N(µ, σ) rozklad normalny µ srednia σ odchylenie standardowe

Transkrypt

1 y Chapter 1 Statystyka Opisowa Regula trzech sigm [µ 3σ, µ 3σ] N(µ, σ) rozklad ormaly µ sredia σ odchyleie stadardowe µ 3σ, µ 2σ, µ σ, µ µ + σ, µ + 2σ, µ + 3σ x 99.7% obserwacji zdarze losowych alezy do przedzialu [µ 3σ, µ + 3σ] 1.1 Wstȩp Pierwszym i ważym etapem opracowań statystyczych jest zbieraie i prezetacja daych. Najważiejsze dae statystycze podawae s a w każdym roku przez G lówy Urz ad Statystyczy (GUS) z siedzib a w Warszawie. Dotycz a oe iformacji o ludości w Polsce, dae o wzorście w przemys le i rolictwie, w ekoowmi i fiasach. Te dae staowi a waż a iformacjȩ dla plaowaia i admiistracji państwa. Oprócz tego dae statystycze zbierae s a w akietach z pytaiami o szczególym zaczeiu. Na przyk lad w sodażach i progozach w wyborach do sejmu i w ważych decyzjach admiistrcji w których g los spo leczeństwa ma istote zaczeie. Zebrae dae statystycze przedstawiamy w tabelach i ilustrujemy a diagramach. Stosowae s a róże formy diagramów. Najbardziej powszeche diagramy s a w formie s lupków lub ko la z zazaczeiem kolorów lub daych liczbowych lub w procetach. Zatem diagramy s a prostym i ważym sposobem prezetacji daych statystyczych. 1

2 2 1.2 Dae Statystycze. Diagramy Dae statystycze zapisujemy w tablicach z opisem ich zaczeia wartości liczbowych. Przyk lad 1.1 W zespole szkó l by lo Przedszkole, Szko la Podstawowa i Liceum. W tabeli zebrao iformacje dotycz ace liczby ucziów Rodzaj Szko ly Liczba dziewczy Liczba ch lopców RAZEM Przedszkole Szko la Podstawowa Liceum W iżej przedstawioych diagramach w formie s lupków i ko la podae s a wykresy dziewczy, ch lopców i wykresy razem ucziów w Przedszkolu, w Szkole Podstawowej i w Liceum. Diagram w postaci s lupkȯw. Legeda: Dziewczyy s lupek pierwszy, Ch lopcy s lupek drugi, Liczba ucziów razem s lupek trzeci. Trzy s lupki s a powtórzoe dla każdej z trzech szkȯ l y R R A A R Dzie Z A Z wczȩ Dzie Z Dzie E E Ch lo wczȩ Ch lo E wczȩ Ch lo ta M ta M M ta pcy pcy pcy Pszedszkole Szko la Podstawowa Liceum x Liczba uczȯw w Zespole Szkȯ l: Liczba dziewczy = 600 Liczba ch lopcȯw = 400 Razem dziewczyy+ ch lopcy = = 1000

3 3 Diagram w postaci ko la. Diagram w postaci ko la zawiera astȩpuj ace sekcje: Sekcja Przedszkole : dziewczyy i ch lopcy, Sekcja Szko la : dziewczyy i ch lopcy, Sekcja Liceum : dziewczyy i ch lopcy Przeszkole: Liceum: Przedszkole: Ch lopcy=100 Liceum: dziewczyy=250 Liceum: Ch lopcy=150 Szko la: Szko la: dziewczyy=250 Ch lopcy=150 Przedszkole: dziewczyy = 150 dziewczyy+ch lopcy dziewczyy+ch lopcy = = 350 Szko la: dziewczyy+ch lopcy = Wartość Średia i Mediaa Ważymi parametrami daych statystyczych s a wartość średia i mediaa. Średia Arytmetycza. Wartości a średi a arytmetycz a daych liczb azywamy liczbȩ a 1, a 2,..., a µ = a 1 + a a (1.1) Średia Arytmetycza Ważoa. Bardziej ogólym pojȩciem średiej jest pojȩcie średiej arytmetyczej ważoej. Miaowicie, iech wagami bed a liczby dodatie ρ 1, ρ 2,, ρ takie, że suma ρ 1 + ρ ρ = 1, ρ i > 0, i = 1, 2,...,. Wtedy średi a ważo a daych a 1, a 2,..., a azywamy astȩpuj ac a sumȩ iloczyów µ ρ = ρ 1 a 1 + ρ 2 a ρ a

4 4 W przypadku szczególym, gdy wagi s a rówe ρ 1 = ρ 2 = = ρ = 1 wtedy średia arytmytycza ważoa jest poprostu średi a arytmetycz a. Mediaa. Dla daych statystyczych zajdujemy ich mediae to zaczy wartość, która leży w środkowej pozycji daych. Miaowicie, w pierwszej kolejości sortujemy dae porz adkuj ac je od ajmiejszej do ajwiȩkszej lub od ajwiȩkszej do ajmieszej. Wtedy liczba, która leży a pozycji w rówej odleg lości od pocz adku i od końca uporz adkowaych daych azywa siȩ media a. Może zdażyć siȩ że ie ma takiej jedej liczby, atomiast s a dwie liczby obok siebie, które leż a w tej samaej odleg lości pierwsza od pocz adku a druga od końca. Wtedy media a jest ich średia arytmetycza. Niżej, wyjaśiamy to a przyk ladach. Przyk lad 1.2 Rozpatrzmy astȩpuj ace dae: (i) 2, 1, 6, 8, 3, 2, 10, 12, 11 (ii) 9, 4, 2, 7, 5, 1, 3, 10, 15, 17, 16 Rozwi azaie (i). Dae 2, 1, 5, 8, 3, 2, 10, 12, 11 porz adkujemy w kieruku ros acym od ajmieszej do ajwiȩkszej 1, 2, 2, 3, 6, 8, 10, 11, 12 Zauważamy, że liczba 6 jest odleg la od pocz adku o cztery pozycje i od końca rówież o cztery pozycje. Zatem liczba 6 jest media a daych (i). Rozwi azaie (ii). Dae 0, 1, 9, 4, 2, 7, 5, 1, 3, 10, 15, 17, 16 porz adkujemy w kieruku ros acym od ajmieszej do ajwiȩkszej 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15, 16, 17 Zauważamy, że liczba 4 jest odleg la od pocz adku o piȩć pozycji, a liczba 5 jest odleg la od końca rówież o piȩć pozycji. Zatem mamy dwie liczby w środku daych 4 i 5. Wtedy media a jest ich średia arytmetycza, to zaczy Correlacja Rozpatrzmy dwa ci agi daych o tej samej liczbie elemetów. mediaa = = 4.5 a = {a 1, a 2,..., a }, b = {b 1, b 2,..., b },

5 5 Defiitio 1.1 Correlacjȩ daych a = {a 1, a 2,..., a }, b = {b 1, b 2,..., b }, okreṡlamy astȩpuj acym wzorem: Cor(a, b) = a 1 b 1 + a 2 b a b a a a 2 b b b 2 = (a, b) a b, (1.2) gdzie iloczy skalary oraz d lugoṡċ daych a, b a = (a, b) = a 1 b 1 + a 2 b a b a a a 2, b = b b b 2 Dae zapisujemy rówież w ich uormowaej formie. Miaowicie, iech {a 1, a 2,..., a } â = {â 1, â 2,..., â } =, a a a 2 {b 1, b 2,..., b } ˆb = {ˆb1,ˆb 2,...,ˆb } =, b b b 2 (1.3) gdzie â 1 = a 1, ˆb1 = b 1, a a a 2 b b b 2 a 1 b 2 â 2 =, ˆb2 =, a a a 2 b b b â = a, ˆb = a a a 2 b b b b 2 Zauważamy, że dae (1.3) w uormowaej formie spe liaj a astȩpuj ace waruki: â â â 2 = 1, ; ˆb2 1 + ˆb ˆb 2 = 1 Wtedy correlacja pomiȩdzy daymi a i b oraz correlacja pomiȩdzy daymi uormowaymi â i ˆb jest ta sama Cor(a, b) = Cor(â,ˆb), Cor(â,ˆb) = â 1 ˆb 1 + â 2 ˆb â ˆb Przyk lad 1.3 Oblicz correlacjȩ pomiȩdzy daymi a = {2, 1, 5, 8}, b = {4, 3, 9, 3}

6 6 Rozwi azaie. Podstawiaj ac do wzoru dae (1.2) a 1 = 2, a 2 = 1, a 3 = 5, a 4 = 8, b 1 = 4, b 2 = 3, b 3 = 9, b 4 = 3 obliczamy wspó lczyik correlacji dla = 4 Cor(a, b) = = a 1 b 1 + a 2 b a b, a a a 2 b b b = , 2 Przyk lad 1.4 W klasie czwartej zmierzoo i zważoo 5 dziewczyek i 5 ch lopcȯw. Otrzymae wyiki pomiarȯw zapiasao w tabeli wzrost waga wzrost waga dziewczyek dziewczyek ch lopcȯw ch lopcȯw cm kg cm kg (i) Oblicz wspȯ lczyik corelacji pomiȩdzy wzrostem i wag a dla dzewczyek (ii) Oblicz wspȯ lczyik corelacji pomiȩdzy wzrostem i wag a dla ch lopcȯw (iii) Oblicz wspȯ lczyik corelacji pomiȩdzy wzrostem i wag a dla dzewczyek i ch lopcȯw razem. Rozwi azaie (i) Wspȯ lczyik corelacji dla dziewczyek obliczamy podstawiaj ac do wzoru dae dziewczyek gdzie iloczy skalary Cor(a, b) = (a, b) a b, a = {140, 135, 132, 140, 125}, b = {35, 30, 33, 35, 30} (a, b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 + a 5 b 5 = = 21956

7 7 oraz d lugoṡċ daych a, b a = = = b = = 5339 = Sk ad obliczamy wspȯ lczyik corelacji pomiȩdzy wzrostem i wag a dla dziewczyek. Cor(a, b) = (a, b) a b = = Zadaie 1.1 Oblicz wspȯ lczyik korelacji pomiȩdzy wzrostem i wag a dla ch lopcȯw dla daych z powyższej tabeli wzoruj ac siȩ a rozwi azaiu (i). 1.4 Wariacja i Odchyleie Stadardowe Wariacja. Wariacja σ 2 daych statystyczych a = {a 1, a 2,..., a }, zwi azaa jest z ich średi a arytmetycz a Miaowicie wariacje daych µ = a 1 + a a (1.4) okreṡlamy astȩpuj acym wzorem: a = {a 1, a 2,..., a }, σ 2 = (a 1 µ) 2 + (a 2 µ) (a µ) 2 (1.5) 1 Odchyleie Stadardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariacji σ = σ 2 (1.6) Przyk lad 1.5 Oblicz wariacje i odchyleie stadardowe astȩpuj acych daych: (i) a = {3, 1, 8, 4}, (ii) b = {12, 4, 8, 6}. Rozwi azaie (i). Rozwi azaie jest prostym i bezpośredim podstawieiem daych do wzorów. Najpierw obliczamy wartość średi a podstawiaj ac do wzoru (1.4) dae (i) = 4 1 Litera grecka σ, czytamy sigma µ = a 1 + a a = = 3.5

8 8 astȩpie obliczamy wariacjȩ podstawiaj ac do wzoru (1.5) µ = 3.5 i dae (i) = 4 σ 2 = (a 1 µ) 2 + (a 2 µ) (a µ) 2 = (3 3.5)2 + ( 1 3.5) 2 + (8 3.5) 2 + (4 3.5) 4 oraz odchyleie stadardowe = σ = σ 2 = = Rozwi azaie (ii). Podobie jak rozwi azaie (i), rozwi azaie (ii) jest prostym i bezpośredim podstawieiem daych do wzorów. Najpierw obliczamy wartość średi a µ = a 1 + a a astȩpie obliczamy wariacjȩ = = 30 4 = 7.5 σ 2 = (a 1 µ) 2 + (a 2 µ) (a µ) 2 = (12 7.5)2 + (4 7.5) 2 + (8 7.5) 2 + (6 7.5) 2 4 = 8.75 oraz odchyleie stadardowe σ = σ 2 = = Regu la Trzech Sigm dla ormalego rozk ladu N(µ, σ) okreṡla przedzia ly [µ 3σ, µ + 3σ], [µ 2σ, µ + 2σ], [µ σ, µ + σ], do ktȯrych ależy 99.7% wszystkich obserwowacji zadarzeia losowego. Wyiki obserwacji zdarzeia losowego poza przedzia lem [µ 3σ, µ + 3σ] pojawiaj a siȩ bardzo rzadko.

9 9 Na podaym wykresie zosta ly zazaczoe wszystkie obserwacje zdarzeia losowego w procetach. y Regula trzech sigm [µ 3σ, µ 3σ] 34.1% 34.1% N(µ, σ) rozklad ormaly µ sredia σ odchyleie stadardowe 13.6% 13.6% 2.1% 2.1% 0.2% 0.2% µ 3σ, µ 2σ, µ σ, µ µ + σ, µ + 2σ, µ + 3σ 99.7% zdarze losowych alezy do przedzialu [µ 3σ, µ + 3σ] 95.4% zdarze losowych alezy do przedzialu [µ 2σ, µ + 2σ] 68.2% zdarze losowych alezy do przedzialu [µ σ, µ + σ] x Przyk lad 1.6 Pracowia krawiecka plaowa la uszycie 1000 mudurkȯw dla dziewczy uczeic szkȯ l podstawowych. W tym celu pracowia wykoa la pomiary wzrostu 10 dziewczy w wieku 7 lat. Wyiki pomiarȯw wzrostu w cetymetrach zosta ly zapisae w postaci listy dae = {140, 131, 132, 138, 145, 135, 141, 135, 143, 130} (i) Oblicz ṡredi a arytmetycz a i odchyleie stadarodowe wzrostu dziewczy. (ii) Stosuj ac regu lȩ trzech sigm oblicz ile mudurkȯw dla dziewczy powia uszyċ pracowia krawiecka w każdym z iżej podaych przedzia lȯw. [µ 3σ, µ + 3σ], [µ 2σ, µ + 2σ], [µ σ, µ + σ], Rozwi azaie (i). Wartoṡċ ṡredi a µ dla dziewczy obliczamy podstawiaj ac do wzoru (1.1) dae z tabeli dla = µ = = Podobie obliczamy odchyleie stadardowe podstawiaj ac do wzorȯw (1.5), (1.6) dae z tabeli

10 10 σ = = = ( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 +(130 1 ( 7) 2 +( 6) 2 +( 5) 2 +(1) 2 +(8) 2 +( 2) 2 +(4) 2 +( 2) 2 +(6) 2 +( 7) 2 = Dla dużej iloṡci daych 100 obliczeia ależy wykoaċ w aplikacji Exel lub w iych jȩzykach programowaia jak Pascal, C + + lub Mathematica. Tutaj obliczeia wykoamliṡmy w systemie Mathematica stosuj ac proste istrukcje Mea[dae]; V ariace[dae]; StadardDeviatio[dae] dla daych w postaci listy dae = {140, 131, 132, 138, 145, 135, 141, 135, 143, 130} 10 Rozwi azaie (ii). Z regu ly trzech sigm wiemy, że do przedzia lu [µ σ, µ+σ] ależy % = 68.2% wartoṡci zdarzeṅ losowych. Zatem pracowia krawiecka powia uszyċ w przedzia le od µ σ do µ + σ mudurkȯw % = = 682 w przedzia lach od 2µ σ do µ σ i od µ + σ do µ + 2σ % % = + = = mudurkȯw. w przedzia lach od 2µ σ do µ σ i od µ + σ do µ + 2σ % % = + = = mudurkȯw. Razem pracowia krawiecka powia uszyċ = 994 mudurki z przedzia lu od µ 3σ do µ + 3σ. Pozosta le 6 mudurki pracowia krawiecka powia uszyċ z poza tego przedzia lu.

11 Zadaia Zadaie 1.2 Oblicz ṡredi a arytmetycze a daych (i) {1, 3, 5, 7, 9}, (ii) {2, 4, 6, 8, 10} Zadaie 1.3 Oblicz ṡredi a arytmetycze a ważo a daych dla wag (i) {1, 3, 5, 7, 9, 11}, (ii) {2, 4, 6, 8, 10, 12} ρ 1 = 8 24, ρ 2 = 6 24, ρ 3 = 4 24, ρ 4 = 3 24, ρ 5 = 2 24, ρ 6 = 1 24 Zadaie 1.4 Marysia i Tomek skoṅczyli oṡmio klasow a szko lȩ podstawow a z oceami z jȩzyka polskiego i matematyki w klasach I-VIII zapiasae w astȩpuj acej tabeli Klasa Marysia Marysia Tomek Tomek j. polski matematyka j. polski matematyka I II III IV V VI VII VIII (i) Oblicz wspȯ lczyik corelacji pomiȩdzy oceȩami z jȩzyka polskiego i matematki dla Marysi (ii) Oblicz wspȯ lczyik corelacji pomiȩdzy oceami z jȩzyka polskiego i matematyki dla Tomka (iii) Oblicz wspȯ lczyik corelacji pomiȩdzy oce a z jȩzyka polskiego dla Marysi i dla Tomka. (iv) Oblicz wspȯ lczyik corelacji pomiȩdzy oce a z matematyki dla Marysi i dla Tomka. Zadaie 1.5 Pracowia krawiecka plaowa la uszycie 1000 mudurkẇ dla ch lopcȯw ucziȯw szkȯ l podstawowych. W tym celu pracowia wykoa la pomiary wzrostu 10 ch lopcȯw w wieku 7 lat. Wyiki pomiarȯw wzrostu w cetymetrach zosta ly zapisae w postaci listy dae = {145, 151, 134, 138, 142, 149, 141, 135, 143, 132} (i) Oblicz ṡredi a arytmetycz a i odchyleie stadarodowe wzrostu ch lopcȯw

12 12 (ii) Stosuj ac regu lȩ trzech sigm oblicz ile mudurkȯw dla ch lopcȯw powia uszyċ pracowia krawiecka w każdym z iżej podaych przedzia lȯw wzrostu. [µ 3σ, µ + 3σ], [µ 2σ, µ + 2σ], [µ σ, µ + σ],