Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak

Transkrypt

1 Metod umerze Wkłd r 5: Aproksmj terpolj dr Potr Frozk

2 Aproksmj terpolj Aproksmj rówem lowm Błąd dopsow E - Fukj dwóh zmeh

3 Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę: E E Jest to ukłd dwóh rówń lowh:

4 Rozwązem tego ukłdu jest:

5

6 Aproksmj welomm wższego rzędu Welom ukj post - współzk rzezwste stopeń welomu... Zór puktów moż proksmowć welomm różh stop mksmle welomem stop -

7 Dl puktów welom stop - przehodz przez wszstke pukt. Gd jest duże, proksmowe ukj welomem stop - e jest wskze.... m m m m Zstosujm welom stop m do proksmj puktów: m m m m E... Wted łąd: Lowe rówe m+ zmeh do m Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę.

8 Weźm m = welom kwdrtow: E E E E

9 Możem ztem uogólć prolem: m m m k k k... Dl welomu stop m mm m+ rówń post gdze k =,,, m. or j =..m sum[j] = or j =..m or =..m A[][j] = sum[+j] [j] = Zjdź wektor tk, że A = j j

10 Iterpolj k k Iterpolją ukj przedzle <; > zw sę wzzee przlżoh wrtoś ukj dl dowolego rgumetu <; > prz zh jej wrtośh,,..., w ustloh pukth... zwh węzłm terpolj

11 Twerdzee Isteje dokłde jede welom terpolj W stop, któr w pukth przjmuje wrtoś,...,,,...,, Dowód: Szuk welom m postć: W Korzstją z ktu, że zm wrtoś tego welomu w + pukth, możem psć ukłd + rówń lowh z + ewdomm współzkm

12 Ukłd rówń moż zpsć w post merzowej Merz Vdermode Newdome współzk De wrtoś Wzzk Vdermode jest róż od zer, jeśl j, j, j =,,...,, zl ukłd rówń m dokłde jedo rozwąze.

13 Wzór terpolj Lgrge W Skostruujem welom pomoze, =,,...,, stop tke, że j gd j gd W j j W Dl =, ztem W Ozz to, że dl welom rów sę zeru, dl j rów sę jedoś. Stąd jest post:,,,,,,, j j W j zl 5-5

14 Czl: W otrzmujem welom stop o jwżej spełją wszstke wruk wmge prz terpolj. W W Wstrz przjąć: W Wzór terpolj Lgrge Ostteze:

15 Uwg:. Wzór uproszzo W j j j j. Jeśl zór dh {,} jest poszerzo o ową dą, ł welom Lgrge mus ć przelzo od pozątku porówj z stępą metodą.

16 Welom Newto Ogól postć: Welom Newto perwszego stop Dl dwóh puktów,, CB AB CE DE

17 Welom Newto drugego stop Dl trzeh puktów,,,, Podstwją = Dostjem Podstwją = Dostjem Podstwją = Dostjem

18 Welom Newto trzeego stop Współzk są tke sme jk dl welomu perwszego stop. Czl, jeśl mm dw pukt wzzo welom perwszego stop, to po dodu trzeego puktu wstrz olzć tlko jede współzk dodć ow wrz do stejąego welomu. Zm,, orz = =. Możem wę zleźć :

19 ], [ ], [ ], [ ], [, ], [ ], [ ],, [,,, Uogólo postć współzków welomu Newto Ilorz różow perwszego rzędu Ilorz różow drugego rzędu

20 Algortm: Dh jest puktów.. Olzm - lorzów różowh perwszego rzędu. Korzstją z wrtoś olzoh w kroku, olzm - lorzów różowh drugego rzędu. Korzstją z wrtoś olzoh w kroku, olzm - lorzów różowh trzeego rzędu. Korzstją z wrtoś olzoh w kroku -, olzm lorz różow -tego rzędu I lorz róż. II lorz róż. III lorz róż. IV lorz róż.

21 Przkłd: Zjdźm welom Newto zwrtego stop przehodzą przez pukt:

22 Iterpolj ukjm sklejm Zde: zjdź welom terpolują ukję = sqrts, mją de wrtoś tej ukj w pukth -, -, -, -,,,,,.

23

24 Welom stop Welom 5 stop Welom 7 stop Ide Fukje skleje Zstosowć welom ższh stop do mejszej lz puktów podzelć ł zór puktów przedzł Wgłdzć końe przedzłów

25 Sples Krzw ągł głdk

26 węzeł Przkłd dl = : Mm - przedzłów puktów jest welomem skego stop

27 Lowe ukje skleje -,,, W Welom Lgrge dl = puktów -

28 Kwdrtowe ukje skleje Mm de puktów - przedzłów. Welom kwdrtow w -tm przedzle: dl,,..., Mm - rówń - = - ewdomh.. Kżd welom mus przehodzć przez pukt końh przedzłu: dl,,..., dl,,..., Dje to m - = - rówń.. W węzłh hle perwsze pohode welomów z sąsedh przedzłów muszą ć jedkowe e dotz to skrjh węzłów. ' dl,,..., Dje to m - rówń. - = jeszze jedo.

29 . Drug pohod w perwszm puke, rów jest zero. ' ' Ztem perwsze dw pukt łązm prostą lą. Przkłd: Zjdź welom skleje dl: = -5 ++

30 ,,...,,,..., dl dl ,,..., dl

31 Podstwowe zstosowe kwdrtowh welomów sklejh: Pomgją zrozumeć kuze welom skleje.

32 Kuze ukje skleje Mm de puktów - przedzłów. Welom sześe w -tm przedzle: d dl,,..., Mm - rówń - = - ewdomh.. Kżd welom mus przehodzć przez pukt końh przedzłu. Dje to m - = - rówń.. W węzłh hle perwsze pohode welomów z sąsedh przedzłów muszą ć jedkowe e dotz to skrjh węzłów. Dje to m - rówń.. W węzłh hle druge pohode welomów z sąsedh przedzłów muszą ć jedkowe e dotz to skrjh węzłów. 6 '' 6 6 dl,,..., Dje to m - rówń. - = jeszze dw.. Drug pohod w perwszm w osttm puke, rów jest zero. 6 6

33 Kuze ukje skleje welom Lgrge '' '' '' Gd słkujem to wrżee dwukrote otrzmm welom trzeego stop. Dwe stłe łkow wzzm z wruku: 6 '' 6 '' 6 '' 6 '' orz

34 ...,,, ' ' dl Korzstją z wruku możem wzzć eze orz +....,,, 6 '' '' '' dl Ukłd - rówń lowh z ewdomm. Pozostłe dw rów uzskujem z wruku: '' ' ' orz Wosek: mmo trudoś z korzstem z welomów Lgrge uzsklśm prostsz ukłd rówń rówń zmst -

35 6

36

37 Dwuwmrowe ukje skleje. Mm d zór wrtoś pewej ukj, w węzłh dwuwmrowej stk kwdrtowej m. Poszukujem wrtoś tej ukj w puke *, * e ędąm węzłem stk.. Ustlją jedą współrzędą, p., olzm m jedowmr. ukj sklejh. Dl kżdej z th ukj olzm jej wrtość dl *. 5. Przez zór m olzoh wrtoś * prowdzm ukję skleją. 6. Olzm wrtość tej ukj dl *.