Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Transkrypt

1 Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017

2 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi w układach regulacji. Zalety: Wady: duży moment obrotowy, dobra sprawność, małe wymiary. iskrzenie (zakłócenia przemysłowe), zużywanie się szczotek komutatora. W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat wprowadzono na rynek szereg silników prądu stałego o specjalnej konstrukcji, charakteryzujących się bardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi.

3 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Moment obrotowy w silnikach elektrycznych powstaje na skutek oddziaływania między zewnętrznym polem magnetycznym, a polem magnetycznym powstającym wokół przewodnika, przez który płynie prąd.

4 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym W silnikach prądu stałego małej mocy zewnętrzne pole magnetyczne wytwarzane jest zazwyczaj przez magnesy trwałe, umieszczone w nieruchomej obudowie silnika zwanej stojanem.

5 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Znajdujący się w polu magnetycznym stojana wirnik zawiera uzwojenia składające się z wielu ramek przewodów połączonych z komutatorem. Zazwyczaj uzwojenia te nawinięte są na rdzeniu z materiału ferromagnetycznego. W wyniku współdziałania strumienia stojana i prądu przepływającego w uzwojeniach wirnika powstaje moment obrotowy.

6 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Aby moment obrotowy działający na wirnik był maksymalny, wektory strumienia magnetycznego stojana i wirnika powinny być względem siebie prostopadłe. Zapewnia to komutator, który przełącza kolejne ramki uzwojenia wirnika, powodując odpowiednie zmiany kierunku przepływającego prądu.

7 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Napięcie zasilające komutator doprowadzane jest przez szczotki, wykonane ze specjalnie spreparowanego węgla. W silnikach tego typu obwodem sterowania jest zawsze obwód wirnika. Zmiany napięcia zasilającego obwód sterowania wywołują zmiany momentu obrotowego a tym samym, przy określonym momencie obciążenia wirnika, zmianę prędkości kątowej wirnika.

8 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika parametry elektryczne U z napięcie zasilające wirnik, i w prąd płynący w uzwojeniach wirnika, R w rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika, L w indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika, E siła elektromotoryczna indukcji, ω s prędkość kątowa wirnika.

9 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika parametry mechaniczne M s moment obrotowy wirnika, ω s prędkość kątową wirnika, B współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika, J moment bezwładności zredukowany do wału wirnika, i w prąd płynący w uzwojeniach wirnika, M obc stały moment obciążenia silnika.

10 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Tworząc model silnika należy zwrócić uwagę na znalezienie zależności pomiędzy napięciem zasilającym silnik (U z ) a prędkością kątową silnika (ω s ). Rozważając osobno elektryczne i mechaniczne parametry obwodu wirnika można napisać dwa równania modelujące jego działanie. Na podstawie schematu zastępczego oraz II-go prawa Kirchhoffa można napisać równanie elektryczne silnika U z = U Rw + U Lw + E (1) Moment obrotowy wirnika, wykorzystywany do pokonania momentów przeciwstawiających się jego ruchowi można zapisać jako M s = M a + M v + M obc (2)

11 Budowa i działanie silnika DC - zależności elektryczne Napięcie na rezystancji uzwojeń wirnika jest proporcjonalne do prądu przez niego płynącego U Rw = R w i w (3) Napięcie odniesione do indukcyjności wirnika jest proporcjonalne do zmian prądu przez nią płynącego (straty w obwodzie magnetycznym zostały tutaj pominięte) di w U Lw = L w (4) dt Gdy wirnik wykonuje ruch obrotowy, w jego uzwojeniach indukowana jest siła elektromotoryczna indukcji (SEM), której wartość jest proporcjonalna do prędkości kątowej wirnika E = k e ω s (5) gdzie: k e stała elektryczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika. Podstawiając kolejne składowe napięcia U z do równania (??), otrzymamy U z = R w i w + L w di w dt + k eω s (6)

12 Budowa i działanie silnika DC - zależności mechaniczne Zakładając, że strumień magnetyczny stojana ma wartość stałą, moment obrotowy wirnika, proporcjonalny do prądu płynącego przez wirnik ma postać M s = k m i w (7) gdzie k m stała mechaniczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika. Moment związany z przyspieszeniem kątowym wirnika ma postać M a = J dω s dt Moment związany z oporami ruchu wirnika (8) M v = Bω s (9) Podstawiając kolejne składowe momentu M s do równania (??) k m i w = J dω s dt + Bω s + M obc (10)

13 Równanie dynamiki silnika DC Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC di w U z = R w i w + L w dt + k eω s k m i w = J dω (11) s + Bω s + M obc dt stosując przekształcenie Laplace a { Uz (s) = R w i w (s) + L w i w (s)s + k e ω s (s) k m i w (s) = Jω s (s)s + Bω s (s) + M obc (12) a następnie określając zmienną wiążącą jako i w (s) i w (s) = U z(s) k e ω s (s) R w + L w s i w (s) = Jω s(s)s + Bω s (s) + M (13) obc k m czyli U z (s) k e ω s (s) R w + L w s = Jω s(s)s + Bω s (s) + M obc k m (14)

14 Równanie dynamiki silnika DC mając U z (s) k e ω s (s) R w + L w s = Jω s(s)s + Bω s (s) + M obc k m (15) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość kątową wirnika k m U z (s) k m k e ω s (s) = (R w + L w s)(jω s (s)s + Bω s (s) + M obc ) (16) Rysunek : Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

15 Równanie dynamiki silnika DC Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli: co daje transmitancję operatorową postaci M obc = 0 (17) G(s) = ω s U s (s) = k m L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) (18) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.

16 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Do przeprowadzenia numerycznej symulacji działania silnika należy zdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe). Załóżmy, że: R w = 2 Ω, kg m2 J = 0.1 s 2, L w = 0.1 H, B = 0.5 Nm s rad, ke = 0.1 V s rad, km = 0.1 Nm A,

17 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem ciągłym { Ẋ (t) = Amc X (t) + B mc U(t) (19) y(t) = C mc X (t) + D mc U(t) gdzie: X (t) R n - wektor stanu, U(t) R m - wektor sygnałów sterujących, y(t) R p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, A mc R n n - macierz stanu B mc R n m - macierz sterowania, C mc R p m - macierz wyjścia. Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych. Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego, ciągłego układu dynamicznego.

18 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC di w U z = R w i w + L w dt + k eω s k m i w = J dω (20) s + Bω s + M obc dt po przekształceniu di w dt = k e ω s R w i w + 1 U z L w L w L w dω s = B dt J ω s + k m J i w 1 J M obc można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań [ ] [ ] iw Uz X fiz =, U fiz = ω s M obc (21) (22)

19 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fizykalnych, z wykorzystaniem wektora stanu i sterowań: [ ] [ ] iw Uz X fiz =, U fiz = ωs M obc (23) jest następujący R w k e Ẋ fiz = L w L w k m B X fiz + J J Y = [ 0 1 ] X fiz + [ 0 0 ] U fiz 1 L w J U fiz (24) { Ẋfiz = A fiz X fiz + B fiz U fiz Y = C fiz X fiz + D fiz U fiz (25)

20 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Mając transmitancję operatorową postaci G(s) = ω s U s (s) = k m L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) (26) stosując następujące podstawienia kω0 2 = k m L w J, 2ξω 0 = R w J + L w B L w J, ω 2 0 = k mk e + R w B L w J (27) można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G(s) = Y (s) U(s) = k T 2 s 2 + 2ξTs + 1 G(s) = Y (s) U(s) = kω 2 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 (28) (29) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω 0 - pulsacja drgań nietłumionych.

21 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej kω 2 0 G(s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 (30) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu. Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = ω 2 0 x 1(t) 2ξω 0 x 2 (t) + u(t) (31) równanie wyjścia y(t) = kω 0 x 1 (t) (32)

22 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych: X faz = [ x1 x 2 ], U faz = U z (33) jest następujący [ ] [ ] Ẋ faz = ω0 2 2ξω0 2 X faz + U 1 faz Y = [ kω0 2 0 ] (34) X faz + [0] U faz { X faz = A faz (t)x faz + B faz (t)u faz (t) Y = C faz X faz + D faz U faz (35)

23 Człon oscylacyjny - właściwości Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = k T 2 s 2 + 2ξTs + 1 (36) G(s) = Y (s) U(s) = kω 2 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 (37) Odpowiedź skokowa [ y(t) = L 1 1 kω 2 ] 0 u st s s 2 + 2ξω 0 s + ω 0 ] 1 (38) = ku st [1 1 ξ 2 e ξω0t sin ω 0 1 ξ2 t + φ φ = arctg 1 ξ 2 ξ (39)

24 Człon oscylacyjny - właściwości Rysunek : Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego

25 Człon oscylacyjny - właściwości Transmitancja widmowa G(jω) = kω2 0 [(ω2 0 ω2 ) j2ξω 0 ω] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (40) Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa

26 Człon oscylacyjny Transmitancja widmowa G(jω) = kω2 0 [(ω2 0 ω2 ) j2ξω 0 ω] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (41) P(jω) = kω 2 0 [(ω2 0 ω2 )] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (42) k[2ξω0 3 Q(jω) = ω] (ω0 2 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (43) Rysunek : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa

27 Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017