Macierz X ma wymiary: 27 wierszy (liczba obserwacji) x 6 kolumn (kolumna jednostkowa i 5 kolumn ze zmiennymi objaśniającymi) X

Transkrypt

1 ROZWIĄZANIA ZADAO Zadanie EKONOMETRIA_dw_.xls Na podsawie danych zamieszczonych w arkuszu Zadanie. Podad posad analiyczną modelu ekonomerycznego wielkości produkcji w przemyśle od PO - liczby pracujących ogółem (ys. osób), PF - przychodów finansowych przedsiębiorsw (mln zł), SPI - wielkości spożycia indywidualnego (mln zł), NSTB - nakładów na środki rwałe (mln zł), EX - eksporu (mln zł). Za pomocą opisanych klasyfikacji scharakeryzowad rodzaj modelu. Jes o równanie modelu: jednorównaniowego, opisowego, sochasycznego, liniowego, przyczynowoskukowego, dynamicznego;. Na podsawie obliczeo w programie MS Excel podad warości macierzy: (XTX)-, XTy Aby uworzyd macierz X, do szeregów (kolumn) ze zmiennymi objaśniającymi dosawiamy (przed zmiennymi) kolumnę z jedynkami inaczej wekor jednoskowy, umożliwiający oszacowanie wyrazu wolnego modelu liniowego CDE 0 0 PO 3 PF 4 SPI 5 NBST 6 Macierz X ma wymiary: EX 7 wierszy (liczba obserwacji) x 6 kolumn (kolumna jednoskowa i 5 kolumn ze zmiennymi objaśniającymi) X ,8 8057,3 8584, , 37, 990, , 485, ,5 7096, 9887, , , , , , 05760, ,9 4963,4 093, , , ,5 3850, 407, ,6 6988, , ,7 94, , 0874, 6685, ,5 4577,8 6584, , , , ,9 784, , ,6 4955, , ,4 876, , ,8 34, , ,5 345, , 08540, , , , ,3 6435,3 5864, , , , ,4 545, , ,9 4394,8 566, , 678, , , ,8 706,9 Pierwszym krokiem wyznaczenia (XTX)- jes ranspozycja macierzy X wiersze sają się kolumnami a kolumny wierszami W Exclu: >> zaznaczyć obszar kolumn macierzy bez nazw zmiennych >> Edycja >> Kopiuj=Crl+C >> Edycja >> Wklej specjalnie >> Transponuj] X T : , ,5 65,3 6867, , , , , , 95669,5 9868, , ,5 0649, , ,5 980, 6348,8 48,3 7979,5 445, ,9 890, 3330,6 8057,3 37, 485,4 7096, 30486, , 4963, , 533, ,7 0874, 4577, , , , , , , , 39908,7 6435, ,4 545,7 4394,8 678, ,8 8584,4 990, , , ,5 093,4 66,8 407,9 6988,8 94, 6685, 6584, ,9 4955,3 876,5 34,8 345, , 5864, , ,7 566, 66944, 706,9 Mnożenie macierzy Aby pomnożyd macierz przez macierz należy sprawdzid czy Liczba kolumn I macierzy = Liczba wierszy II macierzy Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona z 9

2 Wymiar macierzy wynikowej iloczynu Liczba wierszy macierzy I x Liczba kolumn macierzy II Macierz X T ma wymiary 6x7 X ma wymiary 7x6, Warunek koniczny mnożenia macierzy jes spełniony 7=7 Nowa macierz X T X będzie miała wymiary 6x6 Mnożenie macierzy w Excelu: >> zaznaczyć obszar o wymiarach nowej macierzy: 6 wierszy x 6 kolumn >> w pasku formuły (pod menu) wpisać funkcję: MACIERZ.ILOCZYN(zaznaczyć obszar macierzy XT;zaznaczyć obszar macierzy X) SHIFT+CTRL+ENTER X T X E , ,4E+09 3,E+ 7,88E+0,6E+0 5,7E ,E+,6E+5 3,85E+3,3E+3,5933E ,8 7,9E+0 3,9E+3 9,83E+ 3,E+ 6,587E ,8,6E+0,3E+3 3,E+,9E+,774E ,7 5,3E+0,6E+3 6,59E+,8E+ 4,437E+ Aby uzyskad odwronośd macierzy XTX czyli (XTX)- w oknie formuły należy wpisad: MACIERZ.ODW(zaznaczyć macierz XTX) SHIFT+CTRL+ENTER (X T X) - 76, ,007 8,E-08 0,0000 6,E-05 5,9576E-05-0, ,8E-07 -,E- -,5E-08-7,8E-09-8,97E-0 8,48E-08 -E- 9,7E-5-8,5E-3-4,5E-3 5,369E-3 0, E-08-8,5E-3,5E-09 3,88E-0-9,89E-0 6,087E-05-7E-09-4,E-3 3,88E-0,4E-0 -,644E-0 5,9576E-05-9E-0 5,E-3-9,8E-0 -,64E-0,085E-09 Aby wyznaczyd X T y należy macierz X T pomnożyd przez wekor y Wymiary macierzy X T : 6 wierszy x 7 kolumn Wymiary wekora y: 7 wierszy x kolumnę Wymiary nowej macierzy po wymnożeniu X T y: 6 wierszy x kolumnę X T y , ,34967E+3 3,49E+,5468E+,9675E+ 3. Wyznaczyd wekor oszacowao paramerów srukuralnych modelu. W celu wyznaczenia oszacowao paramerów srukuralnych modelu należy wyznaczyd warości wekora a ze wzoru: a αˆ (X Wcześniej zosały wyznaczone macierze (XTX)- oraz XTy. Po wymnożeniu macierzy orzymujemy T X) - X a0 8886,5863 a -9, a -0, a3 0, a4 0, a5-0,35469 T y Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona z 9

3 4. Dokonad inerpreacji uzyskanych oszacowao paramerów a0 = 8886,59 wyrazu wolnego w modelu przyczynowo-skukowym nie inerpreujemy. Warośd parameru wskazywałaby na wielkośd produkcji w sekorze przemysłowym (zmienna objaśniana CDE), gdyby pozosałe zmienne objaśniające w modelu przyjmowały warośd 0. a =-9,30 Wraz ze wzrosem liczby pracujących ogółem o ys. osób wielkośd produkcji w przemyśle spadnie o 9,30 mln zł, przy założeniu że warości pozosałych zmiennych objaśniających nie ulegną zmianie (ceeris paribus). a =-0,000 Wzros przychodów finansowych przedsiębiorsw o mln zł powoduje przecięnie spadek wielkości produkcji w przemyśle 0,000 mln zł czyli 00 zł, przy założeniu, że warości pozosałych zmiennych objaśniających nie ulegną zmianie. a3 = 0,66 - Jednoskowy wzros spożycia indywidualnego (o mln zł) powoduje wzros produkcji w przemyśle przecięnie o 0,66 mln zł, przy założeniu ceeris paribus. a4 = 0,43 - Wraz ze wzrosem nakładów na środki rwałe o mln zł, wielkośd produkcji w przemyśle rośnie przecięnie o 0,43 mln zł, przy założeniu, że warości pozosałych zmiennych objaśniających pozosają na sałym poziomie. a5 = -0,4 - Wzros warości eksporu o mln zł powoduje spadek wielkości produkcji w przemyśle przecięnie o 0,4 mln zł, przy założeniu ceeris paribus. 5. Wyznaczyd warości eoreyczne modelu. Wyznaczenie warości eoreycznych modelu polega na podsawieniu do wzoru oszacowanego równania modelu, warości zmiennych objaśniających oraz obliczenie na ej podsawie warości zmiennej objaśnianej. Dla I. kwarału 005 warośd eoreyczna CDE (zmiennej objaśnianej wielkości produkcji przemysłowej) wynosi: CDE_eore PO PF SPI NBST EX ,30 =8886,59-9,30*3767-0,000* ,66*5739,8 +0,43*8057,3-0,4*8584,4 Dla pozosałych kwarałów warości eoreyczne (oszacowane na podsawie modelu) wynoszą: kwarał CDE_eore , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,93 Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 3 z 9

4 , , , , , ,88 6. Wyznaczyd reszy modelu. Reszy modelu sanowią różnicę pomiędzy warościami empirycznymi (rzeczywisymi) zmiennej objaśnianej oraz warościami eoreycznymi wyznaczonymi na podsawie modelu. e i Y i Yˆ kwarał e CDE CDE_eore ,90 = 537, , ,50 = 4746,0-535, ,03 = 50634, , ,07 = 639, , ,47 = 5430, , ,4 = 599, , ,06 = 5474, , ,5 = 68457, , ,80 = 5977, , ,44 = 5680, , ,48 = 609, , ,76 = 74394,40-795, ,60 = 65950, , ,59 = 699, , ,5 = 64555, , ,97 = 760, , ,94 = 73965, , ,39 = 65877, , ,94 = 66553,80-74, ,53 = 8763, , ,3 = 67508, , ,63 = 67735, , ,78 = 6760, , ,73 = 9997, , ,7 = 873, , ,07 = 7366, , ,8 = 7364, ,88 i 7. Obliczyd wariancję oraz odchylenie sandardowe resz modelu. Wariancja resz modelu obliczana jes na podsawie wzoru: S e N K N i ( e ) i Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 4 z 9

5 Zaczynamy od wyznaczenia kwadraów resz,(poęga. w Excelu: ^) nasępnie sumujemy kwadray resz, co daje warośd: Warośd ę dzielimy przez N-liczba obserwacji K-liczba paramerów przy zmiennych objaśniających i wyraz wolny N=7, K=6, N-K=, S = /= Odchylenie sandardowe resz (inaczej błąd oszacowania modelu) sanowi pierwiasek z wariancji resz: S=(877659)^(/) S=4333,88 Szacując wielkości produkcji przemysłowej na podsawie modelu mylimy się średnio o +/- 4333,88 mln zł. 8. Wyznaczyd błędy szacunku paramerów srukuralnych. W celu wyznaczenia błędów szacunku paramerów srukuralnych należy na począku wyznaczyd wariancję oszacowao ych paramerów. W ym celu należy pomnożyd wariancje resz modelu przez elemeny znajdujące się na przekąnej podanej macierzy. Uzyskane w en sposób warości będą sanowiły wariancje oszacowao paramerów. D ( a) Se (X T X) - Aby obliczyd błędy szacunku paramerów (inaczej średnie błędy paramerów) należy z wariancji wyciągnąd pierwiasek drugiego sopnia. Błędy szacunku kolejnych paramerów modelu (zaczynając od wyrazu wolnego) 40797, 83, , ,838 70, , ,838 70, , , , , , , , , , , , , ,6 Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 5 z 9

6 0569 0, ,6056 9Sza cując param er przy zmienn ej pracują cy ogółe m (PO) mylimy się średnio o +/- 3,84. 0, , Szac ując param er przy zmienn ej pracują cy ogółe m (PO) mylimy się średnio o +/- 3,84. 0,60 569S zacując param er przy zmienn ej pracują cy ogółe m (PO) mylimy się średnio o +/- 3,84. Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 6 z 9

7 0,605 69Sz acując param er przy zmienn ej pracują cy ogółe m (PO) mylimy się średnio o +/- 3,84. Szacując paramer przy zmiennej pracujący ogółem (PO) mylimy się średnio o +/- 3,84. Zadanie. Wykorzysując poniższe dane saysyczne: (X T X) X T y 8 5 y oznacza popy na soki owocowe (w lirach na osobę), ceny soków (w zł/lir).. Oszacowad paramery srukuralne nasępującego modelu: y 0 x x x - dochody osobise ludności (w zł/osobę), Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 7 z 9 Aby oszacowad paramery srukuralne modelu należy skorzysad ze wzoru: a αˆ (X Oznacza o, że mnożymy macierz przez wekor. Po pierwsze sprawdzamy czy liczba kolumn macierzy jes równa liczbie wierszy wekora. Mamy 3 kolumny i 3 wiersze. Nowa macierz będzie miała wymiary: 3 wiersze na kolumnę. Mnożymy każdy elemen z i-ego wiersza przez elemen z j-ej kolumny. Czyli elemen a w nowej macierzy będzie sanowił sumę iloczynów elemeny z. wiersza pomnożone przez elemeny z. kolumny a nasępnie zsumowane iloczyny. a= *0-*8+0*5 = -*0+*8-*5 = 0*0-*8+,33*5 =-,35. Zinerpreowad orzymane wyniki. Wraz ze wzrosem dochodów osobisych ludności o zł na osobę, popy na soki rósł przecięnie o lir na osobę, przy założeniu, że pozosałe czynniki pozosawały na sałym poziomie. Wzros ceny soku o zł za lir powodował przecięnie spadek popyu na soki o,35 lira na osobę, przy założeniu, że dochód pozosawał bez zmian. Zadanie. (Kukuła 006, s. 76.). Zweryfikowad saysyczną isonośd ocen paramerów srukuralnych modelu T X) - X T y x -

8 ( X T X) ˆ Y 53,8 5,4X 6, 0X 3,4 0,40 0,0 0,40, 0,70 Isonośd saysyczną weryfikujemy na podsawie esu -Sudena.. Określamy hipoezy esu: 0,0 0,70 0,64, S=, =,0 H0: paramer jes równy zero, więc nie jes isony saysycznie, zmienna przy kórej soi nie ma isonego wpływu na poziom zmiennej objaśnianej. H: paramer jes różny od zera, więc jes isony saysycznie, zmienna przy kórej soi ma isony wpływ na poziom zmiennej objaśnianej. Obliczamy saykę esu dla poszczególnych oszacowao (ocen) paramerów na podsawie wzoru: ˆ i ( ˆ i) S( ˆ ) czyli dzielimy paramer przez błąd szacunku ego parameru. i, W danych do zadania mamy oceny paramerów, nie mamy błędów ych oszacowao. W celu wyznaczenia wariancji a nasępnie błędów szacunku paramerów korzysamy ze wzoru: D ( a) Se (X T X) - S (a0)=3,4*4=,96 S(a0)=3,6 (a0)=53,8/3,6 (a0)=4,94 > (kry)=,0 S (a)=,*4=4,84 S(a)=, (a)=5,4/, (a)=,54 > (kry)=,0 S (a)=0,64*4=,56 S(a)=,6 (a)=6,0/,6 (a)=3,75 > (kry)=,0 Dla wszyskich ocen paramerów obliczone saysyki esu -Sudena były większe od poziomu kryycznego odczyanego z ablic. Na podsawie wyników esu należy wnioskowad o odrzuceniu hipoezy zerowej na rzecz hipoezy alernaywnej dla każdego z oszacowao paramerów. Każdy z paramerów jes isonie różny od zera, a więc zmienna objaśniająca sojąca przy ym paramerze isonie wpływa na poziom zmiennej objaśnianej. Zadanie 3. Oszacowano model ekonomeryczny: Yˆ, 0,55X S( ˆ) (0,5) (0,3) 90,50X (35,5) R = 0,76, n = 30, =,0. Ocenid dokładnośd szacunku paramerów Oceny dokładności szacunku paramerów dokonujemy na podsawie warości błędów (bezwzględna miara) oraz saysykę (względna miara) Szacując wyraz wolny (a0) mylimy się średnio o +/- 0,5. Na podsawie warości saysyki należy swierdzid, że oszacowany paramer jes,44 raza większy od błędu oszacowania. Szacując paramer sojący przy zmiennej X mylimy się średnio o +/- 0,3. Oszacowany paramer jes,83 raza większy od warości błędu oszacowania, co wskazuje na niską dokładnośd oszacowania parameru. Szacując paramer sojący przy zmiennej X mylimy się średnio o +/- 35,5. Warośd oceny parameru przekracza warośd błędu oszacowania,55 raza.. Ocenid dopasowanie modelu do danych Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 8 z 9

9 Na podsawie warości współczynnika deerminacji należy swierdzid, że model w 76% objaśnia kszałowanie się warości rzeczywisych zmiennej objaśnianej. 3. Zweryfikowad hipoezę o isoności zmiennych objaśniających. H0 esu -Sudena mówi o ym, że paramer sojący przy danej zmiennej jes równy 0, czyli nie jes isony saysycznie, a zmienna objaśniająca sojąca przy nim nie ma isonego wpływu na zmienną objaśnianą. H esu -Sudena mówi, że badany paramer jes isonie różny od 0, więc jes isony saysycznie, więc zmienna przy kórej soi isonie wpływa na poziom zmiennej objaśnianej. Saysyki esowe dla ocen poszczególnych paramerów wynoszą: (a0) = a0/s(a0) =,44 >,0 (a) = a/s(a) =,8 <,0 (a) = a/s(a) =,55 >,0 odrzucany H0 na rzecz H nie ma podsaw do odrzucenia H0 odrzucamy H0 na rzecz H Na podsawie wyników esu należy swierdzid, że isony wpływ na kszałowanie się zmiennej objaśnianej ma jedynie zmienna X. 4. Wyznaczyd i zinerpreowad współczynnik zbieżności. Współczynnik zbieżności jes obliczany wg wzoru: R Współczynnik zbieżności *fi kwadra+ wynosi -0,76=0,6. W 6% model nie objaśnia kszałowania się warości rzeczywisych zmiennej objaśnianej. Zadanie 4. Podczas szacowania MNK paramerów modelu ekonomerycznego: orzymano nasępujące wyniki: ( X T X ) 3 y 4 0 x x y 3 X T 63 n e n 0. Podad oszacowania paramerów ego modelu. W celu wyznaczenia oszacowao paramerów korzysamy ze wzoru: a αˆ (X Mnożymy dwie macierze. Sprawdzamy wymiary (3 kolumny I macierzy = 3 wiersze II macierzy). Macierz wynikowa będzie miała wymiary 3 wiersze x kolumnę. T X) - X a = *+*3+* =9 =a0 T y -*+3*3+* =8=a *+*3+4* ==a. Obliczyd i zinerpreowad warośd odchylenia sandardowego resz (błędu średniego modelu). Warośd odchylenia sandardowego resz (inaczej błąd modelu, błąd sandardowy resz) wyznaczamy na podsawie wzoru na wariancję resz: S e N K N liczba obserwacji = 0, K liczba paramerów srukuralnych (wyraz wolny + paramery przy zmiennych objaśniających) = 3. N-K=0-3=7 Sumę kwadraów resz modelu 63 Dzielimy przez liczbę sopni swobody 0-3=7 N i ( e ) i Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 9 z 9

10 S =63/7=9 S=(9)^(/)=3 Odchylenie sandardowe resz wynosi 3. Warości eoreyczne odchylają się przecięnie od warości rzeczywisych o +/- 3 jednoski zmiennej objaśnianej. Zadanie 5. Podczas szacowania MNK paramerów modelu ekonomerycznego posaci na podsawie danych z 6 wojewódzw uzyskano nasępujące wyniki: Zapisad równanie modelu. Aby zapisad równanie modelu, należy wyznaczyd oceny paramerów na podsawie wzoru: a αˆ (X Sprawdzamy zgodnośd odpowiednich wymiarów mnożonych macierzy. kolumny I macierzy = wiersze II macierzy. Wymiary nowej macierzy o wiersze (I macierz) x kolumna (II macierz) Posad równania po oszacowaniu paramerów: T X) - X a= 4*-* =0 = a0 T y -*+3* =4 = a ˆ y 4x Obliczyd średni błąd modelu oraz go zinerpreowad. Średni błąd modelu, inaczej błąd sandardowy resz jes wyznaczany na podsawie wzoru wariancji resz: S e N K Suma kwadraów resz wynosi,4. Warośd ę dzielimy przez liczbę sopni swobody: N (liczba obserwacji): 6, K liczba paramerów srukuralnych (szacowanych : wyraz wolny i paramer przy zmiennej X. S e Se 0, 0,3 Warości eoreyczne odchylają się od warości rzeczywisych o +/- 0,3 jednosek zmiennej objaśnianej. N i ( e ),4,4 0, 6 4 Obliczyd średnie błędy szacunku paramerów. Zinerpreowad. Wariancje ocen paramerów znajdują się na głównej przekąnej macierzy D (a) S S D ( a) Se (X ( ˆ ) 0, 4 0,4 0 ( ˆ ) 0, 3 0,3 i T X) - S( ˆ ) 0 S( ˆ ) 0,4 0,63 0,3 0,55 Szacując wyraz wolny mylimy się średnio o +/- 0,63. Szacując paramer przy zmiennej X mylimy się średnio o +/- 0,55. Zadanie 6. Na podsawie danych z la oszacowano paramery modelu objaśniającego przyros depozyów bankowych gospodarsw domowych (mln zł): Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 0 z 9

11 W nawiasach podano błędy średnie ocen paramerów. gdzie: Y nominalne roczne dochody gospodarsw domowych w mld zł, E cena USD w złoych, R nominalna, przecięna sopa oprocenowania depozyów bankowych, Z80 zmienna zerojedynkowa o warości w roku 980 i 0 w pozosałych laach. Zinerpreuj paramery ego modelu. Wraz ze wzrosem dochodów gospodarsw domowych o mld zł poziom depozyów bankowych rośnie przecięnie o 0,08 mln zł, przy założeniu, że warości pozosałych zmiennych objaśniających pozosaną na sały poziomie. Wzros kursu dolara o zł, powoduje spadek warości depozyów bankowych gospodarsw domowych przecięnie o 0,645 mln zł, przy założeniu ceeris paribus. Wzrosowi nominalnej, przecięnej sopy oprocenowania depozyów o punk procenowy owarzyszy wzros warości depozyów bankowych o 5,9 mln zł, przy założeniu, że pozosałe zmienne objaśniające pozosaną na sałym poziomie. W roku 980 łączna warośd depozyów bankowych była niższa o 37,44 mln zł niż w pozosałych laach. Czy model jes akcepowalny pod względem meryorycznym (ekonomicznym)? Odpowiedź uzasadnij. Ocena meryoryczna modelu polega na zbadaniu czy kierunek zależności pomiędzy zmienną objaśnianą i poszczególnymi zmiennymi objaśniającymi jes zgodny z eorią ekonomiczną. Wzros dochodów deerminuje możliwośd zwiększenie oszczędności, czyli powiększenie depozyów bankowych znak przy ocenie parameru dla zmiennej dochody gospodarsw domowych jes zgodny z eorią ekonomiczną. Wzros ceny dolara przekłada się na wzros cen np. ropy nafowej, co również jes związane z wzrosem koszów urzymania, wydaków konsumpcyjnych. W en sposób spada zaineresowanie zakładaniem depozyów bankowych. Dodakowo, wzros kursu dolara powoduje, że chęniej inwesujemy w waluę zamias lokay bankowe (znak przy ocenie parameru zgodny z zakładaną eorią). Wzros nominalnych sóp procenowych przekłada się na większe zwrou z kapiału na lokaach bankowych (znak przy ocenie parameru zgodny z eorią ekonomiczną). W 980 wysępował kryzys gospodarczy. Spadek warości depozyów bankowych był znaczący, dlaego dla ego roku, aby poprawid (w sposób szuczny) dopasowanie modelu do danych empirycznych, wprowadzono zmienną zero-jedynkową. W jakim sopniu objaśniona zosała zmiennośd przyrosu oszczędności? Na podsawie warości współczynnika deerminacji, należy swierdzid, że model w 99,% (bardzo wysokie dopasowanie) objaśnia przyros oszczędności lokowanych na depozyach bankowych. Czy na podsawie wyników modelu można powierdzid wysępowanie związku pomiędzy przyrosem oszczędności a kursem dolara? Odpowiedź uzasadnij. Aby ocenid wysępowanie związku pomiędzy przyrosem oszczędności a kursem dolara należy zweryfikowad hipoezy esu isoności oceny parameru przy ej zmiennej. H0 esu -Sudena mówi o ym, że paramer sojący przy danej zmiennej jes równy 0, czyli nie jes isony saysycznie, a zmienna objaśniająca sojąca przy nim nie ma isonego wpływu na zmienną objaśnianą. H esu -Sudena mówi, że badany paramer jes isonie różny od 0, więc jes isony saysycznie, więc zmienna przy kórej soi isonie wpływa na poziom zmiennej objaśnianej. Saysyka esowa ˆ 0,645 ˆ ( ) 0,785 ( ˆ ) o,3 ( ˆ kryyczneg S ) 0,8 Na podsawie esu należy swierdzid, że nie ma podsaw do odrzucenia H0, mówiącej o ym, że paramer sojący przy zmiennej kurs dolara nie jes isony saysycznie. Kszałowanie się kursu dolara w okresie hisorycznym nie miało isonego wpływu na zmiany warości depozyów bankowych (oszczędności). Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona z 9

12 Zadanie 7. Na podsawie danych, odpowiedzied na poniższe pyania: =, Gdzie: LS-liczba sprzedawców (w osobach), C-cena jednoskowa (w zł), P-przychody ze sprzedaży (w ys. zł) Gdzie skorygowany współczynnik deerminacji: R R K N K, gdzie: R Czy zmienne objaśniające w modelu isonie wpływały na kszałowanie się przychodów ze sprzedaży. Korzysamy z esu isoności ocen paramerów -Sudena H0 esu -Sudena mówi o ym, że paramer sojący przy danej zmiennej jes równy 0, czyli nie jes isony saysycznie, a zmienna objaśniająca sojąca przy nim nie ma isonego wpływu na zmienną objaśnianą. H esu -Sudena mówi, że badany paramer jes isonie różny od 0, więc jes isony saysycznie, więc zmienna przy kórej soi isonie wpływa na poziom zmiennej objaśnianej. Saysyka esowa ocen paramerów: ( ˆ ) ( ˆ ) ˆ S( ˆ ) ˆ S( ˆ ) 4,,7,39 ( ˆ ).,53,65 ( ˆ ). 0,93 Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona z 9 kyycznego kyycznego,, W przypadku zmiennej LS liczba sprzedawców w osobach, odrzucamy H0 na rzecz hipoezy alernaywnej. Paramer sojący przy ej zmiennej jes isony saysycznie. Zmienna a isonie wpływa na wielkośd przychodów ze sprzedaży. Wyznaczyd i zinerpreowad warośd współczynnika zmienności reszowej. Se We 00 Y,4 We 00 8,0% 7,6 Średni błąd modelu sanowi 8,0% średniego poziomu zmiennej objaśnianej. Oznacza o, że odchylenia warości eoreycznych od warości rzeczywisych sanowią jedynie 8,0% (mniej niż 0%). Model jes dobrze dopasowany do warości rzeczywisych. Wyznaczyd i zinerpreowad warośd współczynnika zbieżności. R 0,976 0,04,4% Warości eoreyczne oszacowane przez model nie pokrywają warości rzeczywisych w,4%. LUB: Model nie wyjaśnia zmienności warości rzeczywisych przychodów ze sprzedaży w,4%. Wyznaczyd i zinerpreowad skorygowany współczynnik deerminacji. K R R N K 3 R 0,976 0,04 97,% 03 Model wyjaśnia zmiennośd przychodów ze sprzedaży w 97,%.

13 Dokonad inerpreacji oszacowao paramerów w srukuralnych modelu. Ocenid poprawnośd meryoryczną. Wraz ze wzrosem sprzedawców o osobę, warośd przychodów ze sprzedaży rośnie o 4, ys. zł, przy założeniu, że pozosałe zmienne objaśniające (konkrenie cena jednoskowa) pozosanie na sałym poziomie. Wzros ceny o zł powoduje spadek warości przychodów ze sprzedaży o,53 ys. zł, przy założeniu, że liczba sprzedawców nie ulegnie zmianie. Przedsawione kierunki zależności pomiędzy zmienną objaśnianą oraz zmiennymi objaśniającymi są zgodne z założeniami eorii ekonomicznej. Zadanie 8 dane plik EKONOMETRIA cw 4.xls Za pomocą programu GRETL Oworzyć program GRETL >> Plik >> Owórz dane >> Impor >>Excel >> EKONOMETRIA_cw4.xls >> Rozpocznij impor od wiersza, kolumny >> Tak (chce inerpreować dane jako szereg czasowy) >> Szereg czasowy >>> Roczne >> Oszacowad paramery srukuralne modelu warości PKB (mln zł) od warości inwesycji (mln zł) oraz liczby pracujących (ys. osób) Menu główne >> Model >> Klasyczna meoda najmniejszych kwadraów Model : Esymacja KMNK, wykorzysane obserwacje (N = 4) Zmienna zależna (Y): pkb Współczynnik Błąd sand. -Sudena warość p cons 96037,9 58,7 6,305 0,00006 *** inw 4,93 0, ,4099 <0,0000 *** prac5-75,757 3,9678-5,389 0,000 *** Średn.ary.zm.zależnej 4933,93 Odch.sand.zm.zależnej 79,47 Suma kwadraów resz Błąd sandardowy resz 863,439 Wsp. deerm. R-kwadra 0,97669 Skorygowany R-kwadra 0,97379 F(, ) 9,833 Warość p dla esu F,07e-09 Logarym wiarygodności -9,639 Kry. inform. Akaike'a 65,78 Kry. bayes. Schwarza 67,450 Kry. Hannana-Quinna 65,0503 Auokorel.resz - rho -0,5340 Sa. Durbina-Wasona,0343 Zweryfikowad isonośd saysyczną zmiennych H0 esu -Sudena mówi o ym, że paramer sojący przy danej zmiennej jes równy 0, czyli nie jes isony saysycznie, a zmienna objaśniająca sojąca przy nim nie ma isonego wpływu na zmienną objaśnianą. H esu -Sudena mówi, że badany paramer jes isonie różny od 0, więc jes isony saysycznie, więc zmienna przy kórej soi isonie wpływa na poziom zmiennej objaśnianej. Na podsawie warości saysyk -Sudena oraz empirycznych poziomów isoności saysycznej (warości p) dla każdego z szacowanych paramerów należy odrzucid hipoezy zerowe na rzecz hipoez alernaywnych. Szacowane paramery przy wszyskich zmiennych objaśniających isonie różnią się od zera. Paramery e są więc isonie różne od zera a zmienne przy nich sojące mają isony wpływ na zmienną objaśnianą PKB. Dokonad oceny dopasowania modelu do danych empirycznych Na podsawie warości skorygowanego współczynnika deerminacji, możemy swierdzid, że model w 97,% objaśnia kszałowanie się warości PKB. W W e e Se 00 Y 863, ,8% 4933,93 Błąd średni modelu sanowi zaledwie 5,8% średniego poziomu zmiennej zależnej, co świadczy o wysokim dopasowaniu warości oszacowanych przez model do warości rzeczywisych. Zweryfikowad normalnośd rozkładu składnika losowego (resz modelu) Okno modelu: Menu główne >> Tesy >> Tes normalności rozkładu resz Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 3 z 9

14 Tes na normalność rozkładu resz - Hipoeza zerowa: składnik losowy ma rozkład normalny Saysyka esu: Chi-kwadra() = 0, z warością p = 0, H0: reszy modelu charakeryzuje rozkład normalny H: reszy modelu nie posiadają rozkładu normalnego Empiryczny poziom isoności esu warośd p = 0, i jes większa od 0,05 Na podsawie warości p. należy swierdzid, że nie ma podsaw do odrzucenia H0, reszy modelu mają rozkład normalny. Zweryfikowad wysępowanie auokorelacji składnika losowego Na dole okna z wynikami esymacji znajdują się saysyki esu Durbina-Wasona Auokorel.resz - rho -0,5340 Sa. Durbina-Wasona,0343 Ujemna warośd współczynnika auokorelacji Rho wskazuje na wysępowanie ujemnej auokorelacji. Aby zweryfikowad, czy współczynnik auokorelacji jes saysycznie isony (czy auokorelacja rzeczywiście wysępuje) weryfikujemy o na podsawie esu Durbina-Wasona. H 0 : ρ=0 brak isoności współczynnika auokorelacji (brak auokorelacji) H : ρ>0 H : ρ<0 współczynnik auokorelacji jes dodani (auokorelacja dodania) współczynnik auokorelacji jes ujemny (auokorelacja ujemna) Saysyka DW jes większa od, obliczamy saysykę DW =4-DW, DW =4-,034, DW =,966. W Grelu są dosępne ablice rozkładu DW, z kórych odczyujemy warośd kryyczną dla 4 obserwacji i zmiennych objaśniających >> Główne okno Grela >> Narzędzia >> Tablice saysyczne >> DW Saysyka esu Durbina-Wasona dla 5% poziomu isoności, n = 4, k = dl = 0,9054 du =,5507 Z porównania warości saysyki DW oraz warości kryycznych wynika, że DW>dU. Na podsawie esu, należy swierdzid, że nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej. Brak auokorelacji składnika losowego. Zweryfikowad wysępowanie heeroskedasyczności resz Hipoeza zerowa: H : i 0 cons Wysępuje homoskedasycznośd zakłóceo losowych. Zróżnicowanie resz jes sałe. Hipoeza alernaywna: H : i j Wysępuje heeroskedasycznośd składnika losowego. Brak efekywności esymaora KMNK. Okno modelu: Menu główne >> Tesy >> Tes heeroskedasyczności >> Tes Breuscha-Pagana Tes Breuscha-Pagana na heeroskedasyczność - Hipoeza zerowa: heeroskedasyczność resz nie wysępuje Saysyka esu: LM = 4,86453 z warością p = P(Chi-kwadra() > 4,86453) = 0, Na podsawie empirycznego poziomu isoności (warości p>0,05) równego 0,088, nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy H0, wysępuje homoskedasycznośd resz modelu. Zróżnicowanie resz jes sałe. Zadanie 9 Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 4 z 9

15 Zbadad wysępowanie auokorelacji rzędu pierwszego, jeśli DW =, (dl=,, du=,3 ) Ponieważ DW jes większe od, należy obliczyd DW, DW =4-,=,9 DW jes większe od DW więc nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy mówiącej o braku auokorelacji resz modelu. Zadanie 0 dane plik EKONOMETRIA_cw_5.xls arkusz: zadanie 0 (EXCEL) Sporządzid wykres liczby pracujących w Polsce. Określid wysępowanie składowych sysemaycznych szeregu czasowego Szereg czasowy PKB składa się z: endencji wzrosowej (rendu), wahao sezonowych oraz wahao przypadkowych Określid posad funkcyjną modelu rendu opisującego kszałowanie się liczby pracujących. Na podsawie równania linii rendu. [kliknąć na wykres >> dodaj linię rendu >> zaznaczyć opcję równania linii rendu] Zinerpreowad paramery srukuralne dla posaci liniowej, poęgowej i wykładniczej. Trend liniowy W okresie poprzedzającym zakres próby, zn. w IV kwarale 999 r. według oszacowao modelu warośd PKB wyniosła 5648 mln zł. Z kwarału na kwarał warośd PKB w rosła średnio o 4508 mln zł. Trend poęgowy Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 5 z 9

16 Według oszacowao modelu rendu poęgowego warośd wyrazu wolnego wskazuje na eoreyczny poziom PKB pierwszej obserwacji (I kwarału 000). Z kwarału na kwarał warośd PKB rosła przecięnie o 0,35%. Trend wykładniczy W okresie poprzedzającym zakres próby, zn. w IV kwarale 999 r. według oszacowao modelu rendu wykładniczego, warośd PKB wyniosła 70 mln zł. a= exp(0,07)=,0745. Z kwarału na kwarał warości PKB rosły średnio o (,0745-)*00=,7% Ocenid kóra posad funkcyjna modelu jes lepiej dopasowana do zmienności warości rzeczywisych. Najwyższym dopasowaniem warości eoreycznych do warości empirycznych charakeryzował się rend wykładniczy. Zadanie - dane plik EKONOMETRIA_cw_5.xls arkusz: zadanie (GRETL) Oszacowad liniowy model rendu warości PKB (mln zł) uwzględniając wahania sezonowe w porównaniu do kwarału i 3. Zinerpreowad paramery srukuralne. Posad eoreyczna modelu liniowego PKB dq dq3 0 3 [wygenerować zmienną czasową i zmienne sezonowe >> Dodawanie zmiennych >> zmienne periodyczne Model : Esymacja KMNK, wykorzysane obserwacje 000:-0: (N = 46) Zmienna zależna (Y): PKB Współczynnik Błąd sand. -Sudena warość p cons ,5 3,7054 <0,0000 *** ime 4483,5 66,743 6,8866 <0,0000 *** dq -909, 5345,33-4,0988 0,0009 *** dq3-3896,6 550,5 -,555 0,054 ** Średn.ary.zm.zależnej 6443,0 Odch.sand.zm.zależnej 696,8 Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 6 z 9

17 Suma kwadraów resz 9,45e+09 Błąd sandardowy resz 5003,8 Wsp. deerm. R-kwadra 0, Skorygowany R-kwadra 0,9430 F(3, 4) 50,757 Warość p dla esu F 8,30e-7 Logarym wiarygodności -505,556 Kry. inform. Akaike'a 09,03 Kry. bayes. Schwarza 06,346 Kry. Hannana-Quinna 0,77 Auokorel.resz - rho 0,38895 Sa. Durbina-Wasona,87775 Z okresu na okres warośd PKB rosła przecięnie o 4483,5 mln zł. W kwarałach pierwszych warośd PKB była niższa średnio o 909, mln zł niż w kwarałach pominięych ( i 4). W kwarałach rzecich warości PKB były średnio o 3896 mln zł niższe niż w kwarałach. i 4. Oszacowad model poęgowy warości PKB od liczby pracujących oraz nakładów bruo na środki rwałe w Polsce z uwzględnieniem z uwzględnieniem wahao sezonowych w sosunku do kwarału. Posad eoreyczna modelu poęgowego PKB PKB LP 0 NSTB e dq Zmienne szuczne: zero-jedynkowe, zmienną czasową umieszczamy w wykładniku (jak w funkcji wykładniczej) razem z paramerem (j.w.) Aby oszacowad paramery równania, należy sprowadzid funkcję do posaci liniowej względem paramerów: ln PKB 0 PKB LP NSTB e dq 3 e ln ln LP ln NSTB dq 0 Pomimo, że zmienna i paramer dq po przekszałceniach zachowują zależnośd liniową (i moglibyśmy 3 inerpreowad jak w modelu liniowym), inerpreujemy procenowo przez modyfikację ( e ) 00 Szacujemy model na warościach zlogarymowanych 3 e ln Model : Esymacja KMNK, wykorzysane obserwacje 000:-0: (N = 46) Zmienna zależna (Y): l_pkb Współczynnik Błąd sand. -Sudena warość p cons -,436 3,6035-3,5066 0,0009 *** l_lp,6579 0, ,485 <0,0000 *** l_nbst 0, , ,973 0,0007 *** dq 0,0646 0,048369,005 0,0333 ** Średn.ary.zm.zależnej,44984 Odch.sand.zm.zależnej 0,3888 Suma kwadraów resz 0, Błąd sandardowy resz 0,08790 Wsp. deerm. R-kwadra 0,80648 Skorygowany R-kwadra 0,7960 F(3, 4) 58,3436 Warość p dla esu F 5,0e-5 Logarym wiarygodności 38,86483 Kry. inform. Akaike'a -69,7967 Kry. bayes. Schwarza -6,450 Kry. Hannana-Quinna -66,98959 Auokorel.resz - rho 0,83898 Sa. Durbina-Wasona 0, Warośd PKB w kwarale dq była wyższa o ( 3 ) 00 ( e ) 00, % kwarałach. e 0,06 niż w pozosałych Dokonad inerpreacji paramerów oraz ocenid dokładnośd dopasowania modelu do danych empirycznych. Wzros liczby pracujących o % powodował wzros produkcji o,6% przy założeniu ceeris paribus. Wzros nakładów bruo na środki rwałe o % powodował wzros produkcji o 0,84%, przy założeniu ceeris paribus. Model w 79,3% wyjaśnia kszałowanie się warości PKB. Zadanie Dane są oszacowania paramerów modelu rendu wykładniczego log ˆ 0,378 0,0537 y (0,05003) (0,00806) S 0,07334, R 0,955, V 7,695% gdzie: y - produkcja przedsiębiorswa w laach (mln sz.), zmienna czasowa przyjmująca warości kolejnych liczb nauralnych. Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 7 z 9

18 Dokonad weryfikacji modelu Paramery srukuralne modelu są saysycznie isone, można zaem powrócid do posaci wykładniczej. Po odlogarymowaniu (czyli podniesieniu liczby e do poęgi o wykładnikach parameru zerowego i przy zmiennej czasowej. yˆ 356, 75 W 987 roku, j. w roku poprzedzającym pierwszy badany rok (=0), wielkośd produkcji w przedsiębiorswie kszałowała się na poziomie 356 mln szuk (α0) i w rozparywanym okresie wzrasała średnio o (,75- ) 00%, j. 0 7,3%. Sopa wzrosu produkcji wyniosła 7,3%. Zadanie 3 Na podsawie oszacowao paramerów dwuczynnikowej funkcji Cobba-Douglasa, oraz oszacowao paramerów srukury sochasycznej: lnv S e,596 0,45K (0,757) 4,757 0,006, V (0,0) 0,335 e 0,005, 0,5080ln L (0,0388) 3,089 0,005 Dokonad weryfikacji modelu Jednoprocenowy wzros nakładów inwesycyjnych (K) powoduje w przybliżeniu wzros wielkości produkcji o 0,45%, gdy pozosałe czynniki są na sałym poziomie. Jednoprocenowy wzros liczby pracujących powoduje w przybliżeniu wzros wielkości produkcji o 0,5080%, przy założeniu, że pozosałe czynniki są na sałym poziomie. Zapisad model w posaci poęgowej V e,596 K 0,45 L 5080 Obliczyd elasyczności produkcji względem czynników produkcji oraz zinerpreowad orzymane wyniki Zgodnie z definicją elasyczności wielkości produkcji względem kapiału: i pracy V / K V / L Inerpreacja elasyczności w przybliżeniu: VK KV VL LV V V V V K K L L Paramer przy zmiennej K: Zwiększenie mająku rwałego o % spowoduje średnio rzecz biorąc wzros produkcji o około 0,45%, przy założeniu że średnia liczba zarudnienia nie ulegnie zmianie. Paramer przy zmiennej L: Wzros średniej liczby zarudnionych o % będzie powodowad (średnio rzecz biorąc) wzros produkcji o 0,5080%. Dokładne obliczenie przyrosów względnych, przy dowolnych lub jednoczesnych zmianach względnych argumenów. V K L 00% 00% V K L Jednoprocenowy wzros zarudnienia będzie wywoływał nasępujący względny przyros produkcji czysej: zadanie 8. *w:+ Kukuła K. (red.), (003), Wprowadzenie do ekonomerii w przykładach i zadaniach, Wydawnicwo PWN, s. 54. Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 8 z 9

19 V L 00% 00% V L V 00% (( 0,0) V L gdzie 0, 0 L 0,5080 ) 00% 0,5068% O ile procen wzrośnie produkcja, jeśli warośd mająku rwałego wzrośnie o 3%, a liczba zarudnionych zmniejszy się o %; Aby odpowiedzied na pyanie o ile procen zmieni się produkcja, jeśli K zmieni się o i jednocześnie L zmieni się o W przybliżeniu Dokładnie V V K K 00% L 00% L V K L 00% 00% V K L V 00% 3% 0,45 ( %) 0,5080 0,3403% V 00% 0,45 0,5080 0,03 0,0 00% 0,305% Jeśli kapiał produkcyjny wzrośnie o 3% a liczba zarudnionych wzrośnie %, o wielkośd produkcji wzrośnie o 0,305% Rozwiązania zadao Maeriały pomocnicze do dwiczeo z Ekonomerii Srona 9 z 9