VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

Transkrypt

1 VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych losowych typu skokowego lub zbeżośc cągu gęstośc prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych losowych typu cągłego,! twerdzea tegrale dotyczą zbeżośc cągu dystrybuat zmeych losowych X do pewej dystrybuaty graczej (jest to tzw. zbeżość słaba). Defcja 6.. Mówmy, że cąg {F (x)} dystrybuat zmeych losowych X jest słabo zbeży do fukcj F(X), jeżel fukcją tą jest taka dystrybuata, która w każdym swym pukce cągłośc speła waruek Uwag: ) Fukcją graczą może być tylko dystrybuata. ) Ne wymaga sę, aby cąg dystrybuat {F (x)} był zbeży do fukcj F(x) w puktach ecągłośc tej dystrybuaty. Przykład 6.. Rozpatrzmy cąg zmeych losowych o rozkładze jedopuktowym dla k, P( X k) 0 dla k. Zbadajmy zbeżość cągu dystrybuat tych zmeych losowych. Dystrybuaty mają postać Wdać, że x F x 0 dla, dla x >. lm F ( x) 0 dla dowolego x. Poeważ fukcja gracza jest lm F ( x) F( x). stale rówa zero, węc e może być dystrybuatą, a tym samym poday cąg dystrybuat {F (x)} e jest zbeży w rozpatrywaym sese. Twerdzea tegrale rozważające cąg sum ezależych zmeych losowych o dystrybuace, będącej dystrybuatą rozkładu ormalego, azywamy twerdzeam cetralym.

2 0 VI. Twerdzea gracze 6.. Twerdzea lokale Jedo z twerdzeń lokalych już pozalśmy przy okazj omawaa schematu Possoa. Było oo sformułowae w języku zdarzeń dotyczyło ser dośwadczeń według schematu Beroullego. Podamy to twerdzea raz jeszcze używając pojęca zmeej losowej. Twerdzee 6.. Jeżel cąg {X } jest cągem zmeych losowych o rozkładze Beroullego P X k k p k p k ( ) ( ), p, k,,,, 0< < 0 K to przy zachowau waruku lm p 0 p λ > 0 jest spełoa rówość gdze P(X k) ozacza fukcję prawdopodobeństwa zmeej losowej o rozkładze Possoa z parametrem 8. Wemy już, że a podstawe tego twerdzea moża stosować wzór przyblżoy o le tylko lczba jest dostatecze duża, a lczba 8 dostatecze mała (w praktyce $ 00 oraz 8 # 0). Jeżel waruek a parametr 8 e jest spełoy, to stosujemy y wzór przyblżoy: gdze m p, σ pq, q p. Stosowae tego wzoru wyka z poższego twerdzea. Twerdzee 6. (Movre a-laplace a). Jeżel cąg {Y } jest cągem stadaryzowaych zmeych losowych X o rozkładze dwumaowym (Beroullego), to gdze y lm P( X k) P( X k), k p pq P( X k) P( X k), k m P( X k) exp, πσ σ lm pq P( Y y) exp y, π ozacza wartość, jaką przyjmuje zmea losowa Y, gdy zmea losowa X przyjmuje wartość k taką, że gdy 6 4, to róweż k 6 4 w tak sposób, że (!k) 6 4 oraz lm Y Y. Dowód tego twerdzea (żmudy) pomjamy. # Przykład 6.. Rzucamy 44 razy kostką. Oblczyć prawdopodobeństwo, że otrzymamy 5 razy pątkę. Mamy p. /6, q! p 5/6, k 5, 44, skąd p 4, pq 0. Zatem

3 6.3. Twerdzea tegrale P( X44 5) exp exp (, ) π π f ( 0, 36), 0 [ 036 ] gdze f(x) ozacza gęstość rozkładu ormalego N(0, ). Z tablc otrzymujemy f(0,36). 0,3894, skąd P( X44 5) 0, , Twerdzea tegrale Twerdzee 6.3 (twerdzee cetrale Ldeberga-Lévy ego). Nech {X } ozacza cąg zmeych losowych, które są! ezależe,! o tym samym rozkładze,! o skończoej wartośc oczekwaej E(X ) m < 4,! o skończoej wększej od zera waracj 0 < D (X) F < 4. Nech zmee losowe Y będą sumam zmeych losowych X, tj. Y X. Jeżel {Z } ozacza cąg stadaryzowaych zmeych losowych Y, tj. to jest spełoa rówość gdze z ozacza dowolą lczbę rzeczywstą, fukcja M(z) jest dystrybuatą rozkładu ormalego, a cąg {F (z)} jest cągem dystrybuat odpowadających zmeym losowym Z. Dowód tego twerdzea pomjamy (jest trochę skomplkoway). # Z wzoru podaego w powyższym twerdzeu wyka przydata w zastosowaach zależość przyblżoa. Poeważ dla dowolych lczb rzeczywstych z z mamy węc dla dużych wartośc otrzymujemy Z Y E( Y), DY ( ) lm F ( z) Φ( z), lm P( z Z < z ) lm [ F ( z ) F ( z )] Φ( z ) Φ( z ), Pz ( Z z ) Φ( z ) Φ ( z). (*)

4 04 Nerówość z Z < z a ta z kole erówośc w postac gdze jest rówoważa erówośc z Y m < z σ m + z σ Y < m + z σ. Py ( Y y) Φ( z) Φ( z), y m+ z σ, y m+ z σ., VI. Twerdzea gracze Wzór (*) możemy zatem zapsać Jeżel przedzał [y, y ] wartośc zmeej losowej Y jest symetryczy ze względu a wartość m, tz. gdy z!z, to powyższy wzór przyjme astępującą postać: y m z σ, y m+ z σ Py Y y P y m Y m y m ( ) σ σ σ P( z Z z ) Φ( z ) Φ( z ) Φ( z ). Przykład 6.3. Zmee losowe X (,,...) są ezależe mają jedakowe rozkłady P( X k) 0, dla k,, 3, 4, 5. Zaleźć prawdopodobeństwo, że zmea Y00 X przyjme wartość wększą od 30. Zauważmy, że zmee losowe X mają jedakowe wartośc oczekwae 00 m E( X ) k 5 5 k 3 oraz waracje σ 5 5 k D ( X ) k m 9. Na podstawe twerdzea Ldberga-Lévy ego zmea losowa Z ( X m) D ( X ) Y ma rozkład asymptotycze ormaly, a węc

5 6.3. Twerdzea tegrale PY ( 00 > 30) P( 30 < Y00 < ) P < Z00 < 0 P( < Z < ) Φ( ) 0, Przykład 6.4. Zmee losowe X (,,...) Są ezależe mają jedakowe rozkłady o gęstośc dla 0 x, f ( x) 0 dla ych x. Oblczyć prawdopodobeństwo, że wartość sumy Y X będze mejsza od 40. Oblczamy wartość oczekwaą warację zmeych X : x E( X ) xdx xdx, x 4 E( X ) x dx x dx, D ( X) E( X ) ( E( X)). 3 3 Zmee X spełają założea twerdzea Ldeberga-Lévy ego a jego podstawe mamy Y PY ( 48 < 40) P( < Y48 < 40) P < < P( < Z < ) Φ( ) Φ( ) 0, Nech zmee losowe X (,,...) będą ezależe ech każda z ch ma rozkład zerojedykowy, tj. Suma P( X ) p, P( X 0) q, 0< p<, q p. Y ma rozkład Beroullego o wartośc oczekwaej E(Y ) p waracj D (Y ) pq. W tym szczególym przypadku twerdzee Ldeberga-Lévy ego azywa sę tegralym twerdzeem Movre a-laplace a jest astępujące: X

6 06 VI. Twerdzea gracze Twerdzee 6.4. Jeżel cąg {F (z)} jest cągem dystrybuat zmeych losowych Z Y p, pq gdze zmee Y mają rozkład dwumaowy (Beroullego), to dla każdej wartośc rzeczywstej z jest spełoa rówość lm F ( z) Φ( z). W zadaach, w których oblczamy prawdopodobeństwo, że zmea losowa Y podlegająca rozkładow Beroullego przyjmuje wartośc z określoego przedzału moża zatem dla dużych wartośc korzystać z przyblżoego wzoru gdze lczby są wartoścam zmeej losowej Z. Py ( Y y ) Φ( z ) Φ( z), W szczególośc, gdy przedzał [y, y ] wartośc zmeej losowej Y jest symetryczy ze względu a wartość oczekwaą p, tj. gdy to z!z powyższy wzór moża apsać w postac z y p pq Przykład 6.5. Rzucoo 70 razy kostką do gry. Jake jest prawdopodobeństwo, że lczba wyrzucoych czwórek będze zawarta w przedzale od 00 do 50? W jedym rzuce mamy p /6 q 5/6. Poszczególe rzuty są ezależe, a ch lczba jest wystarczająco duża. Jeżel przez Y ozaczymy zmeą losową przyjmującą wartośc rówe lczbe wyrzucoych oczek, to pytamy o prawdopodobeństwo P(00 # Y # 50). Poeważ p 0 pq 0, węc mamy Przykład 6.6. Parta towaru ma wadlwość 5%. Ilu elemetową próbkę ależy pobrać, aby z prawdopodobeństwem 0,99 moża było twerdzć, że lczba sztuk wadlwych w próbce będze zawarta w gracach od 4% do 6%? z y p pq y p z pq, y p + z pq, Py Y y P y p Y p y p ( ) pq pq pq P( z Z z ) Φ( z ) Φ( z ) Φ( z ) Y P( 00 Y 50) P P( Z 3) Φ() 3 Φ( ) Φ() 3 ( Φ()) Φ() 3 + Φ() 0, , 977 0, 9759.

7 6.3. Twerdzea tegrale 07 Prawdopodobeństwo otrzymaa sztuk wadlwej wyos p 0,05, a prawdopodobeństwo sztuk dobrej q 0,95. Jeśl przez ozaczymy lczbę elemetów próby, to mamy p 0,05, pq 0,05@0,95 0,0475, skąd pq 0, Nech Y ozacza zmeą losową przyjmującą wartośc rówe lczbe sztuk wadlwych w part towaru. Pytamy o prawdopodobeństwo lczby sztuk wadlwych w part towaru w gracach od y 0,04 do y 0,06. Ozaczając Y p Z pq mamy 004, 005, 006, 005, P( 004, Y 006, ) P Z 0, , , 00, 00, P Z. 0, , 0475 Φ 0, 0475 Z założea prawdopodobeństwo to jest rówe 0,99, czyl 00 Φ, 099,, 0, 0475 a węc Φ 00, 0, , 0475 Z tablc odczytujemy, że , 57,, 0, 0475 skąd po wykoau dzałań mamy Zadaa. Wykoao 00 ser ezależych dośwadczeń. W każdej ser wartość oczekwaa uzyskaa sukcesu była rówa, a odchylee stadardowe wyosło,4. Zaleźć przyblżoą wartość prawdopodobeństwa, że w tych 00 serach dośwadczeń lczba sukcesów będze zawarta w przedzale od 86 do 4.. Pewe towar ma wadlwość 0%. Zakupoo 900 sztuk tego towaru. Oblczyć prawdopodobeństwo, że lczba zalezoych w tej part sztuk wadlwych będze zawerać sę w gracach od 9% do %.

8 08 VI. Twerdzea gracze 6.4. Zbeżość stochastycza prawa welkch lczb Defcja 6.. Mówmy, że cąg zmeych losowych {X } jest zbeży stochastycze lub zbeży według prawdopodobeństwa do zmeej losowej X, co zapsujemy X X lub X X, st. wpr.. jeśl cąg prawdopodobeństw bezwzględego odchylea zmeej losowej X od zmeej losowej X o e mej ż welkość g > 0 ma gracę rówą zero, tj. lm P( X X ε) 0, co aczej moża zapsać w postac lm P( X X < ε). Defcja 6.3. Mówmy, że cąg zmeych losowych jest stochastycze zbeży do zera, co zapsujemy X 0, st. jeśl dla dowolego g > 0 jest spełoa zależość lub aczej lm P( X ε) 0 lm P( X < ε). Uwaga: Zbeżośc stochastyczej e ależy mylć ze zbeżoścą zwykłą. W przypadku zbeżośc stochastyczej do zera cągu zmeych losowych {X } e ozacza to, że dla dowolego g > 0 steje taka lczba N, że dla każdej wartośc > N zachodz erówość X < g. Zbeżość stochastycza do zera pozwala tylko stwerdzć, że prawdopodobeństwo zajśca zdarzea X < g rośe do jedośc, gdy 6 4. Przykład 6.7. Cąg {X } ( 0,,,...) Zmeych losowych przyjmuje wartośc a > 0 a odcku [0, / ] 0 a odcku (/, ] z prawdopodobeństwam rówym długośc odcków. Wykazać, że cąg tych zmeych losowych jest stochastycze zbeży do zera. Z defcj cągu {X } wyka, że P( X a) (stosuek długośc odcka, a którym zmea losowa przyjmuje wartość a do długośc całego odcka). Zauważmy, że 0 P( X ε) P( X a),

9 6.4. Zbeżość stochastycza prawa welkch lczb 09 bo dla g > a mamy P(X $ g) 0, gdyż zmea losowa X e przyjmuje wartośc wększych od a, a dla g # a jest P(X $ g) P(X a), gdyż przyjęce przez zmeą losową X wartośc e wększej od tak przyjętego g jest rówoważe z przyjęcem przez ą wartośc rówej a. Przechodząc w podaych erówoścach do gracy mamy Zatem 0 lm P( X ε) lm P( X a) lm 0. lm PX ( ε) 0, co w myśl defcj 6.3 ozacza, że cąg {X } zmeych losowych jest stochastycze zbeży do zera. Defcja 6.4. Prawem welkch lczb azywamy każde twerdzee, które rozważa zbeżość stochastyczą do zera pewego cągu zmeych losowych. Prawa welkch lczb zalcza sę twerdzeń tegralych. Dalej podajemy ajważejsze z ch (dowody pomjamy). Defcja 6.5. Mówmy, że cąg zmeych losowych {X } speła waruek Markowa, jeżel zmee te mają skończoe waracje oraz lm σ 0. σ Twerdzee 6.5 Twerdzee 6.6 (Czebyszewa). Jeżel cąg {X } jest cągem zmeych losowych, dla którego jest spełoy waruek Markowa, to cąg zmeych losowych {X! E(X )} jest stochastycze zbeży do zera, tz. lm P( X E( X ) ε) 0. (Chczya). Jeżel cąg {X } jest cągem ezależych zmeych losowych o jedakowym rozkładze skończoej wartośc oczekwaej E(X ) m, to cąg zmeych losowych U X jest stochastycze zbeży do m. Twerdzee 6.7 (prawo welkch lczb Beroullego). Jeżel cąg {X } jest cągem ezależych zmeych losowych o wspólym rozkładze zero-jedykowym, tz. P( X ) p, P( X 0) p

10 0 VI. Twerdzea gracze Y oraz to cąg Y X, U jest stochastycze zbeży do p. Przykład 6.8. Day jest cąg zmeych losowych {X }, przy czym zmea X może przyjmować wartośc!a, 0 oraz a z prawdopodobeństwam rówym odpowedo, oraz. Zbadać, czy do tego cągu zmeych losowych stosuje sę prawo welkch lczb (twerdzee) Czebyszewa. Należy sprawdzć założea tego twerdzea, tz. czy podae zmee mają skończoe waracje czy cąg waracj ma gracę rówą zero. Mamy E( X ) a + 0 a, + 0 a E( X ) ( a) + 0 ( a), + skąd a σ D ( X ) E( X ) ( E( X )). Ozacza to, że zmee X mają skończoe waracje. Poadto mamy lm a lm, 0 węc a mocy wspomaego twerdzea cąg zmeych losowych {X } jest stochastycze zbeży do zera, tz. σ lm P( X ε) 0. Defcja 6.6. Mocym prawem welkch lczb azywamy każde twerdzee, które z prawdopodobeństwem rówym jedośc ocea zbeżość (w zwykłym sese) pewego cągu zmeych losowych P(lm U U). Rówość podaą w powyższej defcj moża też zapsać astępująco: czyl prawdopodobeństwo, że cąg e jest zbeży do U jest rówe zeru. P(lm U U) 0, Jedym z podstawowych mocych praw welkch lczb jest twerdzee Borela-Catellego, zwae też mocym prawem welkch lczb Beroullego, gdyż odos sę do cągu zmeych losowych w schemace Beroullego. Podajemy je bez dowodu.

11 6.4. Zbeżość stochastycza prawa welkch lczb Twerdzee 6.8. Nech {Y } ozacza cąg zmeych losowych podlegających rozkładow Beroullego PY k k p k q k ( ), p, q p, k,,,. 0< < 0 K Wówczas P Y lm p. Y Poeważ welkość k jest częstoścą względą sukcesów w ser dośwadczeń, węc twerdzee to mów, że z prawdopodobeństwem rówym jedośc przy lczbe dośwadczeń dążących do eskończoośc częstość sukcesów w schemace Beroullego dąży do prawdopodobeństwa uzyskaa sukcesu w pojedyczym dośwadczeu.

12 Wykłady opracowao a podstawe podręczków T. Gerstekor, T. Śródka, Kombatoryka rachuek prawdopodobeństwa, Państwowe Wydawctwo Naukowe, Warszawa oraz R. Zelńsk, Rachuek prawdopodobeństwa z elemetam statystyk matematyczej, Państwowe Zakłady Wydawctw Szkolych, Warszawa.