Analiza 1, cze ść pia ta

Transkrypt

1 Aaliza, cze ść pia ta Jest tu troche przyk ladów, których a wyk ladzie ie by lo, ale które warte sa obejrzeia. Niektóre dowody sa przeprowadzoe w ieco iy sposób, ale studet ie jest zobowia zay do powtarzaia tekstów z wyk ladu ma podawać poprawe rozumowaia wychodza ce z tych samych za lożeń! Tekst jest d lugawy, ale może cze ść z Was przyajmiej skorzysta z iego. W razie zalezieia b le dów prosze o iformacje, z góry przepraszam za pomy lki.. Defiicja fukcji. Jedym z ajważiejszych poje ć w matematyce jest poje cie fukcji. Przypomimy defiicje. Defiicja fukcji, wartości, obrazu, dziedziy i przeciwdziedziy Przyporza dkowaie f elemetom zbioru A elemetów zbioru B w taki sposób, że każdemu elemetowi zbioru A przypisay jest dok ladie jede elemet zbioru B azywamy fukcja ze zbioru A w zbiór B. Jeśli a jest elemetem zbioru A, symboliczie a A, czyli argumetem fukcji f, to przypisay mu elemet zbioru B ozaczamy symbolem fa) i azywamy wartościa fukcji f w pukcie a lub obrazem puktu a.* Zbiór A azywamy dziedzia fukcji f, zbiór B przeciwdziedzia, zbiór fa) z lożoy ze wszystkich wartości fukcji f, czyli elemetów zbioru B postaci fa), gdzie a A azywamy obrazem zbioru A przez fukcje f ) lub zbiorem wartości fukcji f. Jeśli f przekszta lca zbiór A w zbiór B, to piszemy f: A B. Jeśli zbiór fa) wartości fukcji f pokrywa sie z przeciwdziedzia B fukcji f, to mówimy, że f przekszta lca zbiór A a zbiór B i piszemy czasem f: A a B. Przyk ladem fukcji jest cia g: jest to fukcja określoa p. a zbiorze IN = {0,,,... }. Iym przyk ladem, dobrze zaym ze szko ly, jest fukcja liiowa: fx) = ax + b, gdzie a, b sa ustaloymi liczbami rzeczywistymi, x jest elemetem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych IR, a którym fukcja f jest określoa, fx) jest elemetem przeciwdziedziy IR ; jeśli a 0, to fukcja f przekszta lca zbiór IR a siebie; jeśli a = 0, to jedya wartościa fukcji f jest liczba b. Jeszcze iym przyk ladem jest fukcja kwadratowa: fx) = ax + bx + c, gdzie a, b, c sa liczbami rzeczywistymi, przy czym a 0, fukcja ta jest określoa a zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych IR, przeciwdziedzia jest rówież IR, [ ) 4ac b zbiorem wartości jest pó lprosta, + w przypadku a > 0, zaś w przypadku a < 0 zbiorem 4a ] 4ac b wartości jest pó lprosta,. Iy przyk lad fukcji zay ze szko ly to permutacje zbioru 4a elemetowego, moża je traktować jako fukcje przekszta lcaja ce zbiór {,,, } a day zbiór z lożoy z elemetów: mamy ustawić elemety daego zbioru w kolejości, pierwszy w tym ustawieiu elemet to wartość permutacji w pukcie, drugi wartość w pukcie,..., ty wartość w pukcie. Zadaie a ile sposobów może 0 osób wsia ść do trzech wid to pytaie: ile jest fukcji ze zbioru 0 elemetowego w zbiór trójelemetowy osobie przypisujemy wide, do której ta osoba wsiada). Przyk lady moża możyć, ale ie be dziemy tego robić teraz. Na razie be dziemy zajmować sie fukcjami rzeczywistymi jedej zmieej rzeczywistej, co ozacza, że wartościami fukcji be da liczby rzeczywiste i dziedzia fukcji be dzie jakiś zbiór z lożoy z liczb rzeczywistych. W rzeczywistości dziedziami be da albo przedzia ly, albo sumy skończeie wielu lub ieskończeie wielu przedzia lów, p dziedzia fukcji * Czasem bedziemy mówić: f obrazem, choć to ie brzmi dobrze, ale czasem ależy wyraźie zazaczyć o jaka fukcje chodzi.

2 tg jest zbiór z lożoy z tych wszystkich liczb rzeczywistych, które ie sa postaci + ) π, czyli jest to suma przedzia lów postaci + ) π, + )π ), gdzie ozacza dowola liczbe ca lkowita. w przypadku fukcji zdefiiowaej wzorem fx) = moża powiedzieć, że jej dziedzia jest x )x + ) zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyja tkiem i, czyli zbiór, ), ), + ). Z puktu widzeia formalego dopóki ie powiemy a jakim zbiorze fukcja ma być zdefiiowaa, to ie zosta la oa określoa. W szczególości z formalego puktu widzeia zadaia: zaleźć dziedzie fukcji określoej wzorem..., ie maja sesu. Pytaie o dziedzie ależy traktować jako pytaie o maksymaly zbiór, a którym moża zdefiiować fukcje w sposób zapropooway przez autora zadaia. Nawet przy takiej iterpretacji moga powstawać wa tpliwości: p. czy fukcja określoa wzorem fx) = x może tym wzorem być zdefiiowaa a ca lej prostej, czy też w pukcie 0 tym akurat wzorem ie x da sie jej zdefiiować. Autorowi tego tekstu wydaje sie, że specjaliści od tak formu lowaych zadań w wie kszości przypadków uzaja, że ta defiicja w pukcie 0 ie dzia la, ale ie wydaje mu sie, by te problem wart by l dyskusji moża po prostu takich zadań ie dawać, a jeśli sie je daje, to uikać 4x 3x 67 wielozaczości. Be dziemy jedak mówić p. o fukcji x 3, zak ladaja c przy tym, że jej 4x + 3 dziedzia jest zbiór wszystkich tych liczb rzeczywistych, dla których miaowik jest róży od 0. Fukcja ex be dzie automatyczie zdefiiowaa a zbiorze z lożoym z liczb rzeczywistych iedodatich. W przypadku jakichkolwiek wielozaczości be dziemy wyraźie określać dziedzie. Czasem też dziedzia z jakichś przyczy be dzie miejsza iż maksymala, p. zmiea be dzie mieć jakieś pozamatematycze zaczeie i wtedy iterpretacja be dzie żród lem ograiczeń dziedziy. Np. pytaie o maksymale pole prostoka ta o obwodzie 4 prowadzi do rozpatrywaia fukcji x x) a przedziale otwartym 0, ) : x ozacza tu jede wymiar prostoka ta, a x drugi. Fukcje x x) moża rozpatrywać ie tylko a przedziale 0, ), ale z puktu widzeia zadaego pytaia, ie ma to sesu. W dalszej cze ści zajmiemy sie rówież fukcjami określoymi a podzbiorach p laszczyzy czyli zbioru wszystkich liczb zespoloych C), przestrzei trójwymiarowej i ogólie wymiarowej. Wartościami tych fukcji be da zazwyczaj liczby rzeczywiste, ale wysta pia rówież fukcje przekszta lcaja ce pewe podzbiory p laszczyzy w p laszczyze. Takie fukcje be da azywae a ogó l przekszta lceiami lub odwzorowaiami. Nie ozacza to, że fukcji z IR a IR daej wzorem fx) = x + ie moża azwać odwzorowaiem cze sto termi te jest używay, zw laszcza wtedy, gdy mówimy o geometrii zwia zaej z ta fukcja jest przesuie cie o w prawo.. Fukcje różowartościowe, fukcja odwrota Waża klasa fukcji sa fukcje różowartościowe, tj. takie które różym puktom dziedziy przypisuja róże wartości: x y) fx) fy)). Jeśli f jest fukcja różowartościowa przekszta lcaja ca zbiór A a zbiór B, to moża określić fukcje f odwrota do daej fukcji f : f b) = a b = fa). Jeśli fx) = x 3 dla każdej liczby rzeczywistej x, to fukcja f przekszta lca różowartościowo zbiór IR a siebie, wie c moża określić fukcje odwrota : f x) = 3 x. Jeśli fx) = e x x dla każdej liczby rzeczywistej x, to zbiorem wartości fukcji f jest zbiór wszystkich liczb dodatich i wobec tego f x) = l x dla każdej dodatiej liczby x. Jeśli fx) = x dla ieujemych liczb x, to f x) = x dla każdej liczby ieujemej x. Jeśli fx) = x dla każdej liczby iedodatiej x, to fukcja f przekszta lca zbiór wszystkich liczb iedodatich a zbiór wszystkich

3 liczb ieujemych. Fukcja odwrota do iej daa jest wzorem f x) = x. W ostatich dwóch przyk ladach wzór by l idetyczy, ale dziedziy by ly róże. W zwia zku z tym wzory a fukcje odwrote też by ly róże. W dalszym cia gu be dziemy używać jeszcze dwu fukcji zdefiiowaych jako odwrote do fukcji sius i tages. Oczywiście fukcje sius i tages jako okresowe ie sa różowartościowe, wie c ie maja fukcji odwrotych. Moża wie c posta pić tak, jak w przypadku pierwiastka kwadratowego, który jest zdefiioway jako fukcja odwrota do fukcji x rozpatrywaej ie a ca lej dziedziie, lecz a zbiorze, a którym fukcja x jest różowartościowa, i to możliwie ajprostszym o tej w lasości.* Wybieramy [ π, π ], a możliwe ajbardziej aturale dziedziy. W przypadku siusa ograiczamy sie do przedzia lu w przypadku tagesa do przedzia lu π, π [, ] i ca la prosta, + ). Tradycyjie zamiast pisać si ). Zbiory wartości to odpowiedio Przedzia l domkie ty piszemy arcsi, a zamiast tg piszemy arctg **, co zreszta pozwala a uikie cie dwuzaczości zwia zaej z ozaczeiami si tg. Podamy teraz defiicje tych fukcji w jawy sposób. Defiicja fukcji arcsi i arctg [ Jeśli x [, ], to arcsi x jest jedya liczba z przedzia lu π, π ], dla której zachodzi rówość siarcsi x) = x. Jeśli x jest liczba rzeczywista, to arctg x jest jedya liczba rzeczywista z przedzia lu π, π ), dla której zachodzi rówość tgarctg x) = x. Podamy przyk lady arcsi = π, arcsi = π ) 6, arcsi = π 4, arctg 3 = π 3, arctg ) = π 4, arctg 0 = Graica fukcji Wprowadzimy ozaczeie: IR = [, + ] ozacza zbiór z lożoy ze wszystkich liczb rzeczywistych uzupe lioy symbolami ieskończoymi i +. Moża myśleć, że IR to prosta z końcami. Podkreślić wypada, że symboli ieskończoych ie traktujemy jak liczb, bo p. ie wszystkie dzia laia z ich użyciem sa wykoale. Defiicja puktu skupieia Pukt p IR jest puktem skupieia zbioru A IR wtedy i tylko wtedy, gdy istieje cia g a ) puktów zbioru A, o wyrazach różych od a, zbieży do p. + jest puktem skupieia zbioru wszystkich liczb aturalych IN by sie o tym przekoać wystarczy przyja ć a =. Iych puktów skupieia zbiór IN ie ma. W gre mog lyby wchodzić jedyie liczby ieujeme, bo graica cia gu liczb aturalych jest albo rówa +, albo też jest liczba ieujema. Jeśli cia g liczb aturalych ma skończoa graice, to ze wzgle du a waruek Cauchy ego odleg lości mie dzy wyrazami tego cia gu, których umery sa dostateczie duże, sa miejsze iż, a poieważ sa to liczby ca lkowite, wie c te odleg lości sa rówe 0. Wykazaliśmy, że cia g liczb aturalych, który ma skończoa graice musi być od pewego miejsca sta ly, a wie c graica jest rówa pewym wyrazom cia gu. Jest iezgode z defiicja puktu skupieia. Każda liczba z przedzia lu domkie tego [0, ] jest puktem skupieia przedzia lu otwartego 0, ). Iych * Zbiorów, a których fukcja x jest różowartościowa, jest bardzo dużo, p, [,0],+ ),, ),,0], [0,+ ), zbiór z lożoy ze wszystkich liczb wymierych dodatich oraz ujemych liczb iewymierych i wiele iych. ** W iektórych krajach arcta. 3 i

4 puktów skupieia przedzia l 0, ) ie ma. To drugie zdaie jest prawdziwe w oczywisty sposób graica cia gu liczb z przedzia lu 0, ) musi sie zajdować w przedziale [0, ]. Jest też jase, że dla każdej liczby p z przedzia lu [0, ] istieje cia g a ) liczb z przedzia lu 0, ), taki że oraz a p dla każdego. p = a Każda liczba rzeczywista i oba symbole ieskończoe sa puktami skupieia dziedziy fukcji tages, tj. zbioru tych liczb rzeczywistych, które ie sa ieparzystymi wielokrotościami liczby π. Latwe uzasadieie tego stwierdzeia pozostawiamy czytelikom. Teraz możemy już zdefiiować graice fukcji. Defiicja graicy fukcji w pukcie.* Niech p ozacza dowoly pukt skupieia dziedziy fukcji f. Mówimy, że g IR jest graica fukcji f w pukcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego cia gu x ) zbieżego do p, którego wszystkie wyrazy sa róże od p, ma miejsce rówość symbolem fx). fx ) = g. Graice fukcji f w pukcie p ozaczamy Zwrócić ależy uwage a to, że wśród wyrazów cia gu zbieżego do p, wyste puja cego w defiicji graicy, ie ma p. Ozacza to w szczególości, że awet wtedy, gdy p jest argumetem fukcji f, to wartość w tym pukcie ie ma wp lywu a istieie graicy w pukcie p, ai a jej wartość moża dowolie zmieiać wartość fukcji w pukcie p ie zmieiaja c graicy w tym pukcie. Ozacza to, że jeśli fukcja ma graice w pukcie p, to w dostateczie bliskich puktach x wartość fx) jest bliska graicy g, pod warukiem jedak, że x p. Poieważ cia g ma co ajwyżej jeda graice, wie c rówież fukcja może mieć tylko jeda graice w jedym pukcie. Poje cie graicy fukcji jest bardzo waże, jest rozszerzeiem poje cia graicy cia gu. Podamy teraz kilka przyk ladów. Przyk lady graic.. si x =. Rówość ta zosta la udowodioa wcześiej. x 0 x. l + x) =. Rówież ta rówość zosta la udowodioa wcześiej. x 0 x e x 3. =. Te rówość wykazaliśmy poprzedio. x 0 x + ) x = e. Te rówość wykażemy teraz. Trzeba wykazać, że dla każdego cia gu x ), x 4. x którego graica jest zachodzi rówość x = z defiicji liczby e. Przypomijmy też, że cia g że jeśli k > jest liczba aturala, to wyika, że jeśli k = +, to + + ) x = e. Wiemy, że jest tak w przypadku x + ) jest rosa cy. Sta d wyika, + ) < + ) k < e. Sta d i z defiicji graicy k k ) k = e jeśli bowiem m jest jaka kolwiek liczba aturala, to dla dostateczie dużych liczb aturalych, zachodzi ierówość k > m, zatem + m) m < + ) k < e. Teraz możemy przejść do w laściwego dowodu. Niech x = k +. Bez straty ogólości rozważań moża przyja ć, że dla każdego zachodzi ierówość x, bo jest tak dla dostateczie dużych. Niech k be dzie taka liczba ca lkowita, że k x < k + * Ta defiicja jest azywaa cia gowa lub defiicja Heiego 4

5 taka liczba k istieje dok ladie jeda. Poieważ x < k, wie c k = +. Sta d i z tego, co wykazaliśmy poprzedio, wyika, że + ) k = e = + ) +k. + k k Mamy rówież + ) k + ) x < + ) x + ) x < + ) +k. + k + k x k k Z tej ierówości i twierdzeia o trzech cia gach wyika dowodzoa przez as teza. 5. Fukcja, określoa dla x 0, ie ma graicy w pukcie 0, bowiem x / = + i jedocześie =, uda lo sie am wie c wskazać dwa cia gi argumetów zbieże do 0, / takie że odpowiadaja ce im cia gi wartości maja róże graice. 6. Fukcja si x, określoa dla x 0, ie ma graicy w pukcie 0, bowiem si /π) = 0 oraz si =. Wskazaliśmy wie c dwa cia gi argumetów, takie że odpowiadaja ce im cia gi /π + π/) wartości sa sta le i róże. Oprócz graicy fukcji rozpatrywae sa graice jedostroe fukcji w pukcie. Zdefiiujemy graice lewostroa, defiicja graicy prawostroej jest aalogicza. Defiicja graicy lewostroej g jest graica lewostroa fukcji f w pukcie p wtedy i tylko wtedy, gdy moża zaleźć w dziedziie cia g x ) o wyrazach miejszych ściśle!) iż p, zbieży do p i gdy dla każdego takiego cia gu odpowiadaja cy mu cia g wartości fx )) ma graice g. Stosujemy ozaczeie fx). Latwo moża udowodić, że fukcja x ma jedostroe graice w pukcie 0 : prawostroa jest rówa +, zaś lewostroa jest. Fukcja si ie ma graicy prawostroej w pukcie 0 x wykazaliśmy to w przyk ladzie 6, wskazuja c dwa cia gi dodatich argumetów tej fukcji zbieże do 0, takie że odpowiadaja ce im cia gi wartości maja róże graice. Bez trudu moża udowodić fukcyja wersje twierdzeia o scalaiu. Twierdzeie o scalaiu Fukcja f określoa a zbiorze zawieraja cym cia g liczb miejszych iż p, zbieży do p oraz cia g liczb wie kszych iż p, zbieży do p, ma graice w pukcie p wtedy i tylko wtedy, gdy ma obie graice jedostroe i sa oe rówe. Dowód. Jest jase, że z istieia graicy wyika istieie graic jedostroych zamiast wszystkich cia gów zbieżych do p, których wyrazy sa róże od p, rozpatrujemy jedyie ich cze ść. Jeśli atomiast wiemy, że istieja graice jedostroe, to cia g o wyrazach różych od p możemy rozbić a podcia g o wyrazach miejszych iż p i a podcia g o wyrazach wie kszych iż p. Odpowiadaja ce im cia gi wartości maja te sama graice, wie c cia g wartości odpowiadaja cy aszemu cia gowi ma graice i to rówa wspólej wartości obu graic jedostroych. Oczywiście jeśli cia g argumetów zawiera jedyie skończeie wiele wyrazów wie kszych iż p, to ie możemy rozpatrywać graicy prawostroej, ale to iczemu ie przeszkadza, bo w tym przypadku wystarczy skorzystać z istieia graicy lewostroej. Podobie jak w przypadku twierdzeia o scalaiu, moża przeieść ie twierdzeia dotycza ce graic cia gów a ogóliejszy przypadek graicy fukcji. 5

6 Twierdzeie o arytmetyczych w lasościach graicy A. Jeśli istieja graice fx), gx) i określoa jest ich suma, to istieje graica fx) + gx)) i zachodzi wzór: fx) + gx)) = fx) + gx). A. Jeśli istieja graice fx), gx) i określoa jest ich różica, to istieje graica fx) gx)) i zachodzi wzór: fx) gx)) = fx) gx). A3. Jeśli istieja graice fx), gx) i określoy jest ich iloczy, to istieje graica fx) gx)) i zachodzi wzór: fx) gx)) = fx) gx). fx) A4. Jeśli istieja graice fx), gx) i określoy jest ich iloraz, to istieje graica gx) fx) fx) i zachodzi wzór gx) = gx). Dowód tego twierdzeia jest atychmiastowa kosekwecja twierdzeia o arytmetyczych w lasościach graicy cia gu. Przed podaiem aste pego twierdzeia przypomijmy, że operujemy termiem dla dostateczie dużych. Ozacza to, że iteresuja as liczby aturale wie ksze od pewej liczby. W laściwie chodzi o to, by by ly oe bliskie +. W przypadku fukcji argumet, którym w przypadku cia gu jest umer wyrazu, czyli, ma być bliski puktowi p, który może lecz ie musi być rówy +. Wymaga wie c zmiay sposób mówieia. Mówia c x jest dostateczie bliski p be dziemy mieć a myśli, że: + ) x > M dla pewej liczby rzeczywistej M, gdy p = +, ) x < M dla pewej liczby rzeczywistej M, gdy p =, IR) x p < δ dla pewej dodatiej liczby δ, gdy p IR. Twierdzeie o szacowaiu N. Jeśli C < fx), to dla x p, dostateczie bliskich p zachodzi ierówość C < fx). N. Jeśli C > fx), to dla x p, dostateczie bliskich p zachodzi ierówość C > fx). N3. Jeśli gx) < fx), to dla x p, dostateczie bliskich p zachodzi ierówość gx) < fx). N4. Jeśli gx) fx) dla x dostateczie bliskich p, to zachodzi ierówość gx) fx). Dowód. Zak ladamy ca ly czas, że p jest puktem skupieia dziedziy fukcji. Zauważmy ajpierw, że zaprzeczeiem zdaia: Dla wszystkich x p dostateczie bliskich p spe lioy jest waruek W jest zdaie: Istieje cia g x ) zbieży do p, taki że x p dla każdego i waruek W ie zachodzi dla żadego wyrazu cia gu x ). Jeśli p. p = + i ie jest prawda, że waruek W spe lioy jest dla wszystkich x dostateczie bliskich p = +, to dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba x > M, dla której waruek W ie zachodzi. By otrzymać cia g x ), którego graica jest, z lożoy z liczb, dla których waruek W ie zachodzi, wystarczy przyja ć, że M =. Jeśli atomiast istieje cia g x ), którego graica jest +, taki że waruekw ie jest spe lioy dla żadego x ), to waruek W ie jest spe lioy dla wszystkich dostateczie dużych x, czyli ie jest spe lioy dla wszystkich x dostateczie bliskich +. Aalogiczie poste pujemy w przypadku p =. Jeśli p IR, to dla każdego δ > 0 istieje x, takie że x p i x p < δ, dla którego waruek W 6

7 ie zachodzi. By zdefiiować x przyjmujemy, że δ =. Z istieia cia gu x ) z lożoego z liczb, dla których waruek W ie zachodzi, wyika od razu, że ie jest możliwe, by waruek W by l spe lioy dla wszystkich x dostateczie bliskich p. Teraz możemy zaja ć sie w laściwym dowodem. Za lóżmy, że fx) < C oraz że ie jest prawda, że dla x dostateczie bliskich p zachodzi ierówość fx) < C. Wyika sta d, że istieje cia g x ), taki że dla każdego zachodzi ierówość fx ) C. Sta d jedak wyika, że fx ) C, wbrew za lożeiu. Dowód w tym przypadku zosta l zakończoy. Stwierdzeie N dowodzimy aalogiczie lub wioskujemy z N zaste puja c fukcje f fukcja przeciwa f. Stwierdzeie N3 wyika ze stwierdzeń poprzedich: starczy użyć liczby C leża cej mie dzy fx) oraz gx). Ostati fragmet twierdzeia to prosta kosekwecja tego, że cia g o miejszych wyrazach ma miejsza graice. Dowód zosta l zakończoy. Podamy teraz ia defiicje graicy fukcji. Z poprzedia moża wia zać takie stwierdzeie ieścis le, ale waże): iezależie od tego w jaki sposób argumet da ży do p, to wartość fukcji zbliża sie do g. Z ta która pojawi sie iebawem wia żemy stwierdzeie jeśli argumet fukcji jest dostateczie bliski p, ale róży od p, to wartość fukcji jest bliska g. Sformu lujemy zapowiedziaa defiicje bardzo dok ladie, bez żadych skrótów. Ma oa dziewie ć cze ści, ale a ogó l po przeczytaiu dwóch trzech pierwszych ie ma potrzeby czytać dalej, bo moża to samodzielie apisać. Defiicja graicy fukcji*. g, p IR. Wtedy g = fx) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istieje liczba δ > 0 taka, że jeśli 0 < x p < δ, to fx) g < ε.. g IR, p = +. Wtedy g = fx) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istieje liczba rzeczywista M, taka że jeśli x > M, to fx) g < ε. 3. g IR, p =. Wtedy g = fx) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istieje liczba rzeczywista M, taka że jeśli x < M, to fx) g < ε. 4. g = +, p IR. Wtedy g = fx) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista δ > 0, taka że jeśli 0 < x p < δ, to fx) > M. 5. g = +, p = +. Wtedy g = fx) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x > K, to fx) > M. 6. g = +, p =. Wtedy g = fx) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x < K, to fx) > M. 7. g =, p IR. Wtedy g = fx) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista δ > 0, taka że jeśli 0 < x p < δ, to fx) < M. 8. g =, p = +. Wtedy g = fx) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x > K, to fx) < M. 9. g =, p =. Wtedy g = fx) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x < K, to fx) < M. Dowód. Dowód podamy w dwóch wybraych przypadkach: pierwszym i ósmym. Reszte czytelik powiie uzupe lić samodzielie, być może ie wszystko tyle tylko, by w miare swobodie przepro- * ta defiicja azywaa jest defiicja Cauchy ego lub defiicja otoczeiowa, czasem, to już be lkot matematyczy, epsiloowo deltowa. 7

8 wadzić dowód w którymś przypadku. Za lożymy ajpierw, że g, p sa liczbami rzeczywistymi oraz że g = fx) w sesie defiicji cia gowej. Jeśli istieje liczba ε > 0, taka że dla każdej liczby δ > 0 istieje x, takie że 0 < x p < δ i jedocześie fx) g ε, to przyjmuja c, że x jest dobrae do, tz. 0 < x p < i fx ) g ε, otrzymujemy cia g x ) zbieży do p, o wyrazach różych od p i taki że odpowiadaja cy mu cia g wartości fukcji ie jest zbieży do liczby g, bowiem wszystkie wyrazy tego cia gu wartości pozostaja w odleg lości ie miejszej iż ε od g. Twierdzeie zosta lo udowodioe w jeda stroe. Teraz za lożymy, że g = fx) w sesie defiicji otoczeiowej. Niech x ) be dzie dowolym cia giem argumetów fukcji f zbieżym do p, o wyrazach różych od p i iech ε ozacza dowola liczbe dodatia. Z defiicji otoczeiowej graicy fukcji wyika, że istieje liczba δ > 0, taka że jeśli 0 < x p < δ, to fx) g < ε. Z defiicji graicy cia gu wioskujemy, że dla dostateczie dużych zachodzi ierówość x p < δ i oczywiście x p, zatem 0 < x p < δ, a sta d wyika, że fx ) g < ε. Sta d i z defiicji graicy cia gu wyika, że fx ) = g, a wobec tego, że x ) jest dowolym cia giem, możemy stwierdzić, że g jest graica w sesie defiicji cia gowej. Teraz, zgodie z obietica, zajmiemy sie przypadkiem 8, tj. za lożymy, że g = oraz że p = +. Zak ladamy, że dla każdego cia gu x ) argumetów fukcji f, którego graica jest + zachodzi rówość fx ) =. Mamy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x > K, to fx) < M. Za lóżmy, że tak ie jest. Istieje wie c liczba M taka, że dla każdej liczby K istieje argumet x fukcji f, taki że x > K i jedocześie fx) M. Przyjmuja c K = otrzymujemy argumet x, taki że x i fx ) M. Sta d jedak wyika, że ie jest graica cia gu fx )), wbrew za lożeiu, kończy to dowód w jeda stroe. Teraz za lożymy, że dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x > K, to fx) < M. Jeśli x = +, to dla dostateczie dużych zachodzi ierówość x > K i wobec tego fx ) < M. Wobec dowolości M, ozacza to, że fx ) =. Dowód zosta l zakończoy. Z twierdzeia o trzech cia gach wyika aalogicze twierdzeie dla graic fukcji. Twierdzeie o trzech fukcjach Jeśli dla wszystkich argumetów x dostateczie bliskich puktowi p zachodzi aste puja ca ierówość podwója fx) gx) hx) i istieja graice fx), hx) oraz fx) = hx), to rówież fukcja g ma graice w pukcie p i zachodzi rówość fx) = gx) = hx). Z aste pego twierdzeia w zasadzie ie be dziemy korzystać, podajemy je tylko po to, by pokazać, pe la aalogie poje cia graicy cia gu i graicy fukcji, wie c latwy dowód pozostawiamy czytelikom w charakterze zadaia. Twierdzeie Cauchy ego o istieiu graicy skończoej Fukcja f ma graice skończoa w pukcie p wtedy i tylko wtedy, gdy spe lioy jest aste puja cy waruek Cauchy ego: dla każdego ε > 0, dla wszystkich x, y p dostateczie bliskich p zachodzi ierówość fx) fy) < ε. w.c.) Twierdzeie, które zajduje sie poiżej ma bardzo prosty dowód, ale jest bardzo cze sto stosowae. Twierdzeie o graicy z lożeia dwu fukcji Za lóżmy, że dziedzia fukcji f zawiera zbiór wartości fukcji g, że fukcja g ma graice G w pukcie 8

9 p, że graica G jest puktem skupieia dziedziy fukcji f i fukcja f ma graice H w pukcie G oraz że wartości fukcji g w puktach dostateczie bliskich p sa róże od G. Przy tych za lożeiach fukcja f g określoa wzorem f g)x) = fgx)) ma w pukcie p graice, ta graica jest rówa H. Za lożeia tego twierdzeia sa tak dobrae, że dowód wyika od razu z defiicji cia gowej graicy fukcji w pukcie. Przed podaiem twierdzeia o istieiu graic jedostroych fukcji mootoiczej omówimy poje cie kresu zbioru i kresu fukcji. Rozpocziemy od defiicji. Defiicja kresów gz. Kresem górym zbioru iepustego A IR azywamy taki elemet M zbioru IR, że dla każdego a A zachodzi ierówość a M oraz że jeśli M < M, to istieje a A, dla którego a > M. Iymi s lowy: M jest ajmiejszym ograiczeiem górym zbioru A. Piszemy sup A. gf. Kresem górym M fukcji f azywamy kres góry zbioru jej wartości, tj. ajmiejsza liczbe M, taka że fx) M dla każdego argumetu x fukcji f. Piszemy sup f. dz. Kresem dolym zbioru iepustego A IR azywamy taki elemet M zbioru IR, że dla każdego a A zachodzi ierówość a M oraz że jeśli M > M, to istieje a A, dla którego a < M. Iymi s lowy: M jest ajwie kszym ograiczeiem dolym zbioru A. Piszemy if A. df. Kresem dolym M fukcji f azywamy kres doly zbioru jej wartości, tj. ajwie ksza liczbe M, taka że fx) M dla każdego argumetu x fukcji f. Piszemy if f. Defiicja graicy górej M IR jest graica góra fukcji f przy x p wtedy i tylko wtedy, gdy i) dla każdego cia gu x ) o graicy p, wyrazach różych od p, dla którego istieje zachodzi ierówość fx ) L oraz ii) M jest ajmiejszym elemetem IR, dla którego spe lioy jest waruek i). Piszemy wtedy M = sup fx). Aalogiczie defiiujemy graice dola, która ozaczamy przez M = if fx ) fx). Waruek ii) tej defiicji moża zasta pić stwierdzeiem: istieje cia g x ) o graicy p i wyrazach różych od p, dla którego fx ) = L. Ozacza to, że graica góra jest kresem górym graic postaci fx ), gdzie x ) ozacza cia g o wyrazach różych od p, którego graica jest p. Defiicja graicy dolej jest aalogicza. Moża bez trudu wykazać, że jeśli p jest liczba rzeczywista, D dziedzia fukcji f, to [ if fx), sup ] fx) = [ if f D p δ, p + δ) \ {p} ), sup f D p δ, p + δ) \ {p} ) ]. δ>0 Ozacza to, że rozpatrujemy otoczeie puktu p, zajdujemy ajmiejszy przedzia l domkie ty być może ieskończoy) zawieraja cy obraz tej cze ści dziedziy, która zalaz la sie w rozpatrywaym otoczeiu puktu p, z wyja tkiem puktu samego p. Naste pie zmiejszamy to otoczeie czyli mówia c ieformalie δ 0 ), lewy koiec otrzymaego przedzia lu, być może zdegeerowaego do jedego puktu, to if fx), a prawy to sup fx). Zache cam studetów do wykazaia rówoważości tych określeń oraz do samodzielego ich sformu lowaia w przypadku p = ±. Podamy teraz kilka przyk ladów kresów fukcji. 9

10 5. Niech fx) = x. Jest jase, że < fx) < dla każdej liczby rzeczywistej x. Czytelik + x sprawdzi z latwościa, że jeśli 0 a < i x > a a, to a < x + x = fx). Wykazaliśmy wie c, że jest ograiczeiem górym fukcji f oraz że żada liczba dodatia miejsza iż ie jest ograiczeiem górym fukcji f. Sta d wyika, że sup f =. Poieważ fukcja f jest ieparzysta f x) = x dla każdego x ), wie c if f =. 6. Kresem górym fukcji si jest liczba, a kresem dolym fukcji sius liczba. 7. Kresem górym fukcji wyk ladiczej o podstawie e jest +, a dolym liczba Kresem górym logarytmu aturalego jest +, a kresem dolym jest. 9. Kresem górym fukcji liiowej iesta lej jest +, a kresem dolym tej fukcji jest. 0. Kresem górym fukcji f, daej wzorem fx) = x + x = x + ) 3, jest +, a kresem dolym tej fukcji jest liczba Fukcje mootoicze Rozpocziemy od przypomieia defiicji fukcji iemaleja cych i ierosa cych, ściśle maleja - cych i ściśle rosa cych. Defiicja fukcji mootoiczych i ściśle mootoiczych Fukcja f określoa a zbiorze, którego elemetami sa liczby rzeczywiste, jest. ściśle rosa ca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolych argumetów x, y kosekwecja ierówości x < y jest ierówość fx) < fy) ;. ściśle maleja ca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolych argumetów x, y kosekwecja ierówości x < y jest ierówość fx) > fy) ; 3. ierosa ca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolych argumetów x, y kosekwecja ierówości x < y jest ierówość fx) fy) ; 4. iemaleja ca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolych argumetów x, y kosekwecja ierówości x < y jest ierówość fx) fy). Zów mamy do czyieia z rozszerzeiem poje cia z cia gów a fukcje. Podamy tylko jede przyk lad, bo liczych przyk ladów dostarczyliśmy już wcześiej w postaci cia gów mootoiczych, a i w przysz lości ich ie zabrakie. Niech fx) = dla x 0. Zauważmy, że w ca lej dziedziie fukcja ie jest x mootoicza: < i jedocześie f ) = < = f), wie c fukcja f ie może być ierosa ca, w szczególości ie może być maleja ca; < i jedocześie f) = > = f), zatem f ie może być fukcja iemaleja ca, tym bardziej rosa ca. Natomiast czytelik stwierdzi bez trudu, że f jest fukcja maleja ca a każdej z dwu pó lprostych, 0) i 0, + ). Twierdzeie o istieiu graic fukcji mootoiczej Jeśli f jest fukcja mootoicza, p jest puktem skupieia jej dziedziy, to jeśli istieje cia g x ) argumetów fukcji f miejszych iż p, zbieży do p, to f ma graice lewostroa w pukcie p, jeśli istieje cia g argumetów fukcji f wie kszych iż p, zbieży do p, to f ma graice prawostroa w pukcie p. Dowód. Wystarczy oczywiście udowodić to twierdzeie przy za lożeiu, że fukcja f jest iemaleja ca. Jeśli bowiem f jest ierosa ca, to fukcja przeciwa f jest iemaleja ca. Niech g be dzie kresem górym zbioru z lożoego z wartości fukcji f osia gaych w puktach x < p g = sup{fx): x < 0

11 p} ). Trzeba wykazać, że g = fx). Jeśli x < p, to fx) g. Jeśli m < g jest liczba rzeczywista, to poieważ m ie jest ograiczeiem górym zbioru tych wartości fukcji f, które sa osia gae w puktach x < p, wie c istieje argumet x < p, taki że fx ) > m. Sta d wyika, że jeśli x < x < p to m < fx ) fx) g, zatem: jeśli x < p jest dostateczie bliskie p, to fx) jest dostateczie bliskie g, co dowodzi tego, że g = fx). Aalogiczie dowodzimy, że jeśli istieje cia g argumetów wie kszych iż p, zbieży do p, to kres doly tych wartości fukcji, które sa przyjmowae w puktach wie kszych iż p jest prawostroa graica fukcji f w pukcie p. Dowód zosta l zakończoy. 5. Fukcje cia g le defiicji. Przechodzimy teraz do ajważiejszego tematu tego rozdzia lu do cia g lości. Rozpocziemy od Defiicja fukcji cia g lej Fukcja f jest cia g la w pukcie p wtedy i tylko wtedy, gdy p jest argumetem fukcji i zachodzi jeda z dwu możliwości: i) p ie jest puktem skupieia dziedziy fukcji f ; ii) p jest puktem skupieia dziedziy fukcji f, która ma graice w pukcie p i ta graica jest rówa wartości fukcji w pukcie p : Twierdzeie charakteryzuja ce cia g lość fx) = fp). Fukcja f jest cia g la w pukcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatiej ε istieje liczba δ > 0, taka że jeśli x p < δ, to fx) fp) < ε. Dowód. Jeżeli p ie jest puktem skupieia dziedziy fukcji f, to istieje liczba δ > 0, taka że jedyym puktem x dziedziy fukcji f, dla którego x p < δ jest pukt p w tym przypadku fx) fp) = fp) fp) = 0 < ε, iezależie od wyboru liczby dodatiej ε. Pozosta la cze ść twierdzeia może być otrzymaa atychmiast z defiicji otoczeiowej graicy fukcji. Dowód zosta l zakończoy. Z pozaych twierdzeń o graicach fukcji wyika od razu aste puja ce twierdzeie. Twierdzeie o operacjach a fukcjach cia g lych Za lóżmy, że fukcje f i g określoe a wspólej dziedziie sa cia g le w pukcie p. Wtedy aste puja ce fukcje sa cia g le w pukcie p : f + g, f g, f g oraz f g pod warukiem gp) 0. Waża operacja jest sk ladaie superpoowaie) fukcji. Polega oo a wykoaiu po kolei dwu fukcji: f g)x) = fgx)). Okazuje sie, że sk ladaja c fukcje cia g le otrzymujemy w rezultacie fukcje cia g la. Twierdzeie o cia g lości z lożeia dwu fukcji Jeżeli fukcja g jest cia g la w pukcie p, fukcja f określoa a zbiorze zawieraja cym zbiór wartości fukcji g jest cia g la w pukcie gp), to z lożeie f g jest fukcja cia g la w pukcie p. Dowód Wyika to od razu z otoczeiowej defiicji cia g lości: jeśli ε > 0, to istieje δ > 0, takie że jeśli y gp) < δ, to fy) fgp)) < ε, istieje też η > 0, takie że jeśli x p < η, to gx) gp) < δ, a wobec tego fgx)) fgp)) < ε. Dowód zosta l zakończoy. Nie jest atomiast prawda, że fukcja odwrota do fukcji f cia g lej w pukcie p musi być cia g la w pukcie fp). Zache camy czytelików do samodzielego skostruowaia przyk ladu. Musi o być ieco

12 dziwaczy, bowiem jeśli za lożymy, że fukcja f jest cia g la w ca lej dziedziie, która jest przedzia lem, to wtedy fukcja odwrota musi być cia g la, mówimy o fukcji, której wartościami sa liczby rzeczywiste. Tego twierdzeia jedak ie udowodimy teraz, bowiem jego dowód staie sie latwiejszy późiej. Przyk lady. Fukcja sta la jest cia g la w każdym pukcie.. Fukcja idetyczość, czyli fukcja, której wartościa w pukcie x jest liczba x jest cia g la w każdym pukcie prostej wyika to atychmiast z defiicji cia g lości. Zamiast mówić fukcja idetyczość be dziemy mówić fukcja x, rozumieja c, że jest oa określoa a ca lej prostej. 3. Fukcje x, x 3,... sa cia g le w każdym pukcie prostej. Wyika to atychmiast z twierdzeia o cia g lości iloczyu fukcji cia g lych i poprzediego przyk ladu. 4. Każdy wielomia, czyli fukcja postaci a 0 + a x + + a x, gdzie a 0, a,..., a sa dowolymi liczbami rzeczywistymi, jest cia g la w każdym pukcie prostej. Wyika to z poprzedich przyk ladów oraz twierdzeia o cia g lości iloczyu i sumy fukcji: fukcja postaci a j x j jest iloczyem fukcji sta lej o wartości a j oraz fukcji x j, wielomia jest suma takich fukcji. 5. Suma szeregu pote gowego, tj. szeregu postaci a x jest fukcja cia g la w każdym pukcie swej dziedziy, tj. w każdym pukcie x, w którym szereg pote gowy jest zbieży. To twierdzeie ie jest takie proste jak poprzedie, ale udowodiliśmy je poprzedio. 6. Fukcja x x+3, której dziedzia jest zbiór z lożoy ze wszystkich liczb rzeczywistych z wyja tkiem liczby 3 jest cia g la w każdym pukcie swej dziedziy, bo jest ilorazem fukcji cia g lych. 7. Fukcja wyk ladicza e x jest cia g la. Wykazaliśmy to w rozdziale. pukt 9. Wyika to rówież z wzoru udowodioego tamże: e x x = i przyk ladu poprzediego.! 8. Logarytm aturaly o podstawie e ) jest fukcja cia g la. Moża wywioskować to z cia g lości fukcji wyk ladiczej w taki sam sposób jak w przyk ladzie trzyastym wioskowaa jest cia g lość fukcji arcsi z cia g lości fukcji sius. 9. Dla każdej liczby rzeczywistej a fukcja pote gowa x a o wyk ladiku a jest cia g la w każdym pukcie pó lprostej 0, + ). Wyika to z cia g lości logarytmu aturalego, cia g lości fukcji wyk ladiczej o podstawie e i cia g lości iloczyu oraz z lożeia fukcji cia g lych: x a = e a l x. 0. Jeśli a > 0, to fukcja x a jest cia g la w pukcie 0, jej wartość w pukcie 0 defiiujemy w tym przypadku jako 0. Trzeba udowodić, że jeśli x = 0, to rówież xa = 0. Jest tak dla a = k, k dowola liczba ca lkowita wie ksza iż, bo x/k = k x wykazaliśmy to w rozdziale, pukt 7, przyk lad i. W przypadku dowolego a zajdujemy ajpierw dodatia liczbe ca lkowita k >. Dla każdej liczby ieujemej a x twierdzeia o trzech cia gach. < mamy wtedy 0 xa x /k. Teza wyika teraz z. Jeśli a = p, gdzie q jest ieparzysta liczba ca lkowita dodatia, zaś p liczba ca lkowita ujema, to q fukcja x a = q x p jest cia g la w każdym pukcie pó lprostej, 0). Wyika to od razu z cia g lości fukcji pierwiastek q tego stopia, cia g lości wielomiau i cia g lości ilorazu fukcji cia g lych oraz twierdzeia o cia g lości z lożeia. W ostatich trzech przyk ladach wykazaliśmy, że fukcja pote gowa jest cia g la wsze dzie tam, gdzie

13 jest określoa.. Fukcje sius i kosius sa cia g le w każdym pukcie prostej. Jest to kosekwecja ierówości si x si y x y oraz cos x cos y x y. 3. Fukcja arcsi jest cia g la a przedziale [, ]. Za lóżmy, że tak ie jest. Ozacza to, że istieje cia g x ) puktów przedzia lu [, ] zbieży do pewej liczby g, taki że cia g arcsi x ) ie jest zbieży do arcsi g. Ozacza, że z cia gu arcsi x ) moża wybrać podcia g zbieży arcsi x k do graicy G arcsi g. Sta d i z cia g lości fukcji sius wyika, że g = x k = siarcsix k )) = sig) siarcsi g) = g. Otrzymaliśmy sprzeczość g g. Ozacza to, że każdy podcia g zbieży cia gu arcsi x ) ma graice arcsi g, a to ozacza, że arcsi g. arcsi x = 4. Fukcja arctg jest cia g la a ca lej prostej. Dowód, który moża przeprowadzić podobie do podaego w poprzedim przyk ladzie dowodu cia g lości fukcji arcsi pozostawiamy czytelikom, by mogli sprawdzić, a ile zrozumieli metode. Oczywiście w dowodzie ależy skorzystać z cia g lości fukcji tages, ale to ostatie stwierdzeie wyika z twierdzeia o cia g lości ilorazu. 5. Dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 fukcja wyk ladicza a x jest cia g la w każdym pukcie prostej rzeczywistej. Wyika to z tego, że a x = e x l a, twierdzeń o cia g lości iloczyu i z lożeia oraz cia g lości fukcji wyk ladiczej o podstawie e i cia g lości idetyczości oraz fukcji sta lej. Z tych przyk ladów wyika, że każda fukcja, która moża zdefiiować wzorem używaja c stadardowych fukcji, jest cia g la w ca lej swojej dziedziie, p. exp si x six ) x + ) tgcos x + l x) 4 3. Wyika to z wielokrotego stosowaia twierdzeń o cia g lości z lożeia, sumy, różicy, iloczyu i ilorazu. Mog loby wie c powstać wrażeie, że wszystkie fukcje sa cia g le. Tak jedak ie jest. Podamy poiżej kilka przyk ladów. Przyk lady fukcji iecia g lych 6. sgx) = x dla x 0 oraz f0) = 0, ta fukcja jest cia g la w każdym pukcie p 0, bo wtedy x jest sta la w pewym przedziale otwartym zawieraja cym p, w pukcie 0 ta fukcja jest iecia g la, bowiem jej graica prawostroa jest w tym pukcie rówa, lewostroa jest rówa, wie c fukcja sg zak liczby) ie ma graicy w pukcie Niech fx) = si dla x 0, f0) = 0. Fukcja tak zdefiiowaa ie ma graicy w pukcie 0, x wie c ie jest w tym pukcie cia g la. We wszystkich iych puktach jest cia g la jako z lożeie fukcji cia g lej sius z fukcja cia g la x. 8. Niech fx) = dla x 0 i f0) = 0. Fukcja ta jest iecia g la w pukcie 0, choć ma w tym pukcie graice, jedak ta graica ie jest rówa wartości fukcji w pukcie 0. W iych puktach p fukcja jest cia g la, bo jest sta la a pewym przedziale otwartym zawieraja cym pukt p. Oczywiście moża uzać te przyk lad za sztuczy. 9. Niech V t) ozacza obje tość jedego kilograma wody w temperaturze t, ciśieie jest sta le, tzw. ormale i iezależe od temperatury. Ze szkolych lekcji fizyki wiadomo, że fukcja V ma iecia g lość w pukcie 0 tj. w temperaturze, w której aste puje przejście ze stau ciek lego w sta ly lub odwrotie, zreszta w pukcie 0 fukcja jest z puktu widzeia fizyki iezdefiiowaa, ze wzgle du a zmiae stau skupieia. Graice jedostroe istieja : prawostroa jest miejsza iż lewo- 3

14 stroa dlatego lód p lywa w wodzie wystaja c z iej). Przyk lad te podajemy po to, by czytelicy tego tekstu zdawali sobie sprawe, że w iektórych sytuacjach pojawiaja sie fukcje iecia g le w aturalych sposób. 0. Niech fx) =, jeśli liczba x jest wymiera, tj. x jest ilorazem dwu liczb ca lkowitych i iech fx) = 0, jeśli x jest liczba iewymiera, p. jeśli x = m, gdzie m, sa liczbami ca lkowitymi różymi od 0. Fukcja ta ie ma graicy w żadym pukcie, bo każda liczba rzeczywista jest graica cia gu liczb wymierych, p. swoich przybliżeń dziesie tych oraz graica cia gu liczb iewymierych. W pierwszym przypadku cia g wartości fukcji da ży do, a w drugim do 0. Wobec tego fukcja ta jest iecia g la w każdym pukcie! Moża udowodić, to jest latwe!, że fx) = cosk!πx))), wie c ta dziwa fukcja może być otrzymaa w wyiku podwójego k przejścia graiczego z fukcji uważaych za podstawowe. Fukcje iecia g le pojawiaja sie w różego rodzaju modelach matematyczych. Nie be dziemy sie imi zajmować prawie wcale. Pierwszym aszym celem jest zazajomieie sie z podstawowymi w lasościami fukcji cia g lych określoych a porza dych dziedziach. Z aszego puktu widzeia ajporza diejszymi możliwymi dziedziami sa przedzia ly. Rozpocziemy od ituicyjie oczywistego twierdzeia azywaego cze sto mylie twierdzeiem Darboux. Wydaje sie, że pierwszymi, którzy je udowodili, zreszta iezależie, byli Bolzao i Cauchy. Twierdzeie o przyjmowaiu wartości pośredich Jeśli f jest fukcja cia g la w każdym pukcie pewego przedzia lu P i fx) < C < fz) dla pewych puków x, z przedzia lu P, to mie dzy puktami x i z zajduje sie pukt y, taki że C = fy). Dowód. Niech x 0 = x, z 0 = z. Niech c 0 be dzie środkiem odcika o końcach x 0 i z 0. Mamy c 0 = x 0 + z 0 ). Sa trzy możliwości fc 0 ) = C, fc 0 ) < C i fc 0 ) > C. W pierwszym przypadku przyjmujemy y = c 0 i kończymy dowód. W drugim przypadku przyjmujemy x = c 0 i z = z 0. W trzecim przypadku przyjmujemy x = x 0 i z = c 0. W drugim i trzecim przypadku spe lioe sa zależości: fx ) < fz ) oraz z x = z 0 x 0. Powtórzymy kostrukcje. Niech c = x + z ). Jeśli fc ) = C, to kończymy dowód przyjmuja c y = c. W przypadku przeciwym przyjmujemy x = c i z = z, jeżeli fc ) < C oraz x = x i z = c, jeżeli fc ) > C. W obu przypadkach fx ) < C < fz ) i z x = ) z x = z 0 x 0. Poste puja c w dalszym cia gu w te sposób atrafiamy a pukt y, taki że C = fy) lub otrzymujemy dwa cia gi x ) i z ) puktów przedzia lu ) P, takie że dla każdego spe lioe sa zwia zki z x = z 0 x 0 oraz fx ) < C < fz ). Z kostrukcji wyika, że dla każdego pukty x + i z + zajduja sie w przedziale domkie tym o końcach x i z. Sta d wyika, że jeżeli k > m >, to pukty x m, z m, x k, z k zajduja sie w przedziale o końcach x, z i wobec tego odleg lości mie dzy każdymi dwoma z ich sa miejsze iż ) ) ) z x = z 0 x 0, w szczególości x k x m < z 0 x 0 i z k z m < z 0 x 0. ) Z tego, że = 0, wyika, że oba cia gi x ) i z ) spe liaja waruek Cauchy ego, wie c każdy z ich ma skończoa graice. Poieważ z x = 0, wie c te graice sa rówe. Niech y = x = z. Z cia g lości fukcji f w pukcie y wyika, że fy) = fx ) C oraz C fz ) = fy). Z ierówości fy) C fy) wyika, że C = fy). Dowód zosta l 4

15 zakończoy.. Typowym zastosowaiem twierdzeia o przyjmowaiu wartości pośredich jest wykazywaie, że fukcja cia g la w każdym pukcie przedzia lu, przyjmuja ca w pewym pukcie tego przedzia lu wartość dodatia, a w iym ujema, ma mie dzy tymi puktami pierwiastek. Naśladuja c dowód twierdzeia o przyjmowaiu wartości pośredich, moża skracać dwukrotie w kolejych krokach przedzia l, co daje rozsa da metode przybliżaia pierwiastków.* Twierdzeie o istieiu pierwiastków wielomiaów stopia ieparzystego Każdy wielomia stopia ieparzystego, tj. fukcja postaci wx) = a 0 + a x + a x + + a x, gdzie symbole a 0, a, a,..., a ozaczaja liczby rzeczywiste, przy czym a 0, a jest liczba aturala ieparzysta, ma pierwiastek rzeczywisty, tz. istieje liczba x 0, taka że wx 0 ) = 0. Dowód. x ± x = 0, zatem wx) a0 x ± x = x ± x + a x + + a ) x + a = a. Za lóżmy, że a > 0 przypadek a < 0 moża sprowadzić do poprzediego przez zasta pieie wielomiau w wielomiaem przeciwym w. Stosuja c twierdzeia o graicach stwierdzamy, że z jedej stroy zachodzi wx) = x x x wx) x wx) x = + a = +, a z drugiej stroy x wx) = x x x x = a =. Z tego wioskujemy, że wielomia w przyjmuje zarówo wartości dodatie jak i ujeme: jeśli x jest dostateczie duża liczba dodatia, to wx) > 0, jeśli x jest dostateczie duża liczba dodatia i x < 0, to wx) < 0. Sta d zaś wyika, że wielomia te przyjmuje w pewym pukcie wartość 0, czyli że ma pierwiastek. Dowód zosta l zakończoy. Powyższe twierdzeie ie ozacza, że umiemy zajdować pierwiastki takiego wielomiau w sposób podoby do stosowaego w szko lach dla wielomiaów kwadratowych. Zalezioo w XVI wieku wzory a pierwiastki wielomiaów stopia trzeciego i czwartego, sa oe zaczie bardziej skomplikowae od wzorów a pierwiastki rówaia kwadratowego. Na pocza tku wieku dziewie tastego udowodioo Ruffii, Abel, Galois), że ie istieja wzory a pierwiastki rówań stopia pia tego i wyższego. Jest to wyik egatywy, teoretyczy, ale metody rozwiie te dla jego osia gie cia zalaz ly zaczie późiej zastosowaia w fizyce i chemii. Z puktu widzeia tego wyk ladu ie ma to wie kszego zaczeia. Mówimy o tym jedyie po to, by uświadomić czytelikom, że w wielu przypadkach wypisywaie dok ladych wzorów jest iemożliwe, czasem jest możliwe, ale ma lo sesowe, bo wzory sa tak zawi le, że ich wypisaie iewiele daje, atomiast moża używać wzorów przybliżoych, które w wielu przypadkach daja wystarczaja ce rezultaty. Naste pe twierdzeie okaże sie bardzo przydate do zajdowaia ajmiejszych i ajwie kszych wartości fukcji. Szczególie duże zaczeie mieć oo be dzie w przypadku fukcji rzeczywistych wielu zmieych. Be dziemy je stosować w przypadku fukcji jedej zmieej rzeczywistej mie dzy iymi po to, by późiej, w przypadku wie kszej liczby zmieych, latwiej moża by lo prześledzić rozumowaia wykorzystuja ce pozorie ca lkowicie abstrakcyje twierdzeia. Twierdzeie Weierstrassa o przyjmowaiu kresów Za lóżmy, że fukcja f jest cia g la w każdym pukcie przedzia lu domkie tego [a, b]. Wtedy w przedziale [a,b] zajduja sie pukty p, q, takie że dla każdego puktu x z tego przedzia lu zachodzi ierówość fp) fx) fq), tz. fp) jest ajmiejsza wartościa fukcji f a przedziale [a,b], zaś fq) jest * Istieja lepsze, ale bardziej skomplikowae. 5

16 ajwie ksza wartościa fukcji f. Dowód. Niech M be dzie kresem górym fukcji f a przedziale [a, b]. Istieje cia g x ) puktów przedzia lu [a, b], taki że fx ) = M. Z twierdzeia Bolzao Weierstrassa wyika, że z cia gu x ) moża wybrać podcia g zbieży x k ). Niech q = x k. Poieważ dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość a x k b, wie c w graicy otrzymujemy a q b. Fukcja f jest cia g la w każdym pukcie przedzia lu [a, b], w szczególości w pukcie q. Wobec tego fq) = fx k ) = fx ) = M. Wykazaliśmy, wie c że sup f = M = fq), co ozacza, że fq) jest ajwie ksza wartościa fukcji f a przedziale [a, b]. Istieie puktu, w którym fukcja f przyjmuje swa ajmiejsza wartość, wioskujemy stosuja c twierdzeie o wartości ajwie kszej do fukcji f. Dowód zosta l zakończoy. Naste pe twierdzeie poprzedzimy dwiema defiicjami. Defiicja jedostajej cia g lości Fukcja f jest jedostajie cia g la a zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istieje liczba δ > 0, taka że jeśli x, y A oraz x y < δ, to fx) fy) < ε. Defiicja waruku Lipschitza Fukcja f spe lia waruek Lipschitza a zbiorze A ze sta la dodatia L < + wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolych x, y A zachodzi ierówość fx) fy) L x y. Jest jase, że fukcja spe liaja ca waruek Lipschitza jest jedostajie cia g la: wystarczy przyja ć, że δ = ε. Jest też jase, że fukcja jedostajie cia g la jest cia g la. Istieja fukcje cia g le, które ie L sa jedostajie cia g le. Przyk ladem jest fukcja x rozpatrywaa a ca lej prostej. Za lóżmy bowiem, że ε = oraz że istieje liczba δ > 0, taka że jeżeli x y < δ, to x y < = ε. Niech x = δ i iech y = δ + δ ) δ. Wtedy x y = + > = ε, wie c wbrew przypuszczeiu ie istieje liczba δ spe liaja ca ża day waruek. Moża wykazać, że fukcje e x a ca lej prostej, l x a pó lprostej 0, + ) itp. ie sa jedostajie cia g le, choć zmiejszeie dziedziy może zmieić sytuacje. Fukcja e x spe lia waruek Lipschitza a pó lprostej postaci, a] dla każdej liczby rzeczywistej a. Jeśli bowiem y < x a, to e x e y = e x e y x ) e x + y x))) = = e x x y) e a x y. Fukcja liiowa ax + b spe lia waruek Lipschitza ze sta la a, co wyika od razu z rówości ax + b) ay + b) = a x y. Fukcja x rozpatrywaa ie a ca lej prostej, lecz a przedziale [ M, M], gdzie M > 0, spe lia waruek Lipschitza ze sta la M, bowiem x y = x y x + y x y x + y ) M x y. Fukcja x rozpatrywaa a ca lej prostej jest jedostajie cia g la ale ie spe lia waruku Lipschitza: jeśli x > y, to 0 < x y < x y, co moża wykazać przeosza c y a prawa stroe ierówości, a aste pie podosza c obie stroy ierówości do kwadratu z tej ierówości wyika jedostaja cia g lość, starczy przyja ć, że δ = ε, / 0 z waruku Lipschitza wyika loby, że L = +, co oczywiście przeczy temu, / 0 że L < +. Wykazaliśmy wie c, że waruek Lipschitza = jedostaja cia g lość = cia g lość oraz że żada z tych implikacji ie może być zasta pioa rówoważościa. Warto jeszcze dodać, że w defiicji otoczeiowej) cia g lości fukcji w pukcie ża da sie istieia liczby δ > 0 i że takie samo ża daie wyste puje w defiicji cia g lości jedostajej. Różica polega a tym, że w defiicji cia g lości 6

17 liczba δ > 0 jest dopasowywaa do puktu, w którym badaa jest cia g lość i do liczby ε > 0, atomiast w defiicji cia g lości jedostajej δ > 0 zależy tylko od ε. Podamy teraz waże twierdzeie, które wykorzystamy w rozdziale poświe coym ca lkom. Twierdzeie Catora-Heie go o jedostajej cia g lości Jeśli fukcja f jest cia g la w każdym pukcie przedzia lu domkie tego [a, b], to jest oa cia g la jedostajie a tym przedziale. Dowód. Za lóżmy, że twierdzeie ie jest prawdziwe. Istieje wtedy liczba ε > 0, taka że dla każdej liczby δ > 0 istieja takie liczby x, y [a, b], że x y < δ i jedocześie fx) fy) ε. Niech x, y be da takimi liczbami z przedzia lu [a, b], że x y < δ = i jedocześie fx) fy) ε. Z twierdzeia Bolzao Weierstrassa wyika, że z cia gu x ) moża wybrać podcia g zbieży x k ). Ozaczmy jego graice przez g. Mamy wie c g = x k, a poieważ x y <, wie c rówież g = y k. Oczywiście g [a, b]. Wobec tego fukcja f jest cia g la w pukcie g, zatem fg) = fx k ) = fy k ), wbrew temu, że fx k ) fy k ) ε > 0. Dowód zosta l zakończoy. Teraz zajmiemy sie mootoiczymi fukcjami cia g lymi. Rozpocziemy od twierdzeia gwaratuja cego cia g lość fukcji mootoiczej. Twierdzeie o cia g lości fukcji mootoiczej Jeśli fukcja mootoicza f określoa a zbiorze A IR przekszta lca zbiór A a przedzia l, to jest cia g la w każdym pukcie zbioru A. Dowód. Dla ustaleia uwagi za lóżmy, że fukcja f jest iemaleja ca. Jeśli p A jest graica cia gu a ) puktów zbioru A miejszych iż p, to istieje graica fx) fp). Poieważ dla x p zachodzi ierówość fx) fp), a dla x < p zachodzi ierówość fx) fx), wie c z tego, że obrazem zbioru A jest przedzia l, wyika, że fx) = fp) : gdyby by lo fx) < fp), to pukty przedzia lu fx), fp)) by lyby poza obrazem zbioru A, wie c ie by lby o przedzia lem. Aalogiczie: jeśli istieje cia g a ) wie kszych iż p zbieży do p, to fp) = fx). Sta d wyika, + że f jest cia g la w pukcie p. Dowód zosta l zakończoy. Wiosek Jeśli f jest fukcja mootoicza określoa a przedziale P, to f jest cia g la w każdym pukcie wtedy i tylko wtedy, gdy f przekszta lca przedzia l P a pewie przedzia l zdegeeroway do puktu w przypadku, gdy f jest fukcja sta la ). Twierdzeie o mootoiczości różowartościowej fukcji cia g lej Jeżeli f jest różowartościowa fukcja cia g la określoa a przedziale P, to f jest fukcja ściśle mootoicza. Dowód. Wykażemy ajpierw, że jeśli x, z sa puktami przedzia lu P oraz x < y < z, to fy) leży mie dzy puktami fx) i fz). Sa dwie możliwości fx) < fz) i fx) > fz). Druga możliwość moża sprowadzić do pierwszej przez zasta pieie fukcji f fukcja przeciwa f. Wystarczy wie c zaja ć sie pierwsza. Jeśli fy) ie leży mie dzy fx) i fz), to albo fy) < fx), albo fz) < fy).w pierwszym przypadku, a mocy twierdzeia o przyjmowaiu wartości pośredich, istieje pukt x leża cy mie dzy y i z, taki że fx) = fx ). Przeczy to różowartościowości fukcji f. W drugim przypadku mie dzy x i y zajduje sie pukt z, taki że fz) = fz ), co zów przeczy różowartościowości 7