Zadania szkolne dla studentów chemii
|
|
- Kamil Nowacki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadaia szkole dla studetów chemii Podstawowe ozaczeia R zbiór wszystkich liczb rzeczywistych N zbiór wszystkich liczb aturalych, tj. liczb 0,,,,... ; N dodatich, tj. liczb,,... Z zbiór wszystkich liczb ca lkowitych, tj. liczb 0,,,,,... zbiór wszystkich liczb aturalych Q zbiór wszystkich liczb wymierych, tj. takich, które sa ilorazami dwu liczb ca lkowitych. [a,b] przedzia l domkie ty, tz. [a,b] = x R: a x b}, czyli [a,b] to zbiór z lożoy z tych wszystkich liczb rzeczywistych, które sa jedocześie wie ksze lub rówe a i miejsze lub rówe b. [a,b) = x IR: a,b) = x IR: a,b] = x IR: a x < b} przedzia l domkie to otwarty. a < x < b} przedzia l otwarty. a < x b} przedzia l otwarto domkie ty. lub te symbol ozacza ieskończoość, to ie liczba, ale dodatkowy symbol. te symbol ozacza mius ieskończoość, to ie liczba, ale dodatkowy symbol. Przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi ierówość < x < oraz że x = ; x = ; x = ; x = ; = ; ) ) = ; = ) ) = ; ) = ) = ; jeśli x > 0, to x = i x ) = ; jeśli x < 0, to x = i x ) = ; x = x = 0; jeśli x >, to x = i x = 0; jeśli 0 < x <, to x = 0 i x =. Iych dzia lań z udzia lem symboli ieskończoych ie defiiujemy, bo jak sie późiej okaże ie mia loby to sesu, p. ie defiiujemy, 0,,, 0 oraz 0 0, 00. Końcem przedzia lu może być symbol ieskończoy. Jeśli jede z końców jest ieskończoy, to przedzia l azyway jest pó lprosta ; jeśli oba końce sa ieskończoe prosta. Uwaga. Niektóre ozaczeia odbiegaja od stosowaych w polskich liceach, ale musimy stosować ozaczeie przyje te a ca lym świecie, bo a ich stosowaie poza szko lami w RP r,4,...) polscy specjaliści od dydaktyki wp lywu ie maja, a auka jest mie dzyarodowa. W szczególości symbol C, który zacziemy używać w drugim semestrze, ozacza a ca lym świecie zbiór liczb zespoloych i ie wolo im ozaczać zbioru liczb ca lkowitych! Wykrzykikiem sa ozaczoe te zadaia, które każdy koieczie powiie zrobić.. Obliczyć: a) :9 ): 5 4: Obliczyć: a) :5 5 4: :6:5 : 5 4, b) 0,05 [, b) ,9): 4. [ 6,5)] 4 58), : 4,5,75) : 5 6 ] :,5.. Obliczyć: a) 5 : ) ),5 :,7, b) 0, ): Obliczyć: a) 4,75):9 8 9 :5, b) )] 5! Obliczyć używaja c jedyie g lowy w lasej, kartki i o lówka dwa ostatie elemety ie sa koiecze, kalkulatory oraz komputery sa chwilowo zakazae) a) ,658: 7 5,,965):, 0,045) : 0,08 b) : 4 9,80,65:0,75 0,005:0,
2 Zadaia szkole c),4 0,5 0,75 0,0: ,06), ) ) 85 :,6) : ! Zmieszao kg stopu o zawartości 5% miedzi i kg stopu o zawartości 40% miedzi. Ile procet miedzi zawiera otrzymay stop? 7. Zmieszao a kg stopu o zawartości p% miedzi i b kg stopu o zawartości q % miedzi. Ile procet miedzi zawiera stop? 8. Cee towaru obiżoo ajpierw o 0%, a aste pie owa cee podwyższoo o 0%. Jaka cze ścia cey pocza tkowej jest końcowa cea? 9! Poumerowao stroy w ksia żce. Użyto w tym celu 6869 zaków drukarskich zak drukarski to jeda cyfra). Ile stro ma ksia żka? 0! Zadaie hrabiego Lwa To lstoja, zaego kiedyś?) pisarza). Kosiarze maja skosić dwa pola zboża wie ksze i miejsze. Pracuja jedakowo wydajie i rówomierie. Zacze li wszyscy kosić wie ksze pole. W po lowie dia pracy podzielili sie : po lowa zosta la a wie kszym polu skosi la je do końca wieczorem. Reszta przesz la a miejsze pole, dwa razy miejsze od pierwszego. Ilu kosiarzy pracowa lo, jeśli aste pego dia przyszed l a miejsze pole tylko jede i w cia gu ca lego drugiego dia skosi l je do końca.. Do liczika i do miaowika u lamka a b, a,b > 0 dodao te sama liczbe 000. Otrzymaa liczba jest wie ksza od a b. Jaki jest zak liczby a b, a jaki liczby a000 b000?. Pies goi lisa. Pocza tkowa odleg lość mie dzy imi rówa by la 0 m. D lugość każdego skoku psa rówa jest m, lisa m. W czasie, w którym lis wykouje trzy skoki, pies skacze dwa razy. Po przebiegie ciu jakiego dystasu pies dogoi lisa?. Suma dwu liczb rówa jest 57, a 8% pierwszej liczby to 7,5% drugiej. Jakie to liczby? 4. Uprościć wyrażeia: a),5x [0,6x,5x x ) x x)] [0,x x,5x) x ], b) x,4xy,y,6xy [0,6y,4x,4xy)],4xy 6y)}, c),6x,8y [,x y 0,6x),4y],6x 0,x)}, d) x[5y 7x 4y)] 8y[x 7y 5x) 6x y)], e) m ) m )m m 4) m ), f) a ) 4aa )a ) a )a a ), g) a ) a )a 4)a ), h) a ) 4aa )a ) a), i) x )x 4 x ) x ). j) xy) x y) 4xy, 5! Dla jakich liczb par liczb) prawdziwe sa rówości a) x 5 = x 5, b) x y = xy, c) x y = 0, d) x =, e) x = 4, f) x x =. g) x = x, h) x = x, i) x 6 = 6 x, j) x 4) = x 4, k) x x =, l) x 4 x a = 5.
3 Zadaia szkole 6. Uprościć wyrażeia a) x x x, gdy < x <, b) x x x, gdy x <, c) x x x x, gdy x <. 7. Z defiicji pierwiastka arytmetyczego wyika, że x = x. Korzystaja c z tego wzoru uprościć a) x x, b) x 5) x, a c) b gdy b 0, d) x 6x 9 x. Fukcja liiowa azywamy fukcje postaci y = axb, a i b sa tu dowolymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli p. a = 0, b =, to otrzymujemy y =, wie c fukcja w tym przypadku jest sta la. Ozacza to, że jej wartość ie zależy od wyboru puktu x. Jeśli a =, b =, to otrzymujemy fukcje y = x. Tym razem jej wartość zależy od wyboru argumetu x. Jeśli x = 0, to y =, jeśli x =, to y =, jeśli x =, to y = itd. Wykresem fukcji liiowej jest liia prosta. Jak wiadomo przez każde dwa róże pukty przechodzi dok ladie jeda liia prosta. Wobec tego dla arysowaia wykresu fukcji liiowej wystarczy zaleźć dwa jego róże pukty. Zauważmy, że proste y = ax i y = ax b ie maja ai jedego puktu wspólego, gdy b 0, albo, gdy b = 0, pokrywaja sie. Wobec tego, że leża w jedej p laszczyźie, sa rówoleg le. y = x 0,6 y = 0,5 Na rysuku a = w przypadku pary prostych rówoleg lych i a = w przypadku trzeciej prostej. α α,0) y = x y = 0,5x Jeśli a A, to dwie proste o rówaiach y = ax b i y = Ax B maja dok ladie jede pukt wspóly. Jeśli pukt x, y) ma leżeć a obu tych prostych, to musi być spe lioy waruek ax b = Ax B, wie c x = B b a A B b. Wtedy y = a a A b = ab ba a A, wie c jedyym puktem wspólym ). Oczywiście ie ma żadej potrzeby zapamie tywać tego tych dwu prostych jest pukt B b a A, ab ba a A wzoru Zawsze, gdy tylko be dzie zmuszei do zalezieia puktu wspólego dwu prostych o zaych rówaiach, be dziemy mogli rozwia zać uk lad rówań. Bez trudu moża zauważyć, że im wie ksza jest liczba a > 0, tym bardziej stroma jest prosta o rówaiu y = ax b. Wystarczy przyjrzeć sie prostym przechodza cym przez pukt 0,0), bo prosta y = ax b jest rówoleg la do prostej y = ax, która przechodzi przez pukt 0,0). Prosta y = ax przechodzi przez pukt,a), który zajduje sie tym wyżej, im wie ksza jest liczba a.
4 Zadaia szkole Zauważmy, że trójka t o wierzcho lkach 0,0),,0) i,a) jest prostoka ty ka t przy wierzcho lku,0) jest prosty). Ozaczmy ka t przy wierzcho lku 0,0) przez α. Przypomijmy, że tages ka ta ostrego w trójka cie prostoka tym to stosuek przyprostoka tej leża cej aprzeciw wierzcho lka tego ka ta do drugiej przyprostoka tej. Wobec tego tg α = a = a. Wykazaliśmy wie c, że jeśli a > 0, to tages ka ta ostrego, którego jedo ramie jest zawarte w osi OX, a drugie w prostej y = ax jest rówy a. Jeśli a < 0, to d lugości przyprostoka tych rówe sa i a = a. Wobec tego w tym przypadku tages ka ta ostrego, którego jedo ramie jest zawarte w osi OX, a drugie w prostej y = ax, jest rówy a = a. Zwie kszaja c liczbe x, zmiejszamy liczbe y = ax b prosta skierowaa jest,,w dó l, a ie w góre, jak poprzedio. Widzimy, że jest oa tym bardziej stroma, im wie ksza jest liczba a. Defiicja. wspó lczyika kierukowego prostej) Liczbe rzeczywista a azywamy wspó lczyikiem kierukowym prostej o rówaiu y = ax b. 8! Zacieiować zbiór tych wszystkich puktów p laszczyzy, których wspó lrze de spe liaja waruki: a) x i y <, b) < x < i < y <, c) x = i y, d) x = i y =, e) 4 x > i y <, f) x = lub x = 4 oraz y < 4, g) x > y, h) y > x )x ), i) x y )x y 4) > 0, j) x y)x y)x y) < 0, k) x < x < y, l) y x y y > Rozwia zać uk lady rówań i zilustrować rozwia zaie rysukiem: x 5y = 9 x y = 9 a) b) 5x y = 9 4x y = 9 x y = 7x y = 0 c) d) x 8y = 6 4x y = x y = 5 e) x y = 9 f) x 4 y = x y = 7 6 0! Dla jakich wartości parametru m każdy z uk ladów rówań: x y = 4 x y = m 4x y = 7 a) b) c) 4x my = m x y = m mx y = jest uk ladem rówań iezależych, zależych, sprzeczych. d) x y = m x y =. Rozwia zać uk lady rówań, w szczególości ustalić liczbe rozwia zań w zależości od parametru a. x ay = x y = 4 x ay = x ay = a) b) c) d) x y = x ay = a ax y = x ay = 9. Dla jakich wartości parametru k pukt przecie cia sie prostych y = x k 5 i y = x k leży wewa trz kwadratu o wierzcho lkach: A = 0,0), B = 0,), C =,), D =,0)? x y = k. Dla jakich wartości parametru k rozwia zaie uk ladu jest: x y = k a) para liczb ujemych, b) para liczb dodatich, c) para liczb o przeciwych zakach? 4
5 Zadaia szkole 4! Rozwia zać uk lady rówań: x y z = 4 x 4y z = x y 4z = x y ) xx y) = 0 x y ) yx y) = 0 Defiicja. wielomiau kwadratowego) 9x 5y 9z = 5 x y z = x y 4z = Wielomiay kwadratowe 9x 5y 9z = 5 x y z = x y 4z = x y 65 xx 8y) = 0 8x y 65) yx 8y) = 0 Wielomia ax bx c azywamy kwadratowym lub wielomiaem drugiego stopia, jeśli a jest liczba róża od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a R i a 0. Możemy apisać ax bx c = a x b a ) a b 4a c = a x b a ) b 4a c = a wspóla ========== kreske a x b a ) b 4ac 4a Wyrażeie = b 4ac zwae jest wyróżikiem wielomiau kwadratowego. przed ====== awias x ] a[ b a ) 4a. Przyk ladowo x 4x = x ), tu a =, b = 4, c =. Nie zastosowaliśmy żadych wzorów widoczych wyżej. Po prostu od razu widzimy, że x ) = x 4x 4, wie c wyrażeie to różi sie od wielomiau x 4x o. Aalogiczie x 7x = x 4) = ) x = ) x Z otrzymaego wzoru wyika od razu, że ajmiejsza wartościa wyrażeia x 7x = x 7 4) 4 8 jest liczba 4 8 otrzymaa dla x = 7 4, bowiem x 7 4) 0, przy czym ta ierówość staje sie rówościa jedyie, gdy x = 7 4, bo kwadraty liczb rzeczywistych różych od 0 sa dodatie, a 0 = 0. Jase jest rówież, że jeśli x = 7 4 u i ˆx = 7 u, to 4 x 7x = u 4 8 = u) 4 8 = ˆx 7ˆx. Iymi s lowy: iezależie od tego, czy odsuiemy sie of liczby 7 4 o u w prawo, czy w lewo, wartość wyrażeia x 7x jest taka sama. Prosta x = 7 4 jest wie c osia symetrii wykresu fukcji x 7x. Przeprowadzoe rozumowaie moża zastosować do każdego wielomiau kwadratowego. Fukcja x ] ax bx z = a[ b a ) przyjmuje 4a te sama wartość dla x = b b u i dla ˆx = u, co a a ozacza, że prosta o rówaiu x = b jest a osia symetrii wykresu tej fukcji kwadratowej. Oczywiście ajmiejsza wartościa wyrażeia x b a ) jest liczba, 4a 4a która otrzymujemy przyjmuja c x = b a x ] ax bx c = a[ b a ) 4a. Sta d wyika od razu, że jeśli a > 0, to ajmiejsza wartościa wyrażeia jest liczba a 4a = 4a. Możeie przez liczby ujeme zmieia kieruek ierówości, jeśli wie c a < 0, to liczba 4a jest ajwie ksza wartościa wyrażeia ax bxc. x ] Jase jest też, że wyrażeie ax bx c = a[ b a ) jest: zawsze dodatie, jeśli a > 0 i 4a < 0; zawsze ujeme, gdy a < 0 i < 0. Jeśli = 0, to wyrażeie ma te sam zak we wszystkich puktach z wyja tkiem x = b a, bo w tym pukcie i tylko w tym) jego wartościa jest liczba 0. Jeśli > 0, to w puktach x = b a, x = b a 5, symetryczych wzgle dem prostej x = b a,
6 Zadaia szkole wartościa fukcji jest 0. Jeśli dodatkowo za lożymy, że a > 0, to be dziemy mogli stwierdzić, że jeśli [ x b x ] a < a, to ax bx c = a b a ) < 0, 4a jeśli [ x b x ] a > a, to ax bx c = a b a ) > 0. 4a Jest ieomal oczywiste, że w przypadku a < 0 odpowiedi wiosek wygla da tak: jeśli [ x b x ] a < a, to ax bx c = a b a ) 4a > 0, jeśli [ x b x ] a > a, to ax bx c = a b a ) 4a < Napisać rówaie kwadratowe, którego pierwiastkami sa i, i, i, i, i, π i, i, 5 7 i ! Rozwia zać rówaie kwadratowe sprowadzaja c je trójmia kwadratowy do postaci kaoiczej x x = 0, x 4x = 0, x 4x = 0. x x = 0, x x = 0, x x 9 4 = 0, x x = 0, x x = 0, x x 9 8 = Napisać wzór fukcji, której wykres jest symetryczy do wykresu fukcji y = x 5x6 wzgle dem: a) osi x, b) osi y, c) prostej x =, d) prostej y =. 8! Napisać wzór fukcji, której wykres jest symetryczy do wykresu fukcji y = x 4 wzgle dem: a) osi x, b) osi y, c) puktu 0,0), d) prostej y =. 9. O jaki wektor ależy przesua ć wykres fukcji y = x, aby otrzymać wykres fukcji: a) y = x 4, b) y = x ), c) y = x ) 6, d) y = x ) x 6, e) y = x 6x, f) y = x 6x 8? 0. Naszkicować wykresy fukcji: a) y = x 4, b) y = 5x 6, c) y = x x, d) y = x x, e) y = x x x, f) y = x x x.. Naszkicować wykresy fukcji: a) y = x 4x, b) y = x 5x 6, c) y = x x, d) y = x x, e) y = x x x, f) y = x x, g) y = x 4 4, h) y = x, i) y = x x, j) y = x 5 x 6.! Zaleźć odleg lość puktu,) od prostej x y 5 = 0, czyli. Zaleźć odleg lość prostej x y 7 = 0 od prostej 4x y 0 = Dla jakich a R\0} suma kwadratów pierwiastków rówaia ax a)x = 0 jest wie ksza iż? 5. Niech A be dzie zbiorem z lożoym ze wszystkich puktów, których odleg lość od puktu,4) jest rówa ich odleg lości od prostej y = 4. Wykazać, że A jest wykresem fukcji kwadratowej parabola ). Zaleźć wierzcho lek i oś symetrii tej paraboli. 6. Dae sa rówaia 4px x p = 0 i k )x k 8)x = 0. a) Dla jakich p,k te rówaia maja pierwiastki rzeczywiste? 6
7 Zadaia szkole b) Dla jakich p, k suma pierwiastków każdego z tych rówań rówa jest iloczyowi pierwiastków drugiego rówaia? 7. Niech Wx) = x m 6)x m 7)x. a) Dla jakich m R pierwiastki wielomiau W tworza cia g arytmetyczy? b) Niech m be dzie ajmiejsza z liczb spe liaja cych waruek z puktu a. Rozwia zać rówaie; Wx) = x x x x przyjmuja c, że x to ajwie ksza liczba ca lkowita x. 8! Niech Wx) = x mx m m. a) Dla jakich m R wielomia W ma dwa róże pierwiastki rzeczywiste, których suma jest wie ksza od iloczyu? b) Niech m Z be dzie ta wartościa parametru m, dla której spe lioy jest waruek a. Naszkicować wykres fukcji gx) = Wx) przyjmuja c, że x zaś x to ajwie ksza liczba ca lkowita miejsza lub rówa x. Za lóżmy, że a 0 oraz że ax bx c = 0. Wtedy dla dowolej liczby x zachodzi rówość ax bx c = ax bx c ax bx c ) = ax x )x x ) bx x ) = = x x ) [ ax x ) b ] = ax x ) [ x x a] b. Przyjmijmy x = x b a. Wtedy ax bx c = ax x )x x ). Okazuje sie wie c, że zaja c jede pierwiastek wielomiau kwadratowego możemy atychmiast zaleźć drugi. Otrzymaliśmy też zay wzór x x = b a, zway a ogó l wzorem Viète a. Drugi otrzymujemy zaste puja c we wzorze ax bx c = ax x )x x ) zmiea x przez liczbe 0: c = a x ) x ) = ax x, czyli x x = c. Otrzymaliśmy wzory Viète a ie korzystaja c z wzorów a pierwiastki rówaia kwadratowego a ax bx c = 0, choć oczywiście mogliśmy ich użyć. Jedak wyprowadzeie, które pokazaliśmy, dzia la rówież w przypadku rówań wyższego stopia, a wzory a pierwiastki rówaia trzeciego oraz czwartego stopia sa a tyle skomplikowae, że praktyczie ie używae. Wzorów a pierwiastki rówań wyższych stopi w ogóle ie ma. Na prze lomie XVIII i XIX wieku udowodioo, że ie istieja wzory a pierwiastki rówaia stopia pia tego i wyższych. Moża bez trudu dowieść, że liczby x,x sa pierwiastkami rówaia kwadratowego ax bx c=0 wtedy i tylko wtedy, gdy x x = b a i x x = c udowodiliśmy wyżej jedyie wyikaie w a jeda stroe. Jeśli x x = b a i x x = c a, to x x b a ) = c a, zatem po pomożeiu obu stro tej rówości przez a i przeiesieiu wszystkich sk ladików a lewa stroe otrzymujemy: ax bx c = 0, wie c wykazaliśmy, że x jest pierwiastkiem rówaia ax bx c = 0. W taki sam sposób moglibyśmy przekoać sie, że liczba x jest pierwiastkiem tego rówaia kwadratowego. S lowo parabola w zadaiach ozacza wykres fukcji kwadratowej. 9! Odgada ć pierwiastki rówaia kwadratowego: a) x x = 0, b) x x = 0, c) x 4x 4 = 0, d) x x 6 = 0, e) x x 6 = 0, f) x 6x 8 = 0, g) x 6x 8 = 0, h) 8x 6x = 0, i) x x = 0, j) x x = 0, k) x 5x = 0, l) x 5x = 0. 40! Dowieść, że środki wszystkich tych odcików rówoleg lych do prostej y = x 5, których oba końce 7
8 Zadaia szkole leża a paraboli o rówaiu y = x x 7, zajduja sie a jedej prostej. Czy każdy pukt tej prostej jest środkiem jedego z opisaych odcików? 4. Wykazać, że jeśli suma odleg lości puktu x,y) od puktów 0, 5) i 0, 5) jest rówa 6, to x 4 y 9 x =. Czy z tego, że 4 y 9 F = 0, 5) i F = 0, 5) jest rówa 6? = wyika, że suma odleg lości puktu x,y) od puktów 4. Dowieść, że środki wszystkich tych odcików rówoleg lych do prostej y = x 5, których oba końce leża a elipsie o rówaiu x 4 y =, 9 zajduja sie a jedej prostej. Czy każdy pukt tej prostej jest środkiem jedego z opisaych odcików? Zaleźć wszystkie proste rówoleg le do prostej y = x 5, które dok ladie jede pukt wspóly z o rówaiu maja elipsa x 4 y 9 =. 4. Niech F = 0, 5), F = 0, 5) i A = 6 5, ) 5. Zaleźć prosta l przechodza ca przez pukt A, której jedyym puktem wspólym z o rówaiu elipsa x 4 y = jest pukt A. Wykazać, że 9 ka t mie dzy odcikiem F A i prosta l rówy jest ka towi mie dzy odcikiem F A i prosta l. 44! Ile puktów wspólych z parabola może mieć prosta? 45. Wykazać, że parabola y = x jest podoba do paraboli y = 9x. 46. Ile puktów wspólych z okre giem może mieć wykres fukcji kwadratowej? 47. Ile puktów wspólych ze soba moga mieć dwie parabole? 48. Ile puktów wspólych moga mieć elipsa o rówaiu x 6 y 4 x a) y b) = r, gdzie r > 0? = i okra g, którego rówaiem jest 49! Bez rozwia zywaia rówaia x 7x 4 = 0 zaleźć wartość wyrażeia x 5x x x 4x x 4x x ozaczaja tu pierwiastki rówaia x 7x 4 = 0., x,x 50. Rówaie kwadratowe ax bx c = 0 ma dwa pierwiastki x,x. Zaleźć rówaie kwadratowe, którego pierwiastkami sa a) liczby x i x, b) liczby x i x, c) liczby x i x, d) liczby x i x. 5. Dla jakich liczb λ rówaie λ )x λ )x λ = 0 ma dok ladie jede pierwiastek. 5. Liczby x,x sa pierwiastkami rówaia kwadratowego x ax a = 0. Dla jakiego a R liczba x x jest ajmiejsza? 5. Zaleźć odleg lość puktu,) od prostej o rówaiu x y = Niech a > 0, b,c R. Wykazać, że zbiór z lożoy z puktów leża cych ad parabola y = ax bxc jest wypuk ly. 55! Dla jakiej liczby x wyrażeie x ) x ) x 5) x 7) x 9) przyjmuje ajmiejsza wartość? x ) x ) x 5) x 7) x 9) 56. Wykazać, że jeśli rówaie kwadratowe ax bx c = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste x,x, to zachodzi rówość x x ) = b 4ac a. 57. Jaki waruek musza spe liać liczby a 0,b,c, aby rówaie kwadratowe ax bx c = 0 mia lo 8
9 Zadaia szkole dwa pierwiastki rzeczywiste różych zaków? 58. Jaki waruek musza spe liać liczby a 0,b,c, aby rówaie ax bx c = 0 mia lo dwa pierwiastki rzeczywiste, mie dzy którymi zajduje sie liczba? 59. Jaki waruek musza spe liać liczby a 0,b,c, aby rówaie ax bxc = 0 mia lo dwa pierwiastki rzeczywiste, których suma jest rówa ich iloczyowi? 60. Wyzaczyć liczbe pierwiastków rówaia x 4 m 4)x 4 = 0 w zależości od parametru m? 6. Wyzaczyć liczbe pierwiastków rówaia x 4 m 4)x m 4m = 0 w zależości od parametru m? 6. Wykazać, że jeśli x px q = 0, to xq p. 6. Wykazać, że jeśli x > 0, y > 0 i x y =, to x) y) Zaleźć jak ajprostsze rówaie kwadratowe, którego wyróżik jest rówy i wykazać, że 0. ap bq cr) a b c )p q r ) 65. Wyrażeie x x 4 0 x jest sta le a pewym przedziale. Zaleźć te przedzia l. 66. Niech m, be da liczbami aturalymi. Wykazać, że liczba m leży mie dzy liczbami x y =, 67. Rozwia zać uk lad rówań x y = Zaleźć wszystkie takie liczby rzeczywiste x, dla których zachodzi ierówość x x x x. Dwumia Newtoa Wiadomo, że a b) = a ab b. Wobec tego możemy apisać: a b) = a b) a b) = a ab b )a b) = = a a b ab a b ab b = a a b ab b. Aalogiczie: a b) 4 = a a b ab b )a b) = a 4 a b a b ab Wreszcie: a b a b ab b 4 = = a 4 4a b 6a b 4ab b 4. a b) 5 = a 4 4a b 6a b 4ab b 4 )a b) = a 5 4a 4 b 6a b 4a b ab 4 a 4 b 4a b 6a b 4ab 4 b 5 = = a 5 5a 4 b 0a b 0a b 5ab 4 b 5. i m m. Z tych przyk ladów widać, że w rozwiie ciu a b) wyste puje sk ladików: a, aste pie koleje iloczyy a b, a b,..., ab z jakimiś wspó lczyikami i a końcu b. Jeśli koleje wspó lczyiki przy tych iloczyach ozaczymy przez ), ),..., ) i dla osia gie cia pe lej jedolitości wprowadzimy jeszcze dwa symbole 0) = = ), to rozumuja c dok ladie tak, jak poprzedio, dojdziemy do wiosku, że k) = ) k ) k dla k = 0,,,...,. 9
10 Zadaia szkole Np. 4 = 4 ) = 0) ) =, 6 = 4 ) = ) ) =, 5 ) = 4 ) 4 ) = =6 4 = 0, 6 ) 4 = 5 ) 5 ) 4 = 0 5 = 5. Blaise Pascal wpad l a pomys l, by zapisywać wspó lczyiki rozwiie cia a b) w kolejych wierszach trójka ta azwaego późiej jego azwiskiem: Wypisaliśmy pierwszych sześć wierszy trójka ta Pascala, oczywiście moża wypisywaie kotyuować, ale zapewe każdy już widzi, jaki jest mechaizm tworzeia aste pego wiersza z daego. Zapiszmy jeszcze tylko wzór a b) 5 = a 5 5a 4 b 0a b 0a b 5ab 4 b 5, by raz jeszcze pokazać, jaki zwia zek trójka ta Pascala z pote gowaiem dwumiau a b. Przypomijmy, że 0! = z defiicji).! = oraz )! = )! dla = 0,,,,... Wtedy moża apisać, że ) k =! k! k)! dla k = 0,,,...,,. Oczywiście wymaga to uzasadieia. Moża zauważyć, że jest tak dla = 0,. Jeśli twierdzeie jest prawdziwe dla pewej liczby aturalej i wszystkich liczb k 0,,,...,,}, to k) = ) k ) k =! k! k)!! k)! k )! =! k! k )! k k ) =! k k = k! k )! k)k) =! ) k! k )! k)k) = )! k)! k)! = k). Poieważ twierdzeie jest prawdziwe dla =, wie c jest prawdziwe dla =. Poieważ jest prawdziwe dla =, wie c jest prawdziwe dla = itd. Zauważmy jeszcze, że jeśli 0 < k <, to ) k = )... k) k)... k ) k. W tym wzorze w miaowiku jest iloczy k czyików i tyleż samo jest ich w licziku. Możemy apisać: a b) = a a b ) a b ) ) a b ) ) ) ) ab b. Spójrzmy teraz a iloczy x y )x y )x y ) = x x x y y x y y )x y ) = = x x x x y x y x x y y x x x y x y y y x y y y y. Widzimy, że po wymożeiu otrzymaliśmy 8 sk ladików. Każdy z ich jest iloczyem trzech liczb: pierwszy czyik wzie ty jest z pierwszego awiasu, drugi z drugiego, a trzeci z trzeciego. Przyjmuja c x = x = x = a i y = y = y = b otrzymujemy a b)a b)a b) = aaa aba baa bba aab abb bab bbb = a a b ab b. Zauważmy, że wśród ośmiu sk ladików trzy z ich zawieraja dwa iksy i jede igrek. Po prostu z trzech awiasów wybieramy jede, z wybraego awiasu wybieramy drugi sk ladik, a z iewybraych pierwszy. To moża zrobić a trzy sposoby. Dlatego wspó lczyik przy a b jest rówy liczbie sposobów, a które moża wybrać jede przedmiot spośród trzech daych Wspó lczyik przy a 4 b w rozwiie ciu a b) 6 jest rówy liczbie sposobów wyboru dwóch spośród sześciu awiasów: z wybraych do iloczyu wejdzie b, a z pozosta lych a. Moża też spojrzeć a te wspó lczyik ieco iaczej. Mamy wybrać dwa z sześciu awiasów. Pierwszy awias możemy wybrać a 6 sposobów, a drugi a 5, bo wybieramy z pozosta lych pie ciu. Wobec tego mamy 6 5 możliwości. Ale w te sposób zajdujemy uporza dkowae 0
11 Zadaia szkole pary, a mieliśmy zajdować ieuporza dkowae. Trzeba wie c otrzymay wyik podzielić przez liczbe uporza dkowań dwóch awiasów czy też ogóliej przedmiotów). Oczywiście dwa przedmioty moża ustawić w dwóch kolejościach, wie c tych par ieuporza dkowaych) jest 6 5 = 5. Gdybyśmy w te sam sposób przyjrzeli sie liczbie 6 ), to stwierdzilibyśmy, że jest oa rówa liczbie wyborów trzech spośród sześciu daych przedmiotów. Pierwszy przedmiot moża wybrać a 6 sposobów, drugi a 5, a trzeci a 4. Wobec tego liczba uporza dkowaych wyborów trzech spośród sześciu przedmiotów rówa jest Aby zaleźć liczbe ieuporza dkowaych wyborów trzech spośród sześciu elemetów ależy otrzymay wyik podzielić przez liczbe wszystkich uporza dkowań trzech elemetów. Trzy elemety, p. liczby,,, moża uporza dkować a sposoby, bo każdy z trzech może zaleźć sie a pierwszym miejscu i wtedy pozosta le dwa moża wypisać a dwa sposoby:,,;,,;,,;,,;,,;,,. Sta d moża wioskować, że liczba wyborów trzech spośród sześciu przedmiotów jest rówa = Wykazać, że a b) = a a b ab b. 70. Wykazać, że a b) 4 = a 4 4a b 6a b 4ab b Wykazać, że a b c) = a b c ab ac bc dla dowolych a,b,c R. 7. Wykazać, że abc) = a b c a bab a cac b cbc 6abc dla dowolych a,b,c R. 7. Wykazać, że a b c) =! k!l!m! ak b l c m przy czym sumowaie rozcia ga sie a takie wszystkie trójki k.l,m ieujemych liczb ca lkowitych, że k l m =. 74! Udowodić, że 0) ) ) ) ) ) =. 75. Udowodić, że! k!l!m! = przy czym sumowaie rozcia ga sie a takie wszystkie trójki ieujemych liczb ca lkowitych, że k l m =. W kilku aste pych zadaiach wyste puja sumy zakończoe zakiem... Należy zak ladać, że sk ladiki wypisywae sa dopóty, dopóki ma to ses, p. pisza c k) zak ladamy, że 0 k i oczywiście, że liczby k, sa ca lkowite, p. symbol ) 5 7 ie ma sesu w szkole, tym bardziej ie ma sesu symbol / ) 4. 76! Udowodić, że 0) ) ) ) 4) 5) = Udowodić, że 0) ) 6) 9) ) ) ) 5 = cos π. 78. Udowodić, że ) 4) 7) 0) ) ) 6 = cos π si π ). 79. Udowodić, że ) 5) 8) ) 4) ) 7 = cos π ) si π. 80. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej rówości: zachodza cosα) = cos α ) cos α si α ) 4 cos 4 α si 4 α 6) cos 6 αsi 6 α ; siα) = ) cos α si α ) cos α si α ) 5 cos 5 α si 5 α 7) cos 7 α si 7 α Rozwia zaia aste pych trzech zadań moża ujrzeć przygla daja c sie trójka towi Pascala, moża też rozwia zać je ieco iaczej. czyli trzyelemetowych wariacji bez powtórzeń czyli trzyelemetowych kombiacji zbioru sześcioelemetowego A późiej zdefiiujemy go tak: / 4 )= / /) 5/) 8/) 4 = 0 4, 5 7)= ) =0, itd.
12 Zadaia szkole 8. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość 4 5 = ) ) ) 4 ) 5 ) 8. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość ) ) = ) ) 4 ) 5 ) 8! Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość ) = ). ) = ). ) ) ) = = ) 4 ) 5 ) 6 ) ) = ) Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość 0) t ) t t) ) t t) ) t t) ) 4 t 4 t) 4 ) 5 t 5 t) 5 ) t) = 85. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość ) 0 t ) ) t t) ) ) t t) ) ) t t) 4) ) 4 t 4 t) 4 5) ) 5 t 5 t) 5 0 ) t) = t. 86. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość ) 0 t ) ) t t) ) ) t t) ) ) t t) 4) 4) t 4 t) 4 5) ) 5 t 5 t) 5 0 ) t) = )t t. Wielomiay Defiicja 4. wielomiau) Wielomiaem w azywamy taka fukcje a R lub a pewym przedziale, że takie określoa istieja liczby a 0,a,...,a, że dla każdej liczby x z dziedziy fukcji w zachodzi rówość wx) = a 0 a x a x a x a x. Twierdzeie 5. Niech x 0 < x < x <... < x < x i a 0,a,a,...,a,a be da dowolymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a 0 a x 0 a x 0 a x 0 a x 0 = 0, a 0 a x a x a x a x = 0, a 0 a x a x a x a x = 0,,... a 0 a x a x a x a x = 0, a 0 a x a x a x a x = 0. to a 0 = a = a =... = a = a = 0. Dowód. Dla = twierdzeie wygla da tak: jeśli x 0 < x i a 0 a x 0 = 0 oraz a 0 a x = 0, to a 0 = a = 0. Jest tak, bo po odje ciu daych rówości otrzymujemy a x x 0 ) = 0, z czego wyika, że a = 0 moża podzielić przez x x 0, bo x x 0 ). Mamy wie c 0 = a 0 a x 0 = a 0 0 x = a 0. Udowodiliśmy wie c twierdzeie dla =. Za lóżmy teraz, że x 0 < x < x i że a 0,a,a sa takimi liczbami rzeczywistymi, że a 0 a x 0 a x 0 = 0, a 0 a x a x = 0, a 0 a x a x = 0.
13 Zadaia szkole Odejmujemy pierwsza rówość stroami od dwu aste pych i otrzymujemy: a x x 0 ) a x x 0 ) = 0, a x x 0 ) a x x 0 ) = 0. Dziela c te rówaia przez x x 0 0 i x x 0 0 otrzymujemy a a x x 0 ) = 0, a a x x 0 ) = 0. a a Przepiszmy to w postaci x 0 ) a x = 0, Z prawdziwości twierdzeia dla = wyika, że a a x 0 ) a x = 0. a a x 0 = 0 i a = 0 zasta piliśmy a 0 przez a a x 0, a przez a, x 0 przez x, x przez x ). Wiemy wie c, że a = 0 i a a x 0 = 0, wie c a = 0, zatem 0 = a 0 a x 0 a x 0 = a 0 0 x 0 0 x 0 = a 0. Udowodiliśmy, że 0 = a 0 = a = a, czyli twierdzeie dla =. Niech x 0 < x < x < x i a 0,a,a,a R be da takimi liczbami, że a 0 a x 0 a x 0 a x 0 = 0, a 0 a x a x a x = 0, a 0 a x a x a x = 0, a 0 a x a x a x = 0. Odejmujemy pierwsza rówość stroami od trzech aste pych i otrzymujemy: a x x 0 ) a x x 0) a x x 0) = 0, a x x 0 ) a x x 0 ) a x x 0 ) = 0, a x x 0 ) a x x 0) a x x 0) = 0. Dzielimy koleje rówaia przez x x 0 0, x x 0 0, x x 0 0 i otrzymujemy: a a x x 0 ) a x x x 0 x 0) = 0, a a x x 0 ) a x x x 0 x 0 ) = 0, a a x x 0 ) a x x x 0 x 0 ) = 0. Przepisujey te rówości w postaci a a x 0 a x 0 ) a a x 0 )x a x = 0, a a x 0 a x 0) a a x 0 )x a x = 0, a a x 0 a x 0 ) a a x 0 )x a x = 0. Stosuja c udowodioe już twierdzeie dla = otrzymujemy: 0 = a a x 0 a x 0 = a a x 0 = a, Sta d wyika atychmiast, że a = a = a = 0. Wobec tego 0 = a 0 a x 0 a x 0 a x 0 = a 0, czyli a 0 = 0. Wykazaliśmy wie c, że teza twierdzeia jest prawdziwa dla = oraz dowolych liczb a 0,a,a,a i x 0 < x < x < x. To rozumowaie moża kotyuować. Z tego twierdzeia wyika latwo aste puja ce Twierdzeie 6. o jedozaczości wspó lczyików wielomiau) Jeśli rówość a 0 a xa x a m x m = b 0 b xb x b x zachodzi dla ieskończeie wielu liczb x, to a 0 = b 0, a = b,... przyjmujemy tu, że 0 = a m = a m =..., 0 = b = b =...). Dowód. Przeosimy wszystko a jeda stroe rówości i z poprzediego twierdzeia otrzymujemy a 0 b 0 = 0, a b = 0,... Teraz możemy przypomieć defiicje stopia wielomiau. Defiicja 7. stopia wielomiau)
14 Zadaia szkole Jeśli 0 i wx) = a 0 a xa x a x i a 0, to mówimy, że w jest wielomiaem stopia. Stopia wielomiau zerowego wszystkie wspó lczyiki sa zerami) ie defiiujemy, ale przyjmujemy, że te iezdefiioway stopień jest miejszy od każdej liczby ca lkowitej ieujemej. Stopień wielomiau w ozaczamy symbolem stw) albo degw)). Defiicja 8. pierwiastka wielomiau) Liczba x 0 azywaa jest pierwiastkiem wielomiau w wtedy i tylko wtedy, gdy wx 0 ) = 0. Twierdzeie 9. o dzieleiu z reszta ) Dla dowolych wielomiaów w, v, v 0 istieje dok ladie jeda para wielomiaów q, r takich, że dla każdego x zachodzi rówość wx) = qx)vx) rx) i str) < stv). * Dowód. Zacziemy od dowodu istieia wielomiaów q, r. Jeśli stw) < stv), to przyjmujemy q = 0 i r = w, rówość w = qv r jest oczywiście spe lioa i str) = stw) < stv). Za lóżmy, że twierdzeie jest prawdziwe dla wszystkich wielomiaów w stopia miejszego od i że stw) = k = stv). Niech wx) = a 0 a x a x, a 0 i iech vx) = b 0 b x b k x k, b k 0. Niech w x) = wx) a bk x k vx) = a 0 a x a x a bk x k [b 0 b x b k x k ] = =a 0 a x a x a bk x k [b 0 b x b k x k ]. Jase jest, że stw ). Istieja wie c wielomiay q i r takie, że w x) = q x)vx) rx), przy czym str) < stv). Przyjmujemy qx) = a bk x k q x). Bez trudu stwierdzamy, że wx) = qx)vx) rx), co kończy dowód istieia wielomiaów q i r. Należy jeszcze wykazać jedozaczość. Za lóżmy, że qx)vx) rx) = qx)vx) rx). Wtedy rx) rx) = qx)vx) qx)vx) = vx)[ qx) qx)]. Widzimy wie c, że str r) = stv) st q q), co jest iemożliwe, gdy st q q) 0, bo wtedy prawa stroa jest wie ksza iż lewa. Wobec tego st q q) < 0, wie c musi być spe lioa rówość q = q. Wtedy zachodzi rówość rx) rx) = qx)vx) qx)vx) = vx)[ qx) qx)] = vx) 0 = 0, czyli rx) = rx), co kończy dowód jedozaczości. Twierdzeie 0. Bézout) Reszta z dzieleia wielomiau w, przez wielomia x c jest rówa wc). Dowód. Reszta z dzieleia jakiegokolwiek wielomiau przez wielomia x c jest wielomiaem stopia miejszego iż, wie c albo jest wielomiaem zerowym, albo wielomiaem stopia 0. W obu przypadkach jest to liczba raczej fukcja sta la). Niech r ozacza reszte z dzieleia wielomiau w przez wielomia x c. Mamy wx) = qx)x c) r, w szczególości wc) = qc)c c) r = r, co kończy dowód. Naste pe twierdzeie pozwala iejako zgadywać, jakie liczby wymiere sa pierwiastkami wielomiaów, które maja ca lkowite wspó lczyiki. Ma oo spore zaczeie praktycze. Twierdzeie. o wymierych pierwiastkach wielomiau o wspó lczyikach ca lkowitych) Jeśli liczby a 0,a,...,a sa ca lkowite,, p,q sa liczbami ca lkowitymi wzgle die pierwszymi ie maja wspólego dzielika wie kszego od ), pierwiastkiem wielomiau wx) = a 0 a x a x jest liczba p q, to liczba p jest dzielikiem liczby a 0 wyrazu wolego wielomiau w ) a liczba q jest * Wielomia q azyway jest ilorazem, a wielomia r reszta z dzieleia wielomiau w przez wielomia v. 4
15 Zadaia szkole dzielikiem liczby a wspó lczyika kieruja cego wielomiau w ). Dowód. Poieważ 0 = w ) p q = p a0 a q a p q) p a q), wie c 0 = 0 q = [ a 0 a p q a p q) a p q) ] q = = a 0 q a q p a q p a q p a qp a p. Liczba a 0 q a q p a q p a q p a qp = a p jest podziela przez q. Liczby p,q ie maja wspólego dzielika wie kszego iż, wie c rówież liczby p i q sa wzgle die pierwsze, zatem liczba q jest dzielikiem liczby a. Liczba a q p a q p a q p a qp a p = a 0 q jest podziela przez p. Poieważ liczby p,q ie maja wspólego dzielika wie kszego iż, wie c liczba p jest dzielikiem liczby a 0. Dowód zosta l zakończoy. Wiosek. Jeżeli liczby a 0,a,...,a ca lkowite,, a liczba ca lkowita p jest pierwiastkiem wielomiau sa wx) = =a 0 a x a x, czyli wp) = 0, to jest oa dzielikiem liczby a 0 wyrazu wolego wielomiau w ). Naste pe twierdzeie, udowodioe przez C.F.Gaussa mówi, że rozk ladaja c wielomia o wspó lczyikach ca lkowitych a iloczy wielomiaów o wspó lczyikach wymierych w zasadzie otrzymujemy rozk lad a iloczy wielomiaów o wspó lczyikach ca lkowitych. Czytelik zauważy, że twierdzeie o wymierych pierwiastkach wielomiau, którego wspó lczyiki sa ca lkowite jest szczególym przypadkiem twierdzeia o rozk ladzie wielomiau o wspó lczyikach ca lkowitych. Twierdzeie. o rozk ladzie wielomiau o wspó lczyikach ca lkowitych) Jeśli liczby a 0,a,...,a sa ca lkowite, k,l, liczby b 0,b,...,b k,c 0,c,...,c l sa wymiere i Wx) = a 0 a x a x = [ b 0 b x b k x k] [c 0 c x c l x l] = ux) vx) dla każdej liczby x, to istieje taka liczba wymiera α, że wszystkie liczby sa ca lkowite. * αb 0,αb,...,αb k, α c 0, α c,..., α c l Dowód. W dowodzie dla uproszczeia zapisu przyjmiemy, że 0 = b k = b k = b k =... oraz 0 = c l = c l = c l =. Każda liczba ca lkowita jest dzielikiem liczby 0, bowiem 0 = p 0. Niech b 0 = β 0 m, b = β m, b = β m,..., b k = β k m przy czym liczby β 0, β, β,..., β k sa ca lkowite, ich ajwie kszym wspólym dzielikiem jest, m N. Liczby γ 0, γ, γ,..., γ l sa rówież ca lkowite, ich ajwie kszym wspólym dzielikiem jest, M N i c 0 = γ 0 M, c = γ M, c = γ M,..., c l = γ l M. Za lóżmy, że liczba pierwsza p jest dzielikiem liczby m. Nie jest oa dzielikiem wszystkich liczb β 0, β, β,..., β k. Istieje wie c taki umer i, że p jest dzielikiem liczb β 0,β,...,β i, ale ie jest * Tego twierdzeia ai tym bardziej jego dowodu ie ma w programie szkolym. Umieszczam je tutaj, bo uważam, że warto o im us lyszeć w szkole, by zdać sobie sprawe z tego, że ie ma istotej różicy mie dzy rozk ladaiem wielomiau a iloczy wielomiaów o wspó lczyikach wymierych i rozk ladaiem a iloczy wielomiaów o wspó lczyikach ca lkowitych. Do tego wystarczy loby sformu lowaie twierdzeia. Poda lem też dowód, bo to przyk lad ieskomplikowaego rozumowaia idukcyjego, ale jedak ie ca lkiem trywialego dowodzimy kolejo idukcja!), że liczby γ 0,γ,... sa podziele przez p. 5
16 Zadaia szkole dzielikiem β i, ie wykluczamy tego, że i = 0 czyli β 0 ie dzieli sie przez p). Zachodza rówości: β 0 m γ0 M = a 0, β 0 m γ M β m γ0 M = a, β 0 m γ M β m γ M β m γ0 M = a... β 0 β 0 m γi M β m γi M β i m γ M β i m γ0 M = a i m γi M β m γi M β i m γ M β i m γ M β i m γ0 M = a i... Liczba a i jest ca lkowita, wie c liczba β 0γ i β γ i β i γ β i γ 0 mm też jest ca lkowita. Poieważ liczba mm jest podziela przez p, wie c rówież liczba β 0 γ i β γ i β i γ β i γ 0 jest podziela przez liczbe pierwsza p. Poieważ liczby β 0 γ i, β γ i,..., β i γ sa podziele przez p, zatem rówież liczba β i γ 0 dzieli sie przez p. Liczba β i przez liczbe pierwsza p ie dzieli sie, zatem γ 0 musi sie dzielić przez p. Spójrzmy a aste pa rówość. Wyika z iej, że liczba β 0 γ i β γ i β i γ β i γ β i γ 0 jest podziela przez p. Wobec tego że sk ladiki β 0 γ i, β γ i,..., β i γ, β i γ 0 sa podziele przez p, liczba β i γ też jest przez p podziela, ale sta d wyika, że liczba pierwsza p jest dzielikiem liczby γ. W taki sam sposób wykazujemy, że aste pe liczby γ, γ,...,γ l sa podziele przez p. Możemy wie c pomożyć wielomia b 0 b x b k x k = m β0 β x β k x k) przez p dziela c jedocześie wielomia c 0 c x c l x l = M γ0 γ x γ l x l) przez te liczbe. m Powtarzaja c opisaa procedure z jakimkolwiek czyikiem pierwszym liczby ca lkowitej p zmiejszamy powtórie te miaowik. W końcu doprowadzimy do usuie cia wszystkich czyików pierwszych liczby m, a to ozaczać be dzie, że w miaowiku pojawi sie liczba. Naste pie rozk ladamy a czyiki pierwsze liczbe M i wykazujemy, że jej czyiki pierwsze sa wspólymi dzielikami liczb β 0, β,..., β k, co pozwala a pomożeie drugiego czyika iloczyu przez M i jedoczese podzieleie pierwszego czyika przez M. Moża wie c przyja ć, że α = m M. 87! Udowodić, że fukcja x ie jest wielomiaem. 88. Udowodić, że fukcja x ie jest wielomiaem. 89! Udowodić, że fukcja x ie jest wielomiaem. 90. Udowodić, że fukcja x ie jest wielomiaem. 9. Udowodić, że wielomia siódmego stopia ie może mieć ośmiu różych pierwiastków. Moża skorzystać z twierdzeia o jedozaczości wspó lczyików wielomiau.) 9. Za lóżmy, że wielomia a 0 a x a x a x x ma dok ladie pierwiastków x,x,,x. Dowieść, że a 0 a x a x a x x = x x )x x )...x x ). 6
17 Zadaia szkole 9. Za lóżmy, że wielomia a 0 a x a x a x x ma dok ladie pierwiastków x,x,,x. Udowodić, że zachodza aste puja ce wzory Viète a: x x x = a, x x x x x x x x x x 4 x x x x = a, x x x x x x 4 x x x x x x 4 x x x 5 x x x x x x = a,... x x... x = ) a. 94! Wykazać, że dla każdych trzech puktów x 0,y 0 ), x,y ), x,y ), które ie leża a jedej prostej i dla których x 0 < x < x istieje dok ladie jeda trójka liczb a,b,c taka, że y 0 = ax 0 bx 0 c, y = ax bx c, y = ax bx c. Udowodić, że wtedy a 0. Ozacza to, że jeśli trzy pukty ie leża a jedej prostej, przy czym żade dwa z ich ie leża a jedej prostej pioowej, to wszystkie trzy leża a wykresie pewego wielomiau stopia drugiego. 95. Wykazać, że dla każdych czterech puktów x 0,y 0 ), x,y ), x,y ), x,y ), które ie leża a wykresie wielomiau stopia miejszego iż i dla których x 0 < x < x < x istieje dok ladie jeda czwórka liczb a,b,c,d taka, że y 0 = ax 0 bx 0 cx 0 d, y = ax bx cx d, y = ax bx cx d, y = ax bx cx d. Udowodić, że wtedy a 0. Ozacza to, że jeśli cztery pukty ie leża a wykresie wielomiau stopia, przy czym żade dwa z ich ie leża a jedej prostej pioowej, to wszystkie cztery leża a wykresie pewego wielomiau stopia trzeciego. 96! Zaleźć wszystkie takie trójki liczb a,b,c, że liczby, sa pierwiastkami wielomiau ax bx c. 97. Zaleźć wszystkie takie trójki liczb a,b,c, że liczby, sa pierwiastkami wielomiau ax bxc. 98. Zaleźć wszystkie takie pary liczb b,c, że wśród pierwiastków wielomiau x 4 x x bx c sa liczby i. 99! Wykazać, że a b = a b)a a b a b a 4 b ab b ) dla każdego wyk ladika N i dowolych a,b R. 00! Wykazać, że a b = a b)a ab b ), a 5 b 5 = a b)a 4 a b a b ab b 4 ). 0. Roz lożyć a czyiki x ) 7 x Roz lożyć a czyiki x 4 y z) y 4 z x) z 4 x y). 0. Roz lożyć a czyiki x 4 y z ) y 4 z x ) z 4 x y ). 04. Roz lożyć a czyiki xy z) yz x) zx y). 05. Czy liczba dzieli: sie przez, przez 5, przez 7, przez, przez, przez 7, przez 9? 06. Czy liczba dzieli: sie przez, przez 5, przez 7, przez, przez, przez 7, przez 9? 07. Czy wielomia x 44 x x x dzieli sie : przez wielomia x 5, przez wielomia x 4 x x x? 08! Wyzaczyć liczby p,q R tak, by wielomia x 4 px q by l podziely przez: i) x 5x 6, ii) x 5x 7, iii) x 6x Zaleźć ajwie ksza wartość wielomiau x x). Wykazać, że istieje taki wielomia wx) o wspó lczyikach ca lkowitych, że jeśli 0 < x <, to zachodzi ierówość 0 < wx) <
18 Zadaia szkole 0. Wykazać, że dla dowolych liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi ierówość x y z xy xz yz 0 i że staje sie oa rówościa wtedy i tylko wtedy, gdy x = y = z = 0.. Rozwia zać rówaie x 6x) x 6x) 6 = 0.! Rozwia zać rówaie x x )x x ) =.. Rozwia zać rówaie x x7 x x = x x Rozwia zać rówaie xx )x )x ) = Rozwia zać rówaie x 4)x 5)x 6)x 7) = Rozwia zać rówaie 8x 7) 4x )x ) = Rozwia zać rówaie x 5x 7) x )x ) =. 8! Rozwia zać rówaie x 4 x ) 4 = Rozwia zać rówaie 5 x) 4 x) 4 = Rozwia zać rówaie x x x = 0.. Rozwia zać rówaie x 4 = x.! Rozwia zać rówaie x 4 4x 9x 06x 0 = 0.. Rozwia zać rówaie x x 4 x = x. 4. Rozwia zać rówaie x 6 9x 8 = Rozwia zać rówaie x 5 5x 4 x 4x x 5 = Rozwia zać rówaie x 4 x x x = Roz lożyć a czyiki wyrażeie ab bc ca)a b c) abc. 8. Roz lożyć a czyiki wyrażeie a b c) a b c. 9. Roz lożyć a czyiki wyrażeie x 5x x Roz lożyć a czyiki wyrażeie x 5 x 4 x x x.. Roz lożyć a czyiki wyrażeie a b c abc.! Roz lożyć a czyiki wyrażeie y 666 x) x 666 y) 666 x y).. Roz lożyć a czyiki wyrażeie x x x x 00 ) x Roz lożyć a czyiki wyrażeie x 0 x Rozwia zać rówaie x 4 x 0x x = Rozwia zać rówaie x ) 4 = x 4 ). 7. Rozwia zać rówaie x) 4 x) 4 = 5 x) Rozwia zać rówaie x x x x = 6 x x4. 9. Rozwia zać rówaie 6x 5) x )x ) = Rozwia zać rówaie x x ) x x ) = Rozwia zać rówaie x x x x x x =. 4. Rozwia zać rówaie x x ) =,5. 4. Rozwia zać rówaie x ) 6 0 = 9x ). 44. Rozwia zać rówaie x 4 x x = Rozwia zać rówaie x 6 = 57x 68 68x Rozwia zać rówaie x ) 6 9x ) = 6. 8
19 Zadaia szkole 47. Rozwia zać rówaie x x x x ) = Rozwia zać rówaie x 4 4x 9x 06x 0 = Rozwia zać rówaie x 6 9x 8 = Rozwia zać rówaie x 5 5x 4 x 4x x 5 = Rozwia zać rówaie x 5 5x 8x 00 = Roz lożyć a czyiki wyrażeie x 4 x x. Pote gi i logarytmy Przypomijmy teraz, że jeśli jest liczba aturala parzysta, x R jest liczba ieujema, to istieje dok ladie jeda liczba ieujema y R taka, że y = x. Nazywamy ja pierwiastkiem stopia z liczby x i ozaczamy symbolem x. Jeśli jest liczba aturala ieparzysta, to dla każdej liczby x R istieje dok ladie jeda liczba rzeczywista y taka, że x = y. Nazywamy ja pierwiastkiem stopia z liczby x i ozaczamy symbolem x. Jeśli stopień pierwiastka rówy jest, to piszemy x, zamiast x. Np. 96 = 4, 5 = itd. Defiiujemy pote ge o wyk ladiku wymierym w aste puja cy sposób a k/l = l ak. Bez trudu sprawdzić moża, że jeśli a > 0, to dla dowolych liczb wymierych u,v zachodzi rówość a uv = a u a v. Przypomijmy, że a 0 = dla dowolej liczby a 0. Jeśli a > i u > v, to a u > a v. Jeśli atomiast 0 < a < i u > v, to a u < a v. Jeśli a > 0, to defiiujemy pote ge o wyk ladiku rzeczywistym. Opiszemy droge prowadza ca do odpowiediej defiicji. Dla ustaleia uwagi zak ladać be dziemy w dalszym cia gu, że a >. Zauważmy po pierwsze, że dla dowolej liczby b > zachodzi ierówość b < b, bo b b = b ) > 0. Sta d wyika, że 4 b < b b < = 4 b 4. Aalogiczie 8 b < 4 b < 4 b 4 = 4 8 b 8. Kotyuuja c dochodzimy do ierówości b < 4 8 b = b. Widzimy wie c, że jeśli u < x < v i v u < dla pewej liczby aturalej >, u,v Q, to 0 < a v a u = a u a v u ) < a u a / ) = a u ) a < au a. Jeśli ustalimy liczbe x R i wybierzemy liczbe aturala k > x, to otrzymamy ierówość 0 < a v a u < a u a < a k a. Dla każdej liczby ε > 0 istieje taka liczba aturala m, że a k a < ε. Jeśli m, u < x < v m oraz v u <, to 0 < a v a u < a u a < a k a a k a < ε wykazaliśmy, że różica m pote g liczby a, których wyk ladiki sa bardzo bliskie, jest bardzo ma la). Przed zdefiiowaiem pote gi o wyk ladiku iewymierym sformu lujemy jedo twierdzeie, którego dowodu podawać ie be dziemy. Lemat 4. o przedzia lach zste puja cych) Jeśli [a,b ] [a,b ] [a,b ]..., to istieje liczba x taka, że dla każdego N zachodzi a x b. * Dowodu ie możemy podać, bo jest o zbyt bliski podstawom teorii liczb rzeczywistych, których w ogóle ie omawiamy. Stwierdzić jedak wypada, że chodzi w tym lemacie wyraźie o przedzia ly domkie te. Przyk ladowo 0,] 0, ] 0, ]..., ale cze ścia wspóla wszystkich przedzia lów 0,],0, ],0, ],... jest zbiór pusty. Przedzia ly domkie te [0,],[0 ], [0, ],... maja dok ladie jede wspóly elemet: 0. * Iymi s lowy: istieje pukt ależa cych do wszystkich przedzia lów. 9
20 Zadaia szkole Twierdzeie 5. o istieiu pote gi o wyk ladiku rzeczywistym) Niech a,x R, a >. Istieje wtedy dok ladie jeda liczba rzeczywista y taka, że jeśli u < x < v, u,v Q, to a u < y < a v. Dowód. Niech u,u,..., v,v,... be da liczbami wymierymi takimi, że x < u < u < x < v < v < x dla =,,,... Mamy zatem a u a u < a u < a v < a v a v. Wobec tego [a u,b v ] [a u,b v ] [a u,b v ]... Zajdzie sie wie c liczba y, która jest elemetem każdego przedzia lu [a u,b v ] dla =,,,... Poieważ 0 < v u <, wie c 0 < a v a u < a v a. Za lóżmy, że dla każdego =,,,... zachodzi ierówość a u < y < z < a v, tz. zak ladamy, że liczby y,z sa elemetami wspólymi wszystkich rozpatrywaych przedzia lów, przy czym y < z. Wtedy dla każdej liczby =,,,... mamy 0 < z y < a v a, co ie jest możliwe, bo po odpowiedim wybraiu otrzymujemy ierówość z y > a v a, przeciwa do poprzediej. Dowód zosta l zakończoy. Teraz możemy zdefiiować pote ge o dowolym wyk ladiku i dowolej dodatiej podstawie. Defiicja 6. pote gi o wyk ladiku dowolym) Jeśli a >, x R, to a x jest jedya liczba taka, że dla każdej pary liczb wymierych u,v takich, że u < x < y zachodzi ierówość a u < a x < a y. Jeśli 0 < a <, x R, to a x = a ) x. Na pote gi o dowolym wyk ladiku przeosza sie w lasości pote gowaia, o których wspomialiśmy w kotekście wyk ladików wymierych i dodatiej podstawy. Prócz tego dochodza owe. Twierdzeie 7. o w lasościach fukcji wyk ladiczej) Jeśli a > 0, to 0. dla każdej liczby x R zachodzi x = ;. dla dowolych x,y R zachodzi a xy = a x a y ;. dla dowolych x,y R zachodzi a x y = ax a y ;. a 0 =, a = a; 4. dla dowolych x,y R zachodzi a x) y = a xy ; 5. dla dowolej liczby x R zachodzi a x = a x ; 6. dla dowolych b,x R, b > 0 zachodzi ab) x = a x b x ; 7. jeśli a >, x,y R i x < y, to a x < a y fukcja wyk ladicza o podstawie wie kszej iż jest ściśle rosa ca); 8. jeśli 0 < a <, x,y R i x < y, to a x > a y fukcja wyk ladicza o podstawie dodatiej, miejszej iż jest ściśle maleja ca); 9. dla każdej liczby rzeczywistej y > 0 i dla każdej liczby dodatiej a istieje dok ladie jeda liczba rzeczywista x taka, że y = a x. Dowód tego twierdzeia pomijamy, wie ksza jego cze ść powia być zaa ze szko ly. Niektóre w lasości fukcji wyk ladiczej wymieioe w twierdzeiu sa latwe do uzasadieia lub wyikaja ieomal atychmiast z pozosta lych umieszczoych a tej liście, dowody iych wymagaja pewej pracy. 0
21 Zadaia szkole Defiicja 8. logarytmu) Logarytmem liczby y > 0 przy podstawie a > 0, a azywamy taka liczbe x R, że y = a x. Piszemy x = log a y. Z twierdzeia o w lasościach fukcji wyk ladiczej, pukt 9 wyika, że ta defiicja ma ses, tz. każda liczba dodatia ma logarytm przy dowolej podstawie dodatiej, różej od. Zachodzi wie c rówość a log a x = x przy za lożeiu: 0 < a, x > 0. Przypomijmy, że fukcja wyk ladicza o podstawie a to fukcja przypisuja ca liczbie x liczbe a x. Argumetem jest w tym przypadku wyk ladik pote gi, a wartościa pote ga. Fukcja logarytmicza o podstawie a to fukcja odwrota do fukcji wyk ladiczej o podstawie a, czyli fukcja, która liczbie y przypisuje wartość wyk ladika x w taki sposób, że podstawa podiesioa do pote gi x daje liczbe logarytmowaa y. Zapiszemy to wzorem y = a log a y. Fukcja pote gowa o wyk ladiku α azywamy fukcje, która liczbie x > 0 przypisuje liczbe x α. Logarytmów liczb ujemych ie defiiujemy, bo ie sa am potrzebe i ie moża ich dobrze zdefiiować w zbiorze liczb rzeczywistych. Sytuacja zmiei laby sie po rozszerzeiu aszego zapasu liczb tz. gdybyśmy zajmowali sie rówież liczbami zespoloymi, do czego dojdzie w II semestrze). Przyk lad 0. log 8 =, bo = 8; log = 4, bo 0 4 = 0000; log 0 = 4, bo = 0000 ; log 0 0 =, bo 0/ = 0; log =, bo 0 / = 0 = 000. Poieważ fukcja logarytmicza jest fukcja odwrota do wyk ladiczej, wie c w lasościom fukcji wyk ladiczej odpowiadaja w lasości fukcji logarytmiczej. Twierdzeie 9. o w lasościach fukcji logarytmiczej) Jeśli a > 0, to. dla dowolych x,y > 0 zachodzi log a xy) = log a x log a y ;. dla dowolych x,y > 0 zachodzi log a x y = log a x log a y ;. log a = 0 i log a a = ; 4. dla dowolych x,y R, x > 0 zachodzi log a x y ) = y log a x; 5. dla dowolej liczby x > 0 zachodzi log a x = log a x; 6. jeśli b,x > 0 i b, to log a x = log b x log b a, czyli log b a log a x = log b x; 7. jeśli a >, x,y R i 0 < x < y, to log a x < log a y fukcja logarytmicza o podstawie wie kszej iż jest ściśle rosa ca); 8. jeśli 0 < a <, x,y R i 0 < x < y, to log a x > log a y fukcja wyk ladicza o podstawie dodatiej, miejszej iż jest ściśle maleja ca); 9. dla każdej liczby rzeczywistej y i dla każdej liczby dodatiej a istieje dok ladie jeda liczba rzeczywista x taka, że y = log a x. W lasość szósta to twierdzeie zae iektórym studetom ze szko ly pod azwa : twierdzeie o zmiaie podstawy logarytmu. Jest oo bezpośredim wioskiem z w lasości 4 fukcji wyk ladiczej. Wyika z iego, że zaja c logarytmy przy podstawie b moża zaleźć logarytmy przy owej podstawie a. Warto powiedzieć, że logarytmy zosta ly wyalezioe przez astroomów, bo ludzie obserwuja cy iebo w ocy, przeprowadzali wiele obliczeń, a w przeciwieństwie do obecie żyja cych ie mieli do dyspozycji
22 Zadaia szkole urza dzeń elektroiczych. Możeie liczb pochodza cych z obserwacji by lo trude a ogó l ie by ly to ma le liczby aturale), wie c usi lowao zasta pić możeie zaczie miej pracoch loym dodawaiem. Pocza tkowo używao do tego tablic trygoometryczych i wzorów typu siαsi β = si αβ cos α β, a późiej stworzoo tablice logarytmów * i używao w lasości r : zajdowao logarytmy możoych liczb x,y w tablicach, sumowao je i zajdowao w tablicach liczbe, której logarytmem by la liczba log a x log a y. Podobie pierwiastkowao i podoszoo do pote gi lx y ) = y l x ). Tak by lo do pocza tku lat osiemdziesia tych XX wieku, czyli do mometu, w którym komputery osobiste sta ly sie powszeche. Dziś do,,re czych obliczeń logarytmy ie sa używae, tym iemiej sa, i zapewe be da, stosowae róże skale logarytmicze. W chemii używaa jest wielkość ph, która jest rówa mius logarytmowi o podstawie 0) ze ste żeia joów wodorowych w roztworze, chemicy mówia ujemy logarytm... maja c a myśli liczbe przeciwa do logarytmu. W czystej wodzie ste żeie joów wodorowych wyosi oko lo 0, = 0 7, zatem ph czystej wody jest rówe 7. Chodzi o to, by operować miejszymi liczbami, co w przypadku jedokrotego użycia zaczeia ie ma, ale ph jest używae przez bardzo wielu ludzi wielokrotie, wie c prostota defiicji ma duże zaczeie. Iym przyk ladem jest p. skala Richtera trze sień Ziemi: trze sieie o jede stopień siliejsze ma dziesie ciokrotie wie ksza eergie. Podobie jest jest z ate żeiem dźwie ku, rówież w tym przypadku skala jest logarytmicza. Podobie skala jasości gwiazd. Logarytmy sa użytecze, bo ich użycie,,sp laszcza skale. Zilustrujemy to zjawisko a przyk ladzie log 0 0, = 7, log 0 0,00000 = 6, log 0 0,0000 = 5, log 0 0,000 = 4, log 0 0,00 =, log 0 0,0 =, log 0 0, =, log 0 =, log 0 0 =, log 0 00 =, log =, log = 4, log = 5, log = 6, log = 7. Chodzi o to, że trudo jest ogla dać te zera w dużych ilościach, a czasem mamy do czyieia z wielkościami, jak wspomiae wyżej, które zmieiaja sie w szerokim zakresie. Wtedy wygodiej jest je zlogarytmować, bo wtedy latwiej moża sie porozumiewać mówia c lub pisza c o ich, zw laszcza wtedy, gdy zostaje to ustaloe,,raz a zawsze, jak w podaych przyk ladach. W tym tekście symbol x a ozacza pierwiastek stopia x z liczby a, przy czym ozacza to po prostu, że zachodzi rówość x a = a /x ; x może być liczba aturala, ale rówież może być liczba iewymiera, ujema. 5! Zaleźć log 4, log 5, log 6, log 8, log 9 wiedza c, że log 0,00, log 0,477 oraz log 7 0, ! Uprościć Uprościć 5 log Uprościć 7 log ! Uprościć 5 log 5 6. log 9 log. 58. Zaleźć log 5 wiedza c, że log 0,00 i log 0, Jaki waruek musza spe liać liczby dodatie a i b, by zachodzi la rówość log c a log c b = a b? Podać przyk lady liczb a i b, dla których ta rówość ie zachodzi. * Tablice logarytmów stworzoo w XVII wieku J.Napier). Pierwsza podstawa by la liczba e,7, o której be dzie mowa w pierwszym semestrze, a po oko lo 0 latach przeliczoo J.Briggs) logarytmy aturale czyli o podstawie e ) a logarytmy o podstawie 0, czyli dziesie te.
dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowo2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias
Wielomiany kwadratowe Wielomian a + + c nazywamy kwadratowym lu wielomianem drugiego stopnia, jeśli a jest licza różna od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a i a 0. Możemy napisać a + + c = a ( + a )
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych
Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoAnaliza 1, cze ść pia ta
Aaliza, cze ść pia ta Jest tu troche przyk ladów, których a wyk ladzie ie by lo, ale które warte sa obejrzeia. Niektóre dowody sa przeprowadzoe w ieco iy sposób, ale studet ie jest zobowia zay do powtarzaia
Bardziej szczegółowoFunkcja wyk ladnicza, logarytmy, sinus i kosinus
Podstawowe ozaczeia Fukcja wyk ladicza, logarytmy, sius i kosius zbiór wszystkich liczb rzeczywistych zbiór wszystkich liczb aturalych, tj. liczb 0,,, 3,...; zbiór wszystkich liczb aturalych dodatich,
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoKlasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013
/7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoUdowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k
WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowopitagorejskie, równanie Pella i jedno zadanie z XVI Olimpiady Matematycznej
pitagorejskie, rówaie Pella i jedo zadaie z XVI Olimpiady Matematyczej Wszyscy, którzy mieli do czyieia ze szkoła poadpodstawowa słyszeli iewatpliwie określeie twierdzeie Pitagorasa To twierdzeie było
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoCIA GI I ICH GRANICE
CIA GI I ICH GRANICE Defiicja 5. cia gu) Cia giem azywamy dowola fukcje określoa a zbiorze z lożoym ze wszystkich tych liczb ca lkowitych, które sa wie ksze lub rówe pewej liczbie ca lkowitej 0. Wartość
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 Struktury kombinatoryczne
KOMBINATORYKA 1 Struktury kombiatorycze 22 styczia 2018 1 Zbiory czȩściowo uporz adkowae dzie dowolym zbiorem (iekoieczie skończoym. Relacje biara a zbiorze azywamy cze ściowym porza dkiem, gdy jest oa
Bardziej szczegółowoi oznaczyliśmy te granice przez exp(x). Określiliśmy wie c funkcje na zbiorze
graica Fukcja wyk ladicza, logarytmy, sius i kosius cd. 9. Fukcja wyk ladicza expx, liczba e. Wykazaliśmy wcześiej zob. pukt 4., że dla każdej liczby rzeczywistej x istieje skończoa + x i ozaczyliśmy te
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombiatorycza teoria zbiorów 23 maja 2012 Wyk lad poświe coy jest w lasościom rodzi podzbiorów skończoego zbioru. Rozpoczya go poje cie systemu różych reprezetatów wraz ze s
Bardziej szczegółowoMARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty
MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoGranica cia. Ostatnia aktualizacja 22 października 2012, godz. 23:57
* By ly ie paradoksy zwia zae z problemem dzieleia w ieskończoość a cze ści, p pukt ie ma d lugości, odciek sk lada sie z puktów i ma d lugość, poruszaja cy sie obiekt w ieskończeie krótkim czasie ie przebywa
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoGranica cia. Ostatnia aktualizacja 17 listopada 2013, godz. 1:47. gi liczbowe. Jeśli np. chcemy zdefiniować ty foremne wpisane w to ko lo o coraz wie
* By ly ie paradoksy zwia zae z problemem dzieleia w ieskończoość a cze ści, p. pukt ie ma d lugości, odciek sk lada sie z puktów i ma d lugość, poruszaja cy sie obiekt w ieskończeie krótkim czasie ie
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoAM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (
AM11 zadaia 8 Przypom e kilka dosyć ważyh grai, które już pojawiły się a zajeiah e 1 lim 1 l(1+) (1+) 1, lim 1, lim a 1 si a, lim 1 0 0 0 0 l 2 lim 0, lim a 0 dla każdego a R, lim (1 + 1 e ) e, lim 1/
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoc ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ALGEBRY LINIOWEJ LISTA ZADAŃ NR 1. do f oznaczamy f 1. Dla f, g z zadania 1 wyznaczyć f 1, g 1 oraz g f 1 g.
LISTA ZADAŃ NR 1 1 2 3 4 5 1 Dae sa permutacje f = 3 1 4 5 2 permutacje f g 2 oraz f g f g g = 1 2 3 4 5 4 1 2 5 3 Wyzaczyć 2 Permutacja h azywa sie odwrota do permutacji f jeśli f h = h f = e gdzie e
Bardziej szczegółowo