PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

Transkrypt

1 PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os, gdy elemetare pola d dążą do zera, tz.: M x = M y = y d x d (7.1) Rys Pukt, którego położee jest określoe za pomocą promea wektora r, azywamy środkem masy układu (środkem cężkośc). Jeśl zae jest położee środka cężkośc fgury płaskej, to wtedy momety statycze moża określć wprost: M x = y, M y = x, (7.) gdze: pole fgury płaskej, x, y współrzęde jej środka cężkośc w przyjętym układze os x, y.

2 Współrzęde x, y mogą być dodate lub ujeme. Wobec tego momety statycze mogą przyjmować dodate lub ujeme wartośc. Dla każdej os przechodzącej przez środek cężkośc (tzw. os cężkośc) współrzęde są rówe zeru. Wyka stąd wosek, że momety statycze oblczae względem os cężkośc są rówe zeru. Do oblczea mometu statyczego fgury złożoej, której środka cężkośc e potrafmy wyzaczyć w sposób bezpośred, zmusze jesteśmy podzelć tę fgurę a fgury elemetare (o zaym położeu środków cężkośc) wtedy momet statyczy całej fgury względem daej os będze rówy sume mometów poszczególych elemetów względem tej os: M x = 1 y 1 + y + + y = 1 y M y = 1 x 1 + x + + x = Współrzęde środka cężkośc fgury płaskej moża wyzaczyć z (7.): 1 x (7.3) x = M y y = M x Dla fgur złożoych otrzymamy z przekształcea wzoru (7.3): (7.4) x = 1, 1 x y = 1 y 1. (7.5) Rówaa (7.5) pozwalają wyzaczyć współrzęde środka cężkośc fgury płaskej, gdy zae są pola powerzch współrzęde środków cężkośc poszczególych fgur. Przy wyzaczau środków cężkośc pomoce są pewe twerdzea, a maowce: - środek cężkośc układu płaskego leży w płaszczyźe tego układu, - środek cężkośc l prostej leży a tej l, - środek cężkośc dwóch puktów materalych leży a prostej łączącej te pukty dzel odległość obu puktów a odck o długoścach odwrote proporcjoalych do ch mas, - środek cężkośc układu mającego środek symetr leży w tym środku,

3 - jeżel układ ma oś symetr, środek cężkośc leży a ej, - jeżel układ ma dwe lub węcej os symetr, środek cężkośc leży a przecęcu sę tych os, - rzut środka cężkośc fgury płaskej a dowolą płaszczyzę jest środkem cężkośc rzutu tej fgury a daą płaszczyzę. Momet statyczy fgury płaskej względem dowolego puktu O jest sumą wektorową mometów statyczych poszczególych elemetów układu względem O. Momet statyczy dowolej fgury płaskej względem dowolej prostej L rówa sę wektorowej sume mometów statyczych poszczególych fgur elemetarych względem tej prostej L. Wykają stąd pewe własośc środka cężkośc, których zajomość ułatwa rozwązywae szeregu zagadeń, a maowce: - jeśl momet statyczy dowolej fgury płaskej względem pewego puktu jest rówy zeru, to pukt te jest środkem cężkośc. Podobe możemy powedzeć, że jeśl momet statyczy fgury płaskej względem pewej prostej jest rówy zeru, to wtedy ta prosta przechodz przez środek cężkośc, - jeśl fgura płaska posada oś symetr, to momet statyczy fgury względem tej os jest rówy zeru, - jeśl fgurę płaską podzelmy a elemety o polach powerzch 1,,... o zaych środkach cężkośc, to środek cężkośc całej fgury płaskej jest rówocześe środkem cężkośc poszczególych fgur ( 1,,... ) względem ch środków. Momety bezwładośc dewacj (zboczea) fgury płaskej Oprócz mometów statyczych, które są mometam stopa perwszego, steją momety stopa drugego, którym są momety bezwładośc oraz momety dewacj (zboczea). Mają oe szczególe zaczee w wytrzymałośc materałów. Osowym mometem bezwładośc fgury płaskej względem dowolej os leżącej w płaszczyźe fgury (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy, dla całej powerzch fgury płaskej, loczyów elemetarych pól d przez kwadrat ch odległośc od daej os, gdy elemetare pola dążą do zera, tz.: J x = y d

4 J y = x d (7.6) Momety te są zawsze dodate moża je traktować jako swego rodzaju marę rozproszea przekroju wokół daej os: m bardzej pole fgury płaskej jest skupoe wokół os, tym momet bezwładośc względem ej jest mejszy. Beguowym mometem bezwładośc fgury płaskej azywamy gracę algebraczej sumy, dla całej powerzch fgury płaskej, loczyów elemetarych pól d przez kwadrat odległośc od początku układu współrzędych (rys. 7.1), gdy elemetare pola dążą do zera. Wykorzystując zwązek geometryczy występujący mędzy współrzędym (x, y) a odległoścą beguową r (rys. 7.1), beguowy momet bezwładośc możemy określć jako sumę osowych mometów bezwładośc, gdyż: r = x + y J 0 = r d = (x + y ) d = J x + J y (7.7) Momet te jest swego rodzaju marą rozproszea pola fgury płaskej wokół początku układu współrzędych. Z podaych zależośc wyka: - momet bezwładośc względem os jest rówy sume mometów bezwładośc względem dwóch płaszczyz wzajeme prostopadłych, przecających sę wzdłuż tej os, - beguowy momet bezwładośc J 0 jest rówy sume mometów bezwładośc względem dwu wzajeme prostopadłych os, przecających sę w pukce O (dla układu płaskego). Marą mometu bezwładośc jest [m 4 ]. Mometem dewacj (zboczea) fgury płaskej o powerzch azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych powerzch d 0 przez ch współrzęde x y. umowae to odbywa sę po całej powerzch fgury płaskej, tz.: J xy = xy d (7.8) Momet dewacj J xy daej fgury płaskej rówa sę zeru, jeśl choć jeda z os, względem których został wyzaczoy, jest osą symetr rozpatrywaej fgury. J xy może przyjmować wartośc dodate, ujeme lub zero. Mędzy mometam bezwładośc względem układów os rówoległych, z których jede jest układem os środkowych: x, y (rys. 7.), zachodzą astępujące zwązk (tzw. wzory teera):

5 J x = J x + a, J y = J y + b, (7.9) J xy = J xy + a b, gdze: a, b współrzęde środka cężkośc w układze xy (rys. 7.), x, y ose przechodzące przez środek cężkośc fgury płaskej, x, y ose rówoległe do x, y. Twerdzee teera, które zostało zapsae za pomocą wzorów (7.9) wyraża sę astępująco: Rys. 7.. Momet bezwładośc względem dowolej os x, rówoległej do os x, przechodzącej przez środek cężkośc fgury płaskej, jest rówy mometow bezwładośc tej fgury względem os x, powększoy o loczy pola powerzch kwadrat odległośc pomędzy osam. Z twerdzea teera wyka, że momety bezwładośc względem os przechodzących przez środek cężkośc są ajmejsze. Płaszczyzy take lub ose azywa sę płaszczyzam lub osam środkowym.

6 Momet bezwładośc względem płaszczyzy, os lub puktu moża wyrazć jako loczy masy cała przez kwadrat pewej odległośc oszącej azwę promea bezwładośc, ozaczaej przez z odpowedm deksem określającym względem czego jest oblczay momet bezwładośc (p. x ozacza promeń bezwładośc masy względem os x). Ogóle: = I m (7.10) Promeń bezwładośc odpowada odległośc w której ależałoby skupć całą masę, aby momet bezwładośc skupoej masy był rówy mometow bezwładośc całej masy. Pojęca promea bezwładośc e ależy utożsamać z odległoścą środka masy r C, gdyż są to pojęca całkowce róże. Rys Dla układów obrócoych (rys. 7.3) zwązk mędzy mometam przedstawają sę w sposób astępujący: J x' = J x + J y J y' = J x + J y J x'y' = J x - J y + J x - J y - J x - J y cosφ - J xy sφ, cosφ + J xy sφ, (7.10) sφ + J xy cosφ.

7 gdze: φ kąt mędzy układam os obrócoych, merzoy od dodatego keruku os x, odkładay zgode z zasadam stosowaym w trygoometr. Wzory (7.10) wyrażają szukae zależośc mędzy mometam bezwładośc dewacj dla dwóch układów os współrzędych o wspólym początku układu współrzędych. Dodając stroam perwsze dwa rówaa (7.10) łatwo zauważyć zwązek: J x + J y = J x + J y = J 0 = cost. (7.11) Wdzmy, ze suma mometów bezwładośc względem dwu wzajeme prostopadłych os, przecających sę w daym pukce O, e zależy od keruku tych os (od kąta φ) jest rówa beguowemu mometow bezwładośc względem O. Osam główym pola fgury płaskej azywamy układ prostokątych os, względem których momet dewacj daej fgury jest rówy zeru. Ozaczać je będzemy przez 1,. Ose główe, których początek leży w środku cężkośc rozpatrywaej fgury płaskej, azywamy główym cetralym osam bezwładośc. Ose główe są w stosuku do dowole przyjętego układu os x, y (rys. 7.4) obrócoe o kąt φ tak, że: tgφ = - J xy J x - J y (7.1) Otrzymujemy dwa perwastk φ oi oraz φ oii w przedzale (0; π). W celu rozstrzygęca, która oś jest osą maksymalą mometu bezwładośc a która mmalą, moża skorzystać z poższych wzorów. Różczkując otrzymujemy: d d J 4 x1 J xy o1 s oi d d J 4 J x1 xy s oii oii (7.13) Ze wzorów (7.13) wdać, że oś 1 maksymalego mometu bezwładośc tworzy z osą x kąt ostry przy momece J xy < 0, zaś kąt rozwarty przy momece J xy > 0. Osowe momety bezwładośc wyzaczoe względem os główych, tzw. główe momety bezwładośc, mają wartośc ekstremale: momet względem jedej z ch jest maksymaly który ozaczamy go przez J 1, drug mmaly ozaczamy go przez J. Wartośc tych mometów wyzacza sę z astępujących wzorów: J 1 = J max = J x + J y + ( J x - J y ) + J xy,

8 gdze: J = J m = J x + J y - ( J x - J y ) + J xy, (7.14) J x, J y, J xy momety bezwładośc oraz dewacj względem dowole przyjętego układu os współrzędych x, y układu o takm samym początku jak szukay układ os główych (rys. 7.4). Rys Wzory (7.1) (7.14) pozwalają wyzaczyć główe ose główe momety bezwładośc, jeżel zamy momety bezwładośc momet dewacj względem dowolych os x, y.