11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów

Transkrypt

1 . Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc od wszącego ej cężru, stężee reget w zleżośc od czsu tp. Sesowm posuęcem jest zlezee tkej krzwej, któr możlwe jlepej przblż te pukt dośwdczle. Zjdowe tkch krzwch jest celem teor proksmcj. W teor proksmcj zjmujem sę geerle rzecz borąc dwom tpm problemów. Perwszm z ch jest wspome wżej dopsowwe do puktów ekspermetlch krzwch, które w jlepsz sposób mogą reprezetowć de. Drugm przpdkem, ked stosujem proksmcję jest stucj, gd fukcj jest z, le chcem zleźć prostszą fukcję, tką jk p. welom, której moż użć do określe przblżoch wrtośc fukcj dej. Ob problem bł już zrsowe w rozdzle trktującm o terpolcj. Podo w m sposób zjdow welomu przblżjącego fukcję dą w postc puktów lub tblcową w tm celu, b uzskć te pukt (węzłowe. Wem już, że terpolcj może m służć do proksmcj wrtośc fukcj mędz puktm węzłowm, tle że tch puktów e może bć zbt wele (efekt Rugego. Jk ztem postąpć w stucj, gd mm, powedzm, puktów ukłdjącch sę w przblżeu prostej. Możem z tego wwoskowć, że ez fukcj = f( mus wrżć zleżość lową użce do jej przblże welomu stop jest rczej bez sesu. A co w stucj, w końcu e tk rzdkej, ked tch puktów ekspermetlch są setk, jeśl e tsące? Trzeb sę po prostu zbrć do tego czej. Po perwsze leż zrezgowć z wruku, że fukcj przblżjąc pukt dośwdczle (lub pukt uzske po stblcowu skomplkowej fukcj, którą chcem wrżć z pomocą fukcj prostszej, rezgując prz tm z bsolutej dokłdośc mus przez e przechodzć. Wstrcz zżądć, b fukcj proksmując przebegł jk jblżej wszstkch puktów, bł jk jlepej do ch dopsow. Jk to osągąć? J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

2 Regresj low. Złóżm, że mm pęć puktów dośwdczlch dch w tbel: Tbel., Jeśl wkreślm te pukt, otrzmm Rsuek.. Rsuek. Wdć, że chocż pukt są eco porozrzuce skutek, powedzm, błędów pomrowch, to jedk wrźe ukłdją sę wzdłuż prostej. Śwdcz to o tm, że mm tu do cze z zleżoścą lową wszelke prób proksmow tch puktów welomem terpolcjm ( czwrtego stop, któr musłb przez e przechodzć, e mją wększego sesu. Rówe prostej m postć stępującą: = +b, gdze b to współczk, którch chwlowo e zm. Poszukwe prmetrów tkej prostej, któr b przechodzł możlwe jblżej wszstkch puktów dośwdczlch (,, poleg mmlzcj sum: [ ( ] S(, b [ ( b] (. J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

3 gdze ( to wrtośc współrzędej oblczoej z rów prostej dl dch. Różce mędz dokłdm wrtoścm orz wrtoścm oblczom z rów prostej są podesoe do kwdrtu, b ukąć możlwośc, że będą sę wzjem zosł skutek różc zków. Z tego też względu przedstwo w tm rozdzle metod postępow os zwę metod jmejszch kwdrtów. Dl dch z Tbel. welkość S będze rów: S(,b= [(, (+b] + [ (+b] +[ (+b] +[ (+b] +[ (+b] Formle rzecz borąc jest to fukcj dwóch zmech b. Iteresują s tke wrtośc tch zmech, dl którch S(,b jest mml. Wdomo, że fukcj welu zmech m mmum w pukce, dl którego pochode cząstkowe tej fukcj po wszstkch zmech są rówe zeru, ztem w tm przpdku muszą bć spełoe wruk: S(, b S(, b b (. czl: [, b](-+[ b](- +[ b]( + [ b](- +[ b](- = orz [, b](-+[ b](- +[ b]( + [ b](- +[ b](- = Po uproszczeu otrzmujem: + b = + b = (. Rozwązem tego ukłdu rówń lowch są welkośc: =, orz b =, N Rsuku. przedstwoo pukt z Tbel. orz lę prostą określoą przez rówe : =,*,. J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

4 - - Rsuek. Aproksmcj dch dośwdczlch krzwm os często mo zwę regresj. W przpdku, gd do tch dch dopsowujem prostą, mówm o regresj lowej. Wprowdźm terz wzor dl regresj lowej w sposób ogól. Rówe l zpszm terz eco czej ż poprzedo jko: p ( = + = ( Fukcj S(, dl dch {(, [ =,...]} m postć:, ( S ( gdze ozcz lczbę puktów. Chcąc zleźć mmum tej fukcj, musm rozwązć ukłd rówń, któr os zwę ukłdu rówń ormlch (rów (. też są ormle. S(, S(,, ( ( ( ( (. Po uporządkowu, otrzmm ukłd rówń: z którego tchmst dostje sę ogóle wzor współczk defujące lę prostą: J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

5 J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM (. Spróbujm określć epewośc pomrowe w probleme regresj lowej. Zkłdm, że epewość w pomrch -ów jest zedbwl. Złożee to jest w peł uzsdoe poewż wet jeśl jkś epewość steje, to jest o ewelk w porówu z epewoścm -ów. Dlej zkłdm, że epewośc wszstkch wrtośc mją tką smą welkość (jeśl tk e jest możem rtowć sę stosowem różch wg sttstczch. Oblczjąc odpowede średe odchlee stdrdowe (błąd stdrdow powśm uwzględć fkt, że jest oo podwższoe z powodu błędów z jkm wlczlśm stłe. Iczej moż powedzeć, że wzczee prmetrów prostej obż lczbę stop swobod szego ukłdu. Zjduje to odzwercedlee w fkce, że lcząc średą dzelm przez (- zmst przez, co powoduje odpowede podwższee wrtośc błędu. s ( gdze (. Po podstweu do wzorów (. dch z Tbel. otrzmujem: = -, =, s =. Tke sme wrtośc współczków prostej oblczlśm poprzedo, rozwązując w prost sposób ukłd rówń (.. Nepewośc prmetrów prostej zjdujem metodm przeosze błędów, trktując te prmetr jko fukcje zmerzoch wrtośc (ptrz rozdz.. Otrzmm w te sposób stępujące wzor błęd stdrdowe wzczoch prmetrów orz : s s s s (. gdze welkość s jest średm stdrdowm odchleem od prostej zdefowm wzorem (..

6 Zstosowe tch wzorów do dch z Tbel. dje: s, ; s, Po wkreśleu puktów dch w Tbel. (Rsuek. ocelśm oko, że są oe powąze zleżoścą lową. W prktce tego tpu oce rczej e wstrcz dltego oblcz sę tzw. współczk korelcj, którego wrtość jest mrą korelcj mędz zmem. Jeśl współczk te jest blsk ozcz to, że welkośc są dobrze skorelowe (lub cłkowce, gd współczk jest rów, co ozcz, że mędz tm zmem prwdopodobe steje jkś zleżość fukcją. W przpdku regresj lowej współczk te os oczwśce zwę współczk korelcj lowej oblcz sę go zgode ze wzorem: r (. Wzór te podjem w postc jlepej djącej sę do oblczeń umerczch. Wrto jedk przjrzeć mu sę blżej, b zrozumeć jego ses. Pokż, że wrżee: w którm śred wrtość jest: moż przeksztłcć do postc: J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

7 Po podstweu do wzoru (. dch z Tbel. otrzmujem r =,. Zmee są ztem dobrze skorelowe złożee, że są powąze zleżoścą lową, jest uzsdoe. Omówoe wżej prmetr regresj lowej (oprócz smch współczków orz zw sę sttstkm Regresj low w Ecelu Ecel wposżo jest w rzędz fukcje sttstcze służące do oblczeń zwązch z regresją lową wkłdczą. Jede ze sposobów szbkego uzsk wrtośc wkjącch z regresj lowej lub wkłdczej poleg wbru obszru komórek zwerjącch de ewetule plus dodtkowe komórk polece Edcj / Wpełj / Sere dch..., Tred, Wersze lub Kolum, Artmetcz lub Geometrcz. Progrm zme de wrtośc leżące prostej puste komórk wpeł stępm wrtoścm leżącm tej prostej. Oto tbelk wkres zrobo w oprcu o tę tbelkę (I:K dl regresj lowej: de są wpse w komórk I:K. Obok (M:Q pokzo te sme oblcze wkoe prz pomoc fukcj sttstczch: I J K L M N O P Q = + b b,,,,,, -,,,, M N O P Q = + b b =$M$*I+$N$ =$M$*J+$N$ =$M$*K+$N$ =REGLINP(I:K;I:K =REGLINP(I:K;I:K =REGLINW(I:K;I:K=REGLINW(I:K;I:K =REGLINW(I:K;I:K J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

8 W komórkch M:N zstosowo formułę tblcową REGLINP, w komórkch O:Q formułę tblcową REGLINW. W Ecelu mm do regresj lowej jeszcze jedą formułę tblcową REGLINX, orz stępujące formuł dzłjące jedej komórce: REGBŁSTD (lcz s, NACHYLENIE (lcz, ODCIĘTA (lcz, WSP.KORELACJI (lcz r, PEARSON (lcz r, R.KWADRAT (lcz r, orz KOWARIANCJA (lcz s. Nstęp przkłd pokzuje zstosowe ektórch z ch. Fukcj REGLINP może lczć ż prmetrów, w przkłdze wbro tlko. A B C D E F G H p (,, -,,,,,,,,,, Sum:,,, = -, NACHYLENIE=, =, ODCIĘTA= -, s=, REGBŁSTD=, s =, PEARSON=, s =, r=,, -,,,,, Arkusz. W kolumch B C Arkusz. zjdują sę de z Tbel., w kolumch D, E, F oblczoo odpowedo kwdrt locz orz. W kolume G mm wrtośc oblczoe z rów prostej dl kolejch, w kolume H kwdrt (ptrz wzór (.. W kolume B od wersz do są współczk prostej orz część sttstk regresj oblczoe podstwe wzorów (... W komórkch od ósmej do jedestej kolum E oblczoo poowe część tch welkośc z użcem odpowedch fukcj Ecel. Wróżo w komórkch D:E tbelk jest mcerzą zwerjącą wk dzł fukcj REGLINP. Jk zwsze, gd mm do cze z fukcją djąc wk w postc mcerz, jperw leż zzczć komórk, w którch mją sę zleźć wk, wwołć fukcję, zdć jej prmetr, stępe csąć jedocześe klwsze Shft, Ctrl orz Eter. Fukcj REGLINP oblcz węcej sttstk ż pokzo w Arkuszu., le tm etpe ogrczlśm sę tlko do tch, które omówoo wżej. Nleż róweż dodć, że w J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

9 wku dzł tej fukcj otrzmujem kwdrt współczk korelcj lowej, e sm współczk (, =,. Regresję lową stosuje sę róweż do zleżośc wrżoch fukcją wkłdczą, poewż logrtmując rówe wkłdcze otrzmujem rówe prostej. Jest to wże zstosowe regresj lowej, bowem zleżośc wkłdcze są powszeche w fzce, chem bolog. Pokżem jk to sę rob przkłdze rozpdu jąder promeotwórczch (Rozdzł. Rozwąze rów opsującego rozpd moż zpsć jko: N t N e gdze jest średm czsem żc zwązm z okresem połowczego zku relcją: Po zlogrtmowu mm: t T / =, l N t l N gdze zmeą jest oczwśce t, czl czs. Wobec tego prmetrm prostej będą ln orz /. W tbelce zmeszczm odpowede oblcze dl dch umeszczoch w dwóch perwszch kolumch. Są to: czs p. w godzch orz szbkość zlcz rozpdów w jedostkch umowch. Wkres zrobo jest w oprcu o zzczoe kolum. W zzczoej szro komórce zjduje sę wlczoe jlepsze przblżee średego czsu żc wkjące z metod regresj lowej. t A B C D t N(t ep.ln(t teoret.ln(t,,,,,,,,,,,, -,,,,,,,, ep.ln(t teoret.ln(t A B C D t N(t ep.ln(t teoret.ln(t, =LN(B =REGLINW(C:C;A:A;A:A, =LN(B =REGLINW(C:C;A:A;A:A, =LN(B =REGLINW(C:C;A:A;A:A, =LN(B =REGLINW(C:C;A:A;A:A =REGLINP(C:C;A:A =-/C =REGLINP(C:C;A:A =EXP(D J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

10 J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM Aproksmcj welomm wższch stop. Oczwśce wele zleżośc spotkch w przrodze e m chrkteru lowego. Strm sę wówczs zleźć welom odpowedego stop, któr przebegłb możlwe blsko wszstkch puktów, które chcem przblżć (dośwdczlch lub otrzmch z jkejś brdzej skomplkowej fukcj. Dl uproszcze złóżm, że mm welom drugego stop wkojm formle wszstke etp metod jmejszch kwdrtów. p ( = + + = ( Fukcj S(,, dl {(, [ =,...]} dch m terz postć: (,, ( S ukłd rówń ormlch wgląd stępująco: (. Po uporządkowu, otrzmm: (. Tk wgląd ukłd rówń ormlch w wpdku, gd welom proksmcj jest stop drugego. Dl stop trzecego otrzmm ukłd: (. ( (,, ( S ( (,, ( S ( (,, ( S

11 J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM Ukłd rówń ormlch odpowdjące welomom proksmcjm wższch stop rozbudowuje sę w sposób logcz. Ukłd rówń ormlch są ukłdm rówń lowch, w którch ewdomm są,,,..., sum różch potęg k orz loczów k grją rolę wolch wrzów orz współczków prz ewdomch. Moż to zpsć w postc mcerzowej jko: Y A X (. Postć mcerz X, A orz Y jest określo przez ukłd rówń ormlch dl dego problemu przkłd w przpdku welomu drugego stop wglądją oe stępująco: X A Y (. Rozwąze tego ukłdu moż uzskć, możąc z lewej stro obe stro rów (. rz mcerz odwrotą X : Y X A (. Przkłd. Zleźć welom proksmując pukt zpse w Tbel.. Tbel.,,,,,,,,,,,,,,,,

12 ,,,, Z Rsuku., przedstwjącego wkres tch puktów, wk, że mm tu do cze z zleżoścą tpu kwdrtowego, ztem fukcją, któr jlepej dje sę do proksmcj, będze welom stop przjmej drugego.,,,,, Stwórzm terz rkusz, któr będze rozwązwł problem zleze współczków welomu proksmującego drugego stop., A B C D E F G H I J Aproksmcj fukcj dej w Tbel. welomem stop drugego = m=,,,, Rsuek. p (,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Sum=,,,,,,,,,,, X=,,, Y=,,,,,, -,,, X - = -,, -, A=X - Y= -,, -,,, Arkusz. s=, J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

13 W werszch od czwrtego do trzstego Arkusz. kolumch od B do H są współrzęde puktów ch róże potęg orz locz, które zgode ze wzorem (. służą do zbudow mcerz X orz Y. W Ecelu jest fukcj odwrcjąc mcerze o zwe MACIERZ.ODW, któr zostł tu wkorzst do otrzm X -. Jk zwkle, ked użw sę fukcj djącej w wku mcerz, leż jperw zzczć komórk, w którch m zostć zps rezultt, wwołć odpowedą fukcję ( w tm wpdku MACIERZ.ODW, zdć jej prmetr csąć jedocześe klwsze Ctrl, Shft orz Eter. W stępm kroku oblcz sę (zgode ze wzorem (. locz mcerz X - orz Y. Tm rzem tkże moż sę posłużć fukcją Ecel o zwe MACIERZ.ILOCZYN. W rezultce tego może otrzmuje sę mcerz A, której elemetm są współczk welomu proksmującego p (, mowce,,. W kolume I umeszczoo wrtośc tego welomu oblczoe dl wszstkch wrtośc. W osttej kolume J mm kwdrt welkośc, czl różc mędz prwdzwm wrtoścm wrtoścm welomu proksmującego. Służą oe do oblcze średego odchle od krzwej, które w ogólm wpdku (porówj ze wzorem (. defuje sę stępująco: s m l m l l m (. gdze to lczb puktów proksmowch, m to stopeń welomu proksmującego. N Rsuku. przedstwoo wkres prbol określoej przez tk oblczoe w Arkuszu. współczk puktów z Rsuku..,,,,,,,,,, Rsuek. J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

14 W stucj, gd chcem zstosowć w proksmcj welom wższch od drugego stop, postępujem logcze. Njperw zgode ze schemtem omówom podczs dskusj wzorów (. (. rozbudowujem mcerze X orz Y, potem powtrzm oblcze przedstwoe w Arkuszu.. Przkłd. Wkorzstując Arkusz. oblczć współczk welomu drugego stop proksmującego fukcję f( = s( w przedzle [,]. Tbelrzując fukcję f(, przjąć krok h =,. A B C D E F G H I J Aproksmcj welomem stop k fukcj f(=s( = k= p (,,,,,,, -,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, -,, Sum=,,,,,,,,,,, X=,,, Y=,,,,,, -,, -, X - = -,, -, A=X - Y=,, -,, -, s=, Arkusz. N Rsuku. przedstwoo wkres puktów otrzmch w wku tbelrzcj fukcj f( = s( orz wkres welomu, którego współczk oblczoo w Arkuszu.. J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

15 ,,,, p(,,,,,,,, Rsuek. Jkob Problem poszukw współczków welomu proksmcjego moż uproścć, wprowdzjąc tzw. jkob. Zm to zrobm, pszm jperw welom proksmcj stop m: ( = p m ( = m m (. Jeżel terz polczm pochode tk zpsego welomu po wszstkch współczkch (trktowch jko zmee, otrzmm: ( ( ( ( ; ; ; m m Te pochode (fukcje przjmują dl kokretch (współrzędch puktów, które chcem proksmowć wrtośc: ( ; ( ( ( ; ; m m Zbudujm terz mcerz, której elemet moż zpsć ogóle w postc: (, gdze j wskźk, umerując wersze, zme sę od do (lczb puktów proksmowch, j, umerując kolum, zme sę od do m. J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

16 J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM m m m m m ( ( ( ( (. Elemet tbel (. tworzą mcerz zwą jkobem ozczą lterą J. Dl przkłdu jkob odpowdjąc problemow rozwązemu w Arkuszu. (welom drugego stop proksmując puktów m postć mcerz o wmrch : J Łtwo terz zuwżć, że po pomożeu jkobu trspoowego rz jkob otrzmm mcerz X ze wzoru (. J J T Dzęk wprowdzeu jkobów możem ztem zcze uproścć tworzee mcerz X, co bło jbrdzej prcochłoą częścą przedstwoego w Arkuszu. sposobu

17 rozwązw problemu proksmcj welomem drugego stop. Zmodfkow w te sposób Arkusz. wgląd stępująco: A B C D E F G H I J Aproksmcj fukcj dej w Tbel. welomem stop drugego = m= p (,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, J=,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Sum=,,,,,,, X=J T J=,,, Y=,,,,,, -,,, X - = -,, -, A=X - Y= -,, -,,, s=, Arkusz. Wdć, że w Arkuszu. Arkuszu. otrzmlśm detcze wk, tle że w Arkuszu. udło m sę tego dokoć mejszm kosztem. Po perwsze e bło potrzeb tworze kolum z, le jeszcze wżejsze jest to, że mcerz X e tworzlśm tu ręcze, wpsując do ej sum odpowedch potęg, lecz oblczjąc ją jko J T J z pomocą jedej formuł ecelowskej: =MACIERZ.ILOCZYN (TRANSPONUJ(B:D;B:D Korzśc ze stosow jkobów są jeszcze brdzej wdocze, ked welom proksmcj jest wższego stop ż drug. Przkłd. Stworzć rkusz, któr będze oblczł współczk welomu trzecego stop proksmującego fukcję f( = s( w przedzle [,]. Tbelrzując fukcję f(, przjąć krok h =,. J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

18 A B C D E F G H I J K L Aproksmcj welomem stop trzecego fukcj f(=s( = m= p (,,,,,, -,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, J=,,,,,,,,,,,,,,,,E-,,,,, -, -, -, -, -,,,,, -, -, -, -, -,,,,, -, -, -, -, -,,,,, -, -, -, -, -,,,,,,,, -,E-,,,,,,, X=,,,, Y= -,,,,, -,,,,, -,, -,, -, -, X - = -,, -,, A=X - Y=,, -,, -, -, -,, -,,, Sum=, -, -, -,, s=, N Rsuku. przedstwoo wkres puktów otrzmch w wku tbelrzcj fukcj f( = s( w przedzle [,] orz wkres welomu, którego współczk oblczoo w Arkuszu.. Arkusz.,,, -,,,,,,, p( -, -, Rsuek. J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

19 Iterpolcj proksmcj N terpolcję moż spojrzeć jk wzcze współczków welomu podstwe reprezetcj tego welomu przez wrtośc w puktch, które zwlśm węzłm terpolcj. Dl węzłów moż wzczć welom stop - (ścślej: welom o ogrczeu stop. Jedozczość tk określoego welomu terpolcjego moż mtemtcze udowodć []. Pmętm, że welom terpolcj mus spełć wruk terpolcj, czl przjmowć w węzłch dokłde tke wrtośc, jke wkją z dch puktów. Moż to zpsć w elegckej postc mcerzowej w stępując sposób: V A = Y Pojwł sę w tm zpse mcerz, którą zwlśm jkobem. Jest to szczegól przpdek jkobu, mcerz o wmrch wkjącch z lczb węzłów: dl węzłów umerowch od do - (zchowlśm umercję od poewż tk zwklśm umerowć współczk welomu wmr tej mcerz jest rz +. W lterturze zw sę ją mcerzą Vdermode. Moż przekoć sę, że dl różch węzłów jest o mcerzą eosoblwą, węc odwrclą. Wobec tego mcerz współczków welomu terpolcjego moż wzczć w stępując sposób: A = V - Y Ne jest to jszbsz lgortm terpolcj, le czsm jest wgod wrto o m pmętć. Jeśl porówm go z lgortmem proksmcj welomowej z poprzedego rozdzłu, to zuwżm, że welom proksmcj może bć ższego stop ż terpolcj przebeg pomędz węzłm w sposób wzczo przez metodę jmejszch kwdrtów, podczs gd welom terpolcj przechodz dokłde przez wszstke węzł terpolcj, le z to m często dość skomplkową postć. Spójrzm jk wpde grfcze porówe obu welomów dl obu bdch poprzedo przkłdów. J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM

20 w el.t. w el.pr.,,,,,,,,,,, w el.t. w el.pr. -, - -, Ltertur. Joh R. Tlor, Wstęp do lz błędu pomrowego, PWN Wrszw.. Thoms H. Corme, Chrles E. Leserso, Rold L. Rvest, Wprowdzee do lgortmów, WNT,. J Pk, Izbell Foltowcz - Zkłd Chem Teoretczej UAM