równo±ci skorzystali±my dwukrotnie z twierdzenia o warto±ci ±redniej dla funkcji F : raz przy ustalonej warto±ci pierwszej zmiennej, traktuj c tym samym F jako funkcj wyª cznie zmiennej y, drugi raz przy ustalonej warto±ci y = y 0, traktuj c F jako funkcj zale»n tylko od x. Zachodz przy tym nierówno±ci x 0 < c < x 0 + tv oraz y 0 < c 2 < y 0 + tv 2. Gdy wi c t 0, to c x 0 i c 2 y 0. Je±li zatem obydwie pochodne cz stkowe F s ci gªe w punkcie (x 0, y 0 ), wówczas przechodz c w powy»szym do granicy t 0 otrzymujemy D v F (x 0, y 0 ) = F x (x 0, y 0 ) v + F y (x 0, y 0 ) v 2. (4.37) Jest to, jak widzimy, bardzo wygodny przepis na obliczanie pochodnych kierunkowych dla ró»nych wektorów v. U»ywaj c notacji wektorowej wprowadzimy oznaczenie [ F F (x 0, y 0 ) = x (x 0, y 0 ), F ] y (x 0, y 0 ). Wektor ten nazywamy gradientem funkcji F w punkcie (x 0, y 0 ) (p. ogólna Denicja 4.4 poni»ej). Równo± (4.37) mo»na wysªowi nast puj co: pochodna kierunkowa F w punkcie (x 0, y 0 ) jest iloczynem skalarnym gradientu F w tym punkcie przez jednostkowy wektor kierunkowy v, D v F (x 0, y 0 ) = F (x 0, y 0 ) v. Przypomnijmy,»e sens geometryczny iloczynu skalarnego wektorów u i v wyra»amy formuª u v = u v cos (u, v),

132 32 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY co oznacza,»e je±li np. v =, warto±ci iloczynu skalarnego jest dªugo± rzutu drugiego z wektorów u na kierunek v. Tak wi c pochodna kierunkowa F w (x 0, y 0 ) mówi nam jaka jest skªadowa gradientu F w tym punkcie w zadanym kierunku v. Wynika st d jeszcze jeden wa»ny wniosek. Iloczyn skalarny ma najwi ksz warto±, gdy kierunki i zwroty wektorów u i v s zgodne. St d te» maksimum pochodnej kierunkowej przypada dokªadnie w kierunku wektora gradientu w badanym punkcie. Gradient pokazuje nam zatem lokalny kierunek najszybszego wzrostu funkcji F. Wektor gradientu zmienia si od punktu do punktu. My±l c o zbiorze U wszystkich punktów, w których istniej cz stkowe pochodne F, F nale»y rozumie jako przyporz dkowanie ka»demu punktowi tego zbioru unikalnego wektora. Przyporz dkowanie takie nazywamy polem wektorowym na U. Poziomice funkcji F s to linie w pªaszczy¹nie (x, y), na których F przyjmuje sta- ªe warto±ci. Wyznaczaj je na ogóª trudne do rozwi zania w jawnej postaci równania F (x, y) = c dla ró»nych warto±ci c. Przez ka»dy punkt (x 0, y 0 ) przechodzi poziomica odpowiadaj ca warto±ci F (x 0, y 0 ). Je±li v jest wektorem stycznym do poziomicy w punkcie (x 0, y 0 ), wówczas D v F (x 0, y 0 ) = 0, bowiem w tym kierunku warto± F nie ulega zmianie. Oznacza to,»e kierunek v jest w tym miejscu prostopadªy do wektora gradientu. Przykªad 4.8 Niech F (x, y) = 2 y2 x 3 y +. Funkcja ta jest ró»niczkowalna na caªej dziedzinie R 2. St d F = [ 3x 2 y, x 3 + y ] jest polem wektorowym gradientu (lub krótko gradientem) funkcji F na R 2. W punkcie (, 2) wektor tego pola ma warto± [ 2, 3]. Pokazuje on kierunek, w którym nale»y si minimalnie przemie±ci z punktu (, 2), aby osi gn najwi kszy lokalnie wzrost warto±ci F. Poziomice F mo»na wyznaczy z równania F (x, y) = c, które w naszym przykªadzie jest kwadratowe wzgl dem y: 2 y2 x 3 y + = c, sk d y = x 3 ± x 6 2( c). Rysunek 4.4 pokazuje intuicyjnie relacje mi dzy funkcj F : R 2 R, jej gradientem oraz map poziomic. Podsumujmy nasz dyskusj formaln denicj gradientu. DEFINICJA 4.4 Dla funkcji F : U R posiadaj cej w U R n wszystkie pochodne cz stkowe gradient F, oznaczany symbolem F lub grad F, jest to pole wektorowe F : U R n okre±lone w punktach x 0 U nast puj co F (x 0 ) = [ F (x 0 ),..., F ] (x 0 ). x x n We¹my teraz pod uwag funkcj F : U R m, U R n, dan w postaci skªadowych (4.35). Podobnie jak miaªo to miejsce w przypadku gradientu, ka»demu

133 33 Rys. 4.4: Funkcja F, jej gradient i poziomice. Ksztaªty poszczególnych poziomic powstaj z przeci cia wykresu z = F (x, y) poziom pªaszczyzn z = c. Gradient F jest polem wektorowym w pªaszczy¹nie (x, y). Wektory tego pola wskazuj lokalne kierunki najszybszego wzrostu F. Dodatkowo dªugo±ci wektorów gradientu charakteryzuj ilo±ciowo lokalne tempo wzrostu F. W ka»dym punkcie wytyczona tam styczna do poziomicy i wektor gradientu tworz k t prosty. punktowi x 0 U mo»emy przyporz dkowa teraz macierz m n zwan macierz Jacobiego DF (x 0 ) w postaci DF (x 0 ) = F F x (x 0 )... x n (x 0 )..... F m F x (x 0 )... m x n (x 0 ) = F (x 0 ). F m (x 0 ). (4.38) Zauwa»my,»e gradient F jest szczególnym przypadkiem macierzy Jacobiego gdy m =. Nast pne, wa»ne twierdzenie pokazuje jak w praktyce nale»y radzi sobie z obliczaniem zdeniowanej w (4.33) ogólnej pochodnej odwzorowania F. TWIERDZENIE 4. Je±li pochodne cz stkowe F i x j s ci gªe w punkcie x 0 U, wówczas istnieje pochodna Frécheta T x0 odwzorowania F : U R n i w standardowej bazie wyra»a si ona przez macierz Jacobiego DF (x 0 ). Dla funkcji F z Przykªadu 4.7 ogólna posta macierzy Jacobiego w jest nast puj ca: [ 4y 3 2 3x 2 y x 3 + 2y z y 2 2 z ]

134 34 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY a w punkcie (0,, 3) jest ona postaci [ ]. Funkcje o warto±ciach w R m mo»na, tak jak zwykªe wektory, dodawa i mno»y przez skalary. Jak ªatwo udowodni, dla funkcji F i G : U R m zachodzi D(F + G) = DF + DG oraz D(αF ) = αdf w ka»dym punkcie x 0 U, w któtym obie funkcje s ró»niczkowalne. Ponadto je±li F : R n R m oraz G : R m R k, F jest ró»niczkowalne w punkcie x 0, a G jest ró»niczkowalne w y 0 = F (x 0 ), wóczas superpozycja tych odwzorowa«g F : R n R k jest funkcj ró»niczkowaln w x 0, przy czym D(G F )(x 0 ) = DG(y 0 ) DF (x 0 ). (4.39) Gdy reprezentujemy obie pochodne przez macierze Jacobiego w ustalonych bazach, po prawej stronie mamy zwykªy iloczyn macierzowy. Jest to wa»na reguªa, pozwalaj ca w uproszczony sposób oblicza pochodne zªo»onych funkcji. W szczególno±ci niech F : R R n oraz G : R n R. Wówczas H = G F : R R jest zwykª funkcj jednej zmiennej o warto±ciach liczbowych, H(x) = G ( F (x), F 2 (x),..., F n (x) ). Chc c wyznaczy d H, obliczamy dx DF (x) = sk d zgodnie z (4.39) F (x). F n(x) H (x) = DH(x) = DG(F (x)) DF (x) = IV.0 i DG(y) = G(y) = n i= [ G,..., G ], y y n G y i ( F (x),..., F n (x) ) F i (x). (4.40) Zastsowania pochodnych funkcji wielu zmiennych Oszacowania bª dów rachunkowych Post puj c podobnie jak w wyprowadzeniu (4.36), zbadajmy przyrost warto±ci funkcji F : R n R mi dzy punktami x a x + x. F = F (x + x,..., x n + x n ) F (x,... x n ) = F (c) x + + F (c) x n x x n = F (c) x. gdzie x i < c i < x i + x i pochodz z zastosowania twierdzenia o warto±ci ±redniej do zale»no±ci F od ka»dej zmiennej z osobna. Je±li x i s maªe a pochodne cz stkowe F

135 ci gªe w x, wówczas F (c) mo»na przybli»y z dokªadno±ci o( x ) przez F (x). Zatem F F (x) x + + F (x) x n x x n albo F F (x) x x F + + (x) x n x n. Jest to u»yteczny wzór na oszacowanie caªkowitego bª du przy obliczaniu przybli»enia wielko±ci F zale»nej od kilku zmiennych przy znanym poziomie niedokªadno±ci x i ka»dej z nich. Przykªad 4.9 Przypu± my,»e chcemy wyznaczy pr d jaki popªynie w obwodzie o caªkowitej oporno±ci 2 kω, je±li przyªo»ymy do niego napi cie 50 V. Dokªadno± pomiaru oporu to ±0 Ω, a bª d pomiaru napi cia nie przekracza 5 V. Z prawa Ohma obliczamy I = U/R = 50/2000 A = 75 ma. Poniewa» U = 5 V a R = 0 Ω, dokªadno± tego obliczenia wynosi I I U U + I R R = R U + U R 2 R = + 3 ma Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Ograniczymy si w tym rozdziale do funkcji F : R 2 R. Podobne metody istniej dla funkcji zale»nych od wi kszej liczby zmiennych, a zainteresowany czytelnik znajdzie je z ªatwo±ci w wielu wymienionych w wykazie literatury podr cznikach, p. np. [2], t. I. Pierwszy lemat podaje warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji. LEMAT 4.5 Je±li funkcja F : R 2 R ma w punkcie x 0 lokalne maksimum lub minimum i jest w tym punkcie ró»niczkowalna, wówczas F (x x 0) = F (x y 0) = 0. Zamiast dowodu wystarczy nam obserwacja,»e w lokalnym ekstremum powinny znika wszystkie pochodne kierunkowe. Skoro wi c F v = 0 dla wszystkich jednostkowych wektorów v, st d prosty wniosek,»e F musi by w tym punkcie wektorem zerowym. Widzimy wi c,»e poszukiwanie lokalnych ekstremów funkcji F nale»y rozpocz od znalezienia wszystkich punktów, w których znikaj jednocze±nie pochodne cz stkowe. Podobnie jak w przypadku funkcji zmiennej, dla rozpoznania lokalnych minimów lub maksimów istotne jest bli»sze zbadanie przebiegu pochodnych cz stkowych wokóª tego wspólnego zera. Okazuje si jednak,»e sam fakt zmiany znaku ka»dej z nich wzdªu» linii wspóªrz dnych nie gwarantuje jeszcze istnienia ekstremum. Niniejszy przykªad pokazuje na czy polega trudno±. Przykªad 4.20 Niech F (x, y) = x 2 + y 2 oraz G(x, y) = x 2 y 2. W obydwu wypadkach znajdujemy z ªatwo±ci F x = 2x = G x oraz F y = 2y = G y. 35

136 36 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY a) b) Rys. 4.5: a) Funkcja F (x, y) = x 2 + y 2 ma w punkcie (0, 0) minimum. Pochodne cz stkowe przy przej±ciu przez (0, 0) w dodatnich kierunkach odpowiednich osi zmieniaj znak zgodnie z ujemnego na dodatni. b) Funkcja G(x, y) = x 2 y 2 nie posiada w (0, 0) ekstremum. Zmiana znaku pochodnych cz stkowych przebiega niezgodnie. Zatem jedynie punkt (0, 0) mo»e by lokalnym ekstremum zarówno jednej jak i drugiej funkcji. Przy przej±ciu zmiennej x przez 0 w dodatnim kierunku osi OX znak F z ujemnego staje si dodatni, a zatem w pobli»u (0, 0) funkcja F (x, 0) z x malej cej staje si rosn ca w przekroju wzdªu» osi OX ma wi c tam minimum. Podobnie zmienia si znak F i charakter F (0, y) przy przej±ciu y przez 0 w dodatnim y kierunku osi OY. Natomiast w przypadku funkcji G ta zmiana jest odwrotna, G(0, y) z rosn cej staje si malej ca, a wi c ma w 0 maksimum. Rys. 4.5 ilustruje t ró»nic. Warto przy tej okazji zauwa»y,»e geometria gªadkich powierzchni z = F (x, y) jest znacznie bogatsza ni» geometria krzywych y = f(x) i dopuszcza znacznie wi cej wariantów, w których mimo zerowania si gradientu nie pojawia si ani lokalne minimum ani te» maksimum. Jeszcze jeden przykªad takiej sytuacji ilustruje Rys Narz dziem pozwalaj cym rozró»nia opisane wy»ej przypadki jest tzw. macierz Hessego 3 funkcji F. Ludvig Otto Hesse (8874) byª jednym z wielu wybitnych niemieckich naukowców zwi zanych z Królewcem, wówczas Königsbergiem. Macierz Hessego funkcji F buduje si z jej pochodnych cz stkowych drugiego rz du. Oblicza si je podobnie jak pochodne pierwszego rz du, ró»niczkuj c wzgl dem jednej ze zmiennych, przy traktowaniu pozostaªych jako staªych parametrów. Zademonstru- 3 lub Hesjan, cho ta nazwa powinna by raczej zarezerwowana dla wyznacznika macierzy Hessego.

137 37 Rys. 4.6: Funkcja F (x, y) = y 3 x 2 nie posiada ekstremum w punkcie (0, 0). Kolejny przykªad geometrii powierzchni z punktem, w którym znika gradient, natomiast nie wyst puje tam lokalne ekstremum. jemy to na przykªadzie funkcji F (x, y) = x 2 + xy 3 y. Obliczamy kolejno F x = 2x + y3, 2 F = ( ) F x 2 x x 2 F = ( ) F y 2 y y 2 F = ( ) F x y x y 2 F y x = y ( F x ) F y = 3xy2 2 y /2 = x (2x + y3 ) = 2 = ( 3xy 2 2 y y /2) = 6xy + 4 y 3/2 = ( 3xy 2 2 x y /2) = 3y 2 = y (2x + y3 ) = 3y 2. Fakt,»e pochodne mieszane 2 F i 2 F s równe jest reguª, je±li tylko wszystkie x y y x pochodne cz stkowe s ci gªe w rozwa»anej dziedzinie. Przejd¹my do zdeniowania wspomnianej macierzy Hessego. DEFINICJA 4.5 Macierz Hessego funkcji F : U R w punkcie x 0 U R 2 jest to macierz utworzona z pochodnych cz stkowych drugiego rz du F obliczonych w x 0, 2 F (x x 2 0 ) 2 F (x x y 0) HF (x 0 ) = Zachodzi nast puj ce twierdzenie. 2 F (x y x 0) 2 F (x y 2 0 ). (4.4) TWIERDZENIE 4.2 Niech x 0 b dzie punktem, w którym istniej i s ci gªe wszystkie pochodne cz stkowe funkcji F do drugiego rz du. Niech ponadto F (x 0 ) = 0. Wówczas: (i) Je±li det(hf (x 0 )) > 0, w punkcie x 0 istnieje lokalne ekstremum funkcji F, przy czym jest to maksimum je±li 2 F (x x 2 0 ) < 0 lub minimum, gdy 2 F (x x 2 0 ) > 0.

138 38 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY (ii) Je±li det(hf (x 0 )) < 0, punkt x 0 nie jest ekstremum lokalnym F. (iii) Je±li det(hf (x 0 )) = 0, kryterium Hessego nie rozstrzyga czy w x 0 mamy lokalne ekstremum, czy te» nie. Przykªad 4.20 (ci g dalszy). Obliczmy macierze Hessego w punkcie (0, 0) dla funkcji F i G. Mamy HF (0, 0) = [ ], HG(0, 0) = [ a wi c na podstawie (i) w Twierdzeniu 4.2 F ma w (0, 0) minimum, podczas gdy na podstawie (ii) G nie posiada tam ekstremum. Przykªad 4.2 Zbadajmy ekstrema lokalne funkcji F (x, y) = x 2 4xy + y 3 + 4y. Rozpoczynamy od przyrównania pochodnych cz stkowych do 0, otrzymuj c ukªad równa«: F = 2x 4y = 0 x F y = 4x + 3y2 + 4 = 0. Wyznaczaj c x = 2y z pierwszego równania, po podstawieniu do drugiego otrzymujemy 3y 2 8y + 4 = 0, sk d y = 2, y 2 = 2 3. Korzystaj c ponownie ze zwi zku x = 2y obliczamy wspóªrz dne punktów, w których znika gradient F, c = (4, 2), c 2 = ( 4 3, 2 3 ). By zbada charakter tych punktów, obliczamy ogóln posta macierzy Hessego HF dla naszego przykªadu: HF = 2 F x 2 2 F y x 2 F x y 2 F y 2 = [ ] y [ ] 2 4 Stosuj c Twierdzenie 4.2 obliczamy det(hf (c )) = det = 8 oraz 4 2 det(hf (c 2 )) = 8. Zatem w punkcie c mamy ekstremum, którego charakter poznajemy po znaku warto±ci 2 F w tym punkcie tu 2>0, a wi c c x 2 jest lokalnym minimum. W punkcie c 2 ekstremum nie ma, bo wyznacznik HF jest tam ujemny. 3 Metoda najmniejszych kwadratów Ciekawym zastosowaniem praktycznym wyznaczania lokalnych ekstremów jest tzw. metoda najmniejszych kwadratów stosowana, gdy poszukujemy krzywej y = f(x) najlepiej dopasowanej do danych eksperymentalnych. Omówimy to zagadnienie gdy ],

139 39 poszukiwan funkcj jest linia prosta y = Ax+B. Jednym z przykªadów mo»e tu by procedura do±wiadczalnego wyznaczania oporu elektrycznego R w obwodzie na podstawie pomiarów napi cia U i nat»enia pr du I. Zgodnie z prawem Ohma U = RI, rzecz jednak w tym,»e obarczone bª dem pomiarowym do±wiadczalne dane z serii eksperymentów I k i U k, k =,..., n, na ogóª nie ukªadaj si idealne wzdªu» jednej prostej o jednoznacznie wyznaczonym R. Zadanie polega wi c na wyznaczeniu staªej R, dla której suma wszystkich odchyle«warto±ci eksperymentalnych U k od teoretycznych, obliczanych ze wzoru RI k byªaby mo»liwie najmniejsza. Rysunek 4.7 ilustruje istot problemu. ( x, y ) i i Rys. 4.7: Metoda najmniejszych kwadratów polega na dopasowaniu linii y = Ax+B do n punktów (x i, y i ) na pªaszczy¹nie tak aby suma odchyle«y i (Ax i + B) byªa jak najmniejsza. Je±li nasze dane pomiarowe to punkty (x i, y i ), i =,..., n, wyznaczymy wspóªczynniki funkcji liniowej A i B tak aby suma kwadratów 4 odchyle«y i od Ax i + B byªa minimalna, tj. poszukamy minimum funkcji (A, B) = n (y i (Ax i + B)) 2. i= Wyja±nia to genez nazwy metoda najmniejszych kwadratów. Obliczamy n A = n n n 2x i (y i (Ax i + B)) = 2A x 2 i + 2B x i 2 x i y i i= i= i= i= n B = n n 2 (y i (Ax i + B)) = 2A x i + 2nB 2 y i, i= i= i= sk d po przyrównaniu obydwu pochodnych do 0 i po wprowadzeniu pomocniczych oznacze«α = x i, β = y i, γ = x 2 i oraz δ = x i y i, otrzymujemy ukªad równa«γa + αb = δ αa + nb = β. (4.42) 4 Zauwa»my,»e indywidualne odchylenia y i (Ax i + B) mog by dodatnie jub ujemne. By poprawnie sformuªowa zadanie minimalizacji sumy tych odchyle«, nale»aªoby wzi ich warto±ci bezwzgl dne. U»ycie zamiast tego kwadratów jest caªkowicie równowa»ne, lecz prostsze obliczeniowo.

140 40 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY Šatwo mo»na przekona si,»e wyznacznik gªówny tego ukªadu nγ α 2 > 0, tak wi c ukªad posiada jednoznaczne rozwi zanie w postaci A = nδ αβ nγ α 2 oraz B = βγ αδ nγ α 2. Jest to jedyny punkt [(A, B), w] którym znika gradient funkcji. Macierz Hessego przyjmuje posta, jest wi c staªa wzgl dem A i B i identyczna (z 2γ 2α 2α 2n dokªadno±ci do czynnika 2) z macierz ukªadu (4.42) nie powinno by to zaskoczeniem skoro jest kwadratowym wielomianem 5 wzgl dem A i B. Jak ju» wiemy, wyznacznik tej macierzy jest dodatni, a poniewa» γ jest dodatnie, wyznaczyli±my zgodnie z oczekiwaniami parametry A i B realizuj ce minimum sumy kwadratów odchyle«y i od Ax i + B. W zadaniu 20 prosimy czytelnika o zastosowanie opisanej wy»ej metody do znalezienia zale»no±ci liniowej dla przykªadowych danych do±wiadczalnych. 4 Ekstrema warunkowe funkcji metoda wspóªczynników nieoznaczonych W praktycznych zastosowaniach bardzo cz sto spotykamy si z nast puj cym problemem: znale¹ minimum lub maksimum funkcji F (x,..., x n ) przy wymaganiu,»e speªniony jest dodatkowy warunek G(x,..., x n ) = 0. Przykªadem mo»e by typowy, geometryczny problem okre±lenia odlegªo±ci ustalonego punktu p od powierzchni danej równaniem G(x) = 0. Jest to oczywi±cie odlegªo± mi dzy p a najbli»szym mu punktem x na tej powierzchni. Tak wi c zadanie formuªuje si nast puj co: znale¹ min F (x) = d(x, p) = (xi p i ) 2 pod warunkiem,»e G(x) = 0. Jest to tzw. problem wyznaczania ekstremów warunkowych funkcji F. W ogólnym sformuªowaniu warunków ograniczaj cych mo»e by wi cej, G (x) = G 2 (x) =... = G k (x) = 0. Rozwi»emy to zagadnienie w najprostszym wypadku gdy F i G s funkcjami rzeczywistymi dwóch zmiennych. Wówczas warunek G(x, y) = 0 wyznacza pewn krzyw γ w pªaszczy¹nie wspóªrz dnych XOY. Problem wi c polega na poszukiwaniu ekstremów funkcji F gdy jej argumenty ograniczone s do krzywej γ, p. Rys Je±li to»samo± G(x, y) = 0 daje si rozwi za wzgl dem y lub x, tj. zapisa w postaci np. y = g(x), wówczas problem rozstrzyga si ªatwo przez podstawienie w funkcji F (x, y) = F (x, g(x)), co upraszcza nasze zadanie do poszukiwania ekstremów funkcji jednej tylko zmiennej. Wystarczy jednak aby relacja G(x, y) = 0 byªa algebraicznie bardziej skomplikowana, aby procedura taka nie daªa si przeprowadzi. Stosujemy wówczas tzw. metod wspóªczynników nieoznaczonych Lagrange'a. Polega ona na zast pieniu ukªadu funkcjawarunek pojedyncz funkcj L(x, y, λ) = F (x, y) + λg(x, y) (4.43) 5 Z tej przyczyny analiz macierzy Hessego mo»na byªoby w tym wypadku caªkowicie pomin, bo ekstremum funkcji kwadratowej o dodatnich wspóªczynnikach to z pewno±ci minimum.

141 4 G(x,y)=0 Rys. 4.8: Problem ekstremów warunkowych dla funcji z = F (x, y). Warunek G(x, y) = 0 wyznacza krzyw w pªaszczy¹nie XOY. Zmienno± F na tej krzywej jest wówczas przedmiotem analizy. i rozwi zaniu zadania wyznaczania ekstremów dla tej pomocniczej funkcji. Parametr λ nosi nazw nieoznaczonego wspóªczynnika Lagrange'a i peªni w zadaniu jedynie pomocnicz rol. Obliczmy pochodne cz stkowe funkcji L i przyrównajmy je do 0. L x = F x + λ G x = 0 L = F y y + λ G y = 0 (4.44) L λ = G(x, y) = 0. Mo»na ju» dostrzec rol wspóªczynnika λ i postaci funkcji L:» danie znikania wszystkich skªadowych gradientu L zawiera w sobie oryginalny warunek G(x, y) = 0. W ten sposób zostaª on wª czony jako integralna cz ± do warunku koniecznego istnienia ekstremum L. Dwa pierwsze równania zapisa mo»na krótko w postaci F = λ G. Geometrycznie oznacza to,»e poszukujemy punktów (x, y), w których wektory gradientu funkcji F i G staj si równolegªe. Trzecie równanie ogranicza nasze poszukiwania wyª cznie do poziomicy zerowej G. Przypomnijmy jednak,»e w ka»dym punkcie na tej linii wektor G jest prostopadªy do kierunku do niej stycznego. Tym samym rozwi zania ukªadu (4.44) stanowi punkty, w których F (dzi ki równolegªo±ci z G) jest lokalnie prostopadªy do krzywej G(x, y) = 0. Ujmuj c to inaczej, s to punkty, w których znika pochodna kierunkowa F obliczana w kierunku stycznym do G(x, y) = 0. Powinno by jasne,»e tylko w takich punktach mog pojawi si ekstrema warunkowe F. Pozostaje wówczas sprawdzenie, które z nich stanowi maksima lub minima, a które s punktami przegi cia F obliczanej wzdªu» linii G(x, y) = 0. Wygodn metod rachunkow stanowi tu tzw. technika obrze»nej macierzy Hessego (obrze»nego Hesjanu). Obliczamy macierz Hessego funkcji L wzgl dem zmiennych

142 42 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY x, y i λ, HL = 2 L x 2 2 L y x G x 2 L x y 2 L y 2 G x G y G 0 y, (4.45) gdzie uwzgl dnili±my fakt,»e L = G(x, y). Okazuje si,»e warunki (i)(iii) z Twierdzenia 4.2 upraszczaj si w tym λ przypadku. TWIERDZENIE 4.3 Niech c 0 = (x 0, y 0, λ 0 ) b dzie rozwi zaniem ukªadu (4.44). Wówczas (i) je±li det HL(c 0 ) > 0, funkcja F ma w punkcie (x 0, y 0 ) warunkowe maksimum; (ii) je±li det HL(c 0 ) < 0, funkcja F ma w punkcie (x 0, y 0 ) warunkowe minimum; (iii) gdy za± det HL(c 0 ) = 0, twierdzenie niniejsze nie rozstrzyga o istnieniu b d¹ nieistnieniu warunkowego ekstremum. Przykªad 4.22 Znajdziemy ekstrema funkcji F (x, y) = y 2 4xy + 4x 2 przy warunku G(x, y) = x 2 + 2y 2 = 0. Tworzymy funkcj Lagrange'a L(x, y) = y 2 4xy + 4x 2 + λ(x 2 + 2y 2 ) i przyrównujemy do 0 jej pochodne cz stkowe L x = 4y + 8x + 2λx = 0 L y = 2y 4x + 4λy = 0 L λ = x2 + 2y 2 = 0. Po uproszczeniu wyznaczamy x = y(λ+) z 2-go równania i wstawiamy do -szego 2 otrzymuj c 2 y( (2λ + )(λ + 4) 4 ) = 0, sk d y = 0 lub λ = 0 lub λ = 9 2. Gdy y = 0, drugie równanie redukuje si do x = 0, lecz ta para warto±ci nie speªnia równania 3-ciego. Gdy λ = 0, zarówno pierwsze jak i drugie równanie sprowadzaj si do y = 2x, co po wstawieniu do równania 3-ciego daje 9x 2 =, a wi c x = ± 3. Gdy z kolei λ = 9 2 4y, a zatem dwa pocz tkowe równania przyjmuj jednocze±nie posta x = 33x 2 =, a wi c x = ± 33.

143 Podsumowuj c, znale¹li±my nast puj ce punkty (x, y, λ), w których znika gradient funkcji L: (, 2, 0), (, 2, 0), ( , 33, 9), ( 2 33, 4 33, 9). 2 Policzmy ogóln posta macierzy Hessego dla funkcji L: HL = 2λ x 4 4λ + 2 4y 2x 4x 0 Šatwo sprawdzi,»e w pierwszych 2 punktach warto± wyznacznika macierzy Hessego wynosi 72, a wi c zlokalizowane s tam minima, podczas gdy dla dwóch pozostaªych punktów wyznacznik ten przyjmuje warto± 92/, a zatem s w nich maksima warunkowe funkcji F. W zadaniu 28 sugerujemy znalezienie ekstremów warunkowych F przez rozwi - zanie równania G(x, y) = 0 wzgl dem jednej ze zmiennych i podstawienia tego rozwi zania we wzorze na F. IV. Funkcje uwikªane. 43 Przyzwyczajeni jeste±my,»e funkcje liczbowe dane s w postaci jawnych wzorów y = f(x). Bywa jednak,»e przepis na zale»no± y of x lub odwrotnie dany jest jedynie w tzw. postaci uwikªanej, F (x, y) = 0, z której z powodu trudno±ci algebraicznych nie mo»na wyznaczy ani x ani te» y jako samodzielnej zmiennej po jednej stronie równo±ci, np. x 3 y + y 4 x 2 + 2y x 5 3 = 0. Cz sto uwikªana zale»no± x i y nie da si w ogóle wyrazi przez funkcje elementarne. Wygodnie jest my±le o tego typu relacjach deniuj cych zale»no± mi dzy y a x jako o równaniu poziomicy funkcji F. Okazuje si,»e wªasno±ci ci gªo±ci i ró»niczkowalno±ci F przenosz si w znacznym stopniu na ukryt w równaniu F (x, y) = 0 uwikªan funkcj y(x) lub x(y). To wªa±nie jej wykresem w pªaszczy¹nie XOY jest poziomica F (x, y) = 0 lub jej fragment. W istocie przekonamy si,»e taki przepis niejawny na funkcj nie jest w niczym gorszy od tradycyjnego: korzystaj c jedynie z postaci F (x, y) jeste±my bowiem w stanie wylicza warto±ci pochodnych funkcji uwikªanej y (x), y (x) itd., bada jej ekstrema, rozwija j we wzór Taylora itp. Przed sformuªowaniem ogólnych twierdze«rozpocznijmy od prostego przykªadu. Przykªad 4.23 Niech F (x, y) = x 2 +y 2 = 0. W pªaszczy¹nie XOY wykresem tej relacji zerowej poziomicy F jest okr g jednostkowy. Co prawda okr g ten nie jest wykresem»adnej funkcji, ze wzgl du na wieloznaczno± przyporz dkowania x y, tym niemniej mo»na go podzieli na ªuki tak,»e ka»dy z osobna jest wykresem funkcji y = f(x) (lub symetrycznie x = g(y)). Takim podziaªem jest np. y = + x 2 i y = x 2 Widzimy wi c, ze posta uwikªana koduje w sobie na ogóª kilka jednoznacznych gaª zi funkcji y = f(x), natomiast je±li wska»emy punkt (x 0, y 0 ) speªniaj cy równanie F (x, y) = 0, wówczas niemal zawsze jest to równoznaczne z wyborem jednej z

144 44 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY a) b) Rys. 4.9: a) Šuki okr gu jako jednoznaczne gaª zie funkcji uwikªanej w otoczeniu wskazanych punktów. Wokóª (, 0) nie istnieje jednoznaczna gaª ¹ funkcji y = f(x), natomiast mo»na j przedstawi jako x = g(y). b) Lemniskata Bernoulliego dana równaniem (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2. Przez punkt (0, 0) nie mo»na przeprowadzi jednoznacznej gaª zi funkcji uwikªanej y = f(x) ani te» x = g(y). W otoczeniu ka»dego innego punktu na tej krzywej jest to mo»liwe. tych gaª zi. W naszym przykªadzie punkt (0, ) jednoznacznie wskazuje przechodz - c przez niego funkcj uwikªan y = + x 2, a punkt (, 3) drug gaª ¹ 2 2 y = x 2. Wyj tek stanowi punkty (, 0) i (, 0), poniewa» obydwie gaª zie si tam spotykaj w otoczeniu ka»dego z tych punktów relacja F (x, y) = 0 nie deniuje y jako jednoznacznej funkcji x. Je±li jednak zamienimy zmienne rolami traktuj c y jako niezale»ne, przez punkty (, 0) i (, 0) przechodz jednoznaczne gaª zie x = y 2 i x = + y 2, por. Rys. 4.9 a). Podamy teraz bardzo wa»ne twierdzenie o funkcji uwikªanej, pozwalaj ce efektywnie bada przebieg takich funkcji mimo nieznajomo±ci jawnych analitycznych wzorów dla nich. TWIERDZENIE 4.4 Niech (x 0, y 0 ) b dzie punktem takim,»e F (x 0, y 0 ) = 0. Je±li funkcja F (x, y) ma ci gªe pochodne cz stkowe w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) oraz je±li F y (x 0, y 0 ) 0, wówczas i) istnieje jednoznaczna gaª ¹ funkcji uwikªanej y = f(x) okre±lona w dostatecznie maªym otoczeniu x 0, speªniaj ca tam równanie F (x, f(x)) = 0; ii) funkcja f jest ci gªa w ww. otoczeniu x 0 i posiada tam ci gª pochodn dan wzorem y (x) = F/ x F/ y. Dowód istnienia jednoznacznej gaª zi y = f(x) jest nieco pracochªonny, natomiast wzór w punkcie ii) twierdzenia otrzymujemy natychmiast ró»niczkuj c obustronnie to»samo± F (x, f(x)) = 0 wzgl dem x, gdzie po lewej stronie stosujemy reguª ró»niczkowania funkcji zªo»onej (4.40), d F F (x, f(x)) = dx x + F y f (x) = 0.

145 Przykªad 4.24 Niech F (x, y) = x 3 + 2xy 2 y 3 +. F (x, y) = 0 deniuje y jako funkcj uwikªan zmiennej x, y = y(x). Zauwa»my,»e F (0, ) = 0, oraz F (0, ) = y 3 0, a wi c zgodnie z powy»szym twierdzeniem przez punkt (0, ) przechodzi jednoznaczna gaª ¹ tej funkcji. Poniewa» F (0, ) = 2, zatem x y (0) = 2. Poka»emy 3 jak mo»na ªatwo obliczy pochodne wy»szego rz du w tym punkcie. Zapiszmy jeszcze raz to»samo± F (x, y) = 0 w postaci x 3 + 2x(y(x)) 2 (y(x)) 3 + = 0. B dziemy ró»niczkowa j obustronnie po x uwzgl dniaj c fakt,»e y jest funkcj x. Oto wynik 3 kolejnych ró»niczkowa«, przy czym w zapisie dla prostoty pomijamy argument funkcji y(x) pisz c po prostu y: 3x 2 + 2y 2 + 4xyy 3y 2 y = 0 6x + 8yy + 4x(y ) 2 6y(y ) 2 + 4xyy 3y 2 y = (y ) 2 6(y ) 3 + 2yy + 2xy y 8yy y + 4xy y 3y 2 y = 0. Skorzystajmy teraz z faktu,»e y(0) = do obliczenia postaci pierwszej to»samo±ci w punkcie x = 0. Podstawiaj c w niej 0 w miejsce x i w miejsce y dostajemy 2 3y (0) = 0, a st d y (0) = 2. Jest to zgodne z warto±ci pochodnej 3 y w zerze policzonej wprost z ii) w twierdzeniu. W nast pnym kroku podstawmy x = 0, y = i y = 2 w drugiej to»samo±ci, a otrzymamy 8 3f (0) = 0. St d f (0) = 8. U»ywaj c tych danych w ostatniej to»samo±ci dostajemy 86 3f (0) = 0, a wi c f (0) = Oczywi±cie mo»na ten proces kontynuowa. Korzystaj c z obliczonych warto±ci pochodnych y(x) w x = 0, mo»emy teraz zapisa kilka pocz tkowych wyrazów szeregu McLaurina dla tej funkcji: y(x) = x x x3 + o(x 3 ). 45 Istniej te» proste techniki pozwalaj ce wyznacza ekstrema lokalne funkcji danych w postaci uwikªanej F (x, y(x)) = 0. Szukamy zatem punktów, w których y (x) = 0. Poniewa» y = F : F F wsz dzie tam, gdzie 0, potencjalnymi x y y ekstremami s rozwi zania ukªadu równa«f (x, y) = 0 i F (x, y) = 0, za wyj tkiem x tych, w których znika pochodna F. By zbada czy s to minima lub maksima, wyliczymy drug pochodn y ró»niczkuj c dwukrotnie po x to»samo± F (x, y(x)) = y 0: d 2 ( d F F (x, y(x)) = dx2 dx x + F ) y y = 2 F x F x y y + 2 F y 2 (y ) 2 + F y y = 0. Poniewa» w interesuj cych nas punktach y = 0, ostatni wzór redukuje si do 2 F x 2 + F y y = 0,

146 46 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY a wi c y = 2 F : F. Oczywi±cie warto± x 2 y y mo»na równie» wyznaczy metod opisan w Przykªadzie Przykªad 4.25 Niech tym razem F (x, y) = x 5 + y 4 4xy 2. Znajdziemy ekstrema lokalne funkcji uwikªanej F (x, y(x)) = 0. Mamy F x = 5x4 4y 2 oraz F y = 4y3 8xy. F Rozwi zaniami ukªadu równa«f (x, y) = 0 i (x, y) = 0 s punkty (0, 0) oraz x ( 4, ± 8 ). Poniewa» F (0, 0) = 0, punkt ten eliminujemy. Równie ªatwo sprawdzamy,»e w pozostaªych 2 punktach pochodna F /3 5 5/6 y przyjmuje warto±ci ±, natomiast y 5 3/2 = 20x 3 ma tam warto± 320. St d na koniec mamy: 2 F x 2 w punkcie ( 4 8, ) mamy y ( 4 ) < 0, a wi c jest tam lokalne maksimum 5 2/3 5 5/6 5 2/3 gaª zi y(x) przez nie przechodz cej; gaª ¹ y(x) przechodzaca przez punkt ( 4, 8 ) ma w nim lokalne minimum 5 2/3 5 5/6 poniewa» f ( 4 ) > /3 IV.2 Zadania do rozdziaªu IV Zadanie Sporz dzi tabel ze wzorami ró»niczkowymi dla wszystkich znanych funkcji elementarnych: f(x) = x α dla α R, f(x) = a x dla a > 0, f(x) = log a x dla 0 < a, dla funkcji trygonometrycznych, dla funkcji cyklometrycznych (arcsin x, arccos x, itd.), dla funkcji hiperbolicznych (sinh x, cosh x, tgh x, ctgh x) i odwrotnych do nich (arcsinh x, arccosh x, itd.). Zadanie 2 Udowodni wzory ró»niczkowe (4.3), (4.4) i (4.6). Zadanie 3 Obliczy pochodne funkcji f s (x) = arcsinh x = ln(x + x 2 + ) oraz f c (x) = arccosh x = ln(x + x 2 ). Rozwi zanie. Rozwi»emy to zadanie dla funkcji arccosh x, pozostawiaj c drug dla czytelnika. Funkcja f c (x) stanowi wielokrotne zªo»enie funkcji prostych. Ró»- niczkowanie tego wyra»enia zgodnie ze wzorem (4.7) musi uwzgl dni wszystkie zªo-»enia, dlatego przy wykonywaniu podobnych oblicze«niezmiernie wa»na jest umiej tno± poprawnego odczytywania kolejnych poziomów superpozycji. W przypadku w tpliwo±ci wystarczy zastanowi si w jakiej kolejno±ci prowadziliby±my obliczanie warto±ci takiej funkcji zªo»onej, maj c dane x. Ró»niczkowanie wykonuje si zwyczajowo w kolejno±ci dokªadnie do niej odwrotnej. I tak, w naszym przykªadzie mamy f c (x) = ln h(x), gdzie h(x) = x + g(x), dalej g(x) = k(x) i w ko«cu k(x) = x 2.

147 47 Zatem ró»niczkuj c kolejno otrzymujemy f c(x) = = = = h(x) h (x) = h(x) ( + g (x)) + h(x) 2 k(x) k (x) ( ) x + + x 2 2 x 2 2x x + x 2 x2 + x = x2 x2 Zadanie 4 Wyznaczy wzór na pochodn iloczynu n funkcji Zadanie 5 d dx n f k (x). k= Znale¹ wymiary zamkni tej cylindrycznej puszki, która (a) przy danej obj to±ci V ma najmniejsz powierzchni ; (b) przy danej powierzchni S ma najwi ksz obj to±. Zadanie 6 Korytarz o szeroko±ci 2 m zakr ca pod k tem prostym, zw»aj c si do.5 m. Jaka jest maksymalna dªugo± deski, któr mo»na przenie± poziomo przez ten zakr t? Zadanie 7 Trzy kule K, K 2, K 3 o jednakowych promieniach tocz si po prostej. Kula K o masie m uderza w kul K 2, która z kolei uderza w K 3 o masie m 3. Jaka powinna by masa m 2 kuli K 2, aby kula K 3 uzyskaªa maksymaln pr dko±? Zadanie 8 Znale¹ ekstrema lokalne funkcji: (a) f(x) = x2 3x + 2 x 2 + 3x + 2 x 3 + x (b) f(x) = x 4 + x 2 + (c) f(x) = x3 3 x2 (d) f(x) = x x. Zadanie 9 Udowodni uogólnion nierówno± Bernoulliego (.3) dla 0 < α <. Zadanie 0

148 48 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY Wyznaczy warto±ci parametrów a, b i c tak, aby funkcja f(x) = oraz jej pochodne f (x) i f (x) byªy ci gªe. Zadanie 2e x < ax + bx + c x Rozwin nast puj ce funkcje w szereg McLaurina: (a) f(x) = + x (b) f(x) = arcsin x (c) f(x) = arcsinh x (d) f(x) = ln + x x (e) f(x) = ln( + x + x 2 ) (f) f(x) = e x cos x (g) f(x) = e x2 Zadanie 2 Obliczy e z dokªadno±ci do 0 4 korzystaj c z rozwini cia McLaurina dla funkcji y = e x. Zadanie 3 Obliczy z dokªadno±ci do 0 3 posªuguj c si rozwini ciem Taylora funkcji y = 5 + x. Jak wybra a aby zadanie byªo jak najmniej pracochªonne? Zadanie 4 W jakim zakresie zmienno±ci x mo»na u»ywa przybli»enia cos x x2 + x4, 2 24 aby dokªadno± otrzymanych wyników nie byªa gorsza ni» 0 3. Wynik wyrazi w stopniach k towych. Zadanie 5 π Wychodz c z to»samo±ci = arctg + arctg zapisa liczb π w postaci sumy niesko«czonego szeregu. Ilu pocz tkowych wyrazów tego szeregu nale»y u»y, aby dokªadno± uzyskanego przybli»enia π byªa lepsza ni» 0 3? Zadanie 6 Udowodni prawdziwo± wzorów rachunkowych dla wyra»e«asymptotycznych i)vi) z podrozdziaªu IV.7, str. 25. Zadanie 7 Korzystaj c z reguªy de l'hospitala policzy granice:

149 49 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (i) lim x α ln x x, α > 0 x x lim 2x + sin x lim x 0 xα ln x + ( x sin x lim x ) x x lim (tan x)ctg x (π/2) lim x 0 + lim x lim x 0 lim x 0 ln x ctg x ( ln x x ) ln x ( x) x 2 ctg2 ( x ) 3 sin 3 x lim x /( x) x Zadanie 8 Korzystaj c z odpowiednich rozwini w szeregi McLaurina i z reguª rachunku wyra»e«asymptotycznych o(x m ) obliczy nast puj ce granice: (a) (b) (c) (d) e x sin x x( + x) lim x 0 x 3 (cos x) sin x lim x 0 x 3 cos(x 2 ) lim x 0 x 2 sin(x 2 ) lim x 0 ( arcsin x x ) /x 2. Korzystaj c z nast puj cego rozwini cia dla x < i α R: ( + x) α = + αx + α(α ) x gdzie ( ) α n = α(α ) (α n + ), obliczy tak»e granice n! (e) (f) ( 6 x lim x6 + x 5 6 ) x 6 x 5 lim x 0 x 3 ( e sin x + x 2 x cos x ). ( ) α x n + o(x n ), n

150 50 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY Zadanie 9 Korzystaj c z faktu,»e szereg pot gowy mo»na ró»niczkowa w przedziale zbie»no±ci wyraz po wyrazie, wyprowadzi wzory na sumy szeregów nq n, n 2 q n, oraz n 3 q n, n= n= n= gdzie q <. Zadanie 20 Metod najmniejszych kwadratów dopasowa parametry funkcji liniowej y = ax + b do danych do±wiadczalnych w tabeli x i y i Zadanie 2 Wyznaczy ekstrema lokalne nast puj cych funkcji (a) F (x, y) = x 2 xy + 2y 2 x + 4y 5 (b) F (x, y) = x 2 6xy + y 3 + 3x + 6y (c) F (x, y) = 4xy + x + y (d) F (x, y) = (6 x y)x 2 y 3 (e) F (x, y) = x 2y + ln x 2 + y arctg y x (f) F (x, y) = x 2 + xy + y 2 4 ln x 0 ln y (g) F (x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) Zadanie 22 Wyznaczy wymiary prostopadªo±ciennego (odkrytego) akwarium, które: (a) przy danej obj to±ci V ma najmniejsz powierzchni ; (b) przy danej powierzchni S ma najwi ksz obj to±. Zadanie 23 Znale¹ wymiary silosu na zbo»e o pojemno±ci 64 m 3 w ksztaªcie walca zako«czonego u doªu sto»kiem, na zbudowanie którego potrzeba najmniej blachy. Zadanie 24 Przedstawi liczb a > 0 w postaci iloczynu 3 dodatnich czynników tak aby ich suma byªa najmniejsza. Zadanie 25 W punktach P i (x i, y i ), i =, 2, 3, znajduj si masy m i. Wyznaczy wspóªrz dne punktu P (x, y), wzgl dem którego moment bezwªadno±ci ww. ukªadu mas jest najmniejszy.

151 5 Zadanie 26 Znale¹ wymiary najbardziej pojemnego prostopadªo±cianu wpisanego w elipsoid ( ) x 2 ( ) y 2 ( ) z =. a b c Zadanie 27 Nale»y zaprojektowa okno w ksztaªcie prostok ta zwie«czonego trójk tem równoramiennym o obwodzie 2 m i o maksymalnej powierzchni. Zadanie 28 Wyznaczy ekstrema warunkowe funkcji F z Przykªadu 4.22 podstawiaj c w wzorze F rozwi zany w jawnej postaci x = g(y) warunek G(x, y) = 0. Zadanie 29 Metod wspóªczynników nieoznaczonych Lagrange'a wyznaczy ekstrema F (x, y) przy warunku G(x, y) = 0 dla nast puj cych funkcji: (a) F (x, y) = 2x 2 + xy + y y 2, G(x, y) = 2x + 3y (b) F (x, y) = x 2 + y 2, G(x, y) = xy (c) F (x, y) = x + y, G(x, y) = e x+y xy (d) F (x, y) = x + y, G(x, y) = x 2 + y 2 Zadanie 30 Wyznaczy dowolny punkt (x 0, y 0 ), przez który przechodzi jednoznaczna gaª ¹ funkcji uwikªanej y = y(x) lub x = x(y) okre±lonej przez F (x, y) = 0, obliczy pochodne y, y i y w tym punkcie, a nast pnie zapisa y(x) w postaci odpowiedniego wzoru Taylora. (a) 2y 2 4x 3 y + 5x 2 2 = 0 (b) x 2 ln y y 2 ln y + = 0 (c) x + y e y/x = 0 (d) 2 cos(x 2y) 2y + x = 0. Zadanie 3 Wyznaczy maksima funkcji uwikªanej y = y(x) zadanej przez relacj (a) y 3 + 2xy + x 2 = 0 (b) x 3 + y 3 2xy = 0.

152 52 ROZDZIAŠ IV. RACHUNEK RÓ NICZKOWY

153 Rozdziaª V Rachunek caªkowy Rachunek caªkowy jest komplementarn w stosunku do rachunku ró»niczkowego cz ±ci analizy matematycznej. Realizujemy w nim proces odwrotny do ró»niczkowania: maj c dan funkcj y = f(x) pytamy jakiej funkcji F jest ona pochodn. Rachunek caªkowy jest kopalni bardzo u»ytecznych zastosowa«metod analitycznych do rozwi zywania wa»nych problemów geometrycznych i zycznych. Zajmowa si b dziemy gªównie funkcjami jednej zmiennej o warto±ciach rzeczywistych. V. Caªki nieoznaczone W poprzednim rozdziale omówili±my podstawowe elementy rachunku ró»niczkowego funkcji jednej lub wielu zmiennych. Oprócz reguª wyznaczania pochodnych zadanych funkcji poznali±my ich liczne zastosowania. Zajmiemy si teraz zagadnieniem odwrotnym: znaj c jedynie posta pochodnej f(x) = F (x) nale»y wyznaczy jej funkcj pierwotn F (x). Rachunek caªkowy jest zespoªem reguª pozwalaj cych znajdowa nieznane funkcje pierwotne oraz wyci ga wnioski o ich wªasno±ciach na podstawie wªasno±ci funkcji podcaªkowych. DEFINICJA 5. Niech f : (a, b) R, gdzie a, b s sko«czone lub nie. Funkcj F nazywamy funkcj pierwotn lub caªk nieoznaczon dla f na (a, b) je±li F (x) = f(x) w ka»dym punkcie x. Zachodzi wa»na wªasno±, któr podajemy tu bez dowodu. LEMAT 5. Ka»da funkcja ci gªa posiada funkcj pierwotn. Okazuje si jednak,»e w odró»nieniu od pochodnej danej funkcji, funkcja pierwotna nie jest wyznaczona jednoznacznie. Charakter tej niejednoznaczno±ci opisuje nast pny lemat. LEMAT 5.2 Je±li F i G s funkcjami pierwotnymi tej samej funkcji f na przedziale (a, b) (sko«czonym lub nie), wówczas F (x) G(x) = const. Dowód wynika z faktu,»e je±li g (x) 0 na (a, b) to g(x) = const. Tak wi c funkcja pierwotna funkcji f wyznaczona jest z dokªadno±ci do staªej addytywnej. Na oznaczenie caªej klasy funkcji pierwotnych dla f postaci F (x)+c u»ywamy symbolu f(x) dx. 53

154 54 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY Mo»emy wi c zapisa trywialne to»samo±ci d dx f(x) dx = d (F (x) + C) = f(x) dx oraz d F (x) dx = F (x) + C. dx Podstawowe wzory caªkowe Caªkowanie najprostszych funkcji realizuje si przez odgadywanie funkcji pierwotnych lub odczytywanie ich z tablicy pochodnych. Mo»emy w tym celu skorzysta np. z rozwi zania zadania z rozdziaªu IV. Mamy w szczególno±ci 2x dx = x 2 + C, cos x dx = sin x + C, dx x = 2 x + C itd., chodzi jednak o to,»e rachunek caªkowy powinien dostarczy nam systematycznych metod wyznaczania caªek nieoznaczonych dowolnych funkcji. Niestety takie ogólne metody nie istniej. Jest to kolosalna ró»nica w stosunku do rachunku ró»niczkowego, gdzie dla dowolnej funkcji, któr mo»na wyrazi przez funkcje elementarne, operacje arytmetyczne i superpozycj, pochodna wylicza si w sko«czonej liczbie kroków w sposób algorytmiczny. Mówi c inaczej, ró»niczkowanie nie wyprowadza nas poza klas funkcji, które mo»na zapisa przez funkcje elementarne, a zasady ró»niczkowania stanowi sko«czony i zamkni ty zestaw reguª transformacyjnych na tych wzorach. Przeciwnie, caªki funkcji elementarnych cz sto nie mog by wyra»one przez analitycznie przez inne funkcje elementarne. Symbol f(x) dx oznacza oczywi±cie funkcj pierwotn f, jednak nie mo»na zapisa jej w jawnej postaci za pomoc funkcji elementarnych. Oto kilka przykªadów nieelementarnych caªek: e x2 dx, + x3 dx, sin x x dx. Nie istniej wi c tak»e systematyczne metody caªkowania jest ono w du»ej mierze sztuk wymagaj c wprawy i spostrzegawczo±ci. Dla pewnych klas funkcji udaªo si mimo wszystko opracowa spójne zasady post powania, gwarantuj ce skuteczne wyznaczenie caªek nieoznaczonych. Zapoznamy si z tymi metodami w kolejnych podrozdziaªach. Wró my jeszcze na chwil do caªek najprostszych funkcji. Poniewa» dla dowolnego rzeczywistego wykªadnika α 0 mamy (x α ) = αx α, pisz c β = α ªatwo wnioskujemy,»e x β dx = β + xβ+ + C (5.) je±li tylko β. Gdy za± β =, przez odwrócenie wzoru (ln x) = x mamy dx = ln x + C. (5.2) x Wyja±nijmy obecno± warto±ci bezwzgl dnej pod logarytmem. We wzorze ró»niczkowym (ln x) = wychodzimy od funkcji y = ln x okre±lonej na póªosi dodatniej, x

155 w zwi zku z czym obliczona pochodna nie mo»e by okre±lona nigdzie indziej ni» na R +. W istocie w tym kontek±cie wyra»enie y = oznacza zaw»enie tej funkcji x do póªosi dodatniej. W przypadku caªkowania, dziedzin funkcji podcaªkowej y = x jest R {0} i na tym samym zbiorze powinna by okre±lona funkcja pierwotna. Tak funkcj jest ln x, poniewa» (ln x ) = d dx ln x x > 0 ln( x) x < 0 = x > 0 x x < 0 = x. x Przypomnijmy tak»e inne u»yteczne wzory caªkowe (por. w szczególno±ci zad. 3 z poprzedniego rozdziaªu): sin x dx = cos x + C, (5.3) = tg x + C, (5.4) dx cos 2 x a x dx = dx x 2 dx x 2 + ax ln a + C, w tym 55 e x dx = e x + C, (5.5) = arcsin x + C, (5.6) = arctg x + C, (5.7) sinh x dx = cosh x + C i cosh x dx = sinh x + C, (5.8) dx x2 + = ln ( x + x 2 + ) + C = arcsinh x + C, (5.9) dx x x2 = ln + x2 + C = sign(x) arccosh x + C, (5.0) gdzie sign(x) = dla x > 0 i dla x < 0. Obecno± tej funkcji i warto±ci bezwzgl dnej w ostatnim wzorze wynika, podobnie jak w (5.2), z konieczno±ci uzgodnienia dziedzin lewej i prawej strony. Zajmijmy si teraz bardziej ogólnymi wªasno±ciami caªek oznaczonych, które s prostymi konsekwencjami reguª obliczania pochodnych. Pierwszy wzór nie budzi w tpliwo±ci, poniewa» wynika on wprost z liniowo±ci operacji ró»niczkowania, tj. z wªasno±ci (αf(x) + βg(x))) = αf (x) + βg (x)): (αf(x) + βg(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx. (5.) Cz stym bª dem popeªnianym przez studentów jest caªkowanie iloczynu funkcji wyraz po wyrazie, ( ) ( ) f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx. Šatwo sprawdzi na najprostszych przykªadach,»e nie jest to poprawna formuªa, a przyczyn dla której jest ona bª dna dostrze»emy natychmiast przypominaj c,»e (F (x) G(x)) = F (x) G(x) + F (x) G (x) F (x) G (x).

156 56 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY Wzór ten zapisa mo»na równowa»nie jako F (x) G(x) = (F (x) G(x)) F (x) G (x) co prowadzi nas do nast puj cej, tym razem ju» poprawnej reguªy caªkowania iloczynów F (x)g(x) dx = F (x)g(x) F (x)g (x) dx (5.2) zwanego wzorem na caªkowanie przez cz ±ci. Jak wida, problem caªkowania iloczynu dwóch prostych funkcji f(x)g(x) dx mo»emy sprowadzi do obliczenia podobnej caªki F (x)g(x) dx, gdzie F jest funkcj pierwotn f, a g jest pochodn G, z uwzgl dnieniem skªadnika F (x)g(x) w ostatecznym wzorze. Ma to oczywi±cie sens, je±li druga caªka jest prostsza do policzenia. Zobrazujmy dziaªanie tej reguªy na prostym przykªadzie. Przykªad 5. Stosuj c metod caªkowania przez cz ±ci obliczymy caªk x sin x dx. Przyjmuj c,»e we wzorze (5.2) G(x) = x oraz F (x) = sin x, znajdujemy G (x) = oraz F (x) = sin x dx = cos x (pomijamy tu staª caªkowania C, która pojawi si w ostatecznym wyniku). A zatem x sin x dx = x ( cos x) ( cos x) dx = x cos x + cos x dx = x cos x + sin x + C. Kontrolne obliczenie pochodnej prawej strony upewnia nas,»e wynik jest poprawny: ( x cos x + sin x + C) = cos x + ( x)( sin x) + cos x = x sin x. Zaªó»my inaczej,»e w oryginalnej caªce identykujemy x jako F (x), a sin x jako G(x). Wówczas F (x) = 2 x2, natomiast G (x) = cos x, a st d po podstawieniu w formule (5.2) x sin x dx = 2 x2 cos x 2 x 2 cos x dx. Podkre±lmy,»e jest to wzór stuprocentowo prawdziwy jako utworzony zgodnie z reguª caªkowania przez cz ±ci. Jedynie jego u»yteczno± jest w tpliwa, bowiem doprowadzili±my do zast pienia prostszej funkcji podcaªkowej z pierwsz pot g x funkcj bardziej skomplikowan z czynnikiem x 2. Jest to sytuacja typowa przy wykorzystaniu caªkowania przez cz ±ci do obliczania ϕ(x)ψ(x) dx. Mamy bowiem zawsze dwa alternatywne sposoby identykacji funkcji ϕ i ψ z F i G. Ka»dy z nich mo»e przetransformowa nasz caªk do postaci prostszej lub bardziej zªo»onej. Prawidªowe wykorzystanie caªkowania przez cz ±ci jest tu kwesti do±wiadczenia. Heurystyczna reguªa podpowiada co najwy»ej,»e je±li jednym z czynników pod caªk jest funkcja x n, powinien on by identykowany z funkcj G we wzorze (5.2), bowiem zast pienie G przez G pod caªk po prawej stronie wzoru obni»y stopie«jednomianu x n o jeden, prowadz c do potencjalnie prostszej funkcji podcaªkowej.

157 57 Przykªad 5.2 Policzymy caªk x 3 sinh x dx. Zgodnie z ostatni sugesti, przyjmijmy,»e w (5.2) G(x) = x 3 oraz»e F (x) = sinh x. St d poniewa» G (x) = 3x 2 a F (x) = cosh x, otrzymujemy x 3 sinh x dx = x 3 cosh x 3 x 2 cosh x dx =... Post puj c podobnie w odniesieniu do caªki po prawej stronie dostaniemy kolejno ( )... = x 3 cosh x 3 x 2 sinh x 2 x sinh x dx =... a st d po ponownym caªkowaniu przez cz ±ci jw.... = x 3 cosh x 3x 2 sinh x + 6x cosh x 6 cosh x dx = x 3 cosh x 3x 2 sinh x + 6x cosh x 6 sinh x + C. Przykªad ten ilustruje jak iterowanie metody caªkowania przez cz ±ci prowadzi do ostatecznego wyeliminowania czynnika x n spod caªki. Niech f b dzie funkcj ci gª w sko«czonym lub niesko«czonym przedziale (a, b) oraz niech F oznacza jej funkcj pierwotn, F (x) = f(x). Je±li funkcja ϕ jest ci gªa i ró»niczkowalna w sposób ci gªy w przedziale (α, β), sko«czonym lub nie, i speªnia w nim nierówno± a < ϕ(t) < b, wówczas zgodnie z reguª ró»niczkowania funkcji zªo»onych, przyjmuj c,»e x = ϕ(t) mamy (F (ϕ(t))) = f(ϕ(t))ϕ (t). A wi c f(x) dx = F (x) + C = F (ϕ(t)) + C = f(ϕ(t))ϕ (t) dt. (5.3) Jest to tzw. wzór na caªkowanie przez podstawienie, który uªatwia prac z funkcjami zªo»onymi. Jego skuteczno± zale»y od wyboru wªa±ciwego podstawienia x = ϕ(t), a jest to ponownie kwesti do±wiadczenia i spostrzegawczo±ci. Skoro x = ϕ(t), wi c dx = ϕ (t), czyli dx = ϕ (t) dt, gdy symbol ró»niczkowania traktujemy jak zwykªy dt uªamek. Tak wi c przy stosowaniu podstawienia, f(x) pod caªk zamienia si na f(ϕ(t)), a dx konsekwentnie na ϕ (t) dt. Ta prostota jest zalet notacji ró»niczkowej Leibniza. Przykªad 5.3 Policzymy caªki t t dt, dt at + b oraz tg t dt. W przypadku pierwszej z nich wybieramy podstawienie ϕ(t) = t = x, sk d dx = 2t dt lub równowa»nie t dt = dx. Podstawiaj c do caªki 2 t t dt = x dx = x /2 dx = /2 x3/2 = 3 (t2 + 2) 3/2 + C.

158 58 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY W drugiej caªce zastosujemy podstawienie at+b = x czyli a dt = dx, a wi c dt = a dx. Wyliczamy dt at + b = dx a x = a ln x + C = ln at + b + C. a Zauwa»my,»e identyczne podstawienie znajduje zastosowanie wsz dzie tam, gdzie wyst puje czytelne zªo»enie funkcji f z wyra»eniem liniowym at + b, tj. f(at + b) dt = a f(x) dx. W ko«cu dla trzeciej caªki wykorzystamy podstawienie x = cos t, a wi c dx = sin t dt: sin t dx tg t dt = cos t dt = = ln x + C = ln cos t + C. x Šatwo dostrzec,»e ten przykªad jest szczególnym przypadkiem procedury obliczania caªek z funkcji, które maj posta pochodnej logarytmicznej, f(t) = g (t). Podstawiaj c x w miejsce funkcji g w mianowniku, otrzymujemy dx = g (t) dt, a g(t) wi c g (t) g(t) dt = dx x = ln x + C = ln g(t) + C. Kilka dalszych przykªadów zastosowania caªkowania przez cz ±ci lub przez podstawienie opisali±my w zadaniach na ko«cu rozdziaªu. 2 Caªkowanie funkcji wymiernych Funkcje wymierne stanowi wa»na klas wyra»e«, dla których istniej skuteczne metody caªkowania. Ponadto wiele innych typów caªek daje si sprowadzi przez odpowiednie podstawienia do caªek funkcji wymiernych. Najwa»niejsz cz ±ci procesu caªkowania funkcji wymiernej jej rozkªad na uªamki proste. Gdy taki rozkªad jest znany, caªkowanie sprowadza si do automatycznego zastosowania najprostszych wzorów. Metod rozkªadu wyra»e«wymiernych zilustrujemy dwoma przykªadami. Przykªad 5.4 f(x) = Rozwa»my dwie przykªadowe funkcje wymierne x x 2 2x 3 oraz g(x) = 2x3 + 3x 2 2x + x 4 Rozkªad f na uªamki proste rozpoczynamy od faktoryzacji mianownika x 2 2x 3 = (x + )(x 3). D»ymy do wyra»enia f(x) w równowa»nej postaci f(x) = x (x + )(x 3) = A x + + B x 3 =... Sprowadzamy wyra»enie po prawej stronie do wspólnego mianownika... = A(x 3) + B(x + ) (x + )(x 3).

159 59 i porównujemy liczniki obu postaci f(x) (skoro mianowniki s identyczne, równie» liczniki musz by identycznymi wielomianami): x = A(x 3) + B(x + ). Rozumujemy nast puj co: skoro lewa i prawa strona to ten sam wielomian, warto±ci dla tych samych argumentów x musz by identyczne. Podstawiaj c x = otrzymujemy 2 = 4A, a wi c A = 3. Z kolei dla x = 3 lewa i prawa strona redukuj si do 8 = 4B, sk d B = 2. Ostatecznie f(x) = 3 x + 2 x 3, a wi c f(x) dx = 3 x + dx 2 dx = 3 ln x + 2 ln x 3 + C. x 3 Z kolei dla g(x) mamy g(x) = x 3 + 4x 2 x (x )(x + )(x 2 + ) = A x + B x + + Cx + D x 2 +, gdzie w liczniku uªamka prostego odpowiadaj cego nierozkªadalnym kwadratowym czynnikom mianownika mo»na si spodziewa rozwi zania z liniowym wielomianem Cx + D. Po sprowadzeniu prawej strony do wspólnego mianownika i porównania liczników lewej i prawej strony otrzymujemy 2x 3 + 3x 2 2x + = A(x + )(x 2 + ) + B(x )(x 2 + ) + (Cx + D)(x 2 ). Podobnie jak poprzednio, dla x = równo± ta sprowadza si do 4 = 4A, a wi c A =. Gdy x =, mamy 4 = 4B, sk d B =. Podstawienie x = 0 daje = A B D, a zatem D =. Dla x = 2 mamy ostatecznie 25 = 6C + 3 czyli C = 2. Przechodz c do caªkowania g(x) dx = dx x dx 2x + x + + x 2 + dx. Pierwsze dwa skªadniki caªkuj si jak poprzednio do odpowiednich logarytmów, natomiast trzeci zcaªkujemy bez trudno±ci po zapisaniu go jako sumy: 2x + x 2 + dx = 2x x 2 + dx + x 2 + dx = ln(x2 + ) + arctg x + C. Przeanalizujemy jeszcze caªki postaci dx x 2 + bx + c, Mo»na oczywi±cie zapisa praw stron jako (A+B)x + B 3A i z porównania wspóªczynników wielomianów po obu stronach otrzyma ukªad równa«a + B = i B 3A =. Jest to post powanie równowa»ne, jednak proponowana wy»ej metoda jest znacznie mniej pracochªonna.

160 60 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY dla których = b 2 4c < 0, a wi c nie mo»na dla nich zastosowa rozkªadu na prostsze czynniki liniowe. Rozwi zanie polega na sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej (x p) 2 + q i u»yciu prostego podstawienia t = ϕ(x), które sprowadzi go do postaci t 2 +, a wi c w wyniku caªkowania otrzymamy funkcj arctg ϕ(x). Posta kanoniczna w przypadku naszego trójmianu to p = b i q = c b2 = Dalej poniewa» q > 0 ( ) 2 (x p) 2 + q = q x p +, q widzimy,»e poszukiwane podstawienie to t = x p q, a st d dx = q dt. Tak wi c dx x 2 + bx + c dx = (x p) 2 + q = dx ( ) q x p 2 q + = q dt q t 2 + = ( ) x p arctg + C q q 2 = arctg 2x + b + C. (5.4) Podsumujmy metod caªkowania funkcji wymiernych w kilku punktach. Niech gdzie w i u s wielomianami. f(x) = w(x) u(x), Je±li stopie«w(x) nie jest ni»szy ni» stopie«u(x), wielomiany mo»na podzieli, a wówczas w(x) r(x) = t(x) + u(x) u(x), gdzie stopie«r jest ju» ni»szy ni» u. Wielomian t(x) caªujemy bezpo±rednio, a do pozostaªej cz ±ci stosujemy rozkªad na uªamki proste. 2 Przedstawiamy mianownik w postaci rozkªadu na nieredukowalne czynniki 2 u(x) = a(x α ) k (x α p ) k p (x 2 + β x + γ ) l (x 2 + β q x + γ q ) l q, gdzie k + + k p + 2l + + 2l q = n = stopie«u(x), oraz i = β 2 i 4γ i < 0 dla i =,..., q. 3 W rozkªadzie f(x) ka»dy czynnik mianownika wymaga uwzgl dnienia nast puj cych uªamków prostych: (x α) k A x α + A 2 (x α) A k (x α) k (x 2 + βx + γ) l B x + D x 2 + βx + γ + B 2x + D 2 (x 2 + βx + γ) B lx + D l (x 2 + βx + γ) l. 2 Jest to zadanie, które w ogólnym wypadku mo»e by algebraicznie niewykonalne, gdy stopie«wielomianu u przekracza 4. Jest to jedyne ograniczenie w algorytmie caªkowania funkcji wymiernych.

161 4 Caªkowanie poszczególnych skladników prostych: A dx = A ln x α + C x α A (x α) dx = A k k (x α) + C k Bx + D x 2 + βx + γ dx = B 2 2x + β x 2 + βx + γ dx + ( D βb 2 = B 2 ln(x2 + βx + γ) + 2D βb 6 ) dx x 2 + βx + γ 2x + β + C, arctg gdzie = β 2 4γ < 0. Caªki z wy»szymi pot gami trójmianu kwadratowego w mianowniku omówimy w zadaniach na wiczenia. 3 Caªki z funkcji niewymiernych Funkcje niewymierne zawieraj pierwiastki ró»nych stopni, których argumentami mog by funkcje wymierne lub znów niewymierne. Istniej ograniczone klasy takich funkcji, dla których opracowano techniki caªkowania. Najprostsz z nich stanowi tzw. proste funkcje quasi-wymierne, które s ilorazami dwóch quasi-wielomianów, tj. wielomianów, w których dopuszczamy wymierne pot gi x lub wyra»e«liniowych ax + b. Oto dwa przykªady zastosowania ogólnej metody caªkowania takich wyra-»e«, polegaj cej na u»yciu podstawienia transformuj cego funkcj niewymiern do wymiernej. Przykªad 5.5 f(x) = Policzymy caªki nast puj cych funkcji: x x 2 oraz g(x) = (x + ) 2x +. Dla f(x) stosujemy podstawienie x = t 6. Wybór takiej wªa±nie pot gi t ma na celu wyeliminowanie wszystkich pierwiastków z przeksztaªcanego wyra»enia. Poniewa» x wyst puje w f w pot gach i 2, jako pot g t wybieramy wspólny mianownik obu 2 3 uªamkowych poteg, tj. NWW (2, 3) = 6. Mamy tak»e dx = 6t 5 dt, a zatem dx 3 x + 2 x dx = 2 6t 5 dt t t 2 = 6 t 2 dt + 2t dt. Otrzymali±my wi c caªk wymiern. Po podzieleniu licznika przez mianownik mamy równowa»nie 3 (t ) dt + 3 dt 2 + 2t = 3 2 (t2 t) + 3 ln + 2t + C, 2 sk d dostajemy ostateczne rozwi zanie po podstawieniu 6 x w miejsce t. Drugi przykªad rozwi zujemy podstawiaj c 2x + = t 2 w celu wyeliminowania pierwiastka z funkcji podcaªkowej. Równowa»nie mamy x = 2 (t2 ), a wi c x+ = 2 (t2 + ) oraz dx = t dt. St d dx (x + ) 2x + = 2t dt (t 2 + ) t = 2 2dt t 2 + = 2 arctg t + C,

162 62 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY a) b) c) Rys. 5.: Trzy ró»ne typy funkcji ϕ(x) = ax 2 + bx + c. a) a > 0, 0; b) a > 0, > 0; c) a < 0, > 0. gdzie nale»y jeszcze powróci do zmiennej x: t = 2x +. Drug klas rozwi zalnych przypadków stanowi funkcje zawieraj ce czynnik ax2 + bx + c. Ogólne metody caªkowania takich funkcji przez sprowadzenie ich do funkcji wymiernych znane s pod postaci tzw. podstawie«eulera, p. np. [2], t. II, my zajmiemy si tutaj jedynie prostszymi przypadkami. Zauwa»my na pocz tek,»e zale»nie od warto±ci parametrów a, b i c, wyra»enie ϕ(x) = ax 2 + bx + c opisuje trzy diametralnie ró»ne funkcje, p. rys. 5.. Je±li bowiem a > 0 i 0, dziedzin ϕ jest R, a prototypem ϕ jest w tym wypadku wyra»enie x 2 + lub, przy = 0, wyra»enie x. Gdy > 0, wówczas dziedzin ϕ jest R (p, q), gdy» mi dzy pierwiastkami p i q trójmian kwadratowy przyjmuje warto±ci ujemne. Prototypow postaci ϕ(x) jest tym razem x 2. Gdy z kolei a < 0, wówczas jedynie > 0 stanowi interesuj cy przypadek 3 ϕ okre±lone jest na przedziale wyznaczonym przez pierwiastki (p, q), a prototypow postaci jest wyra»enie x 2. Najprostszy przypadek stanowi caªki dx ax2 + bx + c, (5.5) dla których post powanie polega na sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej i zbudowaniu na tej bazie podstawienia transformuj cego funkcj podcaªkow do jednego z wymienionych wy»ej prototypów. Post powanie to jest bli¹niaczo podobne do zastosowanego przez nas w (5.4). Zale»nie od postaci wynikowej funkcji otrzymamy w ten sposób caªk (5.9), (5.0) lub (5.6). Zilustrujemy t metod w kolejnym przykªadzie. Przykªad 5.6 Jako przykªad obliczymy dx 6 + 4x 2x 2. Przeksztaªcamy kolejno trójmian pod pierwiastkiem ( ( ) x 2 ) 6 + 4x 2x 2 = 2(3 + 2x x 2 ) = 2(4 (x ) 2 ) = 8, 2 3 Gdy bowiem < 0 trójmian nie przyjmuje w ogóle dodatnich warto±ci i dziedzina ϕ jest zbiorem pustym.

163 63 sk d po podstawieniu t = x dostajemy 8( t 2 ). Poniewa» dt = dx rozwa»ana 2 2 caªka przeksztaªca si do postaci 2 dt 8( t 2 ) = arcsin t + C = ( ) x arcsin + C Bardziej ogólna posta funkcji podcaªkowej, której zamierzamy po±wi ci teraz uwag to f(x) = Ax2 + Bx + C ax2 + bx + c. (5.6) Zauwa»my,»e posta ta zawiera funkcje g(x) = ax 2 + bx + c jako przypadek szczególny, gdy A = a, B = b i C = c. Kolejno± post powania jest tym razem nast puj ca. Zaªó»my przy tym,»e a =, w przeciwnym bowiem razie mo»emy wyª czy a spod pierwiastka przed caªk. ) Sprowadzaj c ±x 2 + bx + c do postaci kanonicznej, znajdujemy podstawienie t = αx + β, które transformuje ten trójmian do jednej z 3 prototypowych postaci t 2 ± lub t 2. 2) Odwracaj c to podstawienie, x = (t β), stosujemy je w liczniku wyra»aj c α go wzgl dem t, Ax 2 + Bx + C P t 2 + Qt + R. 3) Zapisujemy caªk z f jako sum P t 2 dt t2 + + Q 2 2t dt t2 + + R dt t2 + lub podobnie dla pozostaªych dwóch mo»liwych postaci mianownika. Ostatni caªk obliczamy bezpo±rednio z jednego z wzorów elementarnych, Drug obliczamy przez podstawienie u = t 2 +, du = 2t dt, jako 2 u + C. Obliczanie caªki w pierwszym skªadniku opisujemy poni»ej. Do kompletno±ci dyskusji (5.6) pozostaje nam wi c obliczenie 3 caªek t 2 dt t2 ± oraz t 2 dt t 2. Wyznaczymy pierwsz z nich, post powanie w pozostaªych przypadkach jest bardzo podobne. t 2 dt I = t2 + = 2t dt t 2 t2 + =... Caªkujemy przez cz ±ci ró»niczkuj c t i caªkuj c drugi czynnik tak jak w punkcie 3) powy»ej:... = t t 2 + t2 + dt = t t 2 + = t t 2 + t 2 dt t2 + = t t 2 + I arcsinh t + C. dt t2 + t 2 + t2 + dt

164 64 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY + t 2 t x/2 Rys. 5.2: Geometryczna interpretacja podstawienia poªówkowego t = tg x/2. Przenosz c I na lew stron otrzymujemy wzór t 2 dt t2 + = 2 t t2 + arcsinh t + C. (5.7) 2 Identycznie dla pozostaªych dwóch przypadków t 2 dt t2 = t 2 t2 2 ln t + t 2 + C (5.8) t 2 dt t 2 = 2 t t2 + arcsin t + C. (5.9) 2 4 Caªki trygonometryczne Kolejny, wa»ny typ funkcji, dla których znana jest ogólna metoda caªkowania to tzw. wymierne funkcje trygonometryczne w ogólnej postaci f(x, y) = w(sin x, cos x) u(sin x, cos x), gdzie w i u s wielomianami dwóch zmiennych w miejsce tych zmiennych wyst puj funkcje sin x i cos x. Podstawienie, które transformuje caªki tego typu w znane nam ju» caªki z funkcji wymiernych to tzw. podstawienie poªówkowe. Oto jego idea. Je±li przez x/2 oznaczymy jeden z k tów ostrych w trójk cie prostok tnym, p. Rys. 5.2, wówczas oznaczaj c przez t i odpowiednie przyprostok tne otrzymujemy geometryczn interpretacj podstawienia t = tg x/2. Z rysunku odczytujemy tak»e sin x/2 = t + t 2 oraz cos x/2 = + t 2. Jak widzimy, podstawienie poªówkowe co prawda uwalnia nas od funkcji trygonometrycznych, jednak w ich miejsce pojawiaj si funkcje niewymierne, bardziej kªopotliwe w caªkowaniu od funkcji wymiernych. Jednak przej±cie od peªnego k ta

165 x redukuje te niewymierno±ci, bowiem jak wiemy funkcje sin x i cos x wyra»aj si przez kwadratowe wyra»enia wzgl dem sin x/2 i cos x/2: sin x = 2 sin x/2 cos x/2 = 2 cos x = cos 2 x/2 sin 2 x/2 = t + t 2 65 = 2t + t 2 + t, (5.20) 2 + t 2 t2 + t 2 = t2 + t 2. (5.2) Ponadto ró»niczkuj c oryginalne podstawienie t = tg x/2 otrzymujemy Przykªad 5.7 dt = 2 cos 2 x/2 dx, a wiec dx = 2 dt. (5.22) + t2 Policzymy dx 3 sin x + 4 cos x. Po podstawieniu ( ) caªka przeksztaªca si do postaci 2 +t 2 dt 3 2t +t t2 +t 2 = dt 3t + 2 2t 2. Poniewa» 2 + 3t 2t 2 = (2 t)(2t + ) z rozkªadu na uªamki proste otrzymujemy dt 2 + 3t 2t 2 = 2 5 V.2 Caªka oznaczona dt 2t + 5 dt t 2 = 5 ln 2t + 5 ln t 2 + C = ln 2t + t 2 2 tg x/2 + /5 = ln. tg x/2 2 Omówimy teraz inne, geometryczne podej±cie do zagadnienia wyznaczania caªki zadanej funkcji. Funkcja pierwotna ma bowiem zwi zek z polem obszaru mi dzy krzyw y = f(x) a osi OX. Denicj caªki otrzymamy przez ci g oszacowa«wielko±ci tego pola z coraz to wi ksz dokªadno±ci, a caªka tak zbudowana nosi nazw caªki oznaczonej Riemanna. Rozwa»my przedziaª [a, b], w którym funkcja f (tym razem niekoniecznie ci gªa) jest ograniczona przez swoje kresy dolny m i górny M, m f(x) M, x [a, b]. Je±li podzielimy [a, b] dowolnie na n cz ±ci przez wybór punktów a = x 0 < x <... < x n < x n = b, (5.23) oznaczmy przez m i oraz M i odpowiednio kresy dolny i górny funkcji f w przedziale [x i, x i ], i =,..., n, a przez i = x i x i dªugo± i-tego przedziaªu. Utwórzmy 3 sumy s n = m + + m n n, σ n = f(ξ ) + + f(ξ ) n, S n = M + + M n n, /5

166 66 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY f ( ) 2 M f ( ) m a=x x 2 x 2 x x n- x n=b Rys. 5.3: Konstrukcja caªki Riemanna. Dla danego podziaªu {x 0, x,..., x n } sumy s n, σ n i S n odpowiadaj powierzchniom odpowiednich wykresów sªupkowych, przybli»aj cych pole powierzchni pod krzyw y = f(x). gdzie ξ i [x i, x i ] s dowolnie wybranymi punktami. Poniewa» m i f(ξ i ) M i, mamy tak»e m(b a) s n σ n S n M(b a). (5.24) Sum s n nazywamy sum doln, S n sum górn, a σ n sum Riemanna odpowiadaj cymi podziaªowi {x 0, x,..., x n }, por. Rys. 5.3 Oznaczmy jeszcze przez d n najwi ksz z liczb i, i n. Je±li teraz dla rosn cego n utworzymy ci g podziaªów (5.23), ci g taki nazwiemy normalnym, je±li d n 0 wraz ze wzrostem n. Mo»na ªatwo pokaza,»e dla normalnego ci gu podziaªów ci gi {s n } i {S n } s monotoniczne: pierwszy z nich jest niemalej cy, a drugi nierosn cy, s n s n+ oraz S n S n+. Poniewa» na podstawie (5.24) s to ci gi ograniczone, ka»dy z nich jest zbie»ny. Ich granice nazywamy odpowiednio caªkami doln i górn. Je±li te granice sa równe, wówczas ci g {σ n } tak»e jest zbie»ny do tej samej wspóªnej granicy i to niezale»nie od wyboru punktów ξ i. W tym wypadku wspóln granic nazywamy caªk Riemanna funkcji f po przedziale [a, b] i oznaczamy symbolem b f(x) dx. a Funkcj f nazywamy caªkowaln w sensie Riemanna lub krótko caªkowaln, gdy kontekst jest oczywisty. Zbie»no± sumy Riemanna nie jest zaskakuj cym faktem, gdy f jest funkcj ci - gª. Okazuje si jednak,»e nawet dla wielu funkcji nieci gªych konstrukcja powy»sza prowadzi do poprawnie okre±lonej, jednoznacznej warto±ci caªki oznaczonej. Punkty nieci gªo±ci nie stanowi bowiem przeszkody je±li tylko nie s zbyt liczne. Przykªad 5.8 Obliczymy wprost z denicji caªk oznaczon 0 x 2 dx.

167 67 Podzielmy przedziaª [0, ] na n równych cz ±ci punktami x k = k, k = 0,,..., n, n przy czym x 0 = 0 i x n =. Tak wi c poniewia» k =, m n k = x k oraz M k = x k+ dla wszystkich k, obliczamy ªatwo oraz s n = S n = n k=0 n k= ( ) 2 k n n = n n 3 ( ) 2 k n n = n 3 k=0 k 2 = n k 2 = k= n(n )(2n ) 6n 3, n(n + )(2n + ) 6n 3. St d natychmiast otrzymujemy lim n s n = lim n S n =, a zatem ci g sum Riemanna 3 σ n musi by tak»e zbie»ny do tej samej granicy niezale»nie od wyboru punktów próbnych ξ k [x k, x k ]. Tym samym 0 x 2 dx = 3. Zauwa»my,»e wyprowadzenie to nie jest w 00 % poprawne, bowiem u»yli±my jedynie bardzo szczególnej postaci ci gu normalnego podziaªów odcinka [0, ]. Mo»na jednak pokaza zgodno± uzyskanego tu wyniku z rezultatem wyprowadzonym wg. ogólnych, formalnie poprawnych zasad, przy nieco wi kszym nakªadzie pracy. Wymienimy kilka podstawowych wªasno±ci caªki oznaczonej. Zakªadamy,»e funkcje f i g s caªkowalne na rozwa»anym przedziale [a, b]. Bardzo proste w tym przypadku dowody pomijamy. (i) Dla dowolnego c R i funkcji f mamy b a cf(x) dx = c b a f(x) dx. (ii) b a f(x) + g(x) dx = b a f(x) dx + b a g(x) dx. (iii) Je±li a < c < b, wówczas b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx. (iv) b a a f(x) dx = f(x) dx. b (v) Je±li f(x) 0 na [a, b], to (vi) b a f(x) dx f(x) > 0 w pewnym punkcie x [a, b], to b f(x) dx a b a f(x) dx. (vii) Je±li f jest funkcj nieparzyst, wówczas parzysta, to a a f(x) dx = 2 a 0 f(x) dx. 0. Je±li do tego f jest ci gªa i b a a a f(x) dx > 0. f(x) dx = 0. Je±li za± f jest

168 68 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY Podstawowy wzór rachunku ró»niczkowego i caªkowego Bezpo±rednia metoda obliczania caªek oznaczonych zaprezentowana w ostatnim przykªadzie nie jest ani wygodna, ani te» efektywna. Wyprowadzimy w tym podrozdziale wzór, który stanowi podstawowe narz dzie rachunku caªkowego i pozwala na bardzo efektywne obliczanie caªek oznaczonych. Dla prostoty udowodnimy go przy za- ªo»eniu,»e funkcje w nim wyst puj ce s ci gªe. Zaznaczamy jednak,»e istniej ogólniejsze sformuªowania. Nasz pierwszy wynik, który pozwoli nam ªatwo uzasadni ww. wzór to twierdzenie o warto±ci ±redniej dla caªek oznaczonych. TWIERDZENIE 5. Je±li f jest ci gªa na [a, b], wówczas istnieje liczba c (a, b) taka,»e b f(x) dx = f(c)(b a). (5.25) a Dowód. Je±li f(x) = K na [a, b], ªatwo sprawdzi wprost z denicji caªki oznaczonej,»e b a f(x) dx = K(b a) = f(c)(b a) dla dowolnego c [a, b]. Zaªó»my wi c,»e f nie jest staªa i niech m i M b d jej minimalnymi i maksymalnymi warto±ciami w [a, b], por. Twierdzenie Weierstrassa 3.4. Istniej wi c punkty u, v [a, b] takie,»e f(u) = m i f(v) = M. Skoro f nie jest staªa, istnieje x [a, b] takie,»e m < f(x) < M, a zatem na podstawie wªasno±ci (v) zastosowanej do f m i M f mamy m(b a) = b a m dx < b a f(x) dx < b a M dx = M(b a). Dziel c stronami przez b a i zamieniaj c m i M przez f(u) i f(v), otrzymujemy f(u) < b f(x) dx < f(v). b a a Korzystaj c z wªasno±ci Darboux, Twierdzenie 3.5, istnieje c pomi dzy u i v, dla którego f(c) = b f(x) dx, b a a sk d po pomno»eniu przez b a otrzymujemy tez twierdzenia. Geometryczn tre± caªkowego twierdzenia o warto±ci ±redniej ilustruje rysunek 5.4. Przejd¹my teraz do podstawowego wzoru rachunku caªkowego. TWIERDZENIE 5.2 Zaªó»my,»e f jest ci gªa na [a, b]. Wówczas funkcja G zdeniowana na [a, b] równo±ci G(x) = x a f(t) dt (5.26) jest funkcj pierwotn f, to jest G (x) = f(x). Ponadto je±li F jest dowoln funkcj pierwotn f na [a, b], wówczas b a f(x) dx = F (b) F (a). (5.27)

169 69 f(c) a c b Rys. 5.4: Sens twierdzenia o warto±ci ±redniej dla caªek. Istnieje punkt a < c < b taki,»e pole prostok ta o boku b a i wysoko±ci f(c) jest takie samo jak pole pod krzyw y = f(x) nad [a, b]. Dowód. Mamy G(x + h) G(x) = x+h a f(t) dt x a f(t) dt = x+h x f(t) dt. Z kolei na podstawie dopiero co udowodnionego twierdzenia o warto±ci ±redniej, istnieje c [x, x + h] takie,»e x+h x f(t) dt = f(c) h, a zatem G(x + h) G(x) h Korzystaj c z ci gªo±ci f mamy dalej = f(c). G(x + h) G(x) lim h 0 + h = lim f(c) = f(x). h 0 + Identyczne rozumowanie mo»na przeprowadzi dla h < 0 i h 0, a st d G (x) = lim h 0 G(x + h) G(x) h = f(x). Je±li teraz F jest tak»e funkcj pierwotn f, to zgodnie z Lematem 5.2 G(x) F (x) = C = const. Zatem dla dowolnego x [a, b] x a f(t) dt F (x) = C. Dla x = a mamy wi c 0 F (a) = C oraz dla x = b b a f(t) dt F (b) = C = F (a), sk d wzór (5.27).

170 70 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY a) b) - -r r Rys. 5.5: a) Pole pod parabol y = x 2. b) Obliczanie pola póªkola y = r 2 x 2. W obliczeniach cz sto stosujemy skrótow notacj F (b) F (a) = F (x) b a. Przykªad 5.9 Policzmy caªk ( x 2 ) dx, a wi c pole mi dzy parabol y = x 2 a osi OX nad odcinkiem [, ], p. Rys. 5.5 a). Poniewa» F (x) = ( x 2 ) dx = x x3 + C ªatwo znajdujemy warto± caªki, 3 F () F ( ) = F (x) = ( 3 ) = Z kolei policzmy caªk r r r2 x 2 dx równ powierzchni poªowy koªa x 2 + y 2 = r 2, Rys. 5.5 b). r r r2 x 2 dx = r (x/r) 2 dx = r 2 t2 dt, (5.28) r r gdzie w ostatnim kroku wykonali±my podstawienie x/r = t, dx = r dt. Zauwa»my jak zmieniaj si przy tym granice caªkowania: dla x = ±r mamy t = ±r/r = ±. Dla ostatniej caªki znajdujemy funkcj pierwotn t2 dt = t 2 dt = t 2 dt t 2 t 2 dt t 2 = arcsin t + t 2 t2 2 arcsin t + C = 2 arcsin t + t 2 t2 + C = F (t), na podstawie wzorów (5.6) i (5.9), a wi c r 2 F (t) ( = r2 2 arcsin + 0 ) 2 arcsin( ) + 0 zgodnie ze znanym nam wzorem na pole koªa o promieniu r. = πr2 2

171 2 Caªki niewªa±ciwe Istnieje naturalne uogólnienie caªek oznaczonych na sko«czonym przedziale [a, b] na przypadek, gdy a lub b mog by niesko«czone. Mo»liwe jest tak»e,»e w pobli»u sko«czonego c [a, b] funkcja podcaªkowa f nie jest ograniczona, a mimo to warto± caªki daj si poprawnie okre±li. Mówimy wówczas o caªkach niewªa±ciwych, a punkty c nieograniczono±ci funkcji (lub niesko«czone ko«ce przedziaªu caªkowania) nazywamy punktami osobliwymi funkcji f. DEFINICJA 5.2 Caªk niewªa±ciw funkcji f po niesko«czonym przedziale [a, ) nazywamy granic sko«czon lub nie a f(x) dx = 7 M lim M a f(x) dx, (5.29) je±li ta granica istnieje. Analogicznie deniujemy caªk b f(x) dx. Dla przedziaªu (, + ) mamy + N f(x) dx = lim f(x) dx, (5.30) M,N M gdzie M i N zmierzaj do niezale»nie. Je±li sko«czony punkt b jest punktem osobliwym funkcji f, tj. w dowolnie maªym otoczeniu [b δ, b) funkcja f jest nieograniczona, wówczas granic sko«czon lub nie b a f(x) dx = b ε lim ε 0 + a f(x) dx (5.3) nazywamy caªk niewªa±ciw z f po przedziale [a, b], je±li tylko ta granica istnieje. Analogicznie deniujemy caªk niewªa±ciw, gdy a jest punktem osobliwym f. W przypadku, gdy punktem osobliwym jest wewn trzny punkt przedziaªu caªkowania a < c < b, denicja caªki niewªa±ciwej jest nast puj ca: b a f(x) dx = c ε lim f(x) dx + ε 0 + a b lim f(x) dx. (5.32) δ 0 + c+δ Istninie caªki (5.32) jest w tym wypadku równowa»ne z istnieniem ka»dej z caªek c a f(x) dx i b c f(x) dx z osobna. Przykªad 5.0 Rozwa»my caªki niewªa±ciwe dla α, β > 0. Dla pierwszej z nich mamy x dx oraz α 0 x dx β M dx = lim x α dx xα M M = lim M α x α = lim M α (M α ). Ostatnia granica ma sko«czon warto± je±li α < 0, a wi c gdy α >. Warto w tym momencie przywoªa nasz wiedz o zbie»no±ci szeregów α harmonicznych

172 72 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY n n α dla α >, istnieje bowiem oczywisty zwi zek mi dzy tymi dwoma faktami. Zwi zek ten omówimy bardziej szczegóªwo w nast pnym podrozdziale. Drug z caªek wyliczamy jako 0 dx = lim xβ ε 0 + ε = lim ε 0 + x dx β β x β ε = lim ε 0 + β ( ε β ), która tym razem istnieje i wynosi β 3 Caªkowe kryterium zbie»no±ci szeregu dla β > 0, a wi c dla 0 < β <. Jak pami tamy z rozdziaªu II, warunkiem koniecznym sumowalno±ci szeregu liczbowego a n jest zbie»no± a n 0. Rozwa»my szereg o wyrazach nieujemnych a n 0 malej cych monotonicznie do 0. Je±li mo»na je wyrazi jako warto±ci pewnej ci gªej funkcji f : R + R +, w taki sposób,»e a n = f(n), n =, 2,..., wówczas przy dodatkowym zaªo»eniu o monotoniczno±ci f mo»emy powi za badanie sumy szeregu z obliczaniem caªki niewªa±ciwej a f(x) dx. Tak jak w przypadku analizy zbie»no- ±ci szeregu, istotne jest jedynie aby funkcja f malaªa monotonicznie od pewnego miejsca, a wi c dla x > M. Bez zmniejszenia ogólno±ci mo»emy zaªo»y,»e dzieje si to powy»ej x =. A wi c dla wszystkich n mamy a n = f(n) f(x) f(n + ) = a n+ dla n x n +. Rysunek 5.6 wyja±nia ide naszego post powania: Sum szeregu a n mo»emy geo- a a 2 a Rys. 5.6: Idea kryterium McLaurinaCauchy'ego. metrycznie wyrazi jako pole gury utworzonej z prostok tów P n o szeroko±ci i wysoko±ciach a n. Pole to jest wi ksze ni» pole obszaru Ω mi dzy krzyw y = f(x) a osi OX. Z drugiej strony mo»emy skonstruowa drugi obszar, b d cy sum prostok tów R n o szeroko±ci i wysoko±ciach a n+, którego pole ogranicza pole obszaru Ω od doªu. Z tych rozwa»a«wynika,»e a n n=2 f(x) dx a n. n=

173 Z pierwszej nierówno±ci wynika,»e zbie»no± caªki poci ga za sob zbie»no± naszego oryginalnego szeregu (ró»ni si on od lewej strony jedynie o wyraz a ). Z drugiej wnosimy,»e ze zbie»no±ci szeregu wynika istnienie sko«czonej warto±ci caªki lub, równowa»nie,»e z rozbie»no±ci caªki wynika rozbie»no± szeregu. Skonstruowali±my tym samym tzw. kryterium caªkowe McLaurinaCauchy'ego zbie»no±ci szeregu: 73 TWIERDZENIE 5.3 (Kryterium McLaurinaCauchy'ego) Je±li f : R + R + jest funkcj ci gª i monotonicznie malej c do 0 przy x oraz a n = f(n) dla n =, 2,..., wówczas istnienie sko«czonej warto±ci caªki niewªa±ciwej jest rówowa»ne zbie»no±ci szeregu a n. n= f(x) dx n(ln n) +ε dla ε > 0 wynika ªatwo z kry- Przykªad 5. Zbie»no± szeregu n terium caªkowego z f(x) =, gdzie caªka wylicza si poprzez podstawienie x(ln x) +ε u = ln x: 2 dx x(ln x) +ε = du = ln 2 u +ε εu ε ln 2 = ε(ln 2) ε <. St d badany szereg jest zbie»ny. Zauwa»my przy okazji,»e gdy ε = 0, caªka wylicza si do F (x) = ln(ln x) 2 =. Oznacza to,»e w tym wypadku szereg jest rozbie»ny, zgodnie z wynikiem otrzymanym przez nas ju» wcze±niej inn metod w Przkªadzie Zastosowania caªki oznaczonej Wzór (5.26) jest wykorzystywany do deniowania funkcji poprzez caªk. Jak wspomnieli±my wcze±niej, wiele caªek nieoznaczonych nie daje si wyrazi przez funkcje elementarne. Nie przeszkadza to jednak w okre±laniu ich w postaci caªkowej. Np. wzór x sin t Si(x) = dt 0 t deniuje jedn z tzw. funkcji Bessela. Podobnie Φ(x) = 2π x e t2 /2 dt jest bardzo wa»n funkcj w statystyce matematycznej i w rachunku prawdopodobie«stwa, jest bowiem dystrybuant standardowego rozkªadu normalnego, zwanego te» rozkªadem Gaussa. Funkcja podcaªkowa jest g sto±ci tego rozkªadu. Czynnik 2π peªni rol staªej normalizacyjnej: gdy x, wówczas Φ(x), p. Rys Zauwa»my,»e denicja funkcji w postaci (5.26) w niczym nie ust puje dowolnej innej formie jej okre±lenia. Gdyby np. interesowaªo nas zagadnienie wyznaczenia lokalnych ekstremów funkcji G(x), wystarczyªoby zbada gdzie i w jaki sposób

174 74 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY ( x) f ( t) x Rys. 5.7: Dystrybuanta rozkªadu normalnego jako przykªad funkcji deniowanej przez caªk oznaczon. G (x) = f(x) zmienia swój znak. Podobnie ªatwo jest wyznaczy rozwini cie G(x) wg. wzoru Taylora wokóª punktu c, G(x) = c a f(t) dt + f(c)! (x c) + f (c) (x c) 2 +, 2! bowiem G(c) = c a f(t) dt, G (c) = f(c), G (c) = f (c) itd. Wymie«my dwie wªasno±ci funkcji zadanej wzorem (5.26) zakªadaj c oczywi±cie,»e f jest caªkowalna w caªym rozwa»anym przedziale. S to proste wnioski ze znanych nam z rozdziaªu IV faktów o zwi zku funkcji i jej pochodn, por. Lematy 4.3 i 4.4. (i) Je±li f(t) > 0 wówczas funkcja G jest ±ci±le rosn ca, natomiast gdy f(t) < 0 ±ci±le malej ca. (ii) Je±li f(t) przy przej±ciu przez punkt t = c zmienia swój znak w sposób ci gªy lub nie, wówczas funkcja G(x) ma w tym punkcie lokalne ekstremum. Przykªad 5.2 W programowaniu korzystamy czasem z generatorów liczb pseudolosowych. S to biblioteczne podprogramy, które za pomoc sprytnych, deterministycznych algorytmów generuj ci gi liczb statystycznie nierozró»nialne z ci gami pochodz cymi z autentycznie losowego ¹ródªa o zadanym rozkªadzie, por. Przykªad 2.5. Przewa»nie takie biblioteczne generatory produkuj liczby rozªo»one równomiernie w ustalonym zakresie a x b. Je±li jednak w obliczeniach potrzebne s nam liczby losowe o rozkªadzie Gaussa lub Poissona, nale»y dane pochodz ce z wbudowanych generatorów stosownie przetransformowa. Standardow metod jest w tym wypadku tzw. metoda odwracania dystrybuanty. Okazuje si bowiem,»e je- ±li X jest zmienn losow o rozkªadzie z dystrybuant G, wówczas zmienna losowa G(X) ma rozkªad równomierny na przedziale [0, ]. Losuj c wi c rozªo»one równomiernie liczby Y [0, ], a nast pnie obliczaj c X = G (Y ), otrzymamy zmienne losowe o po» danym rozkªadzie. Procedury obliczania warto±ci funkcji odwrotnej do dystrybuanty s z reguªy numerycznie nieskomplikowane. Je±li dana jest (np. z eksperymentu) okre±lona funkcja g sto±ci prawdopodobie«stwa f(x), nietrudno wyznaczy numerycznie jej dystrybuant wg. wzoru (5.26) i odwracaj c j, otrzyma algorytm symuluj cy losowe pobieranie danych z rozkªadu identycznego z eksperymentalnym.

175 75 Rys. 5.8: Obraz rentgenowski przed i po korekcie rozkªadu jasno±ci. Widoczne s histogramy obydwu wersji obrazu. Pierwszy z nich jest skupiony w ciemniejszej cz ±ci skali szaro±ci, drugi za± jest równomiernie rozªo»ony na caªej skali. Innym ciekawym zastosowaniem wzoru (5.26) jest wyznaczanie transformacji wyrównuj cych rozkªad jasno±ci w obrazach cyfrowych. O obrazach w skali szaro±ci mo»na wygodnie my±le jako o funkcjach p : (x, y) c [0, ], gdzie (x, y) s wspóªrz dnymi pikselka w obrazie, a liczba c reprezentuje odcie«szaro±ci mu przypisany. c = 0 oznacza kolor czarny, c = biaªy itd. Z ka»dym obrazem zwi za mo»na jego histogram, czyli funkcj h : [0, ] [0, ], której warto± h(c) mówi jaka frakcja pikselków w obrazie posiada odcie«c. Na podstawie ksztaªtu histogramu mo»na dalej wyci ga wnioski o wadach w na±wietleniu obrazu (niedo±wietlony, prze±wietlony), o jego przesadnej lub zbyt ubogiej kontrastowo±ci itp. Mo»na dzi ki temu w znacznej mierze zautomatyzowa procesy korekty obrazów cyfrowych, np. na potrzeby diagnostyki medycznej. Ilustracja 5.8 ukazuje przykªadowy rentgenogram wraz z histogramem przed i po korekcie rozkªadu jasno±ci. Po tzw. wyrównaniu histogramu obraz staje si bardziej czytelny. Chodzi o to, by caªa dost pna paleta szaro±ci byªa w obrazie równomiernie wykorzystana, a wówczas obraz z reguªy najpeªniej ujawnia zarejestrowane szczegóªy, tak w ±wiatªach jak i w cieniach. W celu wyrównania histogramu (w»argonie graki komputerowej mówimy o jego ekwalizacji) stosuje si odpowiednio dobran, na ogóª nieliniow transformacj palety τ : [0, ] [0, ], która mówi jak zmieni poszczególne kolory pikselków z c na τ(c) aby uzyska w efekcie równomierny rozkªad jasno±ci i kontrastu w obrazie. Histogram transformuje si wówczas jak h h τ. Podobnie jak w przypadku generatorów liczb pseudolosowych, wyrównuj c transformacj τ wyznaczamy jako funkcj odwrotn dystrybuanty dla h, H(c) = c 0 h(s) ds, a wi c τ(c) = H (c). Ponadto podobn metod mo»na efektywnie skonstruowa transformacj palety τ, która przeprowadzi histogram h w inny, z góry zadany histogram g, g(c) = h(τ(c)). W tym celu wystarczy znale¹ dystrybuanty H(c) jak wy»ej oraz G(c) dla histogramu g, a nast pnie wyznaczy τ jako zªo»enie zadanych

176 76 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY przez nie transformacji τ = G H. Pierwsza z nich przeprowadza histogram h w równomierny, a druga z równomiernego produkuje w obrazie zgodny z g rozkªad jasno±ci. Przejdziemy obecnie do geometrycznych zastosowa«caªki oznaczonej. Jako pierwszy rozwa»ymy problem obliczania dªugo±ci L zadanej krzywej ró»niczkowalnej y = ϕ(x), a x b. Rysunek 5.9 ilustruje ide naszego post powania. l i x i yi ( x) a b Rys. 5.9: Wyznaczanie dªugo±ci krzywej. Krzyw przybli»amy ªaman zªo»on z ma- ªych segmentów. Oszacowanie dªugo±ci krzywej powstaje wówczas jako suma dªugo- ±ci odcinków ªamanej. Rozwa»my podziaª odcinka [a, b] punktami a = x 0 < x <... < x n = b. Niech jak poprzednio x i = x i x i oraz niech y i = ϕ(x i ) ϕ(x i ), i =, 2,..., n. Zgodnie z rysunkiem mamy l i = ( x i ) 2 + ( y i ) 2 = ( x i ) 2 + (ϕ (ξ i ) x i ) 2 = + (ϕ (ξ i )) 2 x i, gdzie pod pierwiastkiem zastosowali±my twierdzenie o warto±ci ±redniej, sk d we wzorze punkty x i < ξ i < x i. Wówczas L n = n i= l i jest przybli»eniem dªugo±ci rozwa»anego odcinka krzywej y = ϕ(x). Je±li rozwa»ymy normalny ci g podobnych podziaªów [a, b] przy n, wówczas L n L = b a + (ϕ (x)) 2 dx. (5.33) Przykªad 5.3 Obliczmy dªugo± segmentu paraboli y = ϕ(x) = x 2 dla 0 x. Poniewa» ϕ (x) = 2x, wykorzystuj c podstawienie t = 2x mamy L = + (2x) 2 dx = 2 + t arcsinh t 0 = t t2 dt 5 = ln(2 + 5)

177 Je±li krzywa dana jest w postaci równania parametrycznego, ϕ(t) = [x(t), y(t)], a t b, niemal identyczne rozumowanie prowadzi nas do wzoru L = b a 77 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt, (5.34) który oczywi±cie redukuje si do poprzedniego, gdy parametryzacja jest trywialna x(t) = t, y(t) = ϕ(t). Przykªad 5.4 Posªuguj c si parametrycznym przedstawieniem okr gu x(θ) = r cos θ, y(θ) = r sin θ, obliczymy dªugo± jego ªuku dla 0 θ α. Zgodnie ze wzorem (5.34) mamy α α L = ( r sin θ) 2 + (r cos θ) 2 dθ = r dθ = αr, 0 0 co w przypadku gdy α = 2π, daje znany nam dobrze wzór na obwód koªa. Przykªad 5.5 Zauwa»my jak niewielka modykacja krzywej z poprzedniego przykªadu wpªywa na rozwi zalno± caªki. We¹my tym razem parametryczn reprezentacj elipsy, x(θ) = a cos θ, y(θ) = b sin θ, a, b > 0. W tym wypadku L = = α 0 α 0 ( a sin θ) 2 + (b cos θ) 2 dθ = a 2 + (b 2 a 2 ) cos 2 θ dθ = a α 0 α 0 a 2 ( cos 2 θ) + b 2 cos 2 θ dθ ε2 cos 2 θ dθ, gdzie ε = a 2 b 2 jest mimo±rodem elipsy. Ostatnia caªka jest jedn ze znanych caªek a nie daj cych si wyrazi przez funkcje elementarne. Z racji zwi zku z dªugo±ci ªuku elipsy nosi ona nazw caªki eliptycznej drugiego rodzaju (por. [2], t. II, Ÿ 33.8) i pojawia si w wielu zagadnieniach zycznych. Kolejne zastosowanie caªki sªu»y do obliczania obj to±ci bryª obrotowych. Gdy segment krzywej y = f(x), a x b, obracamy wokóª osi OX, zaznacza on powierzchni obrotow, a naszym celem jest obliczenie obj to±ci obszaru ograniczonego t powierzchni. Przybli»enie obj to±ci takiej bryªy mo»na uzyska dziel c j prostopadle do osi obrotu na cienkie dyski o zmieniaj cej si zgodnie z warto±ciami f(x) ±rednicy i obliczaj c sum ich obj to±ci, Rys By wyrazi takie przybli»enie za pomoc sumy Riemanna, która w granicy da nam odpowiedni wzór caªkowy, dokonujemy podziaªu odcinka [a, b] punktami a = x 0 < x <... < x n = b oraz w ka»dym z podprzedziaªów wybieramy punkt próbny ξ i [x i, x i ], i =, 2,..., n. Jak poprzednio oznaczamy x i = x i x i. Wówczas obj to± pojedynczego dysku skªadnika sumy Riemanna obliczamy jako v i = πr 2 h = π(f(ξ i )) 2 x i, p. Rys. 5.. Sumuj c obj to±ci v i otrzymujemy V n n b = π (f(ξ i )) 2 x i π i= a (f(x)) 2 dx. (5.35) Przykªad 5.6 Zastosujemy wzór (5.35) do obliczenia obj to±ci elipsoidy obrotowej powstaªej przez obrót górnej poªówki elipsy ( ) 2 ( ) x a + y 2 b = wokóª osi OX,

178 78 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY Rys. 5.0: Obliczanie obj to±ci bryªy obrotowej przez podziaª na dyski. f ( i ) i x i Rys. 5.: Podziaª odcinka [a, b] na podprzedziaªy [x i, x i ] i wybór w tych przedzia- ªach punktów próbnych ξ i wyznaczaj dekompozycj bryªy obrotowej o tworz cej f(x) na dyski o grubo±ciach x i = x i x i i o promieniach f(ξ i ). Suma obj to- ±ci tych dysków stanowi przybli»enie rzeczywistej obj to±ci bryªy i peªni rol sumy Riemanna przy konstrukcji wzoru caªkowego. przy czym a x a. Rozwi zuj c równanie elipsy ze wzgl du na y otrzymujemy y = f(x) = b ( ) x 2. a Zgodnie z ww. wzorem mamy zatem V a = π a ) 3a 2 b 2( ( x) 2 ) ( dx = πb 2 x x3 a a a = 4 3 πab2. Gdy a = b = r otrzymujemy jako szczególny przypadek znany wzór na obj to± kuli. Zajmiemy si z kolei wyznaczeniem analogicznego wzoru w przypadku, gdy osi obrotu jest OY. Ilustracj stanowi Rys. 5.2 Tym razem przybli»enie obj to±ci bryªy dokonuje si przez zsumowanie obj to- ±ci powªok w ksztaªcie wydr»onych cylindrów umieszczonych teleskopowo jeden w

179 79 f ( x) a x x 2 b Rys. 5.2: Tym razem podziaª odcinka [a, b] na podprzedziaªy [x i, x i ] i wybór w tych przedziaªach punktów próbnych ξ i wyznaczaj dekompozycj bryªy obrotowej o tworz cej f(x) na cylindryczne powªoki o grubo±ci x i = x i x i, promieniu ξ i i wysoko±ci f(ξ i ), umieszczone teleskopowo jedna w drugiej. Suma obj to±ci tych powªok stanowi przybli»enie rzeczywistej obj to±ci bryªy i peªni rol sumy Riemanna przy konstrukcji wzoru caªkowego. drugim. Pojedyncza powªoka powstaje w wyniku obrotu wokóª osi OY prostok ta o szeroko±ci x i = x i x i i wysoko±ci f(ξ i ), a ξ i jest w przybli»eniu promieniem tego obrotu (ξ i [x i, x i ] s jak poprzednio dowolnie wybranymi punktami próbnymi, na bazie których powstaje suma Riemanna). Obj to± v i pojedynczej powªoki obliczymy najªatwiej z dobr dokªadno±ci wyobra»aj c sobie,»e rozcinamy j pionowo z jednej strony i rozwijamy by otrzyma cienki prostopadªo±cian o wysoko±ci h = f(ξ i ), dªugo±ci l = 2πξ i i grubo±ci x i, a wi c V n = n v i i= = 2π n i= b ξ i f(ξ i ) x i 2π xf(x) dx. (5.36) a Zauwa»my jeszcze,»e je±li funkcja f przyjmuje warto±ci ujemne w rozwa»anym zakresie zmienno±ci x, wzór powy»szy staje si bª dny z punktu widzenia geometrii, bowiem cz ± obj to±ci wchodzi do sumy caªkowej ze znakiem minus. By temu zapobiec, wystarczy zast pi f(x) przez f(x). Natomiast wzór (5.35) jest wolny od tej wady, bowiem f pojawia si w nim w drugiej pot dze. Je±li linia tworz ca dana jest w postaci parametrycznej x = x(t), y = y(t), α t β, wówczas identykuj c y z f(x) i uwzgl dniaj c fakt,»e dx = x (t) dt, wzory na obj to± zapiszemy w postaci V OX β β = π y 2 (t)x (t) dt oraz V OY = 2π x(t) y(t) x (t) dt. (5.37) α α Kolejny u»yteczny wzór caªkowy pozwala oblicza pole powierzchni bryªy obrotowej. Idea tego wzoru polega na tym,»e powierzchni przybli»amy sum pól pasków o szeroko±ci l i = x i + y i (jest to przybli»enie dªugo±ci segmentu krzywej, z którego korzystali±my w (5.33) ) i obwodzie 2πf(ξ i ) lub 2πξ i zale»nie od wyboru

180 80 ROZDZIAŠ V. RACHUNEK CAŠKOWY h 0 r Rys. 5.3: Sto»ek obrotowy o tworz cej y = h h r x. jako osi obrotu OX wzgl dnie OY. Odpowiednie sumy Riemanna zbiegaj do b S OX = 2π S OY = 2π lub w wersji parametrycznej β S OX = 2π S OY = 2π α β α a b a f(x) + (f (x)) 2 dx, (5.38) x + (f (x)) 2 dx (5.39) y(t) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt, (5.40) x(t) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt. (5.4) Przykªad 5.7 Wyprowadzimy obecnie znane wzory na obj to± sto»ka i pole powierzchni bocznej sto»ka, p. Rys Poniewa» tworz ca sto»ka zgodnie z rysunkiem dana jest wzorem y = h h x, 0 x r, jego obj to± na podstawie wzoru r (5.36) wyra»a si przez r V = 2π x (h hr ) ( ) hx 2 x dx = 2π 0 2 hx3 r = πr2 h. 3r 3 Pole powierzchni bocznej sto»ka obliczymy z kolei na podstawie wzoru (5.39), r S = 2π x + ( h r )2 dx = 2π + ( 0 gdzie l = r 2 + h 2 jest dªugo±ci tworz cej. hr )2 x2 2 0 r 0 = πrl, Przykªad 5.8 W kolejnym przykªadzie policzymy obj to± i powierzchni torusa, Rys Dla obj to±ci u»yjemy wzoru (5.37), gdy tworz cy okr g opisany jest w wersji parametrycznej, x(t) = R r cos t, y(t) = r sin t, 0 t 2π.

181 8 R r Rys. 5.4: Torus o promieniach r i R powstaje przez obrót koªa (x R) 2 + y 2 = r 2 wokóª osi OY. Rysunek po prawej stronie pokazuje jak konstruowane jest w tym wypadku przybli»enie obj to±ci torusa. Poniewa» dx dt 2π V = 2π = r sin t, otrzymujemy 0 = 4πr 2 R 2π x(t) y(t) x (t) dt = 2πr 2 (R + r cos t) sin t sin t dt π 0 = 2πr 2 R ( t 2 sin 2t) π π sin 2 t dt 4πr 3 sin 2 t cos t dt πr3 sin 3 t π 0 0 = 2π2 r 2 R = (πr 2 )(2πR). Z kolei dla obliczenia pola powierzchni korzystamy z wzoru (5.4), w którym dla prostoty policzymy dwukrotnie powierzchni górnej poªówki bryªy: π S = 2 2π (R r cos t) r 2 sin 2 t + r 2 cos 2 t dt = 4πrR 0 π 0 π dt 4πr 2 cos t dt = 4π 2 rr = (2πr)(2πR). 0 Otrzymane wzory s ±wietn ilustracj twierdzenia Pappusa, greckiego matematyka»yj cego na przeªomie III-IV w.n.e., które mówi,»e obj to± bryªy powstaªej przez obrót pªaskiego obszaru wokóª nieprzecinaj cej go osi, le» cej w tej samej pªaszczy¹nie, jest równe iloczynowi powierzchni tego obszaru (πr 2 ) przez dªugo± drogi (2πR), jak podczas obrotu pokonuje jego ±rodek ci»ko±ci, natomiast jej powierzchnia podobnie jest iloczynem obwodu brzegu obszaru (2πr) przez dªugo± tej drogi. Podamy na koniec jeszcze 2 wzory caªkowe pozwalaj ce na obliczanie momentu bezwªadno±ci bryªy obrotowej. Przypomnijmy,»e moment bezwªadno±ci masy punktowej m wokóª osi oddalonej o niej o r wynosi I = mr 2. Post powanie jest podobne jak w przypadku wyprowadzania wzorów na obj to± bryª, przy czym element obj to±ci jest tym razem mno»ony przez g sto± materiaªu ϱ w najprostszej wersji, do której si tu ograniczamy staª co daje mas tego elementu, któr nale»y pomno»y jeszcze przez kwadrat promienia obrotu.