Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja

Transkrypt

1 Szereg czasowe, modele DL ADL, rzyczyowość, egracja Szereg czasowy, o cąg realzacj zmeej losowej, owedzmy y, w kolejych okresach czasu: { y } T, co rówoważe możemy zasać: = 1 y = { y1, y,..., y T }. Najogólej rzecz borąc, modele dla szeregów czasowych, o modele, w kórych zmeą objaśaą (oraz eweuale zmee objaśające) obserwujemy w usaloych odsęach czasu, w usaloym rzedzale czasowym. Jeśl obserwacje warośc zmeych zberae są co roku, o owemy, że racujemy a daych roczych, jeśl zberae są co ół roku, o są o dae ółrocze, gdy zberae są co kwarał dae kwarale, co mesąc dae mesęcze, ak dalej aż dochodzmy w ej klasyfkacj do daych bardzo wysokej częsolwośc, charakerysyczych dla ryków fasowych, gdze orafą oe być zberae w bardzo ewelkch odsęach czasowych. Najrosszy model szeregu czasowego możemy zasać jako: y = α β x ε gdze a zmeą y wływa sała (α ) oraz zmea objaśająca x. Proszę zwrócć uwagę, że dae są deksowae czasem każda zmea ma subskry, kóry ozacza umer okresu, z kórego ochodz obserwacja. W rzyadku aszego rzykładu, reakcja zmeej y a zmay zmeej x są aychmasowe, gdyż jedoskowy wzros zmeej x w okrese owoduje zmaę zmeej y o welkość β w ym samym okrese. Przykładowo mamy dae kwarale doyczące odaży eądza dla Kaady za okres : Prosy model, jak możemy a ych daych zbudować, o model wyjaśający realą odaż eądza w okrese za omocą soy roceowej, PKB oraz flacj z ym samym okrese. Wyglądałby o w asęujący sosób: m = α β kb γ R γ f ε A oo jego oszacowaa: Jedak zakładamy w ym modelu, że badae welkośc makroekoomcze reagują a zmaę ych welkośc makroekoomczych w sosób aychmasowy (z. w ym samym okrese), zaś zmay w orzedch okresach e mają w ym rzyadku wływu (roces bez amęc ). Z drugej sroy wemy, że e zawsze 1

2 jes o rawda, a awe bardzo częso e jes. W rocesach makroekoomczych orzeby jes okres dososowań do zma, węc o w szczególośc zmay welkośc makroekoomczych z orzedch okresów będą kszałowały zjawska w okresach rzyszłych. Modele DL (o rozłożoych oóźeach - Dsrbued Lags models) Modele DL zakładają, że a zmeą objaśaą mają wływ e ylko obece warośc zmeej/zmeych objaśających, ale róweż ch warośc rzeszłe. Dla rzyadku jedej zmeej objaśającej, model DL moża zasać jako: y = α β x β x β x β x ε, rzy czy rzy akej osac modelu zakładamy, że a zmeą objaśaą y będze wływała zmea objaśająca x oraz jej oóźeń (ajczęścej zakłada sę, że jes skończoe). Możemy e model rzesać rówozacze jako: y = α β x ε. Najważejsze owody wrowadzaa oóźeń zmeych do model o: Reakcja zmeych makroekoomczych (. PKB, ozom bezroboca) a decyzje olycze zawsze cechuje sę ewym oóźeem w czase. Częso rzedmoem aalz ekoomczych jes długość oóźea omędzy wrowadzeem zma w olyce moearej a ch wływem a ake zmee jak welkość rodukcj czy ozom wesycj. Obece decyzje ekoomcze oerają sę w dużej merze a ych odjęych w rzeszłośc. Na rzykład, obeca syuacja a ryku mooryzacyjym w dużej merze jes zdeermowaa rzez ozom ce bezyy samochodów z orzedch okresów. Oczekwaa odośe welkośc ekoomczych ajczęścej owsają w wyku agregacj owych formacj oraz dośwadczeń z rzeszłośc. Forma zasu model DL ozwala a założee, że zmea y e reaguje a zmay zmeej x jedye z ego samego okresu (a węc w sosób aychmasowy), ale że orócz ego yu zma, a jej welkość mają róweż zmay x srzed jedego, dwóch, aż do okresów. W ym sese możemy swerdzć, że ak zbudoway model ma amęć, co jes założeem dużo blższym realom makroekoomczym. Dzęk modelom DL możemy odsearować klka różych form wływu zmeej objaśającej a zmeą objaśaą. Jeśl eresuje as aychmasowa reakcja y a zmaę x, o owśmy wyzaczyć zw. możk bezośred (mac muller). Naychmasowy wływ zmeej x a zmeą y jes, oczywśce rówy aramerow sojącemu rzy zmeej x z okresu ego samego, co y, a węc rzy x. Możk bezośred jes węc rówy oszacowau arameru β. Możk skumuloway (średookresowy), mów am o reakcj zmeej objaśaej y a rwałą zmaę zmeej objaśającej x w τ kolejych okresach. Możk e rzyjmuje osać: τ βτ = β, gdze τ. Rozważay jes róweż możk długookresowy (log-ru muller), kóry wychwyuje wływ rwałych zma wszyskch rzeszłych warośc x, łącze z waroścą obecą. Aby wyzaczyć e możk, korzysamy ze wzoru: β = β. Wyzaczyć możemy róweż średe oóźee reakcj y a zmay x. Wyzaczae jes oe ze wzoru: w = β β Jeśl w modelu jes węcej ż jeda zmea objaśająca, możk lczoe są aalogcze, osobo dla każdej zmeej. Szukae oymalej warośc W modelach DL zakłada sę dla ogólego rzyadku, że a zmeą objaśaą y wływa zmea objaśająca x (lub zmee objaśające) z ego samego oraz jej oóźeń (lub ch oóźeń).

3 Prawdłowa warość deermuje lość zmeych umeszczoych w modelu. Jedak jak możemy sę dowedzeć jaka jes owa rawdłowa warość? Na ewo e owśmy zaczyać od modelu sayczego, czyl zakładającego, że a y wływają jedye warośc zmeych objaśających z ego samego okresu (aychmasowe dososowaa), a oem dodawać koleje oóźea zmeych objaśających, esując ch soość. Zdarzyć sę bowem może, że rocedurę rzerwemy e zajdując rawdzwej welkośc asze ' <, co sowoduje, że w modelu będze mej zmeych, ż w m być owo. Jes o zay już roblem zmeych omęych, kórego kosekwecją są obcążoe esymaory. Sosuje sę węc odejśce zaczyające aalzę roblemu od drugej sroy. Zakładamy odowedo dużą warość (wedy w modelu jes odowedo dużo zmeych objaśających) szacując model, esujemy (esem a łączą soość odzboru regresorów), czy aramery sojące rzy zmeych rerezeujących ajwyższe oóźea są łącze rówe zero (zmee e są wedy łącze esoe), czy są łącze od zera róże (zmee łącze soe). Jeżel zmee są łącze esoe, o możemy usuąć je z modelu oszacować model beż ch, esując z kole w m łączą soość ajbardzej oóźoych zmeych objaśających. Procedurę ę koyuujemy, aż do swerdzea, że es e ozwala a wykluczee kóregoś z oóźeń zmeych objaśających, co określa am welkość. Począkowe wybrae odowedo dużej welkośc zależe jes od charakeru daych (. jeśl są o dae kwarale, o dobrze by było zacząć od co ajmej czwarych oóźeń) oraz od orzeby zachowaa jak ajwększej lośc so swobody. Poeważ w ym sosobe osęowaa zaczyamy od możlwe ajbardzej rozbudowaego modelu od modelu ogólego, a kończymy a jego rzyadku szczególym, modelowae ake azwemy od ogólego do szczególego (geeral o secfc). Iym sosobam wybraa welkośc (ż es a łączą soość ajwyższych oóźeń) jes orówywae kokurujących ze sobą model za omocą skorygowaego wsółczyka deermacj 1 e e k ( R = 1 (1 R ) ) oraz kryerów formacyjych Akake ( AIC = l( ) ) lub Schwarza k e e k l( ) ( BIC = l( ) ). Rzecz jasa, referoway model będze mał wyższy skorygoway wsółczyk deermacj oraz jak ajższe warośc kryerów formacyjych. Wróćmy do aszego rzykładu modelu odaży eądza. Oszacowalśmy już jego sayczą osać, jedak wosk z aszych doychczasowych rozważań e ozwalają zby oymsycze odchodzć do sayczych model makroekoomczych. Prawe a ewo owśmy do modelu dodać oóźea zmeych objaśających, węc rawe a ewo sayczej osac modelu wysęuje roblem zmeych omęych. Model e szacoway jes a daych kwaralych, zasade wydaje sę węc wrowadzee do modelu 4-ych oóźeń zmeych objaśających w rzyadku soy roceowej PKB. Ne wrowadzmy oóźoej flacj, z uwag a aurę ej zmeej, jak a o, że raclbyśmy dodakowe soe swobody. Po alkacj meodolog od ogólego do szczegółowego, w celu zalezea oymalej welkośc, orzymujemy model: m α β kb β kb δ R δ R γ ε = f Oszacowae ego modelu są asęujące: 3

4 Wszyske zmee (łącze ze sałą, ale z wyłączeem flacj) są w modelu soe, zaś wsółczyk deermacj jes bardzo wysok. Polecee: Oblcz możk bezośrede, długookresowe oraz średe oóźee reakcj odaży eądza a zmay PKB oraz soy roceowej. Czy w aszym rzyadku jes ses wyzaczać możk średookresowe? Odowedź uzasadj. Gdybyśmy e arzyl a ozosałe saysyk, o model wydaje sę być rzyzwoy. Jedak warość saysyk Durba-Wasoa wskazuje a wysęowae auokorelacj składka losowego I rzędu: Przerowadzając es Breuscha-Godfreya a auokorelację rzędu 4, gdze hoezą zerową jes brak ej auokorelacj, orzymujemy: Wygląda węc a o, że auokorelacja rzędu czwarego róweż wysęuje. Wysęowae auokorelacj w modelach dyamczych moża erreować jako błąd secyfkacj modelu. Wysęowae auokorelacj wskazuje bowem w ym rzyadku a o, że w modelu e udało sę w eł osać dyamczego charakeru zmeej zależej. Problem e częso rozwązuje sę orzez dodae do modelu oóźoe warośc zmeej zależej. Modele ADL ( auoregresyje modele o rozłożoych oóźeach - Auoregressve Dsrbued Lags models) Modele ADL orócz oóźeń zmeych ezależych wśród zmeych objaśających, mają wśród ch róweż oóźea zmeej objaśaej. Uzasadeem saysyczym wrowadzaa do modelu oóźeń zmeej objaśaej wśród zmeych objaśających są ewąlwe lesze własośc saysycze ego modelu częso rzejawające sę w usuęcu z ego auokorelacj, co dzeje sę rzy sosukowo ewelkm koszce olegającym a orzebe oszacowaa jedye klku węcej aramerów. Uzasadeem ekoomczym jes zacza ercja zjawsk makroekoomczych. Ogóla osać modelu ADL o -oóźeach zmeej zależej r-oóźeach zmeej/zmeych objaśających jes asęująca: y = α γ y β x ε j j 1 j= r Rówowaga długookresowa Jes o syuacja, kedy warość oczekwaa zmeej objaśaej e zmea sę w czase, jeśl w czase e zmeają sę róweż warośc zmeej objaśaej (zmeych objaśających). Mamy węc: y* = E( y ) = E( y ) =... = E( y ) 1 x* = x = x 1 =... x s Dla rówowag długookresowej, model ADL moża zasać jako: (1 γ γ... γ ) y* = α x * β x * β... x * β, albo: 1 1 y* = α * x * β, α β β1... βs gdze α* =, β = 1 γ γ... γ 1 γ γ... γ 1 1 s W rzyadku wysęowaa w modelu oóźeń zmeych objaśających e da sę urzymać założea, że zmee objaśające są elosowe (losowe y wymusza losowość jego oóźeń, a e z kole są jedym z 4

5 regresorów). W rzyadku losowych zmeych ezależych dowedzee zgodośc esymaora uzyskaego MNK jes możlwe ylko wedy, gdy zmee ezależe e są skorelowae z zaburzeem losowym. Waruek e będze sełoy jeśl w modelu ADL e będze wysęowała auokorelacja czyka losowego. O le wzór a możk bezośrede jes w modelach ADL ak sam, jak w modelach DL, o zme sę wzór β β β1... β a możk długookresowy. Wzór e rzyjme osać: β = =. r 1 γ1 γ... γ r 1 γ Śred czas reakcj zmeej objaśaej lczoy jes ze wzorów rekurecyjych, zby czasochłoych byśmy sę m zajmowal. 1 Kolejy rzykład, kórym sę osłużymy jes rzykładem szeroko zaym szeroko wykorzysywaym w rezeacj zasosowań ak ułomośc ekórych odejść modelowych, jak sosobów radzea sobe z m, ale dla jes rzede wszyskm rezeacją możlwośc mlemeacj model ADL. Mamy kwarale dae doyczące rozorządzalego dochodu meszkańców Kaady oraz dae doyczące wysokośc ch kosumcj: Chcemy oszacować model kosumcj. Oo wyjścowy model ADL dla aszego rzyadku: kosum = α γ kosum γ kosum γ kosum γ kosum β dochod β dochod β dochod β dochod β dochod ε Przerowadzoy w rzyadku ego modelu wybór oymalego oóźea (za omocą meodolog od ogólego do szczegółowego ), sugeruje szacowae asęjącej osac modelu: kosum = α γ1kosum 1 γ kosum β dochod β 1 dochod 1 β dochod ε A oo oszacowae: 5

6 Wyk esu B-G e ozwala odrzucć hoezy zerowej o braku auokorelacj 1-go 4-go rzędu. Sadardowego esu DW e owo sę używać, bo saysyka DW wyrowadzoa zosała rzy założeu o elosowośc regresorów. Polecee: Ile wyos możk bezośred oraz długookresowy w osaeczej wersj modelu? Dodak: Tes a łączą soość odzboru regresorów / Tes omęych zmeych Załóżmy, że mamy dwa kokurecyje modele: y = β β x β x β x ε = X β ε (1) k k y = β β x β x... β x α z α z... α z ε = X β Z α ε () k k 1 1 m m Modele e są bardzo do sebe odobe, z ymże w modelu (1) a y wływa (k-1) zmeych objaśających zawarych w macerzy X, zaś w modelu (), a ę samą zmeą wływają zowu zmee z macerzy X, ale róweż wływa a ą m zmeych z macerzy Z. Model () azwemy modelem bez ograczeń/bez resrykcj (modelem ogólym), zaś model (1) modelem z ograczeam/resrykcjam (modelem szczególym), jako, że a aramery zmeych z macerzy Z ałożylśmy ograczea, że są oe rówe zero, węc zmeych ych w ym modelu e ma, bo są esoe. Jeśl chcelbyśmy szacować model (1), musmy rzerowadzć es a łączą soość zmeych zawarych w macerzy Z (kóre są odzborem regresorów modelu ()). Jeśl es e ozwol odrzucć hoezy zerowej, kórą jes H : α =, o regresory z macerzy Z moża omąć, czyl orawy jes model (1). Przyjęce hoezy aleraywej ( H : 1 α ) wskazuje a orawość modelu (). Rozróżee, kóry z model jes orawy jes o yle waże, że gdy szacujemy model (1), a orawy jes model () (roblem zmeych omęych), o esymaory są obcążoe. Gdy syuacja jes odwroa szacujemy model () gdy orawy jes model (1) (roblem zmeych esoych), o esymaory są eefekywe, ale ozosają eobcążoe. Oczywśce roblem zmeych omęych (obcążoość esymaorów) ese ze sobą dużo bardzej egaywe kosekwecje dla oszacowań aramerów modelu ż roblem zmeych esoych (esymaory mej efekywe), jedakże obydwa rzyadk są eożądae w czase esymacj owśmy sę ch wysrzegać. Tes rzerowadzamy w asęujący sosób: - szacujemy model bez ograczeń () oblczamy jego wsółczyk deermacj, azywając go R. - szacujemy model z ograczeam (1) oblczamy jego wsółczyk deermacj, azywając go R. ( R ) / R R J - wyzaczamy saysykę esową: F = ~ F( J, ( k m)), gdze J ozacza lość (1 R ) /( ( k m)) resrykcj ałożoych a model (1) (a węc lość zmeych z macerzy Z lość zmeych, kóre chcemy omąć), jes loścą obserwacj, a (km) loścą zmeych objaśających modelu bez ograczeń (). Zając rozkład saysyk esowej, możemy odczyać z ablc warość kryyczą jeśl F > F kr, o rzyjmujemy hoezę aleraywą o rawdzwośc modelu (). Wyk esu częso wygodej jes odczyać z -Value (częso odawaego rzez akey ekoomerycze), kóre mów am o rawdoodobeńswe oełea błędu rzy odrzuceu rawdzwej hoezy zerowej. R 6

7 Oeraor różcowy oóźea. Oeraor oóźea defujemy w asęujący sosób: Lx =. 1 Podsawowe własośc oeraora x ( ), oóźea: La = a jeśl a ozacza sałą; L Lx = L x = x w ogólośc q q q L x = x, L ( L x ) = L x = x ; ( L L ) x = x x. Przyjmujemy, że L x = 1 x = x. Oeraor q q różcowy defujemy jako: x. = x x 1 Oczywśce zachodz: x = (1 L) x. Oba wymeoe owyżej oeraory są ścśle ze sobą owązae. Na rzykład: x = (1 L) x = (1 L L ) x = x x 1 x = ( x x 1) ( x 1 x ) = x x 1. Model o rozłożoych oóźeach możemy zasać rzy użycu oeraora oóźea: gdze = 1 1 = = = = y α β x β x... β x ε α β x ε α β L x ε α B ( L ) x ε, B( L) = β β L... B L. 1 7