0.1 Reprezentacja liczb w komputerze

Transkrypt

1 1 0.1 Reprezentacja liczb w komputerze Zapis liczb w zmiennym przecinku. U lamki dziesiȩtne w laṡciwe i niew laṡciwe piszemy oddzielaj ac czȩṡċ ca lkowit a od czȩṡci u lamkowej w laṡciwej przecinkiem w polskiej notacji, natomiast w notacji anglo-jȩzycznej oddzielamy kropk a. Na przyk lad u lamki 25 4, w zapisie u lamkȯw dziesiȩtnych piszemy 6, 25, 0, 125 Jeszcze inny zapis u lamkȯw dziesiȩtnych używany jest w komputerach. Mianowicie, liczba = 6, 25 podzielona przez 10 i pomnożona przez 10 = 6, nie zmienia wartoṡci. W komputerze liczba ta reprezentowana jest w postsci zmiennego przecinka = 0, Ogȯlnie u lamki dziesiȩtne reprezentowane s a w komputerach w postaci zmiennego przecinka = m10 c, gdzie mantysa m = 0.α 1 α 2... α r 0 α i 9 i = 1, 2,..., r natomiast cecha c jest liczb a ca lkowit a. Najbardziej znacz aca cyfra α 1 1 jest zawsze wiȩksza lub równa 1. Dlatego mantysa m spe lnia nastȩpuj ac a nierówność 0.1 m < 1. Jasne, że liczba może mieć dok ladn a zmienno przecinkow a reprezentacje w komputerze, jeżeli jej mantysa ma skończon a liczbȩ cyfr. Na przyk lad liczba = 25 ma dok ladn a reprezentacje w komputerze =

2 2 ponieważ jej mantysa m = 0.25 i cecha c = 2. Natomiast, liczba = 1 3 = ma nieskończenie wiele cyfr. Dlatego liczba = nie ma dok ladnej reprezentacji komputerowej. Jednak każd a liczbȩ, nawet z mantys a o nieskoṅczonej iloṡci cyfr, można zapisać w komputerze z dok ladności a b lȩdu zaokr agleń ɛ = }{{} 5 = r r zer mantysy na r-tym miejscu po przecinku. Sta la ɛ = r okreṡla dok ladnoṡċ arytmetyki r-cyfrowej. B l ad zaokr agleṅ. Liczby w zapisie dziesiȩtnym zokr aglamy na r-tym miejscu po przecinku w ten sposób, że do cyfry na r-tym miejscu dodajemy 1, jeżeli nastȩpna cyfra jest wiȩksza lub równa 5. W przeciwnym razie cyfry po r-ym miejscu kasujemy. Operacjȩ zaokr aglania liczby na r-tym miejscu oznaczamy symbolem fl r (). Przyk lad 0.1 Zaokr aglamy liczbȩ 22 7 = ; na 5-tym miejscu po przecinku (r = 5) jak nastȩpuje: Obliczamy b l ad zaokr agleń Podobnie liczbȩ fl 5 ( ) = ɛ = fl 5 ( ) = = 2 3 = zaokr aglone na 4-tym miejscu po przecinku (r = 4) Obliczamy b l ad zaokr agleń fl 4 ( ) = ɛ = fl 4 ( ) =

3 3 0.2 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia. Bezwzglȩdnym b lȩdem zaokr aglenia liczby nazywamy rȯżnicȩ B l ad zaok aglenia spe lnia nierówność = m10 c ɛ = fl r () fl r () ɛ 10 c, Ponieważ w zapisie zmiennego przecinka dla liczby = m 10 c mamy nierȯwnoṡċ fl r (m) 10 c m 10 c ɛ 10 c gdzie ɛ = r jest sta l a w arytmetyce r-cytrowej. Przyk lad 0.2 Zaogr aglij liczbȩ = na trzecim miejscu po przecinku i oblicz b l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia. Rozwi azanie. B l ad bezwglȩdny zaok aglenia liczby wynosi ɛ = fl 3 () = = fl 3 ( ) = = = = < 0.5 }{{ 10 3 } 10 2 = 0.05 ɛ gdzie ɛ = = jest sta l a w arytmetyce 3-cyfrowej. 0.3 B l ad wzglȩdny zaokr aglenia. Wzglȩdny b l ad zaokr aglenia danej liczby = m 10 c 0 określamy jak nastȩpuje: δ = ɛ = fl r(), gdy 0. Ponieważ mantysa m 0.1, dlatego b l ad wzglȩdny spe lnia nierówność δ δ, dla δ = r.

4 4 Mianowicie, zauważamy, że δ = fl r() = fl r( m) ± m m Sk ad wynika nierȯwnoṡċ = fl r( m10 c ) ± m10 c = m10 c ɛ 0.1 = 10ɛ = r. fl r() r, dla 0. Sta la liczba δ = r okreṡla precyzjȩ arytmetyki r-cyfrowej. Tak wiȩc, absolutna wartoṡċ b l adu wzglȩdnego nie przewyższa komputerowej precyzji δ δ δ = r. Na przyk lad, jeżeli r = 3 wtedy komputerowa precyzja δ = = Przyk lad 0.3 Oblicz b l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby w arytmetyce 3-cyfrowej. Rozwi azanie. Obliczamy δ = fl() = = fl( ) = = }{{} Zauważmy, że w tym przyk ladzie b l ad wzglȩdny δ = jest mniejszy od komputerowej precyzji w arytmetyce 3-cyfrowej δ = = b.wzgledny

5 5 B l ad procentowy zaokr aglenia. B l ad procentowy zaokr aglenia zwi azany jest bezpośrednio z b lȩdem wzglȩdnym zaokr aglenia. Mianowicie, b l ad procentowy zaokr aglenia liczby lub p % = 100 δ % p % = 100 fl() %, gdy 0. Przyk lad 0.4 Oblicz b l ad procentowy zaokr aglenia liczby w arytmetyce 3-cyfrowej. = Rozwi azanie. B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby = w arytmetyce 3- cyfrowej obliczyliṡmy w poprzednim przyk ladzie. Zatem, maj ac b l ad wzglȩdny δ = obliczamy b l ad procentowy zaokr aglenia liczby. Przyk lad 0.5. (a) Zaokr aglij liczby p % = % = % na czwartym miejscu po przecinku. = }{{} %. = 2, , y = (b) Oblicz b l ad bezwzglȩdny, b l ad wzglȩdny i b l ad procentowy zaokr aglonych liczb i y. Rozwi azanie. (a) Zgodnie z zasad a zaokr aglania liczba = 2, zaokr aglona na 4-tym miejscu po przecinku ma wartoṡċ = 2, 7183

6 6 Zauważmy, że do cyfry 2, ktȯra jest na 4-tym miejscu dodaliṡmy 1, ponieważ nastȩpna cyfra 8 na pozycji 5-tej jest wiȩksza od 5. (b) Obliczamy b l ad bezwzglȩdny i b l ad wzglȩdny ɛ = = 2, = }{{} δ = = = }{{} B l ad procentowy zaokr aglenia otrzymujemy mnoż ac b l ad wzglȩdny prze 100 Podobnie liczbȩ zaokr aglamy do wartoṡci p % = 100 δ % = % = } {{}% b.wzgledny y = y = 3, 1459 kasuj ac, pocz awszy od cyfry 2 na puzycji 5-tej, wszystkie natȩpne cyfry, ponieważ cyfra 2 jest mniejsza od 5. B l ad bezwzglȩdny ɛ y = y y = 3, , = }{{} B l ad wzglȩdny δ y = y y y = , = } {{} b.wzgledny B l ad procentowy zaokr aglonej liczby y p y % = 100 δ % = 100 ( )% = % }{{} b.procentowy

7 7 0.4 Zadania Zadanie 0.1. (a) Napisz nastȩpuj ace liczby w postaci zmiennego przecinka (i) 2 3 4, (ii) , (iii) i podaj mantysȩ i cechȩ każdej z tych liczb. (b) Zaokr aglij te liczby na 3-cim miejscu po przecinku. Zadanie 0.2. (a) Zaokr aglij liczby na trzecim miejscu po przecinku. = 5, , y = (b) Oblicz b l ad bezwzglȩdny, b l ad wzglȩdny i b l ad procentowy zaokr aglonych liczb i y. Prof. dr Tadeusz STYŠ Czerwiec 16, 2018