SŁAWOMIR WIAK (redakcja)

Transkrypt

1

2 SŁAWOIR WIAK (redkcj Akdemck Ofcy Wydwcz EXIT

3 Recezec: Prof. Juz Turowk Polechk Łódzk Prof. Ew Nperlk Juzczk Uvery lle Nord de Frce, SEE, UA, Frcj Auorzy rozdzłów: Prof. Por Olczyk (rozdz., Prof. Edwrd Jezerk (rozdz. 3 Dr hb. ż. Zbgew Gmyrek (rozdz. 4 Dr hb. ż. Ryzrd Szczerbowk, prof. PŁ (rozdz. 5 Dr ż. Grzegorz Tok (rozdz. 6 Prof. Zbgew k (rozdz. 6 Dr hb. ż. Jcek Gołębowk, prof. PŁ (rozdz. 7 Dr hb. ż. Krzyzof Pcholk, prof. PŁ (rozdz. 8, 9 Prof. Krzyzof Goek (rozdz. Dr hb. ż. Iwo Frydrych, prof. PŁ (rozdz. Dr hb. Iż Ryzrd Koryck, prof. PŁ (rozdz. Dr ż. Grży Sobczewk (rozdz. Dr hb. r Dem, prof. PŁ (rozdz. 3, 5 Prof. Słwomr Wk (rozdz. 3, 4, 5, 6, 7 Dr ż. Wojcech Rok (rozdz. 3, 5 Dr ż. Pweł Drzymł (rozdz. 4, 6, 7 Dr ż. Heryk Welfle (rozdz. 4, 6, 7 Dr ż. Ryzrd o (rozdz. 8 Dr ż. rek J Glb (rozdz. 9 oogrf przygoow w rmch projeku "Iowcyj dydkyk bez ogrczeń - zegrowy rozwój Polechk Łódzkej - zrządze Uczelą, owocze ofer edukcyj wzmc zdolośc do zrud, kże oób epełoprwych", wpółfowego przez Uę Europejką w rmch europejkego Fuduzu Społeczego - Progrmu Opercyjego Kpł udzk "Prorye IV, poddzłe 4... Wzmocee poecjłu dydky-czego uczel". Uwór w cłośc we frgmech e może być powely rozpowzechy z pomocą urządzeń elekroczych, mechczych, kopujących, grywjących ych, w ym róweż e może być umezczy rozpowzechy w poc cyfrowej zrówo w Ierece, jk w ecch loklych bez pemej zgody podcz prw uorkch. ISBN Copyrgh by EXIT, Polechk Łódzk Łódź

4 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Por Olczyk. Alz dymk ukłdów elekromechczych W ejzym rozdzle pode zoą elemey lzy dymk ukłdów fzyczych. Główy ck położoy zoe zw. ukłdy lowe, cjore cągłe [3],[4],[5] dykree [6],[8],[9]. Zdecydow wękzość zjwk czy obeków fzyczych je op rówm różczkowym cjorym zmeej cągłej, kórą je cz. Dlego ejzy rozdzł doyczy lzy kch ukłdów. Łwość relzcj ukłdów erow obekm cągłym powoduje jedk, że obece przewgę uzykują lgorymy erow dykree w cze, dlego obok rozwżń doyczących ukłdów cągłych omówoe zoą róweż ukłdy dykree w cze. Pokze zoe podobeńwo opu obu ypów ukłdów.. Pojęce ukłdu dymczego W ym podrozdzle pode zoą defcje podwowych pojęć wyępujących w lze yemów dymczych [9]. Podwowym pojęcem je ygł, czyl zme w cze, kór przeo lub zwer w obe pewe rodzj formcj. Iformcję ę moż dorczyć, przeworzyć lub zobrzowć. Przykłdm ygłów mogą być pęc prądy w urządzech elekryczych, ły lub momey mechcze, cśe orz przepływy w urządzech lub zjwkch peumyczych hydrulczych. Sygły dzelmy : Sygły wejścowe ą o ygły śwdome kzłowe dorcze z zewąrz do różego rodzju urządzeń (przyłożoe pęce określoego kzłu do obwodu elekryczego, ł mechcz o określoej wrośc dzłjąc w pewym okree czu, Sygły wyjścowe ą o ygły będące rekcjm urządzeń (odpowedzm, rezulm ygły wejścowe (prądy w obwodze 3

5 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH elekryczym wywołe przyłożoym pęcem ygłem wejścowym, położee my wywołe dzłem ły zewęrzej ygłu wejścowego, Sygły zkłócjące ą o ygły zewęrze (emjące zwązku z ygłm wejścowym oddzływujące urządze w poób ekorolowy, wpływjące ygły wyjścowe (momey obcąże dzłjące ukłd elekromechczy, emperur zewęrz, wlgoość, Sygły określjące ukłdu (zmee u ą o ygły określjące ukłdu (pęc pozczególych elemech obwodu elekryczego, przypeze m ukłdu mechczego. Defcj. (yemu Zbór elemeów fzyczych połączoych ze obą w poób umożlwjący ch wzjeme oddzływe w cze wrz z ygłm zewęrzym: wejścowym zkłócem orz wewęrzym: wyjścowym ygłm u zywmy yemem (ukłdem, obekem. Jeśl rzeczywy ukłd dymczy ygły w m wyępujące ope ą z pomocą fukcj czu zwązym ze obą rówm różczkowym, o yem (ukłd, obek, eleme reprezeowy je przez model memyczy. Obece w lze dymk wykorzyuje ę głowe modele dymcze zwerjące róże ypy rówń. Wymeć u leży rów różczkowe różcowe, zwyczje cząkowe, lowe elowe, cjore ecjore. Tworzee modelu memyczego zywe je deyfkcją ukłdu dymczego [],[7]. Choć zdecydow wękzość rzeczywych obeków dymczych je elow we ecjor o z powodów opych dlej, dl jwękze zczee mją modele lowe. Dlego rozdzł e koceruje ę lze ukłdów lowych. Defcj. (oocze yemu Ooczeem yemu je zbór elemeów chrkeryzujący ę ępującym włścwoścm: zmy elemeów oocze wpływją ukłd dymczy, zmy ygłów wyjścowych ukłdu dymczego wpływją ooczee. W bdch zchowń yemu dymczego wykorzyuje ę ymbole grfcze zmezczoe w bel. 4

6 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Tb... Elemey oowe w chemch blokowych. ( ( ( 3 Symbol ( ( k ( _ ( ( _ ( ( Ukłd dymczy ( y( Op ymbolu Sygł (.(zwro rzłk wkzuje keruek przepływu ygłu Węzeł rozgłęźy (ylko jede ygł wejścowy wele ygłów wyjścowych o ych mych wroścch Sumor (wele ygłów wejścowych dodwych lub odejmowych ylko jede ygł wyjścowy y( k [ ± ( ] Blok reprezecj grfcz elemeu lub yemu dymczego lowego lub elowego, o jedym wejścu wyjścu lub o welu wejścch /lub wyjścch Dw blok reprezeujące proe, lecz fudmele, ukłdy dymcze ą zczególe wże: blok cłkujący orz opóźe jedokowego. Blok wrz z opem pode ą w bel. Tb... Ozczee elemeu cłkującego opóźe jedokowego Symbol Nzw op ymbolu Blok cłkujący Blok opóźe jedokowego 5

7 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH W bel. ymbole, ozczją powzeche ze wzjeme odwroe operory różczkow cłkow,, rówowże do wymeoych poprzedo, operory różcow umow. Ogóle wzyke opercje odozą ę do wekorów, orz ozczją wekory wruków począkowych. Wzjeme relcje pomędzy yemem dymczym, jego ooczeem ygłm pokze ą ryuku.. ZAKŁÓCENIA WEJŚCIA UKŁAD DYNAICZNY WYJŚCIA OTOCZENIE UKŁADU STAN UKŁADU Ry... Schem blokowy ukłdu dymczego wrz z ooczeem Defcj.3 Ukłd opy lowym, cjorym rówem różczkowym (różcowym zyw ę lowym, cjorym ukłdem cągłym (dykreym. Defcj.4 Ukłd opy elowym, cjorym rówem różczkowym (różcowym zyw ę elowym, cjorym ukłdem cągłym (dykreym. Defcj.5 Ukłd opy rówem różczkowym cząkowym (cjorym lub ecjorym, lowym lub elowym, cągłym lub dykreym zyw ę ukłdem o prmerch rozłożoych. Defcj.6 Ukłd o wękzej ż jede lczbe wejść lub wyjść zyw ę ukłdem o welu wejścch wyjścch. 6

8 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH. eryzcj rówń dymk ukłdu Rozwż ę ukłd (proce, obek, yem dymczy elowy, cjory opy rówem różczkowym, (zwym w dlzym cągu rówem u &( f [ (, u( ] (. orz elowym rówu lgebrczym (zwym dlej rówem wyjśc gdze wekory y ( g[ (, u( ] (. ( ( y( ( ( ( (, ( y y, ( ( ym ( ( u u u (.3 u ( r ą odpowedo: wymrowym wekorem u, m wymrowym wekorem wyjść r wymrowym wekorem wejść f [ (,, (,u (,,u r ( ] f [ (, u( ] [ ( ( ( (] [ ( (] f,,,u,,u r [ ( (] f, u f, u (.4 [ ( ( ( (] [ ( (] [ ( ( ( (] f,,,u,,u r f, u f,,,u,,u r [ (, u(,] [ (, u(,] [ (,, (,u (,,ur ( ] [ (,, (,u (,,u ( ] g g [ ( ( ] g g r g, u, (.5 g [ (, (,] g [ (,, (,u (,,u ( ] m u m r Schem blokowy ukłdu, kłdjący ę z dwóch bloków, dymczego (lewego yczego (prwego przedwoy zoł ryuku.. 7

9 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH u ( ( f [ (, u( ] g[ (, u( ] y ( Ry... Schem blokowy elowego, cjorego ukłdu dymczego. Zoe erz króko omówoe pojęce zmeej u (, wyępującej w wekorze u (.3 zwrym w modelu memyczym ukłdu dymczego. Częo ygłm zmeych u ukłdu ą po prou welkośc fzycze ke jk łduk, prądy, pęc czy dukcje mgeycze w ukłdch elekryczych, położe, prędkośc przypeze w ukłdch mechczych. Ne je o jedk koecze. Zmeym u mogą być róweż kombcje lowe lub elowe wymeoych wyżej welkośc fzyczych. Tworzy ę w e poób owe zmee, ewyępując fzycze w ukłdze, lecz wprowdzee ch uzdoe je uprozczeem poc modelu memyczego ukłdu dymczego. Z uprozczee modelu poprzez zdefowe fkcyjych zmeych u ukłdu płc ę jedk częo ch wękzym rudoścm pomrowym. Czm ke zmee ą emerzle. Dowole określee zmeych u je dużą zleą opu określoego wzorm (. orz (.. Pożej pod je defcj u ukłdu dymczego. Defcj.7 (u ukłdu dymczego Wekor u ukłdu dymczego ( określoy w chwl czu worzy jmejlczy zbór ygłów (zmeych u ukłdu (,, ( porzeby wrz z wekorem ygłów wejścowych u ( określoym dl >, do pełego określe wekor u ( dl przyzłych chwl czu. S ukłdu dymczego określoy w chwl, zyw ę em począkowym peł rolę pmęc ukłdu. Ozcz o, że przezłe zchow ukłdu (czyl dl < ą zpmęe w jego e począkowym (. Z pojęcem wekor u zwąze je zw. rząd ukłdu., czyl ( Defcj.8 (rzędu ukłdu dymczego czb zmeych u porzeb do pełego opu dymk ukłdu zyw je rzędem ukłdu. 8

10 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Rząd ukłdu ozcz ę zzwyczj przez je rzędem rów różczkowego opującego dymkę ukłdu. Rząd ukłdu, w wękzośc przypdków, rów ę lczbe elemeów zdolych gromdzć eergę. I k w ukłdch elekryczych rów ę lczbe kodeorów cewek dukcyjych, w ukłdch mechczych lczbe m pręży. Nleży jedk zzczyć, że w pewych przypdkch zw. ukłdów eoberwowlych, oe werdzee e je prwdą. Przyjmuje ę erz, że ygłem wejścowym je ygł ły u co. Jeśl po doecze długm cze ukłd oąge ły pozom ygłów zmeych u wyjśc, y co, o mówmy, że ukłd oągął uloy prcy (puk rówowg. Wrośc, y co oblcz ę z rówń f, u ] (.6 [ y f, ] (.7 [ u Dopuzcz ę erz młą zmę (perurbcję ygłu wejścowego. Ozcz o, że ygłem wejścowym je ygł opy wzorem u( u δu( (.8 gdze δ u( ozcz młe zmee odchylee (dode lub ujeme od wrośc uloej u. Nowy ygł wejścowy powoduje wywoł ową odpowedź ukłdów reprezeową przez owe przebeg wekorów ygłów wyjścowych u ukłdu, kóre ozcz ę ępująco ( δ(, y( y δy( (.9 gdze δ (, y( δ ą odpowedo młym zmm odpowedz u wokół puku prcy uloej. oż przyjąć, że młe zmy wekor ygłu wejścowego wywołły młe zmy wekorów ygłów wyjścowych u. Nleży zuwżyć, że [ δ( ] d[ δ( ] d δ& ( d d (. Wedy podwe rówośc (. orzymuje ę ( f [ δ(, u δu( ] δ & (. Rozwęce fukcj f (prwej roy powyżzego rów w zereg Tylor wokół puków rówowg, y co orz pomęce 9

11 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH kłdków zwązych z wyżzym rzędm pochodych prowdz do rówń ( u b ( ( j r j j j j j δ δ δ & dl,,, (. gdze u u u ( ( j j ] (, ( [ f, u u u ( ( j j u ] (, ( [ f b (.3 Rów e mogą być przedwoe w poc jedego rów wekorowo-mcerzowego ( ( ( u B A δ δ δ & (.4 gdze r r r b b b, B A (.5 Podobe poępowe z rówem (. dje ( ( ( u D C y δ δ δ (.6 gdze mr m m r r m m m d d d d d d d d d, c c c c c c c c c D C (.7 orz ( ( ( u D C y δ δ δ (.8 u u u ( ( j j ] (, ( [ g c, u u u ( ( j j u ] (, ( [ g d (.9

12 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Nleży zuwżyć, że w wękzośc rzeczywych ukłdów dymczych mcerz. Wekory u,, y co pełją oczywśce rów (. (. Dode do ebe rówń (.4 (. orz (.8 (., przy uwzględeu wzorów (.8 orz (.9, pozwl oecze określć zleryzowy model memyczy ukłdu (. &( A( Bu( (. y ( C( Du( (.3 Omówoe zoą erz drobe różce doyczące leryzcj elowego ukłdu dykreego. Dykrey ukłd elowy opują rów (( k T [ ( kt, u( kt ] f (.4 y kt g[ ( kt, u( kt ] (.5 ( w kórych wekory,, orz fukcje, określoe ą wzorm (.3 (.5 dl, gdze je łym okreem dykreyzcj chwl czowych,,,,. Nleży zuwżyć, że pochod wekor we wzorze (.3 ząpo zoł przeuęym w przeuęym wekorem u (wekorem u określoym dl ępej chwl czowej. Przyblżoy model lowy określ ę przy ych mych złożech jk w przypdku ukłdu cągłego. Jedy różc wyępuje przy określeu puku u uloego. Tym rzem wekor u uloego wyzcz ę z rów f, ] (.6 [ u Dlze poępowe je logcze. Wzory opujące ukłd zleryzowy mją poć (( k T Aδ( kt Bδu( kt δ (.7 δ y kt Cδ( kt Dδu( kt (.8 ( gdze odpowede mcerze określją wzory (.5 orz (.7. Dl u uloego pełoe ą rów (.9

13 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH (.3 Odpowede dode dwóch powyżzych rówń do rówń (.4 (. dje oeczą poć rówń zleryzowych ukłdu dykreego (( k T A( kt Bu( kt (.3 y kt C( kt Du( kt (.3 (.3 Rówowże poc opu dymk ukłdu fzyczego W podrozdzle ym przedwoe zoły króko rówowże poc opu ukłdu lowego. Pody zoe op z pomocą mcerzy rmcj, op z pomocą rówń u orz op z pomocą mcerzy welomowych. Zoe wykze, że op ukłdów cągłych jk dykreych je brdzo podoby do lzy dymk ych ukłdów moż wykorzyć e m pr memyczy. Odo ę o w zczególośc poc mcerzy rmcj operorowych odpowedo zmeych orz z, rówń u orz zw. relzcj czyl poc mcerzy A,B,C,D. Jedyym erówoległym zgdeem je określee opu ukłdu dykreego powłego z połącze częśc dykreej cągłej..3. cerz rmcj Rozpruje ę ukłd lowy, cjory o jedym wejścu jedym wyjścu (SISO opy rówem różczkowym poc d y( d y( dy( d d d m d u( du( bm b b u( m d d y( (.33 ( Przyjmuje ę erz zerowe wruk począkowe y(,y( &,,y ( (lczb wruków począkowych mu być rów rzędow rów różczkowego oblcz jedoroą rformę plce obu ro rów (.

14 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Y( Y( Y( Y( m b U( b U( b U( m (.34 gdze, ozczją odpowedo rformę plce ygłu wejścowego wyjścowego. Powyżze rówe przekzłc ę do poc G( Y( b m m U( b b (.35 W poób logczy poępuje ę w przypdku ukłdów dykreych opych lowym, cjorym rówem różcowym y [( k T ] y[ ( k T ] y[ ( k T ] y( kt b m u [( k m T ] b u[ ( k T ] b u( kt (.36 Oblczee jedoroego przekzłce obu ro rów (.3 przy zerowych wrukch począkowych, w kórym przyjmuje ę ozcze, prowdz, po elemerych przekzłcech do wzoru G( z Y( z b m m U ( z z z z z b z (.37 Defcj.9 (rmcj operorowej Souek rformy plce (rformy ygłu wyjścowego do wejścowego, przy zerowych wrukch począkowych, zyw ę rmcją operorową (rmcją dykreą. Trmcj operorow (rmcj dykre ukłdu relzowlego fzycze je ścśle włścwą ( > m (rzdzej włścwą m fukcją wymerą zmeej (z o rzeczywych wpółczykch. Trmcje ewłścwe opują ukłdy erelzowle fzycze dlego e ą przedmoem lzy. Przy złożeu zerowych wruków począkowych rmcje ą ezleże od ygłu wejścowego. Trmcje chrkeryzują włścwośc dymcze ukłdów. Defcj. (welomu chrkeryyczego Welom mowk rmcj (. orz (.4 zyw ę welomem chrkeryyczym. (.38 3

15 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH (.39 Defcj. (rów chrkeryyczego Rówe ( zyw ę rówem chrkeryyczym. Defcj. (beguów rmcj Zer welomu chrkeryyczego (.5 orz (.6 zyw ę begum rmcj (begum ukłdu. Z lgebry wdomo, że zerm welomu o wpółczykch rzeczywych ą zwze dowole lczby rzeczywe, bądź pry lczb zepoloych przężoych pojedycze lub welokroe. Beguy ukłdu zwerją formcję doyczącą włścwośc dymczych ukłdu. Defcj.3 (beguów rmcj Zer welomu lczk rmcj (. orz (.4 zyw ę zerm rmcj (zerm ukłdu. Rozwż ę erz ukłd o r wejścch m wyjścch. Schem blokowy ukłdu pokzy zoł ryuku.3. Alz chemu blokowego pozwl określć rówe wekorowo mcerzowe lub Y ( G( Y( G( Ym ( Gm( G ( G G m ( ( G r( U ( G r( U ( Gmr( U r( (.4 y ( G( u( (.4 cerz G ( o wymrch m r o elemech będących fukcjm wymerym włścwym lub ścśle włścwym zmeej zyw ę mcerzą rmcj. Ząpee zmeej zepoloej zmeą z dje mcerz rmcj ukłdu dykreego, czyl zwązek y ( z G( z u( z. 4

16 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH G ( G ( ( G r U ( ( U Y ( U r ( G ( G ( ( G r Y ( G m ( G m ( ( G mr Ry..3. Schem blokowy ukłdu o welu wejścch welu wyjścch Y m ( 5

17 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH.3. Op w przerze u Rozwż ę erz lowy model ukłdu dymczego opy rówm (. (.3 orz (.3 (.3. Aby rozróżć ob opy, czm do mcerzy A, B, C, D dodwy będze dek C odozący ę do ukłdu cągłego lub D doyczący ukłdu dykreego. Defcj.4 Czery mcerze,,, ze wzorów (. (.3 lub,,, ze wzorów (.3 (.3 cłkowce określją włścwośc dymcze ukłdu. Tke czery mcerze zgodych wymrów zyw ę relzcją w przerze u ukłdu dymczego. Schem blokowy pokzy zoł ryuku.4 u ( A, B, C, D y ( { C C C C } ( Ry..4. Relzcj lowego ukłdu cągłego W relzcj mcerz o wymrch ( je rzędem ukłdu dymczego zyw ę mcerzą u zwer wże formcje o włścwoścch dymczych ukłdu, mcerz o wymrch (r je lczbą wejść zyw ę mcerzą wejśc, mcerz o wymrch (m je lczbą wyjść zyw ę mcerzą wyjśc mcerz o wymrch zyw ę mcerzą przejśc (rzycj. Dokłdy chem blokowy relzujący rów (. (.3 pokzy zoł ryuku.5 ( u( & ( B ( y( C C C A C D C 6 Ry..5. Schem blokowy lowego ukłdu cągłego

18 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Nleży podkreślć, że perwze rówe (. przedw lewy umor powyżzym ryuku, podcz gdy prwy umor relzuje rówe (.3. Rozwż ę erz model memyczy dykreego ukłdu lowego, cjorego opego rówm (.3 (.3. Schemy blokowe relzcj, zwy mcerzy ą podobe. Jedyą różcą je ząpee elemeu cłkującego (bel. elemeem umującym (opóźeem jedokowym, co pokze zoło ryuku.6 ( k T [ ( k T ] ( kt u ( kt y( kt B D C D A D [ ( k T ] A D ( kt B D u( kt y( kt C ( kt D u( kt D D D D Ry..6. Schem blokowy lowego ukłdu dykreego.3.3 Op z pomocą mcerzy welomowych Rozwż ę lowy, cjory ukłd o r wejścch m wyjścch opy rówm [] D ( p ξ ( Nl ( p u( y ( N r ( p ξ ( K ( p u( (.4 (.43 w kórych: - częścowy wekor u o wymrch,, - wekory ygłów wejścowych wyjścowych o wymrch orz, p operor różczkow (,,,, - mcerze welomowe zmeej p odpowedo o wymrch,,,. Zkłd ę, że mcerz je mcerzą eooblwą, orz degde (.44 7

19 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Dl lowych ukłdów dykreych op z pomocą mcerzy welomowych m poć (.45 (.46 przy czym p ozcz operor przeuęc wprzód fukcj dykreej (, pozołe ozcze ą ke me jk w przypdku ukłdu cągłego. Wże je róweż złożee ( Przykłd Dy je lowy, cjory obwód elekryczy, o dwóch ezleżych wejścch (źródłch pęcowych orz. Prąd w cewce dukcyjej rkowy je jko ygł wyjścowy. Schem obwodu pokzy zoł ryuku.7. Nleży określć rówowże opy okłdu. Ry..7. Schem lowego, cjorego obwodu elekryczego o dwóch wejścch jedym wyjścu. N podwe klyczych prw elekroechk orz zjomośc rukury obwodu worzy ę zbór rówń opujących pozczególe elemey orz rozpływ prądów pdk pęć. Rów pode zoły w bel.3 Do pożzych rówń leży dodć rówe wyjśc (.47 Aby oblczyć mcerz rmcj rozwżego elekryczego ukłdu dymczego leży oblczyć rformy plce wzykch rówń. 8

20 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Tb..3. Rów opujące obwód elekryczy Nr Rówe Komerz Prwo Krchhoff dl pęć Prwo Krchhoff dl pęć 3 Prwo Krchhoff dl pęć 4 Prwo Krchhoff dl prądów 5 Prwo Krchhoff dl prądów 6 Prwo Ohm 7 Prwo Ohm 8 9 Rówe różczkowe opujące zwązek pomędzy pęcem prądem w kodeorze Rówe różczkowe opujące zwązek pomędzy pęcem prądem w kodeorze Rówe różczkowe opujące zwązek pomędzy pęcem prądem w cewce dukcyjej Wyk pody je w bel.4 gdze rformę odpowedego ygłu ozcz ę dużą lerą. Nleży zuwżyć, że z rówń lgebrczych różczkowych orzymuje ę ylko rów lgebrcze. Tb..4 Trformy plce rówń opujących obwód elekryczy Nr Trform plce Nr Trform plce Do powyżzych rform (jko jedee rówe dod zoł rform plce rów (.3. Rów z bel.4 przekzłc ę k, by wyelmowć zmee,,,,,,,, pozowć zmee,,. Proe przekzłce prowdzą do zwązku 9

21 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH gdze,. (.48 Rówość (.3 przedw ę w poc wekorowo-mcerzowej, (.49 gdze (.5 cerz rmcj ukłdu dymczego m zem poć (.5 Określ ę erz op obwodu elekryczego z pomocą rówń u. Jko zmee u przyjmuje ę: pęc kodeorch orz prąd w cewce dukcyjej (jedocześe ygł wyjścowy (.5 Podwee powyżzych zleżośc do rówń z bel.3, po elemerych przekzłcech uzykuje ę (.53 (.54

22 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Dje o ępującą relzcję ukłdu dymczego,,,,,, (.55 Z rówń podych w bel.3 określ ę róweż op z pomocą mcerzy welomowych (.56 czyl, (.57 (.58, ( Wybre zwązk pomędzy opm ukłdu lowego W ejzym prgrfe określoe zoą wybre zwązk pomędzy rzem formm opu ukłdu dymczego. Pode zoą wzory pozwljące oblczyć mcerz rmcj podwe dych rówń u orz mcerzy welomowych. Je o zde proe, poewż rozwąze je jedozcze czyl eje ylko jed mcerz rmcj. Zleżośc odwroe ą eco brdzej komplkowe, gdyż dl dej mcerzy rmcj eje ekończee wele relzcj (opów z pomocą rówń u mcerzy welomowych.

23 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH.3.4. Określe mcerzy rmcj podwe rówń u Określoy zoe erz wzór pozwljący oblczyć mcerz rmcj podwe dych rówń u ukłdu lowego, cjorego. Wzór je prwe deyczy dl ukłdów cągłych dykreych. Jedyą różcę ową w m zmee z odpowedo dl ukłdów cągłych dykreych. Rozwż ę ukłd opy rówm u (. (.3. Przyjmuje ę zerowe wruk począkowe ( do obu ro obu rówń ouje ę jedoroą rformcję plce, przy czym ozcz ę,, orzymuje ę X( Y( A X( C C C X( B U( C C D U( (.6 Elemere przekzłce rówń mcerzowych prowdzą do zwązku y ( [ CC( AC BC DC ] u( (.6 Porówe powyżzej zleżośc ze wzorem (.4 pozwl werdzć, że G ( C B D C ( AC C C (.6 cerz ozcz mcerz jedokową o wymrch. Alogcze poępowe w przypdku ukłdu dykreego opego rówm (.3 (.3, przy zoowu jedoroego przekzłce zerowych wrukch począkowych określ zwązek pomędzy opem w przerze u dykreą mcerzą rmcj G ( z C B D C ( zac C C ( Określe mcerzy rmcj podwe opu z pomocą mcerzy welomowych Oblczee rformy plce obu ro rówń (.4 (.43 gdze przy zerowych wrukch począkowych dje D ( Ξ ( Nl( u( (.64 y ( Nr ( p Ξ( K( p u( (.65 Podwee przekzłcoego perwzego rów od drugego określ rmcję mcerzową ukłdu

24 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH [ D( ] N ( K( G ( N r ( l Alogcze poępowe dl ukłdu dykreego dje [ D( z ] N ( z K( z (.66 G ( z N r ( z l (.67 Nleży dmeć, że w wękzośc ukłdów rzeczywych Określee rówń u dl dej rmcj Zoło już wpome, że określee opu w przerze u dl dej mcerzy rmcj je zdem rudejzym gdyż op je ejedozczy. Dy ukłd fzyczy opy je jedą ylko jedą mcerzą rmcj ekończee welom relzcjm czyl opm z pomocą rówń u. Rozwż ogrczją ę ylko do ukłdów o jedym wejścu jedym wyjścu. Poępowe je deycze dl ukłdów cągłych dykreych. Jedyą różcą w chemch blokowych relzcj je wykorzye elemeów cłkujących w przypdku ukłdów cągłych elemeów umujących w przypdku ukłdów dykreych. Relzcje zwąze ą z różym pocm ej mej rmcj operorowej (fukcj wymerej zmeej lub z. Nekóre relzcje mją poć zczególą dlego zywe ą relzcjm koczym (ogóle przyjęym, obowązującym. N wępe pody zoe ogóly zwązek pomędzy wzykm relzcjm ej mej rmcj [3],[4],[5],[6]. Berze ę pod uwgę dw róże opy w przerze u ego mego ukłdu o wekorze wejść, (.68 (.69 Wekory u (o ych mych wymrch zwąze ą zleżoścą (.7 w kórej mcerz rformcj T je mcerzą eooblwą. Wedy (.7 orz, (.7 3

25 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH 4, (.73 Kżd eooblw mcerz o wymrch może być mcerzą przekzłce. Ieją jedk ke mcerze przekzłce, dl kórych relzcje,,, mją zczególe poc. Tke relzcje zyw ę relzcjm koczym. Nleży zuwżyć, że de de (.74 Określ ę erz op w przerze u dl dej rmcj. Nleży zuwżyć, że rmcje moż zpć w czerech rówowżych pocch b b b U( Y( ( G m m (.75 e e G( (.76 m m m p p z b G( (.77 ( r k k k k p f G( (.78 We wzykch relzcjch mcerz przejśc wyo, poewż w ukłdch rzeczywych. Trmcj (.75 rówowż je zw. koczej relzcj regulorowej poc ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( O & & & & & (.79 [ ] ( b b b b b ( y 3 (.8 Wyjśc elemeów cłkujących ą zmeym u. Schem blokowy relzcj pody zoł ryuku.8

26 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH 5 Ry..8. Schem blokowy ukłdu o rmcj (.75. Rówe z perwzego werz rów wekorowo - mcerzowego (.79, j. (.8 relzują elemey umujące zjdujące ę po lewej roe ryuku. Pozołe rów opują wejśc kolejych elemeów umujących. Rówe (.8 relzują umory z prwej roy ryuku. Rówowżą poć rmcj (.75 określoą wzorem (.76 oblcz ę dzelć welom lczk przez welom mowk. Wyrczy oblczyć ylko perwzych wpółczyków (wpółczyk e zyw ę wpółczykm rkow. Relzcj m poć,, 3 B A (.8 T T e e e e C (.83

27 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH zyw ę relzcją koczą erowlą. Schem blokowy relzujący rów u z mcerzm (.8 orz (.83 pokzy zoł ryuku.9 Ry..9. Schem blokowy ukłdu o rmcj (.76. W ej relzcj wejśc elemeów cłkujących relzują koleje werze wekorowo mcerzowego rów u. Ich wejścm ą pochode kolejych zmeych u, wyjścm me zmee. N ryuku e zzczoo wruków począkowych zmeych u wprowdzych do rów przez elemey cłkujące. Sumory zjdujące ę po prwej roe ryuku relzują rówe wyjśc. Trzecą wżą relzcją je relzcj zeregow. Trmcję (.75 przew ę w poc loczyu dwóch ypów proych podukłdów. Zerowy podukłd je opy rmcją (.84 Nępych m podukłdów opych je rmcją (.85 dl,,, ch podobe chemy blokowe pokzuje ryuek. 6

28 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Ry... Schem blokowy ukłdów o rmcj (.85. Drug yp opy je rmcjm prozym (.86 dl,,, o chemce blokowym pokzym ryuku. Ry... Schem blokowy ukłdu o rmcj (.86. Trmcje (.85 - (.86 opują rów podukłd (.87 podukłdy,,,, (.88 podukłdy,,, (.89 (.9 Odpowede przekzłce rówń (.87 (.9 prowdz do relzcj,,, 7

29 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH gdze (.9 (.9 (.93 ozcz mcerz zerową o wymrch,,, (.94 (.95 Omówo zoe o relzcj zw relzcją rówoległą op pocą (.78. Zpując ją w poc G( r j ( G j (.96 gdze G ( j j f j [ G ( ] j (.97 G ( j (.98 p j Schem blokowy relzcj pokzy je ryukch.,b,c 8

30 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Ry... Schem blokowy ukłdów o rmcj (.96. Ry...b Schem blokowy ukłdów o rmcj (.97. Ry...c Schem blokowy ukłdów o rmcj (.98. Jko zmee u przyjmuje ę ym rzem wyjśc elemeów cłkujących. Wedy wekor u m poć,,,,, (.99 cerz u je mcerzą blokową dgolą 9

31 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH,, (.,,,, (. cerze, orz mją odpowedo wymry, orz. N zkończee leży dodć, że relzcje rmcj dykreych je logcze. Wyrczy ząpć elemey cłkujące umorm odpowede fukcje cągłe fukcjm dykreym mcerze ą deycze..3.5 Op połącze ukłdu dykreego cągłego Do wejśc ukłdu cągłego opego rmcją dołącz ę erz dw człoy. Perwzy zwy je mpulorem delym przewrzjącym ygł cągły cąg dykreych mpulów Drc o wroścch proporcjolych do wrośc ygłu wejścowego pojwjących ę w kolejych chwlch dl,,,. Sły okre czu zyw ę okreem mpulow. Drug czło zwy je ekrpolorem zerowego rzędu (człoem formującym. Przewrz o ygł cąg mpulów prookąych o łym cze rw. (łej zerokośc mpulu. Połączee pokze je ryuku.3 U ( T U ˆ ( H ( U ( G ( Y ( Ry..3. Schem blokowy ukłdu cągłego z mpulorem delym ekrpolorem zerowego rzędu. Jedą z welu możlwych relzcj mpulor delego wrz z ekrpolorem zerowego rzędu pokzuje ryuek.4. N pokzym ukłdze oprócz wymeoych ygłów,, wyępuje dodkowy 3

32 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH ygł wejścowy. Sygł e ee formcje o okree mpulow orz zerokośc mpulu. u c( u ( FET u $( _ u ( C Ry..4. Relzcj mpulor delego wrz z ekrpolorem zerowego rzędu. Wyępujące w ukłdze przedwoym ryuku.4 ygły pokze zoły ryukch.5,b,c,d 3 3 u( - - ^u(, u( k Ry..5. Sygł k Ry..5.b Sygł. τ. T.5 3 u c ( u -- ( k Ry..5.c Sygł k Ry..5.d Sygł Njczęścej przyjmuje ę. Wedy ygł m poć pokzą ryuku.6 3

33 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH 3 u -- ( Ry..6. Sygł dl. W km przypdku relcje opujące uworzoy ukłd dymczy mją poć (. k (.3 (.4 W prkyce, w celu oblcze dykreej rmcj wykorzyuje ę wzór: (.5 rmcję dykreą określją rformy ygłów orz. Procedurę luruje ryuek.7. Ry..7. Oblcze rmcj dykreej ukłdu z ryuku. dl. 3

34 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Pode zoą erz wzoru pozwljące określć op w przerze u (. orz (.3 ukłdu pokzego ryuku.3 gdze obek opy e je rmcją lecz jej dowolą relzcją,,,, ukłdu o welu wejścch welu wyjścch. Schem blokowy pokzy zoł ryuku.8,,,,,,,, Ry..8. Oblcze relzcj dykreej ukłdu z ryuku. dl. Zwązk mędzy relzcjm,,,, orz,,,, opują wzory A AD e CT T A e C, BD BCd (.6 T τ W przypdku zczególym, lecz powzechym, kedy przyber poć τ T wzór (.6 A D e ACT, B D T e AC Dlej, dl częego przypdku kedy dea C A B C d ACT ACT D e, BD AC ( e B C (.7 (.8.4 Chrkeryyk czowe częolwoścowe ukłdu dymczego Tk jk w podrozdzłch poprzedch, wykze zoe duże podobeńwo poępow przy oblczu odpowedz czowych częolwoścowych. W przypdku ukłdu cągłego wymge je oowe odwroej rformcj plce, podcz gdy w oblczech 33

35 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH 34 odpowedz ukłdu dykreego ouje ę odwroą rformcję. W obu przypdkch ukłd muzą chrkeryzowć zerowe wruk począkowe. W przypdku odpowedz ukłdu opego rówm u rukur odpowedch wzorów ą brdzo podobe. Różcę ow cłk um orz róże poce zw. mcerzy rzycyjej. Uwzględć moż ezerowe wruk począkowe..4. Odpowedz czowe ukłdu opego mcerzą rmcj Rozwż ę ukłd opy rówem (.4, przy czym, (.9 Nleży przypomeć, że defując mcerz rmcj złożoo zerowe wruk począkowe. Ozcz o, że korzyjąc z ego opu moż oblczyć ylko odpowedz ukłdu wymuze zewęrze ( e ezerowe wruk począkowe. Zoowe odwroej rformcj plce do obu ro rów (.4, przy uwzględeu (.9 dje ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U G U G U G U G U G U G U G U G U G y y y r mr m m r r r r m (. Włścwośc przekzłce plce pozwlją pć ( ( ( ( ( ( ( ( ( r m r r p U G U G U G y y y (. Alogczą poć m odpowedź ukłdu dykreego opego zwązkem

36 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH y y y ( kt ( kt p ( kt Z Z Z r r r G G G m ( z U ( z ( z U ( z ( ( z U z (..4. Chrkeryyk czowe ukłdu opego rówm u Rozwż ę erz lowy model ukłdu dymczego opy rówm (. (.3. Zkłd ę, że zy je wekor ygłów wejścowych dl czu orz wekor u począkowego ukłdu. Przy kch złożech rozwąze rów (. m poć C dτ AC ( AC ( τ ( e ( e B u( τ (.3 Wekor ygłów wyjścowych rów ę y C C C τ AC ( AC ( τ ( C e ( C e B u( τ d D u( C (.4 Defcj.5 Dl dowolej mcerzy u C e A o wymrch A C o wymrch zyw ę mcerzą rzycyją., eooblw mcerz Ieje wele meod oblcz mcerzy rzycyjej. Jed z ch bzuje odwroej rformce plce mcerzy chrkeryyczej (.5 Zkłd ę erz, że, (, D C, ukłd je ukłdem o jedym wejścu jedym wyjścu oblcz odpowedź ygł wejścowy opy mpulem Drc. Odpowedź ozcz ę przez. Ze wzorów (.3 (.4 orzymuje ę 35

37 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH g AC ( τ AC AC ( CCe BCδ ( τ dτ CCe BC δ ( CCe BC (.6 Gdze ymbol * ozcz opercję plou. Uwzględjąc powyżzy rezul odpowedź rozwżego ukłdu dowoly ygł wejścowy m poć y AC ( τ AC ( C e B u( τ dτ C e B u( g( u( C C C C (.7 Dl lowego ukłdu dykreego rozwąze rów u (.3 dl dych wruków począkowych wymuze określoego dl czu m poć k k kk k ( ( kt A k T A B u( T D D D (.8 Sąd orzymuje ę k kk k ( kt C A ( k T C A B u( T D u( kt y D D k D D D D (.9 Defcj.6 Dl dowolej mcerzy u A D o wymrch, eooblw mcerz k Φ( k A o wymrch zyw ę dykreą mcerzą rzycyją. D Alogcze do ukłdu cągłego, dl k, (, D D odpowedź ukłdu o jedym wejścu jedym wyjścu dykrey mpul Drc u( kt δ ( kt orzymuje ę ze wzoru (.9 g k k k k ( kt y( kt CDAD( CDA D BD ( T CDAD BD δ (. Powyżzą odpowedź zyw ę odpowedzą mpulową ukłdu dykreego. oż ją wykorzyć do oblcze odpowedz ukłdu dowoly ygł u( kt y k k ( kt A B u( T g( kt u( T C (. D D D Alogcze do ukłdów cągłych, mcerz rzycyją oblcz ę jko odwroą rformę mcerzy chrkeryyczej ukłdu dykreego (. 36

38 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH.4.3 Chrkeryyk częolwoścowe Jedym z wżejzych ygłów w lze ukłdów dymczych je ygł opy fukcją cou. Przeprowdz ę ępujący ekperyme. Do ukłdu dymczego opego rmcją w chwl przykłd ę ygł u( U co( ω (.3 Po doecze długm cze, eoreycze dl uloy. Opuje je rówe y ( [ ω ϕ( ω ] U G( jω co[ ω ϕ( ω ] Y co, odpowedź oąg Ob ygły: wejścowy wyjścowy pokze ą ryuku.9. 3 y( ϕ( ω (.4 u( - U - U G( jω Ry..9. Sygł wejścowy (kolor czry wyjścowy (kolor czerwoy w e uloym z zzczoym chrkeryyczym prmerm Nleży podkreślć, że w ukłdze lowym cjorym ygł wyjścowy chrkeryzuje m pulcj. Wyzczee ouku mpludy ygłu wejścowego do mpludy ygłu wejścowego pozwl werdzć, że Y U U G( jω G( jω U (.5 Określee wrośc ouku mplud dl dych pulcj pozwl ozcowć dymcze włścwośc ukłdu. I k gdy ukłd łum ygł wejścowy, gdy ukłd e zme mpludy, dl przypdku w kórym ukłd prcuje jk wzmccz. Te m ukłd dymczy dl pewych zkreów pulcj może dzłć jk wzmccz, dl ych jko łumk. W wękzośc ukłdów elekromechczych ygły o kch pulcjch ą wzmce, 37

39 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH o wyokch łumoe. Czm wyępują przedzły pulcj w kórych chrkeryyk mpludowe podją ekrem. Tke cechy chrkeryzują ukłdy rezoowe. Drugą welkoścą chrkeryzującą przebeg ygłów z ryuku.9 je przeuęce fzowe. Przyjmując, przeuęce ygłu wejścowego z przeuęce zerowe przeuęce pomędzy ygłem wyjścowym wejścowym wyo Δ Δ ϕ ( ω ϕ( ω (.6 W zdecydowej wękzośc przeuęce m wrość ujemą. Ozcz o, że ygł wyjścowy podąż z ygłem wejścowym. Rzdke przypdk dodej fzy (wyępujące w ukłdch o chrkerze różczkującym ygły wejścowe moż mówć o wyprzedzeu (przewdywu, predykcj ygłu wejścowego. jąc określoe dwe welkośc (ouek mplud przeuęce mędzy ygłm defuje ę lczbę zepoloą G( j jϕ( ω ω G( jω e (.7 W prkyce, określee ej lczby zepoloej poleg podweu do rmcj operorowej jω jϕ( ω G ( jω G( jω e G( jω (.8 Defcj.7 Welkość zepoloą, kórej moduł je oukem mpludy ygłu wyjścowego do wejścowego w u uloym, fzą je przeuęce fzowe pomędzy wymeoym ygłm zyw ę rmcją wdmową ukłdu. Puk określjący rmcję pokzy zoł ryuku. Im { G( jω } Re { G( jω } G( jω ϕ( ω G( jω Ry... Puk określjący rmcję wdmową ukłdu. 38

40 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Dl kżdej pulcj z przedzłu [, ] ω określć moż k puk. Defcj.8 Zbór lczb zepoloych dl pulcj z przedzłu, zyw ę chrkeryyką mpludowo fzową (chrkeryyką Nyqu cągłego ukłdu dymczego czbę zepoloą moż przedwć w różych pocch. Odpowdją m róże chrkeryyk częolwoścowe. Defcj.9 Częśc rzeczyw urojo lczby zepoloej zyw ę odpowedo chrkeryyką częśc rzeczywej urojoej rmcj wdmowej jϕ( ω G( jω G( G( jω e Re jω { G( jω } j Im{ G( jω }. (.9 Defcj. oduł lczby zepoloej zyw ę odpowedo chrkeryyką mpludową ukłdu dymczego [ Re{ G( jω }] [ Im{ G( jω }]. A( ω G( jω (.3 Defcj. Argume lczby zepoloej zyw ę odpowedo chrkeryyką fzową ukłdu dymczego { jω } { G( jω }. Im G( ϕ( ω rcg (.3 Re Defcj. ogrym dzeęy chrkeryyk mpludowej pomożoy przez zyw logrymczą chrkeryyką mpludową ukłdu dymczego ( ω log [ A( ω ]. (.3 Defcj.3 Chrkeryyk fzow zyw logrymczą chrkeryyką fzową ukłdu dymczego ϕ ( ω ϕ( ω. (.33 W obu chrkeryykch logrymczych pulcj ω wyrżo je w kl logrymczej. 39

41 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH W przypdku chrkeryyk częolwoścowych ukłdów dykreych wyępuję peł log. Określee pozczególych chrkeryyk bzuje pomrze mplud ygłu uodlego wyjścowego wejścowego w e uloym orz ch wzjemego przeuęc fzowego. Tk mo jk w przypdku ukłdu cągłego ym rzem ygły wejścowy wyjścowy defuje m pulcj. Sygły pokze zoły ryuku. U jω T U G ( e ϕ( ωt Ry... Dykree ygły wejścowy (kolor czerwoy orz wyjścowy (kolor czry wrz z prmerm je chrkeryzującym. Defcj.4 Dykreą rmcją wdmową (chrkeryyką Nyqu zyw ę cągłą fukcję G( e Re jωt G( z z e jωt G( e jωt jωt jωt { G( e } j Im{ G( e }. e jϕ( e jωt (.34 gdze, je pulcją chrkeryzującą ygł wejścowy, je okreem mpulow. Jk wyk ze wzoru (.34 wrośc chrkeryyk mpludowo fzowej ą lczbm zepoloym. Uwzględjąc róże poce lczb zepoloych welkośc je chrkeryzujące orzymuje ę: część rzeczywą chrkeryyk mpludowo - fzowej P( e jωt jωt jωt jωt Re{G( e } A( e co[ ϕ( e ] (.35 część urojoą chrkeryyk mpludowo - fzowej Q( e jωt jωt jωt jωt Im{G( e } A( e [ ϕ( e ] (.36 częolowoścową chrkeryykę mpludową ukłdu dykreego A( e jωt jωt [ Re{ G( e }] [ Im{ G( e }] jωt jωt G( e (.37 4

42 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH orz częolowoścową chrkeryykę fzową ukłdu dykreego jωt jωt Im{ G( e } ϕ( e rcg Re{ G( e }. jωt (.38 Dl ω jωt G( e G( z G( ω z (.39 Powyżzą wrość zyw ę wzmoceem ygłu łego. mo cłkowej log w defcj chrkeryyk częolwoścowych ukłdu cągłego dykreego je podwow różc w chrkerze fukcj. Częolwoścowe chrkeryyk ukłdu dykreego ą fukcjm okreowym pulcj. Dl dowolego ω G( e jωt G[ co( ωt j ( ωt ] j( ωt π [ ωt πl j ( ωt πl ] G( e l. G co( oż zdefowć ową zmeą, pulcję bezwymrową (.4 (.4 chrkeryykę mpludowo fzową określć dl jedej głęz, dl,. Węcej, chrkeryyk je fukcją ymeryczą względem o rzeczywej jω jω G( e G ( e (.4 jω gdze G ( e ozcz fukcję zepoloą przężoą. Implkuje o orz G( e jωt jωt G( e (.43 ϕ ωt ϕ( ωt (.44 (.5 Sblość ukłdu lowego Rozpruje ę cągły ukłd opy rówm u (. &( f (, (.45 [ ] ( (, W zczególośc rówm lowym &( A(, ( (, (.46 przy złożeu ezerowych wruków począkowych zerowym ygle wymuzjącym dl (ukłd uoomczy. Zkłd ę dw róże wruk począkowe 4

43 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH (, (.47 ( δ Rozwąze rów (.46, zleże od wekor wruków począkowych, ozcz ę przez ( Φ(,, (.48 ( Φ(, δ w zczególośc jko A ( e, (.49 A A ( e e δ Wżą cechą ukłdów je ch zdolość do powrou do wruków rówowg, czyl dążee rozwązń (rjekor do u uloego. Tę cechę chrkeryzuje blość ukłdu. Defcj.5 A Rozwąze (rjekor rów ( e je ble w ee puow jeśl dl kżdego ε > eje η > ke, że dl wzykch A ąedch rozwązń ( e dl kórych wyk pełee erówośc ( ( <η (.5 ( ( < ε (.5 dl wzykch chwl czowych >. Defcj.6 Rozwąze (rjekor rów A ( e je ble ympoycze jeśl eje η > ke, że dl wzykch ąedch rozwązń ( A e dl kórych wyk pełee erówośc ( ( < η, (.5 lm ( (. (.53 Róże rjekore rozwązń lurujących defcje. orz. pokze zoły odpowedo ryukch.,b orz.3. 4

44 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH 5 ( 4 ( η ( ε ε 5 ( 8 6 η ( ε η ( ε ( Ry..., b Rozwąz ble w ee puow ukłdu lowego cągłego (e będące jedk blym ympoycze. b 5 ( η( ε ε ( Ry..3. Rozwąz ble ympoycze ukłdu lowego cągłego. Rozwąz, kóre e ą blym w ee puow zyw ę rozwązm eblym. Chrkeryzują ę oe dążeem wrośc odpowedz do ekończoośc. Roące wrośc rozwązń rówń opujących ukłdy rzeczywe ozczją roące wrośc rzeczywych ygłów w ukłdch elekromechczych ke jk prądy, pęc, prędkośc przypeze. oże o doprowdzć do uzkodze ukłdu, dlego ukłdy eble e mją zoow prkyczego. oż werdzć, że leży wręcz ukć ukłdów eblych. Przykłdowe przebeg rjekor (rozwązń eblych pokze zoły ryuku.4. 43

45 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH ( ( 4 ( η ( ε η ( ε η( ε -4-5 ( Ry..4. Rozwąz eble ukłdu lowego cągłego. Defcj.7 Ukłd dymczy zyw ę bly w ee puow jeżel wzyke jego rozwąz (dl wzykch wruków począkowych ą ble w ee puow. Wzyke powyżze werdze doyczące rozwązń rów u ukłdu cągłego prwdzwe ą dl lowego ukłdu dykreego. Odpowede rów fukcj cągłych zępuje ę rówm fukcj dykreych. Nejzy rozdzł zwer lzę włścwośc dymczych ukłdów lowych. Dlego bde blośc ogrczoe zoe ylko do ych ukłdów. Rozwż ę welomy zmeej orz z D(, (.54 D( z z z z. (.55 Welomy e ą: welomm mowk rmcj operorowej ukłdu cągłego dykreego ukłdu o jedym wejścu jedym wyjścu, b welomm mowk dowolego elemeu mcerzy rmcj ukłdu cągłego dykreego ukłdu o welu wejścch welu wyjścch, c welomem chrkeryyczym ukłdu cągłego lub dykreego de( I AC,de( zi A, D d wyzczkem mcerzy welomowej de D(,de D( z ukłdu opego mcerzm welomowym. Bde położe zer powyżzych welomów pozwol określć blość ukłdu lowego cągłego dykreego. 44

46 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH.5. Wruek koeczy doeczy blośc ympoyczej ukłdu lowego cjorego cągłego Wruk blośc lowego, cjorego ukłdu cągłego pode zoą w poc werdzeń (bez dowodów. Twerdzee. owy, cjory cągły ukłd dymczy je bly ympoycze wedy ylko wedy gdy wzyke zer kżdego z welomów mowków elemeów rmcj (.35 pełją wruek { }. Re < (.56 ożlwe położe zer welomu, wrz z zzczoym obzrem blośc (półpłzczyzą blośc określoą wzorem (.56 ukłdu pokze zoły ryuku.5. Im{} Re{} Półpłzczyz blośc Ry..5. Położee zer welomu w obzrze blośc. Twerdzee. (wruek koeczy blośc Jeżel wzyke wpółczyk welomu (.48 ą ezerowe ego mego zku o lowy, cjory cągły ukłd dymczy może być bly. Bde blośc prowdz ę określe położe wzykch zer welomów (.54 (.55. W XIX orz począku XX weku zgdee określe obzrów w kórych zjdują ę zer (bez określ ch wrośc było przedmoem eywych bdń. Obece, w dobe zybkch dokłdych meod umeryczych rozwąze rów chrkeryyczego e ow problemu. eody bd blośc dl ą używe. Pożej pod zoe meod określe blośc ukłdów opych welomem chrkeryyczym (.54. Je o zw. kryerum blośc Rouh z roku 877. Poleg oo zcowu 45

47 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH położe beguów welomu chrkeryyczego ukłdu (czy leżą w lewej półpłzczyźe zmeej zepoloej bez określ ch wrośc. Dl welomu (.54 zmeej o wpółczykch,,, buduje ę zw. blcę Rouh Tb..5 Tblc Rouh ,,,,, Elemey dwóch perwzych werzy blcy worzą wpółczyk bdego welomu według chemu podego pożej Pozołe werze blcy wypełją elemey oblcze według pożzego wzoru,, 3, 4, j,,,, j,, j j (.57 Twerdzee.3 Welom D( m wzyke zer leżące w lewej częśc półpłzczyzy zmeej zepoloej (je welomem Hurwz wedy ylko wedy gdy wzyke elemey ą dode. 46

48 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Jeżel welom e je welomem Hurwz elemey ą ezerowe o lczb zer leżących w prwej półpłzczyźe zmeej zepoloej rów je lczbe zm zków elemeów..5. Wruek koeczy doeczy blośc ympoyczej ukłdu lowego cjorego dykreego Róweż w przypdku ukłdu lowego, cjorego dykreego pode zoą w poc werdzeń (bez dowodów [6],[8]. Twerdzee.4 owy, cjory dykrey ukłd dymczy je bly ympoycze wedy ylko wedy gdy wzyke zer kżdego z welomów zmeej z wymeoych powyżej pełją wruek z <. (.58 ożlwe położe zer welomu, wrz z zzczoym obzrem blośc (kołem blośc określoym wzorem (.58 ukłdu pokze zoły ryuku.6 j Im{z} - Obzr blośc -j Re{z} Ry..6. Położee zer welomu w obzrze blośc. Aby zbdć położee zer welomu (.55 zmeej zepoloej z dokouje ę podwe z (.59 orzymuje owy welom zmeej E( ( D e e e e (.6 47

49 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Welom (.59 (zmeej z je bly wedy ylko wedy gdy bly je welom (.6. Do bd blośc welomu (.6 zoowć moż kryerum Rouh..5.. Przykłd Rozwż ę lowy, cągły ukłd opy rówm (. orz (.3, z mcerzm A C e e4. e b c C, C [. e4] 4 Zkłd ę zerowy ygł wejścowy u ( ezerowy wruek począkowy [. 5 ] T ( ( N ryukch.7,b,c,d pokze zoły przebeg wzykch czerech zmeych u ukłdu. Przebeg pozczególych zmeych, orzyme drogą ymulcj kompuerowych pozwlją zuwżyć: mpludy ocylcj kolejych zmeych ą corz mejze, b częolwość ocylcj je duż, c czwr zme u 4( oąg zerowy uloy, d perwze rzy zmee u e oągją u uloego, jedk ocylcje odbywją ę wokół puku zerowego. 48

50 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Przebeg ( b Przebeg ( c Przebeg 3 ( d Przebeg ( Ry..7. Przebeg czowe zmeych u ukłdu (, (, 3 (, ( N ryuku.8 pokzy zoł przebeg odpowedz ukłdu Ry..8. Przebeg czowy odpowedz ukłdu y (. 49

51 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH N ryuku.9 pokzy zoł przebeg odpowedz jedokowej ukłdu (oblcz ę ją zwze dl zerowych wruków począkowych. Przedwo odpowedź e zwer ocylcj Ry..9. Przebeg czowy odpowedz jedokowej ukłdu y( w przedzle czu [,]. T m odpowedź kok jedokowy oblczo w wękzym okree czu pokz zoł ryuku Ry..3. Przebeg czowy odpowedz jedokowej ukłdu y( w przedzle czu [,6]. Odpowedź oblczo w wękzym okree czu wykzuje jedk roące ocylcje o dużej częolwośc. Pojw ę pye, czy powodowe ą oe ebloścą ukłdu, czy błędm oblczeń. W rzeczywośc ukłd je ebly. oż o prwdzć korzyjąc z kryerum Rouh. 5

52 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH.6 Oąglość, erowlość, oberwowlość odwrzlość ukłdów lowych Zkłd ę erz, że elemem wekor erow ą fukcje dykree o ogrczoych wroścch. Przyjęce kego złoże wyk z ogrczeń echczych ukłdów dymczych. Wżym zgdeem erow je określee zdolośc ukłdu do przejśc z dowolego u począkowego do dowolego u końcowego w kończoym przedzle czu,. Njczęścej przyjmuje ę orz. Te włścwośc ukłdu dymczego zywją ę erowloścą oągloścą. Defcj.8 S dykreego ukłdu lowego, cjorego opego rówem (.9 zyw ę oąglym w q krokch, jeżel eje cąg erowń uq { u( T, u( T, u [( q T ]} przeprowdzjący ukłd z zerowego u począkowego do ego. Defcj.9 Dykrey ukłd lowy cjory je oągly, jeżel kżdy je oągly. Do określe cągu erowń moż wykorzyć wzór T T q k u kt B ( A [ W ( qt w ] ( D D określoy dl k,,, q, gdze (.6 k T T k D ADBDBD( AD k W (.6 je eooblwą mcerzą dodo-określoą, w je wekorem pełjącym wruek T T B ( A w dl,,, q (.63 Obecość wekor w powoduje, że wyzczee cągu erowń e je jedozcze. Łwo wykzć, że erowe określoe wekorem (.6 przeprowdz zerowy począkowy do u końcowego. Ne zwze mcerz (.6 je eooblw, co ozcz, że e kżdy ukłd je oągly. Aby prwdzć, czy ukłd je oągly moż zoowć pożze kryerum. 5

53 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Twerdzee.5 Dykrey ukłd lowy, cjory rzędu opy rówem (.9 je oągly wedy ylko wedy, gdy pełoy je jede z rówowżych wruków ą (.64 ą, dl wzykch lczb zepoloych z. (.65 Włścwoścą ejko odwroą do oąglośc je erowlość do zer, czyl zdolość ukłdu dymczego do oągęc u zerowego z dowolego u począkowego w kończoym cze przy ogrczoych erowch. Defcj.3 S dykreego ukłdu lowego, cjorego opego rówem (.9 zyw ę erowlym do u zerowego w q krokch, jeżel eje cąg erowń uq { u( T, u( T, u[( q T ]} przeprowdzjący ukłd z ego u zerowego. Defcj.3 Dykrey ukłd lowy cjory je erowly do u zerowego (do zer, jeżel kżdy je erowly. Do prwdze erowlośc ukłdu wykorzyuje ę brdzo podobe kryerum. Twerdzee.6 Dykrey ukłd lowy, cjory rzędu opy rówem (.9 je erowly do zer wedy I ylko wedy, gdy pełoy je jede z rówowżych wruków ą (.66 ą, dl wzykch lczb zepoloych z. (.67 Oąglość erowlość do zer cągłego ukłdu lowego, cjorego opego rówem u (. określją ke me wruk jk dl ukłdów dykreych. Oczywśce ym rzem wekor erow je wekorem o elemech będących fukcjm przedzłm cągłym ogrczoym. Nleży podkreślć, że do bd erowlośc do zer oąglośc berze ę pry mcerzy orz. W lze dymk ukłdu o je róweż możlwość określe u począkowego końcowego podwe dego cągu erowń u u( T, u( T, u[( q T ]} orz wrośc wekor q { 5

54 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH wyjść y q { y( T, y( T, y[( q T ]}. Njczęścej przyjmuje ę. Te włścwośc ukłdu dymczego zywją ę oberwowloścą odwrzloścą. Defcj.3 S dykreego ukłdu lowego, cjorego opego rówem (.9 zyw ę oberwowlym w q krokch, jeżel moż go jedozcze wyzczyć dl dego cągu erowń uq { u(t, u(t, u[( q T ]} orz wekor odpowedz yq { y(t, y(t, y[( q T ]}. Defcj.33 Dykrey ukłd lowy cjory je oberwowly, jeżel kżdy je oberwowly. Aby prwdzć, czy ukłd je oberwowly moż zoowć pożze kryerum. Twerdzee.7 Dykrey ukłd lowy, cjory rzędu opy rówem (.9 je oberwowly wedy ylko wedy, gdy pełoy je jede z rówowżych wruków ą (.68 ą, dl wzykch lczb zepoloych z. (.69 Włścwoścą odwroą do oberwowlośc je odwrzlość, czyl możlwość określe u począkowego orz końcowego podwe dych cągów wekorów erowń odpowedz. Defcj.34 S końcowy dykreego ukłdu lowego, cjorego opego rówem (.9 zyw ę odwrzlym w q krokch, jeżel moż go jedozcze określć (odworzyć dl dego cągu erowń u u( T, u( T, u[( q T ]} orz wekor odpowedz q { y y( T, y( T, y[( q T ]}. q { 53

55 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH Defcj.35 Dykrey ukłd lowy cjory je odwrzly, jeżel kżdy końcowy je odwrzly. Do prwdze odwrzlośc ukłdu wykorzyuje ę brdzo podobe kryerum. Twerdzee.8 Dykrey ukłd lowy, cjory rzędu opy rówem (.9 je oberwowly wedy ylko wedy, gdy pełoy je jede z rówowżych wruków ą (.7 ą, dl wzykch lczb zepoloych z. (.7 Oberwowlość odwrzlość cągłego ukłdu lowego, cjorego opego rówem u (. określją ke me wruk jk dl ukłdów dykreych. Oczywśce ym rzem wekor erow je wekorem o elemech będących fukcjm przedzłm cągłym ogrczoym. Nleży podkreślć, że do bd oberwowlośc odwrzlośc berze ę pry mcerzy orz. 54

56 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH.7 erur [] Frk. Cller, Chrle A. Deoer, ulvrble Feedbck Syem, Sprger Verlg, New York, 98. [] er jug, Syem Ideyfco, Theory for he Uer, PTR Prece Hll Iformo d Syem Scece Sere, Upper Sddle Rver, New York, 999. [3] Tdeuz Kczorek, Adrzej Dzelńk, Włodzmerz Dąbrowk, Rfł Łopk, Podwy eor erow, Wydwcwo Nukowoechcze, Wrzw, 5. [4] Tdeuz Kczorek, Teor erow yemów, Wydwcwo Nukowe PWN, Wrzw 993. [5] Thom Klh, er Syem, Prece-Hll Ierol Edo, Eglewood Clff, 98. [6] Kuhko Og, Dcree-me Corol Syem, Prece-Hll Ierol EdoEglewood Clff, 987. [7] Io Doré du, Idefco e commde de yème, Herme, Pr, 993. [8] Keeh Seglz, Węp do yemów dykreych, Wydwcwo Nukowo-echcze, Wrzw, 974. [9] Emmuel C. Ifechor, Brre W. Jerv, Dgl Sgl Proceg, Addo-Weley ogm med, Edburgh Ge, 993. [] Joh G. Prok, Dmr G. olk, Dgl gl proceg, Upper Sddle Rver, ew Jerey, 7. [] J uze, Robu ulvrble Feedbck Corol, Akdeme-Verlg, Berl, 988. []. Güher, Zedcree Seuerugyeme, VEB Verlg Techk, Berl, 986. [3] Rymod G. Jcquo, oder Dgl Corol Syem, rcel Dekker, Ic, New York,

57 . ANAIZA DYNAIKI UKŁADÓW EEKTROECHANICZNYCH 56