1. Zbiory, liczby, ciagi

Transkrypt

1 0. o to jest nliz mtemtyczn? Anliz Mtemtyczn dr hb. Jn Iwniszewski Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołj Kopernik semestr zimowy 04/5 0. Wstęp nuki fizyczne, techniczne włsności obiektów, zjwisk, substncji... opis ilościowy liczby opis jkościowy relcje między liczbmi, zmiennymi ogólne prw, przewidywni nowych efektów,... lgorytmy dziłń, optymlizcj nliz mtemtyczn relcje między liczbmi, zwłszcz w sytucjch grnicznych, zbieżność, funkcje, rchunek różniczkowy i cłkowy, cigi i szeregi,... el wykłdu wprowdzenie elementrnych pojęć i nrzędzi nlizy mtemtycznej dl opisu problemów fizycznych i technicznych 0. Progrm liczby, zbiory liczb, relcje, funkcje - bdne obiekty cigi, szeregi, grnice, zbieżność rchunek różniczkowy - pochodn, różniczk, szereg Tylor rchunek cłkowy - cłk nieoznczon i oznczon, wielokrotn, krzywoliniow, powierzchniow, równni różniczkowe pol sklrne i wektorowe, nliz wektorow, metody przybliżone prktyczne wykorzystnie nrzędzi nlizy mtemtycznej 0.3 Litertur W.Krysicki, L.Włodrski, Anliz mtemtyczn w zdnich, T. I-II (PWN, Wrszw, 0) G.M.Fichtenholz, Rchunek różniczkowy i cłkowy, T. I-III (PWN, Wrszw, 007) W.Korczk, M.Trjdos, Wektory, pochodne, cłki (PWN, Wrszw, 009) jiwnisz Zsdy zliczeni Ćwiczeni obecność obowizkow (usprwiedliwieni) Zliczenie ćwiczeń: krtkówki, zdni domowe ok. 00 zdń, 3 kolokwi Wykłd obecność nieobowizkow, le... Zliczenie wykłdu egzmin pitek 6 lutego godz. 0-3 ocen końcow z ćwiczeń krt. (0%) + zd. dom. (0%) + kol. (70%) sum (00%) ocen końcow z egzminu kol. (30%) + zd. egzmin. (70%) sum (00%) punkty ocen końcow [0 50) nt [50 59) dost [68 77) dob [59 68) dost+ [77 86) dob+ [86 00] bdb. Zbiory, liczby, cigi. Zbiory opercje n zbiorch Dl zbiorów A i B np. A : {, b, c,...}, B : {b : wrunek} A B : {c : c A lub c B} sum A B : {c : c A i c B} iloczyn, przekrój A \ B : {c : c A i c B} różnic A B : {c : c A c B} zwiernie się, inkluzj, A jest podzbiorem B A B {(, b) : A, b B} iloczyn krtezjński R R R, R R R R 3 kwntyfiktory kwntyfiktor ogólny lub "dl kżdego" kżdy element zbioru spełni wrunek, np., A x<x0 kwntyfiktor szczegółowy lub "istnieje" przynjmniej jeden element zbioru spełni wrunek, np., A x>x0. Zbiory liczbowe liczby nturlne N {,, 3,...} liczby cłkowite Z {m : m N lub m 0 lub m N} { m } liczby wymierne Q n : m Z i n N liczby rzeczywiste R Q Q (Q liczby niewymierne) liczby zespolone { c + i b : R i b R i i } N Z Q R

2 .3 Ogrniczeni zbiorów liczbowych.4 Prezentcj liczb.5 Zokrglnie zbiór liczbowy A R ogrniczeni od góry jeżeli M R x A M - krniec górny zbioru, x M, to zbiór A jest ogrniczony z góry, jeżeli zbiór jest nieogrniczony z góry, to M, njmniejszy krniec górny to kres górny M inf M (infimum) ogrniczeni od dołu m R x A x m A ogrniczony z dołu, m - krniec dolny zbioru, jeżeli zbiór jest nieogrniczony z dołu, to m, njwiększy krniec dolny to kres dolny m sup m (supremum) zbiór ogrniczony z góry i z dołu zbiór ogrniczony zpis liczby ułmkowy, np. 3 dziesiętny, np..56 potęgowy, np symboliczny, np. π, wrtość liczby dokłdn, np., /3, przybliżon (zokrglon), np. π , / ,.4... zokrglnie liczby przybliżnie wrtości liczby przez inn liczbę mjc mniej cyfr znczcych w zpisie dziesiętnym zokrglenie postć odrzucnej części liczby metod 4 - zokrglenie w dół, 5 lub 5 - zokrglenie w górę, metod 4 - zokrglenie w dół, 5 - zokrglenie w górę, 5 - zokrglenie do cyfry przystej,.6 zcownie rzędu wielkości liczb zokrglenie do jednej cyfry znczcej , , wyrżenie liczbowe przybliżnie do jednej cyfry znczcej kżdej liczby lub dziłni skłdowego ? zcownie nieznnej wielkości nieznn wielkość wyrżenie poszukiwnej wielkości możliwie prostym wzorem, oszcownie wrtości wielkości występujcych we wzorze, 3 oszcownie wyrżeni liczbowego Przykłd : Oszcowć objętość sli 6. objętość długość szerokość wysokość Przykłd : Oszcowć średnicę tomu. objętość tomu liczb tomów gęstość msy ms dl mol (grmorównowżnik): 3M r 3 4πN A ϱ 4 3 πr3 N A ϱ M ( 3M 4πN A ϱ ) 3.8 Liczby, zmienne, wielkości minowne wielkość stł określon liczb wielkość zmienn dowolny element zbioru, możliwe różne wrtości mtemtyk liczb, zmienn fizyk, nuki techniczne,... liczb lub zmienn z jednostk, wielkość minown zpis potęgowy liczby np , zpis potęgowy wielkości minownych przyrostki dodne do nzw jednostek, np m m 5.3 km wielokrotności podwielokrotności 0 3 kilo k 0 3 mili m 0 6 meg M 0 6 mikro µ 0 9 gig G 0 9 nno n 0 ter T 0 piko p 0 5 pet P 0 5 femto f 0 8 eks E 0 8 tto 0 dek d 0 decy d 0 hekto h 0 centy c.9 igi liczbowe cig liczb nturlnych,, 3, 4,..., n,,... cig liczbowy x, x, x 3, x 4,..., x n,... {x n } n {x n } N R cig monotonicznie cig ogrniczony rosncy x n < x n+ z dołu x n m n N m R n N mlejcy x n > x n+ z góry x n M n N M R n N ig ogrniczony z dołu i z góry to cig ogrniczony..0 Zbieżność cigu cig zbieżny Jeżeli ε>0 N n>n x n, x n < ε, to jest grnic cigu. x n, {x n } cig zbieżny szczególny przypdek: x n 0, x n 0 Jeżeli x n i <, to (x n ) 0. cig rozbieżny ig, który nie jest zbieżny jest rozbieżny, le: jeżeli podobnie: E>0 N n>n x n, E < x n, to cig m grnicę nieskończon. x n, {x n } cig rozbieżny do ± x n + x n. Grnic cigu kryterium zbieżności Bolzno ig {x n } m grnicę skończon x n x m < ε. ε>0 N n,m>n twierdzeni o grnicch cigów Jeżeli x n, y n b i c const, to: grnic iloczynu przez liczbę [c x n] c grnic sumy [x n + y n ] + b grnic iloczynu [x n y n ] b [ ] xn grnic ilorzu (dl b 0) b Jeżeli x n 0 i {y n } jest cigiem ogrniczonym, to [x n y n ] 0. Jeżeli n x n y n z n, orz x n z n, to y n. y n

3 . igi monotoniczne. Liczby zmienne w fizyce i technice twierdzenie: Jeżeli cig monotonicznnie rosncy {x n } jest ogrniczony z góry x n M to m on grnicę skończon. Jeśli nie jest ogrniczony to M n grnic jest +. Anlogicznie dl cigu monotonicznie mlejcego. liczb Euler e ( x n + n) n e.788 przedziły zstępujce {x n } cig monotonicznie rosncy {y n } cig monotonicznie mlejcy n x n < y n, (x n+, y n+ ) (x n, y n ) jeżeli (y n x n ) 0, to x n z n. Funkcje liczb ozncz konkretn wrtość dnej wielkości (fizycznej) zmienn informuje, że jest jkś wielkość (fizyczn) bez precyzowni jej konkretnej wrtości zmienn x zdn jest przez zbiór swoich wrtości X, czyli x X, inczej: X to obszr zmienności zmiennej x, np. zmienn dyskretn, zmienn cigł funkcj opisuje relcję zchodzc między różnymi wielkościmi (fizycznymi) kd się bior funkcje w nukch fizycznych? Prw fizyczne przetwij zwizki między wielkościmi fizycznymi (mierzlnymi). Zpisne w postci mtemtycznej (wzorów) dj zleżności funkcyjne.. Funkcj.3 Rodzje funkcji.4 Klsy funkcji odwzorownie X x y Y odwzorownie wzjemne przyporzdkownie sobie elementów (liczb) dwóch zbiorów funkcj Jeżeli odwzorownie jest jednoznczne (jednej wrtości x odpowid tylko jedn wrtość y), to odwzorownie nzyw się funkcj. X dziedzin zbiór rgumentów X x y f(x) Y Jeżeli jednej wrtości y odpowid tylko jedn wrtość x, to funkcj jest wzjemnie jednoznczn Y przeciwdziedzin zbiór wrtości funkcje funkcje złożone funkcje odwrotne funkcje elementrne proste funkcje złożone wielominy W n(x) funkcje wymierne Wn(x) V m(x) funkcje... funkcje specjlne y f(x), y g(x), h(b) y f(g(x)) y f (x), czyli x f(y) przyste, nieprzyste, inne okresowe i nieokresowe ogrniczone i nieogrniczone monotoniczne i niemonotoniczne.5 Przetwinie funkcji posoby: nlityczny, numeryczny, grficzny Przykłd: spdek w polu grwitcyjnym Ziemi teori Newton swobodny spdek w polu grwitcyjnym (ruch jednostjnie przyspieszony) pomir t [s] h [m] h(t) gt teori Newton tłumiony spdek w polu grwitcyjnym h(t) g b [ e bt + bt ].6 Funkcje elementrne funkcje potęgowe y x p wykłdnicze y x, e x exp x trygonometryczne y sin x, cos x, tg x, ctg x funkcje odwrotne potęgowe y x /p logrytmiczne y log x, log e x ln x, log x lg x cyklometryczne y rc sin x, rc cos x, rc tg x, rccot x.7 Funkcje potęgowe y x 0 y x n, gdzie n N 3 y x, gdzie R + 4 y x n, gdzie n N 5 y x, gdzie R 6 y x, gdzie R Uwg: wżne, by dobrze określić dziedzinę funkcji Kiedy x R, kiedy x R +?

4 .8 Funkcje potęgowe.9 Funkcje wykłdnicze i logrytmiczne.0 Funkcje trygonometryczne f(x) x, f(x) log x, dl > 0. Funkcje trygonometryczne. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne.3 Grnic funkcji x x 0 (dowolnie) f(x) funkcj f(x) m w punkcie x 0 grnicę równ f(x) grnic lewostronn (x < x 0 ) f(x) f(x) x x0 x x 0 grnic prwostronn (x > x 0 ) f(x) f(x) x x0 x x + 0 Jeżeli istnieje grnic lewostronn f(x) i prwostronn x x0 f(x). x x0 f(x) b, orz b, to istnieje grnic.4 Włsności grnic I.5 Włsności grnic II.6 Wżne grnice Jeżeli f(x) i g(x) b, to: grnic iloczynu przez sklr grnic sumy grnic iloczynu grnic ilorzu grnic funkcji złożonej [c f(x)] c [f(x) + g(x)] + b [f(x) g(x)] b [ ] f(x) g(x) b (dl b 0) jeżeli f(x) i g(x) b, x to g(f(x)) b Twierdzenie o trzech grnicch Jeżeli: f(x) g(x), orz dl wszystkich x nleżcych do pewnego otoczeni x 0 to f(x) h(x) g(x), h(x) f(x) h(x) g(x) o, gdy ϕ 0? P OAB < P OAB < P OA P OAB OA h R R sin ϕ P OA OA H R R tg ϕ P OAB s πr πr R R ϕ R R sin ϕ < R R ϕ < R R tg ϕ sin ϕ < ϕ < tg ϕ / : sin ϕ < ϕ sin ϕ < cos ϕ > sin ϕ ϕ > cos ϕ

5 .7 Wżne grnice.8 igłość funkcji sin x x 0 x ( + x e x x) ( + x) x ln( + x) e, x 0 + x 0 x igłość w punkcie Jeżeli w punkcie x x 0 istnieje grnic funkcji f(x) i f(x 0 ) to funkcj f(x) jest cigł w tym punkcie. igłość n zbiorze Jeżeli funkcj f(x) jest cigł w kżdym punkcie zbioru X, to jest cigł n tym zbiorze. Włsności cigłości Jeżeli f(x) i g(x) s cigłe w x x 0, to iloczyn przez liczbę, sum, iloczyn, ilorz, złożenie tych funkcji s cigłe. 3. Pochodne 3. Ilorz różnicowy grnic ilorzu różnicowego xn x0 y n y 0 tg θ 0 k 0 x n x 0 ilorz różnicowy y y y 0 x x x 0 tg θ y y y 0 x x x 0 tg θ y n y 0 xn x0 x n x 0 tg θ 0 k 0 współczynnik nchyleni stycznej do krzywej y f(x) w punkcie x Pochodn funkcji Definicj pochodnej y f f(x + x) f(x) f(x ) f(x) (x) x 0 x x x x x Pochodn funkcji w dnym punkcie określ wrtość współczynnik nchyleni stycznej do krzywej dnej przez wykres funkcji w tym punkcie Pochodn cigłość Pochodn (grnic) istnieje gdy f(x + x) f(x) lub f(x ) f(x). x 0 x x igłość funkcji w punkcie x to wrunek konieczny istnieni pochodnej w tym punkcie (le nie jest to wrunek dostteczny). Drug pochodn y f f (x + x) f (x) (x) x 0 x 3.3 Potwowe wzory Pochodn sumy Pochodn iloczynu h(x) f(x) + g(x) h (x) f (x) + g (x) h(x) f(x) g(x) h (x) f (x) g(x) + f(x) g (x) Pochodn ilorzu h(x) f(x) g(x) Pochodn funkcji złożonej h (x) f (x) g(x) f(x) g (x) [g(x)] h(x) f (g(x)) h (x) f (y) yg(x) g (x) Pochodn funkcji odwrotnej h(x) f (x) h (x) f (y) yf (x) 3.4 Pochodne funkcji elementrnych 3.5 Różniczk 3.6 Zpis różniczkowy pochodnej (const) 0 (x ) x ( 0) (e x ) e x (ln(x)) /x ( x ) x ln() (log (x)) /(x ln()) (sin(x)) cos(x) (rc sin(x)) ( x ) (cos(x)) sin(x) (rc cos(x)) ( x ) (tg(x)) / cos (x) (rc tg(x)) ( + x ) (ctg(x)) / sin (x) (rc ctg(x)) ( + x ) uwg n dziedziny funkcji y f(x), y f(x + x) f(x) x 0 x x 0 y x f (x) + ε (ε x 0 0) y f (x) x + ε x f (x) x y x f (x) W grnicy x 0 przyrost x jest nieskończenie (infinitezymlnie) mły - nzywmy go różniczk zmiennej x i oznczmy Podobnie przyrost (zmin) zmiennej y jest infinitezymlnie mł y dy (różniczk zmiennej y) dy f (x) df(x) Różniczk dy opisuje dominujcy wkłd do zminy wrtości zmiennej y przy infinitezymlnie młej zminie wrtości zmiennej x. y f (x) x + ε x f (x) x y x 0 d czytmy: de igrek po de iks y x dy df(x) opertor ró»niczkowni d f(x) oblicznie pochodnej różniczkownie Funkcj f(x), dl której możn w punkcie x (w obszrze X) policzyć pochodn, jest różniczkowln w tym punkcie (obszrze).

6 4. zereg Tylor 4. Rozwinięcie wielominu n(n )... (n k + )x n k, n > k; (x n ) (k) n!, n k; 0, n < k. { (x n ) (k) n!, n k; x0 0, n k. wielomin: W n (x) 0 + x + x n x n j x j { (W n (x)) (k) k k!, n k; x0 0, n < k. rozwinięcie wielominu W n (x) j x j j! W n (j) (0)x j j0 j0 j0 j0 W n (x) j x j j! W n (j) (x 0 )(x x 0 ) j j0 4. Rozwinięcie funkcji różniczkowlnej zereg Tylor f(x) zereg Mclurin j! f (j) (x 0 )(x x 0 ) j + R n (x, x 0 ) j0 szczególny przypdek szeregu Tylor dl x 0 0: Po co? f(x) j! f (j) (0)x j + R n (x) j0 sumownie szeregów, ułtwinie obliczeń, przybliżnie funkcji i ich wrtości, procedury interpolcyjne (numeryczne), Przykłdy e x x k k! + x + x + 6 x k0 sin x ( ) k x k+ (k + )! x 6 x k0 3 cos x ( ) k xk (k)! x k0 x ( x) + x + x... x k (szereg k0 geometryczny) + x ( + x) / + x 8 x... 6 ( + x) + x + ( ) x Przykłdy sin x ( ) k x k+ (k + )! x 6 x3 + 4 x5... k0 4.5 Reguły de l Hospitl grnic ilorzu [ ] f(x) g(x) b (dl b 0) A co jeśli b 0, le tkże 0? [ ] [ n f(x) j0 j! f ] (j) (x 0 )(x x 0 ) j + R n (x, x 0 ) g(x) m k0 k! g(k) (x 0 )(x x 0 ) k + m (x, x 0 ) x x x 0 [ f(x0 ) + f () (x 0 ) x + /f () (x 0 )( x) ] +... x 0 g(x 0 ) + g () (x 0 ) x + /g () (x 0 )( x) +... x 0 [ f () (x 0 ) x + /f () (x 0 )( x) ] +... f () (x 0 ) g () (x 0 ) x + /g () (x 0 )( x) +... g () (x 0 ) x 0 Reguły de l Hospitl dl wyrżeń typu,, 0 0 i,, f(x) zchodzi g(x) f () (x) g () (x) [ f () ] (x) g () (x) 5. Włsności funkcji jej pochodne 5. Przebieg funkcji bdnie włsności funkcji 5. Bdnie przebiegu funkcji Włsności funkcji funkcj rosn c f (x) > 0 funkcj mlej c f (x) < 0 ekstremum funkcji f (x) 0 funkcj wypukª f (x) > 0 funkcj wkl sª f (x) < 0 punkt przegi ci f (x) 0 miejsc zerowe x i: f(x i) 0 mksimum x mx: f (x mx) 0, f (x mx) < 0 minimum x min: f (x min) 0, f (x min) > 0 punkt przegięci x przeg: f (x przeg) 0 np.: f(x) x 3 8x + 5x + 4 (x + )(x )(x 7) f (x) 3x 6x + 5 3(x )(x 5) 3 f (x) 6x 6 6(x 8 ) 3 dziedzin i przeciwdziedzin definicj f(x), zchowni symptotyczne, punkty niecigłości f(x), x... obszry wzrostu i spdku wrtości funkcji, ekstrem f (x), wklęsłość i wypukłość funkcji, punkty przegięci f (x). symptoty zbieżność do prostej równoległej do osi ukłdu f(x), f(x) ± x ± zbieżność do dowolnej prostej f(x) x + b, f (x) x ± x ± g(x) f(x) x b, g(x) 0 x ± zbieżność do innej (prostszej) funkcji x ± f(x) ϕ(x), g(x) f(x) ϕ(x), x ± g(x) 0

7 6. o to jest cłkownie? 6. Włsności cłki nieoznczonej 6. łki Pochodn jkiej funkcji jest f(x)? funkcj pierwotn f(x) F (x) F (x) - funkcj pierwotn funkcji f(x) df (x) znjdownie funkcji pierwotnej cłkownie funkcji cłk nieoznczon f(x) f(x) F (x) + f(x) funkcj podcłkow f(x) wyrżenie podcłkowe stł cłkowni pochodn cłki d f(x) d F (x) f(x) pochodn cłki równ jest funkcji podcłkowej cłk z pochodnej f(x) F (x) df (x) F (x) + cłk z pochodnej funkcji równ jest tej funkcji + stł liniowość cłki [f(x) + bg(x)] f(x) + b g(x) 7. Metody cłkowni 7. łki funkcji elementrnych I 7. Metody cłkowni cłkownie przez potwienie (zminę zmiennej) f(x) f(g(y))g (y)dy cłkownie przez części x g(y), y g (x) g (y)dy [f(x)g(x)] f (x)g(x) + f(x)g (x) f(x)g(x) [f(x)g(x)] f (x)g(x) + f(x)g (x) f (x)g(x) f(x)g(x) f(x)g (x) { x ( + ) x + + ( ) ln x + ( ) e x e x + x ln x + ln(x) x ln(x) x + log (x) x log (x) x ln łki funkcji elementrnych II sin(x) cos(x) + cos(x) sin(x) + tg(x) ln cos(x) + ctg(x) ln sin(x) + rc sin(x) x rc sin(x) + x + rc cos(x) x rc cos(x) x + rc tg(x) x rc tg(x) ln ( + x ) + rc ctg(x) x rccot(x) + ln ( + x ) + 8. łki oznczone I 8. łk Riemnn Problem: Jkie jest pole powierzchni zwrtej pomiędzy krzyw y f(x), osi OX, orz prostymi równoległymi do osi OY przechodzcymi przez punkty x i x b? pole trpezu krzywoliniowego cłk oznczon P n k P x k f( x k ), x k x k x k, x k [x k, x k ] k x k f( x k ) mx { x k} 0 b f(x) grnic nie zleży od sposobu podziłu odcink (, b) sum i cłk Riemnn 3 grnic nie zleży od punktów, w których liczone s wrtości f(x)

8 8. Zmin grnic cłkowni 8.3 Potwowe włsności cłki oznczonej I 8.4 Potwowe włsności cłki oznczonej II k k x k f( x k ) k (x k x k )f( x k ) zmin indeksu sumowni l n k l (x l x l )f( x l ) f(x) b b f(x) b (x k x k )f( x k ) b f(x) f(x) b f(x) c b f(x) + f(x) c c b b c c b b b f(x) 0 f(x) f(x) b f(x) 0 dl x (, b) f(x) 0 b f(x) { < 0 > 0 0 b f(x) 0 dl x (, b) f(x) 0 f(x) g(x) dl x (, b) b b f(x) g(x) 9. łki oznczone II 9. Twierdzenie o wrtości średniej Jeśli f(x) jest cigł i ogrniczon n [, b], to: b f(x) f( x)(b ), dl pewnego x [, b] m f(x) M, dl x [, b] 9. Potwowy wzór rchunku cłkowego I f(x) cigł w otoczeniu punktu b f(x) ogrniczon w otoczeniu b def.: Φ(b) Φ(b + h) b b+h Φ(b + h) Φ(b) h f(x) f(x) d d b b+h f(x) + f(x) Φ(b) + h f( x) b Φ(b + h) Φ(b) f( x) f( x) f(b) h 0 h h 0 b d db b f(x) d d f(x) f(b) b f(x) f() 9.3 Potwowy wzór rchunku cłkowego II d f(x) x dzf(z) f(x) / d x dzf(z) x dzf(z) potwowy wzór rchunku cłkowego x dzf(z) f(x) + F (x) + F (x) F () le 0 dzf(z) F () + F () b dzf(z) F (b) F () 0. Równni różniczkowe 0. o to jest równnie różniczkowe? np. x x3 3 + y(x) + y (x), y (x) x dy(x) }{{} pochodn nieznnej funkcji y(x) }{{} równnie Równnie różniczkowe zwyczjne rzędu n x }{{} wyr»enie od zmiennej niezle»nej x x - zmienn niezleżn, y - nieznn różniczkowln funkcj x, zmienn zleżn y y(x) ( ) F y (n), y (n ),..., y (), y, x 0 rozwizć (scłkowć) równnie różniczkowe znleźć wszystkie funkcje y(x) spełnijce dne równnie

9 0. tłe cłkowni rozwiznie równni y(x) zwier tyle stłych cłkowni, ile wynosi jego rzd np.: m m v mẍ mg v ẋ gt + x gt + t + v 0 x 0 x gt + v 0 t + x 0 tłym cłkowni może być ndn konkretn wrtość poprzez zdnie odpowiednich wrunków, które m spełnić rozwiznie równni np. wrunki pocztkowe (dl t 0) lub wrunki brzegowe (dl x 0, L). rozwiznie ogólne (o) y o y o (x;,..., n ) - rodzin funkcji zmiennej x sprmetryzown przez n stłych cłkowni { j } n j rozwiznie szczególne (s) y s y s (x) - jedn z funkcji z rodziny funkcji y o o konkretnej wrtości przynjmniej jednego z prmetrów j 0.3 Równnie różniczkowe zwyczjne. rzędu F (y, y, x) 0 Równnie o rozdzielonych zmiennych lub F (y, y, x) f(y)y g(x) 0 g(x) f(y)y g(x) f(y)y f(y(x))y (x) dyf(y) g(x) f(y)y f(y) dy g(x) f(y)dy g(x) dyf(y) 0.4 Równnie różniczkowe liniowe. rzędu I F (y, y, x) y + f(x)y g(x) 0 y + f(x)y g(x) równnie liniowe jednorodne (j) y + f(x)y 0 równnie liniowe niejednorodne (n) y + f(x)y g(x) y on (x; ) y oj (x; ) + y sn (x) y + f(x)y 0 metod rozdzieleni zmiennych y oj (x; ) exp ( f(x) ) y + f(x)y g(x) metod uzmiennini stªej y sn (x) D(x) exp ( f(x) ) D (x) g(x) exp ( f(x) ) 0.5 Równnie różniczkowe liniowe. rzędu II 0.6 Równnie różniczkowe liniowe drugiego rzędu I 0.7 Równnie różniczkowe liniowe drugiego rzędu II cos x dy + y sin x sin x y(x) + cos (x) Ogóln postć równni (współczynniki kombincji liniowej pochodnych funkcji zleżnej y zleż od zmiennej niezleżnej x): y + f (x)y + f 0 (x)y g(x) np. oscyltor hrmoniczny mẍ kx γẋ + F (t) równnie różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stłych współczynnikch y + by + cy g(x) równnie drugiego rzędu dwie stłe cłkowni y on (x;, ) y oj (x;, ) + y sn (x) L d I dt + R di dt + I E(t) 0.8 Równnie różniczkowe liniowe drugiego rzędu III 0.9 Równnie różniczkowe liniowe drugiego rzędu IV cłk ogóln równni jednorodnego postulown postć rozwizni: y + by + cy 0 y oj (x;, ) e λx + e λx gdzie λ λ, to zespolone rozwizni równni λ + bλ + c 0. b 4c λ, λ y oj (x;, ) > 0 λ, λ R e λx + e λx 0 λ λ R ( + x)e λx λ, λ < 0 λ, µ + iν e λx + e λx e [ µx e iνx + e iνx] µ, ν R e µx [D sin (νx) + D cos (νx)] cłk szczególn równni niejednorodnego y + by + cy g(x) g(x) postulowne rozw. wyznczne y sn (x) współczynniki A B B W n (x) V n (x) wsp. wielominu Ae Bx e Bx A sin(x) G sin(x) G, H +B cos(x) +H cos(x) G, H. Funkcje wielu zmiennych

10 . Funkcj wielu zmiennych odwzorownie i funkcj Ale X może być zbiorem np. R X x w f(x) W R dwywymirowym R R R (x, y) (x, x ) x n-wymirowym R n R R... R (x }{{}, x,..., x n ) x n rzy funkcj wielu zmiennych Jeśli odwzorownie jest jednoznczne jednemu elementowi/punktowi/wektorowi dziedziny odpowid tylko jeden punkt/wrtość w przeciwdziedzinie to odwzorownie jest funkcj (wielu zmiennych) R n X x w f( x) f(x,..., x n ) W R. Grnice funkcji grnic funkcji f( x) x x0 Grnic istnieje, jeśli nie zleży od sposobu (drogi) dochodzeni do punktu x 0. grnic iterown y y0 ( y y0 ) f(x, y) ) ( f(x, y) g(x) h(y) b y y0 wrunek konieczny n istnienie grnicy podwójnej w punkcie (x 0, y 0): b Jeśli f( x) f( x 0 ), to funkcj f( x) jest cigł w punkcie x 0. x x0.3 Pochodne czstkowe pochodne czstkowe f(x + x, y) f(x, y) x 0 x y 0 f(x, y + y) f(x, y) y pochodne wyższych rzędów f,x(x, y) f(x, y) f(x, y) f,y(x, y) f(x, y) f(x, y) f,x(x, y) f(x, y) f(x, y) f,x(x, y) f(x, y) f(x, y) f(x, y) f,x(x, y) f(x, y) f,y(x, y) f(x, y) f,xx(x, y) f(x, y) f,xy(x, y) f(x, y) f,yx(x, y) f(x, y) f,yy(x, y).4 Przyrost funkcji przyrost czstkowy f(x + x, y) f(x, y) x 0 x f(x + x, y) f(x, y) x +... zmin tylko jednego rgumentu przyrost czstkowy funkcji przyrost zupełny z f(x, y) z f(x + x, y + y) f(x, y) f(x + x, y + y) f(x, y + y) + f(x, y + y) f(x, y) f(x, y + y) x + y... x y... zmin wszystkich rgumentów przyrost zupełny funkcji.5 Różniczk zupełn dz + dy f,x (x, y) + f,y (x, y)dy różniczk zupełn dominujcy wkłd do zminy wrtości funkcji przy infinitezymlnie młej zminie rgumentów dz i f( x) i i interpretcj geometryczn f,xi ( x) i f,i ( x) i i x x x 0, y y y 0, z z z 0, z f,x x + f,y y równnie płszczyzny stycznej do powierzchni z f(x, y) w punkcie (x 0, y 0 ). i.6 zereg Tylor różniczki wyższych rzędów ( df(x, y) + ) dy f(x, y) ( d (df(x, y)) d f(x, y) + ) dy df(x, y) ( + ) dy f(x, y) ( ) () + dy + (dy) f(x, y) ( d j f(x, y) + ) j dy f(x, y) zereg Tylor f(x, y) j! j0 ( x + ) j y f(x, y), x x x 0, y y y 0 Uwg: opertory różniczkowni dziłj tylko n funkcję f(x, y).7 Różniczk zupełn opertor nbl dz + dy, le d r (, dy) ê x + dy ê y ( ) Jeśli F (x, y), ê x + f(x, y ê y, to dz F (x, y) d r d r F (x, y) Ale: F (x, y) ê x + f(x, y ( ê y ê x + ê y grdient ê x + ê y opertor nbl dziłnie opertor n funkcję f(x, y) to grdient tej funkcji F (x, y) f(x, y) grdf(x, y) dz d r F (x, y) d r grdf(x, y) ) f(x, y). łki wielokrotne. Definicj cłki podwójnej objętość wlc krzywoliniowego Problem: Jk objętość zwrt jest pomiędzy płszczyzn XY, powierzchni prostopdł do niej oprt n brzegch obszru leżcego n tej powierzchni, orz powierzchni z f(x, y)? sum i cłk Riemnn V k f( x k, x k ) d f(x, y) k mx { k} 0 grnic nie zleży od sposobu podziłu obszru grnic nie zleży od punktów, w których liczone s wrtości f(x, y)

11 . łki podwójne cłki iterowne b y (x) d x (y) d f(x, y) dy f(x, y) dy f(x, y) y (x) c x (y) element powierzchni: wsp. krtezjńskie d dy, inne zmienne d? zmin zmiennych dy f(x, y) du dv J(u, v) f (x(u, v), y(u, v)) D(x, y) (u, v) J(u, v) D(u, v) u (u, v) u (u, v) v (u, v) jkobin v np. przy zminie współrzędnych krtezjńskich n biegunowe x r cos ϕ, y r sin ϕ, J r, d rdϕ dr..3 Ukłdy współrzędnych krtezjńskie: x, y, z, J, d dy, dv dydz biegunowe x r cos(ϕ) y r sin(ϕ) J r d J drdϕ cylindryczne x r cos(ϕ) y r sin(ϕ) z z J r dv J drdϕdz sferyczne x r sin(θ) cos(ϕ) y r sin(θ) sin(ϕ) z r cos(θ) J r sin(θ) dv J drdϕdθ.4 łki potrójne b y (x) z (x, y) dv f(x, y, z) dy dz f(x, y, z) V y (x) z (x, y) dy dz f(x, y, z) du dv dw J(u, v, w) f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) V V (u, v, w) D(x, y, z) J(u, v, w) D(u, v, w) u (u, v, w) u z(u, v, w) u jkobin dl zminy współrzędnych (u, v, w) v (u, v, w) v z(u, v, w) v (u, v, w) w (u, v, w) w z(u, v, w) w krtezjńskie cylindryczne J r x r cos ϕ, y sin ϕ, z z krtezjńskie sferyczne J r sin θ x r sin θ cos ϕ, y r sin θ sin ϕ, z r cos θ 3. łki krzywoliniowe i powierzchniowe 3. łk krzywoliniow nieskierown (I rodzju) f( x i, ỹ i ) l i i i f( x i, ỹ i ) l i dl f(x, y) łk po krzywej łcz cej punkty A i B, nie zleży od kierunku wędrówki po tej krzywej, jest nieskierown. Ten sm rezultt otrzymuje się dl cłki po krzywej AB i po krzywej BA : dl f(x, y) dl f(x, y) dl f(x, y), dl element dªugo±ci krzywej AB BA 3. łk krzywoliniow nieskierown (I rodzju) x dy s, y [ s ( l x + y ) + Jeśli krzyw jest sprmetryzown przez s w tki sposób, że poruszjc się od A do B prmetr rośnie od s A do s B, to: s B ((s) ) ( ) dy(s) dl f(x, y) + f (x(s), y(s)) s A Dl przestrzeni 3-wymirowej: s B ((s) ) ( dy(s) dl f(x, y, z) + s A ) + ( dz(s) ( ) ] dy s ) f (x(s), y(s), z(s)) 3.3 łk krzywoliniow skierown (II rodzju) - łk po krzywej łcz cej punkty A i B, zleży od kierunku wędrówki po tej krzywej, jest skierown. Dl cłki po krzywej otrzymuje się przeciwny znk niż dl cłki po krzywej AB : f(x, y) + g(x, y)dy f(x, y) + g(x, y)dy AB BA f(x, y) + g(x, y)dy dl F (x, y), F (x, y) (f(x, y), g(x, y)) pole wektorowe dl (, dy) BA Jeśli krzyw jest sprmetryzown przez s w kierunku wędrówki po krzywej AB tk, że s A s s B, to: AB s B [ ] f(x, y)+g(x, y)dy s A f(x(s), y(s)) (s) + g(x(s), y(s)) dy(s) 3.4 łk krzywoliniow skierown (II rodzju) - łk skierown nie zleży od drogi cłkowni, jeżeli wyrżenie podcłkowe jest różniczk zupełn pewnej funkcji Φ(x, y): AB dφ(x, y) f(x, y) + g(x, y)dy f(x, y) + g(x, y)dy dφ(x, y) Φ(x B, y B ) Φ(x A, y A ) AB f(x, y) + g(x, y)dy dφ(x, y) 0 łk po krzywej zmkniętej z różniczki zupełnej jest równ zeru. Wrunek zupełności wyrżeni podcłkowego to: g(x, y) 3.5 łk krzywoliniow skierown (II rodzju) - 3 s B Dl przestrzeni 3-wymirowej: f(x, y, z) + g(x, y, z)dy + h(x, y, z)dz dl F (x, y, z) AB [ f(x(s), y(s), z(s)) (s) ] +g(x(s), y(s), z(s))dy(s) +h(x(s), y(s), z(s))dz(s) s A dl F (x, y, z) (f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)) i dl (, dy, dz). Wrunek zupełności wyrżeni podcłkowego: g(x, y), g(x, y) z h(x, y), h(x, y) z

12 3.6 łk powierzchniow niezorientown (I rodzju) łk funkcji z f(x, y) po płcie powierzchni opisnej funkcj z ϕ(x, y) określon n dziedzinie D, czyli {(x, y, z); (x, y) D; z ϕ(x, y)} f( x i, ỹ i, z i ) i f( x i, ỹ i, z i ) i d f(x, y, z) i i ϕ(x, y) z x x ϕ, x x, z y ϕ, y y AB ( x, 0, z x ), AD (0, y, z y ) AB AD ( zx y, z y x, x y) + (ϕ, x ) + (ϕ, y ) x y ( ) ( ) ϕ(x, y) ϕ(x, y) d f(x, y, z) dy + + f(x, y, ϕ(x, y)) D 4. Anliz wektorow 4.3 Wzory różniczkowo-cłkowe wzór Green ( ) g(x, y) f(x, y) + g(x, y)dy dy jest krzyw zmknięt n płszczyźnie XY ogrniczjc powierzchnię twierdzenie tokes dl A (x, y, z)) d rot A(x, y, z) jest krzyw zmknięt w przestrzeni trójwymirowej, dowoln powierzchni rozpięt n tej krzywej twierdzenie Guss-Ostrogrkiego d A(x, y, z)) dv div A(x, y, z) V jest powierzchni zmknięt w przestrzeni trójwymirowej, V zwrt wewntrz niej objętości 3.7 łk powierzchniow zorientown (II rodzju) - pole wektorowe F (x, y, z) (f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)) płt powierzchni zorientownej opisnej funkcj z ϕ(x, y) określon n dziedzinie D, czyli {(x, y, z); (x, y) D; z ϕ(x, y)} dopełnienie elementu powierzchni ( x, y, z ) ( y z, z x, x y) d (d x, d y, d z ) (dydz, dz, dy) (f( x i, ỹ i, z i ) i x + g( x i, ỹ i, z i ) y i + h( x i, ỹ i, z i ) i z ) i f(x, y, z)dy dz + g(x, y, z)dz + h(x, y, z) dy d F (x, y, z) np. jeśli F (x, y, z) styczny do płtu, to cłk znik 4. Różniczk zupełn, grdient Różniczk zupełn funkcji 3 zmiennych Φ(x, y, z) (pol sklrnego) Φ(x, y, z) Φ(x, y, z) dφ dφ(x, y, z) + dy + ( Φ(x, y, z) Φ(x, y, z) Φ(x, y, z),, z (,, z ) (, dy, dz) Φ(x, y, z) dz z ) Φ(x, y, z) (, dy, dz) Φ(x, y, z) dr - opertor różniczkowy nbl, m włsności wektor Φ(x, y, z) grdφ(x, y, z) grdient pol sklrnego Φ(x, y, z) powierzchni ekwisklrn Φ(x, y, z) const dφ 0 Φ(x, y, z) dr 0 Φ(x, y, z) dr mksymln wrtość iloczynu sklrnego: Φ(x, y, z) dr grdient jest prostopdły do powierzchni ekwisklrnej i wyzncz kierunek njwiększej zminy pol (njszybszego spdku) 3.8 łk powierzchniow zorientown (II rodzju) - Jeśli z ϕ(x, y), to np. f(x, y, z)dy dz f(x, y, ϕ(x, y))j(x, y) dy, J d F (x, y, z) D [ ϕ(x, y) f(x, y, ϕ(x, y)) D(y, z) D(x, y) ϕ ] ϕ(x, y) g(x, y, ϕ(x, y)) + h(x, y, ϕ(x, y)) dy zmin cłki powierzchniowej zorientownej n zwykł cłkę podwójn łk d F (x, y, z) to strumień pol wektorowego F (x, y, z) przez powierzchnię zorientown. 4. Dywergencj i rotcj pole wektorowe A (x, y, z) dywergencj A (x, y, z) A x(x, y, z) div A(x, y, z) 0 pole bezźródłowe rotcj + A y(x, y, z) + A z(x, y, z) div A(x, y, z) z ê x ê y ê z A(x, y, z) rot A(x, y, z) z A x A y A z rot A (x, y, z) pole bezwirowe + + z lplsjn