Podstawy przetwarzania sygnałów. Lesław Dereń, 239 C4

Transkrypt

1 Podsawy przewarzaia sygałów Lesław Dereń, 39 C4 Kosulacje: poiedziałek, godz. 9: : worek, godz. 3: 5: zo.ia.pwr.wroc.pl/~dere

2 Lieraura. R. Lyos, Wprowadzeie do cyfrowego przewarzaia sygałów, WKiŁ, Warszawa, ;. J. Szabai, Podsawy eorii sygałów, WKiŁ, Warszawa, 7; 3. A. V. Oppeheim, R. W. Schafer, Cyfrowe przewarzaie sygałów, WKiŁ, Warszawa, 979; 4. T. P. Zieliński, Cyfrowe przewarzaie sygałów. Od eorii do zasosowań, WKiŁ, Warszawa, 6; 5. D. Sraeby, Cyfrowe przewarzaie sygałów, Wydawicwo BTC, Warszawa 4; 6. S. W. Smih, Cyfrowe przewarzaie sygałów, Wydawicwo BTC, Warszawa 7; 7. A. Papoulis, Prawdopodobieńswo, zmiee losowe i procesy sochasycze, PWN, Warsawa 97;

3 Podsawowe pojęcia

4 Sygał Działaie (zamierzoe lub ie) przekazujące określoą iformację syrea alarmowa kierukowskaz w samochodzie elefo od zajomego SOS pomiar emperaury w pomieszczeiu odgłos grzmou Sygał rozprasza iepewość co do jakiegoś zdarzeia jego pojawieie się jes zdarzeiem losowym

5 Bardziej złożoe sygały: apięcie z mikrofou lumiacja różych puków obrazu przebiegi z urządzeń radarowych przebiegi odbierae przez aeę odbiorika (radio, TV) szum kosmiczy wsrząsy skorupy ziemskiej (rejesrowae przez sejsmografy) Wszyskie sygały fizycze (geerowae szuczie czy będące wyikiem zjawisk auralych) są pewymi fukcjami czasu. Mogą eż być fukcjami iych zmieych, p. kieruku, skąd przychodzą.

6 Przebieg apięcia z mikrofou u( ) ( ) u u( ) Zarówo u jak i zmieiają się w sposób ciągły sygał ciągły z czasem ciągłym

7 Pomiar emperaury w pomieszczeiu Godzia 9: : : : 3: 4: 5: 6: 7: 8: Temperaura 8, 9,5, 9, 8,5 8, 7, 6,5 7,5 8,5 T ( ) f [ ] Θ = f T = = godz. = 9,,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Temperaura Θ jes mierzoa z dokładością,5 warości są skwaowae, czyli są liczbami zapisaymi z określoą dokładością Sygał cyfrowy jedowymiarowy (D)

8 φ φ φ 3 φ 4 Odbieray sygał jes fukcją dwóch zmieych: czasu i kąa f (, φ) Sygał aki będziemy azywać dwuwymiarowym (D)

9 L P L ( ) ( ) Sygał D f (, φ) zosał rozłożoy a dwie składowe D: f i f P

10 8 56 = = = 75 7 = 7 Lumiacja: λ= f [ m, ] m, liczby całkowie dyskrey sygał D

11 Jeżeli warości λ zapiszemy w posaci ablicy liczb o skończoej długości o warości e będą skwaowae. Wówczas jes o sygał cyfrowy D. Kwaowaie powoduje ieodwracalą uraę części iformacji Kwaowaie biowe ( poziomy) Kwaowaie biowe (4 poziomy) Kwaowaie 3 biowe (8 poziomów) Kwaowaie 4 biowe (6 poziomów)

12 m Odbieraa jes iformacja o lumiacji rzech podsawowych kolorów: RGB Obraz jes próbkoway w czasie z częsoliwością f s = 5 Hz lub 5 Hz, a więc próbki są pobierae w dyskreych chwilach = kt, gdzie T = / f s Odbieramy 3 iformacje o lumiacji: [,, ], [,, ], [,, ] λ = f m k λ = f m k λ = f m k R R G G B B Jeżeli poziomy lumiacji są skwaowae są o sygały cyfrowe 3D (rójwymiarowe)

13 Klasyfikacja sygałów Sygały Deermiisycze Sochasycze Z czasem ciągłym (aalogowe) Z czasem dyskreym Z czasem ciągłym Z czasem dyskreym Okresowe Nieokresowe Cyfrowe Cyfrowe Impulsowe

14 Przebiegi deermiisycze ( sygały deermiisycze) ( ) [.8 ] y( ) ( ) = si( ) X ω m < < [ ] y [ ] = si( ) X ω T m =,,,,, 3, s ( ) = e y < < [ ] = T e y T =,,, 3, 4, Przebiegi są opisae pewą zależością maemayczą warość ej fukcji dla dowolej warości argumeu jes zaa, czyli ie dosarcza żadej iformacji

15 Będziemy rozparywać sygały jako modele maemaycze różorakich sygałów, auralych bądź szuczie wyworzoych, wysępujących w przyrodzie. Ograiczymy się do sygałów D Nauralą zmieą iezależą będzie czas (ciągły lub dyskrey) Ozaczeia: ( ) ( ) f [ ] [ ] f sygały z czasem ciągłym (aalogowe) sygały z czasem dyskreym [ ] = ( ) ciąg dyskreych warości a osi czasu Najczęściej [ ] ( ) = T = T

16 N zbiór liczb auralych Ozaczeia Z zbiór liczb całkowiych (iem. Zahle liczby) Q zbiór liczb wymierych (ag. Quoie iloraz) R zbiór liczb rzeczywisych + R zbiór liczb rzeczywisych dodaich C zbiór liczb zespoloych zbiór pusy X, Y, A dowole zbiory X jes elemeem zbioru X (ależy do zbioru X) a A a ie ależy do zbioru A (ie jes elemeem ego zbioru) { a, b, c} Y = Y jes zbiorem składającym się z rzech elemeów: a, b, c.

17 A B część wspóla (iersekcja) zbiorów A i B A B A i B A B suma zbiorów A i B A B A lub B A \ B różica zbiorów A i B A \ B A i B X A ikluzja zbiorów, czyli p X p A X A ikluzja właściwa zbiorów, czyli p X p A ale X A Przykłady N { } R \{ } zbiór złożoy z liczb auralych i liczby zero zbiór złożoy z liczb rzeczywisych różych od zera N Z Q R R + Z =N

18 A B iloczy karezjański zbiorów A i B jes o zbiór, kórego elemeami są uporządkowae pary ( ) a, b akie, że a A i b B A A zbiór par o posaci ( a, a ), gdzie a, a A A = A A A A k l k l ( ) ( ) Uwaga! jeżeli k l o a, a a, a!!! razy k l l k czyli zbiór wszyskich -elemeowych ciągów { a }, k =,,, a A R R? k k

19 Sygały deermiisycze Sygały z czasem ciągłym (aalogowe) Są o fukcje ciągłej zmieej. Ozaczeia: ( ), y( ), f ( ), id. ( ) Sygał przyczyowy: ( ) gdy < zwykle = y( ).4 R, : ( ) R R R ( ) y e, =, <

20 Sygały okresowe ( ) = ( kt ), k = ±, ±, ± 3 ( ) ( ) X m T ( ) = m si X ω Sygały akie ie są fizyczie realizowale są idealizacją przebiegów fizyczych Wszyskie fizyczie realizowale przebiegi muszą być przyczyowe!!! T = π ω

21 Sygały impulsowe (udarowe) Są o sygały o skończoym czasie rwaia, czyli isieją i, akie, że ( ) dla < i > ( ) ( ) ( ) π cos = <, > =, =

22 Sygały zespoloe ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) r + i = Re + jim = j j = R, : ( ) R C C Przykład j ( ) = X e = X cosω + j X siω ω m m m r( ) i( )

23 Warość średia Podsawowe paramery sygałów aalogowych. Sygał przyczyowy ( ) m = lim ( ) d τ τ m = lim ( ) d τ τ τ τ τ ( dla < ). Sygał impulsowy, róży od zera w przedziale (, ) m = ( ) d 3. Sygał okresowy o okresie T Warość średią sygału azywa się składową sałą Ie ozaczeia: X,, + T m = ( ) d T dowole

24 Eergia sygału E = ( ) d Jeżeli całka jes zbieża, czyli E < sygał o skończoej eergii. Sygał przyczyowy ( ) ( ) E d = ( dla < ). Sygał impulsowy, róży od zera w przedziale (, ) = ( ) d E 3. Sygały okresowe są sygałami o ieskończoej eergii

25 Moc sygału P lim ( ) = d τ τ τ τ Jeżeli P sygał o skończoej mocy < Sygał okresowy o okresie T + T P azywa się P = ( ) d T warością skueczą przebiegu okresowego Moc sygału o skończoej eergii jes rówa. (!!!) Jeżeli sygał jes obserwoway w przedziale (, ) moża zdefiiować P (, ) = ( ) d Średia moc w przedziale (, )

26 azywa się składową zmieą sygału ( ) Sygał ( ) = ( ) m Moc składowej zmieej v = lim ( ) m d τ τ azywa się wariacją sygału ( ) τ τ σ v = azywa się odchyleiem sadardowym Sygał okresowy + T v = ( ) m d T σ v = warość skuecza składowej zmieej sygału.

27 Przykład. ( ) T = < T ( ) = < 3 ( 4) T m = ( ) d = 3 = T Sygał o ieskończoej eergii + T 3 4 P = ( ) d d d ( 4) d T = + + = + + = T 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) v = m d d d d T = = + + =

28 Przykład. ( ) A α Ae,, α > =, <, > ( ) Warość średia w przedziale ( ) Warość średia przedziale ( ),, : = m α A α A e m = ( ) d = e d = α Eergia sygału ( ) α α E = d = A e d = A e α Moc średia przedziale ( ), α A α e ( ) P = d = e d = A α

29 Przebieg siusoidaly Sadardowe sygały aalogowe θ ω ( ) X m ( ) = si ( ω + θ ) = si( π + θ ) X X f X ω θ m m m ampliuda pulsacja faza począkowa X m T T = π ω okres m = f = T = ω π częsoliwość P = v = X m [ ω] rad s [ θ ] [ f ] [ T ] = = rad = Hz = s = s Iaczej: ( ) = cos + si A ω B ω A = X si θ, B = X cosθ m m

30 Fukcja skoku jedoskowego (azywaa rówież fukcją Heaviside a) ( ) ( ) gdy > = gdy < ( ) ( ) gdy > = gdy < y( ) ( ) y e, > =, < = e ( )

31 Fukcja bramki Π( ) A ( ) ( ) ( ) ( = + ) Π ( ) = ( ) ( ) A c + ( ) = AΠ, c =, b = b ( ) ( ) π cos π = = cos Π <, >

32 Bóg użył piękej maemayki do sworzeia świaa Paul Adrie Maurice Dirac Sygały dysrybucyje Paul Adrie Maurice Dirac agielski fizyk eoreyk. Jede z wórców mechaiki kwaowej i elekrodyamiki kwaowej, laurea Nagrody Nobla z dziedziy fizyki w roku 933 za wkład w rozwój mechaiki kwaowej. Od 93 roku profesor Uiwersyeu w Cambridge, a od 953 roku Uiwersyeu w Oksfordzie. Od 93 człoek Royal Sociey Towarzyswa Królewskiego w Lodyie. z V elekro P. A. M. Dirac (9 984) y Elekro jes rakoway jak puk ( ie ma wymiarów ), ale ma masę m e i ładuek q e Jak zapisać gęsość masy i gęsość ładuku w obszarze V?

33 Przypadek jedowymiarowy elekro = Jaka jes liiowa gęsość masy γ( )? Jaka jes liiowa gęsość ładuku σ ( )? Dirac zapisał γ( ) m ( ) σ ( ) q ( ) = δ, = δ, gdzie δ jes fukcją o własościach: e e ( ) ale δ ( ) gdy = gdy = ( ) δ d = Takiej fukcji ie ma!

34 a = a a a a = = = = f f powierzchia=?( ) δ 4 56 a = e i i i ( ) powierzchia= ( ) ( ) δ =?

35 ( ) f = e π f ( ) si( π) δ( ) f ( ) = δ( ) π f ( ) f ( ) f ( ) f3 ( ) f3 ( )

36 ( ) δ = dla ( ) δ d Elemeara defiicja dysrybucji Diraca ( dely Diraca ) ( ) ( ) lim δ d = δ d = ε ε > ε ( ) ( ) lim δ d = δ d = ε ε > + ε + + ( ) δ d = gdy δ d < gdy > ( τ ) τ = δ( τ ) dτ = = ( ) d d δ ( ) ( )

37 Różiczkowaie fukcji ieciągłych ( ) = cos ( ) f f ( ) d f ( ) = d cos ( ) + cos d ( ) = d d d = si + cosδ = ( ) ( ) ( ) δ( ) = si + f ( ) δ( )

38 Jeżeli f () jes ciągła w pukcie =, o ( ) δ( ) ( ) δ( ) f = f własość próbkująca dysrybucji Diraca () = ( ) () = () δ cos δ δ ( ) δ( ) d = ( ) δ( ) d = ( ) f f f własość filrująca dysrybucji Diraca Ogóliej, jeżeli f () jes ciągła w pukcie =, o ( ) δ( ) = ( ) δ( ) f f ( ) δ( ) d = ( ) δ( ) d = ( ) f f f b a ( ) δ( ) f d = ( ) f gdy a < < b gdy < a lub > b Całka ie jes określoa gdy = a lub = b

39 Pochode dysrybucji Diraca ( ) δ( ) f Jeżeli isieją odpowiedie pochode ( ) δ ( ) f ( k ) ( ) δ ( k ) ( ) f π ( ) = e δ( ) f f ( ) ( ) f = f ( ) 3 π π e f 3 δ ( ) ( )

40 δ T ( ) δ( kt ) k= Dysrybucja grzebieiowa δ T ( ) 3T T T T T 3T 4T T = kt kt ( ) δ ( ) ( ) δ( ) k= próbkowaie sygału ciągłego ( ) ( ) ( ) δ T T T

41 Sygały dyskree Fukcje określoe a dyskreym zbiorze puków a osi czasu ( ) Warość zmieej ideksowaej jes jedozaczie określoa przez. Będziemy pisać: ( ) = [ ] Sygały rzeczywise Sygały zespoloe Z, [ ] R Z, [ ] C : Z R : Z C

42 W elekomuikacji ajczęściej sygałem dyskreym jes ciąg próbek sygału aalogowego, pobieraych w rówych odsępach czasu T. Wówczas [ ] ( ) = T, = T T okres próbkowaia (przedział dyskreyzacji) ( ) [ ] T T 3T 4T 5T 6T 7T 8T [ ] dla = < ciąg przyczyowy (zwykle przyjmuje się = ) [ ] dla i = < > ciąg skończoy (dyskrey sygał impulsowy) [ ] [ ] = kn k Z ciąg okresowy, N okres,

43 Warość średia Paramery sygałów dyskreych m. Sygał przyczyowy [ ] N = lim N N + m = N [ ] ( = dla < ) = lim N N N +. Sygał impulsowy (ciąg skończoy, = dla < i > ) m = = + = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3. Sygał okresowy (ciąg okresowy, = kn k Z ) m + N = N = [ ] Z, dowole,

44 Eergia sygału dyskreego E = = [ ] Jeżeli suma jes skończoa, czyli E < sygał o skończoej eergii. Sygał przyczyowy [ ] ( = dla < ) E = = [ ] [ ]. Sygał impulsowy (ciąg skończoy, = dla < i > ) E = = = [ ] 3. Dyskree sygały okresowe są sygałami o ieskończoej eergii

45 Moc sygału dyskreego P = N lim N N + N [ ] Jeżeli P < sygał o skończoej mocy. Sygał przyczyowy [ ] P = lim N ( = dla < ) N N + [ ] [ ]. Sygał impulsowy (ciąg skończoy, = dla < i > ) P = + = [ ] 3. Sygał okresowy (ciąg okresowy, = kn k Z ) [ ] [ ], P + N = N [ ] Z, dowole

46 Wariacja sygału dyskreego N v = lim [ ] m N N + N v moc składowej zmieej sygału Dla ciągów przyczyowych i skończoych aalogiczie jak dla mocy Ciąg okresowy, [ ] [ ] = kn k Z, + N [ ] v = m N Z, dowole

47 Przykłady sygałów dyskreych Sygał sały ieskończoy ciąg sały [ ] m P v = = = Sygał o skończoej mocy i ieskończoej eergii

48 Dyskrey skok jedoskowy [ ] dla = dla < [ ] Sygał o ieskończoej eergii m N = lim = N N [ ] ale m [ ] + N N = N N = lim = + = Podobie P N = lim = N N [ ] ale P [ ] N + N = N N = lim = + Trzeba sprecyzować jak o było liczoe!

49 Dyskrey przyczyowy sygał wykładiczy σ [ ] = [ ] = [ ] σ + e a, a = e, σ R < a < [ ] m = E = = a 4 6 = + a + a + a + = a Sygał o skończoej eergii

50 Dela Kroeckera δ [ ] dla = = dla δ[ ] δ dla = dla [ k] = k k próbka o umerze k = [ ] δ[ ] = [ ] k k

51 Sygały cyfrowe Jeżeli warości próbek sygału dyskreego zapiszemy jako ciąg liczb o skończoej długości, o orzymay ciąg azywać będziemy sygałem cyfrowym. Liczby zapisujemy ajczęściej w sysemie biarym. Dyspoując słowem o długości k biów moża zapisać M = k liczb od do k. Przedział możliwych warości próbek dzielimy a M poziomów kwayzacji (ajczęściej rówo oddaloych) i dokłade warości próbek zaokrąglamy do ajbliższego poziomu kwayzacji. Kwaowaie -biowe (4 poziomy) Kwaowaie 3-biowe (8 poziomów) Numer próbki Kwaowaie powoduje ieodwracale ziekszałceie sygału

52 [ ] ɶ [ ] W wyiku kwaowaia sygał dyskrey zosaje przybliżoy sygałem cyfrowym co moża zapisać jako pewą operację wykoywaą a sygale [ ]: { }, [ ] = Q [ ] ɶ kóra wprowadza błąd do procesu przewarzaia sygału, azyway błędem kwaowaia: [ ] ɶ [ ] [ ] [ ] { } [ ] ε = = Q Operaor Q{ i} jes operaorem ieliiowym i aaliza błędu kwaowaia jes ruda. Zwykle zakłada się, że warości próbek są dokłade, a w procesie przewarzaia geeroway jes losowy sygał szumu kwaowaia, kóry ziekszałca sygał użyeczy.

53 Ozaczmy: P ma maksymala moc sygału (moc przy pełym wyserowaiu) σ ε wariacja sygału błędu ε [] (średia moc szumu kwaowaia) N liczba biów służących do zapisaia poziomów (długość słowa kodowego) Wówczas sosuek maksymalej mocy sygału do średiej mocy szumu kwaowaia, wyrażoy w db, moża oszacować ze wzoru P SNR = lg = 6,N +,76 db 6N db ma σ ε ( ) W prakyce sosuje się kwaowaie: 8 biowe (56 poziomów) w elefoii cyfrowej 4 biowe (6384 poziomów) sysem dźwięku NICAM (w TV) 6 biowe (65536 poziomów) płyy CD 4 biowe ( poziomów) płyy DVD Audio