MATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE

Transkrypt

1 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0 δ % = fl() MATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE 100% Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA Czwarty projekt

2 2

3 Contents 1 Reprezentacja liczb w komputerze Zapis liczb w zmiennym przecinku B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia B l ad wzglȩdny zaokr aglenia

4 4

5 Chapter 1 Reprezentacja liczb w komputerze. Liczby w zapisie dziesiȩtnym zokr aglamy na r-tym miejscu po przecinku w ten sposób, że do cyfry na r-tym miejscu dodajemy 1, jeżeli nastȩpna cyfra jest wiȩksza lub równa 5. W przeciwnym razie cyfry po r-ym miejscu kasujemy. Operacje zaokr aglania liczby na r-tym miejscu, oznaczmy symbolem fl r (). Przyk lad 1.1 Zaokr aglamy liczbȩ 22 na 5-tym miejscu po przecinku jak nastȩpuje: = ; fl 5( ) = , r = Zapis liczb w zmiennym przecinku W obliczeniach z użyciem systemów obliczeniowych i komputerów liczby zapisywane s a w postaci zmiennego przecinka = m10 c, m mantysa, c cecha, gdzie mantysa m = 0.α 1 α 2...α r ; α 1 0 ; 0 α i 9 ; i = 1, 2,..., r Najbardziej znacz aca cyfra α 1 0 jest zawsze różna od zera. Dlatego mantysa m spe lnia nastȩpuj a a nierówność 0.1 m < 1. Jasne, że liczba może mieć dok ladn a zmienno przecinkow a reprezentacje w komputerze, jeżeli jej mantysa ma skończon a liczbȩ cyfr. Na przyk lad 1 4 ma dok ladn a reprezentacje gdyż jej mantysa m = 0.25 i cecha c = 0. Natomiast, mantysa liczby 1 3 = ma nieskończenie wiele cyfr m = , i nie ma dok ladnej reprezentacji komputerowej. Jednakże, każd a liczbȩ, nawet z nieskończon a mantys a, można zapisać w komputerze z dok ladności a b lȩdu zaokr agleń mantysy na r-tym miejscu po przecinku ɛ }{{} 5 = r. r zer 5

6 6 Na przyk lad = 2 3 = zaokr aglone na 4-tym miejscu po przecinku (r = 4) ma b l ad zaokr agleń ɛ = fl() = Zadanie 1.1 Zaokr aglij nastȩpuj ace liczby na 3-cim miejscu po przecinku i zapisz je w zmiennym przecinku 2 3 4, 29 7, Oszacuj b l ad zaokr agleń. 1.2 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia. Bezwzglȩdny b l ad zaokr aglenia liczby = m10 c Ten b l ad spe lnia nierówność gdzie ɛ = r. ɛ = fl r () fl r () ɛ 10 c, = , r = 3. Wtedy b l ad bezwglȩdny liczby na trzecim miejscu po przecinkuzlȩdny zaok aglenia wynosi fl 3 ( ) = = < = B l ad wzglȩdny zaokr aglenia. Wzglȩdny b l ad zaokr aglenia danej liczby = m 10 c 0 określamy jak nastȩpuje: δ = ɛ = fl r() gdy 0. Ponieważ mantysa m 0.1, dlatego b l ad wzglȩdny spe lnia nierówność Rzeczywiście, fl r() fl r() = fl r( m10 c ) ± m10 c m10 c r, r m 10ɛ = r. Tak wiȩc b l ad wzglȩdny nie przewyższa komputerowej precyzji δ = r. Na przyk lad, jeżeli r = 3 wtedy komputerowa precyzja δ =

7 7 Obliczamy wzglȩdny b l ad zaokr aglenia liczby = fl() = = B l ad wzglȩdny bezpośrednio zwi azany jest z b lȩdem procentowym. Mianowicie, b l ad procentowy wyraża siȩ wzorem p% = 100 δ % = 100 fl() % gdy 0. Obliczamy, b l ad procentowy liczby = p% = % = % = %. Oczywiście, wyniki obliczeń w komputerze czterech arytmetycznych operacji ± y, y i dzielenia /y na ogó l s a niedok ladne, nawet jeżeli i y s a dane w postaci dok ladnej. Na przyk lad, niech = i y = bȩd a 8-cyfrowymi liczbami w 8-mio cyfrowej arytmetyce w komputerze, (8-cyfr mantysa). Zauważamy, że wynik mnożenia y = ma 15-sto cyfrow a mantysȩ m = , która automatycznie jest zaokr aglona w komputerze do 8 cyfrowej mantysy z b lȩdem bezwzglȩdnym ɛ = Przyk lad 1.2 Oblicz wartość wyrażenia arytmetycznego w 3 i 5-cio cyfrowej arytmetyce liczb w zapisie zmienno - przecinkowym Podaj: b l ad bezwzglȩdny, b l ad wzglȩdny i b l ad procentowy obliczeń Rozwi azanie. Najpierw, napiszemy liczby = 2 1 3, y = 31 7, z = 45.27, t = 42 9 w postaci zmiennego przecinka, potem zaokr aglimy do miejsca r = 3 i podamy b l ad zaokr aglenia każdej z danych liczb = = ; fl 3() = , ɛ = ; y = = ; fl 3(y) = , ɛ y = ; z = fl 3 (z) = , ɛ z = 0.07 t = = ; fl 3(t) = , ɛ t = ; Dalej, stosuj ac regu ly kolejności wykonywania operacji arytmetycznych, mnożenie, dzielenie, dodawanie i odejmowanie, obliczmy wartość wyrażenia w arytmetyce 3-cyfrowej: Iloczyn = fl 3 (2 1 3 ) fl 3(3 1 7 ) = fl 3( ) = fl 3 (7.3162) = 7.32 Suma = fl 3 ( fl 3 (45.274)) = fl 3 ( ) = fl 3 (52.62) = 52.6 Licznik = 52.6, M ianownik = 4.22, Licznik Mianownik = fl 3 ( ) = fl 3( ) = 12.5,

8 8 Odpowied z: Wartość wyrażenia artmetycznego obliczonego w 3 cyfrowej arytmetyce wynosi 12.5 Teraz obliczmy wartość tego wyrażenia w 5-cio cyfrowej arytmetyce. Mamy nastȩpuj ace dane: = = ; fl 5() = , ɛ = ; y = 3fl = ; fl 5(y) = , ɛ y = ; z = fl 5 (z) = , ɛ z = 0.0 t = = ; fl 5(t) = , ɛ t = ; Podobnie, obliczmy wartość wyrażenia arytmetycznego w 5-cio cyfrowej arytmetyce Iloczyn = fl 5 (2 1 3 ) fl 5(3 1 7 ) = fl 5( ) = fl 3 ( ) = Suma = fl 5 ( fl 5 (45.27)) = fl 5 ( ) = fl 5 ( ) = Licznik = , M ianownik = , Licznik Mianownik = fl 5 ( ) = fl 3( ) = Odpowied z: Wartość wyrażenia artmetycznego obliczonego wyżej w 5-cio cyfrowej arytmetyce wynosi B lȩdy: Dok ladna wartość wyrażenia: = B l ad bezwglȩdny zaokr agleń w 3 cyfrowej arytmetyce = B l ad wzglȩdny zaokr agleń w 3 cyfrowej arytmetyce = = ; 0.345% B l adu bezwglȩdny zaokr agleń w 5 cyfrowej arytmetyce = B l ad wzglȩdny zaokr agleń w 5 cyfrowej arytmetyce = = ; 0.016% Zadanie 1.2 Oblicz wartość nastȩpij acego wyrażenia arytmetycznego w 3 i 5-cio cyfrowej arytmetyce liczb w zapisie zienno - przecinkowym Podaj b lȩdy: bezwzglȩdny, wzglȩdny i procentowy obliczeń