MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Transkrypt

1 MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

2 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Układem rówań azywamy rówośc, w których występuje a ogół ewadomych. Każdy układ rówań daje sę sprowadzć do postac:,,,...,,...,,,..., Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

3 Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ.94,,.9895 s,, 6.44l,, e Przykładowy układ rówań

4 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Układ rówań możemy zapsać w postac wektorowej: [,,... ],,... ] [ [,,...] fukcjawektorowa wektorewadomych wektorzerowy Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 4

5 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Aaltycze rozwązae układów jest możlwe w rzadkch przypadkach, gdy za pomocą różych przekształceń moża układ sprowadzć do rówaa algebraczego stopa co ajwyżej 4. Przykład: Wyzaczając z drugego rówaa podstawając do rówaa perwszego otrzymujemy rówae 4 tego stopa: Rówae to ma dwa perwastk rzeczywste:, =, =-.57 Podstawee tych wartośc do drugego rówaa daje, =, =.66 Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

6 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Stosukowo często w welu zastosowaach występują układy rówań lowych. Układy take moża rozwązywać aaltycze za pomocą welu metod. Układ rówań lowych moża zapsać astępująco: a a... a w a a... a w a a... a w Współczyk lczbowe występujące po lewej stroe tworzą tzw. macerz główą układu. Lczby po prawej stroe tworzą tzw. wektor wyrazów wolych. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

7 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH gdze: Układ rówań lowych ma jedozacze rozwązae wtedy, gdy wyzaczk macerzy główej jest róży od zera. Spośród welu metod aaltyczych rozwązywaa układów lowych przypomam metodę wyzaczkową Cramera: Zgode z tą metodą rozwązae lowego układu rówań jest dae za pomocą wzorów: det A det A det A... det A det A det A A macerz główa układu A macerz główa, w której - tą kolumę zastąpoo wektorem wyrazów wolych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

8 Numerycze metody rozwązywaa rówań lczbowych Bardzo często w praktyczych zastosowaach występuje koeczość rozwązywaa rówań, których e moża rozwązać aaltycze. Są to rówaa algebracze stopa wyższego ż 4 lub awet proste rówaa, w których występują zależośc fukcyje. W takch przypadkach stosowae są metody przyblżoe często azywae umeryczym. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

9 Numerycze metody rozwązywaa rówań lczbowych. Uwag ogóle. Błąd perwastka rówaa. Metoda bsekcj 4. Metoda regula fals 5. Metoda seczej 6. Metoda Newtoa styczej 7. Metoda teracj prostej 8. Numerycze rozwązywae układów rówań Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

10 { } RÓWNAŃ Załóżmy że mamy do rozwązaa rówae: G Numerycze rozwązywae tego rówaa polega a kostrukcj cągu lczbowego zbeżego do szukaego perwastka:,,...,,... lm szukay perwastek rówaa. G Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej, prof. Ato Kozoł

11 RÓWNAŃ W zwązku z tym, że w praktyce zamast gracy ależy przyjąć kokrety, skończoy wyraz cągu, w metodach umeryczych dużą rolę odgrywa zagadee dokładośc oblczeń lub też błędu perwastka lub rówaa. Błędem perwastka będzemy azywać wartość absolutą różcy rzeczywstego perwastka * a kokretym wyrazem cągu lczbowego kończącym kostrukcję: Błędem rówaa azywamy wartość absolutą różcy rzeczywstych wartośc fukcj G w pukce : G y Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej, prof. Ato Kozoł

12 RÓWNAŃ Pojęca błędu perwastka rówaa dla rówaa = moża pokazać grafcze: y y= * y Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej, prof. Ato Kozoł

13 RÓWNAŃ Kostrukcję cągu { } kończy sę gdy błąd perwastka lub błąd rówaa lub obydwu wartośc będze mejszy od z góry zadaej lczby dodatej ε. lub y lub y Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej, prof. Ato Kozoł

14 RÓWNAŃ Isteje klka metod przyblżoego umeryczego rozwązywaa rówań z jedą ewadomą. Tutaj zaprezetuję Państwu 5 takch metod. Wszystke metody zostaą przedstawoe w postac algorytmów przepsów za pomocą kolejych kroków.. Metoda połowea przedzału bsekcj Metodę stosujemy do rówaa postac: Krok - Za pomocą dowolej metody zajdujemy przedzał [a,b ], w którym fukcja ma a brzegach przedzału róże zak czyl speła waruek: a b Jeżel fukcja jest cągła to wemy wtedy że perwastek zajduje sę w przedzale [a,b ]. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 4

15 RÓWNAŃ Krok - Dzelmy przedzał a pół tz. zakładamy że perwszym przyblżeem perwastka jest środek przedzału: a b a a b Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 5

16 Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej RÓWNAŃ Metoda bsekcj cd. : : : : b b a b a a b a Krok - Badamy zak fukcj w pukce porówujemy ze zakam tej fukcj a brzegach przedzału. Porówae to daje am formację, w której połówce zajduje sę szukay perwastek. Jest o zawsze tam gdze zak a brzegach są róże. Po tej lokalzacj perwastka do dalszej procedury berzemy odpowedą połówkę. W tym celu środek przedzału podstawamy jako brzeg b lub a.

17 RÓWNAŃ Metoda bsekcj cd. Krok 4 - Wracamy do kroku tz. owy przedzał dzelmy a pół zajdujemy druge przyblżee perwastka. Następe powtarzamy krok td. Powstaję w te sposób typowa pętla umerycza, którą przerywamy wtedy gdy osągemy żądaą dokładość oblczeń. Żądaą dokładość oblczeń a ogół określa sę wyberają pewą dostatecze małą dodatą lczbę ε, p. ε = -6. Pętla kolejych oblczeń zostaje przerwaa, gdy długość aktualego przedzału będze mejsza od zadaej dokładośc, tz.: b a Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 7

18 RÓWNAŃ Metoda bsekcj cd. W przypadku metody bsekcj moża z góry określć lczbę kroków wymagaą do osągęca żądaej dokładośc. Kostrukcja metody prowadz do wzoru: b lg a Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

19 RÓWNAŃ Metoda bsekcj cd. Grafcza lustracja metody bsekcj: y b y= a b a * Metoda bsekcj jest zawsze zbeża, pod warukem zalezea przedzału [a,b ] Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 9

20 RÓWNAŃ Metoda regula fals. Metoda regula fals Metodę stosujemy do rówaa postac: Krok - Za pomocą dowolej metody zajdujemy przedzał [a,b ], w którym zajduje sę szukay perwastek *. ukcja ma wtedy a brzegach przedzału róże zak czyl mus spełać waruek: a b Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

21 RÓWNAŃ Metoda regula fals Krok - Zakładamy, że w przedzale tym fukcja jest lowa. Prowadz to do astępującego wzoru określającego perwsze przyblżee perwastka: a b b b a a Otrzymay pukt dzel perwoty przedzał a dwa a ogół erówe podprzedzały. W jedym z tych podprzedzałów będze sę zajdował szukay perwastek. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

22 Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej RÓWNAŃ metoda regula fals cd. : : : : b b a b a a b a Krok - Oblczamy wartość fukcj w pukce a zak tej wartośc porówujemy ze zakam tej fukcj a brzegach przedzału. Porówae to daje am formację, w którym podprzedzale zajduje sę szukay perwastek. Jest o zawsze tam gdze zak a brzegach są róże. Po tej lokalzacj perwastka do dalszej procedury wyberamy odpowed podprzedzał. W tym celu oblczoy pukt podstawamy jako brzeg b lub a.

23 Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej RÓWNAŃ metoda regula fals cd. Krok 4 - Wracamy do kroku tz. owy przedzał dzelmy a dwe częśc za pomocą założea lowośc zajdujemy druge przyblżee perwastka. Wzór wykający z tego założea dla tego przyblżea jest astępujący: a b a b b a

24 RÓWNAŃ metoda regula fals cd. Następe powtarzamy krok td. Pętla kolejych oblczeń zostaje przerwaa, gdy długość aktualego przedzału będze mejsza od zadaej dokładośc, tz.: b a W przypadku metody regula fals e moża z góry określć lczby kroków koeczych do osągęca żądaej dokładośc. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

25 RÓWNAŃ metoda regula fals cd. Grafcza lustracja metody regula fals : y b y= a b a * Metoda regula fals podobe jak metoda bsekcj jest zawsze zbeża, pod warukem zalezea przedzału [a,b ] Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 5

26 Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej RÓWNAŃ Metoda seczej. Metoda seczej Metodę stosujemy do rówaa postac: Krok - Za pomocą dowolej metody zajdujemy dwe róże lczby a b leżące w poblżu szukaego perwastka *. Następe oblczamy wartośc fukcj a b. W zależośc od tych wartośc określamy dwa perwsze przyblżea : : : : : a b b a b a b a

27 Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 7 RÓWNAŃ Metoda seczej Krok - Na podstawe zajomośc wartośc fukcj w dwu poprzedch przyblżeach oblczmy wartość kolejego przyblżea stosując wzór zakładający lową postać fukcj prowadzmy seczą przez te pukty stąd azwa metody : Otrzymujemy w te sposób cąg kolejych wartośc perwastka,,,

28 RÓWNAŃ metoda seczej cd. W celu oszacowaa dokładośc a każdym etape oblczamy wartość szacukowego błędu : Na ogół pętlę oblczeń przerywa sę gdy: Metoda seczej może być rozbeża tz. koleje błędy mogą wzrastać. W takm przypadku ależy zmeć pukty startowe lub metodę. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 8

29 RÓWNAŃ metoda seczej cd. Grafcza lustracja metody seczej: y y= * Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 9

30 RÓWNAŃ Metoda Newtoa styczej 4. Metoda Newtoa styczej Metoda ta jest bardzo zaa często stosowaa. Metodę stosujemy do rówań w postac: Warukem stosowalośc metody jest różczkowalość fukcj w poblżu perwastka. Poadto wartość pochodej fukcj mus być róża od zera. Ozacza to, że metoda e adaje sę do rówań, w których perwastek jest jedocześe ekstremum lub puktem przegęca. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

31 RÓWNAŃ Metoda Newtoa styczej Krok - Za pomocą dowolej metody zajdujemy przyblżoą wartość perwastka oraz przyjmujemy że = Krok - Różczkujemy fukcję oblczamy pochodą Krok - Oblczamy przyblżee astępe + za pomocą wzoru teracyjego a podstawe przyblżea poprzedego ' Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej Istotą metody Newtoa jest przyjęce że fukcja ma w poblżu perwastka przebeg lowy zblżoy do styczej jej wykresu w pukce. Wzór powyższy wyka z tego założea.

32 RÓWNAŃ Metoda Newtoa styczej Krok 4 - Oblczamy różcę + - porówujemy ją z zadaą dokładoścą ε. Krok 5 - Jeżel aktuala dokładość jest mejsza od założoej to zwększamy umer o wracamy do kroku. Oblczea przerywamy po uzyskau zadaej dokładośc. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

33 RÓWNAŃ Metoda Newtoa cd. Grafcza lustracja metody styczej: y y= * ' ' Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej Metoda Newtoa może być rozbeża. W takm przypadku ależy albo poszukać owego przyblżea początkowego albo przekształcć rówae do ej postac albo też zmeć metodę.

34 RÓWNAŃ Metoda teracj prostej 5. Metoda teracj prostej Jest to ajprostsza z stejących metod umeryczych. Metodę stosujemy do rówań postac: f Krok - Za pomocą dowolej metody zajdujemy przyblżoą wartość perwastka oraz przyjmujemy że = Krok - Oblczamy przyblżee astępe + za pomocą wzoru teracyjego a podstawe przyblżea poprzedego będącego bezpośredm zapsem rówaa: f Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

35 RÓWNAŃ Metoda teracj prostej Krok - Oblczamy różcę + - porówujemy ją z zadaą dokładoścą ε. Krok 4 - Jeżel aktuala dokładość jest mejsza od założoej to zwększamy umer o wracamy do kroku. Oblczea przerywamy po osągęcu zadaej dokładośc. Róweż metoda teracj prostej dosyć często jest rozbeża. W takm przypadku zmaa przyblżea początkowego c e daje. Należy albo przekształcć rówae do ej postac albo też zmeć metodę. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 5

36 RÓWNAŃ Metoda teracj prostej cd. Za pomocą lustracj grafczej moża pokazać przypadk, w których metoda ta jest zbeża lub rozbeża. Rozpatrzmy ajperw fukcje rosące. y y= y y=f y= f f y=f f f * * Metoda zbeża Metoda rozbeża Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 6

37 RÓWNAŃ Metoda teracj prostej cd. A teraz fukcje malejące. y f f y= y=f y f f y=f y= * Metoda zbeża * Metoda rozbeża Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 7

38 RÓWNAŃ Metoda teracj prostej cd. Jeżel fukcja f jest różczkowala to moża w prosty sposób określć zbeżość metody teracj prostej. O zbeżośc metody decyduje astępujące twerdzee: Jeżel w poblżu perwastka rówaa =f pochoda fukcj f speła waruek: f ' to metoda jest zbeża. Jeżel atomast f ' to metoda jest rozbeża. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 8

39 Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 9 NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ Układy podobe jak pojedycze rówaa moża rozwązywać metodam aaltyczym dokładym lub umeryczym przyblżoym. Aaltycze moża rozwązywać p. układy rówań lowych lub ektóre proste układy elowe. W metodach umeryczych kostruuje sę cąg wektorów zbeży do wektora perwastków ewadomych. W zwązku z tym, że jest to cąg wektorowy, charakter wektorowy ma róweż dokładość perwastka dokładość rówań. ],...,, [ ],...,, [ y y y y ],...,, [ ],...,, [

40 NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ W celu stwerdzea kedy ależy zakończyć kostrukcję cągu rozwązań koecze jest zormalzowae czyl zmerzee powyższych wektorów. Najczęścej stosowae są dwe ormy: jedostaja średokwadratowa. Stosowae ormy jedostajej jest bardzej rygorystycze ż ormy średokwadratowej, tz. że orma jedostaja zazwyczaj prowadz do dłuższych oblczeń. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 4

41 UKŁADÓW RÓWNAŃ Norma jedostaja: ma j j Norma średokwadratowa: Rozważmy przykładowy wektor: j j [.,.,.] ma.,., Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 4

42 UKŁADÓW RÓWNAŃ Kostrukcja cągu rozwązań jest przerywaa gdy orma wybraej dokładośc perwastka lub rówaa staje sę mejsza lub rówa zadaej dokładośc oblczeń ε czyl: lub y albo y Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 4

43 UKŁADÓW RÓWNAŃ. Metoda teracj prostej. Aby zastosować tę metodę układ rówań ależy przekształcć do postac: f W perwszym kroku trzeba zaleźć perwsze przyblżee wektora ewadomych czyl startowe wartośc wszystkch ewadomych. Koleje wyrazy cągu zajdujemy bezpośredo za pomocą rówaa tz.: f Metoda jest zbeża gdy cąg orm wektora dokładośc jest zbeży do zera. Na ogół jedak metoda teracj prostej e jest zbeża. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 4

44 Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 44 UKŁADÓW RÓWNAŃ.94,,.9895 s,, 6.44l,, e Spróbujmy rozwązać metodą teracj prostej asz przykładowy układ rówań: Za pomocą prostych przekształceń układ te moża doprowadzć do postac: 6.44l,, l.94,, s.9895,, f f f

45 UKŁADÓW RÓWNAŃ Załóżmy że początkowy wektor rozwązań wyos:.9.9 Za pomocą wzorów określających postać teracyją układu moża oblczyć koleje wektory rozwązaa: Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej Wdzmy że metoda jest zbeża a wektor rozwązań wyos:.. 5.

46 UKŁADÓW RÓWNAŃ. Metoda Newtoa - Raphsoa. Jest to adaptacja metody styczej do układów rówań. Metodę stosuje sę do układu w postac: W perwszym kroku trzeba zaleźć perwsze przyblżee wektora ewadomych czyl startowe wartośc wszystkch ewadomych. Koleje wyrazy cągu zajdujemy za pomocą astępującej procedury: Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej

47 UKŁADÓW RÓWNAŃ ' [,,..., gdze ] - wektor przyrostów wyzaczay za pomocą układu rówań lowych w zapse macerzowym: ozacza macerz kwadratową pochodych cząstkowych fukcj wektorowej. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 47

48 Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 48 UKŁADÓW RÓWNAŃ Peły zaps tego pomocczego układu rówań jest astępujący: Proces kostrukcj cągu rozwązań przerywamy gdy orma średokwadratowa lub jedostaja wektora przyrostów osąge zadaą dokładość ε. j j

49 UKŁADÓW RÓWNAŃ Rozwążmy za pomocą metody Newtoa Raphsoa asz przykładowy układ rówań. Załóżmy że początkowy wektor rozwązań wyos: Podstawając te wartośc do zasadczego układu rówań lowych otrzymujemy wektor przyrostów Δ: [.58,.6778,.475] Dodając odpowede przyrosty otrzymujemy poprawoy wektor rozwązań: Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 49

50 UKŁADÓW RÓWNAŃ Podstaweu owych wartośc prowadz do drugego wektora Δ: [.644, co daje kolejy wektor rozwązań: dalej:.77,.7858] [.54,.58,.946] [.585,.95, ] Wdzmy, że w czwartej teracj otrzymalśmy dokładość rzędu jedej tysęczej. Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 5

51 To a dzsaj wystarczy.. Dzękuję bardzo Państwu za uwagę! Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej 5