Trigonometria. Funkcje trygonometryczne
|
|
- Kazimierz Morawski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych w Babilonie, Egipcie i Grecji. 0.1 Funkcje Trygonometryczne sin α, czytamy sinus α, cos α, czytamy cosinus α, tg α lub tan α, czytamy tangens α, ctg α lub cot α, czytamy cotangence α, sec α, czytamy secant α, csc α, czytamy cosecant α. Funkcje trygonometryczne okreṡlamy w trójk acie prostok atnym lub na kole trygonometrycznym. Rozpatrzmy trȯjk at prostok atny ABC o wierzcho lkach A, B, C przyprostpk atnych AC i BC oraz przeciwprostok atnej AB 1 przyprostokatna b γ = π 2 A } α β {{} przeciwprostokatna c C a przyprostokatna B D lugoṡci przyprostok atnych i przeciwprostok atnej oznaczamy ma lymi literami, piszemy a = BC, b = AC, c = AB. 1 W matematyce wyższej funkcje trygonometrytczne okeṡlane s a przez szeregi potȩgowe
2 2 Definition 0.1 Sinus k ata α to stosunek przyprostok atnej a leż acej naprzeciw k ata α do przeciwprostok atnej c sinα = a c Definition 0.2 Cosinus k ata α to stosunek przyprostok atnej b przyleg lej do k ata α do przeciwprostok atnej c cos α = b c Definition 0.3 Tangens k ata α to stosunek przyprostok atnej a leż acej naprzeciw k ata α do przyprostok atnej b przyleg lej do k ata α tgα = a b lub tanα = a b Definition 0.4 Cotangens k ata α to stosunek przyprostok atnej b leż acej przyleg lej do k ata α do przyprostok atnej a leż acej na przeciw k ata α ctgα = b a lub cotα = a b Definition 0.5 Secant k ata α to odwrotność sinusa k ata α. Zatem secα = c a Definition 0.6 Cosecant k ata α to odwrotność cosinusa k ata α. Zatem secα = c b Zauważmy, że odwrotność tangensa k ata α równa jest cotangensowi k ata α i odwrotność cotangensa k ata α równa jest tangensowi k ata α 1 tgα = ctgα, 1 ctgα = tgα Przyk lad 0.1 Podaj wartości funkcji trygonometrycznych określonych w trójk acie prostok atnym o bokach a = 3, b = 4, c = 5 Rozwi azanie. K aty tego trójk ata prostok atnego α = 30 o, β = 60 o, γ = 90 o sinα = 3 5, cosα = 4 5, tgα = 3 4, ctgα = 4 3, secα = 5 3, cscα = 5 4. Zauważmy, że określenie funkcji trygonometrycznych w trójk acie prostok atnym dotyczy tylko k atów 0 α 90 o lub w mierze lukowej 0 α π 2.
3 3 Ponieważ k aty α i β w trójk acie prostok atnym zmieniaj a siȩ od zera do k ata prostego. W tym dla α = 0 cotangens i secant s a nieokreślone. Również dla α = π tangens i cosecant nie s a określone. 2 Ko lo Trygonometryczne. Dla wszystkich k atów o wartościach rzeczywistych, ujemnych lub dodatnich, funkcje trygonometryczne definiujemy w kole trygonometrycznym. Na kole trygonometrycznym rozpatrujemy k aty zorientowane. Punkt p = (x 1, y 1 ) poruszaj acy siȩ po okrȩgu w kierunku przeciwnym wskazówkom zegara, pocz awszy od osi x, określa k at dodatni. Natomiast, punkt poruszaj acy siȩ zgodnie ze wskazówkami zegara określa k at o wartościach ujemnych. y p = (x 1, y 1 ) R α α x K at zorientowany α
4 4 Definition 0.7 Sinus k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej y 1 do promienia R sinα = y 1 R Definition 0.8 Cosinus k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej x 1 do promienia R cos α = x 1 R Definition 0.9 Tangens k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej y 1 do wpsó lrzȩdnej x 1 tg α = y 1 x 1, x 1 0, Definition 0.10 Cotangens k ata α to stosunek to stosunek wspó lrzȩdnej x 1 do wpsó lrzȩdnej y 1 ctg α = x 1 y 1, y 1 0, Definition 0.11 Secant k ata α to odwrotność sinusa k ata α. Zatem sec α = R y 1, y 1 0, Definition 0.12 Cosecant k ata α to odwrotność cosinusa k ata α. Zatem csc α = R x 1, x 1 0. Ponieważ secant i cosecant określone s a przez sinus i cosinus, dlatego dalej wystarczy rozpatrywać cztery funkcje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens i cotangens Wzory Redykcyjne Wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zauważamy, że wszystkie funkcje s a nieujemne w pierwszej ćwiartce ko la trygonometrycznego, gdyż dla k ata 0 α 90 o, wspó lrzȩdne punktu p = (x 1, y 1 ) s a nieujemne, to jest x 1 0, y 1 0 i promień R > 0. W drugiej ćwiartce tylko sinus (sin α 0), jest nieujemny, gdyż wspó lrzȩdna y 1 0. W trzeciej ćwiartce tangens i cotanges (tgα 0, ctgα 0), s a nieujemne, gdyż obie wspó lrzȩdne x 1 0,, y 1 0 s a ujemne i wtedy iloraz ( y 1 x 1 0) lub ( x 1 y 1 0). W czwartej ćwiartce tylko cosinus (cos α 0) jest nieujemny, gdyż wspó lrzȩdna
5 5 x 1 0. W tej pozycji k ata α, z wykresu ko la trygonometrycznego odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych zapisane w niżej podanej tabeli 0 α 90 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 90 o α 180 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα o α 270 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα α 360 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 Funkcje trygonometryczne dowolnego k ata α osi agaj a już w pierwszej ćwiartce ko la trygonometrycznego wszystkie możliwe wartości bezwzglȩdne ( z dok ladności a do znaku). Zatem, inne wartości różni a siȩ od nich jedynie znakiem. Te różnice ustalaj a wzory redukcyjne, które podajemy niżej. Najpierw, zauważmy, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 90 o α też leży w pierwszej ćwiartce oraz k at 90 o +α leży w drugiej ćwiartce. Natomiast, k at α leży w czwartej ćwiartce. W tej pozycji k ata α, z wykresu ko la trygonometrycznego odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych zapisane w niżej podanej tabeli sin(90 o α) = cosα sin(90 o + α) = cos α sin( α) = sinα cos(90 o α) = sinα cos(90 o + α) = sinα cos( α) = cos α tg(90 o α) = ctgα tg(90 O + α) = ctgα tg( α) = tgα ctg(90 O α) = tgα ctg(90 O + α) = tgα ctg( α) = ctgα Teraz, zauważmy, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 180 o α leży w drugiej ćwiartce oraz k at 180 o + α leży w trzeciej ćwiartce. sin(180 o α) = sinα cos(180 o α) = cosα tg(180 o α) = tgα ctg(180 O α) = ctgα sin(180 o + α) = sin α cos(180 o + α) = cos α tg(180 O + α) = tgα ctg(180 O + α) = ctgα Zauważmy podobnie, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 270 o α leży w trzeciej ćwiartce oraz k at 180 o + α leży w czwartej ćwiartce. Zatem, mamy nastȩpuj ace wzory redukcyjne: sin(270 o α) = cos α cos(270 o α) = sinα tg(270 o α) = tgα ctg(270 O α) = ctgα sin(270 o + α) = cos α cos(270 o + α) = sinα tg(270 O + α) = ctgα ctg(270 O + α) = tgα
6 6 Niżej w tablicy podajemy zebrane wzory redukcyjne w mierze lukowej k atów. K at sinus cosinus tangens cotangens π α sin( π α) = cos α cos( π α) = sin α tg( π α) = ctgα ctg( π α) = tgα π + α sin( π + α) = cos α cos( π + α) = sinα tg( π + α) = ctgα ctg( π + α) = tgα π α sin(π α) = sinα (cos π α) = cosα tg(π α) = tgα ctg(π α) = ctgα π + α sin(π + α) = sinα cos(π + α) = cosα tg(π + α) = tgα ctg(π + α) = tgα 3π α 2 sin(3π α) = cosα 2 cos(3π α) = sinα 2 tg(3π α) = ctgα 2 tg(3π α) = tgα 2 3π 2 + α sin(3π 2 + α) = cosα cos(3π 2 + α) = sinα tg(3π 2 + α) = ctgα ctg(3π 2 + α) = tgα 2π α sin(2π α) = sinα cos(2π α) = cosα tg(2π α) = tgα ctg(2π α) = ctgα Funkcje Periodyczne Funkcja f(x) określona na ca lej osi liczbowej, dla wszystkich liczb rzeczywistych jest periodyczna, jeżeli istnieje liczbz ω > 0 taka, że f(x + ω) = f(x), (1) dla każdej rzeczywistej wartości argumentu x R. Jasne, że jeżeli funkcja f(x) jest periodyczna o okresie ω > 0, to zachodzi nastȩpuj aca tożsamość: f(x + k ω) = f(x), x R, dla każdego ca lkowitego k = 0, ±1, ±2,... Okresem funkcji f(x) nazywamy najmiejsz a z liczb ω > 0, która spe lnia tożsamość (1). 2 Funkcje trygonometryczne s a periodyczne. Mianowicie, zauważamy, że jeżeli promień R obróci siȩ o 360 o lub w mierze lukowej o 2π, to punkt p = (x 1, y 1 ) wróci do pozycji wyjściowej. Co wiecej, jeżeli promień R obróci siȩ w kierunku dodatnim lub ujemnym o wielokrotność okresu ω = 360 o lub w mierze lukowej o wielokrotność ω = 2π, to punkt p = (x 1, y 1 ) też wróci do pozycji wyjściowej. Okresem funkcji sinus i cosinus jest liczba ω = 360 o lub w mierze lukowej liczba ω = 2π. Natomiast, dla funkcji tanges i cotangens okresem jest liczba miejsza ω = 180 o lub w mierze lukowej ω = π. Istotnie, funkcje tangens i cotangens osi agaj a te same wartości w pierwszej i w trzeciej ćwiartce ko la trygonometrycznego, gdyż tgα = y 1 x 1 = y 1 x 1, oraz ctgα = x 1 y 1 = x 1 y 1, x 1 0, y 1 0. Przyk lad 0.2 Oblicz okres nastȩpuj acej funkcji: f(x) = sin 3 2 x 2 Tożsamość znaczy, że równość zachodzi dla wszystkich rzeczywistych x R.
7 7 Rozawi azanie. Wiemy, że funkcja sinus ma okres ω = 2π. Zatem okresem funkcji f(x) jest liczba ω taka, że f(x + ω) = sin 3 2 (x + ω) = sin(3 2 x ω) = sin(3 2 x + 2π) = sin 3 2 x = f(x) Sk ad obliczamy okres 3 2 ω = 2π, ω = 2π 3 2 = 4 3 π Sprawdzamy, że okresem funkcji f(x) jest liczba ω = 4 π. Istotnie, mamy 3 równość f(x + ω) = f(x π) = sin 3 2 (x π) = sin( 3 2 x π). = sin(x + 2π) = sinx = f(x) Wykresy Funkcji Trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus okreṡlone na ca lej osi liczbowej s a periodyczne o okresie ω = 2π i określone. Wykreślaj ac funkcje trygonometrycznych argument odk ladamy na osi x jak niżej na rysunku. Z określenia funkcji sinus wynika nierȯwnoṡċ sin x = y 1 R 1, gdyz R y 1, dla < x <. Wartości funkcji sinus nie przekraczaj a przedzia lu [ 1, 1]. To znaczy 1 sin x 1 dla wszystkich wartośc rzeczywistych argumentu x, ( < x < ). Istotnie, z określenia funkcji sinus mamy nierȯwnoṡċ sin x = y 1 R 1, gdyz R y 1, dla < x <.
8 8 Podobnie, funkcja cosinus jest periodyczna o okresie 2π i określona dla wszystkich rzeczywistych wartości k ata < x <. Jej warotości nie przekraczaj a przedzia lu [ 1.1], gdyż z okresślenia funkcji cosinusa cos x = x 1 R 1, gdyz R x 1, dla < x <. Funkcje trygonometryczne tangens i cotangens s a periodyczne o okresie ω = π. Istotnie, k at x + π leży w trzeciej ćwiartce ko la trygonometrycznego. Z tabeli odczytujeme wartość tg(x + π) = tgx. Zatem, prawdziwa jest nastȩpuj aca tożsamość: f(x + π) = tg(x + π) = tgx = f(x), dla każdego argumentu w dziedzinie funkcji tangens x D = {x : x kπ 2, k = 0, ±1 ± 2,...; }. i tożsamość f(x + π) = ctg(x + π) = ctgx = f(x), dla każdego argumentu w dziedzinie funkcji cotangens x D = {x : x kπ, k = 0, ±1 ± 2,...; }.
9 9 Wykres funkcji cotangens 0.2 Zadania Zadanie 0.1 D lugoṡci bokȯw trȯjk ata prostok atnego ABC s a rȯwne a = BC = 6, b = AC = 8, c = AB = 10 Oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych sin α, sin β, cos α, cos β, tg α, tg β, cotg α, cotg β k atȯw α, β leż acych naprzeciw odpowiednich bokȯw BC, AC. Zadanie 0.2 (i) Narysuj po lożenie punktȯw p = (p 1, p 2 ) = ( 3, 1), q = (q 1, q 2 ) = ( 3, 1). na kole trygonometrycznych o promieniu R = 2. (ii) Oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych (a) sin 30 0 = p 2 R =, sin 600 = p 1 R = (b) cos 30 0 = p 1 R =, cos 600 = p 2 R = (c) tg 30 0 = p 2 p 1 =, tg 60 0 = p 1 p 2 = (d) cotg 30 0 = p 1 p 2 =, cotg 60 0 = p 2 p 1 =
10 10 (iii) Oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych (a) sin = q 2 R =, sin 2400 = q 1 R = (b) cos = q 1 R =, cos 2400 = q 2 R = (c) tg = q 2 q 1 =, tg = q 1 q 2 = (d) cotg = q 1 q 2 =, cotg = q 2 q 1 = Zadanie 0.3 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych (a) sin = sin = (b) cos = cos = (c) tg = tg = (d) cotg = cotg = Zadanie 0.4 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych (a) sin = sin = (b) cos = cos = (c) tg = tg = (d) cotg = cotg = Zadanie 0.5 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych (a) sin = sin = (b) cos = cos = (c) tg = tg = (d) cotg = cotg = Zadanie 0.6 (i) Oblicz okres nastȩpuj acej funkcji: (a) f(x) = sin 1 3 x, (b) f(x) = cos1 3 x. (c) f(x) = tg 1 3 x, (d) f(x) = cotg1 3 x.
11 11 Zadanie 0.7 Narysuj wykres funkcji (i) f(x) = sin 1 x, dla 0 x 6π 3 (ii) f(x) = tg 1 x dla 3π x 3π. 3 Prof. dr Tadeusz STYṠ Warszawa, 14 marzec, 2019
Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoMatematyka kompendium 2
Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / 3 1 3 ctg α 3 1 3 / 3 Związki między funkcjami
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej sin α = b c. Cosinusem kąta ostrego
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej sin = b c. Cosinusem kąta ostrego nazywamy
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoPierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
Bardziej szczegółowo1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2.
Funkcje trygonometryczne. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC =..Rozwiążtrójkątprostokatnymającdaneprzyprostokątne
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności trygonometryczne
Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Bardziej szczegółowoDefinicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
1 Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowoFunkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Bardziej szczegółowoWzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)
Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne
Bardziej szczegółowoGeometria przestrzenna. Stereometria
1 Geometria przestrzenna. Stereometria 0.1 Graniastos lupy Graniastos lup to wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, s a przystaj cymi wielok atami leż acymi w p laszczyznach równoleg lych,
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA
SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 z y 0 x Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 2018 1 1 Projekt trzynasty
Bardziej szczegółowoAsymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE
Bardziej szczegółowo7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Bardziej szczegółowo0.1 Reprezentacja liczb w komputerze
1 0.1 Reprezentacja liczb w komputerze Zapis liczb w zmiennym przecinku. U lamki dziesiȩtne w laṡciwe i niew laṡciwe piszemy oddzielaj ac czȩṡċ ca lkowit a od czȩṡci u lamkowej w laṡciwej przecinkiem w
Bardziej szczegółowoSkrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 19 Trygonometria: 9. Proste
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoRepetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan
Repetytorium Zajęcia w semestrze zimowym 01/013 Ewa Cygan Wersja z 15 stycznia 013 Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia Na najbliższe zajęcia (11.10.) proszę o rozwiązanie (bądź powtórzenie sobie rozwiązań
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 8 KWIETNIA 2017 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Funkcja f określona
Bardziej szczegółowoKLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:
KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY 7. Planimetria. Uczeń: 1) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowo0.1 Kombinatoryka. n! = (n 1) n. Przyjmujemy umownie że 0! = 1 Wypiszmy silnie kolejnych liczb naturalnych
1 0.1 Kombinatoryka Kombinatoryka obejmuje takie pojȩcia jak silnia liczby naturalnej n, permutacje, wariacje bez powtȯrzeṅ i wariacje z powtȯrzeniami oraz kombinacje. Niżej podajemy opis tych pojȩċ z
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowoTożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autor: Anna
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0
Bardziej szczegółowo=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Silnia, Kombinacje i Wariacje n! = 1 2 3 (n 1) n, silnia Cn k n! = k!(n k)!, kombinacje Vn k n! =, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje
Bardziej szczegółowoFunkcją sinus kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, i opisujemy jako:
1. Trygonometria 1.1Wprowadzenie Jednym z podstawowych działów matematyki który wykorzystywany jest w rozwiązywaniu problemów technicznych jest trygonometria. W szkole średniej wprowadzone zostały podstawowe
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności
Układy równań i nierówności Zad : Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań: + y m = 0 + y = 0 y jest para liczb x, y spełniająca warunek: =? x Odp: m = lub m = 4 Zad : Dla jakich wartości
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( Liczba 9 3 6 4 27) jest
Bardziej szczegółowoOstatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji: Przekształcania wykresów funkcji trygonometrycznych
1 Scenariusz lekcji: Przekształcania wykresów funkcji trygonometrycznych 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń wie: jakie są kolejne etapy podczas składania wykresów funkcji trygonometrycznych, jakie są własności
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY
Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1
Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowona p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0
Chapter 1 Interpolacja 1.1 Interpolacja liniowa Zacznijmy opis pojȩcia inter-polacji od prostego przyk ladu. Przyk lad 1.1 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 3 godzinach jazdy, jeżeli po jednej
Bardziej szczegółowoZadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3
ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowo2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6
Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN Z 1. SEMESTRU KLASY 2 ROZSZ
www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI SPRWZIN Z 1. SEMESTRU KLSY 2 ROZSZ ZNIE 1 (5 PKT) Funkcja f określona jest wzorem f (x) = (3m 5)x 2 (2m 1)x + 0, 25(3m 5). Wyznacz te wartości
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz
Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6
Bardziej szczegółowo( 2) 6 III EDYCJA MIĘDZYSZKOLNEGO KONKURSU MATEMATYCZNEGO DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH O PROFILU ZAWODOWYM I TECHNICZNYM.
GRUPA WIEKOWA I część pierwsza Na rozwiązanie zadań masz godzinę lekcyjną Za kaŝde zadanie moŝesz zdobyć 1 punkt Wyznacz iloraz NWW (35,14) NWD(16,38) Zamień ułamek 0,(27) na ułamek zwykły Płaszcz z ceny
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 194057 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) { 21x 14y = 28 Rozwiazaniem
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 KWIETNIA 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych
Bardziej szczegółowoZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log )
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;, 333...; 3, (); 3 5; ( ) 0 ; 7 9 ; 4, 000000...; 3 7 7 3 ; 3 3 3. Zad. Dane są liczby
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowoPODSTAWA PROGRAMOWA - LICEUM
PODSTAWA PROGRAMOWA - LICEUM omówiona na sposób jak by lo a teraz nie bȩdzie (Marzec 24, Rok 12, godzina zwyk la) Edward Tutaj Deklaracja wstȩpna W tej czȩści kontrprzyk lady zaczerpniȩte bȩd a z dwu źróde
Bardziej szczegółowoIn the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.
!" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN NR 1 GRUPA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: Wszelkie prawa zastrzeżone 1 ANNA KLAUZA
SPRAWDZIAN NR 1 ANNA KLAUZA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Uzupełnij zdania. Wpisz w każdą lukę odpowiednią liczbę. a) Dziedziną funkcji jest zbiór x takich, że x. b) Zbiorem wartości funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowo