Rozkłady zmiennych losowych

Transkrypt

1 ZIP 007/008 (zaoczne) Rozłady zmiennych losowych I. X zmienna losowa soowa. Rozład zero jedynowy X rzybiera dwie wartości: i 0 Jeśli P(X ), to (X ) q P gdyż P(X ) P(X ) Rozład zmiennej losowej jest rozładem zero-jedynowym, jeśli ta zmienna losowa rzyjmuje wartośd z rawdoodobieostwem, a wartośd 0 z rawdoodobieostwem -

2 ZIP 007/008 (zaoczne) Wtedy dystrybuanta F() 0 q 0 0 Wartośd oczeiwana zmiennej losowej X wynosi E(X) a wariancja V(X) ( ) (0 ( ) ( E(X)) ) ( 0 ( E(X)) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) V(X) 0 E(X ) ( ) E (X) ( ) ( ) q

3 ZIP 007/008 (zaoczne). Rozład dwumianowy (binomialny) Zmienna losowa X ma rozład dwumianowy B(n, ), jeśli jej funcja rozładu rawdoodobieostwa dana jest wzorem: B(n,,) P(X ) C n q n gdzie =0,,,n +q= Wtedy dystrybuanta F() C n q n Wartośd oczeiwana E(X) n Wariancja V(X) nq 3

4 ZIP 007/008 (zaoczne) Zmienna losowa o rozładzie dwumianowym oisuje eseryment noszący nazwę rób Bernoulliego. Przerowadza się n niezależnych doświadczeo. W ażdym doświadczeniu rawdoodobieostwo sucesu wynosi. X liczba sucesów w n doświadczeniach UWAGA: Rozład dwumianowy wystęuje, gdy losowanie z oulacji ograniczonej jest zwrotne, a wyni losowania jest zmienną losową o rozładzie 0-. 4

5 ZIP 007/008 (zaoczne) 3. Rozład Poissona Zmienna losowa X, tóra rzyjmuje wartości 0,,,.. z rawdoodobieostwem m m P(X ) e =0,,! gdzie m jest rzeczywistą stałą dodatnią nazywa się zmienną losową o rozładzie Poissona Wtedy dystrybuanta m m F() e! Wartośd oczeiwana E(X) m Wariancja V(X) m 5

6 ZIP 007/008 (zaoczne) UWAGA: Rozład Poissona jest dobrym rzybliżeniem rozładu dwumianowego, gdy rawdoodobieostwo sucesu jest małe (<0,), a liczba realizacji n jest duża (n>00), ta że n=m jest rawie stałe. Rozład dobrze oisuje te doświadczenia, w tórych obserwuje się dużą serię rzyadów, rzy małym rawdoodobieostwie sucesu w ojedynczych obserwacjach 6

7 ZIP 007/008 (zaoczne) 4. Rozład geometryczny Zmienna losowa X, ma rozład geometryczny, jeśli jej funcja rozładu jest nastęująca: P(X ) q =,,.. gdzie: rawdoodobieostwo sucesu q = - rawdoodobieostwo orażi liczba doświadczeo do ojawienia się ierwszego sucesu Wtedy dystrybuanta Wartośd oczeiwana Wariancja V(X) q F() E(X) 7 q

8 ZIP 007/008 (zaoczne) UWAGA: Podobnie ja rozład dwumianowy, rozład geometryczny związany jest z niezależnymi doświadczeniami o taim samym rawdoodobieostwie sucesu. Eseryment trwa ta długo, aż nie ojawi się ierwszy suces. 8

9 ZIP 007/008 (zaoczne) 5. Rozład hiergeometryczny Zmienna losowa X ma rozład hiergeometryczny, jeśli jej funcja rozładu jest nastęująca: n CRCN R P(X ) n gdzie =0,,,min(R,n) CN n CRCN R wtedy dystrybuanta F() n CN nr Wartośd oczeiwana E(X) N Wariancja V(X) nq n N N gdzie 7 R N i q N R N

10 ZIP 007/008 (zaoczne) Zmienna losowa o rozładzie hiergeometrycznym oisuje eseryment, w tórym rzerowadza się n zależnych doświadczeo, a więc w nietórych doświadczeniach rawdoodobieostwo sucesu się zmienia. X liczba sucesów w n doświadczeniach Na rzyład: z oulacji generalnej liczącej N elementów, w tórej R jednoste ma wyróżnioną cechę A, obrano róbę n elementową (n N); losowanie było bezzwrotne. Za suces uważamy wylosowanie jednosti z wyróżnioną cechą A. Zmienna losowa X oisuje liczbę sucesów w róbie. 7

11 ZIP 007/008 (zaoczne) II. X zmienna losowa ciągła. Rozład rostoątny ( jednostajny) Zmienna losowa X ma rozład jednostajny w rzedziale [a,b], jeśli jej gęstośd jest nastęująca: dla a b f () b a 0 dla a lub b Wtedy dystrybuanta 0 dla a a F() b dla a b a dla b 9

12 ZIP 007/008 (zaoczne) Wartośd oczeiwana E(X) Wariancja V(X). Rozład trójątny (b a) a b Mediana Me a b Zmienna losowa X ma rozład trójątny w rzedziale [a,b], jeśli jej gęstośd jest nastęująca 0 dla 0 f () ab dla 0 a dla a b ab b b a 0 dla b 0

13 ZIP 007/008 (zaoczne) Dystrybuanta F() ab a b 0 ab b a a a b dla dla 0 dla a dla 0 b a b Dominanta Do = a

14 ZIP 007/008 (zaoczne) 3. Rozład wyładniczy Zmienna losowa X, ma rozład wyładniczy, gdy jej gęstośd jest nastęująca: 0 dla 0 f () - e dla 0 Wtedy dystrybuanta 0 dla 0 F() - e dla 0 Wartośd oczeiwana E(X) Wariancja V(X) Mediana Me ln0,5

15 ZIP 007/008 (zaoczne) 4. Rozład normalny (Gaussa) Zmienna losowa X, ma rozład normalny, gdy jej gęstośd jest ( m) nastęująca: f () e gdzie m i - arametry rozładu. Zmienna X ma rozład normalny z arametrami m i notuje się: (t m) X: N(m, ) Dystrybuanta F() e dt Wartośd oczeiwana,mediana i dominanta E(X) Me Do m Wariancja V(X) 3

16 ZIP 007/008 (zaoczne) DEF: Zmienną losową X nazywa się wystandaryzowaną, jeśli E(X) = 0 i V(X) =. Twierdzenie: Jeśli zmienna losowa X ma rozład normalny z arametrami m i σ ( N(m, )), to zmienna losowa X m U ma tzw. wystandaryzowany rozład normalny z arametrami 0, ( N(0,) ). Gęstośd i dystrybuanta zmiennej U jest dana wzorami (odowiednio) f () e F() e t dt 3