Drgania układów o wielu stopniach swobody

Transkrypt

1 Drgaia układów o wielu sopiach swobody

2 N N N3 Jak mieiają się posacie drgań 3 N Im więksy ką achyleia pomiędy sąsiedimi sprężykami ym więksa siła kierująca, ym więksa cęsość drgań ω ω > ω ω 3 > ω N N Id.. icba kofiguracji N Pierwsa posać: brak węłów opróc amocowaia Osaia posać o ajwyżsej cęsości N- węłów opróc amocowaia

3 Cechy układu o N sopiach swobody isieje dokładie N posaci drgań własych każda posaci drgań ormalych ma własą cęsość i ksał określoy pre sosuki ampliud Gdy układ wykouje drgaie ormale i i cosωϕ wsyskie elemey mają ę sama cęsość, wsyskie elemey mają o samo presuięcie faowe mijają puk rówowagi w ym samym momecie! każdy eleme masy doaje akiej samej siły kierującej a jedoskę masy && k m Jeśli więc układ ma ry sopie swobody i dla daego modu drgań własych sosuki ampliud wyosą :-:3, o jeśli cos ω ϕ 3 3 Casami używa się apisu wekorowego opisującego day mod drgań. r Rowiąaie ogóle jes sumą akich wekorów własych cos ω ϕ 3

4 Prykład układu o wielu sopiach swobody - drgaia sieci krysalicej fooy

5 MODE KRYSZTŁU Drgaia podłuże układu mas i sprężyek Roparmy N ciężarków połącoych N sprężyek Sa rówowagi N- N m m m m. K K K K x a a N-a Na Na. Ogóla kofiguracja Rówaie ruchu dla -ego ciężarka N- N d m d K K

6 Posacie drgań ormalych... cos ω ϕ cos ω ϕ cos ω ϕ cos ω ϕ cos ω ϕ Oblicmy: d d d m d ω ω cos ω ϕ Po podsawieiu do rówaia: K K i pobyciu się cyika cosω, dosajemy mω K Sąd rówaie wyacające kofigurację drgań własych o cęsości ω m ω K si a si ka Pre aalogię do sruy posukajmy rowiąań posaci: - długość fali k licba falowa

7 si k a si ka ka [si kacos ka cos kasi ka] sika si k a si ka ka [si kacos ka cos kasi ka] po dodaiu sroami: si kacos ka cos ka Sąd cos ka m ω K m cos ka ω K K K ka ka 4K ka ω cos ka cos si si m m m Cyli osaecie: 4K ka ω si m Waro prećwicyć użycie licb espoloych, badając rowiąaia posaci: Zależość pomiędy cęsością ω a licbą falową k cy eż długością fali wyraża wiąek dyspersyjy dla układu mas połącoych sprężykami. * Ce ika

8 si kacos[ ω k ϕ] sika Rowiąaie ogóle Waruek ikaia dla spełioy erowy ciężarek jes uieruchomioy N si k N a si k Isieje N rowiąań ego rówaia: Waruek ikaia wychyleia dla Na, uieruchomieie N ciężarka k, k,... km m,... kn N Isieje ograiceie! k max N mi k N N max a mi a a To cecha układów dyskreych!

9 Dyspersja dla fooów w łocie Model krysału aomy masy połącoe sprężykami Drgaia sieci fooy drgaia włase, cy eż fale propagujące się w krysałach Cerwoe krywa prerywaa: J. W. y, H. G. Smih, ad R. M. Nicklow Phys. Rev. 8, Prosy model ieźle pracuje ω ω si ka

10 Graica ciągłości układu Jeśli licba elemeów układu N jes bardo duża p. 6 o odległości pomiędy elemeami są małe, o układ saje się ciągły. Dla pierwsych kilku ysięcy modów drgań o ajiżsych cęsościach blisko siebie leżące elemey porusają się prakycie ak samo Pojawiają się fale! Zamias używać położeń każdego elemeu,, 3... N Używać fukcji ciągłej położeia r x, y,, gdie, x, y, położeia roważaego elemeu układu bliskiego ooceia ego puku r r r r x, y,, x, y,, e x, y,, e x, y,, e x x y y x y x, y,

11 Drgaia fale podłuże i poprece Roważmy sruę rociągięą wdłuż osi, dla położeia rówowagi dla wsyskich puków x, y r r r r x, y,,, e, e, e x x y y y Drgaia podłuże: Drgaia poprece: Polaryacja, x, r r,, e r r r,, e, p, x r, e,, px x x y e y,, py y chwilowe wychyleia połażeia rówowagi wdłuż chwilowe wychyleia połażeia rówowagi wdłuż x lub y

12 Rówaie falowe dla sruy fale poprece Drgaia poprece spolaryowae x θ T θ, T - siła aciągu T T T Roważmy ruch iewielkiego elemeu długości, Rówaie Newoa m, x, x ρ m ρ - gęsość liiowa, T si θ T si θ

13 cos cos si si, θ θ θ θ θ θ g T g T T T x Dwa róże podejścia: - prybliżeie małej długości swobodej poioma siła apiająca sruę T/cosθT, cyli TcosθT - prybliżeie małych drgań: cosθ, poioma siła apiająca T cosθt, T T T g T g x θ θ, T T x Rówaie ruchu: T ρ T ρ Klasyce rówaie falowe: ρ υ T - prędkość fali

14 ale sojące w sruie Drgaia ormale: każdy eleme sruy wykouje drgaia posaci: cos, ϕ ω a sama cęsość ω o samo presuięcie faowe ϕ ieależa od casu ampliuda cos, ϕ ω ω cos, d d ϕ ω Różickujemy * * T d d ρ ω Rówaie oscylaora harmoicego! cos si d d T ρ ω cos T υ ρ ν różickujemy dwukroie To ma być e sobą gode T ρ ν

15 Waruki bregowe cos si cos, ϕ ω, Srua amocowaa w ora, sąd si cos, ϕ ω, si..., 3,,,, ,, 3,... 3,, 3 ν ν ν ν ν υ ν υ ν Cęsości harmoice!

16 Posacie drgań sruy amocowaej dwóch końców ρ,t, v T ρ v, v 3 3, v3 3 v 4, v4 4 Cęsości sru amocowaych p. jedego końca, lub dwoma końcami swobodymi są ie. Waro o sprawdić samodielie v

17 Zwiąek dyspersyjy ν T ρ Wprowadamy licba falową ν k ω k υ k ρ T ale sojące ie biegą, ale moża je rakować jako łożeie fal biegących w preciwe sroy. prędkość faowa k ω T k ρ Warość k ależa od waruków bregowych dla mamy:

18 Od drgań sruy do aaliy ourierowskiej Najogóliejse rówaie ruchu sruy ciągłej, orymujemy pre superpoycję wsyskich drgań ormalych:, cos ω ϕsi k cos ω ϕsi k Cęsość i licba falowa są e sobą wiąae: Roważmy waruek pocąkowy:,, f, dla k υk ω Prędkość pocąkowa sruy rówa eru Waruek ikaia prędkości dla oaca, że presuięcia faowe spełiają waruek ϕ, ϕ jes o rówoważe dopusceiu miay aku poscególych ampliud,,, Możemy więc apisać:, si kcos ω si kcos ω... Sąd dla : f Ksał sruy w chwili pocąkowej opisay fukcją f, si k si k... Rowiięcie ouriera sereg ouriera fukcji f!...

19 Rowiięcie fukcji okresowej Prypadek scególy dla sruy amocowaej w ora : f, si k si k... f f okresowa okresem k, k, k 3 Uogólieie kosruujemy fukcję okresowa okresem k, k, k 3 [ si k cos k ]

20 cos si k k d k d k d cos si Rowiięcie w sereg ouriera rosądej fukcji Spróbujmy o udowodić. Współcyiki rowiięcia określoe są asępująco:

21 Wyaceie współcyików Współcyik Całkujemy obusroie rówaie** od do cyli po okresie cos si k k ** d d cos si k d k d cos si d k d k bo całkujemy fukcje okresowe po wielokroości okresu ajdłużsy okres!!! d Sąd recywiście: Pierwsy eleme sumy: Poosałe dwa elemey sumy:

22 Wyaceie współcyików c.d. Współcyiki si k cos k Możymy obusroie pre simk rówaie** i całkujemy od do cyli po okresie. całka ika, bo całkujemy fukcję okresową po okresie dla m si mk d cosk d d cosk d 3 Dla m si mk si k d Wyrażeie podcałkowe moża predsawić w posaci: si mk si k cos m k cos m k ** bo fukcja okresowa całkowaa po okresie Każdy dwóch wyraów po prawej sroie jes rówie cęso dodai jak i ujemy, więc całka po okresie ika!

23 4 Całkowaie wyrażeia daje ero, gdyż wyrażeie podcałkowe moża predsawić w posaci: cos k si mk d cos k si mk si m k si m k bo każdy dwóch wyraów po prawej sroie jes rówie cęso dodai jak i ujemy, więc całka po okresie ika! Zaem: si k d si k d

24 Wyaceie współcyików Możymy wór ** obusroie pre cosmk i całkujemy od do cyli po okresie i dalej podobie jak m cos cos cos cos k m k m mk k d k cos Dla m dosajemy podobie jak dla całek m korysamy ego, że: Dla m korysamy ego, że : Każdy dwóch wyraów po prawej sroie rówości jes rówie cęso dodai jak i ujemy, więc całka po okresie ika! cos cos cos m d k d d k d k Sąd:

25 cos si k k d k d k d cos si Cyli o diała! Rowiięcie w sereg ouriera rosądej fukcji Współcyiki rowiięcia określoe są asępująco:

26 Wygoda obliceń waro skorysać Poieważ si cos k i k e ik d e i ik d e e d e ik ik R Im Sprawdźmy jak o diała w prakyce Cy mając geeraor fal siusoidalych o dowolych cęsościach moża wyworyć prebieg prosokąy, albo rójkąy, o dowolym ksałcie

27 Prykład: prebieg prosokąy < < k d e d e i imk imk m m d e d e d e i im im im m m

28 m i m e im im e im im im im e e m i m im im dla m parysych 4 4 i m dla m ieparysych m m 4 m dla dla m parysych m ieparysych

29 si... 5 si 5 3 si 3 si ,55si 3,44si,73si Koleje współcyiki maleją powoli... Osaecie orymujemy sereg:

30 alia ourierowska fukcji ależej od casu Wysarcy asąpić: k ω T ω T T T -T -T T T T

31 f Prosoką 4/sik /sik /3si3k 4/sik /3si3k /5si5k 4/sik /3si3k /5si5k /7si7k alia prebiegów periodycych w presrei k T T ω alia prebiegów periodycych w casie Żeby dobre odworyć ksał reba bardo dużo harmoicych!

32 Prebieg rójkąy si/t* /9*si3/T* /5*si3/T* Zieloe suma rech kolejych składowych seregu T 3 5 si si si... T 9 T 5 T T Już ry składowe dają dobry reula! To moża usłyseć

33 Prykładowe asosowaie aaliy ourierowskiej - badaie sygałów dźwiękowych Prebiegi casowe - samogłoski O Widmo cęsości samogłoski O I E U I E U cas jedoski umowe Cesoliwość jedoski umowe

34 Ewolucja casowa sruy Zając współcyiki w seregu ouriera dla ksału sruy w chwili, f, si k si k... możemy określić ewolucje casową drgań sruy. Wysarcy dołożyć odpowiedie cyiki casowe!!!, si kcos ω si kcos ω... Dla sruy, kórej wychyleie w chwili pocąkowej miało ksał rójkąa będiemy mieć: 4 3 5, si cos ω si cos3ω si cos5ω Najlepiej asymulować o samodielie a kompuere!