Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk

Transkrypt

1 Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś , Gdańsk

2 Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila początkowa. Co jeszcze oprócz sygnału wejściowego powinniśmy wiedzieć, aby móc wyznaczyć odpowiedź y(t), dla t t 0? Jest to wartość V c (t) zależna od ładunku zmagazynowanego w kondensatorze w chwili początkowej t = t 0.

3 Znając V c (t) nie musimy znać historii obiektu RC (Systemu dynamicznego RC) w odniesieniu do chwili t = t 0. Znaczy to że nie musimy znać u(t) dla t < t 0, co można sobie wyobrazić byłoby bardzo wymagającym założeniem. Wartość V c (t 0 ) jest warunkiem początkowym dla naszego systemu, którym zaczynamy sterować w chwili t = t 0.

4 Zmienne stanu Zmienne stanu obiektu dynamicznego to takie zmienne które razem sumują przeszłość obiektu (systemu). Zmienna stanu przeważnie oznaczamy: x i, x 1 x =. x n

5 u(t) wejście System dynamiczny x y(t) wyjście Niech x(t 0 ) będzie wartością stanu obiektu w chwili t = t 0 (warunek początkowy) u(t), t t 0 jest wejściem obiektu. Wówczas odpowiedz systemu y(t) jest jednoznacznie określona dla każdego t t 0.

6 Trajektoria stanu x 3 x(t 0 ) x(t 1 ) x(t 2 ) x(t n ) x 2 x 1 Trajektoria systemu dynamicznego startująca w punkcie x(t 0 ).

7 stanu obiektu dynamicznego dx dt = f (x(t), u(t)) równania stanu reprezentują dynamikę systemu są one równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu równania te wyrażają pierwszą pochodną po czasie wektora stanu jako ogólną nieliniową funkcję f (, ), wektora stanu i wejść Znając warunek początkowy (stan początkowy) x(t 0 ) oraz wejście u(t) dla t t 0 można rozwiązać równania stanu uzyskując trajektorie stanu x(t) dla t t 0.

8 wyjścia obiektu dynamicznego y(t) = h(x(t), u(t)) znając stan x(t) w chwili t oraz wejście u(t) w chwili t, wyjście systemu y(t) w chwili t wyznaczamy z równań wyjść 8. równania wyjść sa algebraiczne zatem nie ma w nich dynamiki. stanu razem z równaniami wyjść stanowią kompletna reprezentację relacji wejście - wyjście systemu w przestrzeni stanu.

9 Opis Zmienne stanu są zmiennymi łączącymi wyjście y(t) z wejściem u(t) u(t) równania x(t) równania y(t) stanu wyjść relacja wejście wyjście Opis SD jest ważny zarówno dla systemów liniowych jak i nieliniowych w odróżnieniu od transmitancji która można stosować jedynie dla systemów liniowych.

10 Rozważmy układ przedstawiony na początku wykładu: R wejscie u(t) C wyjście y(t)=vc(t) Relacja wejście wyjście dla powyższego obiektu może zostać przestawiona w następujący sposób u(t) RC V c (t)

11 Wiadomo, że układ w przykładzie 1.1 opisany jest następującym równaniem różniczkowym: dv c (t) = 1 dt RC V c(t) + 1 RC u(t) y(t) = V c (t) Definiujemy Zmienną stanu jako: oraz wyjście obiektu x V c y V c

12 Po przekształceniu równania opisującego dynamikę systemu RC do opisu otrzymujemy Opis { ẋ(t) = 1 RC x(t) + 1 RC u(t) równanie stanu y(t) = x(t) równanie wyjścia

13 Rozważmy teraz przykładowy układ RL wejscie u(t) R L wyjście i(t) Relacja wejście wyjście dla powyższego systemu jest następująca u(t) RL i(t)

14 Wiadomo, że układ w przykładzie 1.2 opisany jest następującym równaniem różniczkowym: Ri(t) + L di(t) = u(t) dt di(t) = R dt L i(t) + 1 L u(t) Definiujemy Zmienną stanu jako: oraz wyjście obiektu x i y i

15 Po przekształceniu równania systemu RL do opisu w przestrzeni stanu otrzymujemy Opis { ẋ(t) = R L x(t) + 1 L u(t) równanie stanu y(t) = x(t) równanie wyjścia

16 Rozpatrzmy teraz system dynamiczny składający się z obracającej masy na wale. moment oporowy T t (t) moment obrotowy wejściowy T(t) położenie kątowe masy - wyjście Wejściem do tego systemu jest zewnętrzny moment obrotowy, który musi przeciwdziałać momentowi tarcia T t (t) = B dθ dt oraz inercji masy znajdującej się na wale. Wyjściem układu jest położenie kątowe masy Θ.

17 Równanie Równanie ruchu systemu otrzymujemy z prawa Newtona J d 2 Θ dt 2 dθ = T (t) B dt (1) Naturalnie otrzymujemy: u(t) = T (t) (2) y(t) = Θ(t) Jednak (1) jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, a nie pierwszego.

18 Wiadomo z matematyki, że aby rozwiązać (1) trzeba znać warunki początkowe dla niewiadomej funkcji Θ(t) dla t t 0. początkowa wartość Θ(t), czyli Θ(t 0 ) początkowa wartość pochodnej dθ dt, czyli Θ(t 0 ). Zmienne stanu definiujemy więc jako x 1 Θ x 2 (Θ) - położenie - prędkość (3)

19 stanu ẋ 1 (t) Θ(t) = x 2 (t) ẋ 1 (t) = x 2 (t) pierwsze równanie stanu Następnie korzystając z równań (1, 2, 3) otrzymujemy: J d ( ) dθ = u(t) B dθ dt dt dt Jẋ 2 (t) = u(t) Bx 2 (t) Drugie równanie stanu ẋ 2 (t) = B J x 2(t) + 1 J u(t)

20 Równanie wyjścia Równanie wyjścia y(t) = Θ(t) = x 1 (t) y(t) = x 1 (t)

21 Opis systemu Przestawienie w postaci układu równań ẋ 1 (t) = x 2 (t) pierwsze równanie stanu ẋ 2 (t) = B J 2(t) + 1 J u(t) drugie równanie stanu y(t) = x 1 (t) równanie wyjścia

22 Opis systemu Przedstawienie w postaci macierzowej [ ] [ ] ẋ(t) = 0 B x(t) + 1 u(t) J J }{{}}{{} macierz stanu A macierz sterowania B [ ] y(t) = 1 0 x(t) }{{} macierz wyjścia C

23 Opis systemu Przedstawienie w postaci macierzowej ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t)