Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Transkrypt

1 Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj) oblczee tych etymatorów pozwala a dokoae podtawowego opu tatytyczego badaej próby. Oblczea moża dokoać zarówo za pomocą daych w zeregu zczegółowym gdze podaa jet formacja o każdej badaej oobe jak wówcza, gdy dae te ą zagregowae (przedtawoe w potac zeregu rozdzelczego), gdy wemy, le oób ma wyk w daym przedzale wartośc. Spróbujmy przedtawć wzytke oblczea a przykładze pewych daych zebraych podcza badaa jakośc życa 0 looowo wybraych tudetów przed egzamem ze tatytyk. Zadae: W loowej próbe 0 tudetów przytępujących do egzamu poprozoo o ozacowae wojego aktualego dobrotau pychczego a 0-topowej kal typu draba Coutrlla. Uzykao atępujące wyk:,, 5, 6, 6,, 9, 5, 5, 6, 7,, 0, 7,, 5, 8, 5,, 7, 9, 6, `0,, 7,,,, 8, Oblcz średą arytmetyczą ( ), odchylee tadardowe (), medaę (p 50 ) kwartyle trzec (p 75 ) perwzy (p 5 ). Oblczea żądaych etymatorów dokoaym za pomocą dwóch metod borąc dae z zeregu zczegółowego (tak, jak ą oe dae) z zeregu rozdzelczego (ajperw dae zgrupujemy w przedzały, a potem dokoamy oblczeń). Oblczae etymatorów w zeregu zczegółowym Oblczee średej arytmetyczej w zeregu zczegółowym jet łatwe (choć może być żmude) wymaga wykorzytaa wzoru:

2 Gdze to lczba wzytkch badaych jedotek (u a 0 oób) a to uma wzytkch uzykaych w badau wyków zmeej X (u a dobrotau). A zatem dokoajmy koeczych oblczeń: Stąd też średa arytmetycza ma wartość: 5, Odpowedź: Przecęty tudet oceał woje amopoczuce a 5,60 w 0-topowej kal. Oblczee odchylea tadardowego wyków róweż wydaje ę prote (choć żmude) wymaga korzytaa ze wzoru: ( ) Gdze to lczba badaych oób, to uma wzytkch wyków uzykaych w badau podeoych do kwadratu (każdy wyk ajperw do kwadratu, potem dopero uma), ( ) to tzw. uma kwadratów, czyl każdy wyk odejmujemy od średej podomy do kwadratu, a atępe umujemy. Perwzy poób oblczaa odchylea tadardowego ( ) jet poobem klaycze pękym, lecz etety czaem przy oblczeach z kalkulatorem żmudym. Drug poób jet eco łatwejzy zwłazcza, gdy średa e jet lczbą

3 całkowtą dodatą. Skorzytajmy z ch obu dla oblczeń (choć wyk będze te am) wyłącze dla celów dydaktyczych. Spoób perwzy Najperw uporządkujmy w zeregu emalejącym (od ajmejzej do ajwękzej) wzytke wyk dokoajmy koeczych oblczeń w tabel: A B C A B C ( ) ( ) ( ) ( ) -5,6-,6,6, ,6-0,6-0,60,6-5,6-,6 -,6 6, ,60, 0, 0,6-5,6-,6 -,6 6, ,60, 0, 0,6-5,6-,6 -,6 6, ,60, 0, 0,6-5,6-,6 -,66, ,60, 0,0,6-5,6-,6 -,6, ,6,,,96-5,6-,6 -,6, ,6,,,96-5,6-,6 -,6, ,6,,,96-5,6-,6 -,6, ,6,,,96-5,6-,6 -,6, ,6,,5,76-5,6-,6 -,6, ,6,,5, ,6-0,6-0,6 0, ,6,,, ,6-0,6-0,6 0, ,6,,, ,6-0,6-0,6 0, ,6,, 9, ,6-0,6-0,60, ,6,,9,6 Dla oblczea odchylea tadardowego potrzebujemy umę kwadratów ( ) oblczamy umę z kolumy C powyżzej tabel, która wyo 7,. I podtawając to do wzoru otrzymujemy: 7,,5 0 Zatem odpowedź brzm: Przecęty tudet oceł wój dobrota pychczy makymale a,5 puktu pożej lub powyżej średej. Drug poób Spoób perwzy jet dość ucążlwy oblczeowo. Odejmowae średej od każdej wartośc podozee wyku do kwadratu Szalee męczące (zwłazcza tym, którzy

4 e awykl do pracy z kalkulatorem) obftujący w pułapk (a to ę cyfra źle wpze, a to przecek zapom ę wpać td.). Stąd też drug poób wydaje ę zacze protzy dla oblczeń z kalkulatorem. Wytarczy jedye oblczyć średą umę kwadratów. Uporządkujmy wartośc w zeregu emalejącym (od ajmejzej do ajwękzej) dokoajmy oblczeń w tabel: Aby uzykać A B A B wytarczy jedye zumować wzytke wyk uzykae w kolume B powyżzej tabel uma ta wyo 855. Natępe wyk te podtawamy do wzoru: , ,8 9 7, 9,5 Wyk oczywśce wyzedł teże am jedakże mom przyajmej zdaem rachuk ą zacze protze. Oblczee meday kwartyl Oblczee meday kwartyl w zeregu zczegółowym wymaga ajperw oblczea ch pozycj według wzorów:

5 Odpowedo oraz ( Q ) dla parzytych m, lub ( Q ) ( Q ) dla parzytych m, lub ( Q ) dla eparzytych, dla eparzytych, ( Q ) ( ) dla parzytych m, lub ( Q ) dla eparzytych, A węc oblczmy pozycję meday kwartyl pamętając, że aze 0 jet lczbą parzytą: oraz ( Q ) ( Q ) 0 5,5 0 7,75 ( Q ) ( ) ( 0 ), 5 Aby teraz odaleźć wartość meday kwartyl mumy w uporządkowaym emalejąco (od ajmejzej do ajwękzej) zeregu wyków zmeej X odaleźć wartośc odpowadające pozycj meday kwartyl. Uporządkujmy zatem zereg zmeej X w porządku emalejącym: A B A B lp Lp I teraz możemy oblczyć medaę ozacowując wartość dla pozycj meday (Q )5,5. Medaa zajduje ę zatem w połowe odległośc mędzy wykem o LP5 wyrazem o LP6. Oblczamy go zatem, jako:

6 Q 5 6 ( ) 5 ( 5 5) 5 5 Odpowedź: Połowa oób w próbe zacuje wój dobrota a co ajwyżej 5 pkt. Aalogcze ozacowujemy wartość kwartyla perwzego o (Q )7,75, który przypada w trzech czwartych odległośc mędzy 7 8 wykem w próbe Q 7 8 ( ) ( ) 7 Co ozacza, że 5% badaych oób zacuje wój dobrota a co ajwyżej pkt. I wrezce w teże am poób zacujemy wartość kwartyla trzecego o (Q ),5, co ozacza, żę przypada o w jedej czwartej odległośc mędzy wykem o LP LP. Q ( ) 7 ( 8 7) 7, 5 Tak węc moża powedzeć, że 75% tudetów zacuje wój dobrota a co ajwyżej 7,5 pkt. Oblczae średej odchylea tadardowego oraz meday kwartyl w zeregu rozdzelczym Oblczae średej odchylea tadardowego oraz meday kwartyl w zeregu zczegółowym jet zawze żmude. Spójrzmy, że po klkakroć oblczamy te ame rówaa dla tych amych wartośc. Poadto częto aze wyk e ą przedtawoe w potac zeregu zczegółowego, ale rozdzelczego w którym wartośc ą zgrupowae w pewe przedzały o określoej lczebośc jak w pożzym przykładze. Przykład W loowej próbe 0 tudetów dokoao pomaru oce a egzame ze tatytyk uzykao atępujące wyk:,5 9 9,5 7 5 Oblcz średą, odchylee tadardowe, medaę kwartyle trzec perwzy wyków oce a egzame ze tatytyk.

7 Oblczae średej Oblczae średej jet ezwykle prote wytarczy jedye ezacze przekztałcć wzór podtawowy Gdze to lczba oób w daym przedzale wartośc zmeej X, atomat jet całkowtą lczbą badaych oób. Spójrzmy, że jet to jedye kometycza zmaa wzoru poeważ zamat dodawać do ebe klkukrote daej wartośc po protu możymy ją przez powtórzeń. Np. zamat dodawać do ebe dwe wartośc możymy., a zamat dodawać do ebe dzewęć wartośc możymy. 9 td. Zatem oblczmy średą dokoując oblczeń w tabel: Suma wzytkch loczyów k. 6,5 9,5. 9, ,5 7,5. 7-, wyo zatem, a średa wyo. To 0 ozacza, że przecęty tudet otrzymał oceę a egzame ze tatytyk. Oblczae odchylea tadardowego Zmaa we wzorze a odchylee tadardowe (tym podtawowym, jak róweż tym uprozczoym) róweż polega jedye a uwzględeu, że w każdym przedzale wytępuje oberwacj, a to w efekce daje: k k [( ) ] [ ] Gdze to środek -tego przedzału wartośc zmeej X, to lczebość wyków w tym przedzale, a to całkowta lczba wzytkch wyków w próbe. Dokoajmy oblczeń za pomocą drugego (mom zdaem protzego) ze wzorów. Oblczeń dokoajmy w tabel.

8 A węc uma k tadardowe daje:. 8,5 9,5. 90,5 9. 9,5 7,5. 7-, wyo 89. To po podtaweu do wzoru a odchylee ,557 Moża zatem powedzeć, że przecęty tudet a egzame ze tatytyk otrzymuje oceę o 0,557 żzą lub wyżzą od średej. Oblczae meday kwartyl Aby oblczyć medaę kwartyle w zeregu rozdzelczym ależy (podobe, jak w zeregu zczegółowym) wkazać ch pozycje według tego amego wzoru. A węc pozycje meday kwartyl oblczyć moża, jako: oraz ( Q ) ( Q ) 0 5,5 0 7,75 ( Q ) ( ) ( 0 ), 5 Natępe ależy w tabel daych oblczyć tzw. lczebość kumulowaą (Cum ), a podtawe której będzemy wyzaczać przedzały zawerające medaę kwartyle. Lczebość kumulowaą oblczamy w te poób, że do każdej wartośc w daej tabel dodajemy poprzedą wartość Cum. Stąd też dla perwzego przedzału odczytujemy (jako, że jet to perwzy przedzał) kumulowaa lczebość w poprzedm przedzale wyo 0. A węc w przedzale perwzym dla kumulowaa lczebość Cum 0. W kolejym przedzale odczytujemy 9, a kumulowaa lczebość w poprzedm względem ego przedzale wyoła Cum. Zatem kumulowaa lczebość w drugm przedzale wyo Cum 9.

9 I aalogcze w kolejym przedzale odczytujemy zów 9, a kumulowaa lczebość w poprzedzającym go przedzale (którą przed chwlą oblczylśmy) wyo. Zatem Cum 9 0. Procedurę tę powtarzamy aż do otatego przedzału. Zauważmy, że poprawe dodawae doprowadz do tego, że w otatm przedzale kumulowaa lczebość (Cum ) będze rówa lczebośc całej badaej próby (). A B C Cum 0, , Teraz w kolume C odzukujemy przedzał o kumulowaej lczebośc wękzej lub rówej pozycj daego kwartyla lub meday. Zaczjmy od meday, dla której (Q )5,5. Cum w perwzym przedzale wyo, zatem jet zbyt mała, aalogcze w przedzale drugm, gdze Cum, dopero w przedzale trzecm, dla kumulowaa lczebość Cum 0 jet wękza od pozycj meday (Q )5,5. Zatem w tym przedzale zajduje ę medaa. Ne zaczy to wcale, że medaa wyo. Medaa będze wyoła wtedy tylko, gdy zmea jet zmeą dykretą (kokową) e tworzy przedzałów. Gdy jedak zmea ma charakter cągły (tz. tworzy przedzały), wówcza oblczee meday wymaga ozacowaa jej wartośc wg wzoru: Gdze: c ( ( Q ) Cum ) Q 0 0 jet dolą gracą przedzału zawerającego medaę, c jet zerokoścą przedzału zawerającego medaę, Cum - jet lczeboścą kumulowaą w przedzale pożej meday (przed medaą). A węc możemy odczytać odpowede wartośc z tabel podtawć je do wzoru, aby oblczyć medaę. Zaczjmy od o. Jet to dola graca przedzału wartośc, którego środkem jet. Ozacza to, że dolą gracą perwzego przedzału e jet (bo jet to środek przedzału), ale lczba od ej mejza, o le? Dolą gracę przedzału wyzaczamy (dlatego azywamy ją czaem gracą urojoą) poprzez podzelee a połowę odległośc mędzy środkam dwóch ąadujących ze obą przedzałów. A węc p.

10 ,5 dla przedzałów,5 możemy wylczyć o, 5. A węc wemy, że dolą gracą drugego z przedzałów jet,5. Odpowedo dolą gracą trzecego z,5 przedzałów będze o, 75 td. A B C D Cum 0 0 (,5)/,75,5 9 9 (,5)/, (,5)/,75, (,5)/, (,5)/,75 Ale kąd berze ę dolą gracę perwzego z przedzałów? Najbardzej oczywtą odpowedzą może być koro (akurat tutaj rówe ) jet środkem przedzału, to od tego środka ależy odjąć tyle, le wyo odległość od dolej gracy poprzedego przedzału. Czyl w azym przykładze od powśmy odjąć 0,5 (poeważ,5-0,5). Iym poobem może być ozacowae pozycj środka tego poprzedego (etejącego) przedzału poprzez odjęce od daej wartośc odległośc od atępego przedzału. W te poób możemy zobaczyć, że,5-0,5 odległość od środków perwzego drugego przedzału wyo 0,5. A węc środek owego przedzału poprzedzającego powe być o 0,5 mejzy od środka przedzału perwzego, tz. - 0,5,5. I teraz moża oblczyć dolą gracę perwzego z przedzałów, jako o,5,75. Którykolwek poób wyberzez będze dobrze. Wróćmy zatem do oblczea meday. Pozycja meday wkazuje, że zajduje ę oa w przedzale o zerokośc c 0,5 lczebośc 9 oraz kumulowaej lczebośc Cum -. Zatem medaa ma wartość: Q 0,5,75 ( 5,5 ) Możemy zatem powedzeć, że medaa w azym przykładze wyo, połowa 9,00 tudetów otrzymała oceę co ajwyżej z egzamu ze tatytyk. Aalogcze oblczamy wartość kwartyla perwzego trzecego podtawając do wzoru odpowede wartośc. Kwartyl perwzy o (Q )7,75 meśc ę w przedzale,5 o 0,5, c 0,5, 9, Cum -. Stąd też: 0,5 Q,5 ( 7,5 ) 9,5

11 A kwartyl trzec meśc ę w przedzale,5, 0,5, c 0,5, 7, Cum - 0. Stąd też moża oblczyć: Q 0,5,5 (,5 0) 7,98 Moża zatem powedzeć, że 5% tudetów otrzymało co ajwyżej oceę,57, a 75% tudetów otrzymało co ajwyżej,98.