ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA WŁASNEGO DLA NIEPRYZMATYCZNEGO ŁUKU KOŁOWEGO Z WYKORZYSTANIEM SZEREGÓW CZEBYSZEWA

Transkrypt

1 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXX,. 6 (1/13), styceń-marec 13, s Piotr RUTA 1 Małgorata MEISSNER ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA WŁASNEGO DLA NIEPRYZMATYCZNEGO ŁUKU KOŁOWEGO Z WYKORZYSTANIEM SZEREGÓW CZEBYSZEWA Predmiotem aaiy jest agadieie włase uku kołowego o mieym prekroju, opisae według teorii Berouiego-Euera. Probem jest rowiąyway wykorystaiem metody aproksymacyjej, w której do aproksymacji wykorystuje się seregi wieomiaów Cebysewa I rodaju. Zastosowaa w pracy metoda jest oparta a ogóym twierdeiu opisującym wiąki rekurecyje da rówań różickowych o mieych współcyikach. Metoda ta prowadi do wyaceia ieskońcoego układu rówań agebraicych, którego współcyiki są okreśoe amkiętymi formułami aaitycymi. Formuły te w sposób jawy aeżą od wyraów seregów, w które rowiięto miee współcyiki wyjściowych rówań różickowych. Otrymaa w te sposób ogóa postać rówań agebraicych powaa a rowiąaie aaiowaego agadieia da dowoych geometrycych parametrów łuku, takich jak: krywia, miee poe i miey momet bewładości prekroju cy gęstość łuku. Do aaitycych formuł opisujących współcyiki układu rówań agebraicych wystarcy bowiem podstawić współcyiki seregów opisujących parametry materiałowe i geometryce łuku. W ceu weryfikacji poprawości ora skutecości otrymaego agorytmu uyskae preetowaą w pracy metodą cęstości i formy włase porówao wyikami uyskaymi metodą eemetów skońcoych. Obiceia wykoao programem Cosmos/M, stosując do aproksymacji eemety bekowe 3D o iiowo mieym prekroju. W ceu ocey różicy międy formami własymi wyacoo da ich stadardowy ideks MAC (Moda Assurace Criterio). Otrymae reutaty potwierdiły poprawość ora skutecość omawiaej w pracy metody. Słowa kucowe: agadieie włase, łuk ieprymatycy, seregi Cebysewa 1 Autor do korespodecji: Piotr Ruta, Poitechika Wrocławska, Wyb. Wyspiańskiego 7, 5-37 Wrocław, te , piotr.ruta@pwr.wroc.p. Małgorata Meisser, Poitechika Wrocławska, Wyb. Wyspiańskiego 7, 5-37 Wrocław, te , magorata.meisser@pwr.wroc.p.

2 16 P. Ruta, M. Meisser 1. Wprowadeie Zagadieie drgań łuków jest istote e wgędu a astosowaie tych układów w budowictwie i mechaice. Rowiąaie tego probemu acie się kompikuje, gdy łuk jest ieprymatycy. Zagadieie drgań swobodych łuków było aaiowae m.i. w pracach Chidamparam i Leiss [1] ora Lee i i. []. W pubikacji [1] probem rowiąao aaitycie uwgędieiem i pomiięciem odkstałcaości osiowej. W pracy Lee i i. [] fudametae rowiąaie układu rówań różickowych wyacoo metodą seregów potęgowych. Probem drgań swobodych łuków o mieym prekroju rowiąai różymi metodami m.i. Huag i i. [3], Kawakami i i. [4], Liu i Wu [5], Shi i i. [6], Tog i i. [7]. Huag i i. [3] do aaiy łuku o dowoej krywiźie i dowoym prekroju astosowai metodę Frobeiusa. Ta sama metoda ostała wykorystaa w pracy Huag i i. [8] do rowiąaia probemu drgań swobodych i statecości. Kawakami i i. [4] rowiąai agadieie włase, stosując dyskretą fukcję Greea. Liu i Wu [5] do aaiy agadieia własego astosowai uogóioą asadę kwadratur różicowych, pryjmując ałożeie o braku odkstałcaości osiowej. Metoda trasformacji różicowych ora uogóioa metoda kwadratur różicowych ostały astosowae pre Shi i i. [6]. W pracy [7] wyprowadoo rowiąaie aaityce łuku prymatycego, a astępie astosowao je do rowiąaia łuku o skokowo mieym prekroju. Nieh i i. [9] metodą seregów potęgowych rowiąai agadieia drgań swobodych ora statecości prymatycego łuku eiptycego. W wieu pracach do aaiy drgań astosowao metodę eemetów skońcoych, p. w pracach Krishaa i i. [1], Yaga i i. [11], Ötürki i i. [1]. Aaioway w iiejsej pracy probem rowiąao metodą astosowaą we wceśiejsych pracach autora do rowiąaia agadień drgań własych beek Euera [13] i Timosheki [14] ora drgań wymusoych obciążeiem ruchomym dźwigara akrywioego w paie [15]. Metoda ta jest oparta a twierdeiu opisującym prybiżoy sposób rowiąywaia rówań różickowych wycajych, predstawioy w moografii Paskowskiego [16], i wykorystuje oa do aproksymacji rowiąań seregi Cebysewa. W kasycej metodie wyacaia rowiąań w postaci seregów porówuje się wprost współcyiki rowiięć obu stro aaiowaych rówań. Predstawioa w pracy metoda wykorystuje atomiast wiąki rekurecyje międy tymi współcyikami, co staowi orygiae podejście do aaiowaego agadieia. Opisae twierdeie, e wgędu a swój ogóy charakter, ie daje ostatecych rowiąań ub rówań wprost prowadących do takich rowiąań, powaa atomiast a opracowaie skutecego agorytmu da kokretego co do struktury układu rówań różickowych. Ceem iiejsej pracy jest opracowaie takiego agorytmu da rówań opisujących agadieie drgań ieprymatycych łuków kołowych. Naeży podkreśić, że uyskae końcowe rówaia

3 Rowiąaie agadieia własego powaają a rowiąaie łuku kołowego o dowoych parametrach geometrycych i materiałowych. W ceu sprawdeia poprawości wyprowadoych worów, otrymae w wyiku rowiąaia agadieia własego cęstości i wektory włase porówao cęstościami i wektorami własymi wyacoymi metodą eemetów skońcoych.. Sformułowaie probemu Predmiotem aaiy jest agadieie włase da łuku kołowego o mieym prekroju, którego oś jest krywą płaską eżącą w płascyźie xy. Zakłada się rówież, że rokład materiałowych i geometrycych parametrów dźwigara jest symetrycy wgędem tej płascyy. Rówaia opisujące drgaia łuku w postaci bewymiarowej mają w tym prypadku postać: v u EA u d EA d EA v d EA d g u s s s s s v EI v EI v v EI EI EI s s s s s s s 4 u d EA EI EI v d EA g v s s (1) Siły prekrojowe są okreśoe astępującymi worami: siły osiowe N 1 u v d EA v EI v P f s s () momety gące M 1 v m EI v P a f s (3) gdie: u(s,t) U(S,t) a, v(s,t) V(S,t) a odpowiedio bewymiarowe premiesceia styce i prostopadłe do osi łuku eżące w płascyźie dźwigara, s S a parametr opisujący oś dźwigara s 1, 1, a / R stała krywia łuku,

4 164 P. Ruta, M. Meisser EA gęstość a jedostkę długości, EA EA stywość osiowa, EI EI EI stywość gięta ora stałe d a EA EI, 4 f a P EI, g a EI ; parametry, EI, EA, P są wiekościami porówawcymi. Wiekość EA to odpowiadająca EA charakterystyka w postaci wymiarowej itd. Występujący w rówaiu (1) symbo okreśa wymiarową kołową cęstość własą, a I jest uogóioym mometem bewładości prekroju. Schemat układu, pryjęte oaceie dotycące osi okaego układu współrędych ora siły wewętre predstawioo a rys. 1. x, s t m m t R y + a s v u - a Rys. 1. Schemat układu, okay układ współrędych, premiesceia ora siły wewętre Fig. 1. Scheme of the system, oca coordiate system, dispacemets ad itera forces 3. Rowiąaie Do rowiąaia układu (1) astosowao predstawioe w moografii [16] twierdeie (patr [16]) opisujące metodę rowiąywaia rówań różickowych o mieych współcyikach. Nawiąując do oaceń cytowaego twierdeia, układ rówań (1) moża apisać w astępującej postaci macierowej: 4 ˆ (4 ) P (s) f (s) Rˆ(s) f (s) (4) W prypadku układu rówań różickowych cwartego rędu cytowaego twierdeia wyika, że współcyiki rowiięcia posukiwaego wektora f spełiają astępujący ieskońcoy układ rówań:

5 Rowiąaie agadieia własego (k 9)(k 4)(k 1) k a [ Q ] a [ Q ] k k k k 4(k 9)(k 4)(k 1) a [ Q ] a [ Q ] a [ Q ] a [ Q ] k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 (k 9)(k 4) (k 1) a [ Q ] a [ Q ] k a [ Q ] a [ Q ] (k 1) a [ Q ] a [ Q ] k k k k (k 9) (k 1)(k ) a [ Q ] a [ Q ] 3(k 1)(k ) a [ Q ] a [ Q ] k 3 3 k 3 3 k 1 3 k 1 3 3(k 1)(k ) a [ Q ] a [ Q ] (k 1)(k ) a [ Q ] a [ Q ] k 1 3 k 1 3 k 3 3 k (k 1)(k )(k 3) a k 4 [ Q4 ] a k 4 [ Q4 ] 4(k 3)(k 4) a k [ Q4 ] a k [ Q4 ] 6k(k 9) a [ ] a [ ] 4(k 3)(k 4) a [ ] a [ ] k Q4 k Q4 k Q4 k Q4 (k 1)(k )(k 3) a [ Q ] a [ Q ] a [ f] k 4 4 k (k 1)(k )(k 3) a k 4 [ S ] a k 4 [ S ] 4(k 3)(k 4) a k [ S ] a k [ S ] 6k(k 9) a [ S ] a [ S] 4(k 3)(k 4) a [ S] a [ S] k 4 k k k (k 1)(k )(k 3) a [ S] a [ S] a [ f] k 4 k 4 k, 1,, 3,... (5) gdie fukcje macierowe Q m i S są okreśoe worami: Q Pˆ Q Pˆ Pˆ Q Pˆ Pˆ Pˆ (1) () (1), 1 4 1, (3) () (1) (4) (3) () (1) Q3 4Pˆ 3Pˆ 1 Pˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ P3, Q4 P P1 P P3 P4, S R (6) a symbo sumy defiiuje astępującą operację a 1 a a 1 a... W prypadku aaiowaego agadieia a [ f ] u v, gdie u, v są posukiwaymi współcyikami rowiięć fukcji premiesceń u(s) i v(s) w seregi Cebysewa: T u(s) u T (s), v(s) v T (s) (7) a T (s) jest -tym wieomiaem Cebysewa I rodaju.

6 166 P. Ruta, M. Meisser Występujące w rówaiu (5) fukcje Q m i S wyacoe a podstawie aeżości (6) pryjmują postać: Q, Q 1 (1) EI EI d EA d EA d EA Q, Q () 3 EI (1) EI d EA EI (1) g Q, S d EA d EA EI EI g 4 (1) () 4 (8) Po podstawieiu współcyików rowiięć w seregi Cebysewa fukcji Q m i S do rówaia (5) otrymao astępujący układ rówań różickowych wycajych: k (k,) k (k,) u b (k,) u k (k,) k (k,) v b (k,) v , k,1,,3,... (9) Na tym etapie rowiąaia eemety k ij(k,), i, j 1, rówaia (9) awierają współcyiki rowiięcia fukcji EI, EA, jak rówież współcyiki rowiięć ich pochodych. W ceu eimiacji współcyików rowiięć pochodych wykoao prekstałceia eemetów k (k,) wykorystaiem woru [16] (1) (1) 1 1 f (f f ),, gdie f a [f ], a f a [ f x ]. Po tych prekstałceiach współcyiki k (k,) rówaia (9) pryjmują ostatecie postać: 11 k k k (k, ) d(k 9) (k 1)(k ) a a ij ij (p) p p (k 4) a a (k 1)(k ) a a (1) k k k k k (k,) d (k 9) 1 (k 1)(k ) a a 3(k 1)(k ) a a k 3 k 3 k 1 k 1 3(k 1)(k ) a a (k 1)(k ) a a (11) k 1 k 1 k 3 k 3

7 Rowiąaie agadieia własego k 3 k 3 k 1 k 1 k (k,) d (k 1)(k )(k 3) a a 3(k )(k 9) a a 3(k )(k 9) a a (k 1)(k )(k 3) a a k 1 k 1 k 3 k 3 (1) k k j k j k (k,) 8 (k 9)(k 4) (k 1)( 1) e (k j )e (k 1)( 1)e (k 1)(k )(k 3) k(k 5) 6 ( 1) e k(k 5) 6 ( 1) e (k )(k 3)(k(k )(k 3) 6 (k 5) e (k )(k 3)(k(k )(k 3) 6 (k 5) e k k (k 1)(k )(k 3) k(k 5) 6 ( 1) e k(k 5) 6 ( 1) e 1 (k j )e j k j k k k k 1 d (k 1)(k )(k 3) a a 4(k 3)(k 4) a a 6k(k 9) a a 4(k 3)(k 4) a a 1 k 4 k 4 k k k k k k (k 1)(k )(k 3) a a k 4 k 4 4 (k 1)(k )(k 3) e k 4 e k 4 4(k 3)(k 4) e k e k k k k k 6k(k 9) e e 4(k 3)(k 4) e (k 1)(k )(k 3) e e (13) k 4 k 4 Poostałe współcyiki rówaia (9) wyrażają się worami: b (k,) b (k,) 11 1 k 4 k 4 k k g (k 1)(k )(k 3) 4(k 4)(k 3)(k 4) k k k k 6k(k 9) 4(k 4)(k 3)(k 4) (k 1)(k )(k 3) k 4 k 4 (14) Występujące we worach (1)-(14) współcyiki są współcyikami rowiięć w seregi Cebysewa astępujących fukcji: e a [EI ], a a [EA], a [ ].

8 168 P. Ruta, M. Meisser Pierwse osiem rówań układu (9) (gdy k =, 1,, 3) jest spełioych tożsamościowo. Rówaia te astępuje się seścioma rówaiami opisującymi waruki bregowe. W formułowaiu tych waruków korysta się astępujących worów powaających a obiceie wartości wieomiaów Cebysewa w puktach s 1 [16]: (m) (m) m (m) T (1) 1, T (1), T ( 1) ( 1) T (1) (15) Układ rówań (9) po uwgędieiu waruków bregowych, ograiceiu go do skońcoego układu N = (m + 1) rówań ora po miaie koejości wyraów ostatecie pryjmuje postać: Kq g Bq (16) gdie q [ u v T, a u 1 m T [u,u,u,..., u ], v T 1 m [v,v,v,..., v ]. 4. Prykład umerycy Predstawioy agorytm astosowao do rowiąaia agadieia własego da ieprymatycego łuku kołowego. Kąt rowarcia łuku wyosi 3π. Końce łuku są utwierdoe. W tym prypadku rówaia opisujące waruki bregowe a końcach dźwigara pryjmują postać: u( 1) ( 1) u, u(1) u v ( 1) ( 1) v, v (1) v v ( 1) v (1) u( 1) ( 1) v, u(1) v s s (17) Zagadieie rowiąao w postaci bewymiarowej, pryjmując, że prekrój beki jest prostokątem o stałej serokości b i mieej wysokości h(s) c(s/a) c, gdie c b 3, a S a,a. Poostałe parametry to: (), EI EI(). Do aproksymacji każdego premiesceń wykorystao 4 wyraów seregu. W ceu weryfikacji poprawości otrymaego agorytmu uyskae cęstości i wektory włase porówao cęstościami i wektorami

9 Rowiąaie agadieia własego otrymaymi metodą eemetów skońcoych. Do obiceń wykorystao program komputerowy Cosmos/M. W modeu MES astosowao podiał a 4 eemetów bekowych typu 3D o 1 stopiach swobody i iiowo mieym prekroju, a fukcje kstałtu opisujące premiesceia wewątr eemetu są wieomiaami pierwsego i treciego stopia. Wartości pierwsych seściu cęstości własych uyskae tymi metodami predstawioo w tab. 1. Wykresy wyacoych a pomocą obu metod form własych pokaao a rys.. Tabea 1. Bewymiarowe cęstości włase Tabe 1. No-dimesioa vibratio frequecies a EI a EI MES Niiejsa praca Błąd wgędy [%] 1 6,3 6,33,11 46,6 46,9, ,67 78,89,8 4 11,44 114,71, 5 16,51 161,45, ,5 1,44,77 Aby oceić błąd międy formami własymi wyacoymi dwoma sposobami, da pierwsych seściu form obicoo stadardowy ideks MAC (Moda Assurace Criterio). Zastosoway ideks jest okreśoy worem: w w w MAC[i, j] W w W W w w (18) ik jk ik ik jk jk k 1 k 1 k 1 gdie w jk okreśa premiesceie k-tego węła modeu MES w j-tej formie, W ik to premiesceie puktu odpowiadającego k-temu węłowi w i-tej formie, wyacoej opisaą w pracy metodą, w = 41 jest icbą węłów w modeu MES. Wartości tego ideksu awierają się w prediae [, 1]. Wartość 1 ideks pryjmuje pry pełej godości form, a wartość pry całkowitym jej braku (wektory są wtedy do siebie ortogoae). Otrymae wyiki predstawioo w tab..

10 17 P. Ruta, M. Meisser v v 1 v v 3 v 4 v u u u u u u Rys.. Wykresy form własych; formy wyacoe: metodą MES stawioą w pracy Fig.. Diagrams of eigeforms, forms desigated by FEM paper, metodą pred-, by method preseted i

11 Rowiąaie agadieia własego Tabea. Stadardowy ideks MAC[i, i] Tabe. Stadard MAC idex MAC[i, i] Nr form Składowe premiesceń i v u 1,999998,999993,99987, ,999968, ,97497, ,99976, ,894394, Wioski Aaia uyskaych w tab. 1. wyików pokauje dużą godość otrymaych cęstości własych reutatami uyskaymi wykorystaiem MES. W prypadku pierwsych seściu cęstości błąd wgędy pryjmuje wartości prediału,11-,77%. Dobra godość jest też widoca międy wektorami własymi. Więksość pokaaych a rys.., wyacoych dwoma metodami, wektorów własych ie moża roróżić. Różice są widoce tyko da form 4 i 6. Jakość tej godości potwierdają predstawioe w tab.. wartości stadardowego ideksu MAC. Więksość ich jest praktycie rówa 1. Uyskae wyiki potwierdają atem poprawość i skutecość preetowaej metody. Naeży też podkreśić, że końcowa postać układu rówań (9) (e współcyikami okreśoymi worami (1)-(14)) powaa a bepośredią aaię agadieia własego łuku kołowego o dowoych, iych iż pryjęte w iiejsej pracy, parametrach EI, EA,. W tym ceu do worów (1)-(14) wystarcy wstawić odpowiedie wartości współcyików rowiięć w seregi Cebysewa owych fukcji EI, EA,. Literatura 1. Chidamparam P., Leissa A.W.: Ifuece of ceterie extesibiity o the i-pae free vibratios of oaded circuar arches. Joura of Soud ad Vibratio, 183(5), , Lee S.-Y., Sheu J.-J., Li S.-M.: I-pae vibratioa aaysis of rotatig curved beam with easticay restraied root. Joura of Soud ad Vibratio, 315, , Huag C.S., Tseg Y.P., Leissa A.W., Nieh K.Y.: A exact soutio for i-pae vibratios of a arch havig variabe curvature ad cross sectio. Iteratioa Joura of Mechaica Scieces, 4(11), , 1998.

12 17 P. Ruta, M. Meisser 4. Kawakami M., Sakiyama T., Matsuda H., Morita C.: I-pae ad out of pae free vibratios of curved beams with variabe sectios. Joura of Soud ad Vibratio, 187(3), , Liu G.R., Wu T.Y.: I-pae vibratio aayses of circuar arches by the geeraied differetia quadrature rue. Iteratioa Joura of Mechaica Scieces, 43, , Shi Y.-J., Kwo K.-M., Yu J.-H.: Vibratio aaysis of a circuar arch with variabe cross-sectio usig differetia trasformatio ad geeraied differetia quadrature. Joura of Soud ad Vibratio, 39, 9-19, Tog X., Mrad N., Tabarrok B.: I-pae vibratio of circuar arches with variabe cross-sectios. Joura of Soud ad Vibratio, 1(1), 11-14, Huag C.S., Nieh K.Y., Yag M.C.: I-pae free vibratio ad stabiity of oaded ad shear-deformabe circuar arches. Iteratioa Joura of Soids ad Structures, 4, , Nieh K.Y., Huag C.S., Tseg Y.P.: A aaytica soutio for i-pae free vibratio ad stabiity of oaded eiptic arches. Computers ad Structures, 81, , Krisha A., Dharmaraj S., Suresh Y.J.: Free vibratio studies of arches. Joura of Soud ad Vibratio, 186(5), , Yag F., Sedaghati R., Esmaiadeh E.: Free i-pae vibratio of geera curved beams usig fiite eemet method. Joura of Soud ad Vibratio, 318, , Ötürk H., Yeşiyurt I., Sabucu M.: I-pae stabiity aaysis of o-uiform cross-sectioed curved beams. Joura of Soud ad Vibratio, 96, 77-91, Ruta P.: Appicatio of Chebyshev series to soutio of o-prismatic beam vibratio probems. Joura of Soud ad Vibratio, 7(), , Ruta P.: The appicatio od Chebyshev poyomias to the soutio of the oprismatic Timosheko beam vibratio probem. Joura of Soud ad Vibratio, 96, 43-63, Meisser M., Ruta P.: Out-of-pae vibratios of curved oprismatic beam uder a movig oad. Joura of Civi Egieerig ad Maagemet, 18(6), , Paskowski S.: Zastosowaie umeryce wieomiaów i seregów Cebysewa. PWN, Warsawa EIGENPROBLEM OFNONPRISMATIC CIRCULAR ARCH SOLUTION USING CHEBYSHEV SERIES S u m m a r y The subject of aaysis is eigeprobem of circuar arch with variabe cross-sectios, described by the Beroui-Euer theory. The probem is soved usig approximatio method, i which Chebyshev poyomias of first kid series are used. Method used i paper is based o geera theorem describig recursive reatioships for differetia equatios with variabe coefficiets. This method eads to the desigatio of a ifiite system of agebraic equatios, coefficiets of which are defied by cosed aaytica formuas. These formuas deped expicity o

13 Rowiąaie agadieia własego terms of the series, which are expasios of the variabe coefficiets of output differetia equatios. Thus obtaied the geera form of agebraic equatios aows oe to sove aaysed probem for ay geometrica arch parameters such as: curvature, variabe cross-sectio area ad momet of iertia, or arch desity. It is eough to substitute coefficiets of the series describig materia ad geometrica parameters to aaytica formuas describig coefficiets of the system of agebraic equatios. I order to verify the effectiveess ad correctess of obtaied agorithm atura frequecies ad eigeforms received from preseted method were compared to the resuts obtaied with the fiite eemet method. Cacuatios were made i Cosmos/M program usig 3D beam eemets with ieary variabe cross-sectio for approximatio. I order to evauate differeces betwee eigeforms the stadard MAC (Moda Assurace Criterio) idex was desigated. The obtaied resuts cofirmed effectiveess ad correctess of the method preseted i paper. Keywords: eigeprobem, oprismatic arch, Chebyshev series DOI: 1.786/rb.13.1 Presłao do redakcji w istopadie 1 r. Pryjęto do druku w cerwcu 13 r.