Drgania układów o wielu stopniach swobody

Transkrypt

1 Drgaia układów o wielu sopiach swobody

2 Cechy układu o N sopiach swobody isieje dokładie N posaci drgań własych każda posaci drgań ormalych ma własą cęsość i ksał określoy pre sosuki ampliud Gdy układ wykouje drgaie ormale i i cosωϕ wsyskie elemey mają ę sama cęsość wsyskie elemey mają o samo presuięcie faowe mijają puk rówowagi w ym samym momecie! każdy eleme masy doaje akiej samej siły kierującej a jedoskę masy k && m Jeśli więc układ ma ry sopie swobody i dla daego modu drgań własych sosuki ampliud wyosą :-:3 o jeśli cos ω ϕ Casami używa się apisu wekorowego opisującego day mod drgań. Rowiąaie ogóle jes sumą akich wekorów własych 3 3 r cos ω ϕ 3

3 N N N3 Jak mieiają się posacie drgań 3 N Im więksy ką achyleia pomiędy sąsiedimi sprężykami ym więksa siła kierująca ym więksa cęsość drgań ω ω > ω ω 3 > ω N N Id.. Licba kofiguracji N Pierwsa posać: brak węłów opróc amocowaia Osaia posać o ajwyżsej cęsości N- węłów opróc amocowaia

4 Graica ciągłości układu Jeśli licba elemeów układu N jes bardo duża p. 6 o odległości pomiędy elemeami są małe o układ saje się ciągły. Dla pierwsych kilku ysięcy modów drgań o ajiżsych cęsościach blisko siebie leżące elemey porusają się prakycie ak samo Pojawiają się fale! Zamias używać położeń każdego elemeu 3... N Używać fukcji ciągłej położeia r x y gdie x y położeia roważaego elemeu układu bliskiego ooceia ego puku r r r x y x y e x y e x x y y x r x y e y x y

5 Drgaia fale podłuże i poprece Roważmy sruę rociągięą wdłuż osi dla położeia rówowagi dla wsyskich puków x y r r r x y e e x x y y r e y Drgaia podłuże: Drgaia poprece: Polaryacja x r r e r r e p L x px x py y r e r x y e y chwilowe wychyleia połażeia rówowagi wdłuż chwilowe wychyleia połażeia rówowagi wdłuż x lub y

6 Rówaie falowe dla sruy Drgaia poprece spolaryowae x θ θ - siła aciągu Roważmy ruch iewielkiego elemeu długości Rówaie Newoa m F x F x m ρ ρ - gęsość liiowa si θ si θ

7 cos cos si si θ θ θ θ θ θ g g F x Dwa róże podejścia: - prybliżeie małej długości swobodej poioma siła apiająca sruę /cosθ cyli cosθ - prybliżeie małych drgań: cosθ poioma sila apiajaca cosθ g g F x θ θ F x Rówaie ruchu: ρ ρ Klasyce rówaie falowe: ρ υ - prędkość fali

8 Fale sojące w sruie Drgaia ormale: każdy eleme sruy wykouje drgaia posaci: cos ϕ ω a sama cęsość ω o samo presuięcie faowe ϕ ieależa od casu ampliuda cos ϕ ω ω cos d d ϕ ω Różickujemy * * d d ρ ω Rówaie oscylaora harmoicego! cos si d d ρ ν ρ ω cos υ ρ ν

9 Waruki bregowe cos si cos ϕ ω Srua amocowaa w ora L sąd si cos ϕ ω L si L L L L L L ν ν ν ν ν υ ν υ ν Cęsości harmoice!

10 Posacie drgań sruy amocowaej dwóch końców ρ L v ρ v v L 3 L v L v v v Cęsości sru amocowaych p. jedego końca lub dwoma końcami swobodymi są ie. Waro sprawdić

11 Zwiąek dyspersyjy ν ρ Wprowadamy licba falową Fale sojące ie biegą ale moża je łożeie fal biegących w preciwe sroy. ν k ρ ω k υk prędkość faowa k ω ρ Warość k ależy od waruków bregowychdla : k L

12 alia Fouriera Najogóliejse rówaie ruchu sruy ciągłej orymujemy pre superpoycję Wsyskich drgań ormalych cos ω ϕsi k cos ω ϕsi k Cęsość i licba falowa są e sobą wiąae Roważmy waruek pocąkowy: f dla ω υ k k Prędkość pocąkowa sruy rówa eru Dopuscając presuięcia faowe ϕ ϕ waruek ikaia predkosci akie aloeie dopusca miae aku poscególych ampliud si kcos ω si kcos ω... f si k si k... Rowiięcie Fouriera sereg Fouriera fukcji f!...

13 Rowiięcie fukcji okresowej Prypadek scególy dla sruy amocowaej w ora L: f si kcos ω si kcos ω... f L f okresowa okresem k k k 3 Uogólieie kosruujemy fukcję F -L -L L L 3L F okresowa okresem k k k 3 F [ si k cos k ]

14 cos si k k F d mk F d mk F d F m m cos si Rowiięcie w sereg Fouriera rosądej fukcji F

15 Wygoda obliceń Poieważ si cos mk i mk e imk d e F i imk m m d e F e d e F imk m imk m R Im

16 Wyaceie współcyików Współcyik Całkujemy obusroie ** od do cyli po okresie L cos si k k F ** d cos si k d k d F cos si d k d k bo całkujemy fukcje okresowe po wielokroości okresu ajdlusy okres d F Sąd recywiście:

17 Wyaceie współcyików F si k cos k Współcyiki Możymy obusroie pre simk obusroie ** i całkujemy od do cyli po okresie L. calka ika bo calkujemy fukcje okresowa po okresie Dla m si mk d 3 Dla m si mk si k d Gdyż achodi ożsamość si mk si k cos m k cos m k ** Każdy dwóch wyraów po prawej sroie jes rówie cęso dodai jak i ujemy więc całka po okresie ika! m F si mk d

18 Wyaceie współcyików Współcyiki Możymy obusroie pre cosmk obusroie ** i całkujemy od do cyli po okresie L i dalej podobie jak m Korysamy ego że cos mk si k si m k si m k Próc całki dla m odpowiedie całki ikają i dosajemy: m F cos mk d

19 alia Fourierowska fukcji ależej od casu Wysarcy asąpić k ω F ω - -

20 Roparmy rokład fukcji prosokąej F -L -L L L 3L m m 4 m dla dla m parysych m ieparysych F si si si... si L 3 L 5 L L

21 f Prosoką 4/sik /sik /3si3k 4/sik /3si3k /5si5k 4/sik /3si3k /5si5k /7si7k L L alia prebiegów periodycych w presrei k L ω alia prebiegów periodycych w casie

22 Prebieg rójkąy si/* /9*si3/* /5*si3/* 3 5 F si si si

23 Ewolucja casowa sruy Zając współcyiki w seregu Fouriera dla ksału sruy w chwili f si k si k... Możemy określić ewolucje casową drgań sruy. Wysarcy dołożyć odpowiedie cyiki casowe! si kcos ω si kcos ω... Dla sruy kórej wychyleie w chwili pocąkowej miało ksał rójkąa będiemy mieć: si cos ω si cos3ω si cos5ω L 3 L 5 L Najlepiej asymulować o samodielie a kompuere...

24 Układy dyskree ra jesce

25 Drgaia podłuże układu mas i sprężyek Roparmy N ciężarków połącoych N sprężyek Sa rówowagi N- N m m m m. K K K K x a a N-a Na NaL. Ogóla kofiguracja Rówaie ruchu dla -ego ciężarka N- N d m d K K

26 Posacie drgań ormalych... cos ω cos ω cos ω cos ω ϕ ϕ ϕ cos ω ϕ ϕ Oblicmy: d d d m d ω ω cos ω Po podsawieiu do rówaia: ϕ K K i pobyciu się cyika cosω dosajemy mω K Sad rówaie wyacajace kofiguracje drga wlasych o cesosci ω m K ω Pre aalogię do sruy posukajmy rowiąań posaci: si a si ka - długość fali k licba falowa

27 si k a si ka ka [si kacos ka cos kasi ka] sika si k a si ka ka [si kacos ka cos kasi ka] po dodaiu sroami: si kacos ka cos ka Sąd cos ka m K ω m cos ka ω K K K ka ka 4K ka ω cos ka cos si si m m m Cyli osaecie: 4 K ka ω si m Waro prećwicyć użycie licb espoloych badając rowiąaia posaci Zależość pomiędy cęsością ω a licba falowa k cy e dlugoscia fali wyraa wiaek dyspersyjy dla ukladu mas polacoych spreykami. * Ce ika

28 si kacos[ ω k ϕ] N sika si k N a si kl Rowiąaie ogóle Waruek ikaia dla spełioy erowy ciężarek uieruchomioy Waruek ikaia wychyleia dla LNa uieruchomieie N ciężarka Isieje N rowiąań ego rówaia: k L kl... k L m... k L m N N Isieje Ograiceie! k max N L L mi L k N N max a a mi a o cecha układów dyskreych!

29 Dyspersja dla fooów w łocie Model krysału aomy masy połącoe sprężykami Drgaia sieci fooy drgaia włase cy eż fale propagujące się w krysałach J. W. Ly H. G. Smih ad R. M. Nicklow Phys. Rev Prosy model ieźle pracuje Cerwoe krywa: ωω ka si