Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Transkrypt

1 Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017

2 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi w układach regulacji. Zalety: Wady: duży moment obrotowy, dobra sprawność, małe wymiary. iskrzenie (zakłócenia przemysłowe), zużywanie się szczotek komutatora. W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat wprowadzono na rynek szereg silników prądu stałego o specjalnej konstrukcji, charakteryzujących się bardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi.

3 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Moment obrotowy w silnikach elektrycznych powstaje na skutek oddziaływania między zewnętrznym polem magnetycznym, a polem magnetycznym powstającym wokół przewodnika, przez który płynie prąd.

4 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym W silnikach prądu stałego małej mocy zewnętrzne pole magnetyczne wytwarzane jest zazwyczaj przez magnesy trwałe, umieszczone w nieruchomej obudowie silnika zwanej stojanem.

5 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Znajdujący się w polu magnetycznym stojana wirnik zawiera uzwojenia składające się z wielu ramek przewodów połączonych z komutatorem. Zazwyczaj uzwojenia te nawinięte są na rdzeniu z materiału ferromagnetycznego. W wyniku współdziałania strumienia stojana i prądu przepływającego w uzwojeniach wirnika powstaje moment obrotowy.

6 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Aby moment obrotowy działający na wirnik był maksymalny, wektory strumienia magnetycznego stojana i wirnika powinny być względem siebie prostopadłe. Zapewnia to komutator, który przełącza kolejne ramki uzwojenia wirnika, powodując odpowiednie zmiany kierunku przepływającego prądu.

7 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Napięcie zasilające komutator doprowadzane jest przez szczotki, wykonane ze specjalnie spreparowanego węgla. W silnikach tego typu obwodem sterowania jest zawsze obwód wirnika. Zmiany napięcia zasilającego obwód sterowania wywołują zmiany momentu obrotowego a tym samym, przy określonym momencie obciążenia wirnika, zmianę prędkości kątowej wirnika.

8 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika parametry elektryczne U z napięcie zasilające wirnik, i w prąd płynący w uzwojeniach wirnika, R w rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika, L w indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika, E siła elektromotoryczna indukcji, ω s prędkość kątowa wirnika.

9 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika parametry mechaniczne M s moment obrotowy wirnika, ω s prędkość kątową wirnika, B współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika, J moment bezwładności zredukowany do wału wirnika, M obc stały moment obciążenia silnika.

10 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Tworząc model silnika należy zwrócić uwagę na znalezienie zależności pomiędzy napięciem zasilającym silnik (U z ) a prędkością kątową silnika (ω s ). Rozważając osobno elektryczne i mechaniczne parametry obwodu wirnika można napisać dwa równania modelujące jego działanie. Na podstawie schematu zastępczego oraz II-go prawa Kirchhoffa można napisać równanie elektryczne silnika U z = U Rw + U Lw + E (1) Moment obrotowy wirnika, wykorzystywany do pokonania momentów przeciwstawiających się jego ruchowi można zapisać jako M s = M a + M v + M obc (2)

11 Budowa i działanie silnika DC - zależności elektryczne Napięcie na rezystancji uzwojeń wirnika jest proporcjonalne do prądu przez niego płynącego U Rw = R w i w (3) Napięcie odniesione do indukcyjności wirnika jest proporcjonalne do zmian prądu przez nią płynącego (straty w obwodzie magnetycznym zostały tutaj pominięte) di w U Lw = L w (4) dt Gdy wirnik wykonuje ruch obrotowy, w jego uzwojeniach indukowana jest siła elektromotoryczna indukcji (SEM), której wartość jest proporcjonalna do prędkości kątowej wirnika E = k e ω s (5) gdzie: k e stała elektryczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika. Podstawiając kolejne składowe napięcia U z do równania, otrzymamy U z = R w i w + L w di w dt + k eω s (6)

12 Budowa i działanie silnika DC - zależności mechaniczne Zakładając, że strumień magnetyczny stojana ma wartość stałą, moment obrotowy wirnika, proporcjonalny do prądu płynącego przez wirnik ma postać M s = k m i w (7) gdzie k m stała mechaniczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika. Moment związany z przyspieszeniem kątowym wirnika ma postać M a = J dω s dt Moment związany z oporami ruchu wirnika (8) M v = Bω s (9) Podstawiając kolejne składowe momentu M s do równania k m i w = J dω s dt + Bω s + M obc (10)

13 Równanie dynamiki silnika DC Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC di w U z = R w i w + L w dt + k eω s k m i w = J dω (11) s + Bω s + M obc dt stosując przekształcenie Laplace a { Uz (s) = R w i w (s) + L w si w (s) + k e ω s (s) k m i w (s) = Jsω s (s) + Bω s (s) + M obc (12) a następnie określając zmienną wiążącą jako i w (s) i w (s) = U z(s) k e ω s (s) R w + L w s i w (s) = Jsω s(s) + Bω s (s) + M (13) obc k m czyli U z (s) k e ω s (s) R w + L w s = Jsω s(s) + Bω s (s) + M obc k m (14)

14 Równanie dynamiki silnika DC Przyjmując U z (s) k e ω s (s) R w + L w s = Jω s(s)s + Bω s (s) + M obc k m (15) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość kątową wirnika k m U z (s) k m k e ω s (s) = (R w + L w s)(jsω s (s) + Bω s (s) + M obc ) (16) Rysunek : Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

15 Równanie dynamiki silnika DC Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli: co daje transmitancję operatorową postaci M obc = 0 (17) G(s) = ω s U s (s) = k m L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) (18) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.

16 Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Do przeprowadzenia numerycznej symulacji działania silnika należy zdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe). Przykładowo: Rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika: R w = 2 Ω, Indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika: L w = 0.1 H, Stała elektryczna: k e = 0.1 V s rad, Moment bezwładności zredukowany do wału wirnika: kg m2 J = 0.1 s 2, Współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika: B = 0.5 Nm s rad, Stała mechaniczna: k m = 0.1 Nm A.

17 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem ciągłym { Ẋ (t) = Amc X (t) + B mc U(t) (19) y(t) = C mc X (t) + D mc U(t) gdzie: X (t) R n - wektor stanu, U(t) R m - wektor sygnałów sterujących, y(t) R p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, A mc R n n - macierz stanu B mc R n m - macierz sterowania, C mc R p m - macierz wyjścia. Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych. Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego, ciągłego układu dynamicznego.

18 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC di w (t) U z (t) = R w i w (t) + L w + k e ω s (t) dt k m i w (t) = J dω (20) s(t) + Bω s (t) + M obc (t) dt po przekształceniu di w (t) dt dω s (t) dt = k e L w ω s (t) R w L w i w (t) + 1 L w U z (t) = B J ω s(t) + k m J i w (t) 1 J M obc(t) można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań [ ] [ iw (t) Uz (t) X fiz (t) =, U ω s (t) fiz = M obc (t) ] (21) (22)

19 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Model fizykalnych zmiennych stanu jest następujący R w k e 1 Ẋ fiz (t) = L w L w 0 k m B X fiz (t) + L w 0 1 J J J Y (t) = [ 0 1 ] X fiz (t) + [ 0 0 ] U fiz (t) U fiz (t) (23) { Ẋfiz (t) = A fiz X fiz (t) + B fiz U fiz (t) Y (t) = C fiz X fiz (t) + D fiz U fiz (t) (24)

20 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Transmitancję operatorową postaci (przy założeniu M obc = 0) G(s) = ω s U s (s) = k m L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) (25) stosując następujące podstawienia kω0 2 = k m L w J, 2ξω 0 = R w J + L w B L w J, ω 2 0 = k mk e + R w B L w J (26) można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G(s) = Y (s) U(s) = kω 2 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 (27) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω 0 - pulsacja drgań nietłumionych.

21 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej kω 2 0 G(s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 (28) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu. Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = ω0 2x (29) 1(t) 2ξω 0 x 2 (t) + u(t) równanie wyjścia y(t) = kω 0 x 1 (t) (30)

22 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych: [ ] x1 (t) X faz (t) =, U x 2 (t) faz = U z (t) (31) jest następujący [ Ẋ faz (t) = Y = [ kω0 2 ] [ ω0 2 2ξω0 2 X faz (t) ] X faz (t) + [0] U faz (t) ] U faz (t) (32) { Ẋfaz (t) = A faz X faz (t) + B faz U faz (t) Y (t) = C faz X faz (t) + D faz U faz (t) (33)

23 Człon oscylacyjny - właściwości Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = kω 2 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 (34) Odpowiedź na wymuszenie skokowe [ y(t) = L 1 1 kω 2 ] 0 u st s s 2 + 2ξω 0 s + ω 0 1 ( ) = ku st [1 ] (35) 1 ξ 2 e ξω0t sin ω 0 1 ξ2 t + φ φ = arctg 1 ξ 2 ξ (36)

24 Człon oscylacyjny - właściwości Rysunek : Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego - wpływ współczynnika tłumienia ξ

25 Człon oscylacyjny - właściwości Transmitancja widmowa G(jω) = kω2 0 [(ω2 0 ω2 ) j2ξω 0 ω] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (37) Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa - zależność od współczynnika tłumienia ξ

26 Człon oscylacyjny Transmitancja widmowa G(jω) = kω2 0 [(ω2 0 ω2 ) j2ξω 0 ω] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (38) P(jω) = kω 2 0 [(ω2 0 ω2 )] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (39) k[2ξω0 3 Q(jω) = ω] (ω0 2 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (40) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω 0 - pulsacja drgań nietłumionych. Rysunek : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa

27 Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017