Piotr Ruta. Zastosowanie wielomianów Czebyszewa w dynamice dźwigarów o zmiennych parametrach geometrycznych i mechanicznych

Transkrypt

1

2 Piotr Ruta Zastosowaie wieomiaów Czebyszewa w dyamice dźwigarów o zmieych parametrach geometryczych i mechaiczych Oficya Wydawicza Poitechiki Wrocławskiej Wrocław 7

3 Recezeci Wacław SZCZEŚNIAK Paweł ŚNIADY Opracowaie redakcyje i korekta Aia KACZAK Projekt okładki Zofia i Dariusz GODLEWSCY Wszekie prawa zastrzeżoe. Żada część iiejszej książki zarówo w całości jak i we fragmetach ie może być reprodukowaa w sposób eektroiczy fotograficzy i iy bez zgody właściciea praw autorskich. Copyright by Oficya Wydawicza Poitechiki Wrocławskiej Wrocław 7 OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Wybrzeże Wyspiańskiego Wrocław e-mai: oficwyd@pwr.wroc.p ISBN Drukaria Oficyy Wydawiczej Poitechiki Wrocławskiej. Zam. r 653/7.

4 SPIS TREŚCI. Wstęp Wybrae zagadieia dotyczące wieomiaów i szeregów Czebyszewa oraz teorii rówań różiczkowych..... Wprowadzeie..... Defiicje szeregów Czebyszewa zbieżość Przybiżoe rozwiązywaie rówań różiczkowych z wykorzystaiem szeregów Czebyszewa Wybrae zagadieia dotyczące rówań różiczkowych Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej Wprowadzeie Sformułowaie zadaia Ogóe rozwiązaie probemu drgań Wybrae zagadieia drgań prętów iepryzmatyczych Zagadieie włase Drgaia wymuszoe harmoiczie Drgaia wymuszoe aperiodyczie Porówaie rozwiązań zagadieia własego prętów pryzmatyczych uzyskaych różymi metodami Zagadieie drgań prętów iepryzmatyczych o osi krzywoiiowej Wprowadzeie Sformułowaie probemu Rozwiązaie zadaia Stateczość układów prętowych Wprowadzeie Sformułowaie zagadieia Rozwiązaie zadaia stateczości Niepryzmatyczy prętowy eemet skończoy Wprowadzeie Sformułowaie i rozwiązaie zadaia Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego a iercyjej półpłaszczyźie sprężystej Wprowadzeie Sformułowaie zagadieia Rozwiięcie w szereg Czebyszewa fukcji przemieszczeń półpłaszczyzy sprężystej Rozwiązaie zadaia drgań beki iepryzmatyczej Rozwiązaie probemu iterakcji beki z półpłaszczyzą sprężystą Przykłady obiczeiowe Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki Wprowadzeie Sformułowaie probemu Rozwiązaie układu rówań ruchu Przykłady obiczeiowe Porówaie rozwiązań zagadieia własego pryzmatyczych beek Timosheki wyzaczoych różymi metodami... 43

5 4 9. Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich Wprowadzeie Sformułowaie zagadieia Rozwiązaie probemu Przykład obiczeiowy Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a Wprowadzeie Sformułowaie zadaia Rozwiązaie zagadieia Przykład obiczeiowy... 6 Podsumowaie... Literatura... 4

6 . WSTĘP Koieczość racjoaego ekoomiczego projektowaia owoczesych kostrukcji iżyierskich jak rówież wzgędy architektoicze ispirują badaczy do udoskoaaia istiejących metod oraz opracowywaia owych służących do aaizy ub projektowaia tych kostrukcji. Jedą z grup probemów dotyczących takich kostrukcji są zagadieia drgań dźwigarów (układów prętowych tarcz płyt i powłok) o zmieych parametrach geometryczych i fizyczych. Podstawową metodą stosowaą w programach komputerowych jest metoda eemetów skończoych (MES). W praktyce projektowej profesjoae oprogramowaie korzystające z tej metody umożiwia rozwiązaie zagadień statyczych oraz podstawowych zagadień dyamiczych (zagadieie włase drgaia wymuszoe itp.). Programy te mimo wieu zaet m.i. możiwości rozwiązywaia dużych pod wzgędem umeryczym układów oraz wzrostu iczby zagadień dyamiczych rozwiązywaych przez te programy mają też pewe wady. Wadą pojawiającą się w rozwiązywaiu układów o zmieych parametrach może być ograiczoa dokładość rozwiązaia w przypadku małej iczby eemetów skończoych. Zastosowaa w agorytmach metoda dyskretyzacji poegająca a zastąpieiu eemetów o zmieych parametrach (p. o zmieym przekroju) eemetami o parametrach stałych ub o arbitraie przyjętej zmieości może dawać wyiki obarczoe trudymi do oszacowaia błędami. Uzyskaa dokładość może być dostatecza da projektata atomiast da badacza rozwiązującego złożoe skompikowae probemy dyamicze jest iewystarczająca. Dokładość tę moża oczywiście zwiększyć przez zagęszczeie siatki podziału a eemety ae iestety prowadzi to do dużej iczby współrzędych uogóioych. Trzeba tutaj rówież wspomieć że ie zawsze zagęszczaie siatki podziału prowadzi do zwiększeia dokładości wyików. Typowym przykładem jest tak zway efekt bokady ściaia (shear ockig) pojawiający się w przypadku zastosowaia w eemecie Timosheki do obiczeń przemieszczeń poprzeczych i kątów obrotu przekrojów poprzeczych aproksymacji iiowych. W tej sytuacji mimo zwiększaia iczby eemetów ie uzyskuje się zbieżości do rozwiązaia dokładego. Drugim sposobem zwiększeia dokładości jest dokładiejszy opis tzw. fukcji kształtu. Wadą rozwiązań opartych a MES jest także czysto umeryczy charakter wyików. Uzyskae w postaci zbioru iczb rozwiązaie trudo bowiem poddać daszym

7 6 Rozdział badaiom jakościowym. Numeryczy charakter ograicza rówież możiwość tworzeia rozwiązań hybrydowych łączących rozwiązaia otrzymae metodą MES z rozwiązaiami uzyskaymi metodami aaityczymi. Jedym z wieu przykładów może być iterakcja dźwigarów z ieskończoymi ośrodkami ciągłymi modeującymi podłoże sprężyste. W przypadku MES moża co prawda wykorzystać do daszych badań odcikową aproksymację wyikającą z fukcji kształtu ae ze wzgędu a iski stopień wieomiaów stosowaych zazwyczaj do opisu tych fukcji (fukcji kształtu) uzyskae w te sposób rozwiązaie ie jest dostateczie reguare zwłaszcza jego koeje pochode. Zastosowaie metody eemetów skończoych z kasyczą aproksymacją przemieszczeń oraz z wykorzystaiem dokładiejszych i bardziej złożoych fukcji kształtu do dyamiczej aaizy układów prętowych o zmieych parametrach moża zaeźć w pracach: [ ]. Zastosowaie tej metody do rozwiązywaia płyt o zmieych parametrach podao w pracach: [ ]. Do rozwiązaia układów o zmieych parametrach stosuje się rówież metodę sztywych eemetów skończoych (SES). Opis metody oraz przykłady jej zastosowaia moża zaeźć m.i. w pracach [ ]. Wad opisaych w przypadku MES ie mają oczywiście ścisłe rozwiązaia aaitycze. Niestety rówaia różiczkowe opisujące rozważae w pracy probemy są rówaiami o zmieych współczyikach i mają rozwiązaia aaitycze tyko da okreśoej postaci współczyików. Przykłady takich rozwiązań da zagadień statyczych w tym probemów stateczości moża zaeźć p. w moografii [4]. Zagadieia dyamicze rozwiązywae metodami aaityczymi da okreśoej postaci współczyików rówań ruchu moża zaeźć w pracach [ ]. W przypadku ogóym tj. da dowoych współczyików rozwiązaia aaitycze ie istieją. Ią kasą metod mających zastosowaie do rozwiązywaia tego typu zadań są metody aproksymacyje w których rozwiązań poszukujemy w postaci skończoych ub ieskończoych szeregów. Niewątpiwą zaetą tych metod jest półaaitycza postać rozwiązaia. Dokładość rozwiązaia zaeży od postaci przyjętych fukcji bazowych od rozmiaru bazy aproksymującej a przede wszystkim od zastosowaej metody; a przykład: metody Rayeigha Ritza Gaerkia szeregów potęgowych oraz metod w których stosuje się do aproksymacji kasycze szeregi Fouriera. Metodę Rayeigha Ritza do rozwiązaia zagadień dyamiczych w których aaizowaymi układami były beki o zmieych parametrach wykorzystao w pracach: [4 7 85]. Rozwiązaie tą samą metodą zagadieia drgań płyt podłużie iejedorodych przedstawioo w pracach: [ ]. Metoda Rayeigha Ritza jest jedą z częściej stosowaych do rozwiązaia tego typu probemów metod aproksymacyjych. Przykłady zastosowaia metody Gaerkia moża zaeźć w pracach [ i ]. Rozwiązaia zagadieia drgań prętów i płyt prostokątych o zmieej sztywości z zastosowaiem do aproksymacji szeregów Fouriera przedstawioo m.i. w moografii

8 Wstęp 7 [8]. Prezetowae w pracy [8] rozwiązaia są ciekawą iustracją zastosowaia metody szeregów Fouriera. Rozwiązaia te mają jedak słabe stroy które wyikają z zastosowaej metody a są imi: ograiczoa dokładość aproksymacji w otoczeiu końców przedziału w przypadku gdy poszukiwaa fukcja przyjmuje a końcach róże wartości (co wyikało ze zaego w teorii szeregów Fouriera zjawiska Gibbsa) koieczość doboru fukcji aproksymujących (sius kosius) w zaeżości od występujących waruków brzegowych oraz z tego że zmiaa waruków brzegowych wymaga praktyczie poowego rozwiązaia. Powoduje to że metoda jest trudo agorytmizowaa. Zastosowaie do aproksymacji w zagadieiach dyamiczych szeregów Fouriera moża zaeźć rówież w pracach: [ ]. Rozwiązaia omawiaych zagadień z zastosowaiem wieomiaów ub szeregów potęgowych przedstawioo w pracach: [ ] (układy prętowe) [ ] (płyty). Zdecydowaa większość prac w których stosowao metody aproksymacyje dotyczyła układów w których zmiee parametry przyjmowały zadaą okreśoą postać. Z iych metod stosowaych do rozwiązywaia zagadień drgań układów iepryzmatyczych jest metoda kwadratur różicowych DQM (Differetia Quadrature Method) która poega a zastosowaiu w rozwiązywaym rówaiu różiczkowym kwadratur umeryczych służących do wyzaczeia pochodych fukcji a podstawie zbioru wartości fukcji wyjściowej. Tę czysto umeryczą metodę zastosowao m.i. w pracach [ ]. Naeży podkreśić że wskazaie wad opisywaych sposobów rozwiązywaia probemów ie ma a ceu ich dyskredytowaia ae pokazaie że wciąż jest miejsce a udoskoaaie oraz opracowywaie owych metod służących do ich rozwiązywaia. Każda metoda rozwiązaia ma bowiem swoje iezaprzeczae zaety oraz pewe wady a ich występowaie zaeży od typu zagadień czy typu układów do których rozwiązywaia ją zastosowao. Ceem iiejszej pracy jest przedstawieie metody oraz opracowaie a jej podstawie agorytmów służących do aaizy dyamiczej dźwigarów (beek płyt) o zmieych parametrach geometryczych i fizyczych (w pracy ie rozważa się zagadień prowadzących do rówań o zmieych w czasie współczyikach). W rozważaej metodzie korzysta się z twierdzeia opisującego sposób przybiżoego rozwiązywaia iiowych rówań różiczkowych zwyczajych za pomocą wieomiaów Czebyszewa (patrz praca [44]). Ze wzgędu a ogóy charakter zastosowaego twierdzeia uzyskaie skuteczych agorytmów wymaga zdefiiowaia rówań opisujących rozwiązywae zagadieie (p. przyjęcie rówaia ruchu beki rówaia ruchu płyty) ie wymaga atomiast okreśeia występujących w rówaiu współczyików fukcyjych. Opisaa metoda jest metodą aproksymacyją rozwiązaie otrzymujemy w postaci szeregu Czebyszewa. Uzyskae rozwiązaia mają zatem wygodą do daszych ewetuaych przekształceń postać półaaityczą. Jak już wspomiao stosowaa metoda umożiwia rozwiązaie zagadień w których parametry geometrycze i materiałowe aaizowaych układów są opisae dowoymi fukcjami. Jedyym z ieicz-

9 8 Rozdział ych waruków stawiaym tym fukcjom jest możiwość rozwijaia pewych (okreśoych w założeiach stosowaego twierdzeia) iiowych kombiacji tych fukcji i ich pochodych w zbieże szeregi Czebyszewa. Daczego do rozwiązaia aaizowaych probemów wybrao właśie szeregi Czebyszewa? Powodów jest kika. Jedym z ich jest to że aeżą oe do jedych z epiej przebadaych i opisaych wieomiaów. Drugim ważiejszym powodem są ich bardzo dobre właściwości aproksymacyje. Opis tych właściwości wraz z dowodami odpowiedich twierdzeń moża zaeźć w obszerej iteraturze specjaistyczej dotyczącej tych wieomiaów m.i. w moografii [44] czy w pracach cytowaych w tej moografii. O przydatości wieomiaów Czebyszewa we wszekiego rodzaju procedurach umeryczych może świadczyć rówież bogata iteratura dotycząca metod umeryczych w których te wieomiay mają zastosowaie. Przykładem mogą być prace: [ ]. Aaizowae w pracy modee układów mają bardzo ogóy charakter i uwzgędiają zazwyczaj ajważiejsze czyiki wpływające a day układ wyprowadzoe rozwiązaia pozwaają a aaizowaie wieu zagadaień związaych z rozważaymi układami. W iektórych przedstawiaych probemach aby zwiększyć przejrzystość prezetowaego rozumowaia została ograiczaa iczba uwzgędiaych czyików wpływających a day układ. W tych jedak przypadkach moża wykorzystać wcześiejsze rozważaia umożiwiające wyprowadzeie brakujących eemetów rozwiązaia. Rozprawa zawiera rozdziałów. W rozdziae drugim przedstawioo wybrae defiicje właściwości i twierdzeia dotyczące wieomiaów i szeregów Czebyszewa. W rozdziae tym przedstawioo rówież wybrae zagadieia związae z teorią rówań różiczkowych zwyczajych. W koejych rozdziałach wyprowadzoo z wykorzystaiem omawiaej w pracy metody ogóe rozwiązaia zagadień drgań układów prętowych i płyt. Rozdział trzeci dotyczy dyamiki iepryzmatyczych prostoiiowych prętów Euera. W rozdziae tym opracowao metodę umożiwiającą rozwiązaie wszystkich podstawowych zagadień dyamiczych: zagadieia własego probemu drgań wymuszoych harmoiczie i aperiodyczie oraz drgań wymuszoych ieiercyjym obciążeiem ruchomym. Dokoao porówaia rozwiązań zagadieia własego beek pryzmatyczych uzyskaych różymi metodami. Porówywae metody to: metoda eemetów skończoych oraz metody aproksymacyje w których rozwiązaia poszukiwao w postaci kasyczych szeregów potęgowych ub trygoometryczych szeregów Fouriera. Otrzymae rozwiązaia porówao rówież dokładymi rozwiązaiami aaityczymi. Rezutaty tych porówań pokazały że różica między dokładym rozwiązaiem aaityczym a rozwiązaiem przybiżoym (błąd rozwiązaia) jest zaczie miejsza w przypadku zastosowaia do rozwiązaia prezetowaej w pracy metody iż w przypadku stosowaia iych testowaych w przykładzie metod.

10 Wstęp 9 Rozdział czwarty dotyczy zagadieia drgań iepryzmatyczych prętów Euera gdy waruek prostoiiowości osi pręta ie jest spełioy. W tej sytuacji do matematyczego opisu modeu pręta wprowadza się prostoiiową oś odiesieia. Kosekwecją tego jest powstaie w rówaiach sprzężeń między przemieszczeiami poprzeczymi i podłużymi. Wyprowadzoo zaeżości pozwaające a rozwiązaie tego probemu oraz pokazao możiwość wykorzystaia opracowaej metody do rozwiązaia zagadień ieiiowych. Aaizowaym zagadieiem ieiiowym jest probem drgań iepryzmatyczej beki o osi krzywoiiowej gdzie uwzgędioo wpływ sił osiowych a poprzecze przemieszczeia beki. Rozdział piąty dotyczy zagadień stateczości układów prętowych obciążoych siłami zachowawczymi i iekoserwatywymi. Aaizując układy iiowe ograiczoo rozważaia do okreśeia poziomu obciążeń krytyczych. Jako waruki utraty stateczości wykorzystao kietycze kryterium w sesie węższym (utrata stateczości przez fatter) oraz kryterium statycze (utrata stateczości przez bifurkacje wyboczeia). Wykorzystując opisywaą w pracy metodę rozwiązaia opracowao agorytm pozwaający a rozwiązaie tego typu probemów. W rozdziae szóstym pokazao możiwość zastosowaia opisaej metody rozwiązywaia do zdefiiowaia iepryzmatyczego eemetu skończoego. Rozwiązaie zagadieia drgań beki krótkiej spoczywającej a iercyjej półpłaszczyźie sprężystej zamieszczoo w rozdziae siódmym. To skompikowae zagadieie rozwiązao wykorzystując omawiaą w pracy metodę oraz metodę aaityczą zastosowaą w pracy Sejmowa [6] do rozwiązaia zagadieia drgań sztywego boku fudametowego a półpłaszczyźie sprężystej. Rozważaia dotyczące drgań oraz stateczości układów prętowych w których eemetami są beki Timosheki zamieszczoo w rozdziae ósmym. Podobie jak w rozdziae trzecim dokoao porówaia rozwiązań zagadieia własego beki pryzmatyczej uzyskaych różymi metodami: metodą eemetów skończoych oraz metodami aproksymacyjymi wykorzystującymi do aproksymacji kasycze szeregi potęgowe ub szeregi Fouriera. Otrzymae rozwiązaia porówao rówież z dokładymi rozwiązaiami aaityczymi. Koeje dwa rozdziały (rozdz. 9 ) są poświecoe dyamice iejedorodych (iepryzmatyczych) płyt kołowych i pierścieiowych. W rozdziae dziewiątym rozwiązao ogóie zagadieia drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich o osiowo-symetryczym rozkładzie parametrów obciążoych obciążeiem o dowoym rozkładzie. Uwzgędioo wpływ sił statyczych działających w płaszczyźie płyty a jej ugięcie. Rozwiązaie rówań ruchu płyt średiej grubości opisaych według teorii Hecky ego Boe a przedstawioo w rozdziae dziesiątym. Okreśając zakres aaizy prezetowaych w poszczegóych rozdziałach probemów przyjęto zasadę że w przypadku szczegółowego omówieia okreśoego zadaia jedego typu kostrukcji ie rozważa się go w kostrukcji iego typu. Oczywiście kiedy w rozumowaiu owego typu układu ie pojawiają się istote zmiay. Omówioe w przypadku beek Euera zagadieia drgań harmoiczych aperiodyczych ie są rozważae w rozdziałach dotyczących iych typów układów. Aaogiczie

11 Rozdział postąpioo z tłumieiem uwzgędiając go tyko w bekach pomiięto je atomiast w pozostałych aaizowaych układach. Uproszczeie to miało a ceu zwiększeia przejrzystości prezetowaych rozważań. Wyprowadzoe rozwiązaia ogóe są iustrowae przykładami obiczeiowymi. Przykłady te moża podzieić a dwie grupy. Jedą grupę tworzą przykłady iustrujące możiwość zastosowaie wyprowadzoych rozwiązań ogóych do rozwiązaia kokretych probemów mechaiki. Grupę drugą staowią przykłady służące do iustracji skuteczości metody oraz badaia dokładości otrzymaych rozwiązań. W przykładach tych porówujemy otrzymae w pracy rozwiązaia z rozwiązaiami uzyskaymi przez iych autorów a w przypadku ich braku porówaia wykoywae są z układami o stałych parametrach (beki pryzmatycze płyty jedorode) gdzie istieją ścisłe rozwiązaia aaitycze. Poieważ ceem pracy było przedstawieie metody oraz opracowaie odpowiedich agorytmów zrezygowao z rozwiązywaia takich przykładów w których ceem byłaby szczegółowa aaiza wpływu wybraych parametrów a zachowaie się rozważaego układu. Wyiki we wszystkich przykładach umeryczych otrzymao za pomocą programów kodowaych przez autora w systemie Mathematica z wykorzystaiem umeryczych procedur tego systemu. Ze wzgędu a możiwość pełej kotroi dokładości obiczeń otrzymae wyiki w ramach aaizowaych procedur możemy uważać za dokłade.

12 . WYBRANE ZAGADNIENIA DOTYCZĄCE WIELOMIANÓW I SZEREGÓW CZEBYSZEWA ORAZ TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH.. WPROWADZENIE W rozdziae przedstawimy wybrae defiicje właściwości i twierdzeia dotyczące wieomiaów i szeregów Czebyszewa ograiczając rozważaia do podaia tych iformacji które ajczęściej będą stosowae w iiejszej moografii. Czyteika zaiteresowaego ogóą wiedzą oraz probemami szczegółowymi dotyczącymi wieomiaów i szeregów Czebyszewa odsyłamy do specjaistyczej iteratury m.i. do wieokrotie cytowaej w iiejszej pracy moografii [44]. W rozdziae tym przedstawimy rówież wybrae zagadieia związae z teorią rówań różiczkowych zwyczajych... DEFINICJE SZEREGÓW CZEBYSZEWA ZBIEŻNOŚĆ Szeregiem Czebyszewa fukcji g(x) okreśoej w przedziae [ ] azywamy jej rozwiięcie gdzie ' def k Tk T T T (.) k= [ ] [ ] [ ] [ ] g x = a g x = a g x + a g x + a g x +... ak[ g] = ( x ) g( x) Tk ( x) dx π (.) a T k (x) są wieomiaami Czebyszewa I rodzaju.

13 Rozdział Wieomiay Czebyszewa I rodzaju są ortogoae w przedziae [ ] z wagą ( x ) / i defiiują je astępujące wzory rekurecyje ( x) = ( x) = x T T T x = x T x T x k = k k k (.3) Wieomiay moża rówież okreśić wzorami [ k/] k k j j Tk ( x) = x ( x ) k =... j (.4) j= ub Tk x = cos karccos x x k = ± ±... (.5) gdzie [k] ozacza część całkowitą iczby. Przyjęcie astępującej zaeżości ( x) T ( x) T k = k (.6) umożiwia rozszerzeie defiicji wieomiaów a ujeme całkowite wartości k. Łatwo wykazać że wieomiay T k (x) są fukcjami parzystymi da parzystych k i ieparzystymi da k ieparzystych. Wykresy pierwszych czterech parzystych i ieparzystych wieomiaów Czebyszewa I rodzaju przedstawioo a rysukach. i Rys... Wieomiay Czebyszewa T k (x) k = 4 6

14 Wybrae zagadieia dotyczące wieomiaów i szeregów Czebyszewa Po przyjęciu Rys... Wieomiay Czebyszewa T k (x) k = [ ] [ ] 3... a g a g k szereg Czebyszewa (.) możemy przedstawić w postaci k = k = (.7) g ( x) = ak[ g] Tk ( x). (.8) k = Jedym z podstawowych twierdzeń dotyczących zbieżości szeregów Czebyszewa jest twierdzeie ([44] s. T. 8.4) że da dowoej fukcji g(x) ciągłej i mającej wahaia skończoe w przedziae [ ] (do szerokiej kasy fukcji o wahaiach skończoych aeżą m. i. fukcje przedziałami mootoicze) jej szereg Czebyszewa (.) zbiega do fukcji g(x) jedostajie w tym przedziae. W przypadku fukcji przedziałami ciągłej szereg jest jedostajie zbieży w każdym domkiętym podprzedziae przedziału ciągłości. Oprócz wieomiaów Czebyszewa T k (x) pierwszego rodzaju defiiuje się wieomiay Czebyszewa drugiego rodzaju U k (x). Poieważ w iiejszej pracy pojawiają się oe rzadko ograiczymy rozważaia tyko do podaia ich defiicji. Wieomiay U k (x) defiiują astępujące związki rekurecyje ( x ) = ( x) = x U U U x = xu x U x k = k k k (.9) Moża je rówież okreśić wzorami [ k ] k + k j j Uk ( x) = x ( x ) k =... j + (.) j=

15 4 Rozdział ub Uk x = x si k + arccos x x < k = ± ±... (.) Wykresy pierwszych trzech parzystych i ieparzystych wieomiaów Czebyszewa II rodzaju przedstawioo a rysukach.3 i Rys..3. Wieomiay Czebyszewa U k (x) k = Rys..4. Wieomiay Czebyszewa U k (x) k = 3 5 W przypadku gdy rozwijaa fukcja jest okreśoa w przedziae [ ] wygodie jest stosować przesuięte wieomiay Czebyszewa ( x) = ( x ) ( x) = ( x ) * * T T U U.

16 Wybrae zagadieia dotyczące wieomiaów i szeregów Czebyszewa PRZYBLIŻONE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Z WYKORZYSTANIEM SZEREGÓW CZEBYSZEWA Jedym z podstawowych arzędzi wykorzystywaych do rozwiązywaia omawiaych w pracy zagadień jest astępujące twierdzeie dotyczące rówań różiczkowych zwyczajych [44]: oraz gdzie Twierdzeie Jeżei fukcja f (x) spełia rówaie różiczkowe iiowe rzędu > j= ˆ ( m ) ˆ Pm x f x = P( x) (.) m= m m+ j j ( ( ) ˆ m j Q ) m x = Pj ( x) m=... m j (.3)! = m m! ( m)! a Pˆ m Pˆ ( ) ( ) są dowoymi fukcjami ae takimi że fukcje ( Q ˆ f) ( Qf)... Q f P mają okreśoe współczyiki szeregów Czebyszewa zwykłych ub przesuiętych to da każdego całkowitego k prawdziwa jest astępująca tożsamość m m ˆ bmj k ak m+ j Qm x f x = bj k a k + j P( x) m= j= j= m m * * b ˆ mj k ak m+ j Qm x f x = bj k a k + j P( x) 4 m= j= j= (.4) gdzie b mj (k) są wieomiaami zmieej całkowitej k j m b ( )( ) mj k = k k m+ j k + j+ k j m+ j j m =... j =... m (.5)

17 6 Rozdział ( k ) = = k( k + )( k + )...( k + ) = 3... (.6) a a [ k h ] i ak [ h ] są odpowiedio k-tymi współczyikami rozwiięcia fukcji h(x) w szereg Czebyszewa wzgędem zwykłych i przesuiętych wieomiaów Czebyszewa I rodzaju. Dowód tego twierdzeia moża zaeźć w pracy [44] s W ceu epszego zrozumieia przestawioego twierdzeia oraz prezetowaych jego uogóień przedstawimy szkic zaprezetowaego w pracy [44] szczegółowego dowodu twierdzeia. W szkicu tym ograiczymy rozważaia do wzorów związaych ze zwykłymi wieomiaami Czebyszewa. W pierwszym etapie dowodu twierdzeia udowadia się prawdziwość zaeżości ( ) ( m ) ˆ ( m Q ) m x f x = Pm x f ( x) (.7) m= m= pozwaającej a zastąpieie rówaia (.) rówaiem m= ( m) ( Q ) ˆ m x f x = P( x). (.8) Korzystając z tego że obie stroy rówaia (.8) mają idetycze współczyiki rozwiięcia Czebyszewa przyrówuje się do siebie takie same astępujące ich iiowe kombiacje m b ˆ j k ak + j Qm x f x = bj k ak + j P x. (.9) j= m= j= Ostati etap poega a udowodieiu zaeżości = m m mj k m+ j m j= b k a Q x f x ( m ) b k a Q x f x j k + j m j= (.) z której oraz z rówaia (.9) wyika teza twierdzeia (.4). Cytowae twierdzeie moża uogóić a układy iiowych rówań różiczkowych (patrz [44] s. 33). Układ N rówań różiczkowych możemy przedstawić w postaci macierzowej

18 Wybrae zagadieia dotyczące wieomiaów i szeregów Czebyszewa... 7 ˆ ( m ) ˆ Pm x f x = P ( x) (.) m= gdzie współczyiki P ˆ m( x ) są macierzami kwadratowymi stopia N a f(x) i P ˆ ( x ) są N-eemetowymi wektorami. Różiczkowaie wektora ozacza tutaj różiczkowaie każdej jego składowej. Jeśi fukcja wektorowa f(x) spełia układ rówań (.) oraz są spełioe założeia cytowaego twierdzeia to da każdego całkowitego k prawdziwa jest tożsamość m m ˆ bmj k ak m+ j Qm x f x = bj k a k + j P( x) m= j= j= m m ˆ bmj k ak m+ Qm x f x = bj k a k + j P( x) 4. m= j= j= (.) Występujące we wzorze fukcje Q m (x) są macierzowymi odpowiedikami fukcji okreśoych wzorem (.3) m m+ j j ( ( ) ˆ m j Q ) m x = P j ( x) m=... (.3) m j j= a a [Q m (x) f(x)] ozacza wektor którego eemetami są -te współczyiki rozwiięcia Czebyszewa składowych wektora Q m (x) f(x). Aaizując szkic dowodu cytowaego twierdzeia łatwo zauważyć astępującą możiwość uogóieia tego twierdzeia: Jeżei fukcje f(x) i g(x) spełiają rówaie różiczkowe oraz m= ˆ ( m ) ˆ ( ( m ) ˆ m x x + m x x ) = ( x) P f R g P (.4) m m+ j j ( ( ) ˆ m j Q ) m x = P j ( x) m=... (.5) m j j= m m+ j j ( ( ) ˆ m j S ) m x = R j ( x) m=... (.6) m j j= to da każdego całkowitego k prawdziwa jest tożsamość

19 8 Rozdział ( + + ) m m mj k m j m k m j m m= j= = Q f + S g P b k a ˆ x j k + j j= ( + + ) m m 4 mj k m j m k m j m m= j= = b k a x x a x x Q f + S g b k a x x a x x P b k a ˆ x. j k + j j= (.7) W szczegóym przypadku gdy wszystkie występujące we wzorze (.4) fukcje są fukcjami dwóch zmieych (x t) a fukcja g(x t) = p f/ t p wtedy układ rówań (.4) staje się układem rówań różiczkowych cząstkowych. Przedstawioe uogóieie pozwaa a sprowadzeiu układu rówań różiczkowych cząstkowych do ieskończoego układu rówań różiczkowych zwyczajych w których iewiadomymi są zaeże od t współczyiki rozwiięcia Czebyszewa poszukiwaej fukcji f(x t). Poieważ w daszej części pracy będziemy wykorzystywać cytowae twierdzeie do rozwiązywaia rówań ub układów rówań różiczkowych rzędu i 4 (ze wzgędu a zmieą x) dasze rozważaia ograiczymy do układu rówań tych rzędów traktując jedocześie rówaie (.) jako szczegóy przypadek rówaia (.). W przypadku układu czwartego rzędu ( = 4)) po obiczeiu wieomiaów b mj (k) występujących we wzorze (.) i wykorzystaiu zaeżości (patrz [44] s.8 39) okreśającej wartość k-tego współczyika rozwiięcia ioczyu fukcji g(x) i f(x) wzorem a g( x) f ( x) = ( a [ g] + a + [ g] ) a [ f ] k k k = [ ] * * * k = k [ ] + k+ [ ] = a g x f x a g a g a f (.8) rówaia (.) przyjmą postać ieskończoego układu rówań agebraiczych = { ( k )( k )( k ) k ak [ ] ak+ [ ] Q + Q ( k )( k )( k ) ak [ Q] ak+ [ Q] ak + [ Q] ak++ [ Q] ( k )( k )(( k ) ak [ ] ak+ [ ] k ak ak+ + ( k ) ( ak + [ Q] + ak++ [ Q] )) ( Q Q ) ( [ Q] [ Q] )

20 gdzie Wybrae zagadieia dotyczące wieomiaów i szeregów Czebyszewa... 9 ( k 9) (( k )( k ) ( ak 3[ Q3] ak+ 3[ Q3] ) 3( k )( k+ ) ( ak [ Q3] + ak+ [ Q3] )) ( 3( k )( k ) ( ak + [ Q3] ak++ [ Q3] ) ( k )( k ) a [ Q ] a [ Q ] ( k k )) ( k )( k )( k 3) ( ak 4[ Q4] ak+ 4[ Q4] ) ( k )( k ) ak [ Q4] ak+ [ Q4] k( k )( ak [ Q4] ak+ [ Q4] ) ( k 3)( k 4) ak + [ Q 4] + ak++ [ Q4] + ( k )( k )( k 3) ( ak + 4[ Q4] + ak++ 4[ Q4] ))} a[ f] ( 3) 4 4( 3)( 4) 6 ( 9) 4( k 3)( k 4) a Pˆ + ( k )( k )( k 3 ) a Pˆ = k+ k+ k+ a ˆ ˆ ˆ k k k a k k k a P + P + k P k+ k+ 4 k = 3... (.9) def a [ f ] = a[ f ] + a[ f ] + a[ f ] +... (.3) = () () () = ˆ = 4 ˆ + ˆ = 6 ˆ 3 ˆ + ˆ (.3) (3) () () (4) (3) () () 3 = 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = Q P Q P P Q P P P Q P P P P Q P P P P P a a [f] są poszukiwaymi współczyikami rozwiięcia Czebyszewa fukcji wektorowej f. W przypadku uogóioej wersji twierdzeia (wzory (.4) (.7)) we wzorze (.9) zamiast fukcji Q m wprowadzamy Q m + S m. Postępując aaogiczie w przypadku rówań rzędu drugiego ( = ) otrzymamy = { ( k ) k ( ak [ ] + ak+ [ ] ) ( k ) ak [ Q] ak+ [ Q] ak + [ Q] ak++ [ Q] Q Q (( k ) ( ak [ Q] ak+ [ Q] ) k ( ak [ Q] ak+ [ Q] ) k a + a a ( k Q k Q ))} [ f] + [ ] ++ [ ] = k + a ˆ ˆ ˆ k k a k k a P P + k+ P k = 3... (.3)

21 Rozdział gdzie Q P ˆ Q P ˆ P ˆ Q P ˆ P ˆ P ˆ. (.33) () () () = = + = + W przypadku zastosowaia do rozwiązaia rówań różiczkowych przesuiętych wieomiaów Czebyszewa I rodzaju otrzymujemy aaogicze rówaia różiące się od rówań (.9) i (.3) tyko współczyikami iczbowymi. I tak we wzorze (3.9) współczyiki 8 4 aeży zastąpić iczbami atomiast we wzorze (3.3) współczyiki zastępujemy iczbami 8. Wyika to ze wzoru (.4) oraz z tego że wzór a współczyiki rozwiięcia ioczyu dwóch fukcji w przypadku wieomiaów przesuiętych jest taki sam jak da zwykłych wieomiaów Czebyszewa (patrz wzór (.8)). W ieskończoych układach rówań (.9) i (.3) w zaeżości od rzędu rówaia różiczkowego którego oe dotyczą pierwsze rówań da k =... jest spełioych tożsamościowo. W rozważaych przez as przypadkach mamy odpowiedio = 4 ub =. Rówaia te zastępuje się rówaiami opisującymi waruki brzegowe. W okreśaiu waruków brzegowych przydate będą astępujące wzory służące do obiczaia wartości wieomiaów Czebyszewa i ich pochodych w puktach x = ± ([44] s. 48): ( m T ) () =!! ( m ) gdy m = m k= m+ + k gdy m> (.34) ( m ) m ( m T ( ) = ( ) T ) (). (.35) ( ) gdy m= parzyste m m m T = m+ k gdy m> m parzyste k= gdy m ieparzyste (.36) gdzie m. W wyiku podstawieia związków (.3) i (.33) odpowiedio do układów rówań (.9) i (.3) w układach tych pojawią się współczyiki rozwiięć w szeregi Czebyszewa fukcji P i (x) a [P i (x)] oraz współczyiki rozwiięć pochodych tych ( m) ( m) fukcji P ( x) a [ P ( x)] gdzie w zaeżości od rzędu rówaia i postaci fukcji i i

22 Wybrae zagadieia dotyczące wieomiaów i szeregów Czebyszewa... P i (x) parametr m może przyjmować wartości m = 3 4 ub m =. Po wykoaiu opisaego podstawieia główym probemem jaki pojawia się w metodzie rozwiązaia jest wyrażeie współczyików rozwiięć pochodych fukcji m ( m) ( m) f a = a f = a m x przez współczyiki rozwiięć fukcji wyjściowych a = a [f] gdzie przez f ozaczyiśmy dowoą fukcję będącą eemetem wzoru okreśającego fukcje P i (x). Do rozwiązaia zagadieia wykorzystuje się astępujący związek między współczyikami rozwiięcia w szereg Czebyszewa fukcji f (x) a współczyikami rozwiięcia jej pierwszej pochodej f (x) ([44] s. 4 7) a = ( a a + ) * *' * a ' = ( a a+ ) 4 (.37) gdzie = [ ] [ ] a a f f a = a f = a x *' * * f a = a f = a x. * * a [ ] = a f [ ] Zastosowaie zaeżości (.37) (mimo jej prostoty) w przypadku rówań różiczkowych wyższych rzędów ie jest zadaiem prostym. Ze wzgędu a koieczość pozbycia się w iektórych rówaiach różiczkowych osobiwych możików x m m k ub ( x ) / rówaia będą możoe obustroie przez x k ub x. Podczas wykoywaia tej operacji korzysta się z astępującego związku (patrz [44] s. 3 6) m m m m a x f ( x) = a m+ j j= j m=... m * m m m * a x f ( x) = a m+ j j= j m=... (.38) gdzie * * = = a a [ f( x)] a a [ f( x)].

23 Rozdział.4. WYBRANE ZAGADNIENIA DOTYCZĄCE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Bardzo użyteczym twierdzeiem wykorzystywaym w rozwiązywaiu układu rówań różiczkowych o stałych współczyikach (A = cost) q& = Aq+ f (.39) q = q jest astępujące twierdzeie o sprowadzaiu macierzy do postaci kaoiczej Jordaa (patrz p. [9] s. 7 [7] s. 537): Twierdzeie Każda macierz kwadratowa A -tego stopia jest podoba do pewej macierzy mającej postać jordaowską J = SAS dets (.4) ( λ ) ( λ ) ( λ ) J = diag J J... J m m m (.4) gdzie λ λ... λ m są różymi wartościami własymi macierzy A oraz J () ( r ) J k λk = diag k λk k λk... k λk r = r k J J J (.4) () i ( λ ) k k λk... λ... k λk... i =... r( k) k =... m = () i () i () i dim k ( λk ) J = ek ek... λk... λk Mówimy że macierze A i B są podobe jeśi istieje macierz S (det S ) taka że B = SAS.

24 Wybrae zagadieia dotyczące wieomiaów i szeregów Czebyszewa... 3 jest tzw. katką Jordaa odpowiadającą wartości własej λ k przy czym każdej wartości własej λ k macierzy A o krotości α k odpowiada jeda ub kika katek Jordaa stopia e (i) k () () ( r) gdzie ek + ek ek = αk r = r( k) k =... m oraz α + α α m =. Liczba r(k) katek Jordaa odpowiadających wartości własej λ k jest rówa maksymaej iczbie iiowo iezaeżych wektorów własych macierzy A da wartości λ k. W przypadku gdy r(k) = α k mamy e () () ( r ) k = ek =... = ek = i wszystkie katki Jordaa odpowiadające λ k redukują się do jedoeemetowych katek prostych J ( i) k ( λ k ) = [ λk ]. Z przedstawioego twierdzeia wyika że macierz współczyików A (rów. (.39)) moża przedstawić w postaci A = S JS gdzie J jest macierzą Jordaa a zatem układ rówań różiczkowych (.39) sprowadzić do astępującej postaci S Sq& = S JSq+ f. (.43) Po wprowadzeiu podstawieia y = Sq i pomożeiu ewostroie obu stro rówaia (.43) przez S otrzymujemy y& = Jy+ Sf (.44) y = y = Sq. Z teorii rówań różiczkowych zwyczajych wiadomo że rozwiązaiem układu rówań o stałych współczyikach (.44) jest fukcja (patrz [7] s. 39) t y t = Y t y + Y t τ Sf τ dτ (.45) gdzie Y(t) jest uormowaą macierzą fudametaą rówaia jedorodego tj. macierzą kwadratową spełiającą astępujące macierzowe rówaie różiczkowe dy dt () t () t = JY (.46) oraz waruek początkowy Y() = I. Korzystając z faktu że y = Sq rozwiązaie q(t) wyraża się wzorem () = () + ( ) q t S Y t S q S Y t τ S f τ dτ t = Z t q + Z t τ f τ dτ. t (.47)

25 4 Rozdział Poieważ macierz J ma postać jordaowską okreśoą wzorem (.4) uormowae fudametae rozwiązaie układu (.46) wyraża się wzorem (patrz [7] s. 5) gdzie J t t t m( m) t () t e diag J λ J λ J λ Y = = e e... e (.48) ek λk t t λk t t λk t t λk t e e e... e!! ( ek )! ek λk t t λk t t λk t e e... e! ( ek )! J k( λk) t e = (.49) ek 3 λk t t λk t e... e ( ek 3! ) λk t... e

26 3. DRGANIA NIEPRYZMATYCZNYCH PRĘTÓW EULERA O OSI PROSTOLINIOWEJ 3.. WPROWADZENIE W iiejszym rozdziae aaizujemy zagadieia drgań prętów iepryzmatyczych tj. prętów których charakterystyki geometrycze ub materiałowe są zmiee a długości pręta. O dużym zaczeiu tego typu zadań w praktyce iżyierskiej może świadczyć duża iczba pubikacji zajmujących się tą probematyką. Rozwiązaie wieu zagadień statyczych w tym stateczości moża zaeźć w moografii Kryickiego i Mazurkiewicza [4]. Autorzy pracy [4] rozpatrzyi wiee złożoych staów obciążeń. Uzyskae rozwiązaia miały postać aaityczą. Autorzy ograiczyi rozważaia do prętów których momet bezwładości przekroju moża opisać fukcją J ξ = J μ ξ + μ ξ = 3 4. s i k Te sam sposób rozwiązaia zagadieia drgań ram złożoych z prętów o iiowo zmieej wysokości zastosowao w pracy Kryickiego [3]. Aaitycze rozwiązaie probemu drgań swobodych beki o iiowo zmieej wysokości i szerokości z dołączoym do beki zbiorem oscyatorów harmoiczych uzyskao w pracy Chea i Wu a []. Wyzaczoe rozwiązaie miało postać iiowej kombiacji fukcji Bessea. Rozwiązaie w postaci kombiacji fukcji Bessea otrzymai rówież De Rosa i Maurizi [8]. W cytowaej pracy rozwiązai zagadieie drgań swobodych da beki o zadaym zmieym przekroju cz cz Az = A + I( z) = I + L L z dodatkową masą skupioą oraz jawym eemetem tłumiącym. Rozwiązaie poegające a rozwiięciu fukcji przemieszczeń w szereg Fouriera wyzaczeiu eergii kietyczej i sprężystej a astępie rozwiązaie rówaia Lagrage a zostało przed- +

27 6 Rozdział 3 stawioe w pracy Heidebrechta [7]. Szeregi Fouriera do rozwiązaia probemów statyczych i dyamiczych wykorzystał w swej moografii Kacer [8]. Zastosowaie szeregów Fouriera uzupełioych wieomiaami potęgowymi do rozwiązywaia szerokiej kasy probemów opisaych przez iiowe rówaia różiczkowe o zmieych współczyikach do których prowadzą m.i. zagadieia drgań prętów o zmieym przekroju przedstawioo w pracy Gaga Rao i Spyrakosa [59]. Macierz sztywości i bezwładości beki o iiowo zmieej wysokości wyzaczył Gupta [64] i a ich podstawie rozwiązał zagadieie włase beki wsporikowej i swobodie podpartej. Bekami iepryzmatyczymi zajmował się rówież Eiseberger. W pracy [34] Eiseberger wyzaczył eemety macierzy sztywości da kiku rodzajów beek iepryzmatyczych. Razem z Reichem w pracy [35] zastosował do rozwiązaia zagadień statyczych i dyamiczych metodę eemetów skończoych aproksymując przemieszczeia wewątrz eemetu wieomiaami trzeciego stopia. W rozważaych zagadieiach sztywość i gęstość beki była okreśoa przez wieomiay potęgowe. Formuły pozwaające a wyzaczeie eemetów macierzy sztywości eemetu bekowego o zmieych sztywościach osiowej skrętej i giętej opisaych szeregami potęgowymi Eiseberger przedstawił w pracy [33]. Taką samą wieomiaową aproksymację do wyzaczeia macierzy sztywości i bezwładości bekowych eemetów skończoych typu Euera i Timosheki o zmieych parametrach zastosował Kasztory [9]. W pracy [9] zostało rozwiązaych wiee przykładów iustrujących zastosowaie opisaej metody. Uogóieie formuł uzyskaych w pracy [33] opisujących macierze sztywości i bezwładości da prętów o zmieej a długości pręta sztywości i gęstości spoczywających a dwuparametrowym podłożu możemy zaeźć w pracy Gabisza [58]. W pracy tej aaizowao zagadieie stateczości iepryzmatyczego pręta poddaego działaiu iepotecjaych obciążeń. Podobie jak w pracy [33] i [9] do aproksymacji fukcji przemieszczeń zastosowao szeregi potęgowe. Kasycze wieomiay potęgowe do rozwiązaia zagadień drgań różych typów beek zastosował rówież w swych pracach Eishakoff [4 43]. Uwzgędiając przestrzey rozkład odkształceń i aprężeń (3-D) oraz stosując metodę Ritza w pracy [85] Kag i Leissa rozwiązai zagadieie włase da beki o zmieym a długości kołowym przekroju. Otrzymae rozwiązaie porówao z rozwiązaiem kasyczym (-D) beki Euera. Jako przykłady zastosowaia iych metod do rozwiązywaia omawiaego probemu mogą służyć prace Mateji [3] oraz Karami i Maekzadeha [88]. Autor pracy [3] wykorzystując metodę macierzy przeiesieia rozwiązał zagadieie drgań swobodych dwóch połączoych sprężyście prętów o skokowo zmieym przekroju. Natomiast w pracy [88] zastosowao do rozwiązaia probemu drgań beek iepryzmatyczych metodę kwadratur różicowych DQM (Differetia Quadrature Method). Metoda ta poega a zastosowaiu w rozwiązywaym rówaiu różiczkowym kwadratur umeryczych służących do wyzaczeia pochodych fukcji a podstawie zbioru wartości fukcji wyjściowej. Szczegółowy opis tej metody moża zaeźć m.i. w pracy Berta i Maika [6]. Metodę tę do rozwiązywaia zagadień drgań prętów pryzmatyczych zastosowai rówież Che Striz i Bert [3]. Zastosowaie tej

28 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 7 samej metody do rozwiązywaia probemów drgań beek i płyt prostokątych moża zaeźć też w pracy Waga Berta i Striza [9]. Rozwiązaie zagadieia drgań beki iepryzmatyczej obciążoej siłą osiową przedstawioo w pracy Aucieo [6]. Zadaie rozwiązao metodą Rayeigha Ritza przyjmując za fukcje aproksymujące zbiór fukcji ortogoaych. Pierwszy eemet tego zbioru to wieomia spełiający waruki brzegowe astępe eemety wyzaczoo metodą ortogoaizacji Grama Schmidta. Aaitycze rozwiązaie swobodych drgań podłużych pręta o zmieym przekroju w postaci fukcji hipergeometryczych przedstawioo w pracy [46]. Przykłady rozwiązaia probemów statyczych i dyamiczych dotyczących beek iepryzmatyczych z wykorzystaiem różych metod moża zaeźć w pracy Gabisza [56]. Zastosowae w tej pracy metody to: metoda Gaerkia z aproksymacją trygoometryczą metoda Ritza metoda strzałów. Do rozwiązaia jako arzędzie wspomagające wykorzystao program Mathematica. Osobą grupę dotyczącą zagadień drgań beek staowią prace w których czyikiem wymuszającym drgaia są obciążeia ruchome. Pomijając bogatą bibiografię dotyczącą układów pryzmatyczych którą moża zaeźć m.i. w moografii Fryby [5] Śiadego [7] oraz pracach przegądowych Szcześiaka [75 77] ograiczymy dyskusję do prac dotyczących układów iepryzmatyczych. Aaiza zagadień tego typu moża zaeźć p. w pracach Dugusha Eisebergera [3] Zhega Cheuga Au a Chega [4 ] oraz Martieza Castro Muserosa i Castio Liaresa [9]. W pracy [3] rozwiązao zagadieie drgań wieoprzęsłowej beki wykorzystując do aproksymacji kasycze wieomiay potęgowe. Fukcje włase jako fukcje aproksymujące oraz zasadę Hamitoa zastosowao w pracy []. Rozwiązaie probemu drgań beki o okresowej geometrii wywołaych działaiem determiistyczych i osowych obciążeń ruchomych przedstawioo w pracach Mazur-Śiady i Śiadego [36 37]. W pracach tych wykorzystao mode beki o prawie periodyczej strukturze uzyskay metodą uśrediaia toeracyjego opracowaej przez Woźiaka [94]. W iiejszym rozdziae rozważamy zagadieie iiowych drgań beki o zmieych parametrach wytrzymałościowych i geometryczych spoczywającej a dwuparametrowym iejedorodym podłożu sprężystym [ ] (w pracy [8] podao obszery przegąd iteratury dotyczącej probematyki układów spoczywających a sprężystym podłożu). Zakładamy że zmiee parametry pręta takie jak sztywość gięta i osiowa gęstość zmiee (pod beką) parametry podłoża i obciążeie moża przedstawić w postaci rozwiięcia w szereg wzgędem wieomiaów Czebyszewa I rodzaju. Wykorzystując twierdzeia i zaeżości dotyczące tych wieomiaów przedstawioe w rozdziae wyzaczamy ogóe rozwiązaie w postaci szeregu Czebyszewa. Współczyiki otrzymaego rozwiązaia są okreśoe zamkiętymi formułami aaityczymi. Aaizowae są podłuże i poprzecze drgaia pręta. Stosując aaogię między rówaiami opisującymi ruch podłuży i skręty pręta moża zastosować uzyskae zaeżości okreśające drgaia podłuże do opisu drgań skrętych. Przedstawioą metodę zastosowao do rozwiązaia zagadieia własego beki swobodie

29 8 Rozdział 3 podpartej i wsporikowej. Uzyskae wyiki umerycze porówao z rezutatami uzyskaymi w pracach [64 7]. Rozwiązao rówież zagadieie drgań wymuszoych harmoiczie drgań wymuszoych aperiodyczie oraz drgań wymuszoych obciążeiem ruchomym. W rozdziae dokoao porówaia rozwiązań zagadieia własego beek pryzmatyczych uzyskaych różymi metodami. Porówywae metody to: metoda eemetów skończoych oraz metody aproksymacyje w których rozwiązaia poszukiwao w postaci kasyczych szeregów potęgowych ub trygoometryczych szeregów Fouriera. Otrzymae rozwiązaia porówao rówież z dokładymi rozwiązaiami aaityczymi. Rezutaty tych porówań pokazały że rozwiązaia otrzymae prezetowaą w pracy metodą są obarczoe zaczie miejszymi błędami (w stosuku do dokładych rozwiązań) iż wyiki uzyskae iymi metodami testowaymi w przykładzie. Niektóre z omawiaych w tym rozdziae probemów przedstawioo w pracy autora [5]. 3.. SFORMUŁOWANIE ZADANIA Przedmiotem rozważań jest aaiza drgań iepryzmatyczej beki Euera o osi prostoiiowej długości a spoczywającej a dwuparametrowym podłożu sprężystym którą poddao działaiu obciążeń dyamiczych. Aaizowae będą dwa odrębe zagadieia: zagadieie drgań poprzeczych beki wywołaych obciążeiem ormaym P(X t) (rys. 3.) oraz zagadieie drgań podłużych wywołaych przez stycze siły R(X t) (rys. 3.). EJ(X) ρ(x) P(X t) oś odiesieia -a oś odiesieia po deformacji W(X t) N(X) Y C(X) K(X) +a X Rys. 3.. Schemat dyamiczy układu w przypadku aaizy drgań poprzeczych Rozdzieeie drgań a dwa zagadieia umożiwia wprowadzeie założeia upraszczającego poegającego a pomiięciu wpływu zmieych sił osiowych (wyi-

30 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 9 EA(X) ρ(x) R(X t) oś odiesieia -a U(X t) +a X F(X) Y Rys. 3.. Schemat dyamiczy układu w przypadku aaizy drgań podłużych kających z drgań podłużych) a poprzecze drgaia beki. Przyjmiemy poadto że występujące w układzie tłumieie ma charakter zewętrzy oraz w ceu uproszczeia pomiiemy wpływ sił bezwładości podłoża (uwzgędieie sił bezładości podłoża omówioo szczegółowo w rozdziae 7). Da przyjętych założeń poprzecze i podłuże iiowe drgaia iepryzmatyczej beki są opisae astępującymi rówaiami różiczkowymi cząstkowymi (patrz p. Osiński [4]) W W W EJ ( X) N ( X) C( X) + K( X) W X X X X X X W W + θv + = t t ( X) ρ( X) P( X t) (3.) U U U EA( X) + HU+ θh ( X) + ρ( X) = R ( X t) X X t t (3.) gdzie W i U przemieszczeie prostopadłe i stycze do osi beki E moduł Youga A(x) i J(x) poe i momet bezwładości przekroju beki. Fukcja ρ(x) jest masą pręta przypadającą a jedostkę długości H(X) K(X) C(X) fukcje charakteryzujące reakcje podłoża sprężystego a θv θh fukcyje parametry tłumieia. Przyjęto że N(X) > da siły rozciągającej. W formułowaiu waruków brzegowych wyikających ze sposobu podparcia beki w puktach ±a będziemy dodatkowo korzystać z zaeżości defiiujących kąt obrotu przekroju beki momety gące siły tące oraz siły osiowe

31 3 Rozdział 3 W Φ( Xt ) = X W M( X t) = EJ X W W Q( X t) = EJ + ( N + C) X X X U S( X t) = EA X Po wprowadzeiu wiekości bezwymiarowych X W U x= w= u = a a a rówaia (3.) i (3.) przyjmą postać EJ ( x) 4 3 w EJ x w w EJ ( x) ( N ( x) + C( x) ) x x x x x w + g ρ ( x) = p ( x t) t N x C x w w + + K( x) w+ θv ( x) x x x t u EA x u u d EA( x) + + H ( x) u+ θh ( x) x x x t u + gρ ( x) = r ( x t) t a związki (3.3) wyrażą się wzorami φ w = = x ( xt) Φ( ax t) ( ) M ax t a w m( x t) = = EJ EJ x ( ) 3 Q ax t a w w w q( x t) = = EJ EJ + N + C 3 EJ x x x x S( ax t) u s( x t) = = EA EA x (3.3) (3.4) (3.5) (3.6)

32 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 3 gdzie EJ = EJEJ N = PN C= PC K = P K ρ = ρ ρ θ EJ VH = θ 4 VH P= P p a a a 4 P P a P a ρ a EA a a EJ EJ EJ EA = EA EA H = H R = r = g = d = (3.7) a EJ EA ρ P są wiekościami porówawczymi. W ceu uproszczeia zapisu kosekwetie przyjmujemy EJ EA N... zamiast EJ EA N... Nie będziemy rówież rozróżiai symboi θ V i θ H przyjmując a ich jedo ozaczeie θ pamiętając że w rówaiach dotyczących drgań poprzeczych θ = θ V a w rówaiach opisujących drgaia podłuże θ = θ H. Waruki brzegowe podstawowych sposobów podparcia beki w puktach ±a przedstawioo w tabei 3.. Tabea 3.. Waruki brzegowe podstawowych sposobów podparcia beki Sposób podparcia w ϕ q m u s Rówaia (3.4) i (3.5) uzupełioe warukami brzegowymi są podstawą do rozwiązaia sformułowaego probemu OGÓLNE ROZWIĄZANIE PROBLEMU DRGAŃ Do rozwiązaia rówań (3.4) (3.5) wykorzystao przedstawioe w pukcie.3 twierdzeie dotyczące rówań różiczkowych zwyczajych. Rozwiązań rówań różiczkowych cząstkowych (3.4) (3.5) poszukiwać będziemy w postaci szeregów Czebyszewa

33 3 Rozdział 3 w xt ' a w x ' w t x ( ) = [ ] T = T (3.8) = = u xt ' a u x ' u t x ( ) = [ ] T = T (3.9) = = gdzie a [w] a [u] poszukiwae współczyiki rozwiięcia fukcji przemieszczeń w i u w szeregi Czebyszewa ozaczoe w daszej części pracy odpowiedio przez w i u. Rozwiązaie probemu rozpocziemy od rówaia czwartego rzędu (3.4) opisującego przemieszeia w(x t). W tym przypadku występujące w (.4) fukcje P ˆ ˆ m P są okreśoe wzorami: Pˆ ( x) = EJ( x) ˆ EJ ( x) P ( x) = x ˆ EJ ( x) P ( x) = ( N( x) + C( x) ) x ˆ N( x) C( x) P3 ( x) = + (3.) x x Pˆ x = K x 4 ˆ w w P( x t) = p( x t) g ρ( x) θ ( x) t t = p x t g x w x t x w x t. ρ&& θ & Po podstawieiu wyrażeń opisujących fukcje P ˆm do wzoru (.3) otrzymamy: 4 = Q x EJ x EJ ( x) Q ( x) = x EJ ( x) Q ( x) = x N x + C x N( x) C( x) Q3 ( x) = + x x Q x K x. = ( ) (3.) Jeżei wprowadzimy astępujące ozaczeia współczyików rozwiięć występujących w rówaiu różiczkowym (3.4) fukcji:

34 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 33 ρ ( ) && && ( ) & & ( ) e = a EJ x = a N x c = a C x k = a K x g = a x (3.) θ = a θ x p t = a p xt w t = a w xt w t = a w xt to współczyiki rozwiięcia w szereg Czebyszewa fukcji Q i (x) i = 3 4 oraz P ˆ( x t ) będą miały postać [ ] [ ] a Q = a EJ = e EJ a[ Q ] = a = e x EJ a Q a N C e c x [ ] = ( + ) = ( + ) N C a Q a c x x a Q = a K = k [ ] = + = ( + ) 3 [ ] [ ] 4 ˆ a P = p t g g + g w t () ( + )&& () m m m m= + ( θ m θ+ m) w& m( t) m=. (3.3) We wzorze (3.3) zastosowao astępującą kowecję dotyczącą ozaczaia współczyików: jeśi przez a ozaczymy -ty współczyik rozwiięcia fukcji f(x) tj. a = a [f] to a ozacza -ty współczyik rozwiięcia fukcji f (x) tz. a = a [ f ] itd. Okreśoe współczyiki fukcji Q i (x) i = 3 4 oraz P ˆ( x t) (wzór 3.3) podstawiamy do układu rówań (.9). Układ te poddajemy daszym przekształceiom z wykorzystaiem związku (.37). W ceu umożiwieia czyteikowi prześedzeia toku wykoywaych przekształceń jak rówież ułatwieia stosowaia omawiaej metody do rozwiązywaia iych ieprezetowaych w pracy probemów przedstawimy szczegółowy tok wykoaych a rówaiu (.9) przekształceń. Da przejrzystości przedstawiaych operacji ograiczymy rozważaia do pokazaia szczegółowych przekształceń tyko tych współczyików rówaia (.9) które zawierają fukcję EJ(x) i jej pochode. Po wykorzystaiu wprowadzoych we wzorze (3.3) ozaczeń odpowiedie części rówaia (.9) związae z fukcjami Q i (x) i = przyjmują postać:

35 34 Rozdział 3 współczyiki związae z Q (x) współczyiki związae z Q (x) ( k )( k )( k ) k ( e e + ) k + k (3.4) ( k )( k )( k )( e e + e + e ++ ) k + k k k (3.5) współczyiki związae z Q (x) ( k )( k ) (( k + )( ek + ek + ) k ( ek + ek + ) + ( k )( ek + + ek ++ )). (3.6) Pomiięcie w rówaiu (.9) eemetów związaych z fukcjami Q 3 (x) Q 4 (x) wyika z tego że w Q 3 (x) i Q 4 (x) ie występują fukcje EJ (m) (x). Dasze przekształceia poega a takiej modyfikacji wzorów (3.5) i (3.6) aby moża było zastosować wzór (.37) zapisay w formie a a + = a. Przekształceie wzoru (3.5): ( k )( k )( k )( ek ek + ek + ek ++ ) ( k )( k )( k ) ( ek ek + ) ( ek + ek ++ ) ( k )( k )( k )(( k ) ek ( k ) ek ) = = Przekształceie wzoru (3.6): ( k 9)( k 4) (( k )( ek ek ) ( k )( ek ek + ) (3.7) ( k k + k k + ( k + k ++ )) k 9 k 4 k + e + e k e + e + k e + e = + ( k )( ek + ek + ) ( k )( ek + ek ++ )) + + ( k = 4 k 9 k 4 k + k e k k + e k + ( k ) ( k ) ek + ( k )( k + + ) ek ++ ) ( = 4 k 9 k 4 k + k e e e k k + k + ( k )( k )( ek + ek ++ ) ek ++ ) ( k )( k )(( k )( k )( ek ek + ) ( ek + j ek + j+ ) = ( k )( k )( ek + ek ++ )) j=

36 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 35 ( k )( k )( k ) ek+ ) ( = 8 k 9 k 4 k+ k k e k + j e k k + j j= (3.8) Po wykoaiu a pozostałych eemetach wzoru (.9) aaogiczych przekształceń oraz redukcji podobych wyrazów otrzymamy ieskończoy układ rówań różiczkowych zwyczajych pozwaający a wyzaczeie współczyików w rozwiięcia fukcji przemieszczeń w okreśoego wzorem (3.8): = (( ) ) ' Ek+ Nk+ Ck+ Kk w + Θk w& + ggkw&& = Fk k =... (3.9) gdzie E = 8( k 9)( k 4) ( k + )( ) e ( k + j) e + ( k )( ) e k k k + j k+ j= ( + ) ( + ) N = k 9 k + k + k 4 k k k k k ( k )( k ) ( ) + k + k++ ( + ) ( + ) C = k 9 k+ k + c c k 4 c c k k k k k ( k )( k ) ( c c ) + k + k++ K = k + k + k + k + k k + k k + k ( 3)( + ) 4( 3)( 4)( + ) ( k k+ ) ( k + k+ + ) k k 4 k 4 k k + 6k k 9 k + k 4 k 3 k 4 k + k ( k )( k )( k )( k k ) + 3 k k++ 4 (3.)

37 36 Rozdział 3 G = k + k + k + g + g k + k g + g ( 3) 4( 3)( 4) + + 6k( k 9)( gk gk+ ) 4( k 3)( k 4)( gk + gk+ + ) ( k )( k )( k 3 )( gk + 4 gk++ 4) k k 4 k 4 k k Θ = k + k + k + + k + k + ( 3)( θ θ ) 4( 3)( 4)( θ θ ) + + 6k( k 9)( θk θk+ ) 4( k 3)( k 4) θk + + θk++ ( k )( k )( k 3 )( θk + 4 θk++ 4) k k 4 k 4 k k ( 3) 4 4( 3)( 4) k k+ k+ 4 (3.) Fk = k + k + k + pk k + k pk (3.) + 6k k 9 p 4 k 3 k 4 p + k k k 3 p. Aby wyzaczyć przemieszczeia u(x t) aeży rozwiązać rówaie różiczkowe (3.5). Fukcje P ˆ ˆ m P występujące we wzorze (.) oraz związae z imi zaeżością (.33) fukcje Q m są okreśoe w tym przypadku astępującymi wzorami: = EA( x) = d Pˆ x d EA x Pˆ x x Pˆ x H x Pˆ xt = r xt g u&& θ u& = = = EA( x) Q x d EA x Q x d x Q x H x. = (3.3) (3.4) Fukcję przemieszczeń u poszukujemy w postaci szeregu Czebyszewa okreśoego wzorem (3.9). Podobie jak w przypadku wyzaczaia przemieszczeń w zmieą t traktujemy jako parametr. Po wyzaczeiu współczyików rozwiięć w szeregi Czebyszewa fukcji Q m podstawieiu ich do układu rówań (.3) i wykoaiu takich samych przekształceń jak w przypadku rozwiązywaia rówaia (3.4) otrzymamy astępujący ieskończoy układ rówań różiczkowych zwyczajych pozwaający a wyzaczeie poszukiwaych współczyików u

38 = Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 37 (( ) ) ' d Dk+ Hk u+ Θk u& + ggku&& = Rk k =... (3.5) gdzie ( + ) D = k d + d k k k Hk = (( k + )( hk + hk+ ) k( hk + hk+ ) + ( k )( hk + + hk++ ) ) Gk = (( k + )( gk + gk+ ) k( gk + gk+ ) + ( k )( gk + + gk++ ) ) Θk = (( k + )( θk + θk+ ) k ( θk + θk+ ) + ( k )( θk + + θk++ ) ) R = k + r k r + k. k k k r k + (3.6) Występujące we wzorze (3.6) współczyiki są współczyikami rozwiięć astępujących fukcji: ρ ( ) d = a EA x h = a H x g = a x r t = a r x t. W dotychczasowych rozważaiach ie uwzgędiaiśmy waruków brzegowych. Waruki te wyikają ze sposobu podparcia beki w puktach ± (końce beki) i w przypadku podstawowych sposobów podparcia zostały opisae w tabei. Przy ich opisie korzystać będziemy ze wzorów (3.6) z rozwiięć w szeregi Czebyszewa fukcji EJ(x) N(x) EA(x) oraz zaeżości (.34) (.35). Wartości wieomiaów Czebyszewa i ich pochodych w puktach ± obiczoe a podstawie wzorów (.34) i (.35) wyoszą () = ( ) = ( ) T T () = ( ) = ( ) T T ( ) ( ) T () = T ( ) = T () = T ( ) =. 5 5 (3.7) Obiczoe zaś z ich wykorzystaiem wartości fukcji EJ N EA EJ/ x iezbęde do wyzaczeia sił przekrojowych w puktach ± wyrażają się wzorami:

39 38 Rozdział 3 EJ + = EJ = ' e T = ' e + = = ' ' = = EJ = EJ = e T = ( ) e EJ x EJ x = EJ ' () ' + = e = e x=+ = = T ' ' = EJ = e = ( ) e x= = = T (3.8) ' ' N N N N ( + ) = + = ( ) = = ( ) = = ' ' C C c C C c ( + ) = + = ( ) = = ( ) = = ' ' EA EA d EA EA d. ( + ) = + = ( ) = = ( ) = = (3.9) Na podstawie wzorów (3.6) oraz obiczoych wartości fukcji (3.8) (3.9) otrzymamy zaeżości iezbęde w defiiowaiu waruków brzegowych. Zaeżości te związae odpowiedio z drgaiami poprzeczymi i podłużymi pręta mają postać W( + a t ) ( ) ( ) ' W a t ( ) ' w + t = = w w t = = ( ) w a = a = ' ' φ + t = Φ + a t = w φ t = Φ a t = w ( + ) = = M a t a m( + t) = = EJ ' + w EJ 3 = M( a t) a ( ) ' m t = = EJ ( ) ( ) w EJ 3 = Q( + a t) a q( t) ' + = = ( ( ) EJ+ ( )( 4) EJ+ w EJ + = 3 5 N + C w ( + + ) ) ( a t) a ' ( EJ = 3 5 ( + + ) ) Q q t = = EJ + 4 EJ N + C w w (3.3)

40 oraz Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 39 U + a t U a t u( + t) = = u u t = = u a (3.3) S( + a t) S a t s( + t) = = EA u s t = = EA u. EA ' ' = a = ' ( ) ' + = EA = Gdy dwuparametrowym podłożem jest podłoże Pasteraka Własowa czy Fiłoieki-Borodicza a koiec beki jest końcem swobodym wówczas a koiec pręta działa dodatkowa siła wyikająca z oddziaływaia ieobciążoej zajdującej się poza iią kotaktu części podłoża sprężystego. Uwzgędieie tej siły prowadzi do astępujących rówań okreśających waruki brzegowe ( ± ) = ( ± ) q t C wˆ x t x x=± (3.3) gdzie w ˆ ( x t) jest rozwiązaiem da ieobciążoej części podłoża x opisaej rówaiem wˆ wˆ C( x) K( x) wˆ + gρ ( x) =. x x t (3.33) W przypadku przyjęciu założeia że parametry podłoża da x są stałe oraz pomiięciu sił bezładości podłoża w tym obszarze przemieszczeia w ˆ ( x t) są okreśoe wzorem (patrz p. [93]) α( x+ ) w( t) e gdy x wˆ ( x t) = (3.34) α ( x ) w( + t) e gdy x + gdzie K α =. C W tym przypadku wartości pochodych występujących we wzorze (3.3) moża wyrazić wzorem wˆ x t ˆ ( ) ( ) ' =± αw ± t =± αw ± t =± α ( ) w. (3.35) x = x=± W ieskończoych układach rówań (3.9) i (3.5) jak już wspomiaiśmy odpowiedio pierwsze cztery oraz pierwsze dwa rówaia są spełioe tożsamościowo. Rówaia te zastępujemy rówaiami okreśającymi waruki brzegowe.

41 4 Rozdział 3 W przypadku rówań różiczkowych cząstkowych prezetowaa metoda prowadzi do ieskończoego układu rówań różiczkowych zwyczajych w przypadku zagadień stacjoarych (zagadieie włase drgaia wymuszoe harmoiczie) do ieskończoego układu rówań agebraiczych. Nieskończoe układy rówań mogą być przedstawioe w astępującej postaci macierzowej Kpp Kpr vp v& p && vp Fp + + = (3.36) Krp Krr vr Crp Crr v& r Brp Brr && vr Fr gdzie v = [w w w...] T ub v = [u u u...] T. Po wykoaiu możeia rówaie (3.36) przyjmuje postaci K ppvp + K pr vr = Fp (3.37) Krp vp + Krr vr + Crpv& p + Crrv& r + Brp&& vp + Brr&& vr = Fr gdzie podmacierze K pp K pr mają odpowiedio wymiary i ( = 4 ub ) i ich eemety są współczyikami związaymi z warukami brzegowymi podmacierze K rp K rr C rp C rr i B rp B rr są macierzami współczyików występujących w rówaiach (3.9) ub (3.5) v p = [v... v ] T v r = [v v + v +...] T a wektory F p F r okreśają odpowiedio waruki brzegowe oraz współczyiki związae z obciążeiem zewętrzym. Z rówaia (3.37) w przypadku gdy det K pp (det K pp = w przypadku układu geometryczie zmieego) otrzymamy p = pp pr r + pp p. v K K v K F (3.38) Po podstawieiu (3.38) do rówaia (3.37) dostaiemy K K K K v C C K K v B B K K && v ( ) + ( )& + ( ) = Fr ( Krp + Crp + Brp) KppFp. rr rp pp pr r rr rp pp pr r rr rp pp pr r (3.39) Aby rozwiązać układy rówań różiczkowych jest koiecze jeszcze okreśeie waruków początkowych T = = + v vp vr K ppk pr vr K ppfp vr T T p ( ) r v& = = pp pr r ( ) + pp p r ( ) v& v& K K v& K F v&. T (3.4) Poieważ między wektorami v p () i v r () oraz v& p () i v& r () zachodzi związek (3.38) bardzo często mówiąc o warukach początkowych będziemy ograiczai aaizę do waruków okreśoych przez wektory v r () v& (). r

42 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej WYBRANE ZAGADNIENIA DRGAŃ PRĘTÓW NIEPRYZMATYCZNYCH ZAGADNIENIE WŁASNE Wyprowadzoe w pukcie 3.3 rówaia wykorzystamy do rozwiązaia zagadieia własego. Nieskończoy układ rówań różiczkowych (3.39) w przypadku zagadieia własego staje się ieskończoym układem rówań agebraiczych ( Krr KrpKppKpr ) ω ( Brr BrpKppKpr ) vr =. (3.4) W ceu jego rozwiązaia ograiczymy go do układu skończoego. Wtedy fukcje przemieszczeń są okreśoe przez skończoe sumy szeregów Czebyszewa m w x ' w T x = = m u x ' u T x. = = (3.4) Po rozwiązaiu zagadieia własego otrzymujemy częstości włase ω i oraz wektory włase v ir rówaia (3.4). Korzystając z obiczoych wektorów v ir oraz związku (3.38) moża wyzaczyć wektory v i vip K ppk prvir vi = =. (3.43) v v ir ir Eemety wektorów v i są współczyikami rozwiięć (3.4) form własych w i (x) ub u i (x) rozważaego zagadieia. Przykład 3. Przedstawioą metodę stosujemy do rozwiązaia zagadieia własego da przedstawioych a rysukach 3.3 i 3.4 prętów iepryzmatyczych. Przykłady te zaczerpięto z prac [ ]. h b h h(x) h x h a a Rys Schemat beki swobodie podpartej

43 4 Rozdział 3 h h h(x) h x b h a a Rys Schemat beki wsporikowej Parametry geometrycze prętów wyoszą: a = 38 m (5 i) b = 4 m ( i) h = 38 m (5 i) h = 575 m (5 i). Pozostałe parametry zadaia to 6 E = 6899 N/m 3 b/i 3 4 ρ = kg/m b sec /i V gdzie ρ V masa a jedostkę objętości. Badając zbieżość rozwiązań układu (3.4) rozwiązao zadaie da coraz większego rozmiaru bazy aproksymującej przyjmując koejo m = 5 3. Uzyskae częstości włase oraz formy włase w i i = przedstawioo odpowiedio da beki swobodie podpartej w tabei 3. i 3.3 oraz a rys. 3.5 i 3.6 da beki zaś wsporikowej w tabei 3.4 i a rysuku 3.7 (przedstawioo tyko częstości i poprzecze formy włase poieważ częstości i podłuże formy włase beki wsporikowej są takie same jak beki swobodie podpartej). Tabea 3.. Częstości poprzeczych drgań własych beki swobodie podpartej m ω [rad/s] ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω m ω 8 ω 9 ω ω ω ω 3 ω i i i i i i i

44 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 43 5 W W W W4 W5 W Rys Poprzecze formy włase beki swobodie podpartej Tabea 3.3. Częstości podłużych drgań własych beki swobodie podpartej m ω [rad/s] ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω m ω 8 ω 9 ω ω ω ω 3 ω

45 44 Rozdział 3 W W W W4 W5 W Rys Podłuże formy włase beki swobodie podpartej Tabea 3.4. Częstości poprzeczych drgań własych beki wsporikowej m ω [rad/s] ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω m. ω 8 ω 9 ω ω ω ω 3 ω C *) C C C C *) C zespooa wartość własa Występowaie częstości własych o wartościach zespooych może być pewym zaskoczeiem. Naeży jedak pamiętać że macierz współczyików układu rówań ie jest macierzą symetryczą co jest warukiem dostateczym otrzymaia rzeczywistych wartości własych. Do macierzy takiej prowadzą ie metody rozwiązywaia

46 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 45 W W W W4 W5 W Rys Poprzecze formy włase beki wsporikowej p. metoda eemetów skończoych. Trzeba pamiętać że rówież w tych metodach mimo że wyższe częstości włase są iczbami rzeczywistymi wyzaczoe wartości da ograiczoej bazy aproksymacyjej mogą zaczie różić się od wartości faktyczych. Wyzaczoe częstości poprzeczych drgań własych układu z rysuku 3.3 porówao z wyikami przedstawioymi w pracach [64 7] oraz z częstościami uzyskaymi metodą eemetów skończoych przy podziae układu a 6 eemetów prętowych typu Euera (eemety o 4 stopiach swobody). Wartości zestawioo w tabei 3.5. Częstości podobie jak w cytowaych pracach wyrażoo w Hz. Tabea 3.5. Porówaie wyików ω [Ηz] ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 Praca [7] [64] MES Z porówaia uzyskaych wyików widzimy że częstości włase wyzaczoe za pomocą prezetowaej w pracy metody iezaczie różią się od wartości dokładych

47 46 Rozdział 3 uzyskaych aaityczie (patrz praca [7]). Maksymay błąd wzgędy pierwszych trzech częstości wyosi 55 % i w stosuku do błędów jakimi są obarczoe częstości otrzymae za pomocą pozostałych metod jest błędem ajmiejszym DRGANIA WYMUSZONE HARMONICZNIE Ograiczając rozważaia do zagadieia drgań poprzeczych pręta przyjmijmy że a pręt działa obciążeie harmoiczie zmiee p(x t) = p(x)e iωt gdzie ω jest częstością kołową wzbudzeia. W tym przypadku układ rówań (3.36) przyjmuje postać K pp K pr w p + iω ω =. (3.44) rp rr rp rr rp rr K K C C B B wr Fr Wektor wyrazów woych F r = [F 4 F 5 F 6...] T jest okreśoy przez prawą stroę rówaia (3.9) i jego eemety wyrażają się wzorem {( 3) 4 4( 3)( 4) 6 ( 9) ( k )( k ) pk+ ( k )( k )( k ) pk+ 4} F = k+ k + k + p k + k p + k k p k k k k (3.45) gdzie p współczyiki rozwiięcia w szereg Czebyszewa fukcji rozkładu obciążeia p(x) m p x = ' p T x. (3.46) = Układ rówań agebraiczych (3.44) pozwaa a bezpośredie rozwiązaie aaizowaego zagadieia. Przykład 3. Rozwiążemy probem drgań układu przedstawioego a rysuku 3.4 przyjmując obciążeie jako rówomierie rozłożoe p( x) = p = ( p). (3.47) Obiczeia wykoao da różych wartości częstości wymuszeia ω oraz dwóch wartości parametru tłumieia (przyjęto C rp = κ K rp C rr = κ K rr gdzie κ = γ /ω a γ = 5 5). Wykresy maksymaego przemieszczeia puktu x = a beki z rysuku 3.4 w zaeżości od częstości wymuszeia ω przedstawioo a rysuku 3.8.

48 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 47 a) Abs w( t) 4 [m] ω [rad s] Rys. 3.8a. Wykres przemieszczeń da x = w zaeżości od częstości wymuszeia ω b) Abs w( t) 6 [m] ω [rad s] Rys. 3.8b. Powiększeie fragmetu wykresu zazaczoego a rysuku 3.8a DRGANIA WYMUSZONE APERIODYCZNIE Drgaia pręta wymuszoe aperiodyczie opisuje rówaie ruchu przedstawioe wzorem (3.39). Nie zmiejszając ogóości rozważań przyjmiemy że wektor F p opisujący waruki brzegowe jest wektorem zerowym. Założymy poadto że układ te

49 48 Rozdział 3 jest już układem skończoym tj. przyjęiśmy poszukiwaą fukcję przemieszczeń (w ub u) w postaci skończoego szeregu. Uwzgędiając te założeia i wprowadzając astępujące ozaczeia ˆ K = K K K K rr rp pp pr ˆ C= C C K K rr rp pp pr ˆ B= B B K K rr rp pp pr (3.48) rówaie (3.39) możemy apisać w astępujący sposób Macierze Bv ˆ && + Cv ˆ & + Kv ˆ = F. (3.49) r r r r Kˆ Cˆ Bˆ są macierzami kwadratowymi o wymiarze N N = ( m 3) ( m 3) da rówaia opisującego drgaia poprzecze oraz N N = ( m ) ( m ) da rówaia drgań podłużych pręta gdzie m jest parametrem okreśającym rozmiar bazy aproksymującej (p. wzór (3.4)). Po pomożeiu rówaia (3.49) przez macierz B ˆ i wprowadzeiu podstawieia x r = v& r układ rówań (3.49) sprowadzimy do układu pierwszego rzędu a waruki początkowe przyjmą postać v& r I vr + ˆ ˆ ˆ ˆ = ˆ (3.5) x& r B K B C xr B Fr vr() vr() = r() r() (3.5) x v& gdzie I = diag(... ) jest macierzą jedostkową. Układ te oczywiście ma rozmiar dwukrotie większy iż układ wyjściowy (3.49). Po wprowadzeiu owych ozaczeń układ (3.5) oraz waruki początkowe (3.5) możemy apisać w prostszej postaci q& = Aq + f q r r r r = q r (3.5)

50 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 49 gdzie v r vr I qr = = A= ˆ ˆ ˆ ˆ fr = ˆ. (3.53) xr v& r B K B C B Fr Gdy zastosujemy do rozwiązaia rówaia (3.5) metodę przedstawioą w rozdziae.4 (postać rówaia (3.5) idetyczą z postacią rówaia (.39)) otrzymamy ostateczie () = () + ( ) q t S Y t Sq S Y t τ Sf τ dτ r r r t () r r = Z t q + Z t τ f τ dτ t (3.54) gdzie Y(t) wyraża się wzorem (.48) a macierz S jest macierzą sprowadzającą macierz współczyików A do postaci Jordaa tj. SAS = J (J jest macierzą Jordaa). Pamiętając o tym że q [ ] T r ( t ) = v r ( t) v& r ( t) a wektor współczyików rozwiięcia fukcji przemieszczeń ma postać v(t) = [v p (t) v r (t)] T oraz że między wektorami v p (t) i v r (t) zachodzi związek (3.38) ostateczie otrzymamy v () t () t KppK pr vr =. (3.55) vr () t Poieważ bezpośredio z rówaia (3.54) otrzymujemy rówież wektor v & r ( t) = xr ( t) możemy więc bez formaego różiczkowaia (wzgędem czasu) otrzymać wektor współczyików rozwiięcia fukcji prędkości () t KppKpr x r v& () t =. (3.56) xr () t Procedura ta jest szczegóie efektywa w przypadku gdy rozkład Jordaa prowadzi do jedokrotych wartości własych. W tym przypadku macierz Jordaa jest macierzą diagoaą J = {λ} i układ rówań (.44) prowadzi do iezaeżych rówań postaci N j j j j j jk r k k () λ () () () () y& t = y t + F t F t = s f t j =... N (3.57) gdzie s jk są eemetami macierzy S = W będącej odwrotością macierzy własej W AW = W{λ}.

51 5 Rozdział 3 Po wyzaczeiu wszystkich fukcji y j (t) i wykorzystaiu zaeżości q r (t) = S y(t) = Wy(t) otrzymamy N r j jk k k q () t = w y () t j =... N. (3.58) gdzie w jk są eemetami macierzy własej W. W przypadku bardziej skompikowaych wymuszeń F r (t) (f r (t)) wygodiejszą metodą rozwiązaia rówaia (3.57) może być bezpośredie całkowaie umerycze. Opisaa metoda jest zaa w iteraturze pod azwą metody modaej (patrz p. [94] s.8). Czas obiczeń moża skrócić odrzucając ieistote postacie drgań. Taką samą operację możemy wykoać w przypadku postaci drgań obarczoych błędami (formy włase odpowiadające wyższym częstościom). W tym przypadku uwzgędiamy k < N form własych a macierze trasformacji W i S = W stają się macierzami prostokątymi odpowiedio o wymiarach N k i k N. Zmieia się rówież iczba rozprzężoych rówań (3.57) (zamiast N mamy teraz k rówań) oraz iczba składików sumy (3.58) gdzie graicę sumowaia N zastępujemy k (patrz [94] s.8). Z możiwości zmiejszeia bazy aproksymacyjej korzystamy w zagadieiach aperiodyczych. Jak pokazao w p uzyskiwae przedstawioą metodą częstości włase w początkowej części widma charakteryzują się bardzo dużą dokładością i iczba tych bardzo dokładych wartości własych zwiększa się wraz ze wzrostem rozmiaru szeregu aproksymującego. Jedocześie dasza część widma jest obarczoa błędami metody. Częstości te oraz związae z imi formy włase jako błęde będą pomijae. W przypadku gdy macierz tłumieia jest iiową kombiacją macierzy sztywości i bezwładości C ˆ = β B ˆ + κ K ˆ zamiast aaizy układu (3.5) wygodiej rozwiązywać zmodyfikoway układ wyjściowy (3.49) gdzie ( β κ ) && v B B K v& B Kv && v Cv % & Kv % F% (3.59) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r + + r + r = r + r + r = r % ˆ = β + κ ˆ a ~ Fr Bˆ F r C I B K =. Jeżei rozwiązaiem zagadieia własego odpowiadającego zadaiu opisaemu rówaiem (3.59) są jedokrote wartości włase macierzą rozprzęgającą jest macierz własa Φ ( KΦ % = Φ{ ω } ). Stosując podstawieie v r = Φ x oraz możąc ewostroie rówaie (3.49) przez Φ otrzymamy N rozprzężoych rówań

52 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 5 () + ( β + κω ) & () + ω () = () && x t x t x t P t j j j j j j N () φ % () P t = F t j =... N j jk r k k (3.6) gdzie ω j częstości włase układu. Po rozwiązaiu układu (3.6) i wykorzystaiu zaeżości v r = Φx otrzymamy N vr j() t = φ jkxk() t j =... N. (3.6) k Założeie o postaci macierzy tłumieia Ĉ możemy osłabić. Wystarczy żeby macierz ta miała taką postać aby ioczy macierzy Φ B Cˆ Φ w wyiku dawał ma- cierz diagoaą. Przykład 3.3 Opisaą metodą rozwiążemy astępujące zadaie. Niech a układ przedstawioy a rysuku 3.3 działa a całej długości beki prostopadłe do osi obciążeie rówomierie rozłożoe p( x t) = p H( t) H( t Δ) = ( p) H( t) H( t Δ) (3.6) gdzie H(t) fukcja Heaviside a. Rozkład czasowy obciążeia przedstawioo a rysuku 3.9. p... Δ t Rys Obciążeie impusowe beki Rozwiięcie w szereg Czebyszewa przestrzeego rozkładu obciążeia w tym przypadku redukuje się do jedego wyrazu p = p p i = i. Przyjmujemy zerowe waruki początkowe v() = w() =. Geometrycze i materiałowe parametry przyjmują wartości okreśoe w przykładzie 3.. Wykresy przemieszczeń końca beki wsporikowej w( t) przedstawioo a rysuku 3. przy czym rysuek (a) dotyczy

53 5 Rozdział 3 przemieszczeń wywołaych impusem o czasie trwaia Δ = 5 s a rysuek (b) zaś Δ = s. a) t [s] 5 w( t) 5 b) t [s] 5 w( t) 5 Rys. 3.. Wykresy przemieszczeń da x = wywołae przez impusy prostokąte Przykład 3.4 Iym ważym typem obciążeń występującym w praktyce iżyierskiej są obciążeia ruchome. Typowym przykładem zagadieia gdzie obciążeia te występują jest zadaie drgań mostów wywołaych ruchem pojazdów. Jak wiadomo a końcową postać rówań ruch oprócz modeu dźwigara duży wpływ ma mode poruszających się pojazdów. Poieważ probem te doczekał się wieu opracowań a ceem pracy ie jest szczegółowe omówieie zjawisk dyamiczych wyikających z iterakcji między dźwigarem a różymi modeami pojazdów rozważaia ograiczymy do przypadku obciążeń ieiercyjych o ustaoej wartości i ustaoym rozkładzie. W przypadku

54 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 53 obciążeń iercyjych (ruchome masy resorowae i ieresorowee ub ich złożoe układy) w rówaiach ruchu pojawiają się zmiee w czasie współczyiki i jak wspomiao we wstępie tego typu probemy ie są przedmiotem rozważań w iiejszej pracy. Rozpatrzmy zadaie w którym obciążeie porusza się po pręcie ze stałą prędkością V. Rozkład przestrzeo-czasowy obciążeia po wprowadzeiu wiekości bezwymiarowych i parametrów opisaych wzorem (3.7) oraz podstawieiu V = av jest opisay wzorem p xt = P H x+ vt H x. (3.63) Schematyczy wykres obciążeia przedstawioo a rysuku 3.. P V + vt Rys. 3.. Postać obciążeia da różych czasów Zaim okreśimy wyrazy szeregu Czebyszewa obciążeia p(x t) zdefiiowaego wzorem (3.63) wyzaczymy rozwiięcie występującej w tym wzorze fukcji H( x) gdzie H(x) jest fukcją Heaviside a. Formaie k-ty wyraz szeregu tej fukcji jest okreśoy wzorem x k k k ( ) = ( )( ) = ( ) π (3.64) x [ ] k =... a H x x H x x x T x dx x T x dx π gdzie fukcja ( x ) / jest fukcją wagową. Po wykoaiu podstawieia x = cos t oraz wykorzystaiu przedstawioych w rozdziae wzorów (.5) i (.) otrzymamy ( ) = = k ( ) ak H x x si karccos x U x x πk πk a H ( x x) = arccos x k = 3... π (3.65) Gdy mamy wzory (3.65) okreśające wyrazy rozwiięcia w szereg Czebyszewa fukcji H( x) możemy wyzaczyć wyrazy rozwiięcia obciążeia p(x t):

55 54 Rozdział 3 k = p () t = P ( arccos ( vt ) arccos ( )) (3.66) π k = 3... pk () t = P U k ( vt ) ( vt ). (3.67) π k Jako przykład iustrujący zagadieie drgań wymuszoych obciążeiem ruchomym rozwiążemy bekę staową przedstawioą a rysuku 3.. c b b c... oś odiesieia. a A a x A d A-A.. h g h d (x) (x) Geometria beki opisaa jest fukcjami Rys. 3.. Aaizowaa beka hg ( x) = c( T ( x) ) b hd ( x) = c( T ( x) ) + b (3.68) gdzie T (x) = x jest wieomiaem Czebyszewa I rodzaju drugiego stopia. Przyjmiemy poadto: a= m b= m c= 5 m d = m. Rozważać będziemy dwa schematy statycze: bekę swobodie podpartą oraz bekę wsporikową. Pozostałe parametry to: moduł Youga E = 67 N/m gęstość beki ρ V = kg/m 3 prędkość ruchu obciążeia v = 3 m/s obciążeie P = N/m. W układach pomiięto tłumieie. Do aproksymacji użyto wyrazów szeregu Czebyszewa. Uzyskae wyiki w postaci fukcji przemieszczeń zaeżych od czasu da charakterystyczych puków aaizowaych beek x = 5 oraz

56 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 55 v t 5 w( x t) 9 Rys Przemieszczeia beki swobodie podpartej wywołae ruchomym obciążeiem w wybraych puktach beki: x = 5 x = x w( x t) 9 Rys Przemieszczeia beki swobodie podpartej wywołae ruchomym obciążeiem w wybraych chwiach: t = 5T t = 5T t = 75T t = T (T czas przejazdu frotu obciążeia przez bekę) x = 5 5 przedstawioo a rysukach 3.3 i 3.5. Czas obserwacji ograiczoo do czasu przejazdu siły po bece. Fukcje przemieszczeń całej beki w wybraych chwiach t = 5T 5T 76T T gdzie T czas przejazdu przez bekę frotu obciążeia (rys. 3.4 i 3.6).

57 56 Rozdział 3 v t w( x t) 8 Rys Przemieszczeia beki wsporikowej wywołae ruchomym obciążeiem w wybraych puktach beki: x = x = 5 x = x = x w( x t) Rys Przemieszczeia beki wsporikowej wywołae ruchomym obciążeiem w wybraych chwiach: t = 5T t = 5T t = 75T t = T PORÓWNANIE ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA WŁASNEGO PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH UZYSKANYCH RÓŻNYMI METODAMI W ceu zbadaia dokładości i skuteczości metody prezetowaej w pracy porówamy otrzymae rozwiązaia z dokładymi rozwiązaiami aaityczymi (patrz Nowacki

58 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 57 [39]). Jako zadaie testowe rozważymy zagadieie włase beki pryzmatyczej. Z dokładym rozwiązaiem aaityczym porówamy rówież rozwiązaia uzyskae iymi metodami przybiżoymi. Porówywae metody to: metoda eemetów skończoych oraz metody aproksymacyje w których rozwiązaia poszukujemy w postaci kasyczego szeregu potęgowego oraz kasyczego (trygoometryczego) szeregu Fouriera. Obiczeia wykoamy w przypadku dwóch typów beek: beki wsporikowej oraz beki a jedym końcu sztywo utwierdzoej a a końcu drugim swobodie podpartej którą w daszej części pracy będziemy azywać beką sztywo-przegubową. Nie wchodząc w szczegóły związae z wyprowadzeiem rówań przedstawiamy końcowe wzory pozwaające a wyzaczeie poszukiwaych współczyików szeregów aproksymujących dokłade rozwiązaia. W przypadku zastosowaia szeregów Fouriera rówaia te przyjmują postać: Beka wsporikowa (aproksymacja kosiusowa) k k+ m 6 ( ) L α k 4 ( ) + δkm + α m wk λ wm = k α m 3α = k k 6 ( ) L αk w = w 3... k m= k= 3αk (3.69) gdzie L = a długość beki w k współczyiki rozwiięcia w szereg Fouriera drugiej pochodej fukcji przemieszczeń w/ x x = X/L zmiea bezwymiarowa kπ k k 3... α = = 4 L λ = EJ ω ρa L a δ km symbo Kroeckera. Po zastąpieiu we wzorze (3.69) sum ieskończoych sumami skończoymi i rozwiązaiu da otrzymaego układu rówań zagadieia własego dostajemy wartości włase oraz odpowiadające im współczyiki rozwiięć form własych. Formy te oraz ich koeje trzy pochode wyzaczamy ze wzorów wk = αk + ( ) w x w cos x w L 3 x L k = αk 6L wk x w ( x) = si αk x+ w ( L) k= αk L w ( L ) w ( x) = + wk cos αkx L k= k = w x = α w si α x k k k (3.7)

59 58 Rozdział 3 gdzie w L L w k k. k= = ( ) Beka sztywo-przegubowa (aproksymacja siusowa) końcowe wzory przyjmują postać k= α αm 4 m λ = M wk = EJL α αk 4 k λ (3.7) gdzie 4 ρ AL λ = ω EJ a M() jest ieokreśoą wartością mometu gącego w pukcie x = (fukcje włase wyzaczamy z dokładością do stałego możika). Po wyzaczeiu wartości własych oraz odpowiadających im współczyików rozwiięć form własych formy te wyzaczamy ze wzorów wk wk w( x) = si αkx w ( x) = cos αkx α k= αk k= w x = w si α x w x = α w cos α x. k k k k k k= k= k (3.7) Do wyprowadzaia prezetowaych rówań wykorzystao wzory przedstawioe w pracy Kacera [8]. W przypadku zastosowaia do aproksymacji szeregów potęgowych do rozwiązaia wykorzystamy metodę Hadamarda (patrz Nowacki [39] s. 448). W metodzie tej fukcja przemieszczeń i jej pochode są okreśoe wzorem k x x w( x) = w w x = w k! k! ( p ) k k+ p (3.73) k= k= Końcowe rówaia pozwaające a rozwiązaie zagadieia własego beki pryzmatyczej mają postać k 4 w = λ w k = (3.74) k k

60 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 59 gdzie 4 ρ AL λ = ω. EJ Rówaia te aeży uzupełić czterema rówaiami wyikającymi z waruków brzegowych: beka wsporikowa w = w = w = w = k k λ λ w () = w + w = 4! 4! k ( k + ) 3 k= k= ( k+ ) k λ λ w () = w + w =. 4 3! 4! k + ( k) 3 k= k= (3.75) beka sztywo-przegubowa w = w = w = w = k k λ λ w() = w + w = 4! 4 3! k + ( k + ) 3 k= k= k k λ λ w () = w + w =. 4! 4!. k ( k + ) 3 k= k= (3.76) We wszystkich stosowaych metodach przyjęto idetycze (ub w przypadku MES iezaczie większe) rozmiary baz aproksymacyjych m = 5. Rówaia opisujące zagadieie przyjęto w postaci bezwymiarowej datego w przypadku częstości własych aeży pamiętać o możiku wymiarowym EJ ( ρ A L ) gdzie EJ sztywość 4 beki a zgiaie ρ gęstość beki przypadająca a jedostkę objętości A poe przekroju poprzeczego L długość. Dokłade oraz otrzymae przybiżoymi metodami wartości włase przedstawioo w tabeach 3.6 i 3.7. W tabeach tych w ceu okreśeia stosowaej do rozwiązaia metody przyjęto astępujące ozaczeia: MES metoda eemetów skończoych CF metoda aproksymacyja z aproksymacją rozwiązań kasyczymi szeregami Fouriera CP metoda aproksymacyja z aproksymacją kasyczymi szeregami potęgowymi.

61 6 Rozdział 3 Oprócz częstości własych porówao rówież wektory włase. W tym przypadku przedmiotem porówań były fukcje błędów wzgędych okreśoych wzorem E f = % f ( x) f x f x (3.77) ~ gdzie f(x) rozwiązaie dokłade f ( x ) rozwiązaie przybiżoe atomiast sup f x = f x. x Tabea 3.6. Częstości włase beki wsporikowej wyzaczoe różymi metodami ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω 9 MES CF CP C C C C C Praca Dokłade Tabea 3.7. Częstości włase beki sztywo-przegubowej wyzaczoe różymi metodami ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω 9 MES CF CP C C C C C C C Praca Dokłade C ozacza zespooą wartość własą Poieważ formy włase wyzaczamy z dokładością do stałego możika możik w rozwiązaiu przybiżoym przyjęto tak aby błąd średiokwadratowy ( ~ f ( x) f ( x)) dx przyjmował wartość ajmiejszą. Wykresy błędów wzgędych (3.77) wybraych form własych (W 3 Φ 3 ) (W 9 Φ 9 ) wyzaczoych różymi metodami pokazao w skai ogarytmiczej a rysukach 3.7 i 3.8. Rysuki te dotyczą odpowiedio wyików da: beki wsporikowej oraz beki sztywo-przegubowej. Aaiza dokładości uzyskaych wyików pokazuje bardzo dobrą zgodość między częstościami własymi obiczoymi propoowaą metodą a dokładymi wartościami częstości wyzaczoymi aaityczie. Błąd wzgędy pierwszych 9 częstości własych ie przekracza wartości Podobie bardzo dobrze aproksymowae są formy włase.

62 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 6 E (W3) 5 8 E (W9) E (W3 ) 5 8 E (W9 ) E (W3 ) 5 8 E (W9 ) E (W3 ) 5 8 E (W9 ) Rys Wykresy błędów wzgędych E m okreśoych wzorem (3.69) wybraych form własych beki wsporikowej wyzaczoe z wykorzystaiem astępujących metod: propoowaa metoda aproksymacja kasyczym szeregiem Fouriera MES aproksymacja kasyczym szeregiem potęgowym

63 6 Rozdział 3 4 E (W3) 8 E (W9) E (W3 ) E (W9 ) E (W3 ) E (W9 ) E (W3 ) E (W9 ) Rys Wykresy błędów wzgędych E m okreśoych wzorem (3.69) wybraych form własych beki sztywo-przegubowej wyzaczoe z wykorzystaiem astępujących metod: propoowaa metoda aproksymacja kasyczym szeregiem Fouriera MES aproksymacja kasyczym szeregiem potęgowym Z aaizy wartości własych (patrz tabee 3.6 i 3.7) oraz wykresów błędów wzgędych zdefiiowaych wzorem (3.77) różych metod rozwiązaia zagadieia własego (patrz rys. 3.7 i 3.8) widzimy że ajdokładiejsze wyiki uzyskao metody prezetowaą w pracy. W przypadku form własych błąd te jest miejszy

64 Drgaia iepryzmatyczych prętów Euera o osi prostoiiowej 63 od błędów iych metod rozwiązaia o kika rzędów wiekości. Szczegóie jest to widocze w przypadku drugiej i trzeciej pochodej fukcji przemieszczeń. Podobą dokładość pierwszych dwóch wartości i form własych dała metoda aproksymacyja z wykorzystaiem kasyczych szeregów potęgowych iestety już od piątej częstości w przypadku beki wsporikowej oraz od trzeciej częstości w przypadku beki sztywo-przegubowej uzyskujemy iedające się z iczym porówać rozwiązaia zespooe. Osobego kometarza wymagają ieprezetowae w pracy wyiki da beki swobodie podpartej. W tym przypadku ajepszą aproksymację uzyskao za pomocą kasyczych szeregów Fouriera (prezetowaa metoda dawała błąd o kika rzędów większy). Wyik te jedak aeżałoby traktować jako wyjątek od reguły. Tak dobra aproksymacja za pomocą kasyczych szeregów Fouriera w przypadku beki swobodie podpartej wyika z faktu że dokłade wyzaczoe aaityczie formy włase tego typu beek mają postać siusoid A i si α i x. W przypadku zastosowaia do aproksymacji szeregu Fouriera rozwiązaia zagadieia własego (formy włase) okreśoe są przez jede odpowiedi wyraz szeregu i przyjmują postać rozwiązaia dokładego. Pojawiające się w rozwiązaiu błędy wyikają z ograiczoej dokładości obiczeń. Co prawda wykoaie porówań kiku przykładów ie pozwaa a formułowaie bardzo ogóych wiosków iemiej jedak przykłady te pokazują że dokładość rozwiązaia otrzymaego propoowaą metodą przybiżoą w stosuku do ścisłych aaityczych rozwiązań jest bardzo duża. W rozważaych przypadkach jest oa większa o kika rzędów iż dokładość rozwiązań otrzymaych iymi przybiżoymi metodami.

65 4. ZAGADNIENIE DRGAŃ PRĘTÓW NIEPRYZMATYCZNYCH O OSI KRZYWOLINIOWEJ 4.. WPROWADZENIE W rozdziae 3 prezetowae rozważaia dotyczyły beek iepryzmatyczych o osi prostoiiowej. Mimo braku takiego założeia w pracach omawiaych w poprzedim rozdziae (co mogłoby sugerować że wykorzystywae tam rówaia mają charakter uiwersay i dotyczą każdej iepryzmatyczej beki Euera) zdaiem autora wszystkie cytowae prace dotyczyły tego typu beek. W przypadku gdy oś beki ie jest prostoiiowa powstaje wątpiwość: czy taką bekę ada moża opisać tymi samymi rówaiami które opisują bekę prostoiiową? Odpowiedź a to pytaie uzyskamy aaizując aaogiczy probem w teorii płyt. Odpowiedikiem beki o prostoiiowej i ieprostoiiowej osi w teorii płyt są płyty odpowiedio o symetryczej i iesymetryczej iejedorodości poprzeczej. Da płyt o symetryczej iejedorodości poprzeczej płaszczyzą odiesieia jest płaszczyza środkowa a wyprowadzoe wzgędem iej rówaia przemieszczeiowe są rozseparowae (oczywiście mówimy tutaj o iiowym modeu płyty w którym pomijamy wpływ sił tarczowych a jej przemieszczeia poprzecze). W przypadku gdy płyta jest iesymetryczie iejedoroda poprzeczie wprowadzamy do opisu jako płaszczyzę odiesieia tzw. płaszczyzę podstawową (patrz praca pod redakcją Woźiaka [95]) a wyprowadzoe wzgędem tej płaszczyzy rówaia przemieszczeiowe są rówaiami sprzężoymi. Aaogiczie postąpimy w przypadku beek o osi krzywoiiowej. Wprowadzimy miaowicie do opisu beki prostoiiową oś odiesieia. Uzyskae wzgędem tej osi rówaia przemieszczeiowe są wtedy rówaiami sprzężoymi. W aaizowaym przykładzie umeryczym dokoamy porówaia rozwiązaia układu sprzężoego otrzymaego da beki o osi krzywoiiowej z rozwiązaiem uproszczoym (brak sprzężeń w rówaiach) uzyskaym w przypadku modeu beki w którym tę oś wyprostowao.

66 Zagadieie drgań prętów iepryzmatyczych o osi krzywoiiowej SFORMUŁOWANIE PROBLEMU W dotychczasowych rozważaiach aaizowaiśmy pręty iepryzmatycze w których oś była iią prostą. W iiejszym rozdziae rozpatrzymy przypadek w którym waruek te ie jest spełioy. Rozważmy pręt o zmieym przekroju symetryczym wzgędem płaszczyzy ruchu XY. Wykorzystując wzory okreśające sta aprężeń w prętach iiowo-sprężystych (patrz p. [54] s. 9) oraz rówaia rówowagi otrzymamy astępujące rówaia opisujące drgaia pręta W U U W W W EJ Z ES Z EA ESZ P X X X X + ρ = X X X X t (4.) 3 U W U m W EA ESZ ρ S + Z R = X X X t X t gdzie U i W są podłużymi i poprzeczymi przemieszczeiami puktów osi odiesieia X (iebędącej w aaizowaym przypadku osią pręta); J Z (X) S Z (X) A(X) są odpowiedio mometem bezwładości mometem statyczym (wzgędem osi Z) oraz poem przekroju poprzeczego a S m Z ( X ) = S Z ( X ) ρ( X ) jest masowym mometem statyczym. Prostopadła do płaszczyzy ruchu pręta oś Z ie jest w tym przypadku cetraą główą osią bezwładości przekroju. Aaizoway układ schematyczie przedstawioo a rysuku 4.. EJ(X) EA(X) ρ(x) oś pręta U(X t) Z W(X t) X P(X t). B(X) R(X t) oś odiesieia X oś odiesieia po deformacji Y Y Rys. 4.. Schemat układu

67 66 Rozdział ROZWIĄZANIE ZADANIA Rozważaia rozpocziemy od rozwiązaia zagadieia w którym pomiiemy wpływ sił osiowych U N( X t) = EA ES X Z W X (4.) a poprzecze przemieszczeia pręta. W tym przypadku rówaia (4.) upraszczają się do postaci W U W EJZ ES Z + ρ = P X X X X t 3 U W U m W EA ESZ ρ S + Z R = X X X t X t (4.3) a okreśoe w (.4) fukcje P ˆ ˆ m P odpowiadające układowi rówań (4.3) po przejściu w tym układzie do zmieych bezwymiarowych x = X/a w= W/a u = U/a okreśoe są wzorami: ( współczyiki związae z f ) ( xt ) = w x u x m m m m m T EJ z ES EJ z z d EJ z des z x x ˆ ˆ x P ˆ = P = P = des ESz z d dea x ES z d x p Pˆ ˆ ˆ 3 = 4 P = P= EA r d x (4.4)

68 Zagadieie drgań prętów iepryzmatyczych o osi krzywoiiowej 67 współczyiki związae z ( f&& ) ( xt ) = w&& x u&& x m m m m m T g ρ ˆ ˆ ˆ ˆ R ˆ = R = R = 3 R = R 4 =. (4.5) m gs z g ρ Występujące we wzorach (4.4) i (4.5) stałe są okreśoe we wzorze (3.7). We wzorach tych przyjęto poadto ESZ = EA aesz a w ozaczeiach fukcji bezwymiarowych podobie jak w rozdziae 3. da uproszczeia zapisu zastosowao ozaczeie EJ zamiast EJ itd. Zaeże od fukcji Pˆ m fukcje Qm przyjmują postać: EJ z ES EJ z z d EJ z des z x x x Q = Q = Q = des ESz z d dea x p Q ˆ 3 = Q 4 = ESz EA P= d d r x x (4.6) a fukcje S m zaeże od fukcji Rˆ m wyrażają się wzorami: g ρ S = S = S = 3 S = S 4 =. (4.7) m m S gs z z g g ρ x Po podstawieiu do wzoru (.9) sumy Q m + S m m = 3 4 wykoaiu przekształceń szczegółowo opisaych w p. 3.3 otrzymujemy ieskończoy układ rówań różiczkowych ' k k k k w P k ' m k w&& k k k k u = + P k m k m k u && (4.8) k = 3... = =

69 68 Rozdział 4 w którym występujące współczyiki okreśoe są wzorami ( ) = 8( 9)( 4) k k k k ( k + )( ) ek ( k + j) ek + j+ ( k )( ) ek+ j= ( k k + k+ k++ ) = ( )( ) ( + )( ) ( )( + ) k k 4d k 9 k 4 k s s k s s ( k k+ k + k++ ) ( k )( k )( ) s ( k )( k )( ) s ( ) 4 ( 9)( 4) ( k k = d k k k + s s k s + s ( k j) sk ++ j) + + j= ( k+ k++ ( ) = ( 9) ( + )( + ) k ( k 4) ak + ( k )( k ) ak + ( k )( k ) ak+ ( k ) ak+ ( k )( k ) ak++ ) k k d k k k a (4.9) m k g k k k g g ( ) = ( + )( + )( + 3)( + ) k 4 k+ 4 ( k )( k )( g g ) k k+ ( k k+ ) ( k + k++ ) + 6k k 9 g + g 4 k 3 k 4 g + g ( k )( k )( k )( g g ) 3 + k k++ 4 m m m m ( ) = ( + )( + )( + 3)( k k+ ) 3( 9)( + )( k k+ ) m m m m + 3( k 9)( k )( sk + sk+ 3) ( k )( k )( k 3 )( sk + 3 sk++ 3) m k g k k k s s k k s s 3 3 m k g k k k g g ( ) = ( + )( + )( + 3)( + ) k 4 k+ 4 ( k )( k )( g g ) k k+ ( k k+ ) ( k + k+ + ) + 6k k 9 g + g 4 k 3 k 4 g + g ( k )( k )( k )( g g ) (4.) k + 4 k++ 4

70 gdzie Zagadieie drgań prętów iepryzmatyczych o osi krzywoiiowej 69 = (( + )( + )( + 3) 4( + 3)( 4) + 6 ( 9) 4( k 3)( k 4) pk+ + ( k )( k )( k 3 ) pk+ 4) = (( + )( + )( + 3) k 4( + 3)( 4) k + 6 ( 9) k 4( k 3)( k 4) rk+ ( k )( k )( k 3 ) rk+ 4) P k k k k p k k p k k p k 4 k k P k k k k r k k r k k r 4 + (4.) m m [ ] [ ] [ ] [ ρ] [ ] [ ] a EJ z = e a EA = a a ESz = s a = g a Sz = s a p = p a r = r. Pierwsze 8 rówań (4 grupy po rówaia) jest spełioych tożsamościowo. Rówaia te zastępujemy sześcioma rówaiami opisującymi waruki brzegowe. Liczba waruków brzegowych wyika z rzędów rówań występujących w układzie (4.3). Do opisu kietyczych waruków brzegowych wykorzystamy astępujące wzory okreśające siły przekrojowe (wzory w postaci bezwymiarowej) ( ) M ax t a u w z z EJ x x m x t = = d ES EJ ( ) Q ax t a u u q( x t) = = d ESz + desz EJ x x x 3 w w EJ z EJ z 3 x x x ( ) N ax t u w z EA x x x t = = EA ES. (4.) Po rozwiięciu sił przekrojowych opisaych wzorem (4.) w szereg Czebyszewa i wykorzystaiu wzorów okreśających wartości wieomiaów Czebyszewa w puktach ± (wzory (.34) (.35)) otrzymujemy = M + a t a ( ) ' m + t = = desz+ u EJz+ w EJ = 3 M ( a t) a ( ) ' m t = = d ESz ( ) u EJz ( ) ( ) w EJ 3

71 7 Rozdział 4 Q + a t a q( + t) = = d ESz ESz u EJ = ( ) EJ z + + ( )( 4 ) EJ z+ 3 5 w Q( a t) a q( t) = = d( ) ESz ( ) ESz + u EJ = 3 + ( ) ( ) EJ z + ( )( 4 ) EJ z w 3 5 ( a t) = N + ( + t) = = EA+ u ESz+ w EA = 3 N( a t ) ( t) = = EA ( ) u ESz ( ) ( ) w EA 3 (4.3) gdzie we wzorze zastosowao astępujące ozaczeie f = f f = f. + Do opisu kiematyczych waruków brzegowych wykorzystamy wzory (3.3) i (3.3). W przypadku uwzgędieia wpływu sił osiowych a poprzecze drgaia pręta rozważae zagadieie kompikuje się poieważ jest opisae przez ieiiowy układ rówań (4.). W ceu uproszczeia postaci wyrazu ieiiowego występującego w układzie (4.) układ te zapiszemy w postaci W U N W W W EJZ ES Z N P X X X X + ρ = X X X t 3 U W U m W EA ESZ ρ S + Z R = X X X t X t (4.4) gdzie zgodie z (4.) przyjęto U N = EA ES X Z W Opisywaa w pracy metoda dotyczy tyko rówań różiczkowych iiowych. Moża ją jedak zastosować pośredio do rówań ieiiowych. Pośredie zastoso- X.

72 Zagadieie drgań prętów iepryzmatyczych o osi krzywoiiowej 7 waie metody poega a iearyzacji daego układu rówań. W wyiku iearyzacji rówaie ieiiowe zostaje zastąpioe ciągiem rekurecyjie tworzoych rówań różiczkowych iiowych a te z koei są rozwiązywae przedstawioą w pracy metodą (patrz [44] s. 33). Po wprowadzeiu zmieych bezwymiarowych zastosowaa do iearyzacji procedura iteracyja przyjmuje postać 4 3 w( ) EJ w z ( ) EJ w z ( ) EJ z x x x x x 3 u ( ) ES u z ( ) ES u z ( ) d ESz x x x x x N( ) w( ) w ( ) w( ) d + N( ) + gρ = p x x x t 3 u( ) EA u( ) w( ) ES w z ( ) dea d + des z + d 3 x x x x x x 3 u( ) w m ( ) + gρ gs z = r t x t =... (4.5) W pierwszym kroku iteracyjym przyjmujemy N () (pomiięcie w pierwszym kroku wpływu sił osiowych a poprzecze przemieszczeia pręta). W przypadku gdy są zae wartości sił osiowych od obciążeia statyczego N stat (x) w pierwszym kroku iteracyjym możemy przyjąć N () = N stat (x). W koejych krokach iteracyjych przyjmujemy u( ) w( ) N( ) = EA ESz = 3... (4.6) x x We wzorze (4.5) wprowadzoo stałe i fukcje bezwymiarowe okreśoe w (3.7) wyjątkiem jest ie okreśeie fukcji N = N EA. Poadto w ceu uproszczeia zapisu przyjęto ozaczeia EJ zamiast EJ itd. Większość macierzowych współczyików Pˆ Pˆ m i Rˆ m układu (4.5) wyraża się wzorami (4.4) i (4.5). Różice dotyczą tyko współczyików P ˆ ˆ P3 które w tym przypadku są okreśoe wzorami

73 7 Rozdział 4 EJ z ES N z ( ) ES z dn d d d x x x x Pˆ ˆ = P 3 = (4.7) ESz EA d dea d x x a zaeże od ich współczyiki Q Q 3 przyjmują postać EJ z ES N( ) z dn d d x x x Q = Q 3 =. (4.8) ESz ES z EA d dea d d x x x Po podstawieiu do wzoru (.9) Q m + S m m = 3 4 i wykoaiu przekształceń otrzymujemy ieskończoy układ rówań opisay wzorem (4.8). Wszystkie występujące we wzorze (4.8) współczyiki z wyjątkiem k (k ) są okreśoe wzorami (4.9) (4.). Współczyik k (k ) wyraża się atomiast wzorem k ( k ) = 8 k 9 k 4 ( k + )( ) e ( k + j) e + ( k )( ) e ( k k + j k+ j= d( k ) ( k )( k )( Nk Nk+ ) ( ) ( k )( Nk Nk+ ) ( ) ( k )( k )( Nk + Nk+ + ) ( ) ) (4.9) Modyfikacji uega też wzór okreśający siły tące (4.) w którym aeży dodać dodatkowy składik N w/ x oraz odpowiedio zmodyfikować wzory (4.3) 3 4. Przykład 4. W przykładzie rozwiążemy zagadieia włase beki o osi krzywoiiowej (rys. 4.a) oraz da jej odpowiedika o osi prostoiiowej (rys. 4.b) Geometria beki o osi prostoiiowej jest okreśoa wzorem (3.68). Geometria beki o osi krzywoiiowej jest opisaa atomiast wzorem g = h x b ( ) h x = c T x + b d gdzie T (x) = x jest wieomiaem Czebyszewa I rodzaju drugiego stopia. (4.)

74 a) b b... c b) c b b c a.. Zagadieie drgań prętów iepryzmatyczych o osi krzywoiiowej 73 A A A A - r(x) oś odiesieia Rys. 4.. Beka o osi krzywoiiowej (a) odpowiadająca tej bece beka wyprostowaa o osi prostoiiowej (b) Przedstawioe a rysuku 3. oraz we wzorze (3.68) i (4.) parametry przyjmują wartości a = m b = m c = 5 m d = m. Pozostałe parametry to: E = 8 N/m ; ρ V = 4 kg/m 3. Rozważać będziemy dwa schematy statycze: bekę swobodie podpartą oraz bekę wsporikową. W przykładzie tym w ceu uzyskaia dużej dokładości rozwiązań do aproksymacji użyto 5 wyrazów szeregu Czebyszewa. Jak już wcześiej wykazaiśmy drgaia beki o osi krzywoiiowej są opisae rówaiami sprzężoymi. W przypadku beki o osi prostoiiowej rówaia te się rozprzęgają. Otrzymae w wyiku rozwiązaia częstości włase zostały przedstawioe w tabeach 4. i 4.. W pierwszym wierszu umieszczoo wartości uzyskae w wyiki rozwiązaia układu sprzężoego tj. beki o osi krzywoiiowej. Koeje dwa wiersze zawierają wartości włase dotyczące beki o osi prostoiiowej odpowiadające odpowiedio poprzeczym oraz podłużym formom własym. Tabea 4.. Wartości włase beki wsporikowej a x oś odiesieia a x d A-A d A-A... h g h d (x) (x) h g (x) h d (x) ω rad/s ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 Formy sprzężoe Formy W Formy U ω 7 ω 8 ω 9 ω ω ω Formy sprzężoe Formy W Formy U

75 74 Rozdział 4 Tabea 4.. Wartości włase beki swobodie podpartej ω rad/s ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 Formy sprzężoe Formy W Formy U ω 7 ω 8 ω 9 ω ω ω Formy sprzężoe Formy W Formy U Dokoao rówież porówaia form własych aaizowaych beek. Poieważ formy włase są okreśoe z dokładością do stałego możika formy otrzymae da beek o osi krzywoiiowej uormowao z użyciem ormy sup f ( x) co daje da tych beek fukcje włase o maksymaej wartości rówej. Formy włase beek o osi prostoiiowej uormowao atomiast w taki sposób by zmiimaizować błąd średiokwadratowy P K f x f x dx gdzie f K i f P są formami własymi odpowiedio da beki o osi krzywo- i prostoiiowej. Tak uormowae formy włase porówao wprowadzając jako miarę różicy poprzeczych form własych W i fukcje a da form podłużych K P [ ] i i i x Diff W = W x W x (4.) K P [ ] φ Diff U = U x U x x r x (4.) i i i gdzie φ (x) kąt obrotu przekroju poprzeczego r(x) odegłość między osią beki a osią odiesieia (patrz rys. 3.). Ostati składik we wzorze (4.) okreśa aturaą różicę w przemieszczeiach podłużych między dwoma puktami A(x ) i B(x ) eżącymi odpowiedio a osi odiesieia i a osi beki. Otrzymae wyiki w postaci wykresów przedstawioo: da beki wsporikowej a rysuku 4.3 da beki swobodie podpartej a rysuku 4.4.

76 Zagadieie drgań prętów iepryzmatyczych o osi krzywoiiowej 75 Diff W W W 3 W Diff W W W 3 W Rys Różice między formami własymi Diff[W i ] i Diff[U i ] beki wsporikowej o osi krzywoiiowej i jej odpowiedika o osi prostoiiowej: i = i = i = 3 i = 4 Diff W W W 3 W Diff U U U 3 U Rys Różice między formami własymi Diff [W i ] i Diff [U i ] beki swobodie podpartej o osi krzywoiiowej i jej odpowiedika o osi prostoiiowej: i = i = i = 3 i = 4

77 76 Rozdział 4 Przedstawioe rezutaty pokazują że zastąpieie beki o osi krzywoiiowej (układ sprzężoy) jej odpowiedikiem o osi prostoiiowej (układ rozprzężoy) może dawać różice między otrzymaymi rozwiązaiami. Widocze przy porówywaiu wartości własych różice pierwszych wartości własych wyoszą: beka wsporikowa formy poprzecze 6% formy podłuże 38% beka swobodie podparta formy poprzecze 64% formy podłuże 48%. Zaczie większe różice otrzymao da form własych. W przypadku poprzeczych form własych różica wyosi około 6% a w przypadku form podłużych awet ok. 35%. Przykład 4. Aby ziustrować możiwości zastosowaia opisaej metody do rozwiązywaia zagadieia ieiiowego rozważymy probem drgań wymuszoych harmoiczie z uwzgędieiem wpływu sił osiowych a poprzecze drgaia pręta. Przedmiotem aaizy jest beka wsporikowa i swobodie podparta opisaa w przykładzie 4.. Beki te a całej długości są obciążoe obciążeiem rówomierie rozłożoym o itesywości 5 4 N/m i częstości wymuszeia ω = π rad/s. Na końcach z możiwością przesuwu poziomego beki są obciążoe stałą siłą osiową o wartości N = 6 N. W rozważaiach ieuwzgędioo tłumieia. Do aproksymacji fukcji przemieszczeń przyjęto 3 wyrazów szeregu Czebyszewa x w(x t ) Rys Wykresy przemieszczeń beki wsporikowej w(x t) = w exp(iωt ) gdy t = T/4 + kt k =...

78 Zagadieie drgań prętów iepryzmatyczych o osi krzywoiiowej x 3 w(x t ) Rys Wykresy przemieszczeń beki swobodie podpartej w(x t) = w exp(iωt ) gdy t = T/4 + kt k =... W pierwszym kroku iteracyjym pomiięto wpływ sił osiowych a poprzecze przemieszczeia pręta N (). Wykresy przemieszczeń w(x t) = am w exp(iω t ) gdy t = T/4 + kt k =... w koejych trzech iteracjach przedstawioo a rysukach 4.5 i 4.6. Tabea 4.3. Współczyiki rozwiięcia fukcji N ( x) = N( x) EJ da koejych kroków iteracji beka wsporikowa Iteracja Iteracja Iteracja 3 Iteracja a

79 78 Rozdział 4 Wykresy da drugiego i trzeciego kroku iteracyjego praktyczie się pokrywają. Wartości pierwszych 6 współczyików rozwiięcia w szereg Czebyszewa fukcji sił osiowych a N ( x) = N( x) EJ da koejych czterech kroków iteracji przedstawioo w tabeach 4.3 i 4.4. Tabea 4.4 Współczyiki rozwiięcia fukcji N ( x) = N( x) EJ da koejych kroków iteracji beka swobodie podparta Iteracja Iteracja Iteracja 3 Iteracja Aaizując wyiki przedstawioe w tabeach 4.3 i 4.4 widzimy że proces iteracyjy jest szybko zbieży. Po zaokrągeia do siedmiu cyfr zaczących (w tabeach przedstawioo iczby z dokładością do ośmiu cyfr zaczących) wartości otrzymae po 4 iteracjach są rówe wartościom uzyskaym po 3 iteracjach. Wyiki te potwierdzają skuteczość omawiaej metody w rozwiązaiu aaizowaego probemu ieiiowego. a

80 5. STATECZNOŚĆ UKŁADÓW PRĘTOWYCH 5.. WPROWADZENIE Jedym z podstawowych zagadień w praktyce iżyierskiej jest probem stateczości kostrukcji. Jego podstawowe zaczeie wyika z tego że wiee współczesych obiektów iżyierskichjest kostrukcjami smukłymi da których aaiza stateczości jest iezbęda. Rozwiązaie wieu zagadień stateczości beek i ram składających się z eemetów iepryzmatyczych moża zaeźć w moografii Kryickiego i Mazurkiewicza [4]. Eiseberger i Reich w pracy [35] zastosowai metodę eemetów skończoych do aaizy statyczej dyamiczej oraz rozwiązaia probemu stateczości aproksymując przemieszczeia beki wieomiaami trzeciego stopia. Wśród iych prac a uwagę zasługują prace dotyczące układów poddaych działaiu obciążeń iepotecjaych. Eishakoff i Peegri [45] wykorzystując fukcje Bessea rozwiąza i probem swobodie podpartego pręta obc iążoego styczym rozłożoym obciążeiem śedzącym. Massey i Va der Mee [3] badai stateczość iepryzmatyczego wsporika obciążoego skupioą siłą śedzącą. Sakara i Vekateswara Rao [57] wyzaczyi krytycze wartości obciążeń ś edzących zb ieżych koum o sztywo i sprężyście zamocowaych końcach. Uogóieie formuł uzyskaych przez Eisebergera [33] opisujących macierze sztywości i bezwładośc i prętów o zmieej sztywości i gęstości w przypadku prętów spoczywających a dwuparametrowym podłożu i poddaych działaiu obciąże ń iepotecjaych możemy zaeźć w pracy Gabisza [58]. W pracy tej wykorzystując opracowaą orygia ą metodę rozwiązao kika zagadień stateczości dotyczących iepryzmatyczych koum wsporikowych poddaych działaiu rozłożoych i skupioych obciążeń iepotecjaych. Podobie jak w [33] do aproksymacji fukcji przem ieszczeń w pracy [58] zastosowao kasycze szeregi potęgowe. W iiejszym rozdziae wykorzystując prezetowaą w pracy metodę szeregów Czebyszewa rozwiążemy zagadieie stateczości prętów iepryzmatyczych o zmieych parametrach wytrzymałościowych i geometryczych spoczywających a dwuparametrowym iejedorodym podłożu sprężystym [48]. Zakładamy że zmiee para-

81 8 Rozd z i ał 5 metry prę ta takie j ak sztywość g ięta i osiowa gęstość zmiee parametry podłoża i obc iążeie mo żem y p rzedstaw ić w postaci rozwiięcia w szereg wzgędem wieomia ów Czebyszewa I rodzaju. Rozważa ia ograiczymy do aa izy układó w obc iążo yc h statyczie. Posz uk ując rozw iązaia w postaci W(X t) = W(X)e;J wyzaczymy zespo oe wartości Aj = a j ± iwj (warto ś c i włase ) da któr ych rozważae zagadieie ma ietryw ia ie W(X) :;t; Orozwiązaie. Ze wzgędu a przyjęty iiowy opis probemu aaiza otrzymaych wartości własych umożiwia ścisłe wyzaczeie o bciąże ń krytyczych. Rozwiąza ie zagadieia własego uiemożiwia atomiast okreśe ie pokrytyczego zachowaia s ię układu (wektory włase pozwaają a okreś e ie p rze mi e szcze ń w mome c ie utraty stateczości z dokładością do stałego moż ika ). Przedstawioy w iiejszym rozdziae sposób rozwiązaia zastosowao do aaizy probemu s tateczości iepryzmatyczego pręta wsporikowego oraz pręta sztywo-przegubowego obciążoych skupioym ub rozłożoym obciążeiem śedzącym. Rozważoe przykłady zaczerpięto z pracy Gabisza [58]. Uzyskae wyiki umerycze porówao z rezutatami uzyskaymi w pracach [5 58 6]. Niektóre z omawiaych w tym rozdziae probemów przedstawioo w pracy autora [5]. Czyte ika zaiteresowaego powszech ie rozumiaą tematyką dotyczącą stateczości odsyłamy do iteratury specjaistyczej p. do pracy Timosheki i Gera [ 8] ub pracy pod redakcja Waszczyszya [9] czy prac Tomskiego i zespoł u [8-87]. 5.. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA Przedmiotem rozważań jest iepryzmatyczy prostoiiowy pręt wsporikowy o długości a spoczywający a dwuparametrowym podłożu sprężystym podday a swobodym końcu działaiu skupioej siły P i skupioego mometu M = Pe (rys. 5.). Poadto a pręt dz iała osiowe iepotecjae obciążeie rozłożoe sex). W tym przypadku iiowe poprzecze drgaia pręta opisae są astępującym rówaiem różiczkowym a') - rej X a w) a ( N x aw a c x aw ax ()ax -ax ()ax)-ax( ax) a w Ą aw ar ax +K(X)W+p(x)-.=s(X)TJ(X)- (5.)

82 Stateczość układów prętowych 8 M i ędzy si łą osiową a obc iąże iem zewętrzym zachodzi związek Występujący we Wzorze (5. ) współczy i k fi(x) os i azwę "współczyika ś edze ia". Pozostałe współczy ik i opisao w pukcie 3. (patrz opis pod wzorami (3.) (3.)). Geometryczą i te r p retacj ę fukcyjego współczyika fi(x ) przedstaw ioo a rysuku 5.. W przypadku gdy fi == obciążeie sex) staje s ię kasyczym obc iążeiem potecj aym o przestrzeie ustaoym kieruku i materiaie zadaym pu k cie przyłoże ia. Natomiast gdy fi = sex)jest obciążeiem śedzącym. a P s(x) Rys. 5.. Schemat ukł adu W trakcie utraty stateczości może zmieiać się pukt przyłoże ia siły okreśoy przez parametr e jak rówież może zmieić się jej kieruek okreśoy przez parametr w. Po wykorzystaiu wzorów (3.3) okreśających siły wewętrze waruki brzegowe wyikające z zachowaia się obciążeia w trakcie utarty stateczośc i przyjmują postać:

83 ( ()avv;i(xt) 8 Rozdz iał 5 W przypa dku koń c a swobodego (X =a) =-Pe X ~a (5.) Q(a/)=-~(EJ (X) a w ( ~ I).] +N(a )avv}xt ) =-P (a - ji ) sx ex- X X~{ X ~cj gdzie aw(xt) a =---'---'- N(a)= -P; (5.3) ax X =a w przypadku koń c a utwierdzoego ( X =-a) W( _ ) _ aw(x/) a.t - O ax X=-a =. (5.4) Przes u i ęc i e puktu przyłożeia s iły e i kąt jej obrotu wzgędem ugiętej osi p ręta fi zaeżą od przem ieszcze ia W(a t) i obrotu awfax X=a swobodego ko ń ca pręta. Po i eważ warto ść krytycza o bc iąże ia zaeży tyko od iiowej kombiacji tych fukcji (patrz praca (9] s. 3 ub praca (87]) zachowaie się obciążeia w trakcie utraty s tateczośc i m o żem y uza eż ić od czterech bezwymiarowych parametrów pv{9 _ aw(xt) e = p a---'---'-i ax ~ aw(x t) ji = u ax X~ x~{/ +vw(at) +9~W(at). a (5.5) Jak pokazao w pracy ( 9] obciążeie swobodego końca pręta jest obciążeiem potecjaym w przypadku gdy spełioy jest waruek V +{- =. (5.6) Uogó io ą fo rm uł ę tego waruku podał Tomski i zespół w pracy (8] \V postaci ( Ą o Ą ) v Tu - Vv; I.t I ' t O -W ( )avv;(xt) J= ax ax X= { x={/ (5.7)

84 Stateczosć ukjadó w pręt owych 83 gdzie przez W II W m okreś o o -tą i m-tą formę włas ą Zerowaie się we wzorze drugiego czyika ozacza iiową zaeżość mi ę d zy formami w łas ymi W II W I Po uwzgęd ieiu zw iązków (5.5) war uki brzegowe (5.) przyjmują postać EJ(at;;~ ) x.. = p( pa awa~') x..+vw (a)} ~(EJ (X) d:'w(x t) ~ =p( ił aw (X t) + y.!..w(a.t)). sx dx Jx=a ax X=a a Rozw iązaia rówaia (5.) poszukiwać będziemy w postaci Po wprowadzeiu wiekości bezwymiarowych (5.8 ) (5.9) oraz otrzymamy X X=- a W(Xt)=W(X)e A =aw(x)e AI Po - s(x)ij (X)=-S (x) a (5.) -( EJ.)d\V ( dej(x)jd 3 W (d EJ(X) x I (-() N x +C-( x'))jd\v -- dx dx dx dx: d x: (5.) dn(x) dc(x) - jdw s(x) -+K(x)w+A.-gp(x)w=p(x) ( dx dx dx a waruki brzegowe (5.8) wyrażą się wzorami gdzie fukcje EJ N C K P oraz stałe g zdefiiowae są we wzorze (3.7).

85 84 R ozdz i ał 5 Daej w ceu uproszczeia zap isu kosekwetie przyjmować będ ziemy EJ N 5 C. K P zamiast EJ N 5 c K P. We wzorze (5.) współczyik f zas tąp i o o "w spó łc zyik i em ś edze ia " fi =- J..ł RO ZWIĄZANIE ZADANIA S TATE CZN O ŚC I Do rozw iązaia rówaia różiczkowego (5. I I) korzystamy z przedstawioego w rozdzia e twierdzeia. Ro związaia poszukiwać będziemy w postaci szeregu Czebyszewa (3.8). Wystę p ując e w rów a iu (5.) fukcje Ą P Ą są takie same jak te ok reśoe we wzorze (3. ). Pozos tae atomiast wyrażają s ię wzo rem Ą ( _ ) _ P3 ( an(x) ac(x). ) J': T S X ax ax P* (x)= K (x) +}.:! g P(x) P(xt)=O. (5. 3) Po wykorz ysta iu zaeżości (.3 ) fukcje QII/ zw iązae z P'II przyjmują postać (5. 4) K o rzy s t ając z cytowaego tw ierdzeia ora z wykoując opisae w rozdziae 3.3 ostateczie otrzymamy prze k s zta łc e i a = I'(E k / +I Nkj + C k / + Kkj + I Skj + }. g Gk.! )w = k = 3... (5.5) =

86 Stateczos ć układow prętowych 85 gdz ie współczyik i E/.:. Nu Ci] K k! Gis są okreśoe odpowiedio wzorarru (3.)- (3.). Współczyiki związa e z iepotecjaym obciążeiem Sex) wy rażają się wzorem 9)(sk-I-I - Sk+i-) (5.6) Sk =-[(k+)(k+ )(k + 3)(Sk-I_3 - Sk +i-3) - 3(k + )(k - +3(k - )(k - 9)( sk-i+ - Sk++) - (k -)(k - )(k - 3)(Sk-i+3 - Sk+i+3)J Występ ujące we wzorze (5.6) parametry SI =a [Sex)] są współczyikami rozwiięcia fukcji Sex). Poieważ wyjściowe rówaie było rówa iem rzęd u 4 pierwsze cztery rówaia układ u spełioe tożsamościowo zastępujemy czterema rówaiami okreśającymi waruki brzegowe. Po przyjęciu zdefiiowaych we wzorze (3.8) wartości fukcji EJ+EJ: oraz obiczoych ze wzorów (3.7) wartości wieomia ów T (±) rówaia te możemy apisać w astępującej postaci: rówaia wyikające z waruku sztywego utwierdzeia a ko ńcu x =- ~I I LI (-) wi = =O f.i = (-Y( wi =O (5.7) rówaia wyikającez waruków brzegowych a końcu x =+ (5.8) W wyiku rozwiązaia zagadieia własego opisaego "obciętym" do skończoych rozmiarów ukadem r ówań (5.5) uzupełioym rówaiami op isującymi waruki brzegowe otrzymamy zbiór zespooych wartości własych Aj = CXj ± iwj. Ruch wokół poożeia rówowagi jest stateczy a zatem rówowaga jest statecza (patrz praca [9] s. ) gdy wszystkie części rzeczywiste CXj są ujeme (ruch asymptotyczie stateczy) jeżei istieje część rzeczywista CXj dodatia to oczywiście ampituda rozwiązaia arasta w czasie i ruch jest iestateczy. Nies tateczość pojawia s ię rówież w prz ypadku gdy da jedego z pierwiastków mamy CXj = O. Jeżei jedocześie Wj = O to mamy do cz yieia z utratą stateczośc i przez dywergecję (wyboczeie) atomiast w przypadku gdy warukowi CXj = O odpowiada Wj::;t O. wówczas utrata sta teczości astępuje przez fatter. Pierwsze kryterium tj. CXj = O i (Uj = O osi azwę statyczego kryterium utraty stateczości kryterium drugie CXj =O i Wj::;t O azywae jest kietyczym kryterium utraty stateczości w sesie węższym. Utrata stateczości może wystąpić rówież w przypadku gd y iektóre części rzeczywiste CXj są rówe ze ru

87 86 Rozdzi ał 5 a odpowiadające im częstości C się zró wają Występuje wtedy utrata stateczości przez fatter. Op is układów w których utrata stateczości ma bardziej skompikowa y charak ter (p. układy hy brydowe) moża za eźć m.i. w pracy Tomskiego i Szmidi [87]. Przedstawio e rozważaia dotyczyły koumy wsporikowej. Odpowied i dobór wspó łczy i ków p v.d 9 umożiwia okreśeie różych typów obciążeń. Czyte ika zaiteresowaego tą probematyką odsyłamy do pracy [9] o raz do prac [8-87]. Przykład 5. Opisaą metodę stosujemy do aaizy probemu stateczości prętów pod obc iążeiem iepotecjaym. Przedstawioe przykłady zaczerpięto z pracy [58]. Rozważać będziem y dwa schematy statycze: pręt wsporikowy (rys. 5.a) oraz pręt sztywo-przegubowy (rys. 5. b). W przykładach tych współczyiki p V jj. r p rzyjmują as tępujące wartości: p=v=y=o jj.=i-ii O~ii~. (5.9) p tx p tx ~ C':I + + S t t A-A o ł ~~ ł o ł S ł A A A A ł - - ł - - h(x) ~ ~ I W I W a) b) Rys. 5.. Pręt wsporikowy a) oraz sztyw o-przegubowy b) obciążoy i cpo te cj a ą s iłą skupioą? oraz iepotecjaym obciążeiem rówom ier ie rozłożoym s Pręty obciążoe są skupioą siłą śedzącą ub śedzącym styczym obciążeiem rówomierie rozłożoym. Korzystając z dyamiczego kryterium utraty stateczości

88 Stateczość układów prętowych 87 (bifurkacja ub fatter) wyzaczymy krytycze wartości rozważaych obciążeń. Aa i zę wykoamy da prętów jedorodych o zmieych przekrojach opisaych fukcjami b(x) h(x) (rys. 5.). Przyjmiemy poadto że długość pręta L= a = m moduł Youga E = N m oraz gęstość pręta a jedostkę objętości Pv= kg/rrr'. W pierwszym przykładzie (rys. 5.3) aaizowao koumy Becka i Leiphoza obciążoe skupioą siłą śedzącą oraz śedzącym obciążeiem rówomierie rozłożoym [5 6]. wf [rad/s]! 3 ~ 5 ~ =. Per = 5954 (s=o ) S er= 4537 (P=O)......;.' P S Wf = 5 Wf = 3 L -f EJ = L = a = 7](x) =] = Rys Zaeżość częstości drgań swobodych od skupioego P(-) i rozłożoego s (...) obciążeia śedzącego da koum Becka oraz Leiphoza wf [rad/s] Per= (s=o) S er= (P=O) Wf = 8465 OJf = o ~"'"... '" ~... P J S L L=a = = 7](x) =7 = EJ Rys Zaeżość częstości drgań swobodych wsporika o zmieym przekroju b(x) = h(x) = - (x + )/4 od skupioego P(- ) i rozłożoego s (...) obciążeia śedzącego Na rysukach 5.4 i 5.5 przedstawioo rozwiązaia probemu stateczości o zmieym przekroju opisaym fukcjami prętów

89 88 Rozdz iał 5 (x+ ) b(x)= h(x)=- 4 (Vi [rad/s] t a ~ ~ ~~a. Per = 3 58 ( s=o ) S er= 5563 (P=O) ". ". a P S L r-e- ~I EJ = L =a = - - J(x) =] = Rys Za eżość częstości drgań swobodych prę ta sztywo-przegubowego o zmieym przekroj u b(x) = h(x) = - (x + i/4 od skupioego P(- ) i rozłożoego s (... ) obciążeia śedzącego (Vf [rad/ s] 7 = 5 7= 7 = 5 P er= 567 (s=o) P er= 8674 (s=o ) P er= 4883 (s=o ) Wf = 497 Wf = 74 Wf = ]= "-.-.-_ " _._.-._._~ 4 -.' ]= 5 ~ ~ ]=5 P I. ' 4'. 6 ' ił ' ' ' ' '.. L - EJ = L =a = fi(x) =] = -- Rys Zaeżość siły krytyczej P da koumy Becka o zmieym przekroju b(x) = h(x) = - (x + )/4 od wartości współczy ika śedzeia Wpływ parametru śedzeia fi a wartość siły krytyczej w przypadku pręta o przekroju

90 Stateczosć układów prętowych 89 \" + b(x)=h(x)=- -' pokazao a rys Wyzaczoe warto ści s ił krytyczych oraz wyiki uzyskae przez Becka [5] Leiphoza imadaa [6J oraz Gabisza [58J przedstawioo w tabei 5.. Tabea 5. J. Porówaie wyików. Układ z rys. 5.3 Układ z rys. 54 Prr Wf s.; Wr Pr Wr s. Wf Praca autora A Praca [58] Praca [5. [6] 59 (5) - 45 [ Ukad z rys Układ z rys. 5.6 Prr WI Sa WI Prr (7 =.5) Wf PrrU=.5) Wf Praca autora Praca [58] Otrzymae rezutaty p otw ierdzaj ą i dea ą zgod ość z rozwiąza iami otrzymaymi teoretyczie [5 6] oraz z wyikami uzyskaymi w pracy [58]. Dz i ęk i zastosowaiu wieomiaów Czebyszewa moż a ogra iczyć rozmiary bazy ap roksym uj ąc ej. We wszystkich przedstawioyc h p rzy kład ac h fukcj ę p rzem ieszcze ń aproksymowao szeregiem Czebys zewa (3.4) przyj m uj ąc t = (aproksymacja - wyrazów szeregu).

91 6. NIEPRYZMATYCZNY PRĘTOWY ELEMENT SKOŃCZONY 6.. WPROWADZENIE Ze wzgędu a duże zaczeie MES w praktyce iżyierskiej w iiejszym rozdziae pokażemy możiwość zastosowaia prezetowaej w pracy metody do opisu bekowego iepryzmatyczego prostoiiowego eemetu skończoego typu Euera. Te sposób podejścia do rozwiązaia probemu drgań układów o zmieych parametrach geometryczych i mechaiczych prezetują w swych pracach m.i. Gupta [64] Eiseberger i Reich [35]. Autor pracy [64] wyzaczył macierz sztywości i bezwładości pręta o iiowo zmieej wysokości. W pracy [35] autorzy zastosowai metodę eemetów skończoych do aaizy statyczej dyamiczej oraz rozwiązaia probemu stateczości. Do aproksymacji fukcji kształtu zastosowai wieomiay trzeciego stopia. Wzory pozwaające a wyzaczeie eemetów statyczej i dyamiczej macierzy sztywości eemetu bekowego o zmieej sztywości przedstawił w pracy [33] Eiseberger. Uogóieie formuł uzyskaych przez Eisebergera [33] opisujących macierze sztywości i bezwładości prętów o zmieej sztywości i gęstości w przypadku prętów spoczywających a dwuparametrowym podłożu i poddaych działaiu obciążeń iepotecjaych możemy zaeźć w pracy Gabisza [58]. Podobie jak w [33] do aproksymacji fukcji przemieszczeń w pracy [58] zastosowao kasycze szeregi potęgowe. Aproksymację wieomiaową do wyzaczeia macierzy sztywości i bezwładości bekowych eemetów skończoych o zmieych parametrach typu Euera i Timosheki zastosował Kasztory [9]. Kasycze wieomiay potęgowe do aproksymacji fukcji kształtu w metodzie krępych eemetów spektraych zastosował rówież Wraa [96]. Zaeże od częstości fukcje kształtu umożiwiają wyzaczeie dyamiczej macierzy sztywości. Rozważay w iiejszym rozdziae prętowy eemet skończoy o zmieych parametrach geometryczych i mechaiczych jest eemetem typu Euera o sześciu stopiach swobody. Zakładamy że dowoie zmiee parametry pręta takie jak sztywość gięta i osiowa gęstość zmiee parametry podłoża i obciążeie moża przedstawić w postaci szeregu wzgędem wieomiaów Czebyszewa I rodzaju. Na

92 Niepryzmatyczy eemet skończoy 9 podstawie twierdzeia i zaeżości dotyczących tych wieomiaów przedstawioych w rozdziae wyzaczamy fukcje kształtu a z ich dyamiczą macierz sztywości rozważaego eemetu. Opisae eemety zastosowao do rozwiązaia metodą MES zagadieia stateczości układów ramowych. 6.. SFORMUŁOWANIE I ROZWIĄZANIE ZADANIA Rozważmy iepryzmatyczy prostoiiowy eemet skończoy typu Euera o długości a spoczywający a dwuparametrowym podłożu sprężystym podday działaiu dyamiczych obciążeń ormaych P(X t) i styczych R(X t) (rys. 6.). Poadto a pręt działają osiowo iepotecjae obciążeie rozłożoe s(x) a a końcach pręta skupioe iepotecjae siły P 5 P 6. q Q P(X t) EA(X) EJ(X) ρ(x) q Q P 5 q 5 Q 5 a U(X t) R(X t) s(x) +a P 6 q 6 Q 6 q 3 Q 3 W(X t) C(X) K(X) F(X) q 4 Q 4 Rys. 6.. Pogądowy schemat eemetu skończoego Zagadieie drgań przedstawioego układu opisują rówaia różiczkowe (3.) i (3.) przy czym prawą stroę rówaia (3.) aeży uzupełić składikiem s(x)η (X) W/ X opisującym wpływ iepotecjaego obciążeie rozłożoego (patrz rówaie (5.)). Poszukując rozwiązań tych rówań w postaci szeregów Czebyszewa oraz ograiczając rozważaia do drgań harmoiczych uzyskujemy astępujące ieskończoe układy rówań agebraiczych opisujących odpowiedio drgaia poprzecze ( ( ) ω ω ) Ek+ Nk+ Ck+ Kk+ Sk + i ΘV k ggk w = Fk = (6.) k =...

93 9 Rozdział 6 oraz podłuże drgaia pręta = ( ω ω ) ddk+ Hk + i ΘHk ggk u = Rk k =... (6.) Występujące w rówaiach (6.) i (6.) współczyiki okreśoe są odpowiedio we wzorach (3.) (3.) (3.6) oraz we wzorze (5.6). Dyamicza macierz sztywości eemetu skończoego będąca macierzą trasformacji przemieszczeń brzegowych q = [q q... q 6 ] T a siły brzegowe Q = [Q Q... Q 6 ] T (Q = S(ω)q) ma strukturę bokową S ( ω) w S = u S (6.3) i jest macierzą zaeżą od zmieej ω (patrz p. [8] s. 7]. Podboki tej macierzy możemy wyzaczyć z astępujących zaeżości [3] w T T ( ω ) = 3 w w + w w S H x EJ x H x dx H x N x H x dx a a + a H x K x H x dx+ H x C x H x dx T T w w w w a Hw Hw Hw Hw T T ρ aω x x x dx x S x x dx u T T ( ω) = u u + u u S H x EA x H x dx a H x F x H x dx a T ρ H aω H x x x dx u u (6.4) (6.5) gdzie macierze H w (x) H u (x) okreśają zaeżość między przemieszczeiami W(x) i U(x) wewątrz eemetu a współrzędymi q q... q 6 opisującymi przemieszczeia i obroty a końcach pręta.

94 Zaeżości te mają astępującą postać: Niepryzmatyczy eemet skończoy 93 q q W x H x q H x H x H x H x (6.6) T = w w = 3 4 q3 q4 T q5 U( x) = Hu ( x) q u = H5( x) H6( x) q. (6.7) 6 Występujące we wzorach (6.6) (6.7) fukcje H i (x) i =... 6 azywae są fukcjami kształtu. Fukcje H H H 3 H 4 moża wyzaczyć rozwiązując ieskończoy układ rówań (6.) w którym pierwsze cztery rówaia spełioe tożsamościowo zastępujemy rówaiami okreśającymi waruki brzegowe. Waruki te w przypadku fukcji H i i = 3 4 przyjmują odpowiedio postać: gdzie φ φ φ φ() () H : q = φ = q = = q3 = aw = q4 = aw = H : q = φ = q = = q3 = aw = q4 = aw = H3 : q = φ = q = = q3 = aw = q4 = aw = H : q = φ = q = = q = aw = q = aw = (6.8) w q w q = = φ φ = = + = = q3 q4 = a = a w = w = w + = w =. (6.9) k W wyiku uzyskamy cztery ciągi współczyików W k = 34; =... okreśające poszukiwae ścisłe fukcje kształtu k W H x = a T x k = k = k W H x = aˆ T x k = 3 4 k = (6.)

95 94 Rozdział 6 gdzie przez â ozaczoo bezwymiarową część wiekości porówawczej a (p. jeśi a = 5 m to â = 5). Aaogiczie moża wyzaczyć H 5 H 6. W tym przypadku rozwiązujemy układ rówań (6.) w którym pierwsze dwa rówaia mają postać q u u u u a 5 6 ( ) = ( ) ( ) = + = = (6.) = = a waruki brzegowe są okreśoe wzorem: H5: q5 = au( ) = q6 = au = H : q = au = q = au = k Mając dwa rozwiązaia układu U k = 56; =... otrzymujemy k = q a (6.) ' k H x = aˆ U T ( x) k = 5 6. (6.3) Ią metodą wyzaczeia dyamiczej macierzy sztywości eemetu skończoego jest bezpośredie obiczeie wartości sił Q Q... Q 6. Siły te moża wyzaczyć ze wzorów (3.3) 3 6 (3.3) które okreśają wartości sił przekrojowych a końcach pręta EJ EJ Q = m = EJ w a 3 a = EJ EJ Q = m( + ) = EJ + ( ) w a 3 a = EJ EJ Q3 = t ( ) = ( ) ( ) EJ a a = 3 + ( )( 4) EJ N w 5 EJ EJ Q = t( + ) = ( ) EJ+ + ( )( 4) EJ+ N a a = oraz w (6.4) Q = EA q = EA EA u = = Q = EA q + = EA EA u. (6.5)

96 Niepryzmatyczy eemet skończoy 95 Po podstawieiu do wzorów (6.4) (6.5) odpowiedio współczyików rozwiięcia k fukcji kształtu H H H 3 H 4 oraz H 5 H 6 tj. współczyiki W k = 3 4 = k... oraz U k = 5 6; =... otrzymamy eemety dyamiczej macierzy sztywości w EJ k Sk = EJ W 3 a = = ( 4) w EJ k S k = EJ + W 3 a S EJ w EJ 3k = 5 a = 3 k + 4 EJ N η P 5 W w EJ S4 k = EJ a + = 3 k + EJ+ N+ η 5 W P6 k = 34 (6.6) k S = EA EA U u 5k u 6k = k S = EA EA U k = = (6.7) gdzie P 5 = P P5 P6 = P P6. Występujące we wzorze siły P 5 P 6 mają oczywiście rówież wpływ a wartości sił osiowych N N +. Wektory węzłowych sił czyych możemy wyzaczyć z reacji w u w u F = P p x H x dx F = P r x H x dx. (6.8) Po podstawieiu do wzoru (6.8) rozwiięć fukcji p(x) r(x) rozwiięć fukcji kształtu oraz zastosowaiu zaeżości (.8) otrzymamy

97 96 Rozdział 6 w i i i = = ( W W + ) F = ap p + T x i= w i i i = = ( W W + ) F = ap ˆ p + T x i= 3 4 u i i i = = ( U U + ) F = ap ˆ r + T x i= 5 6. (6.9) Wykorzystując związek ([44] s. 43) ostateczie otrzymujemy Przykład 6. gdy parzyste (6.) gdy ieparzyste T ( x) dx= ( W W + ) F = ap p + i= 4 w i i i = = w i i i ( W W+ ) = = u i i i ( U U+ ) = = F = ap ˆ p + i= F = ap ˆ r + i= (6.) Opisae eemety skończoe zastosujemy do rozwiązaia zagadieie stateczości układów ramowych obciążoych osiowym statyczym obciążeiem potecjaym. Schematy aaizowaych ram przedstawioo a rysuku 6.. Pierwszy z przykładów zaczerpięto z moografii [4] s. 63. W pracy tej zagadieie stateczości rozwiązao metodami aaityczymi ograiczając rozważaia do wyzaczeia pierwszej siły krytyczej. Przyjęto astępujące parametry układu 3 4 J = 7 m A= 4 m 4 4 X 4 X π π = 3 + m = 3 + m 64 a 8 a A( X) J X E = 8 N/ m ρ = 4 kg/ m (6.)

98 Niepryzmatyczy eemet skończoy 97 P P η = η = a) EJ A X EJ A + a b) EJ(X) A(X) EJ(X) A(X) 8 m a 6 m 6 m Rys. 6.. Rama o węzłach ieprzesuwych a) i przesuwych b) obciążoa osiowym obciążeiem potecjaym P ω [rad/s] 8 P cr = N P cr = 7369 N 6 4 ω ω P Rys. 6.3 Zaeżość częstości drgań swobodych ramy (schemat z rys. 6. a) od osiowej siły potecjaej P

99 98 Rozdział 6 ω [rad/s] 7 6 P cr = 5585 N P cr = N ω ω P Rys Zaeżość częstości drgań swobodych ramy (schemat z rys. 6. b) od osiowej siły potecjaej P Tabea 6.. Porówaie wyików Praca Układ z rys. 6.a Układ z rys. 6.b Kasycza FEM Praca Kasycza FEM Praca Kasycza FEM Praca Kasycza FEM P[N] ω [rad/s] ω [rad/s] ω ω P[ N] ω ω ω ω

100 Niepryzmatyczy eemet skończoy 99 Układ z rysuku 6. podzieoa a 4 eemety skończoe ( słupy + ryge) stosując do aproksymacji przemieszczeń w eemetach iepryzmatyczych 6 wyrazów szeregu Czebyszewa (m = 5). Uzyskae rezutaty przedstawioo a rysukach oraz w tabeach Tabea 6.. Porówaie wyików Układ z rys. 6.a Układ z rys. 6.b P cr [Ν] P cr [Ν] P cr [Ν] P cr [Ν] Praca Kasycza FEM Praca [4] 68 W tabeach tych w ceu porówaia umieszczoo rówież wyiki uzyskae z zastosowaiem do rozwiązaia kasyczych pryzmatyczych eemetów skończoych (eemety o czterech stopiach swobody). W tym przypadku układ podzieoo a eemetów skończoych (słupy 4 eemety ryge 3 eemety). Uzyskae wyiki pokazują dobrą zgodość z wyikami uzyskaymi iymi metodami.

101 7. ZAGADNIENIE DRGAŃ HARMONICZNYCH PRĘTA SPOCZYWAJĄCEGO NA INERCYJNEJ PÓŁPŁASZCZYŹNIE SPRĘŻYSTEJ 7.. WPROWADZENIE Szczegóe zaczeie zagadień dotyczących statyki i dyamiki ustrojów a podłożu sprężystym wyika z tego że prawie każda kostrukcja iżyierska spoczywa bezpośredio ub pośredio a podłożu grutowym. W rozważaiach dotyczących tego typu probemów przyjmuje się róże modee podłoża sprężystego poczyając od ajprostszego modeu Wikera poprzez modee dwuparametrowe (Pasterak Fiłoieko-Borodicz Własow [93]) kończąc a jedym z bardziej skompikowaych iercyjej półprzestrzei sprężystej. Wymieioe modee ie wyczerpują oczywiście wszystkich opisaych i stosowaych w praktyce iżyierskiej modei. Opis tych modei moża zaeźć pracach przegądowych p. w pracy Jemieity i Szcześiaka [8] w moografii Sevaduraiego [64] ub w pracy [6]. Z prac korzystających z prostszych modei podłoża w których rozwiązao probem drgań beki iepryzmatyczej moża wymieić omawiae we wcześiejszych rozdziałach prace [ ] oraz prace Eishakoffa [46] oraz Burra Triatafyoou a i Yue a [9]. W pracy [46] rozwiązao probem poegający a wyzaczeiu fukcji sztywości beki oraz parametrów podłoża sprężystego o zadaym rozkładzie gęstości tak aby pierwsza forma własa przyjmowała okreśoą postać p. aby była idetycza z statyczym rozwiązaiem beki obciążoej rówomierie. Natomiast w pracy [9] badao probemy faowe da odcikowo iepryzmatyczej bece ieskończoej. Aaiza drgań beki spoczywającej a dwuparametrowym podłożu sprężystym wywołaych różymi typami obciążeń jest omówioa w pracy Ghai Razaqpur i Shah [48]. W tym przypadku rozważaia ograiczoo do beek pryzmatyczych. Probem drgań beki pryzmatyczej a podłożu Pasteraka rozważay był rówież w pracy Coskua [7] w której rozwiązao probem drgań beki krótkiej obciążoej skupioą siłą harmoiczie zmieą. Ciekawym eemetem tej pracy jest uwzgędieie w rozwiązywaym zagadieiu więzów jedostroych i wyzaczeie obszarów kotaktu między beką a podłożem sprężystym. Te sam mode Pasteraka zastosowai Che Lu i Bia w pracy [] w której rozwiązai probem drgań

102 Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego... i Che Lu i Bia w pracy [] w której rozwiązai probem drgań swobodych beki krótkiej metodą DQ (differetia quadrature). Zastosowaie iego trójparametrowego modeu podłoża (modeu Kerra) w zagadieiu statyczym przedstawioo w pracy Avramidisa i Morfidisa [8]. Przegąd prac związaych z zastosowaiem tego modeu możemy zaeźć w pracy [76]. Bardzo iczą grupą prac przedstawiających rozwiązaie probemów iterakcji między kostrukcją a podłożem są prace dotyczące zagadień drgań sztywych fudametów bokowych a podłożu sprężystym. Bogatą bibiografię dotyczącą tej tematyki moża zaeźć m.i. w pracy Fiipkowskiego Hryiewicza i Siekiewicza [5] oraz w pracy Siekiewicza [68]. Literaturę aczkowiek ie tak iczą jak w wymieioych pracach moża zaeźć rówież w pracy [93]. Miej iczą grupę staowią prace dotyczące probemów drgań układów odkształcaych (beki płyty powłoki) spoczywających a iercyjej półprzestrzei sprężystej. Rozwiązaie tych skompikowaych zagadień moża zaeźć m.i. w pracach [ ]. W iiejszym rozdziae rozwiążemy probem drgań wymuszoych harmoiczie iepryzmatyczej beki krótkiej spoczywającej a iercyjej półpłaszczyźie sprężystej. W prezetowaych rozważaiach w części dotyczącej wyzaczeia fukcji przemieszczeń półpłaszczyzy sprężystej pomysł rozwiązaia zaczerpięto z prac Sejmowa (patrz prace [6 6]). Przedstawioe w tych pracach rozwiązaie dotyczyło zagadieia drgań sztywego fudametu bokowego spoczywającego a półpłaszczyźie sprężystej. W rozdziae tym wykorzystao wyiki autora przedstawioe w pracy [53]. 7.. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA Przedmiotem rozważań jest iepryzmatycza prostoiiowa beka Euera o długości a spoczywająca a iercyjej półpłaszczyźie sprężystej poddaa działaiu dyamiczych obciążeń ormaych P(X t) oraz statyczych sił osiowych N(X). Beka i półpłaszczyza są połączoe w kieruku ormaym więziami dwustroymi (rys. 7.). Rozważaia ograiczymy do drgań wymuszoych harmoiczie. Liiowe poprzecze drgaia beki opisuje się wtedy astępującym rówaiem różiczkowym W W EJ X N ( X) ω ρb ( x) W P( X t) R( X t) X X = X X (7.) gdzie ρ B masa beki przypadającą a jedostkę długości R(X t) fukcja opisująca reakcję podłoża sprężystego.

103 Rozdział 7 P(X t) oś beki -a +a X N(X) R(X t) W(X t) V(X t) Rys. 7.. Schemat układu Siły przekrojowe: momety gące oraz siły tące okreśoe są wzorami (3.3) 3. Fukcje przemieszczeń iercyjej półpłaszczyzy sprężystej opisae są dwoma sprzężoymi rówaiami różiczkowymi cząstkowymi Y V V U V V μ + X Y + λ+ μ + X Y Y = ρ t U U U V U μ + + ( λ+ μ) + = ρ X Y X X Y t oraz astępującymi warukami brzegowymi σ σ σ YY YY XY iωt X t = R X e gdy a X + a X t = gdy a< X X t = gdy X +. (7.) (7.3) gdzie U(X Y) V(X Y) odpowiedio poziome i pioowe przemieszczeia półpłaszczyzy λ μ stałe Lamégo ρ gęstość podłoża sprężystego. Ze wzgędu a wprowadzoe więzy między beką a półpłaszczyzą da przemieszczeń zachodzi astępujący związek V X t = W X t da a X + a. (7.4) Po wprowadzeiu w rówaiach (7.) (7.) wiekości bezwymiarowych x = X/a y = Y/a i wykorzystaiu w tych rówaiach zaeżości iωt iωt ( ) = e = e iωt = = iωt = = W X t W X aw x iωt P iωt P( X t) = P( X) e = p( x) e iωt a V X t V X e av x e iωt P iωt iωt U X t U X e au x e R( X t) = R( X) e = r( x) e a otrzymamy astępujące rówaie drgań beki (7.5)

104 Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego... 3 EJ ( x) 4 3 w EJ x w w EJ ( x) + + N 4 3 ( x) x x x x x N( x) w ω g ρb ( x) w= ( p( x) r( x) ) x x (7.6) a siły przekrojowe wyrażą się wzorami (3.6) 3. Występujące w rówaiu (7.6) fukcje EJ N ρ są okreśoe we wzorze (3.7). Daej da uproszczeia zapisu kosekwetie przyjmować będziemy EJ N ρ B B zamiast EJ N ρ. B Po zastosowaiu zaeżości (7.5) rówaia opisujące drgaia półpłaszczyzy wyrażą się wzorami a waruki brzegowe przyjmą postać u u v + β + β = β κ u x y x y v v u + β + ( β ) = β κ v y x x y iωt (7.7) rx e σ yy = P a gdy x + σ yy = gdy > x (7.8) σ xy = gdy x + gdzie c μ β c ω a λ + μ μ κ = c λ = c = μ c ρ ρ są odpowiedio prędkościami rozchodzeia się fa podłużych i poprzeczych w podłożu ROZWINIĘCIE W SZEREG CZEBYSZEWA FUNKCJI PRZEMIESZCZEŃ PÓŁPŁASZCZYZNY SPRĘŻYSTEJ Do rozwiązaie układu rówań różiczkowych cząstkowych (7.7) zastosujemy metodę potecjałów oraz trasformację Fouriera. Nie wchodząc w szczegóły tego kasyczego sposobu rozwiązywaia probemów eastokietyki (patrz p. [39]) przedstawiamy ostatecze rozwiązaie

105 4 Rozdział 7 κ α β κ r α iα x dα (7.9) ( P v x ) = π aμ e α κ 4α α β κ α κ gdzie r (α ) trasformata Fouriera fukcji odporu podłoża r(x). Niezaej fukcji odporu podłoża r(x) poszukiwać będziemy w astępującej postaci (patrz [6] s. 7) r x = x ' r T x (7.) gdzie T (x) są wieomiaami Czebyszewa I rodzaju. Wykoując a rówaiu (7.) trasformację Fouriera oraz wykorzystując astępujące wzory całkowe (patrz [6] s. 85) = π π + + iα x ( x ) ( x) e dx= ( ) ( x) T J iα x ( x ) + ( x) e dx= ( ) + ( x) T i J (7.) gdzie J (x) są fukcjami Bessea pierwszego rodzaju otrzymamy = iα x r ( α ) = ' r ( x ) T ( x) e dx π ' = ( ) r J( α) + i ( ) r+ J + ( α). π = = (7.) Po podstawieiu trasformaty (7.) do wzoru (7.9) dostaiemy ( ) ' κ α β κ r J α i α x μ = P v( x) = ( ) e a α κ 4α α β κ α κ Pi aμ = κ α β κ r+ J + ( α) iα x e dα. α κ 4α α β κ α κ dα (7.3) Fukcję przemieszczeń (7.3) rozwiiemy (patrz [6] s. 7) w szereg wzgędem wieomiaów Czebyszewa I rodzaju

106 Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego... 5 v x ' a v x ' v x = [ ] T = T. (7.4) = = Z defiicji współczyiki tego rozwiięcia a [w] są okreśoe wzorem (.). Po wykorzystaiu zaeżości (7.) wzoru mπi mν πi ( z) ν ( z) J e = e J (7.5) ν oraz wprowadzeiu podstawieia ξ = α /κ ostateczie otrzymujemy: P ' + J J [ ] = = ( ) aμ = ξ β κξ κξ a v v r dξ ( ξ ) 4ξ ξ β ξ (7.6) P + ξ β J+ ( κξ ) J+ ( κξ ) a+ [ v] = v+ = ( ) r+ dξ. aμ = ξ 4ξ ξ β ξ Całki iewłaściwe (7.6) poddamy daszym przekształceiom. W ceu uproszczeia zapisu wprowadzimy astępujące ozaczeia gdzie ϕ = F ( x) J ( κξ) J ( κξ) dξ = m (7.7) F ( ξ ) = ξ β. ξ 4ξ ξ β ξ (7.8) Dodatkowy waruek we wzorze (7.7) ozacza że iczby okreśające rzędy fukcji Bessea są jedocześie parzyste ub jedocześie ieparzyste. Założymy poadto że. Dokoując we wzorze (7.7) podstawieia gdzie () () ν ν ν J x = H x + H x (7.9) ν ν ν ν ν ν H x = J x + i N x H x = J x i N x (7.) są fukcjami Hakea I i II rodzaju otrzymamy

107 6 Rozdział 7 () ( F J H d F J H ) d. (7.) ϕ = ξ κξ κξ ξ + ξ κξ κξ ξ Całki (7.) obiczymy przechodząc z całkowaiem a płaszczyzę zespooą. Odpowiedie kotury całkowaia przedstawioo a rysukach 7. i 7.3. Zaki oraz charakterystycze wartości występujących we wzorze (7.8) fukcji wieozaczych gdzie z z ν = β ν = z = ξ + iη przedstawioo a rysuku 7.4. Korzystając ze zaego twierdzeia dotyczącego całkowaia a płaszczyźie zespooej otrzymamy () = J H + J H N S ϕ F ξ κξ κξ dξ F ξ κξ κξ dξ = I dξ + I dξ = I dz+ I dz+ I dz πi res I. OBR O R (7.) N η H ) ( ( z) iia rozgałęzieia O A B P β ξ r E ξ Rys. 7.. Kotur całkowaia w przypadku gdy w fukcji podcałkowej występuje fukcja () ( z ) H

108 Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego... 7 η O R A B P β ξ r E ξ iia rozgałęzieia H ) ( ( z) S Rys Kotur całkowaia w przypadku gdy w fukcji podcałkowej występuje fukcja ( ) ( z ) H ν = z β η Imν Imν > ν = z z = ξ + iη Reν = β Reν = Imν = Imν = Imν Imν < ξ Reν > Reν > Rys Zaki oraz charakterystycze wartości fukcji wieozaczych z β ν = ν = z a płaszczyźie zespooej Po wykoaiu odpowiedich przekształceń za pomocą zaeżości (7.5) oraz astępującego wzoru () πi ν πi ( ( z) ) ( z) H e = e H (7.3) ν ν ostateczie otrzymamy

109 8 Rozdział 7 β β ξ ( ϕ ) = i J H κξ ( κξ) dξ ( ξ ) + 4ξ β ξ ξ + β 4ξ ( ξ β ) ξ 4 ( ξ ) + 6ξ 4 ( ξ β )( ξ ) ( ) ξ β ( ) κξr ( κξ r) ξ 4ξ ξ β ξ ξ = ξ r J κξ H κξ dξ π J H = m. (7.4) W przypadku gdy < ioczy fukcji Bessea J (.) H (.) występujący we wzorze (7.4) aeży zastąpić ioczyem J (.) H (.). Szczegóły przedstawioej metody obiczeia całek ieskończoych moża zaeźć m.i. w pracy [49] s oraz w pracy [6] ROZWIĄZANIE ZADANIA DRGAŃ BELKI NIEPRYZMATYCZNEJ Po podstawieiu do rówaia (7.6) fukcji odporu podłoża (7.) otrzymamy 4 3 w EJ x w EJ x w N x w EJ ( x) + N 4 3 ( x) x x + x x x x x ω gρ ' B x w= p x ( x ) r T ( x). = (7.5) Rozwiązaia rówaia różiczkowego (7.5) poszukiwać będziemy w postaci szeregów Czebyszewa w x ' a w x ' w x = [ ] T = T. (7.6) = =

110 Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego... 9 Do rozwiązaia rówaia (7.5) zastosujemy przedstawioe w pukcie.3 twierdzeie. Zastosowaie tego twierdzeia wymaga m.i. rozwiięcia prawej stroy rówaia (7.5) w szereg Czebyszewa. Poieważ fukcja ( x ) związaa z reakcją podłoża ie ma takiego rozwiięcia prawą i ewą stroę rówaie (7.5) przemożymy przez ( x ) otrzymując astępujące rówaie w ( x ) EJ( x) + ( x ) x EJ x w x x EJ x w + ( x ) N( x) x x N( x) w ( x ) ω g( x ) ρb ( x) w x x = ( x ) p( x) ( x ) ' rt ( x). = (7.7) Występujące w tak zmodyfikowaym rówaiu różiczkowym czwartego rzędu fukcje ˆ Pˆ są okreśoe wtedy wzorami P m 4 = ( ) Pˆ x x EJ x = ( x ) ˆ EJ x P x x ˆ EJ ( x) P ( x) = ( x ) N( x) x N( x) P3 ( x) = ( x ) x Pˆ x x g x = ( ) ω ρ B Pˆ ( xt ) = ( x ) p( x) ( x ) ' r T ( x). = (7.8) Po wykorzystaiu zaeżości (.3) związae z P ˆm fukcje Q m przyjmują postać

111 Rozdział 7 = ( ) Q x x EJ x EJ x Q x = x + 8 x EJ( x) x EJ ( x) EJ x = ( ) N ( x) Q x x x EJ x x N x x x EJ x EJ x N x Q3 ( x) = 4x + + x 4 xn ( x) x x x EJ x Q4 ( x) = + x + N ( x) ( x ) ω gρb ( x). x x (7.9) W daszych przekształceiach wykorzystamy zaeżości (.38) oraz rozwiięcie w szereg Czebyszewa fukcji x ([44] s. 43) 4 ( x ) = ' T m ( x). (7.3) π 4m m= Po podstawieiu formuł (7.9) do wzoru (.9) i wykoaiu złożoych przekształceń z wykorzystaiem wzorów (.37) i (.38) otrzymamy ieskończoy układ rówań agebraiczych umożiwiający wyzaczeie współczyików w rozwiięcia fukcji przemieszczeń w(x) ( ω ) ' ' E + N + gg w = F + r R k = 3... (7.3) k k k k k = = gdzie ( 3)( 4)( 5) E = k + k + k + 3 k 4 k 5 e k k k k k k + k + e k++ ( 4( 9)( 4) 8( 3) ( 7 3)) ( 4( 9)( 4) 8( 3) ( 7 3)) ( ( k 9)( k 4)( k )( k 4) ( k 9)( k 4)( k ) (( k )( k + ) ( k ) ) + k k k + k + k + k k e + k k k + k k k + k + e k k+

112 ( Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego... ( k )( k )( k )( k )( k ) ) k k k 3 k + k + 3 e ( k )( k )( k )( k ) ( k )( k )( k ) ( k )( k ) ( k ) ( k )( k )( k )( k )( k ) k k + k + k + 3 k + k + 3 e k+ k 4 k 9 k 4 k + e + + k + ek+ gdy = ; 4 4( k 3) + ( k 9)( k 4)( ) ( k + j) ek + j gdy = 3; j= + 96 ( k 3)( k + j) ek + j gdy 4 j= ( k 9)( k 4)( ) ( k + ) ek + + ( k + ) ek+ (7.3) Nk = ( k+ )( k+ )( k+ 3)( k 5) ( k 4 k+ 4) ( k )( k 3)( k 9k 3) ( k k+ ) 3( k 9)( k ) ( k k+ ) ( k )( k 3)( k 9 k 3) ( ) + + k + k++ + ( k )( k )( k 3)( k + 5 ) ( k + 4 k++ 4) (7.33) G = 8 k + k + k + g + g (( 3)( + ) k k 6 k 6 ( k )( k )( k )( g g ) k 4 k+ 4 ( k )( k )( k )( g g ) k( k )( g g ) ( k )( k )( k 3)( gk + gk++ ) 6( k )( k )( k 3)( gk + 4 gk++ 4) ( k )( k )( k 3 )( gk + 6 gk++ 6)) k k+ k k+ (7.34)

113 Rozdział 7 F = ( ( k + )( k + )( k + 3) p + 6( k )( k + )( k + 3) p 4 R k k 6 k 4 k 5 k + k k + 3 p + k k 7 p 5( 3) k 6( 3) ( k )( k )( k 3 ) pk + 6 ) k k + k p + k + k k p + k+ 4 ( k+ )( k+ )( k+ 3) ( k+ )( k+ )( k+ 3) π ( k 4) ( k+ 4) 4( k 4)( k+ 3) ( k ) 4( k 4)( k+ 3) ( k+ ) 6k( k 9) ( k ) 6k( k 9) ( k+ ) 4( k 4)( k 3) ( k + ) 4( k 4)( k 3) ( k+ + ) = + k + + ( k ) ( k ) k k k 3 ( k )( k )( k 3) + + (( k+ + mod ) ) k (7.35) (7.36) Występujące we wzorach (7.3) (7.35) parametry e g p są współczyikami rozwiięć fukcji ρ e = a EJ x = a N x g = a B x p = a p x. Pierwsze cztery rówaia spełioe tożsamościowo zastępuje się rówaiami okreśającymi waruki brzegowe. W rozważaym probemie waruki te mają postać (patrz wzory (3.3) 3 ) m ( m ) EJ( x) w x = = x x= m 3 w x w x w x q( m) = EJ( x) EJ 3 ( x) N ( x). x x + = x x x= m (7.37) Korzystając z wartości wieomiaów T ( m ) ( m ) obiczoych ze wzorów (.34) (.35) oraz wartości stałych EJ EJ + EJ EJ + N N + (patrz wzory (3.8) (3.9)) otrzymamy cztery dodatkowe rówaia opisujące waruki brzegowe

114 Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego... 3 ' m = m = EJ w = ' B w = 3 ' + + ( ) ' = = ( ) ( ) ' + = = ( ) ( ) = = m + = m = EJ w = ' B w = 3 = = q t EJ = 3 + ( )( 4) EJ N w ' B 5 = w = q t EJ + + = = 4 EJ N w ' + + = B w =. 3 = (7.38) Cztery rówaia (7.38) oraz rówaia (7.3) da k = tworzą ieskończoy układ rówań agebraiczych pozwaający a wyzaczeie iezaych współczyików rozwiięcia fukcji przemieszczeń w(x) (wzór (7.6)). Po zapisaiu układu w uproszczoej postaci otrzymamy = ' B w = k = 3 k ( ω ) E + N + gg w = F + r R k = ' ' k k k k k = = (7.39) 7.5. ROZWIĄZANIE PROBLEMU INTERAKCJI BELKI Z PÓŁPŁASZCZYZNĄ SPRĘŻYSTĄ W aaizowaym zagadieiu założyiśmy astępujące waruki zgodości przemieszczeń półpłaszczyzy i beki (wzór (7.4) po wprowadzeiu wiekości bezwymiarowych) rówoważe reacjom v x = w x gdy x + (7.4) w = v =... (7.4)

115 4 Rozdział 7 gdzie v(x ) ampituda przemieszczeń brzegu półpłaszczyzy w(x) ampituda drgań osi beki. Po podstawieiu związku (7.4) do układu rówań (7.39) wykorzystaiu (7.6) (7.7) (7.) i wykoaiu przekształceń otrzymujemy ieskończoy układ rówań agebraiczych P ' ' m+ r m ( ) Bkϕ m aμ m= = m+ + rm+ ( ) Bk+ ϕ+ m+ = m= = k = 3 + ' P ' m+ r m Ckϕ m R km m= aμ = m+ ( ) C ϕ + Rk m+ = Fk k = P rm+ k+ + m+ m= aμ = (7.4) gdzie k k k ω k C = E + N + gg (7.43) pozwaający a wyzaczeie iezaych współczyików r m. Po podstawieiu współczyików r m do wzorów (7.6) wyzaczymy wyrazy rozwiięcia poszukiwaej fukcji przemieszczeń półpłaszczyzy (7.4) a po uwzgędieiu reacji (7.4) rówież przemieszczeń beki (7.6) PRZYKŁADY OBLICZENIOWE Przykład 7. W ceu iustracji przedstawioej metody zastosujemy ją do rozwiązaia probemu drgań beki o symetryczym przekroju wzgędem osi X da której wysokość jest opisaa fukcją (rys. 7.5)

116 Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego... 5 H X X a = a. (7.44) 5 Po przejściu do wiekości bezwymiarowych (7.5) fukcja ta wyrazi się wzorem h x ( x ) =. (7.45) 5 H( a)= a/5 H()= a/5 H (X ) a a H(a)= a/5 X Rys Charakterystycze wartości fukcji H(X) opisującej wysokość beki Y P a p P a = 3 a a X Y Rys Przestrzey rozkład obciążeia działającego a układ Pozostałe parametry beki wykoaej z betou to: E = 8 N/m ρ BV = 4 kg/m 3 (ρ BV jest masą a jedostkę objętości) a = m da półpłaszczyzy μ = 5 8 N/m ρ = kg/m 3 v = 3. Na bekę działa iiowo zmiee obciążeie atysymetrycze (rys. 7.6). Przestrzey rozkład obciążeia w postaci bezwymiarowej wyraża fukcja

117 6 Rozdział 7 3 p ( x) = x. (7.46) Po rozwiięciu w szeregi Czebyszewa bezwymiarowych charakterystyk geometryczych beki J(x) i A(x) gdzie A(x) jest jej poem przekroju i podstawieiu pozostałych wartości iczbowych otrzymamy EJ(x) oraz ρ B = ρ BV A(x). Obiczeia wykoao da czterech częstości wymuszeia: ω = 5π rad/s ω = 5π rad/s ω 3 = π rad/s ω 4 = π rad/s. W ceu rozwiązaia ieskończoego układu rówań agebraiczych (7.4) ograiczymy go do układu skończoego. Wtedy fukcja przemieszczeń oraz fukcja odporu podłoża są okreśoe przez skończoe sumy szeregów Czebyszewa m ' m ' = = (7.47) = = ( ) w x w T x r x x r T x. Re r( x) x Im r( x) x Abs r( x) x Arg r( x) x Rys Wykresy zespooej fukcji r( x) x (r(x) fukcja odporu podłoża) w przypadku różych rozmiarów bazy aproksymacyjej m =

118 Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego... 7 Badając zbieżość rozwiązań układ te rozwiązao da coraz większego rozmiaru bazy aproksymującej m = Otrzymae w wyiku obiczeń fukcje przedstawioo a rysukach 7.7 i 7.8. Poieważ fukcje r(x) w(x) przyjmują wartości zespooe a rysukach tych przedstawioo ich części rzeczywiste Re(z) oraz urojoe Im(z) a występujące tam rówież fukcje Abs(z) Arg(z) ozaczają odpowiedio moduł oraz argumet zespooej wartości z. Na rysuku 7.7 przedstawioo wykresy fukcji r( x) x. Aaogicze rezutaty da fukcji przemieszczeń w(x) pokazao a rysuku 7.8. Obiczeia wykoao da częstości wymuszeia ω = π rad/s. Wykresy przedstawioe a rysukach 7.9 i 7. pokazują atomiast fukcje r( x) x w(x) obiczoe da różych częstości wymuszeia ω = 5π 5π π π rad/s w tym przypadku parametr m = 49. Wykresy zespooych fukcji przemieszczeń w() (a końcu beki) w zaeżości od wartości bezwymiarowego parametru częstości ω a/c przedstawioo a rys. 7.. Przyjęte do obiczeń częstości ω = 5π 5π π π rad/s odpowiadają astępującym wartościom bezwymiarowego parametru częstości ω a/c = Re wx 9 Im wx Abs wx Arg wx Rys Wykresy zespooej fukcji przemieszczeń w(x) w przypadku różych rozmiarów bazy aproksymacyjej m =

119 8 Rozdział 7 Re r( x) x Im rx x Abs r( x) x Arg r( x) x Rys Wykresy zespooej fukcji r( x) x w przypadku różych częstości wymuszeia ω = 5π 5π π π 9 9 Re wx Im wx Abs wx Arg wx Rys. 7.. Wykresy zespooej fukcji przemieszczeń w(x) w przypadku różych częstości wymuszeia ω = 5π 5π π π

120 Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego Im w Re w ω a c - Rys. 7.. Wykresy zespooej fukcji przemieszczeń w(): Re Im w przypadku różych wartości bezwymiarowego parametru częstości wymuszeia ω a/c. r s (xt) r s (x t) r c (xt) r c (x t) t 6 t 5 t t t 7 t t t t t 3 t 6 t 5 x t t t 3 t 4 t j = = 5.5 j [s] t j j (s) Rys. 7.. Wykresy fukcji odporu podłoża r c (x t) = r(x) cos(πt + Arg(r(x))) i r s (x t) = r(x) si(π t + Arg(r(x))) w przypadku różych wartości czasu t

121 Rozdział 7 Aby uzyskać zaeżości fukcji odporu podłoża od czasu t aeży wykorzystać reacje (7.5) oraz wykoać astępujące przekształceia: s ( ω ) ( ) ( ω ) ( ω ( )) = + = ( ω ) = + r xt r xt i r xt r x exp i t Rer x iim r x exp( i t c exp i( ω ) Arg = r x t + r x = r x cos t+ Arg r x + i r x si t+ Arg r x. (7.48) Aaogiczie w przypadku fukcji przemieszczeń otrzymujemy ( ) = exp( i ω ) = c( ) + i s( ) ω w x t w x t w x t w x t ( ) ω ( ) = w x cos t+ Arg w x + i w x si t+ Arg w x. (7.49) w s (xt) w s (x t) w c (xt) 4 t 3 t t 4 t t 5 t t 6 t t 5 t 4 t 6 t 3 t 7 t t t x -4 t = = 5 j.5 j [s] t j j (s) Rys Wykresy fukcji przemieszczeń w c (x t) = w(x) cos(π t + Arg(w(x))) i w s (x t) = w(x) si(π t + Arg(w(x))) w przypadku różych wartości czasu t We wzorach (7.48) (7.49) ozaczeie fukcji Abs(z) zastąpioo symboem z. Wykresy fukcji r c (x t) r s (x t) oraz w c (x t) w s (x t) w przypadku różych wartości czasu t przedstawioo a rysukach Z aaizy otrzymaych wyików widać że dostateczie dobrą aproksymację rozwiązań uzyskujemy da m = 37. Różice

122 Zagadieie drgań harmoiczych pręta spoczywającego... między wyikami da m = 37 oraz m = 49 są bardzo małe. Zaskoczeiem mogą atomiast być ieduże różice w rozwiązaiach da różych częstości wymuszeń. W przypadku częstości π rad/s i π rad/s wykresy aaizowaych fukcji prawie się pokrywają. Wyiki uzyskae w przypadku gdy a układ z rysuku 7.5 działa obciążeie rówomierie rozłożoe moża zaeźć w pracy autora [53].

123 8. DRGANIA NIEPRYZMATYCZNEJ BELKI TIMOSHENKI 8.. WPROWADZENIE Zagadieia dotyczące układów bekowych typu Timosheki podobie jak probemy związae z układami prętowymi typu Euera cieszą się dużym zaiteresowaiem. O zaiteresowaiu tym świadczy duża iczba prac o tej tematyce. Aaitycze rozwiązaie zagadieia drgań własych pryzmatyczej beki Timosheki przedstawił m.i. Huag [74]. Sprowadził o układ dwóch rówań różiczkowych do jedego rówaia które rozwiązał aaityczie. Uzyskae rozwiązaie wyraża się przez fukcje trygoometrycze i hiperboicze. Zagadieia drgań własych beki wsporikowej z umieszczoym a końcu eemetem masowym o iepomijaej bezwładości obrotowej Bruch i Mitche [8] rozwiązai tą samą metodą. Wiee z pubikowaych prac zajmujących się drgaiami beek Timosheki dotyczy zagadieia stateczości. Probemem tym zajmowai się m.i. Katsikadeis [95] i Kouadis [95] [96]. W pracy [95] przedstawioo aaitycze rozwiązaie stateczości koumy Becka. W pracy [96] Kouadis wyprowadził rówaia opisujące drgaia beki Timosheki obciążoej skupioym i rówomierie rozłożoym obciążeiem śedzącym. Rówaia te zostały wyprowadzoe iezaeżie trzema metodami z zastosowaiem: zasady prac przygotowaych zasady Hamitoa oraz a podstawie stau rówowagi dyamiczej ifiizytymaego eemetu beki. Wykorzystaie do wyprowadzeia rówań opisujących drgaia beki Timosheki obciążoej siłą osiową i siłą śedzącą wariacyjej zasady Hamitoa moża zaeźć w pracy Sato [58]. Zagadieia drgań i stateczości iepryzmatyczej beki Timosheki rozwiązae metodą macierzy przeiesieia przedstawioo w pracy Irie Yamada i Takahashi [77]. Rozwiązaie probemu stateczości beek iepryzmatyczych z uwzgędieiem różych sposobów podparcia beki przedstawii w pracy [48] Esmaizadeh i Ohadi. W pracy tej rozwiązaia poszukiwao w postaci szeregów potęgowych. Szeregów potęgowych użyto rówież do rozwiązaia zagadieia stateczości beki wsporikowej i sztywo-przegubowej w pracy Leuga i Zhou a []. Rozwiązaie zagadieia drgań beek iepryzmatyczych z wykorzystaiem metody eemetów skończoych moża zaeźć w pracy Kasztorego [9]. W pracy tej przyjęto wieomiaową aproksymację fukcji kształtu a pod-

124 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 3 stawie których wyzaczoo astępie macierze sztywości i bezwładości bekowych eemetów skończoych typu Euera i Timosheki. Metoda eemetów skończoych do rozwiązaia zagadieia własego pryzmatyczej beki Timosheki sprężyście utwierdzoej a brzegach została zastosowaa rówież przez Abbasa []. Teorię dotyczącą metody krępych eemetów spektraych oraz zastosowaie tej metody do aaizy dyamiczej fudametów ramowych pod turbozespoły przedstawioo w moografii Wray [96]. Dyamicza macierz sztywości pryzmatyczego eemetu skończoego typu Timosheki została wyzaczoa aaityczie w pracy [] przez Baerjee a i Wiiamsa. Zastosowaie do rozwiązaia trasformacji Lapace a moża zaeźć pracach Luesche Bergmaa i McFarada [7] oraz Saito i Otomi [54]. W pracy [7] wyzaczoo i porówao fukcje Greea pryzmatyczych beek Euera i Timosheki. W przypadku beki Euera uwzgędioo obciążeia beki iezmieym w czasie obciążeiem osiowym. W pracy [54] rozwiązao zadaie drgań i stateczości beki Timosheki z dodaym eemetem masowym (o iepomijaej bezwładości obrotowej) poddaej działaiu obciążeia osiowego oraz obciążeia śedzącego. Dodatkowy eemet masowy przytwierdzoy do swobodego końca beki uwzgędioo rówież w pracy Aucieo [5]. W pracy tej za pomocą aproksymacji Lagrage a rozwiązao zagadieie drgań swobodych sprężyście utwierdzoej beki wsporikowej o iiowo zmieej wysokości. W iej pracy Aucieo i Ercoao [4] do rozwiązaia zagadieia drgań beki Timosheki obciążoej siłą osiową zastosowai metodę Rayeigha Ritza. Jako zbiór fukcji bazowych zastosowao fukcje ortogoae. Pierwszy eemet tego zbioru to wieomia spełiający waruki brzegowe astępe otrzymywae są metodą ortogoaizacji Grama Schmidta. Metodę Rayeigh Ritza do wyzaczeia częstości własych beki swobodie podpartej sprężyście utwierdzoej a końcach o zmieej iiowo wysokości zastosowai rówież Gutierrez Laura i Rossi w [7]. Do aproksymacji przemieszczeń i fukcji obrotu przekroju poprzeczego wykorzystai kasycze wieomiay potęgowe. Metodę Gaerkia do wyzaczeia częstości własych zastosowai w pracy [] Chehi i Jategaokar. W pracy aaizowao beki o przedziałami iiowo zmieych parametrach. Jedą ze stosowaych metod do rozwiązywaia omawiaych probemów jest metoda DQM (Differetia Quadrature Method). Przykład jej zastosowaia możemy zaeźć w pracy Karami Maekzadeha i Shahpari [89]. Rozwiązaie probemu drgań beki o okresowej geometrii wywołaych obciążeiem harmoiczie zmieym wraz z zagadieiem wrażiwości przedstawioo w pracy Mazur-Śiady i Śiadego [35]. Probem drgań skrętych beki Timosheki obciążoej siłą osiową rozwiązao w pracy [66]. Odmiee podejście do rozwiązaia probemu drgań beek iepryzmatyczych przedstawiają Tog Tabarrok i Yeh [88]. Bekę iepryzmatyczą aproksymowai oi beką odcikowo-pryzmatyczą o skokowo zmieych parametrach. Korzystając z aaityczych rozwiązań beki pryzmatyczej oraz waruków ciągłości rozwiązai aaizoway probem. Rozwiązaie zagadieia drgań beki o skokowo zmieych parametrach przedstawii w pracy [] Yavari Sarkaiad i Reddy. Do rozwiązaia wykorzystai formaizm teorii dystrybucji. Zagadieiem drgań bardziej złożoych

125 4 Rozdział 8 układów zajmował się m.i. Posiadała [45]. W pracy [45] rozwiązao probem poprzeczych drgań swobodych beki Timosheki z dodatkowymi eemetami takimi jak sprężyy eemety masowe z zerowym i iezerowym mometem bezwładości iiowe oscyatory oraz dodatkowe podpory. Fukcję przemieszczeń i kątów obrotu przekroju poprzeczego aproksymowao szeregiem wzgędem fukcji własych które uzyskao z rozwiązaia zagadieia bez dodatkowych eemetów. W pracy zastosowao formaizm wariacyjy z możikami Lagrage a. W części z cytowaych prac tj. [ ] rozważaia dotyczą beek pryzmatyczych. Jeżei w pracach pojawiają się rozważaia dotyczące prętów iepryzmatyczych to zazwyczaj przyjmuje się w ich szczegóą postać fukcji opisujących zmiee parametry układu p. fukcje iiowe paraboicze wykładicze (jak p. w pracy [5 7 77]) ub wieomiay potęgowe (jak w pracy [48]). W przypadku ogóym rozwiązaia te ie są zae. Obszerą bibiografię dotyczącą beek Timosheki możemy zaeźć w pracy przegądowej Laury Mauriziego i Rossiego []. W iiejszej rozdziae rozważamy zagadieie iiowych drgań beki Timosheki o zmieych parametrach wytrzymałościowych i geometryczych spoczywającej a dwuparametrowym iejedorodym podłożu sprężystym. Zakładamy że fukcje okreśające zmiee parametry pręta takie jak sztywość gięta gęstość zmiee parametry podłoża i obciążeia moża opisać dowoymi fukcjami. Jedym z ieiczych ograiczeń jest założeie że fukcje te moża rozwiąć w szereg wzgędem wieomiaów Czebyszewa I rodzaju. Przedstawioą metodę zastosowao do rozwiązaia trzech zagadień: drgań własych beki pryzmatyczej stateczości beek iepryzmatyczych obciążoych obciążeiem iepotecjaym oraz stateczości układu ramowego. Wyiki uzyskae w pierwszym przykładzie tj. częstości włase oraz odpowiadające im formy włase porówao z dokładymi wyikami aaityczymi uzyskaymi przez Huaga [74]. W przykładzie drugim dokoao porówaia rozwiązań uzyskaych beek Timosheki z rozwiązaiami prętów Euera oraz rozwiązao przykład pokazujący wpływ podłoża dwuparametrowego a wartości obciążeia krytyczego. Przykład trzeci iustruje możiwość zastosowaia opisaej metody do bardziej złożoych układów prętowych. W ceu zbadaia skuteczość oraz okreśeia dokładości prezetowaej metody zagadieie włase beki pryzmatyczej rozwiązao rówież iymi metodami przybiżoymi. Zastosowae metody: metoda eemetów skończoych (metoda z iezaeżą aproksymacją kąta obrotu wyikającego z odkształcaości postaciowej przedstawioa w pracy Lagera i Bryji [7]) oraz metody aproksymacyje w których rozwiązaia poszukiwao w postaci kasyczych szeregów potęgowych ub kasyczych (trygoometryczych) szeregów Fouriera. Otrzymae rozwiązaia porówao z dokładymi rozwiązaiami aaityczymi [74]. Rezutaty tych porówań pokazały że prezetowaa w pracy metoda daje zaczie miejsze błędy (w stosuku do dokładych rozwiązań) iż ie testowae w przykładzie metody. W iiejszym rozdziae wykorzystao wyiki autora opubikowae w pracy [5].

126 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Przedmiotem rozważań jest prostoiiowa iepryzmatycza beka Timosheki o długości a spoczywająca a dwuparametrowym podłożu sprężystym. Beka poddaa jest działaiu dyamiczych siłowych obciążeń ormaych p(x t) obciążeń mometowych o(x t) oraz obciążeń styczych r(x t). Poadto a bekę działa obciążeie statycze F(X) które w przypadku η = jest obciążeiem śedzącym a gdy η = jest obciążeiem osiowym. Przyjęto że F(X) > w przypadku siły rozciągającej. Liiowe poprzecze i podłuże drgaia beki są opisae wtedy astępującym układem rówań różiczkowych cząstkowych [77] (w ceu uproszczeia pomiięto wpływ tłumieia) V Q W W W + ηf( X) ρ ( X) + C( X) K( X) W + p( X t) = X X t X X M W Φ Q ( η ) F( X) I( X) + o ( X t) = (8.) X X t U U EA( X ) H ( X ) U ρh ( X ) r + ( X t) = X X t gdzie W ozacza przemieszczeie prostopadłe do osi pręta U przemieszczeie stycze Φ kąt obrotu przekroju poprzeczego M momet gący Q siła tąca. Fukcje V H ( X ) = ( X) + ( X) ρ ρ ρ V H B F są sumą mas pręta oraz tzw. mas współpracujących podłoża przypadających a jedostkę długości I(X) = I B (X) jest masowym mometem bezwładości przekroju pręta (przypadającym a jedostkę długości pręta) a K(X) C(X) H(X) są fukcjami charakteryzującymi reakcje podłoża sprężystego. Eemet pręta dx przedstawioo a rysuku 8.. W rówaiu (8.) pomiięto rówież wpływ a drgaia poprzecze pręta efektów drugiego rzędu wyikających z działaia zmieej w czasie siły osiowej S = EA(X) U/ X. W przypadku braku takiego założeia otrzymuje się sprzężoy układ rówań ieiiowych. Sprzężeia w układzie (8.) pojawiają się rówież w przypadku braku symetrii parametrów wzgędem osi X. Po wykorzystaiu wzorów okreśających momety gące siły tące i siły osiowe Φ W M( X t) = EJ( X) Q( X t) = κga( X) β F( X) η Φ X X W U β = Φ S( X t) = EA X X (8.)

127 6 Rozdział 8 F η W W M Q β Φ. W M + dm η ( W + dw ) W = Φ + β Q + dq.. dx W + dw F Rys. 8.. Eemet dx beki obciążoy obciążeiem osiowym (η = ) oraz śedzącym (η = ) gdzie EJ(X) sztywość pręta a zgiaie EA(X) sztywość osiową κga(x) sztywość pręta a ściaie κ współczyik ściaia β kąt odkształceia postaciowego układ rówań (8.) zapisujemy w astępujący sposób: κ ( η ) ( κ ) W GA F C W GA + C + + K W X X X X X Φ κga F W ( κga F ) Φ V p X X X ρ + = t W Φ EJ Φ Φ ( κga F ) + EJ + ( κga F ) Φ I + o= X X X X t U EA U U EA + H U ρ. H + r = X X X t (8.3) Po wprowadzeiu zmieych bezwymiarowych X W ( X) U( X) = = = φ ( x) = Φ ( X ) x w x u x a a a układ rówań (8.3) przyjmie postać:

128 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 7 w κga ( ηf) C w ( κga + C) + K w x x x x x φ κga F w ( κga F ) φ g ρv + p = x x x t w φ EJ φ φ ( κga F ) + EJ + ( κga F ) φ g I + o = x x x x t u EA u u d EA + Hu gρ H + x x x r = t (8.4) a siły przekrojowe (8.) wyrażą się wzorami: ( ) ( ) M X t a φ m( x t) = = EJ EJ x Q ax a w w q( x t) = = κga φ F η φ EJ x x s x t S ax u = = EA EA x (8.5) gdzie EJ EJ ( X ) = EJEJ ( x) κga( X ) = κga ( x) a = = ( X) = ( x) = I( X) = a I( x) EA X EA EA x F X P F x η η ρ ρ ρ ρ V H V H 4 ρ ap a aea = g= d = EJ EJ EJ P P p( Xt ) = pxt ( ) oxt ( ) = Po ( xt ) r( Xt ) = r( xt ) a a P P C( X) = PC ( x) K( X) = K ( x) H( X) = H ( x) a a (8.6) a EJ EA ρ P są wiekościami porówawczymi. W ceu uproszczeia zapisu kosekwetie przyjmujemy ozaczeia EJ κga EA F C K H I ρ VH η p o r zamiast EJ κ GA EA F C K H I ρv H η p o r.

129 8 Rozdział 8 Nie będziemy rówież rozróżiać symboi ρ V i ρ H przyjmując da ich jedo ozaczeie ρ pamiętając że w rówaiach dotyczących drgań poprzeczych ρ = ρ V a w rówaiach opisujących drgaia podłuże ρ = ρ H ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ RUCHU Rozwiązaia układu rówań różiczkowych (8.4) poszukujemy w postaci szeregów Czebyszewa I rodzaju w xt ' a wt x ' wt x = [ ] = = = φ ' φ T ' φ T ( x t) = a[ ] ( x) = ( x) = = u xt ' a u T x ' ut x = [ ] = = = (8.7) Do rozwiązaia układu (8.4) zastosowao twierdzeie przedstawioe w rozdziae.3. Korzystając z ozaczeń występujących w tym twierdzeiu moża przedstawić aaizoway układ rówań (8.4) w astępującej postaci macierzowej gdzie ( x) ( xt) + ( x) ( xt) + ( x) ( xt) = ( xt) Pˆ f Pˆ f Pˆ f P ˆ (8.8) κga + C Pˆ ( x) = EJ dea κga ( ηf) C ( κga F) x x x ˆ EJ P ( x) = κga F x EA d x

130 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 9 κga F K x x P ˆ ( x) = κga F H (8.9) a g ρw&& p gρ w&& p Pˆ ( x t) = gi && φ o = gi && φ o. g ρu&& r gρ u&& r (8.) Okreśoe wzorem (.33) fukcje Q m (x) przyjmują astępującą postać Q ( x) κga + C = EJ dea Q κga ( ηf) C + GA F x x x EJ x = κga F x ( κ ) EA d x Q ( η F ) + K x κga F x = κga F. x x H (8.) Po wprowadzeiu ozaczeń dotyczących współczyików rozwiięć Czebyszewa występujących we wzorze (8.8) fukcji

131 3 Rozdział 8 [ ] [ κ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a H = h a [ ρ] = g a [ I] = i a [ p] = p a [ o] = o a [ r] = r a EJ = e a GA = a a EA = d a F = f a C = c a K = k [ ] (8.) przyjęciu założeia η(x) = η = cost wykorzystaiu wzoru (.3) oraz po wykoaiu przekształceń za pomocą zaeżości (.37) otrzymujemy astępujący ieskończoy układ rówań różiczkowych zwyczajych: gdzie = + ' m ( k ) && φ = m33( k ) u&& k k k k w P k ' k k k k φ = P k k33 ( k ) u P3 k m k w&& ( ) = ( ) ( ) + ( ) k = 3... k k k ck ck+ ak ak+ k + k k k k k + k k k η ( k + )( k ) fk ( k )( k + ) fk+ gdy = ; k k+ k k+ k + k++ 4η k + j f j= k + j gdy ; ( ) = ( ) ( + ) k k k a a a a k k+ k + k++ fk + fk+ fk + fk++ ( ) = ( + ) ( k k+ ) ( ) ( k + k++ ) ( k + ) ( f f ) ( k ) ( f f ) k k k a a k a a k k+ k + k++ (8.3)

132 ( ) = ( ) ( ) k k k e e Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 3 k k+ ( ) ( ) k + ak + ak+ k ak + ak+ + k ak + + ak++ (( k + )( fk + fk+ ) k( fk + fk+ ) + ( k )( fk + + fk++ ) ) k33 k = k d d (8.4) k k+ = ( + ) + ( ) = ( + ) + ( ) = ( + ) + ( ) P k k pk kpk k pk+ P k k ok kok k ok+ P3 k k rk krk k rk+ (8.5) m( k ) = g( ( k+ )( gk + gk+ ) k( gk + gk+ ) + ( k )( gk + + gk++ ) ) m ( k ) = g( ( k+ )( ik + ik+ ) k( ik + ik+ ) + ( k )( ik + + ik )) (8.6) ++ m33 ( k ) = g( ( k+ )( gk + gk+ ) k( gk + gk+ ) + ( k )( gk + + gk++ )). W ieskończoym układzie rówań (8.3) pierwsze dwie grupy rówań gdy k = (6 rówań) są spełioe tożsamościowo. Rówaia te zastępujemy rówaiami okreśającymi waruki brzegowe. W przypadku beki Timosheki waruki brzegowe podstawowych sposobów podparcia mają taką samą postać jak da beki Euera (patrz tab. 3.). Po rozwiięciu fukcji występujących w defiicji sił wewętrzych (8.5) w szeregi Czebyszewa wyzaczeiu odpowiedich pochodych i wykorzystaiu tożsamości (.34) otrzymujemy astępujące wyrażeia służące do okreśeia brzegowych waruków kietyczych m t EJ ' m t EJ ' φ ( ) = ( ) φ ( + ) = + = = ' ' = = q t = κga η f w κga f ( ) φ q t ' κga η f w ' κga f φ ( + ) = ( ) ( ) + + = = ( ) = ( ) ( + ) = + s t EA ' u s t EA ' u = = (8.7)

133 3 Rozdział 8 gdzie = = ' ' EJ = EJ = e T = e ' EJ = EJ + = e T = ' e + = = ( κga s f ) = κga( ) s f ( ) ' ' a s f ( a s f) = T = = = ( κga s f ) = κga( + ) sf ( + ) + ' ' a s f ( a s f) = T + = = = s= s= η. (8.8) Do okreśaia brzegowych waruków kiematyczych korzysta się atomiast ze wzorów: w t = ' w w + t = ' w = = φ = ' φ φ + = ' φ ( t) ( t) = = u t = ' u u + t = ' u ( ) ( ) ( ) = = (8.9) otrzymaych z wyrażeń (8.7) po uwzgędieiu zaeżości (.34) (.35). Po zastąpieiu pierwszych sześciu rówań układu ieskończoego (8.3) rówaiami okreśającymi waruki brzegowe uzyskujemy ieskończoy układ rówań różiczkowych zwyczajych pozwaający a rozwiązaie daego zagadieia PRZYKŁADY OBLICZENIOWE W ceu iustracji przedstawioej metody jak rówież w ceu weryfikacji jej skuteczości rozwiązao trzy przykłady umerycze. W przykładach tych dokoao porówaia rozwiązań uzyskaych przedstawioą w pracy metodą z rozwiązaiami uzyskaymi iymi metodami (w tym porówaia z dokładymi rozwiązaiami aai-

134 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 33 tyczymi) oraz porówao rozwiązaia otrzymae według modeu Timosheki z rozwiązaiami uzyskaymi według modeu Euera. W pierwszych dwóch przykładach aaizowao tyko przemieszczeia poprzecze beek w przykładzie ostatim uwzgędioo rówież przemieszczeia podłuże. Przykład 8. Przedstawioa metoda posłużyła do rozwiązaia zagadieia drgań własych beki pryzmatyczej. W przykładzie rozważao dwa typy beek: bekę swobodie podpartą i wsporikową. Przyjęte do obiczeń parametry beek wyosiły: moduł sprężystości E = N/m moduł ściaia G = 3E/8 długość a = 4 m przekrój poprzeczy: prostokąt o wysokości h = 8 m i szerokości b = m współczyik ściaia κ = /3 gęstość beek ρ V = 785 kg/m 3. Przyjęta wartość współczyika κ jest wartością przykładową. Wartość taka była przyjęta m.i. w pracy Brucha i Mitchea [8] oraz Huaga [74]. Zagadieiu wyzaczaia tego współczyika a drodze teoretyczej ub doświadczaej poświęcoo wiee prac. Czyteika zaiteresowaego tematem odsyłamy do specjaistyczej iteratury. Bibiografię dotyczącą tego tematu moża zaeźć m.i. w pracy [96]. Uzyskae wyiki porówao z rozwiązaiami aaityczymi uzyskaymi przez Huag [74]. Poieważ w pracy [74] pojawiły się pewe błędy redakcyje (m.i. błęde zaki w iektórych wyrażeiach) jak rówież błędie wyprowadzoo wzór okreśający częstości włase beki swobodie podpartej (błąd poegał a pomiięciu pewej grupy rozwiązań) do porówaia rozwiązań wykorzystao wzory będące poprawioymi wersjami wzorów występujących w pracy [74]. W przypadku zagadieia drgań własych układ rówań różiczkowych (8.3) (uzupełioy rówaiami okreśającymi waruki brzegowe) staje się ieskończoym układem rówań agebraiczych. W ceu rozwiązaia tych rówań układ ograiczoo do układu skończoego. Wtedy fukcja przemieszczeń oraz fukcja obrotu przekroju poprzeczego są okreśoe przez skończoe sumy szeregów Czebyszewa m = ' ' T φ = φt. (8.) w x w x x x = = Badając zbieżość rozwiązań układ te rozwiązao przyjmując dwa rozmiary bazy aproksymującej m = 3. Częstości drgań własych wyzaczoe omawiaą metodą oraz dokłade wartości obiczoe a podstawie pracy [74] przedstawioo w tabeach Natomiast błąd wzgędy między dokładym rozwiązaiem [74] a rozwiązaiem uzyskaym z wykorzystaiem prezetowaej metody przedstawioo w tabeach Błąd te jest okreśoy astępującym wyrażeiem m Err m ( f ) = sup x m f% x f x f ( x) (8.)

135 34 Rozdział 8 ~ gdzie f ( x) = sup f ( x) f (x) dokłade rozwiązaie f m ( x ) rozwiązaie x okreśoe przez skończoy szereg Czebyszewa o m + wyrazach. Na rysukach przestawioo wykresy form własych. Formy te wyzaczoo omawiaą w pracy metodą przyjmując rozmiar bazy aproksymacyjej m = 3. Tabea 8.. Częstości włase beki swobodie podpartej ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω 9 m = m = Dokłada Tabea 8.. Błąd wzgędy Err m okreśoy wzorem (8.) beki swobodie podpartej i = m = W i Φ i W i m = 3 Φ i Tabea 8.3. Częstości włase beki wsporikowej ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω 9 m = m = Dokłada Tabea 8.4. Błąd wzgędy Err m okreśoy wzorem (8.) beki wsporikowej i= W i m= Φi W i m=3 Φi W wyzaczoych formach własych beki swobodie podpartej widocze są charakterystycze da beki Timosheki grupy form własych. W opisie tych grup będą pomoce parametry stosowae w iym (rówoważym) sposobie defiiowaia modeu Timosheki. Przyjmujemy że przemieszczeie poprzecze beki jest sumą efektów odkształceń giętych i postaciowych a przemieszczeia te przedstawiamy w formie W(X t) = W M (X t) + W Q (X t). Zaeżości między wykorzystywaymi w iiejszej pracy do opisu modeu kątami: kątem obrotu przekroju Φ kątem odkształceia postaciowego β a przemieszczeiami W M (X t) W Q (X t) są astępujące:

136 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 35 W W W Φ Φ Φ W 4 W 5 W Φ 4 Φ 5 Φ W 7 W 8 W 9 W W W x x Rys. 8.. Wykresy form własych (W i Φ i ) (W i+ Φ i+ ) (W i+ Φ i+ ) i = 4 7 beki swobodie podpartej Φ 7 Φ 8 Φ 9 Φ Φ Φ W 4 W 5 W 6 W 7 W 8 W x Rys Wykresy form własych (W i Φ i ) (W i+ Φ i+ ) (W i+ Φ i+ ) i = 4 7 beki wsporikowej Φ 4 Φ 5 Φ 6 Φ 7 Φ 8 Φ x

137 36 Rozdział 8 W W M Q Φ = β =. X X Wykorzystując wprowadzoe przemieszczeia W M (X t) W Q (X t) możemy opisać występujące w rozwiązaiu beki swobodie podpartej grupy form własych. Pierwsza grupa to formy ze zgodymi co do zaku przemieszczeiami giętymi i postaciowymi (do grupy tej aeżą formy (W Φ ) (W 7 Φ 7 ) druga grupa to formy z przeciwymi co do zaku przemieszczeiami W M (X t) W Q (X t). Pierwszym reprezetatem tej grupy jest forma (W 9 Φ 9 ) i astępe ieprzedstawioe a rysuku 8. formy włase. Między tymi grupami pojawia się forma czysto postaciowa (W 8 Φ 8 ) (W Φ = β = cost ). Opisy grup częstości pojawiających się w widmach własych beek Timosheki możemy zaeźć m.i. w pracach Abbasa Thomasa [] Bhashyama i Prathapa [7] O Reiya Turcotte ego [4] Levisoa i Cooke a [] Stephea [7] oraz Szcześiaka [76]. Aaiza dokładości uzyskaych wyików pokazuje bardzo dobrą zgodość między częstościami własymi obiczoymi propoowaą metodą a dokładymi wartościami częstości wyzaczoymi aaityczie. Błąd wzgędy pierwszych 9 częstości własych ie przekracza wartości 37 5 w przypadku aproksymacji wieomiaami oraz 9 8 przy aproksymacji 3 wieomiaami. Podobie bardzo dobrze aproksymowae są formy włase z tym że zazwyczaj miej dokładie aproksymowaa jest fukcja obrotów przekrojów poprzeczych iż fukcja przemieszczeń. Błąd wzgędy pierwszych 9 form własych ie przekracza da fukcji przemieszczeń 5 4 da fukcji zaś obrotów 7 3 przy aproksymacji wieomiaami oraz odpowiedio 35 i 4 9 przy aproksymacji 3 wieomiaami. Przykład 8. W przykładzie rozwiązao stateczość dyamiczą beek pod obciążeiem iepotecjaym (rys. 8.). Rozważoo dwa schematy statycze: bekę wsporikową (rys. 5.a) oraz bekę sztywo-przegubową (rys. 5.b). Beki obciążoo skupioą siłą śedzącą ub śedzącym styczym obciążeiem rówomierie rozłożoym. Wykorzystując dyamicze kryterium utraty stateczości (bifurkacja ub fatter) wyzaczoo krytycze wartości rozważaych obciążeń. Aaizę wykoao da beek jedorodych pryzmatyczych oraz beek o zmieych przekrojach opisaych fukcjami b(x) h(x) (rys. 5.). Przyjęto poadto że moduł sprężystości pręta E = N/m moduł ściaia G = 3E/8 długość beki L = a = 4 m przekrój poprzeczy prostokąt o wysokości h(x) i szerokości b(x) współczyik ściaia κ = /3 gęstość beki ρ V = 785 kg/m 3. Aaizowao koumy Becka i Leiphoza (beki wsporikowe) o b(x) = h(x) = 4 m obciążoe skupioą siłą śedzącą ub śedzącym obciążeiem rówomierie rozłożoym. Uzyskae wyiki przedstawioo w postaci wykresu a rysuku 8.4. Na rysuku tym jako tło umieszczoo rówież rozwiązaie da beek Euera o parametrach takich samych jak beka Timosheki.

138 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 37 ω (rad/s) P cr E cr P = 589 ω = 3834 cr E cr = ω = 4 s = ω = 389 cr E cr cr E cr s = 8376 ω = P 7 (N) s 7 (N/m) Rys Zaeżość częstości drgań swobodych od skupioego P i rozłożoego s obciążeia śedzącego pryzmatyczych koum Becka oraz Leiphoza b(x) = h(x) = 4 w przypadku pręta Timosheki (T) i Euera (E). Przyjęte ozaczeia: obciążeie P pręt T obciążeie P pręt E obciążeie s pręt T obciążeie s pręt E a) 35 3 ω (rad/s) P cr s cr cr cr = 6735 ω = 85 = 8659 ω = 665 b) ω (rad/s) P cr s = 4453 ω = 756 cr cr cr = 4444 ω = P - 6 (N) s - 6 (N/m) Rys Zaeżość częstości drgań swobodych beki wsporikowej o zmiey przekroju a) bx hx ( ( x ) /4) = = + b) bx = hx = ( ( x+ )/) od skupioego P i rozłożoego obciążeia śedzącego s

139 38 Rozdział 8 Rozwiązaia probemu stateczości beek wsporikowych o zmieych przekrojach opisaych odpowiedio fukcjami ( x + ) 5 bx = hx = 4 m 43 4 oraz 3 x + bx = hx = 4 m 7 przedstawioo a rysuku 8.5a i 8.5b. Występujące we wzorach okreśających b(x) h(x) możiki 5 43 oraz 3 7 dobrao w te sposób aby wszystkie aaizowae pręty miały taką samą objętość m 3. W aaizowaych przypadkach utrata stateczości astępowała przez fatter. Aaogicze rozważaia przeprowadzoo da prętów sztywo-przegubowych przyjmując parametry takie same jak da beek wsporikowych. Uzyskae rezutaty przedstawioo a rysukach W przykładzie tym dokoao porówaia rozwiązań zagadieia stateczości (wykresy zaeżości częstości drgań swobodych od wartości śedzącej siły ściskającej przedstawioe a rys. 8.4 i 8.6) między rozwiązaiami uzyskaymi da prętów Timosheki oraz prętów Euera. Poieważ stosuek wymiarów poprzeczych prętów do ich długości wyosił / wyiki uzyskae da modeu Euera ie powiy zaczie różić się od tych które obiczoo aaizując pręt Timosheki. Potwierdzeie tego widzimy a rysukach 8.4 i 8.6. Jeszcze większą zgodość uzyskujemy w przypadku układów z rysuków 8.5 i 8.7. Mamy wtedy różice a tye małe że zrezygowao z prezetacji rozwiązań da prętów Euera poieważ wykresy praktyczie się pokrywały. ω (rad/s) Pcr = E Pcr = scr = E s = cr P 7 (N) s 7 (N/m) Rys Zaeżość częstości drgań swobodych od skupioego P i rozłożoego s obciążeia śedzącego sztywo-przegubowej beki pryzmatyczej b(x) = h(x) = 4 w przypadku pręta Timosheki (T) i Euera (E). Przyjęte ozaczeia: obciążeie P pręt T obciążeie P pręt E obciążeie s pręt T obciążeie s pręt E

140 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 39 Na rysuku 8.8 przedstawioo rozwiązaie probemu stateczości beki pryzmatyczej wsporikowej spoczywającej a jedoparametrowym (podłoże Wikera) i dwuparametrowym podłożu sprężystym. Da porówaia a rysukach 8.8a 8.8c przedstawioo rówież rozwiązaia ieuwzgędiające wpływu podłoża sprężystego. Parametry beki są takie same jak w opisaym wcześiej zagadieiu stateczości beki pryzmatyczej. a) 5 ω (rad/s) 5 P cr s cr = = b) ω (rad/s) 5 P cr s cr = 3466 = P - 6 (N) s - 6 (N/m) Rys Zaeżość częstości drgań swobodych pręta sztywo-przegubowego o zmiey przekroju: a) bx = hx = ( ( x+ ) /4) b) bx = hx = ( ( x+ )/) od skupioego P i rozłożoego obciążeia śedzącego s Za parametry podłoża przyjęto: K = 5 8 N/m K = 8 N/m K 3 = 8 N/m C = C = C 3 = (podłoże Wikera) wyiki a rysuku 8.8a; K = K = K 3 = C = 5 8 N C = 8 N C 3 = 8 N wyiki a rysuku 8.8b; oraz K = C = 5 8 N/m K = C = 8 N/m K 3 = C 3 = 8 N/m V wyiki a rys. 8.8c. We wszystkich przypadkach założoo że ρ =. F

141 4 Rozdział 8 a) 8 ω (rad/s) 6 4 b) P 8 (N) c) P 8 (N) 5 5 P 8 (N) Rys Zaeżość częstości drgań swobodych od skupioego obciążeia P pryzmatyczej beki wsporikowej spoczywającej a podłożu sprężystym: a) podłoże Wikera K = 5 8 N/m P cr = N; K = 8 N/m P cr = N; K 3 = 8 N/m P cr = N; b) podłoże dwuparametrowe przy czym K = K = K 3 = C = 5 8 N P cr = N; C = 8 N P cr = N; C 3 = 8 N P cr = N; c) podłoże dwuparametrowe K = C = 5 8 N/m P cr = N; K = C = 8 N/m P cr = N; K 3 = C 3 = 8 N/m P cr = N. Na rysuku iią ozaczoo rozwiązaie w którym ie uwzgędioo wpływu podłoża sprężystego P cr = N

142 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 4 Z aaizy wyików moża wyciągąć astępujące wioski:. Zwiększaie sztywości podłoża typu Wikera parametr K (patrz rys. 8.8a) powoduje w rozważaym zakresie parametrów iewiekie zmiejszeie wartości P cr. Wartości te wyoszą koejo P cr = N. Wiosek te jest potwierdzeiem wyików (dotyczących probemu stateczości pryzmatyczej beki Timosheki spoczywającej a podłożu Wikera) uzyskaych wcześiej w pracach iych autorów m.i. w pracy Lee i Yog [5]. Widoczy jest też większy wpływ parametru K a zwiększeie wartości pierwszej częstości własej beki iż a zwiększeie częstości drugiej.. Zwiększeie wartości parametru C w podłożu da K = (patrz rys. 8.8b) powoduje zacze zwiększeie krytyczych wartości obciążeia P cr = N oraz zacze zwiększeie drugiej częstości własej z jedoczesym zmiejszeiem pierwszej częstości własej beki. 3. Jedoczese zwiększaie wartości parametrów C i K (w badaym zakresie parametrów) powoduje zwiększeie wartości obciążeia krytyczego P cr = N zwiększeie wartości pierwszej i drugiej częstości własej przy czym wzrost częstości drugiej jest zaczie większy iż częstości pierwszej. Przykład 8.3 W przedstawiaym przykładzie aby pokazać zastosowaie prezetowaej metody do aaizy bardziej złożoych układów prętowych rozwiązao zagadieie stateczości układów ramowych obciążoych osiowym obciążeiem potecjaym. Schematy statycze aaizowaych ram przedstawioo a rysuku 6.. Układy aaizowao przyjmując astępujące wartości parametrów materiałowych: moduł sprężystości E = 8 N/m moduł ściaia G = 5E/ gęstość ρ V = 4 kg/m 3. Da każdego schematu z rysuku 6. aaizowao dwie ramy różiące się poprzeczymi wymiarami prętów. Przekroje tych ram dobrao tak aby pierwsza była ramą zbudowaą z prętów smukłych druga zaś z prętów krępych. Przyjęte parametry geometrycze prętów: a) rama z prętami smukłymi: rygie o przekroju prostokątym poe przekroju A = 4 m momet bezwładości przekroju J = 7 3 m 4 współczyik kształtu κ = /3; słupy o przekroju kołowym A(x) = (π /8)(3 + x/a) m J(x) = (π 4 /64)(3 + x/a) 4 m 4 κ = 3/4. b) rama z prętami krępymi: rygie o przekroju prostokątym poe przekroju A = 96 m momet bezwładości przekroju J = 5 3 m 4 współczyik kształtu κ = /3; słupy o przekroju kołowym A(x) = π (3 + x/a) m J(x) = 4π 4 (3 + x/a) 4 m 4 κ = 3/4. Długości prętów oraz okay układ współrzędych wykorzystay do opisu zmieych parametrów słupów pokazao a rysuku 6.. Rozwiązując te układ w węzłach przyjęto zgodość kątów obrotów przekrojów poprzeczych φ a do aproksymacji przemieszczeń w i kąta obrotu φ zastosowao 5 wyrazów szeregu Czebyszewa. Uzyskae rezutaty przedstawioo a rysukach 8.9 i 8..

143 4 ω (rad/s) Rozdział a) P - 6 (N) b) P - 6 (N) Rys Dwie pierwsze częstości drgań swobodych (przykład 8.3a): a) ramy (schemat z rys. 6.a) wywołae potecjaą siłą P uzyskae wartości: P cr = N P cr = 7 7 N; b) ramy (schemat z rys. 6.b) wywołae potecjaą siłą P uzyskae wartości: P cr = N P cr = N ω (rad/s) a) P - 8 (N) b) P - 8 (N) Rys. 8.. Dwie pierwsze częstości drgań swobodych modeu Timosheki (T) i Euera (E) (przykład 8.3a): a) ramy (schemat z rys. 6.a) wywołae potecjaą siłą P uzyskae wartości: E P cr = N P cr = N P cr = N P E cr = N; b) ramy (schemat z rys. 6.b) wywołae potecjaą siłą P uzyskae wartości: E P cr = N P cr = N P cr = N P E cr = N. Ozaczeia: ω mode T mode E ω mode T mode E Rozwiązay przykład pokazuje że propoowaa metoda może być stosowaa do bardziej złożoych przykładów. Podobie jak w przykładzie 8. występujące w ramie z przykładu 8.3a pręty miały a tye dużą smukłość aby wyiki uzyskae za pomocą modeu Timosheki ie różiły się zaczie od wyików uzyskaych z zastosowaiem prętów typu Euera. Potwierdzeiem tego jest porówaie uzyskaych wyików (patrz rys. 8.9) z wyikami uzyskaymi w przykładzie 6.. Otrzymae wykresy w obu przypadkach praktyczie się pokrywają. W przykładzie 8.3b gdzie rama jest zbudowaa z prętów krępych różice są większe (patrz rys. 8.) dotyczy to zwłaszcza ramy z rys. 6.a.

144 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki PORÓWNANIE ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA WŁASNEGO PRYZMATYCZNYCH BELEK TIMOSHENKI WYZNACZONYCH RÓŻNYMI METODAMI Podobie jak w pukcie 3.5 w ceu zbadaia dokładości i skuteczości prezetowaej w pracy metody rozwiązao różymi metodami przybiżoymi zagadieie włase beki pryzmatyczej. Zastosowae metody to: metoda eemetów skończoych (z iezaeżą aproksymacją kąta obrotu wyikającego z odkształcaości postaciowej) oraz metody aproksymacyje w których rozwiązaia poszukiwao w postaci kasyczych szeregów potęgowych ub trygoometryczych szeregów Fouriera. Obiczeia wykoao da trzech typów beek: swobodie podpartej wsporikowej sztywo-przegubowej. Podobie jak w pukcie 3.5 w przypadku porówywaych metod ograiczymy aaizę do podaia końcowych rówań pozwaających a wyzaczaie częstości i współczyików rozwiięć odpowiadających tym częstościom form własych. W przypadku zastosowaia do rozwiązaia kasyczych szeregów Fouriera końcowe rówaia mają postać: Beka swobodie podparta (aproksymacja siusowa) w = ϕ + ω b s r ϕ = wm ϕm ω b s w 3... m = m = α m αm wm + + s ϕ 3... m ω b s r ϕ m = m= α m α m αm (8.) gdzie L = a długość beki k w współczyik rozwiięcia w szereg Fouriera drugiej pochodej fukcji przemieszczeń w/ x k ϕ współczyik rozwiięcia w szereg Fouriera drugiej pochodej fukcji obrotów przekrojów poprzeczych ϕ / x x zmiea wymiarowa α k = kπ/l k = 3... b = ρa/ej r = J/A s = EJ/κGA δ km symbo Kroeckera. Po wyzaczeiu z rówań (8.) częstości własych oraz odpowiadających im współczyików rozwiięć fukcji własych fukcje włase okreśimy korzystając z astępujących wzorów

145 44 Rozdział 8 w x = k = w si αk x α k k ϕ( x) = ϕ cos αk x. ϕk k= αk (8.3) Beka wsporikowa (aproksymacja kosiusowa) odpowiedikami rówaia (8.) oraz wzoru (8.3) są rówaia ( ) k 3 6 w + w k + ϕk + ω b s w = L L k= αk k= αk ϕ = 3 6 wm + ϕm + ω b s w + δ km wk α m L αm α m k L α = k m k + ( ) ( ) + ϕ 3... k = m = αm k= αk 3 6 w δ km w L αm α m k = L α k k k + (( ) δkm δkm s αk αm ) ϕ k = αα k m k+ m + ω b s r ( ( ) + δkm ) ϕk = m = 3... k= αα k m (8.4) oraz wzór wk = cosαk + ( 3 ) w x w x w L x L 6L k = k = αk k w 3 ( x L) L 6 L wk x ϕ( x) = si αk x+ ϕ( L) α L (8.5)

146 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 45 gdzie ϕ ( ) w L = L = L ϕk α k= 3 k L ( ) w ( ) = w w. k ϕk L k= αk 6 k= α k k k (8.6) Beka sztywo-przegubowa (aproksymacja siusowa) odpowiedie rówaie i wzór przyjmują postać w = s ϕ s ϕ k ω b s r ϕ = L L k= αk 3 6 wm ϕ + δ km ϕk ω b s w m = L k L α = k αm αm m = wm + ϕ δ km s αmδkm ϕ k αm L k = L α k αm 3 6 ω b s r ϕ δ km ϕ k = L k= L α k α m m = 3... (8.7) w x = k = w si αk x α k k k= αk ϕk ϕ( x) = ϕ cosαk x ϕ 3 ( x L) L 6L (8.8) gdzie 3 ϕ = ϕ ϕ k L. (8.9) k = α k W przypadku zastosowaia aproksymacji potęgowej fukcja przemieszczeń fukcja opisująca kąt obrotu przekroju poprzeczego oraz ich pochode wyrażają się wzorami

147 46 Rozdział 8 k x ( p ) x w x = w w ( x) = w! k! k k+ p k= k k= k x ( p ) x ϕ x = ϕ ϕ ( x) = ϕ.! k! k k+ p k= k k= k k (8.3) a końcowy układ rówań pozwaający a rozwiązaie zagadieia własego beki pryzmatyczej ma postać wk+ ϕk+ + ω b s wk = k =... wk+ ϕk + s ϕk+ + ω b s r ϕk =. (8.3) Rówaia te aeży uzupełić czterema rówaiami wyikającymi z waruków brzegowych. w przypadku beki swobodie podpartej w ϕ w = = = ϕ = k L k ϕ k= k k= L wl = w = ( L) = ϕk+ = ;! k! k (8.3) w przypadku beki wsporikowej w = w = ϕ() = ϕ = k L L ϕ ( L) = ϕk+ = w ( L) ϕ( L) = ( wk+ ϕk) = ; k! k! k= k= w przypadku beki sztywo-przegubowej w ϕ w = = = ϕ = k L L wl = wk = ϕ ( L) = ϕk+ =. k! k! k= k= k k (8.33) (8.34) We wszystkich stosowaych metodach przyjęto idetycze (ub w przypadku FEM iezaczie większe) rozmiary baz aproksymacyjych m = 5. Otrzymae rozwiązaia porówao z dokładymi rozwiązaiami aaityczymi [74]. Dokłade oraz otrzymae przybiżoymi metodami wartości włase przedstawioo odpowiedio w tabeach W tabeach tych w ceu okreśeia stosowaej do rozwiązaia metody przyjęto astępujące ozaczeia: FEM metoda eemetów skończoych CF

148 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 47 metoda aproksymacyja z aproksymacją rozwiązań kasyczymi szeregami Fouriera CP metoda aproksymacyja z aproksymacją kasyczymi szeregami potęgowymi. Przykładowe wykresy fukcji błędów wzgędych okreśoych wzorem (3.77) wybraych form własych (W Φ ) (W 9 Φ 9 ) wyzaczoych różymi metodami pokazao w skai ogarytmiczej a rysukach Aaizując wartości pierwszych 9 częstości własych (patrz tab ) w przypadku różych metod rozwiązaia zagadieia własego widzimy że ajdokładiejsze wyiki uzyskao w metodzie prezetowaej w pracy. Największe błędy wzgęde 9 początkowych częstości własych wyoszą bowiem w przypadku: beki swobodie podpartej FEM 54% CF % CP 477% (da pierwszych 8 rzeczywistych częstości) PM (prezetowaa metoda) %. beki wsporikowej: FEM 38% CF 64% CP 358% (da pierwszych 4 rzeczywistych częstości) PM %. beki sztywo-przegubowej: FEM % CF 36% CP 684% (da pierwszych 4 rzeczywistych częstości) PM %. W przypadku form własych (patrz rys ) błędy wzgęde zdefiiowae wzorem (3.77) są miejsze od błędów iych metod rozwiązaia od 4 do poad razy. Podobą dokładość początkowych wartości i form własych daje metoda aproksymacyja z wykorzystaiem kasyczych szeregów potęgowych iestety już od piątej częstości w przypadku beki wsporikowej oraz sztywo-przegubowej uzyskujemy ie dające się z iczym porówać rozwiązaia zespooe. Z aaizy rysuków jest widocze że błędy pierwszych form własych w prezetowaej metody wyikają tyko z błędów zaokrągeń. Aaogicze wioski moża przedstawić w przypadku beki sztywoprzegubowej. W tym przypadku rówież prezetowaa metoda daje błędy miejsze od kiku do kikuastu rzędów iż ie aaizowae metody. Osobego kometarza wymaga beka swobodie podparta. W tym przypadku ajepszą aproksymacje uzyskao za pomocą kasyczych szeregów Fouriera (prezetowaa metoda dawała błąd o kika rzędów większy). Wyik te jedak aeżałoby traktować jako wyjątek od reguły. Tabea 8.5. Częstości włase beki swobodie podpartej wyzaczoe różymi metodami ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω 9 FEM CF CP i Praca Dokłade

149 48 Rozdział 8 Tabea 8.6. Częstości włase beki wsporikowej wyzaczoe różymi metodami ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω 9 FEM CF CP i 4436 i i i 5765 i Praca Dokłade Tabea 8.7. Częstości włase beki sztywo-przegubowej wyzaczoe różymi metodami ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω 9 FEM CF CP i 9478 i i i i Praca Dokłade E (W) E (Φ ) E (W9) E (Φ 9) Rys. 8.. Wykresy błędów wzgędych opisaych wzorem (3.77) różych metod rozwiązaia zagadieia własego beki swobodie podpartej. Ozaczeia zastosowaej metody: metoda prezetowaa w iiejszej pracy aproksymacja kasyczymi szeregami Fouriera FEM aproksymacja kasyczymi szeregami potęgowymi

150 Drgaia iepryzmatyczej beki Timosheki 49 E (W) E (Φ) E (W9) 4 7 E (Φ9) Rys. 8.. Wykresy błędów wzgędych opisaych wzorem (3.77) różych metod rozwiązaia zagadieia własego beki wsporikowej. Ozaczeia zastosowaej metody: metoda prezetowaa w iiejszej pracy aproksymacja kasyczymi szeregami Fouriera FEM aproksymacja kasyczymi szeregami potęgowymi 6 6 E (W) 4 E (Φ) E (W9) 5 8 E (Φ 9) Rys Wykresy błędów wzgędych opisaych wzorem (3.77) różych metod rozwiązaia zagadieia własego beki sztywo-przegubowej. Ozaczeia zastosowaej metody: metoda prezetowaa w iiejszej pracy aproksymacja kasyczymi szeregami Fouriera FEM aproksymacja kasyczymi szeregami potęgowymi

151 5 Rozdział 8 Tak dobra aproksymacja za pomocą kasyczych szeregów Fouriera w przypadku beki swobodie podpartej wyika bowiem z tego że dokłade aaitycze rozwiązaia tej beki mają postać skończoej iiowej kombiacji fukcji trygoometryczych. Z aaogiczą sytuacją mamy do czyieia da swobodie podpartej beki Euera gdzie dokłade rozwiązaia mają postać siusoid. W tym przypadku aproksymacja już tyko jedym (odpowiedim) eemetem szeregu Fouriera daje rozwiązaie dokłade.

152 9. ZAGADNIENIE DRGAŃ KOŁOWYCH I PIERŚCIENIOWYCH PŁYT CIENKICH 9.. WPROWADZENIE Podobie jak w przypadku układów prętowych koieczość racjoaego ekoomiczego kształtowaia kostrukcji oraz wzgędy pozawcze są powodem dużego zaiteresowaia badaczy drgaiami płyt o zmieych parametrach geometryczych i wytrzymałościowych. Dotyczy to zarówo statyki jak i dyamiki płyt włączając w to rówież zagadieia odoszące się do płyt pryzmatyczych. Świadczą o tym obszere bibiografie zamieszczoe w moografiach: Kączkowskiego [83] Szcześiaka [78] oraz w pracy zbiorowej moografii pod redakcją Cz. Woźiaka [95] (autorzy S. Borkowski G. Jemieita B. Michaak R. Nagórski W. Pietraszkiewicz M. Rudicki M. Woźiak i Cz. Woźiak). Obszerą iteraturę moża rówież zaeźć w pracach przegądowych Laissy [7 ]. W iiejszym rozdziae ograiczymy rozważaia do omówieia wybraych prac dotyczących drgań płyt ciekich podłużie iejedorodych. W większości z tych prac zakładao okreśoą postać fukcji opisującej zmiaę grubość płyty. Płyty kołowe i pierścieiowe o iiowo zmieej grubości rozważae były w pracach: [ ]. W pracy [66] Gupta i La rozwiązai zagadieie włase. Rozwiązaie poszukiwai w postaci kasyczego szeregu potęgowego. Ci sami autorzy oraz Jai w pracy [68] stosując do rozwiązaia metodę Ritza (do aproksymacji zastosowai kasycze wieomiay potęgowe) badai wpływ parametrów podłoża Wikera a częstości włase płyty o iiowo i paraboiczie zmieej grubości. Rozwiązaie probemu stateczości i zagadieia własego płyty bieguowo ortotropowej o iiowo zmieej grubości spoczywającej a podłożu Wikera przedstawii w pracy [67] Gupta La i Jai. Zagadieie rozwiązao metodą Ritza wykorzystując do aproksymacji przemieszczeń wieomiay potęgowe. Stateczością i zagadieiem własym płyty sprężyście utwierdzoej a obwodzie zajmowai się w pracy [76] Irie Yamada Kitayama. Do rozwiązaia zastosowai metodę Ritza wykorzystując do aproksymacji formy włase wyzaczoe da płyty o stałych parametrach. Aaizowai płyty o iiowo i skokowo zmieej grubości. Probem własy w zakresie częstości własych pły-

153 5 Rozdział 9 ty swobodie podpartej sprężyście utwierdzoej a brzegu rozwiązao w pracy Ficcadeti de Igesiasa i Laury [5]. Umieszczoe a brzegu więzy sprężyste miały zmieą sztywość rotacyją. Podobe zagadieie zostało rozwiązae w pracy Laury Gutierreza Caricera i Sazi []. W aaizowaych w pracy [] płytach grubość opisaa była iiową oraz odcikowo-iiową fukcją. Zagadieia drgań swobodych płyty bieguowo ortotropowej o iiowo zmieej grubości rozwiązao z zastosowaiem metody Rayeigha Ritza w pracy Gupty i Asariego [65]. Drgaia płyty pierścieiowej bieguowo ortotropowej o iiowo zmieej grubości zajmowai się rówież Laura Gutiedrrez i Rossi. W pracy [] autorzy zastosowai do rozwiązaia drgań swobodych metodę Rayeigh Ritza (aproksymacja przemieszczeń kasyczym szeregiem potęgowym). Oprócz płyty o iiowo zmieej grubości rozważai płytę o grubości zmieiającej się skokowo. Rozwiązaie zagadieia własego płyty kołowej o przedziałami iiowo zmieej grubości przedstawii Sigh i Saxea w pracy [69]. Autorzy aaizowai płytę utwierdzoą oraz swobodie podpartą. La Rosha Sharma Shuchita w pracy [6] rozwiązai zagadieie drgań swobodych osiowo-symetryczej ortotropowej ciekiej płyty pierścieiowej o zmieej ekspoecjaie grubości. Do rozwiązaia probemu zastosowao metodę kookacyją wykorzystując do aproksymacji skończoy szereg Czebyszewa. Zagadieie rozwiązao przy różych warukach brzegowych. Płyty o paraboiczie zmieiającej się grubości były przedmiotem rozważań w cytowaej już pracy [68] oraz w pracy Barakata i Baumaa []. W pracy [] rozwiązaie poszukiwao w postaci szeregu w którym fukcjami bazowymi były formy włase wyzaczoe da płyty jedorodej. Opisaą metodę zastosowao do rozwiązaia zagadieia własego. Aaizowao rówież płyty o iych ustaoych rozkładach grubości płyty. I tak w pracy Duaa Queka. Waga [3] aaizowao drgaia płyty pierścieiowej w której radiay przekrój opisay był fukcjami z = ±(/)h (r/a) m m ub z = ±(/)h (r/b) m m < gdzie a b to odpowiedio zewętrzy i wewętrzy promień płyty. Aaitycze rozwiązaie otrzymao w postaci fukcji hipergeometryczych. W pracy Sigh i Saxea [7] zmiea grubość płyty opisaa była wzorem h(x y) = + αr + βr. Autorzy za pomocą metody Rayeigh Ritza rozwiązai zagadieie drgań swobodych płyty będącej ćwiartką koła. Osiowo-symetryczy probem drgań swobodych płyty kołowej o zmieej grubości opisaej wzorami: + ar m R m rozwiązao w pracy Waga [9]. W cytowaej pracy rozwiązaie poszukiwao w postaci kasyczego szeregu potęgowego. Płyta eiptycze o zmieej grubości h(x y) = ch (α + β(x + y )) była przedmiotem rozważań w pracy Bayera Guvea i Ataya [4]. Przedstawioy w pracy probem własy rozwiązao dwoma metodami: mometową (przyrówaie do zera koejych parzystych mometów założoej fukcji przemieszczeń) oraz metodą Rayeigh Ritza. Płyty o skokowej zmiaie grubości aaizowae były w pracach: Gaego Juareza [53] Avaosa Layry i Biachiego [7] oraz Laury i zespołu [3]. W pracy [53] rozwiązao probem własy metodą aaityczą. Otrzymae rozwiązaie było kombiacją iiową fukcji Bessea. Rozwiązaie zagadieia własego płyty kołowej sprężyście utwierdzoej a brzegu (więzi trasacyje i rotacyje) przedstawioo

154 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 53 w pracy [7]. Probem rozwiązao metodą Rayeigh Ritza aproksymując fukcję przemieszczeń wieomiaem potęgowym. Wiee zagadień da płyt kołowych o zmieej grubości opisaej fukcją α = = h r h r k r () exp zostało rozwiązaych w iteresujących moografiach Kovaeki [ ]. W pracach tych do rozwiązaia prezetowaych zagadień wykorzystao fukcje hipergeometrycze. W pracy [3] do rozwiązaia zagadieia własego zastosowao metodę eemetów skończoych. Metodę eemetów skończoych zastosowao rówież w pracy Gormaa [6] gdzie przedstawioo rozwiązaie probemu własego płyty pierścieiowej stosując do modeowaia układu eemety pierścieiowe o iiowo zmieej grubości. Podoby sposób rozwiązaia zastosowao w pracy Semae a i Lakisa [63] w której wyzaczoo częstości włase płyt kołowych i pierścieiowych stosując kołowy i pierścieiowe eemety skończoe. Aaizowao płyty o iiowo i skokowo zmieej grubości. Rozwiązaia wieu zagadień statyczych i dyamiczych dotyczących płyt iepryzmatyczych moża zaeźć w moografii Mateji [33]. Stosując metodę macierzy przeiesieia autor rozwiązał m.i. zagadieie drgań płyty spoczywającej a dwuparametrowym podłożu Własowa. Zastosowaie metody małego parametru możemy zaeźć w pracy Yaga [99]. Odmieym od dotychczas omawiaych typem zagadień zajmował się Eishakoff Storch i Meyer. W pracach [ ] rozwiązai probem poegający a wyzaczeiu fukcji sztywości płyty przy zadaym rozkładzie gęstości tak aby pierwsza forma własa przyjmowała okreśoą postać p. była taka sama jak statycze rozwiązaie płyty obciążoej rówomierie. Prawie wszystkie z cytowaych prac dotyczyły płyt kołowych ub pierścieiowych. Nie miej iczą grupę staowią pracy dotyczące czworoboczych płyt poprzeczie iejedorodych a w tym główie płyt prostokątych. Rozwiązaie statyczego probemu iejedorodej poprzeczie płyty kołowej i prostokątej przedstawił Kączkowski w pracy [84] wykorzystując do rozwiązaia kasycze szeregi Fouriera.. Wyzaczeiem fukcji ugięcia izotropowej płyty prostokątej swobodie podpartej a brzegu obciążoej dowoym prostopadłym do brzegu obciążeiem (zagadieie stycze) oraz wyzaczeiem częstości własych zajmował się Mazurkiewicz w pracy [34]. Rówaie opisujące omawiae probemy sprowadził o do rówań Fredhoma drugiego rodzaju i rozwiązał je z wykorzystaiem podwójych szeregów Fouriera. Szeregi Fouriera do rozwiązaia probemu drgań płyt prostokątych wykorzystywał w swej moografii rówież Kacer [8] z tym że szeregi te były wykorzystywae do rozwiązaia wyjściowego rówaia różiczkowego. Płyty prostokąte o grubości zmieej tyko w jedym kieruku opisaej w dwóch przedziałach fukcją iiową aaizowai w swojej pracy Gutierrez Laura Grossi [69]. W pracy tej stosując metodę Ritza autorzy rozwiązai zagadieie włase. Do aproksymacji zastosowao ioczy wieomiaów czwartego stopia oraz ioczy wieomiau i fukcji cos(y). Rozwiązaie zagadieia własego w zakresie częstości własych

155 54 Rozdział 9 prostokątej płyty wsporikowej o zmieej iiowo grubości przedstawioo w pracy Kutter Sigiito [5] oraz pracy Roya i Gaesaa [49] gdzie aaizowao płyty o iiowo i paraboiczie zmieej grubości. Do rozwiązaia w pracy [49] zastosowao metodę eemetów skończoych. Iy typ zmiay grubości płyty opisaej fukcją h(x y) = h (x/a) r (y/b) s możemy zaeźć w pracach Cheug Zhou [5] oraz Zhou []. W pracy [5] rozwiązao probem drgań swobodych stosując metodę Rayeigh Ritza oraz wykorzystując do aproksymacji fukcje będące koejymi wyrazami rozwiązaia pewego zagadieia statyczego. Natomiast w pracy [] Zhou rozwiązał zagadieie drgań swobodych płyty puktowo podpartej. W pracy tej rówież wykorzystao metodę Rayeigh Ritza. Jako fukcje aproksymujące przyjęto rozwiązaie odpowiediego zagadieia płyty o stałej grubości. Probemem drgań płyt o skokowo zmieej grubości zajmowai się Guo Keae Moshrefi-Torbati [63] Bambi Rossi Laura i Rossit [9] Xiag [97]. W pracy [63] probem rozwiązao aaityczie oraz metodą eemetów skończoych. Przedmiotem rozważań w [9] była płyta prostokąta o dwóch przyegłych brzegach swobodych da pozostałych brzegów przyjęto róże sposoby podparcia. Do rozwiązaia użyto metodę Rayeigh Ritza. Do aproksymacji zastosowao skończoy podwójy szereg trygoometryczy wprowadzając w argumetach fukcji pewe dodatkowe parametry optymaizacyje. W pracy Xiaga [97] aaizowao stateczość i zagadieie włase płyty o jedokierukowej skokowo zmieej grubości. W [97] zastosowao rozwiięcie fukcji przemieszczeń w szereg Fouriera w kieruku prostopadłym do kieruku zmieości oraz metodę Levy ego. Płyty o parametrach zmieych tyko w jedym kieruku rozważao rówież w pracach Lia [4] gdzie do rozwiązaia zastosowao szeregi Fouriera oraz w pracy Ashoura [3] w której wykorzystao metodę macierzy przeiesieia oraz pasma skończoe. Jako przykłady zastosowaia iych metod do rozwiązaia drgań płyt o zmieych podłużie parametrach mogą służyć prace Karamiego i Maekzadeha [87 9] w których do rozwiązaia zastosowao metodę DQM. W pierwszej pracy aaizowao zagadieie statycze oraz stateczość płyty. W pracy drugiej [87] rozwiązao probem drgań swobodych płyty czworokątej. Wyzaczeiem częstości własych płyty ukośokątej o iiowo zmieej grubości z wykorzystaiem metody Gaerkia zajmował się Baerjee w pracy []. Zagadieia drgań pasm płytowych były rozważae w pracy Mateji [3] oraz Szcześiaka [74]. W pracy [74] aaizowao drgaia pasma płytowego którego zmiea grubość opisaa byłą fukcją paraboiczą a moduł Youga i gęstość płyty zmieiały się ekspoecjaie. W przykładzie iczbowych rozważao rówież pasmo o zmieej grubości opisaej wzorem h(x) = h ( + si πx/). Przykładem zastosowaia do rozwiązaia płyt wieomiaów ortogoaych jest praca Lagera [9]. W pracy tej stosując metodę Ritza oraz wieomiay Legedre a rozwiązao probem własy ortotropowej płyty prostokątej. Praca ta co prawda ie jest związaa wprost z tematyką układów o zmieych parametrach ae jest ciekawym przykładem zastosowaia wieomiaów ortogoaych a do tej grupy aeżą rówież wieomiay Czebyszewa.

156 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 55 W iiejszym rozdziae rozwiążemy zagadieie drgań kołowej i pierścieiowej iejedorodej płyty ciekiej spoczywającej a dwuparametrowym podłożu sprężystym typu Wikera (patrz Kączkowski [83] s. 58). W ceu uproszczeia założymy że zmiee parametry płyty i podłoża odzaczają się osiową symetrią i są opisae dowoą fukcją. Jedym z założeń dotyczącym tych fukcji jest możiwość ich rozwiięcia w zbieże szeregi Czebyszewa. Jeżei chodzi o obciążeie zewętrze to zakładamy że jest oo obciążeiem rozłożoym i ma dowoy rozkład (brak założeia o osiowej symetrii). W okreśaiu waruków brzegowych płyty kołowej a brzegu wewętrzym (w przypadku płyty kołowej brzeg te redukuje się do jedego puktu środka płyty) w kasyczej teorii płyt korzysta się z waruków ograiczoości przemieszczeń i okreśoych sił wewętrzych. Waruków ograiczoości ie moża zastosować wprost w przedstawioej w iiejszej pracy metodzie rozwiązaia. W rozdziae tym przedstawimy sposób rozwiązaia tego zagadieia. Podamy przykład umeryczy w którym rozwiążemy zagadieie włase płyty jedorodej. Uzyskae wyiki porówamy ze zaymi da płyt jedorodych rozwiązaiami aaityczymi. 9.. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA Przedmiotem rozważań jest kołowa ub pierścieiowa izotropowa płyta cieka o zmieej sztywości symetryczej iejedorodości poprzeczej przy H (r) = H (r) (rys. 9.). Płyta spoczywa a dwuparametrowym (sztywość poprzecza i podłuża) podłożu sprężystym typu Wikera (patrz [83] [33]) i jest obciążoa poprzeczym obciążeiem p z (R ϕ t) mometami m r (R ϕ t) i m ϕ (R ϕ t) oraz statyczym obciążeiem styczym p r (R ϕ). Zakładamy osiowo-symetryczy rozkład sztywości D(R) gęstości ρ i (R) i parametrów podłoża sprężystego C(R) K(R) oraz dowoy rozkład pozostałych parametrów i sił zewętrzych. Założeie o osiowo-symetryczym rozkładzie sztywości gęstości oraz parametrów podłoża sprężystego ie zmiejsza ogóości rozważań przyczyia się jedyie do skróceia zapisu i tak już rozbudowaych rówań. Założymy poadto że współczyik Poissoa ν jest stały a współczyiki rozszerzaości ciepej α oraz przewodictwa ciepego ie zaeżą od zmieej z. Ograiczając rozważaia do zgiaia płyty oraz uwzgędiając wpływ statyczych sił osiowych a jej ugięcie (z pomiięciem sił bezwładości rówoegłych do płaszczyzy odiesieia) zagadieie poprzeczych drgań płyty możemy opisać w prawoskrętym układzie odiesieia astępującym iiowym rówaiem różiczkowym cząstkowym (patrz Woźiak [95] s. 9 5)

157 56 Rozdział 9 p z ( R ϕ) ( R ϕ) p r m r ( R ϕ) A ϕ X R A a A-A p r ( R ϕ ) Y p z ( R ϕ) Z H (R) m r ( R ϕ) p r ( R ϕ ) N r ( R ϕ) W(R) H (R) C(R) K(R) a X R Z Rys. 9.. Schemat układu ρ W&& ρ W&& ( D W) L D( ν) W + ρw&& ρ W&& + + R R R ϕ ϕ N W rϕ W Nrϕ W W W Nr N ϕ + R R R ϕ R ϕ R R R ϕ (9.) p W ϕ W W C C W W C W + pr + C+ C KW R R R R R R R R ϕ R ϕ ϕ ( Rmr ) mϕ αδt = pz + + D( + ν ) R R R ϕ H gdzie W = W(R ϕ t) poprzecze przemieszczeie płyty D = D(R) sztywość płyty a zgiaie C(R) K(R) fukcje opisujące parametry podłoża N r N ϕ siły ormae w płycie N rϕ stycze ΔT = T d T g różica temperatury między doą a górą powierzchią płyty H = H (R) + H (R) wysokość płyty.

158 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 57 Współczyiki D i ρ i okreśoo wzorami D = H H z E ν dz i H H i ρ = z ρdz. (9.) gdzie ν iczba Poissoa. Zakładamy że są dae wewętrze siły osiowe (tarczowe) N r N ϕ N rϕ. W rzeczywistości aby je uzyskać aeży rozwiązać sta tarczowy który w przypadku płyty o symetryczej iejedorodości poprzeczej jest opisay iezaeżymi rówaiami (brak sprzężeia między rówaiami opisującymi sta płytowy i tarczowy). Występujące we wzorze (9.) operatory: operator Lapace a oraz operator L w bieguowym układzie współrzędych wyrażają się wzorami = + + R R R R ϕ (9.3) ( ν ) D W W L D( ν ) W = + R R R R ϕ (9.4) D( ν) W D( ν) D( ν) W + +. R ϕ R R ϕ R R R R ϕ R Występujące w płycie siły wewętrze okreśoe są wzorami: momety gące i skręcające M M M r ϕ rϕ siły poprzecze Q r W W W αδt = D + ν ( ν) R R R R ϕ H W W W αδt = Dν + ( ν) R R R R ϕ H W = D ( ν ) ; R ϕ R ( ν ) D( ν) D W W W = + R R R R ϕ R ϕ R R ϕ αδt W Nrϕ W ( D W) D( + ν ) + ( Nr + C) + + mr R R H R R ϕ (9.5) (9.6)

159 58 Rozdział 9 ( ν) W D( ν) D W Qϕ = + D W R R R ϕ R ϕ R R ϕ αδt W Nϕ + C W D( + ν ) + Nrϕ + + mϕ; R ϕ H R R ϕ (9.7) reakcje brzegowe Kirchhoffa M rϕ W Vr = Qr + ρ R R ϕ &&. (9.8) Dodatie siły przekrojowe działające a ifiitezymay eemet płaszczyzy podstawowej płyty przedstawioo a rysuku 9.. N r N ϕ N rϕ N ϕ r p r p ϕ N ϕ r N rϕ Q ϕ p 3 Q r z d ϕ N r M ϕ M rϕ N ϕ d ϕ Q r Q ϕ M ϕ r M r z M r m ϕ m r d ϕ M rϕ M ϕ M ϕ r z Rys. 9.. Dodatie zwroty sił i mometów działających a ifiitezymay eemet płyty

160 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 59 Po wprowadzeiu zmieych bezwymiarowych r = R/a w = W/a h = H/a rówaie ruchu (9.) przyjmuje postać ρ w&& ρ w&& D w L D ν w + gρw&& g ρ w&& + + r r r ϕ ϕ w Nrϕ w Nrϕ w f Nr + r r r ϕ r ϕ w w w pϕ w + Nϕ + p r (9.9) r r r ϕ r r r w C C w w C w f C C + r r r + fkw r r ϕ r ϕ ϕ ( rmr) mϕ αδt = f pz + + D( + ν ) r r r ϕ h a operatory L okreśoe są wzorami = + + r r r r ϕ (9.) ( ν ) w w D( ν ) D L D( ν ) w = + r r r r ϕ r ϕ r ( ν) D( ν) w D w + +. r ϕ r r r r ϕ r (9.) Występujące we wzorach (9.9) (9.) fukcje i stałe defiiują astępujące wyrażeia: P P P D = D D Nβ = Nβ C = C K = K 3 a a a P P i pβ = p m m β β = β ρi = a Γ ρi a a Pa Γa f = g = D D 4 (9.) gdzie D P Γ parametry porówawcze.

161 6 Rozdział 9 Występujące w płycie siły wewętrze po wprowadzeiu zmieych bezwymiarowych przyjmują postać momety gące i skręcające Q r M M M r ϕ rϕ siły poprzecze = = = = Mr a w w w αδt D ν ν D r r r r ϕ h M a ϕ w w w αδt Dν ( ν) D r r r r ϕ h M rϕ a w = = D ( ν ) D r ϕ r ( ν) D( ν) (9.3) Qa r D w w w = = + D r r r r ϕ r ϕ r r ϕ (9.4) αδt w Nr w w ( D w) D( ν ) f Nr ϕ mr + f C r r h r r ϕ r ( ν) w ( ν) ϕ w D r r r r r r Q a D D Qϕ = = + D w ϕ ϕ ϕ αδt w Nϕ w C w D( + ν ) + f Nrϕ + + mϕ + f r ϕ h r r ϕ r ϕ reakcje brzegowe Kirchhoffa (9.5) Vr a M rϕ w&& V r = = Qr + gρ. (9.6) D r ϕ r Daej w ceu uproszczeia zapisu zamiast ozaczeń D Nβ... będziemy stosować ozaczeia D N β ROZWIĄZANIE PROBLEMU W ceu pozbycia się w rówaiu (9.9) osobiwych współczyików /r k k = 3 4 obie stroy rówaia pomożymy przez r 4. Rozwiązaie tak zmodyfikowaego rówaia (9.9) rozpocziemy od zastosowaia kasyczej metody rozwiązywaia po-

162 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 6 egającej a rozwiięciu poszukiwaej fukcji w(r ϕ t) oraz wszystkich występujących w rówaiu (9.9) współczyików w szeregi Fouriera c s = + wr ϕ t w rt cos ϕ w rt si ϕ = c s p r ϕ t = p r t cos ϕ + p r t si ϕ β = ϕ r z β β β = c s m r ϕ t = m r t cos ϕ + m r t si ϕ β = ϕ r β β β = c s N r ϕ = N r cosϕ + N r si ϕ β = ϕ r rϕ β β β = ( ϕ) = D( + ν) T r D r = αδt h ν α r ( + ) h( r) = c s ( ΔT ( r) ϕ ΔT ( r) ϕ) cos + si. (9.7) W przypadku fukcji iezaeżych od ϕ rozwiięcia te ograiczymy do jedego wyrazu szeregu c c c c D( r) = D ( r) C( r) = C ( r) K( r) = K ( r) ρi( r) = ρi ( r). (9.8) Zastosowaie tej metody pozwaa a rozdzieeie fukcji a: fukcje zaeże od zmieej ϕ oraz fukcje zaeże od r. W daszych przekształceiach wykorzystamy twierdzeia dotyczące możeia szeregów trygoometryczych oraz ich różiczkowaia (patrz Tołstow [8] s. 6 35). Twierdzeie 3 Niech da fukcji f(ϕ) oraz g(ϕ) będą okreśoe szeregi Fouriera c s ( ϕ) ( ϕ + ϕ) f ~ f cos f si = c s ( ϕ) ( ϕ + ϕ) g ~ g cos g si = (9.9) wtedy szereg odpowiadający ioczyowi fukcji f(ϕ)g(ϕ) (pod warukiem że ioczy te jest fukcją całkowaą) wyraża się wzorem

163 6 Rozdział 9 c s ( ϕ) ( ϕ) ( α ϕ + α ϕ ) f g ~ cos si (9.) = gdzie α α ( f ( g + g ) f ( g + g )) c c c c s s s = m m + m + m m + m m= ( f ( g + g ) f ( g + g )) s c s s s c c = m m m m m m m= (9.) c c c c s s s s m m m m m m m m f = f g = g f = f g = g da m =... Twierdzeie 4 Jeżei fukcja ciągła f(ϕ) ma w przedziae domkiętym [ π π] bezwzgędie całkowaą pochodą f (ϕ) = f/ ϕ oraz f ( π) = f (π) to szereg Fouriera odpowiadający pochodej f (ϕ) ma postać = s c ( ) f ( ϕ)~ f cosϕ f si ϕ. (9.) Nie wchodząc w szczegóły dotyczące kryteriów zbieżości zakładamy że wszystkie występujące we wzorach szeregi są zbieże (czyteika zaiteresowaego tą tematyką odsyłamy do iteratury specjaistyczej p. Tołstow [8]). Przy tym założeiu występujący we wzorach (9.9) (9.) (9.) zak ~ moża zastąpić zakiem rówości =. Po podstawieiu szeregów (9.7) do rówaia (9.9) oraz wykorzystaiu twierdzeń 3 i 4 otrzymamy astępujący ieskończoy układ rówań różiczkowych Pˆ w Pˆ w Pˆ w Pˆ w Pˆ w Rˆ w&& Rˆ w&& Rˆ w&& (4) (3) () () () () = + M M M M M M M M M (4) (3) P L w P L w (4) (3) P L w P L w (4) (3) P L w P L w M

164 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 63 () () P P P L w R L w&& () () P P P L w R L w&& + + () () P P P L w R L w&& M M M M M M M M M M P 3 P3 P3 L () () w R3 L w&& () () P 3 P3 P3 L w 3 + R L w&& + () () P 3 P3 P3 L w R3 L w&& M M M M M M M M M M P 4 P4 P4 L w R4 L w&& P P 4 P4 P4 Lw R4 Lw&& + P ˆ + = = P P 4 P4 P4 L 4 w R Lw&& P M M M M M M M M M M M (9.3) m m ( p gdzie występujące we wzorze podmacierze P R i wektory w ) P mają postać j j P m j m m m Pjcc P jcs Rjcc m = R j = m m m Pjsc P jss R jss p c p c p w r P w = P = p s p s w r P a eemety tych podmacierzy okreśoe są astępującymi wzorami: (9.4) 4 cc ss cs sc P = P = r D P = P = (9.5) 3 4 D P cc = P ss = r D+ r P cs = P sc = (9.6) r m 4 + c m 4 s P cc = P δm r fnr m P ss = P δm r fnr m m 4 + s m 4 c P cs = r fnr m P sc = r fnr m P ( ν ) 3 D 4 D 4 = r D r r r f C r r (9.7)

165 64 Rozdział ( ϕ ϕ ) m s c c P3 cc = f r N r m + r N m r pr m + P3 δm m 3 c 3 s 4 s P3 ss = f ( + r Nrϕ m + r Nϕ m r pr m) + P3 δm m 3 + c 3 + s 4 + s P3 cs = f ( + r Nrϕ m + r Nϕ m r pr m) m 3 s 3 c 4 c P3 sc = f ( + r Nrϕ m r Nϕ m + r pr m) P D 3 D 3 4 C = ( + ) rd (+ ) r + ν r r f C r f r r r ( ϕ ϕ ϕ ) m s c s P4 cc = f + r Nr m r N m + r p m + P4δ m m c s 3 c P4 ss = f ( r Nrϕ m r Nϕ m + r pϕ m) + P4δ m m + c + s 3 + c P4 cs = f ( r Nrϕ m r Nϕ m + r pϕ m) m s c 3 s P4 sc = f ( r Nrϕ m + r Nϕ m + r pϕ m ) P D D 4 4 = ν + D r r r f C r f K r r ρ R cc = R ss = r gρ R3 cc = R3 ss = r g ρ r g r 4 cc 4 ss 4 ρ ρ R = R = r g + r g P f r p r m r r m r c m c 4 c 3 c 4 r 3 s = z + r + + ϕ ( ) c c D + v α 4 ΔT 3 ΔT r + r r ΔT h r r P f r p r m r r m r s m s 4 s 3 s 4 r 3 c = z + r + ϕ ( ) s s D + v α 4 ΔT 3 ΔT r + r r ΔT h r r c s (9.8) (9.9) (9.3) (9.3)

166 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 65 gdzie w ceu skróceia zapisu wprowadzoo ozaczeia ± c c c ± s s s β m = β + m ± β m β m = β + m ± β m N N N N N N ± c c c ± s s s β m = β + m ± β m β m = β + m ± β m p p p p p p (9.3) a δ m symbo Kroeckera. W przypadku szczegóym gdy = ub m = wzory (9.5) (9.3) uegają modyfikacji. Wówczas mamy = : m = : m m m m s i sc i ss i sc i ss P = P = R = R = P = i= 3 4 i cs i ss i cs i ss P = P = R = R = i= 3 4 (9.33) a wzory okreśające pozostałe eemety pozostają bez zmia. Zmiaa wyrażeń da = ub m = powoduje pojawieie się w układzie (9.3) spełioego tożsamościowo rówaia 4 s 3 s s s s s w w w w s w&& w&& s w w&& = r r r r r r Tożsamość ta wyika z faktu uwzgędieia w rówaiu (9.3) oraz wzorach s wcześiejszych ieistiejącego w rozwiięciach Fouriera wyrazu w si ( ϕ ). Uwzgędieie tego wyrazu pozwoiło a zachowaie jedakowej przejrzystej struktury wyprowadzaych wzorów. Eimiując spełioe tożsamościowo rówaia (drugie rówaie układu (9.3)) w jego miejsce wprowadzamy rówaie z którego wyikać s będzie tożsamość w. W tym ceu w istiejącym układzie rówań wystarczy przyjąć P 4 ss =. W daszych rozważaiach ieskończoy układ rówań (9.3) ograiczymy do układu skończoego przyjmując w układzie (9.3) skończoe rozmiary wektorów (f + ) i macierzy (f + ) (f + ). W takim ograiczoym układzie rówań różiczkowych zastosujemy twierdzeie. Poieważ fukcje przemieszczeń w przypadku płyty kołowej są okreśoe w przedziae [ ] więc fukcje te będziemy poszukiwai w postaci rozwiięcia w szereg wzgędem przesuiętych wieomiaów Czebyszewa T * ( x) = T (x ). Z zaeżości (.3) wyzaczamy macierze Q i będące kombiacją iiową fukcji P ˆ j j = 3 4 oraz macierze S i będące aaogiczymi kombiacjami iiowymi fuk-

167 66 Rozdział 9 cji R ˆ j j = 34. Macierze Q i S i mają strukturę podobą jak macierze Pˆ ˆ j R i wyrażają się wzorami j Q i L Qi L Qi = Qi L M M M M i = Q i Qi Qi L Q i Qi Qi L Qi = Q i Qi Qi L M M M M i = 3 4 L L S i = L M M M M i = S i Si Si L S i Si Si L Si = S i Si Si L M M M M i = 3 4 (9.34) m m gdzie występujące we wzorze (9.34) podmacierze Q S mają postać i i Q m j m m m Qjcc Q jcs Sjcc m = Sj = m m m Qjsc Q jss S jss (9.35) a eemety tych podmacierzy okreśoe są astępującymi wzorami: 4 cc ss cs sc Q = Q = r D Q = Q = 3 4 D Q cc = Q ss = 4r D r Q cs = Q sc = r (9.36)

168 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 67 m 4 + c m 4 s Q cc = Q δm r fnr m Q ss = Q δm r fnr m m 4 + s m 4 c Q cs = r f Nr m Q sc = r f Nr m Q ( ν ) 3 D 4 D 4 = r D r r r f C; r r (9.37) Q f rn r rn rn rp r + c m N 3 + c 4 r m 3 + s 3 + c 4 + c 3 cc = 8 r m rϕ m + ϕ m r m + Q 3 s m N 3 s 4 r m 3 c 3 s 4 s 3 ss = 8 r m + rϕ m + ϕ m r m 3 δ m Q f rn r rn rn rp r + Q δ m m Q3 cs = f 8r N r 3 + s 4 r m N + s r m 3 + c 3 + s 4 + s + r Nrϕ m + r Nϕ m r pr m r c m N 3 c 4 r m 3 s 3 c 4 c Q3 sc = f 8rNr m + r + rnrϕ m rnϕ m + rpr m r Q D ( ν) ( ν) 3 D 3 3 = C + r f ; r rd r r r f C r r (9.38) Q f r N r r r N r r + c + c m N 3 r m N + c 4 r m + s 4 cc = r m rϕ m + s + c N 3 rϕ m N + c 3 ϕ m ϕ m + r + 3 r N r r r + c p 3 + c 4 r m 3 + s + 4 r pr m+ r + r pϕ m + Q4δm r

169 68 Rozdział 9 Q f r N r r r N r r s s m N 3 r m N s 4 r m c 4 ss = r m rϕ m c s N 3 rϕ m N s 3 ϕ m 3 s ϕ m r m r + 3 r N r + 4r p r r s 4 p r m 3 c + r r pϕ m + Q4δm r m Q4 cs = f r N + 8r + r r + s N + s 3 r m 4 r m + s r m + c N + c 3 rϕ m + s rϕ m ϕ m 8r N r + 3 r N r + s + s N 3 ϕ m p 3 s 4 r m 3 + c r + 4 r pr m+ r r pϕ m r r Q f r N r r r r Q c c m N 3 r m N c 4 r m 4 sc = r m 8 4 s N s 3 rϕ m rϕ m D ( ν ν ) N r c ϕ m 8r N r r N r c c N 3 ϕ m p 3 + c 4 r m 3 s + r 4 r pr m r r pϕ m r r 4 D = ( 9 + ) D 3( 7+ ν ) r r C r + 9 r f C 3 r f r f K; r r (9.39) cc ss 4 S = S = r gρ 3 4 ρ S3 cc = S3 ss = 7 r gρ + r g r 3 ρ 4 S4 cc = S4 ss = ( 9) r gρ 3 r g + r gρ. r (9.4) W przypadku gdy = ub m = wzory (9.36) (9.4) uegają modyfikacji i występujące w tych wzorach fukcje przyjmują postać

170 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 69 m m m m isc iss isc iss ics iss ics iss Q 4 ss =. = : Q = Q = S = S = i= 3 4 m = : Q = Q = S = S = i= 3 4 (9.4) = m = i i = 4: Pozostałe eemety pozostają bez zmia. Koejym krokiem jest rozwiięcie w szereg Czebyszewa macierzy fukcyjych Q i S i. Poieważ w wyrazach macierzy oprócz fukcji wyjściowych występują możiki r k k = 3 4 w czasie wyzaczaia współczyików rozwiięć Czebyszewa wykorzystamy astępujące zaeżości wyikające ze wzoru (.38) ( + ) * * * * = + + a r f r a a a 4 * * * * * * a r f ( r) = ( a + 4a + 6a + 4 a+ + a+ ) 6 * 3 * * * * * * * a r f ( r) = ( a 3 + 6a + 5a + a + 5a+ + 6 a+ + a+ 3) 64 * 4 * * * * * * a r f ( r) = ( a 4 + 8a 3 + 8a + 56a + 7a + 56a+ 56 * * * + 8a+ + 8 a+ 3 + a+ 4) (9.4) * gdzie a współczyiki rozwiięcia fukcji f(r) wzgędem przesuiętych wieomiaów Czebyszewa I rodzaju. Ze wzgędu a rozbudowaą postać tych rozwiięć ograiczymy rozważaia do przedstawieia rozwiięcia jedego z eemetów macierzy Q rozwiięcia fukcji m Q cc przy czym we wzorze (9.43) oraz wszystkich astępych wzorach występujących w tym rozdziae aby uprościć zapis pomiiemy w ozaczeiach współczyików rozwiięć wzgędem wieomiaów przesuiętych zak * tj. zamiast ozaczeń * * a ( F ) użyjemy ozaczeń a (F) ( 55 )( + ) ( 47 6ν )( + ) m Q3 cc = d + d 4 + d + d + d ( 6 + ν )( d d + 3 d + + d + 3) f ( c 3 + 3c + 3c+ + c+ 3) 8 + f ( c 4 + 4c + 6c + 4c + + c + 4) δm 6

171 7 Rozdział 9 + c + c + c + c (( r m) 3( r m) 3( r m) ( r m) ) + f N + N + N + N + c + c + f ( Nr m) + 4( Nr m) c + c + c ( Nr m) ( Nr m) ( Nr m) f (( N + s s s s r m) 3( N + r m) 3( N + r m) ( N + + ϕ + ϕ + ϕ + rϕ m) ) c + c c c f ( Nϕ m ) + 3( Nϕ m ) + 3( N + ϕ m ) + ( N + ϕ m ) c + c + c + c + c + f (( prm ) + 4( prm ) + 6( prm ) + 4 ( prm ) + ( prm ) ). (9.43) We wzorze (9.43) oraz w astępych przyjęto astępujące ozaczeia: p p p ( p) D ( p) C ( p) ρ i d = a [ ] i p c = a p k = a K g = a p r r r c c D( + ν) α c s c s a[ w] w Dh = a t = a T w = =. h s s a[ w] w (9.44) W przypadku fukcji ub macierzy fukcyjych ideksowaych wieoma wskaźikami (p. N + m c r m w Q ) wprowadzoo we wzorze (9.43) owe dodatkowe ozaczeie okreśające współczyiki Czebyszewa rozwiięć tych fukcji i ich i pochodych p F F = p (9.45) r ( p ) a. Ozaczeia te da występujących we wzorach (9.36) (9.4) fukcji mają postać p ± cs p + cs N p β m N m = a p m = a p p r r ( p ) ( p ± cs β m ± cs ) β β p cs p cs p m β p = a m = a p p r r cs = c s β = r ϕ rϕ z m =... f. cs ( p ) β cs ( p ) β β (9.46) Uwaga! Nie w każdej fukcji wskaźik β przyjmuje wszystkie wartości r ϕ rϕ z.

172 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 7 Po podstawieiu współczyików rozwiięć Czebyszewa fukcji Q i S i do zmodyfikowaego wzoru (.9) (modyfikacja poega a tym że we wzorze (.9) po ewej stroie oprócz ioczyów współczyików rozwiięcia fukcji Q i i w występują aaogicze ioczyy współczyików rozwiięcia fukcji S i i w& & ) wzór te podajemy daszym przekształceiom. W przekształceiach stosujemy zaeżość (.37) umożiwiającą wyrażeie współczyików rozwiięć pochodych fukcji przez współczyiki rozwiięć Czebyszewa fukcji wyjściowych. Nie wchodząc w szczegóły wykoaych przekształceń przedstawiamy końcowy wyik: ieskończoy układ rówań różiczkowych umożiwiający wyzaczeie wektora poszukiwaych współczyików w rozwiięć Czebyszewa fukcji w tj. w w c w w a c w w * w = T ( x) w w = = (9.47) s s = a w w M M wf wf Układ tych rówań okreśoy jest astępującym wzorem = D ( k ) L D ( k ) L D ( k ) L M M M M N ( k ) N ( k ) N ( k ) L N ( k ) N ( k ) N ( k ) L w w + f N ( k ) N ( k ) N ( k ) L M M M M M w M ( k ) L F ( k) ( k ) ( k) M L w&& F + g f = = F k = ( k ) ( k) M L w&& F M M M M M M w&& k = 3... (9.48) gdzie podmacierze D (k ) N m (k ) M m (k ) oraz wektory F (k) mają postać

173 7 Rozdział 9 D M ( k ) ( k ) m m Dcc k N cc ( k ) Ncs ( k ) m = N ( k ) = m m Dss ( k ) Nsc ( k ) Nss ( k ) (9.49) c M cc ( k ) F ( k) = F ( k) =. s Mss ( k ) F ( k) Eemety podmacierzy (9.49) oraz wektora wyrazów woych F(k) wyrażają się wzorami 4 cc ( ) = ss ( ) = D k + j k + j j= 4 D k D k d ( ( ν) ν ) 6 4k k (( ) ( ) k + j d + k + j+ d j= k + j k + j+ ( k j ) dk + j+ ) (9.5) 8 6 cc = ss = k + j k + j+ k + j k + j j= 8 j= 6 M k M k G g G g (9.5) 6 6 m + m + ( ) = N r k + j( ) + N rϕ k + j( ϕ ) m c s cc r m r m k + j k + j j= 6 j= 6 N k N N + 5 j= 5 N m ϕ k + j + c ( Nϕ m ) k + j + c m + s ( pr m) N ϕ ( pϕ m) 7 7 m N r k + j k + j k + j k + j j= 7 j= m m ( ) = N r k + j( ) N rϕ k + j( ϕ ) m c s ss r m r m k + j k + j j= 6 j= 6 N k N N 5 j= 5 N m ϕ k + j c ( Nϕ m ) k + j s ( pϕ ) 7 7 m c m p r k + j pr m k + j pϕ k + j m k + j j= 7 j= 7

174 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich m + m + ( ) = N r k + j( ) N rϕ k + j( ϕ ) m s c cs r m r m k + j k + j j= 6 j= 6 N k N N + 5 j= 5 N m ϕ k + j + s ( Nϕ m ) k + j + s m + c ( pr m) pϕ ( pϕ m) 7 7 m p r k + j k + j k 7+ j k + j j= 7 j= 7 + m ( ) N ϕ ( ϕ ) 6 6 m m s c sc ( ) = N r k + j r m r k + j r m k + j k + j j= 6 j= 6 N k N N + 5 j= 5 N m ϕ k + j s ( Nϕ m ) k + j s m c ( pr m) ϕ ( pϕ m) 7 7 m r k + j k + j k + j k + j j= 7 j= 7 + p p (9.5) = p z k+ j( ) + mr k+ j( ) + mϕ k+ j( ϕ ) c c c s z r k+ j k+ j k+ j j= 8 j= 7 j= 7 F k p m m 6 + f = j= 6 ( T k + j + T k++ j ++ ) c Dhk j Dhk j t = p z k+ j( ) + mr k+ j( ) mϕ k+ j( ϕ ) s s s c z r k+ j k+ j k+ j j= 8 j= 7 j= 7 F k p m m f 6 T = j= 6 ( k + j + + T k++ j ++ ) s Dhk j Dhk j t (9.53) gdzie ( ν ) D km 4 = k + k + k + k + k + ( 3) m ( ν ) ( 5) 9 4 ( ν ) + k 4 k 5 + 3k k k k D km 3 = k + k + k + ± k k+ + k ± k k+ ( 3) ( ) ( k ) ( k )( ( k ) ( k ) ) ν ± 3 ± ± 4

175 74 Rozdział 9 m ( ( ) (( k( 4k 5) 4) k( k 5)( 7 k 4) 8) ν ) k( k( 4k 97) 87) ( k( 7k 7) ( k 4) ) ν 6( 9ν 53) ( k ) ( k( ( k ) ν 3) 5ν 3 ) D k = k + k + 3 ± k 5k k 7 + 4k ( ν ) D km = k + k + 3 k k 3 k 8 9 ( 9k( 4k( k 6) 9) 87 4ν 9 k( 4k 4) ( k( k( 7k 3) 5) ( k( k 3) 35) ) ν ) k( k( k ) ) ν ( k( k ) ( k ) ) ( 9) ( 5 38) ν k ( ( ν) ν) (( ν ) ) (( 8 4ν) 6( 65ν 76) ) 4 k k k ( ) ν ν ± ( ν ) D km = k k k + m + ± k ( 3) ( 3) ( 8) ν 9 ( 9 ( 4 ( 6) 9) 87 4ν 9 ( 4 4) k( k( 7k 3) 5) k( k 3) 35) ν D k = k k k + k + k + + m + ± k k k k k ( ) k( k( k ) ) ν ( k( k ) ( k ) ) ( ν ) ( 3) ( ( 5 ( 7) ( 4 ) 8) (( k( 4k 5) 4) k( k 5)( 7k 4) 8) ν ) ( k( k( 4k 97) 87) ( k( 7k 7) ( k 4) ) ν 6( 9ν 53) ) D k = k k ± k k k + k ( ( ν ) ν ) k + k k

176 D Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 75 = ± + + ± + + ( 3) ( ) ( k ) ( k m )( ( k ) ( k m ) ) ν km+ 3 k k k k k k k k ± D km+ 4 = k k k 3 ± k k G G G ( ν ) ( ( 4)( 5) ν 3 6) ( 6) ν 3 + k + k + k + + k + k k + + km 8 km 7 km 6 km 5 km 4 3 G = ( k ) k( k + 9) G = ( k ) k( k ) G G G G G G G G G km km km (9.54) = ( k + )( k + )( k + 3 ) G = ( k + )( k + )( k + 3 ) = ( k + )( k + 3)( k + 3 ) G = ( k + )( k + 3)( k + 5 ) = ( k + 3) ( k( 3k 6) 49 ) G km = ( 5k + 4)( k 9 ) ( 5 94 ) 9 = k( k 59 ) 56 = ( k + ) ( k( k + 5) 94 ) G km = ( k + ) ( k( k 9) ) = ( 5k 4)( k 9 ) G km = ( k 3) ( k( 3k + 6) 49 ) = ( k )( k 3)( k 5 ) G km = ( k )( k 3)( k 3 ) 64 8 = ( k )( k )( k 3 ) G km = ( k )( k )( k 3 ) 64 5 (9.55) km+ + km km km km 6 km 5 km 4 km 3 = ( k + )( k + )( k + 3) ± ( k 6 ) 3 = ( k + )( k + )( k + 3) ( ± ( 4k ) ) 6 = ( k + )( k + 3) ( ± ( k( 3k 4) 84) ( k + 7 ) ) 6 = ( k + )( k + 3) ( ± ( k( k 9) 43) + 6( k 3 ) ) 6

177 76 Rozdział 9 G G G G km km km km+ km+ 3 ( 3 ( ( 5 8 6) 684) ( 7 49 ) ) ( ( ) ) = ( k + ) ± k k( k + ) + k k + 3 = ( k + 3) ± 3 k k( 4k 33) k k 8 8 = ± = ± ( 3( 7k ( k 3) 9) k( 7 k 73 ) ) ( k 3) ( 3( k( k( 4k 33) 5) 64) ( k )( k 8 ) ) ( k 3) ( 3( k( k 5k ) + ) + ( k + )( k ) ) G G G G G N N N N N km+ 3 km+ 4 km+ 5 km+ 6 m r km 6 m r km 5 m r km 4 m r km 3 m r km = ± = ( k )( k 3) ( ± ( k( k + 9) 43) + 6( k + 3 ) ) 6 = ( k )( k 3) ( ± ( k( 3k + 4) 84) ( k 7 ) ) 6 = ( k )( k )( k 3) ( ± ( 4k + ) ) 6 = ( k )( k )( k 3) ( ± ( k + 6 ) ) (9.56) 3 = ( k + )( k + )( k + 3)( m ) 3 = ( k + )( k + )( k + 3)( m ) 4 = ( k + )( k + 3) ( k( 3m4) + 9m ) 6 = ( k + )( k + 3) ( k( 5m7) + 7m9 ) 4 3 = ( k + 3) ( k( k( 5m3) + 3m85) + 46m98 ) 3 m 3 N r km = ( k + 3) ( k( ( k 9) ± k ± 9) ± ) N N N m r km m r km+ m r km = ( 7 k( ( k 39 ) ± 4 k) ± 48 ) 8 3 = ( k 3) ( k( ( k + 9) mk ± 9) 3m44 ) 3 = ( k 3) ( k( k( 5m3) 3m85) + 46± 98 ) 3

178 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 77 N N N N m r km+ 3 m r km+ 4 m r km+ 5 m r km+ 6 = ( k )( k 3) ( k( 5± 7) 7m9 ) 4 = ( k )( k 3) ( k( 3± 4) 9m ) 6 = ( k )( k )( k 3)( ± ) 4 = ( k )( k )( k 3)( ± ) 3 (9.57) N N N N N m ϕ km 5 m ϕ km 4 m ϕ km 3 m ϕ km m ϕ km = ± 8 = ( k + )( k + )( k + 3)( k m 4)( ± 3 ) 4 = ( k + )( k + 3)( k m 3) ( 3k + 5) 3( k + 5 ) 8 ( k )( k )( k )( k m )( ) m ( ( ) ) = k + k + 3 k ± k + + k 5 = ( k + 3)( k m ) ± 7k( k 9) 84 k 7k ( k k k )( k m ) m 3 N ϕ km = ± ( + ) ( ) N N N N m ϕ km+ m ϕ km+ m ϕ km+ 3 m ϕ km = ( k 3)( k m + ) ( ± ( 7k( k + 9) 84) + ( k( 7k + 3) 64 ) ) 4 ( m ) = k k 3 k + ± k k + 5 = ( k )( k 3)( k m + 3) ( 3k 5) + 3( k 5 ) 8 = ( k )( k )( k 3)( k m + 4)( ± 3+ ) 4 m N ϕ km+ 5 = ( k )( k )( k )( k + )( ± + ) N N N m rϕ km 6 m rϕ km 5 m rϕ km m 5 (9.58) = ( k + ) ) ( k + )( k + 3)( m ) 6 = ( k + )( k + )( k + 3)( m 3 ) 8 = ( k + )( k + 3) ( ± 6( k + ) k 7 ) 8

179 78 Rozdział 9 N N N N N m rϕ km 3 m rϕ km m rϕ km m rϕ km m rϕ km+ m rϕ km+ = ( k + )( k + 3) ( k( 6± ) ± 37 8 ) 8 = ( k + 3) ( k( 7k + 5) ± k( 7k 75) m ) 6 = ( k + 3) ( ( k )( k 8) ± 3( 3k( k + ) 4 ) ) 4 = ( k( 7k( k ± 6) 73) m 48 ) 4 = ( k 3) ( ( k + )( k + 8) ± 3( 3( k ) 4 ) ) 4 = 6 k 3 ( k 7k 5 m k 7k + 75 ± ) = ( k )( k 3) ( k( 6m ) ± ) 8 = ( k )( k 3) ( ± 6( k ) k + 7 ) 8 = ( k )( k )( k 3)( ± 3 ) 8 = ( k )( k )( k 3)( ± ) 6 N N N N N m rϕ km+ 3 m rϕ km+ 4 m rϕ km+ 5 m rϕ km+ 6 (9.59) p p p m =± ( k + )( k + )( k + 3 ) p =± ( k + )( k + )( k + 3 ) 8 6 m =± ( k + )( k + 3)( 5k + 37 ) p =± ( k + )( k + 3)( k + 4 ) 8 4 m = ( k + 3) ( k( k 79) 66 ) p = m ( k + 3) ( k( k 7) 58 ) 8 6 m rk m 7 rk m 6 m rk m 5 rk m 4 m rk m 3 m rk m m 3 3 ( ( 46 ) 59 m p rkm = m ( k k k + ) 8 ) pr km = m ( 9k 96) p p 6 3 m =± ( 3k( k( k 46) 59) + 8 ) prkm =± ( k 3) ( k( k + 7) 58 ) 6 6 m =± ( k 3) ( k( k + 79) 66 ) pr km = m ( k )( k 3)( k 4 ) 8 4 m = m ( k )( k 3)( 5k 37 ) r km = m ( k )( k ) k = m ( k )( k )( k 3 ) (9.6) 8 m rk m+ + m r km m r km p p p m r km+ 7

180 p p p Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 79 m 3 = ( k + )( k + )( k + 3 ) p = ( k + )( k + )( k + 3 ) 8 64 m = ( k + )( k + 3)( k + 3 ) p = ( k + )( k + 3)( k 7 ) m = ( k 9)( 3k + 3 ) pϕ km = ( k )( k + 3)( 9k + 83 ) 8 64 m ϕ km 7 ϕ km 6 m ϕ km 5 ϕ km 4 m ϕ km 3 m 3 m 3 pϕ km = ( k ) ( 9k( k 5) 6 ) p ϕ km = ( ) p p p 8 k 6 3k 37 3 m = ( k + ) ( 9k( k + 5) 6 ) pϕ km = ( k + )( k 3)( 9k 83 ) 8 64 = 3 m ( k 9)( 3k 3 ) pϕ km = ( k )( k 3)( k + 7 ) 8 3 = m 3 ( k )( k 3)( k 3 ) pϕ km = ( k )( k )( k 3 ) 8 64 = 8 k k k 3 (9.6) m ϕ km+ + m ϕ km m ϕ km m ϕ km+ 7 p m m m m m r km7 r km6 r km5 r km4 r km3 = ( k ± )( k ± )( k ± 3)( 6 m k) 64 = ( k ± )( k ± )( k ± 3)( m 4 k) 3 =± ( k ± )( k ± 3) ( k( 5k m 77) 6 ) 64 =± ( k ± )( k ± 3) ( k( 8k m) ) 6 = m ( k ± 3) ( k( k( k m73) + 48) ± 76 ) 64 m m m r km r km r k ( ) = m ( k ± 3) k k( 44k m77) 37 ± = m ( k m) ( k( k( k ± 43) 44) m53 ) 64 9 = k( 7k 73 ) 8 (9.6)

181 8 Rozdział 9 m m m m m m m m p p p p p p p p p ϕ km7 ϕ km6 ϕ km5 ϕ km4 ϕ km3 ϕ km ϕ km ϕ k z km8 z km7 z km6 z km5 z km4 z km3 z km z k z k = ( k ± )( k ± )( k ± 3 ) 64 3 = ( k ± )( k ± )( k ± 3 ) 3 = ( k ± )( k ± 3)( 3k± ) 64 = ( k ± )( k ± 3)( km7 ) 6 3 = ( k 9)( 3k ± 3 ) 64 = ( k m )( k ± 3)( 9k ± 83 ) 3 3 = ( k m) ( 9k( k m5) 6 ) 64 3 = k( k 37 ) 8 = ( k ± )( k ± )( k ± 3 ) 56 = ( k ± )( k ± )( k ± 3 ) 3 3 = ( k ± )( k ± 3)( k ± 3 ) 64 3 = ( k ± )( k ± 3)( k ± 5 ) 3 3 = ( k ± 3) ( k( 3k m6) 49 ) 64 3 = ( k 9)( 5k ± 4 ) 3 = ( k m ) ( k( k ± 9) ) 64 m = ( k m) ( k( k m5) ± 94 ) 3 = 9 k( k 59 ) 8 (9.63) (9.64)

182 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 8 T T T T T km 6 km 5 km 4 km 3 km ( k )( k )( k )( ) ( ) ) T = ( k + 3) m T T T km km km + km+ = = ( k + )( k + )( k + 3) ( ( 4m) ) 6 = ( k + )( k + 3) ( m8( k + ) + ( 3k + 9) ( k + 7 ) ) 6 = ( k + )( k + 3) ( ( k( m7) + 68m39) + 6( k 3 ) ) 6 = ( k + 3) ( m96( k + )( k + 3) k 5k k 7k ( ( k )( k ) ) ( + ± m + ) ( m ( k( ( k ) k) ) k( k ) ) ( k 3) ( 3( 7k( k ) m4k( k 9) m8 36) ( k )( k ) ) ( ( k ) ( k )( k ) k( k ) 3 ( k )( 7k 49 ) ) T = ( k k 3) k( ) T T T km+ 3 km+ 4 km+ 5 km k k 4k k = ± = 8 ± = 3 ± ( ± 7 68m 39) + 6( k + 3 ) 6 = ( k )( k 3) ( ± 8( k ) + ( 3k 9) ( k 7 ) ) 6 = ( k )( k )( k 3) ( ( 4± ) ) 6 = ( k )( k )( k 3 )( ). 3 (9.65) Jak wiadomo z wcześiejszych rozważań pierwsze cztery grupy rówań składające się z 4 (f + ) rówań tj. rówaia (9.48) da k = 3 są spełioe tożsamościowo. Rówaia te aeży zastąpić rówaiami okreśającymi waruki brze-

183 8 Rozdział 9 gowe. Liczba tych waruków jest rówa 8(f + ) (po cztery waruki brzegowe da każdego z (f + ) rówań czwartego rzędu). W okreśaiu waruków brzegowych korzystamy z astępujących wzorów wyikających z postaci poszukiwaego wektora fukcji przemieszczeń (9.47) oraz wzorów (9.3) (9.6) okreśających fukcje wewętrze cs * = cs = w r t w t T r θ ( r t) cs cs w cs * r = = r = r t w t )T r () cs * * Mr r t D r r r r w t = r r D r ΔT cs ( ) = T + ν T T ( r t) ( r t) ( + ν) α( r) h( r) cs r * = cs D r r = Q V cs ( r) D r D r T * ( r) T + r r T * cs cs && ( r) + D r cs ν D r * + fn T + r r r ( ν ) + r r r ν D r sc * D 3 ( r) ± f N rϕ r r w t r 3 ν r r r gρ r r w t + f mr r D r r ( + ν) α( r) h( r) ΔT cs ( r). cs T (9.66) W przypadku płyt pierścieiowych waruki brzegowe okreśamy bezpośredio cs cs cs cs z fukcji w ( rt ) w () rt r Mr () rt V () rt. Na brzegu zewętrzym r = we wzorach (9.66) możemy skorzystać z zaeżości (.34) przekształcając (9.66) do prostszej postaci:

184 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 83 ( ) ( t) cs cs = w t w t θ = ( r t) cs cs w cs r = = r r= = () t w t cs M r t D w t = 3 cs ( ) = 4 ( ) + ν ( ) () D r ( + ν) α( r) h( r) ΔT cs ( r) cs Q r t D( r) = 8 ( 4)( ) D() 4 ( ) D() cs + V 5 3 r r r= = r= + cs D r + D() f N () + r ν ( ν ) + r r= D( r) D() ± f N () w sc cs ν rϕ 3 ν r r= g ρ w t + f mr cs cs () && () () ( + ν) α( r) h( r) D r cs ΔT ( r) r r= () t (9.67) Niestety w rówaiach (9.66) dotyczących brzegu wewętrzego r = r jesteśmy zmuszei do obiczeia wartości wieomiaów T * ( r) i ich pochodych * * * T ( r) T ( r) T ( r) w pukcie r = r. Rówaia w przypadku podstawowych sposobów podparcia brzegów płyty pierścieiowej mają postać: brzeg swobody brzeg utwierdzoy cs cs r = = = = M rt V r t gdy r r r cs ( r t) cs w w ( rt ) = = gdy r= r= r r

185 84 Rozdział 9 brzeg przegubowo podparty cs cs = r = = = w r t M r t gdy r r r brzeg utwierdzoy przesuwie cs w r ( r t) cs = V r t = gdy r = r = r. Okreśeie waruków brzegowych zaczie kompikuje się w płytach kołowych. Do okreśeia waruków a brzegu r = wykorzystujemy te same rówaia (9.66) (9.67) które stosowaiśmy w formułowaiu waruków płyty pierścieiowej. Probem pojawia się atomiast w okreśeiu waruków a brzegu wewętrzym który w przypadku płyty kołowej redukuje się do puktu r =. Jak wiadomo w kasyczej teorii płyt w wyiku rozwiązaia odpowiediego rówaia różiczkowego otrzymujemy rozwiązaie zawierające cztery iezae stałe. Do wyzaczeia tych stałych oprócz waruków brzegowych dotyczących brzegu r = korzysta się z waruków ograiczoości przemieszczeń i sił wewętrzych w pukcie r =. Kosekwecją zastosowaia waruków ograiczoości jest odrzuceie w całce ogóej wyrazów osobiwych gdy r = (wyzerowaie dwóch stałych). Poieważ w daszej części pracy będziemy stosowai kasycze rozwiązaie daej przedstawiamy w skrócoej formie sposób jego wyzaczeia. Rówaie opisujące statycze zagadieie kołowej izotropowej płyty jedorodej w postaci bezwymiarowej wyraża się wzorem (patrz Nowacki [4] s. 94) ( ϕ) ˆ( ϕ) ( rm ) D wˆ r = q r D= cost r mϕ αδt qˆ ( r ϕ) = f pz + + D( + ν). r r r ϕ h (9.68) Fukcja przemieszczeń w ˆ ( r ϕ) jest sumą całki szczegóej (zaeżej od prawej stroy rówaia) oraz całki ogóej będącej rozwiązaiem rówaia jedorodego ( q ˆ( r ϕ) ). Dążąc do rozdzieeia zmieych wyrazimy obciążeie q ˆ( r ϕ) oraz rozwiązaie w ˆ ( r ϕ) za pomocą szeregu Fouriera c s = + qˆ r ϕ qˆ r cosϕ qˆ r si ϕ = c s = + wˆ r ϕ wˆ r cosϕ wˆ r si ϕ. = (9.69) Po podstawieiu wyrażeia (9.69) do wzoru (9.68) otrzymamy dwa rozseparowae układy rówań różiczkowych zwyczajych

186 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 85 c c s s + ˆ ˆ ˆ ˆ = + = w () r q ( r) w ( r) q ( r). r r r r r r r r (9.7) Rozwiązaia tych układów wyrażają się astępującymi wzorami (patrz Nowacki [4] s. 94) = % = % + + % cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs wˆ r a b r c r d r r w r wˆ r a r b r c r d r r w r wˆ r = a r + b r + c r + d r + w r gdy (9.7) cs gdzie w% () r są całkami szczegóymi rówań (9.7). cs cs Poieważ przy c d przemieszczeia i momety zgiające byłyby ieskończeie duże z waruku ich ograiczoości wyika że c = d = da. cs c Po uwzgędieiu tych waruków rozwiązaia układów przyjmują postać + cs cs cs cs wˆ r = a r + b r + w% r gdy. (9.7) Do wyzaczeia pozostałych dwóch stałych wykorzystuje się waruki brzegowe dotyczące brzegu zewętrzego. Z oczywistych powodów waruków ograiczoości ie możemy bezpośredio zastosować w prezetowaej w pracy metodzie rozwiązaia omawiaego zagadieia. Sposób pokoaia trudości związaych z okreśeiem waruków brzegowych płyty kołowej opiszemy poiżej. Aaizowaą płytę kołową podziemy myśowo a dwie rozłącze części. Liią tego podziału jest okrąg o promieiu r = ε (patrz rys. 9.3). W przypadku gdy promień ε jest bardzo mały możemy w przybiżeiu założyć że parametry opisujące wewętrzą część płyty są stałe (ie zaeżą od zmieej r) i D = D(ε) h = h(ε). Koejym uproszczeiem jest założeie że a wewętrzą część ie działają: siły bezwładości oraz siły osiowe a obciążeie zewętrze jest iezaeże od zmieej r (p. da temperatury mamy Δ cs cs T = Δ T ( ε )). W tej sytuacji przemieszczeia wewętrzej części płyty możemy opisać wzorem (9.7) dodając do isty argumetów fukcji czas cs cs cs cs wˆ () rt wˆ () rt a () t b () t (zaeżość od czasu wyika ze zmieych w czasie waruków brzegowych a iii r = ε ). Na iii podziału tj. a okręgu o promieiu ε muszą być spełioe waruki ciągłości płyty: cs ( ε ) ˆ ( ε ) cs cs cs w t w t w ( ε t) = wˆ ( ε t) = r r M t M t Q t Q t ( ε ) = ˆ ( ε ) ( ε ) = ˆ ( ε ) cs cs cs cs r r r r (9.73)

187 86 Rozdział 9 I II a x ε v(r ) w(r ) II y I w(r ) v(r ) z ε a x r Rys Płyta z wydzieoymi dwoma podobszarami I i II gdzie występujące we wzorze (9.73) fukcje cs cs Mˆ ( ε t) Qˆ ( ε t) mają postać taką cs cs r r samą jak fukcje Mr ( ε t) Qr ( ε t). W przypadku gdy fukcje opisujące szeroko rozumiae obciążeie zewętrze (siły momety temperatura) są odpowiedio reguare w pukcie r = ε waruki ciągłości (9.73) możemy zastąpić astępującymi prostszymi układami rówań ( ) ˆ ( ε ) p c s p c s w r t w t p p r r r= ε r= ε = p = 3. (9.74) cs Fukcja wˆ ( r t ) i jej koeje pochode w jawej postaci wyrażają się wzorami + = () + () + % cs cs + a () t r b ()( t ) r cs cs cs cs wˆ r t a t r b t r w r t cs cs % = wˆ rt w rt r r

188 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 87 cs cs cs cs % = a ()( t ) r + b ()( t + )( + ) r + ( r t) 3 cs wˆ cs 3 cs = a 3 ()( t )( ) r + b () t ( + )( + ) r r 3 cs w% 3 ( r t) +. r wˆ rt w rt r r (9.75) cs cs Po wyzaczeiu z pierwszych dwóch wzorów (9.75) fukcji a () t b () t i podstawieiu ich do pozostałych dwóch wzorów (9.75) 34 otrzymamy astępujące zaeżości cs ( ) ˆ ( ) cs cs wˆ r t w r t ( + ) + + wˆ r t r r r r cs ( ) ( ) cs cs w% r t w% r t = w% r t + + r+ r r r cs ( ) ˆ ( ) cs 3 cs wˆ r t w r t 3 ( + )( ) + 3 wˆ r t 3 r r r r cs ( ) ( ) cs 3 cs % % ( ) ( ) 3 3 w r t w r t = w% r t + r+ r 3. r r (9.76) Korzystając z tego że (zakładamy że szeregi te mają właściwości umożiwiające różiczkowaie ich wyraz po wyrazie) p w c s p r ( r t) = cs *( p w () T ) t ( r) (9.77) = oraz waruki ciągłości płyty a okręgu r = ε (9.74) otrzymamy astępujące rówaia * * * cs ( ( + T ) ( ε) ( + ) εt ( ε) + ε T ( ε) ) w () t = cs cs cs w% ( ε t) w% ( ) r t = w% ε t + + ε + ε r r

189 88 Rozdział 9 * * 3 * cs ( ( + )( ) T ( ε) 3 εt ( ε) + ε T ( ε) ) w () t = cs 3 cs cs w% ( ε t) w% ( ε t) 3 = w% ( ε t) ( + )( ) ε + ε 3 3 r r ε > (9.78) pozwaające wraz z rówaiami okreśającymi waruki brzegowe a brzegu r = a rozwiązaie aaizowaej płyty kołowej. Występujące we wzorze (9.78) całki szczegóe zaeżą oczywiście od postaci obciążeia zewętrzego (siły mometu temperatury). Przedstawimy rozwiązaie ajczęściej pojawiającego się w praktyce. Założymy miaowicie że a wewętrzą część działa tyko obciążeie p z i czyik temperaturowy ΔT (m r = m ϕ ). Po wykoaiu opisaego wcześiej rozwiięcia tych czyików w kasycze szeregi Fouriera w rówaiach (9.7) po prawej cs stroie pojawią się astępujące fukcje zaeże tyko od zmieej r ˆ ˆ cs pz ( r) Δ T ( r). Poieważ z założeia promień wewętrzej części płyty jest mały r = ε możemy przyjąć cs cs że pˆ = pˆ ( ε ) = cost ˆcs ˆ cs ΔT = ΔT () r = cost. W tym przypadku całki szczegóe z z cs () r w% przyjmują postać cs cs 4 pˆ z r w% r = 4 ( 6)( 4) cs 4 ˆ cs w% r = pzr r 48 cs 4 4 ˆ cs w% r = pz4r r 96 (9.79) ( + ) ˆ cs cs D ν α ΔT r w% ( r) = h ( 4) ( + ) cs D ν α ˆcs w% r = Δ T r r. 4h PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Przykład 9. Przedstawioą metodę zastosowao do rozwiązaia zagadieia własego płyty kołowej o stałych parametrach. Przyjęcie stałych parametrów pozwaa a porówaie otrzy-

190 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 89 maych rozwiązań z dokładymi wyikami uzyskaymi metodami aaityczymi (patrz Nowacki [39]). W rozważaym przykładzie zbadao rówież wpływ parametru ε (promień okręgu dzieącego płytę kołową) a dokładość uzyskaych rozwiązań. Obiczeia wykoao da płyty kołowej uwzgędiając dwa sposoby podparcia zewętrzego brzegu płyty: podparcie przegubowe oraz sztywe utwierdzeie. Rówaia opisujące zagadieie przyjęto w postaci bezwymiarowej stąd w przypadku częstości własych ω m aeży pamiętać o możiku wymiarowym D ( ρ a ) gdzie D jest sztywością płyty a zgia- 4 ie i w przypadku płyty o stałej grubości wyraża się wzorem EH D = 3 ( ν ) ρ jest gęstością beki przypadającą a jedostkę powierzchi a a jest zewętrzym promieiem płyty. Dokłade oraz otrzymae przybiżoymi metodami (ε = ) wartości włase uzyskae z zastosowaiem aproksymacji 3-wyrazowym szeregiem Czebyszewa przedstawioo w tabeach Tabea 9.. Wartości włase ω m płyty kołowej przegubowo podpartej ε ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω Dokłade Tabea 9.. Wartości włase ω m płyty kołowej przegubowo podpartej ε ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω Dokłade Tabea 9.3. Wartości włase ω m płyty kołowej sztywo utwierdzoej a brzegu ε ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω Dokłade

191 9 Rozdział 9 Tabea 9.4. Wartości włase ω m płyty kołowej sztywo utwierdzoej a brzegu ε ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω Dokłade a) 5 3 EW ( m ) b) 6 EW ( m ) r 4 ε = - -5 ε = r 5 EW ( m ) EW ( m ) r 4 ε = -4-6 ε = r Rys Wykresy błędów E(W m ) form własych płyty kołowej przegubowo podpartej a brzegu: a) m = 3 b) m = Ozaczeia: m = 4 m = 5 m = 3 6 Dokoao rówież porówaia form własych W m stosując opisay w rozdziae 3.5 sposób ormowaia dokładych i przybiżoych fukcji własych oraz przyjmując jako miarę błędu fukcję E f = % f ( x) f x f x W tym przypadku rówież zastosowao aproksymację 3 wyrazowym szeregiem. Otrzymae rezutaty w postaci pierwszych sześciu form własych przedstawioo w postaci wykresów a rysukach

192 Zagadieie drgań kołowych i pierścieiowych płyt ciekich 9 a) b) 6 EW ( m) ε = r 6 ε = EW ( m) r 7 EW ( m) EW ( m) ε = r ε = r Rys Wykresy błędów E(W m ) form własych płyty kołowej przegubowo podpartej a brzegu: a) m = 3 b) m = Ozaczeia jak a rys. 9.4 a) EW ( m ) r b) EW ( m ) r -5 - ε = -6-8 ε = EW ( m ) ε = r EW ( m ) ε = r Rys Wykresy błędów E(W m ) form własych płyty kołowej sztywo utwierdzoej a brzegu a) m = 3 b) ) m = Ozaczeia jak a rys. 9.4

193 9 Rozdział 9 a) 6 6 EW ( m) b) 75 5 ( m) EW 4 r 5 5 r ε = ε = EW ( m) r 8 EW ( m) r ε = - ε = Rys Wykresy błędów E(W m ) form własych płyty kołowej sztywo utwierdzoej a brzegu a) m = 3 b) m = Ozaczeia jak a rys. 9.4 Z aaizy uzyskaych wyików widzimy że rówież w przypadku płyt propoowaa metoda daje w rozważaym zagadieiu wyiki obarczoe małymi błędami. Co prawda w przypadku płyt błąd te jest większy iż aaogicze błędy pojawiające się w zagadieiach drgań układów prętowych ae ada ich wartości są małe. Na otrzymae wyiki oprócz wpływu błędów wyikających z ograiczoej bazy aproksymacyjej (skończoa iczba wyrazów szeregu aproksymującego) wpływ miał rówież sposób uwzgędieia waruków brzegowych w pukcie r =. Wpływ te jest widoczy podczas porówaia fukcji błędów E(W m ) da różych wartości parametru ε. Jak aeżało się spodziewać w przypadku maejących wartości tego parametru błąd maeje.

194 . KOŁOWA PŁYTA ŚREDNIEJ GRUBOŚCI WEDŁUG TEORII HENCKY EGO BOLLE A.. WPROWADZENIE W tym rozdziae zajmiemy się zagadieiem drgań podłużie iejedorodych płyt średiej grubości. Podobie jak w przypadku płyt ciekich wśród prac dotyczących tego typu probemów jedą z grup tworzą prace w których rozwiązuję się zagadieie po założeiu okreśoego rozkładu parametrów. Przykładem takiego podejścia są prace: Li [3] Efraima i Eisebergera [3] Cheuga i Zhou [6] oraz Xiaga i Zhaga [98]. W pracy [3] rozwiązao zagadieie włase płyt o ekspoecjaie i potęgowo zmieej grubości. Formy i częstości włase pierścieiowej płyty średiej grubości o iiowo i paraboiczie zmieej grubości wyzaczoo w pracy Efraima i Eisebergera [3]. Do rozwiązaia wykorzystao kasycze szeregi potęgowe. W pracy [6] aaizowao zagadieie drgań swobodych płyty prostokątej o zmieej grubości opisaej fukcją h(x y) = h (x/a) r (y/b) s. Do rozwiązaia użyto metody Rayeigh Ritza przyjmując za fukcje aproksymujące rozwiązaia pewego statyczego zagadieia beki Timosheki. W pracy [98] wyzaczoo częstości włase płyty kołowej o skokowo zmieej grubości. Po podziae płyty a eemet kołowy i eemety pierścieiowe zagadieie rozwiązao aaityczie. Bardziej ogóe założeia dotyczące rozkładu grubości przyjęto w pracy Shufria i Eisebergera [67] gdzie aaizowao płyty o zmieej grubości opisaej fukcją h ( x y) = h( x) H ( y). Zagadieie drgań rozwiązao da różych modei płyty: płyty ciekiej Reissera Midia oraz według teorii wyższych rzędów uwzgędiających wpływ sił poprzeczych a deformację płyty. Rówaia opisujące zagadieie oraz waruki brzegowe wyprowadzoo za pomocą zasady Hamitoa. Wyiki umerycze otrzymao stosując do rozwiązaia wariacyjego metodę Katorowicza. Przyjęto za fukcje aproksymujące wieomiay potęgowe. Rozwiązaiem probemów dyamiczych metodą eemetów skończoych zajmowai się m.i. Ju Lee i Lee [8] Mihir Chadra Maa [38] oraz Taher z zespołem [79]. W pracy [8] przedmiotem aaizy były płyty kołowe i prostokąte. W pracy [38] rozwiązao zagadieie włase płyty prostokątej. Do rozwiązaia zastosowao

195 94 Rozdział wprowadzoy w pracy trójkąty eemet o 5 stopiach swobody. Rozwiązaie zagadieia własego płyt kołowych i pierścieiowych z wykorzystaiem przestrzeego eemetu skończoego przedstawioo w pracy [79]. Rozwiązaie probemu drgań swobodych wycika kołowego z uwzgędieiem różych sposobów podparcia aaizowao w pracy Liu i Liewa [6] stosując do rozwiązaia metodę DQ (Differetia Quadrature). Korzystając z tej samej metody Maekzadeh i Karami [8] rozwiązai probem drgań prostokątej płyty spoczywającej a dwuparametrowym podłożu sprężystym. Rozważao róże sposoby podparcia. Iy sposób podejścia do omawiaego zagadieia przedstawioo w pracach Sakiyama i Huaga [55 56] oraz w pracy Huaga Ma Sakiyamy Matudy i Mority [73]. W cytowaych pracach [ ] autorzy wyzaczyi dyskretą fukcję Greea i z jej wykorzystaiem rozwiązai zagadieie włase: w pracy [56] izotropowej płyty prostokątej w [55] płyty trójkątej a w pracy [73] ortotropowej płyty prostokątej. W iiejszym rozdziae przedstawimy rozwiązaie da osiowo-symetryczej izotropowej płyty kołowej obciążoej obciążeiem ormaym o dowoym rozkładzie. W rozważaym zadaiu ieuwzgędioo wpływu obciążeń osiowych a poprzecze przemieszczeia płyty. Wpływ te pomiięto w ceu uproszczeia zapisu już tak rozbudowaych rówań i wzorów. Rozdział zakończoo przykładem umeryczym... SFORMUŁOWANIE ZADANIA Przedmiotem rozważań jest kołowa ub pierścieiowa izotropowa płyta średiej grubości o zmieej sztywości symetryczej iejedorodości poprzeczej H (R) = H (R) = H(R)/. Płyta jest obciążoa obciążeiem p z (R ϕ t) mometami m r (R ϕ t) i m ϕ (R ϕ t) oraz statyczym obciążeiem styczym p r (R ϕ) p ϕ (R ϕ). Zakładamy osiowo-symetryczy rozkład sztywości płytowej D(R) sztywości postaciowej K(R) gęstości i mometów masowych ρ i (R). Upraszczające założeie o osiowo-symetryczym rozkładzie sztywości i gęstości przyjęto w ceu skróceia zapisu i zwiększeia przejrzystości prezetowaej metody rozwiązaia. Założymy poadto że współczyik Poissoa ν jest stały a współczyiki rozszerzaości ciepej α i przewodictwa ciepego ie zaeżą od zmieej z. W aaizowaym w iiejszym rozdziae modeu płyty opisaym według teorii Hecky ego Boe a (patrz praca [95] s. 7) odstępując od założeń Naviera Kirchhoffa zakłada się że prostoiiowe włóka prostopadłe do płaszczyzy podstawowej przed odkształceiem po wygięciu zachowują swój kształt. Włóka te mogą jedak zmieić kąt achyeia do powierzchi odkształcoej. Zagadieie poprzeczych drgań płyty według tej teorii możemy opisać w prawoskrętym układzie współrzędych astępującym iiowym układem rówań różiczkowych cząstkowych (patrz Woźiak [95] s. 33)

196 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a 95 W K W K W K W Θ Θ r K K ϕ K + + K Θ r R R R R ϕ R ϕ R R R ϕ fr fr fϕ pz ρw&& = R R R ϕ Θr Θr ν Θr W D D D D ν D K + D K Θ R R R R R R ϕ R R R Θϕ D Θϕ D D D ( ν ) R R R R R h + ν 3 ν ν αδt ϕ R ϕ ( sˆ Sˆ ξ ) + ( mr fr) ρθ&& r = R r (.) Θ ϕ ϕ K W + ν Θr 3 ν ν D r ν Θ D Θ + D + D+ + D + R ϕ R R ϕ R R R ϕ R R ϕ ν D D Θϕ ν ν D + + D+ + K Θ ϕ R R R R R R αδt ( sˆ + Sˆ ξ) + D( + ν) ( mϕ fϕ) ρθ&& ϕ =. R ϕ h ϕ Występujące w płycie średiej grubości siły wewętrze okreśoe są wzorami: momety gące i skręcające Θ r Θϕ Θr αδt M ( ) ( ˆ ˆ r = D + ν ν + s+ Sξ ) R R ϕ R H Θr Θϕ Θr αδt M D ( ) ( sˆ Sˆ ϕ = ν ν + + ξ ) R R ϕ R H M rϕ ( ν ) D Θ Θ r ϕ = + R R ϕ R R (.)

197 96 Rozdział siły poprzecze W Q = K Θ + f R r r r W Qϕ = K Θϕ + fϕ. R ϕ (.3) We wzorach (.) (.3) W = W(R ϕ t) ozacza poprzecze przemieszczeie płyty Θ r = Θ r (R ϕ t) i Θ ϕ = Θ ϕ (R ϕ t) kąty obrotu przekrojów a K(R) okreśa sztywość płyty a ściaie. Sztywość ta oraz wyrazy f r f ϕ okreśoe są wzorami H K = κ Gdz (.4) H ( ) ϕ ( ϕ ϕ ) f = K H p + K H p f = K H p + K H p (.5) r r r gdzie κ K + K są współczyikami ściaia. Czyteika zaiteresowaego metodami ich wyzaczaia odsyłamy do moografii Woźiaka [95] s. 9. Wyrazy sˆ Sˆ ξ opisują wpływ a siły wewętrze aprężeń S zz przy czym pierwszy składik uwzgędia wpływ aprężeń S zz wywołaych siłami zewętrzymi a składik drugi wpływ aprężeń wywołaych siłami bezwładości (patrz Woźiak [95] s. 3 3). Poieważ wpływy te mają zaczeie drugorzęde w stosuku do wpływu pozostałych aprężeń wyrazy sˆ Sˆ ξ będziemy daej pomijać. Pozostałe współczyiki zdefiiowao we wzorach (9.) (9.). Podobie jak w przypadku zagadieia drgań płyt ciekich rówaia przekształcamy do postaci bezwymiarowej wprowadzając zmiee bezwymiarowe r = R/a w = W/a h = H/a θ r = Θ r θ ϕ = Θ ϕ. Po wprowadzeiu tych zmieych momety gące i skręcające okreśoe są wzorami: M M M r ϕ rϕ Mr a θr θϕ θr αδt = = D + ν + + ( + ν) D r r ϕ r h Mϕa θr θϕ θr αδt = = Dν ( + ν) D r r ϕ r h Mrϕ a θ θ r ϕ θϕ = = D( ν ) + D r ϕ r r (.6)

198 a siły poprzecze Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a 97 Qr a w Qr = = K θr + f f D r Qϕ a w Qϕ = = K θϕ + f fϕ D r ϕ r (.7) gdzie D a + + ± P ± D = K = K fβ = K hpβ + K h pβ pβ = p D β D a P f =. D a Ze wzgędu a dowoy rozkład sił zewętrzych obciążeia zewętrze przemieszczeia i kąty obrotu przekroju rozwijamy w szeregi Fouriera. Rozwiięcia sił i przemieszczeń przedstawioe są we wzorze (9.7) rozwiięcia kątów obrotu przekrojów mają postać ( ) c s θ ( r ϕ t) = θ ( r t) cos ϕ + θ ( r t) si ϕ β = ϕ r. (.8) β β β = Poieważ w układzie rówań (.) wszystkie (z wyjątkiem wyrazów woych) współczyiki są fukcjami tyko zmieej r układ rówań będzie spełioy da każdej wartości ϕ gdy da każdego fukcje w θr θϕ w θr θ ϕ będą speł- c c c s s s iać astępujący układ sześciu rówań różiczkowych zwyczajych c c c w K w c θ s r K c s + θr θϕ K Kw Kw K K r r r r r r r r c c s fr fr f ϕ c c + f f pz gρw&& = r r r ( ) c w D D D D K + D K r r r r r r r r c c θr θr ν ν c θ r ( ) s ϕ D s D ν α c θϕ Δ + ν θ 3 ν ν + + D D + T r r r r r r h f m f g && = c c c r r ρθ r (.9)

199 98 Rozdział ( + ) s c r θ s ϕ θ r K s + ν θ 3 ν ν D ν w + D + D+ + D r r r r r r r c D D θϕ D D K ν ν + ν θ r r r r r r D ν α s c c c + Δ T f ( mϕ fϕ ) g ρ && θ ϕ = r h c ϕ s s s w K w s θ c r K s c + + θr + θϕ K Kw Kw K K r r r r r r r r s s c fr fr f ϕ s s + f + + f pz gρw&& = r r r ( ) s w D D D D K + D K r r r r r r r r s s θr θr ν ν s θ r ( ) c ϕ D c D ν α s θϕ Δ + ν θ 3 ν ν + D + D + T r r r r r r h f m f g && = s s s r r ρθ r ( + ) c s r θ c ϕ θ r K c + ν θ 3 ν ν D ν w D D+ + D r r r r r r r s D D θϕ D D K ν ν + ν θ r r r r r r D ν α c s s s Δ T f ( mϕ fϕ ) g ρ && θ ϕ = r h s ϕ (.9) cd. Gdzie stałe f g okreśoo we wzorze (.7).

200 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA Aby pozbyć się (.9) osobiwych możików r r rówaia układu przemożymy obustroie przez r. Stosując zapis macierzowy możemy układ sześciu rówań wyrazić wzorem ( r) ( rt ) + ( r) ( rt ) + ( r) ( rt ) + ( r) ( rt ) = ( rt ) Pˆ f Pˆ f Pˆ f Rˆ && f Pˆ (.) gdzie współczyiki macierzowe P ˆ i () r i = mają postać ( r) P P = i cc i cs Pˆ i Pi sc Pi ss (.) ˆ a między podmacierzami macierzy P i zachodzą reacje: P iss = P icc P isc = P ics. Aaogiczą postać ma macierz R ( r) i da jej podmacierzy zachodzą reacje podobe jak da podmacierzy macierzy P i. Podmacierze macierzy P i i R ( r) są okreśoe wzorami: ˆ P rk = rd P = ν r D K r r K r D ν + rd = = r + ν ν D rd r rd + r cc cs cc rk r + rd P cs P

201 Rozdział P cc K K r r ν D D ν r r K = + + r ν ν D + D + r + r K r P cs K rk 3 ν D D ν r = r 3 ν ν D rk D r r (.) r gρ R cc = r gρ R cs =. (.3) r gρ Podobie jak w poprzedich zagadieiach w ceu uproszczeia zapisu we wzorach (.) i astępych zamiast ozaczeń K D... będziemy stosować ozaczeia K D itd. Następym krokiem jest wyzaczeie za pomocą wzorów (.33) fukcji Q i i = i S. Fukcje te podobie jak fukcje Pˆ i przyjmują postać Qicc Qics Qi ( r ) = Qi sc Qi ss Qiss = Qicc Qisc = Qics S cc S cs S( r ) = S sc S ss S ss = S cc S sc = S cs (.4) a występujące we wzorze (.4) podmacierze wyrażają się wzorami

202 Q = P Q = P cc cc cs cs Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a Q Q cc cs K r 4rK r K r D = r K r 3rD r ν D r 3rD + r + ν rd = + ν rd (.5) Q Q K r + K rk r K ν D r rk D ( ν ) r r K + + r r ( D+ rk ) cc = cs K rk ν D D+ r = r D rk ( ν) D νr r

203 Rozdział r gρ S cc = r gρ S cs =. (.6) r gρ Po rozwiięciu fukcji Q i i = i S w szeregi wzgędem przesuiętych wieomiaów Czebyszewa T * ( x) = T (x ) i zastosowaiu do daszych przekształceń zaeżości (.37) da każdego > otrzymamy astępujący ieskończoy układ rówań różiczkowych zwyczajych pozwaający a wyzaczeie poszukiwaych współczyików rozwiięć fukcji w θr θϕ w θr θ ϕ (w ceu uproszczeia zapisu w c c c s s s ozaczeiach współczyików we wzorze (.7) oraz astępych podobie jak to uczyiiśmy da płyty ciekiej pomiięto góry wskaźik *): = c ( w ) c ( θr ) c ( θϕ ) s ( ) s ( θr ) s ( θϕ ) k ( k ) k ( k ) k6 ( k ) k ( k ) k ( k ) k6 ( k ) k33 ( k ) k34 ( k ) k35 ( k ) k6 ( k ) k ( k ) k ( k ) w k6 ( k ) k ( k ) k ( k ) k34 ( k ) k35 ( k ) k33 ( k ) c ( w&& ) (&& c θr ) (&& c θϕ ) s (&& ) s (&& θr ) s (&& θϕ ) c P ( k) b ( k ) c P ( k) b ( k ) c P3 ( k) ' b33 ( k ) = s + P b ( k k ) = w s P b ( k ) k s b33 ( k ) P3 k k = 3... (.7)

204 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a 3 W przypadku gdy = układ rówań (.7) uega modyfikacji c ( w ) c ( θr ) c ( θϕ ) s ( w ) s ( θr ) s ( θϕ ) k k k k k k k k k33 ( k ) = c w&& c P ( k) b ( k ) (&& c θ c r ) P b ( k ) k c c P 33 ( ) 3 k ' b k (&& θϕ ) s = ( w&& ) s (&& θr ) s ( && θϕ ) = + k = 3... (.8) Modyfikacja ta wyika z braku w rozwiięciu Fouriera współczyików s s s wr θr θ ϕ. Poieważ da przejrzystości rówań wprowadzoo te współczyiki układ (.8) tak zmodyfikowao aby w wyiku jego rozwiązaia otrzymać s s s wr = θ r = θϕ =. We wzorze (.7) i (.8) przez ( f ) ozaczoo -ty współczyik rozwiięcia w szereg Czebyszewa fukcji f ( r * t ) = ' ( f ) T ( r ) = gdzie f jest jedą z poszukiwaych fukcji: w θr θϕ w θr θ ϕ. Poieważ w fukcjach Q i występują możiki r r przy wyzaczaiu współczyików rozwiięć Czebyszewa tych fukcji zastosowao zaeżości (9.4). c c c s s s

205 4 Rozdział Występujące w rówaiu różiczkowym (.7) eemety macierzy i wektorów wyrażają się astępującymi wzorami: k ( k ) k kk k k kk + ( 3 ) k 4 ( k ) k kk+ k k kk+ + ( 3 ) k++ k ( k ) = ( k + ) ( k 3) k + 4 k + k k k k + k + k k + k k + k k k + + k k( k ) = 8 k + k 3 k k + k k + k k + k k k k + k k k k + k + k k k + k k k k ( 5 7) 8 ( 5 7) 4( k )( k ) kk + ( k )( k 3) kk + 3 ( k )( k 3) kk+ 3 4( k )( k ) kk+ ( 5 7) 8 ( 5 7) ( k )( k ) k ( k )( k ) k k k k + k + k+ k k k++ 3 k4 ( k ) = ( k + )( kk + kk+ ) k( kk + kk+ ) + ( k )( kk + + kk++ ) k6 ( k ) = k + kk + k + kk k kk kkk ( k + ) kk + + ( k ) kk + + ( k ) kk k + k + k + k k k 4kk k + 3 k+ k+ k+ k + kk++ + k + kk++ + k kk++ 3 k ( k ) = ( k ) k 4( k ) k ( 5k 7) k 8k k k k k k k k 3 k k k ( 5 7) 4 k + k + k + 3 k + k 4 k + k 5k + 7 k 8k k+ 3 k+ k+ k k kk++ + k kk++ + k kk++ 3 (.9)

206 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a 5 k ( k ) = ( k + ) ( k ν) + ( k ) ν ( ν) d k + k 3 + k d k ( ν) ( ν) ( 4 ( 3 4 ν) ( ( ν) ( ν) )) ( ν) ( ν) + 4 k k + 3+ k + d ( ν) ν ( ν) ( k ) ( k ν ) ( k ) k + k + k + + d k + k + k ( k + + k + ) d k + ( k + ) ( k ν) ( k ) ν + + ( ν) d ν d k+ ( 4 ( 3 4 ν) ( ( ν) ( ν) )) + k k + + d + 4( k )( (k ν) + ( k + ) ν ) d k++ ( ν) ν ( ν) k+ + k k k d k++ ( k ) k 4( k ) k ( k 3) k 4( k ) k kk k k k k k k k k k+ k 4 k 3 k k k 4( + ) + ( 3) + 4( ) + ( ) + k + k k + 3 k + 4 k + k + 4 k + k + k + 3 k 4 k k kk k+ 4 k+ 3 k+ k+ k k + kk++ + k kk+ + k kk k kk++ 4 k ( k ) = ( k + ) (( k 3) ν + ( 3) ) dk + ( k + ) (( k ) ν + ) d k ( ( 3 k ) ( k ) ν ) dk ν ν ( 3k ) ( k ) ν d k ( k ) dk + ( k )(( k ) ν ( )) dk + ( 3 3 ) k+ (( ) ν ) k+ k+ ( k )(( k ) ν ) dk + ( k )(( k ) ν ( )) d k k + k + + d + k + k + d (.9) cd.

207 6 Rozdział k ( ν) k k = k + k d + k d ( ν) 4 + ( k + 3( k )( ν ) ) dk ( ν) k ( ν) 33 k + k + + k + d + k k + + d k ( ν) k + k + + d + k + d ( ν) 4 + ( k 3( k )( ν ) ) dk+ + ( k )( ν )( ) dk++ + k+ + k ν k + + d k ++ k ( k ) = ( k ) k ( k ) k ( k ) k 4kk k + k + k k + k k 34 k 3 k k k k + k + k k + k + k + k k k 4kk k+ 3 k+ k+ k+ k k k k k k + k++ + k++ + k++ 3 k35 ( k ) ) = (( ) ) k 4 k + + k ν + k + d k + k + k d 4 k d k ( ν) k + ( ν ) k + ν ν + k k + k + d ( ) + k + k k d + ( k ) (( k) ( k ) ) dk 4 + ν k + k + + k d 4 k + d k ( ν) k++ ( ν k ) d k ++. ν ν + k k + + k + d + ( k ) ( + + k) k + k+ (.9) cd.

208 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a 7 b ( k ) = g ( k + ) ρ + 4( k + ) ρ + ( k + 3) ρ 3 + k 4 k 3 k 4( k ) ρ k kρ k 4( k ) ρ k + ( k 3) 4( k ) ( k ) ( k ) 4( k ) ( k 3) 4( k ) ρ kρ 4( k ) ρ + ρ + ρ + ρ k + k + 3 k ρ + + ρ + + ρ k+ 4 k+ 3 k+ + k+ k+ k++ ( k ) ( k ) ( k ) + 3ρ + 4 ρ + ρ ( ) ( ) b k = b k = 33 k++ k++ 3 k++ 4 = g ( k + ) ρ + 4( k + ) ρ + ( k + 3) ρ 3 + k 4 k 3 k 4( k ) ρ k kρ k 4( k ) ρ k ( k 3) 4( k ) ( k ) ( k ) 4( k ) ( k 3) 4( k ) ρ kρ 4( k ) ρ + + ρ + ρ + ρ k + k + 3 k ρ + + ρ + + ρ k+ 4 k+ 3 k+ + k+ k+ k++ ( k ) ( k ) ( k ) + 3ρ + 4 ρ + ρ (.) k++ k++ 3 k++ 4 = ( 3) k 3 k cs cs + ( k )( 5k + 6)( fr ) + 4k( fr ) k k cs cs ( k + )( 5k 6)( fr ) ( k )( k + 3)( fr ) k+ k+ cs ( k )( k + )( fr ) k + 3 sc sc sc sc ± ( ( k + )( fϕ ) + k + fϕ 3 k fϕ 4k fϕ sc sc sc ( k + )( fϕ ) + ( k )( fϕ ) + ( k )( f ϕ ) ) cs cs cs r r P k f k k f k k f k k k k k + k+ k cs cs cs f ( k )( pz ) 4( k )( pz ) ( k 3)( pz ) k 4 k 3 k cs cs ( k )( pz ) k( pz ) k k cs cs cs cs ( k )( pz ) ( k )( pz ) ( k )( pz ) ( k )( pz ) k+ k+ k+ 3 k+ 4

209 8 Rozdział 4 ( ) k 4 k 4 k 3 k 3 cs cs cs cs k ( mr fr ) ( k )(( mr ) ( fr ) ) k k k k cs cs (( r) ) r k k cs cs cs cs ( r r ) (( r ) ( r ) ) k+ k+ k+ k+ cs cs cs cs ( mr fr ) + ( k )(( mr ) ( f r ) ) cs cs cs cs cs = + r r + + r r P k f k m f k m f k m f + 4( k ) 4 k m f + k 3 m f ( ϕ ϕ ) 4 (( ϕ ) ( ϕ ) ) k 4 k 4 k 3 k 3 cs cs cs cs k ( mϕ fϕ ) ( k )(( mϕ ) ( fϕ ) ) k k k k cs cs (( ϕ ) ) ϕ k k c s c s c s c s ( mϕ fϕ ) + ( k 3) (( mϕ ) ( fϕ ) ) k+ k+ k+ k+ cs cs cs cs ( ) ϕ ϕ (( ϕ ) ( ϕ ) ) 4( k + ) k+ 3 k+ 3 k+ 4 k+ 4 cs cs cs cs cs 3 = P k f k m f k m f k m f + 4 k m f + k m f (.) k+ 3 k+ 3 k+ 4 k+ 4 gdzie przyjęto astępujące ozaczeia cs [ ] [ ] [ ] ( ϕ ) cs d = a D k = a K ρi = a ρi m = a m ϕ f a f m a m f a f. cs cs cs cs cs cs ϕ = ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ (.) Spełioe tożsamościowo dwie grupy rówań (.7) da k = (przypomijmy że każda grupa składa się z 6 rówań) zastępujemy rówaiami okreśającymi waruki brzegowe. W formułowaiu tych rówań korzystamy z astępujących wzorów okreśających przemieszczeia uogóioe oraz wybrae siły wewętrze cs cs * ( ) = ( ) T = cs cs * cs cs * r r ϕ ϕ = = w r t w r ( r t) = ( r) ( r t) = ( r) θ θ T θ θ T

210 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a 9 = ( θ ) + ν ( θ ) ± ( θϕ ) cs cs * cs sc * r r T r T = r M rt D r r r D r ( + ν) α( r) h( r) ΔT cs ( r) ( ϕ = sc * ( ) ) cs θr θϕ T r ( θ ) cs ( ) = ( ν) ( θ ) T cs * rϕ M r t D r r cs cs * cs * cs r = r + r = + ± r Q ( r t) K( r) ( w ) T ( r) T ( r) f f r (.3) Podobie jak w przypadku pierścieiowych płyt ciekich waruki brzegowe wyikają bezpośredio ze sposobu podparcia płyty a brzegach r = i r = r gdzie r jest promieiem wewętrzym płyty. Da r = we wzorach (.3) możemy wykorzystać zaeżości (.34) przekształcając go do prostszej postaci cs = ( ) cs = w t w ( t) = ϕ ( r t) = ( ϕ ) cs cs cs cs r r = = θ θ θ θ ( ) = ( + ν)( θ ) ± ( θϕ ) cs cs sc r r = M t D D r ( + ν) α( r) hr () ΔT cs ( r) r= = ( ν) ( )( θϕ ) ± ( θ ) cs cs sc rϕ r = M t D ( w ) cs cs cs r () f fr () ( θ ) cs Qr ( t) = K + = (.4) Na brzegu r = r musimy obiczyć wartości wieomiaów T * ( r * ) oraz T ( r ) przy czym przy wyzaczaiu wartości pochodej wieomiau T * ( r ) skorzystamy z astępującej tożsamości wyikającej ze wzoru T ( x ) = U ( x ) ([44] s. 37) ( r ) U ( r ) * * T =. (.5)

211 Rozdział Przykładowe rówaia okreśające podstawowe sposoby podparcia brzegów płyty pierścieiowej średiej grubości mają postać: brzeg swobody cs cs cs r = rϕ = = = = M rt M rt Q rt gdy r r r brzeg sztywo utwierdzoy cs cs cs = θr = θ ϕ = = = w rt rt rt gdy r r r brzeg przegubowo podparty cs cs cs = r = θ ϕ = = = w rt M rt rt gdy r r r brzeg utwierdzoy przesuwie cs cs cs r r t = r t = Q r t = r = r = r θ θ ϕ gdy. Waruki brzegowe pozwaają a sformułowaie sześciu rówań którymi zostaie zastąpioych sześć pierwszych spełioych tożsamościowo rówań (dwie grupy (k = ) po trzy rówaia) układu (.7) ub (.8). W okreśaiu waruków brzegowych płyty kołowej atrafimy a podobe trudości jakie pojawiły się w przypadku płyty ciekiej. Przypomijmy że probem poegał a braku możiwości bezpośrediego wykorzystaia waruków ograiczoości w prezetowaej w pracy metodzie rozwiązaia. Probem te rozwiążemy podobie jak w przypadku płyty ciekiej. Płytę podzieimy myśowo a dwie części przy czym iią podziału będzie okrąg o promieiu r = ε. Przy małym ε możemy w przybiżeiu założyć że parametry opisujące wewętrzą część płyty są stałe D = D(ε) K = K(ε) h = h(ε) itd. Założymy poadto że a część wewętrzą ie działają siły bezwładości oraz siły osiowe. Rówaia opisujące statycze (bo pomięiśmy siły bezwładości) uogóioe przemieszczeia takiej płyty po wprowadzeiu zmieych bezwymiarowych i pomiięciu wpływu aprężeń S zz mają postać (patrz [83 95]) ( rm ) r mϕ D wˆ = f pz + + r r ϕ fd ( rm ) m D( + ν) α + + K 6r r ϕ h K f m ( rm ) ˆ ˆ r ϕ ψ ψ = D( ν) 6 D( ν) r ϕ r θ ( rθ ) ˆ r ϕ ψ = r ϕ r r ϕ pz ( ΔT ) (.6)

212 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a gdzie 3 E H a 5 E H D = K GH G h D = D = = a ( ν ) 6 ( + ν ). Otrzymae w wyiku rozwiązaia rówań (.6) fukcje ŵ ψˆ pozwaają a wyzaczeie fukcji obrotów θ r θ ϕ. Obroty te wyrażają się wzorami (patrz Woźiak [95] s. 36): ( ν ) ˆ wˆ D ψˆ θr = + + r K r ϕ r f ( rmr ) mϕ + pz + + mr K( ν) r r r ϕ D( ν) D( + ν) α ΔT + Kh r ˆ wˆ D( ν) ψˆ θϕ = + + ( wˆ ) r ϕ K r ν r ϕ ( wˆ ) ( ν) ( rmr ) mϕ pz ( ν ) f K ν r ϕ r r ϕ D D + ν α ΔT +. Kh r ϕ m ϕ (.7) Dążąc do rozdzieeia zmieych rozwiiemy występujące we wzorze (.6) fukcje oraz θ r θ ϕ w kasycze szeregi Fouriera. Po podstawieiu tych rozwiięć do wzorów (.6) otrzymamy ieskończoe rozseparowae układy rówań różiczkowych cs ( rmr ) cs cs sc D wˆ = f pz + ± m ϕ r r cs fd ( rmr ) + ± K r r D( + ν) α cs ( ΔT ) h cs sc pz mϕ

213 Rozdział ( ˆ cs rθϕ ) cs ( rmϕ ) cs K cs f sc ψˆ ψˆ = ± mr D( ν) 6D( ν) r r cs ˆ sc ψˆ = ± θr =... r r a fukcje obrotów wyrażają się wzorami ( ) ( ν ) cs cs wˆ D sc cs r ( r) = + ± ψ + cs ( ν ) ( w ) ( ν ) cs ( rm r ) ˆ θ ˆ ˆ r K r r f c s s c c s + pz + ± m ϕ mr K( ν) r r r D( ν) D + + ν α ΔT Kh r cs ˆ cs sc ψ s ˆ c ϕ r =± w + ± wˆ θ D ˆ r K r ( ν ) r cs ( rmr ) f c s s c c s ± p z + ± m ϕ m ϕ K( ν) r r r D( ν) D( + ν) α T sc ± Δ. Kh r Rozwiązaiami rówań (.8) są astępujące fukcje = % = % + + % cs cs cs cs cs cs wˆ r a b r c r d r r w r cs cs cs cs cs cs wˆ r a r b r c r d r r w r cs cs cs cs cs cs wˆ r = a r + b r + c r + d r + w r cs cs cs cs ψ% ψˆ r = A I br ) + B K br + ( r) b K = D ( ν ) (.8) (.9) (.3) gdzie fukcje I v (z) K v (z) są tzw. zmodyfikowaymi fukcjami Bessea a przez cs cs w% ψ% ozaczoo całki szczegóe rówań (.8).

214 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a 3 cs cs c s Poieważ przy c d B przemieszczeia i kąty obrotów przekrojów poprzeczych byłyby ieskończeie duże stałe te muszą przyjmować wartość zero. Po uwzgędieiu tego rozwiązaia przyjmują postać = % ( r) A ( br) ψ% ( r) cs cs cs cs cs cs cs wˆ r a r b r w r ψˆ = I +. (.3) Na iii podziału tj. a okręgu o promieiu ε muszą być spełioe waruki ciągłości płyty: ( ε ) = ˆ ( ε ) θ ( ε ) = ˆ θ ( ε ) θ ˆ ϕ ε = θϕ ( ε ) ( ε ) = ˆ ( ε ) ( ε ) = ˆ ( ε ) ( ε ) = ˆ ( ε ). cs cs cs cs cs cs r r cs cs cs cs cs cs r r rϕ rϕ r r w t w t t t t t (.3) M t M t M t M t Q t Q t W przypadku gdy fukcje opisujące szeroko rozumiae obciążeie zewętrze są odpowiedio reguare r = ε waruki ciągłości (.3) możemy zastąpić astępującymi rówaiami ( ) ˆ ( ε ) p c s p c s w r t w t = p p r r r= ε r= ε ( rt ) ˆ ( t) p c s p c s θr θr ε = p p r r r= ε r= ε ( rt ) ˆ ( t) p c s p c s θϕ θϕ ε p p r r r= ε r= ε = p =. (.33) Wyika to z postaci rówań defiiujących występujące w (.3) siły wewętrze. Korzystając z postaci fukcji ˆ c s θ cs ˆ sc ˆcs ϕ ψˆ = ± θr θϕ r r ostati waruek w (.33) tj. zastąpimy warukiem ˆcs rt θ ( rt ) cs ϕ ϕ θ r = r r= ε r= ε cs θ s c c s ϕ c s ± θr θϕ = ψˆ. r r (.34)

215 4 Rozdział Po podstawieiu rozwiązań (.3) do pierwszych dwóch waruków zgodości cs cs cs (.33) oraz do waruku (.34) wyzaczymy iezae fukcje a () t b () t A () t. Gdy podstawimy te fukcje do pozostałych waruków zgodości otrzymamy astępujące trzy rówaia ( r) cs ϕ cˆ d ( + ) cs cs ( % ) 3 ˆ c w r w r r cs cs ( + ) w ( r) w% ( r) ( r ) cs cs ˆ θ sc cs () ˆ ϕ cs θr r = c d ± θr r θϕ r ψ% ( r) r r θ cs + cˆ + + % θr ( r) r r r r= ε ˆ cs θ r sc cs ϕ cs = + ± θ r ( + ) r ( r) θϕ ( r) ψ% ( r) r ( + ) cs cs + ˆ c 3 ( w ( r) w% ( r) ) r r cs cs ( + ) w ( r) w% ( r) cs + cˆ + % θ ϕ ( r) r r r r= ε ( ) cs r r ˆ = cd ˆ θ r r r( ) ± θ cs sc cs θϕ r cs r ( r) θϕ ( r) ψ% ( + ) ( ) r ( r) + ˆ c w r w r 4 r r cs cs ( % ) % cs cs cs + w r w r % θ r + + cˆ + 3 r r r r r r= ε (.35) gdzie występujące we wzorze stałe są okreśoe wzorem

216 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a 5 cs cs D ˆ v cˆ = d = K a fukcje ~ s c ~ s c θ r r θϕ ( r) wyzaczamy za wzorów (.9) podstawiając w ich c s c s zamiast fukcji wˆ ( r) ˆ ψ ( r) fukcje ~ c s ~ c w r s ψ ( r) będące całkami szczegóymi rówań (.8). Przy wyprowadzaiu wzorów (.35) ze wzgędu a małe wartości r ε do okreśaia wartości zmodyfikowaej fukcji Bessea I (k r) wykorzystaiśmy jej rozwiięcia w szereg potęgowy + m r I ( r ) = (.36) + m m= m! ( + m)! biorąc pod uwagę tyko pierwszy wyraz tego szeregu r I ( r) =!. Po podstawieiu do wzoru (.35) rozwiięcia fukcji przemieszczeń w c s ( r) i ką- tów obrotów przekrojów θr () r θϕ () r okreśoych we wzorze (.3) ostateczie otrzymamy astępujące trzy rówaia ˆ s c * c s 3 * c s cd ˆ ε( ± ( θr ) ( T ( ε) + T ( ε) ) θϕ ( r) ) ε T ( ε)( θr ) = * cs 3 * cs c ˆ ( + ) T ( ε)( w ) + ( cˆ ε ( + ) + ε ) T ( ε)( w ) ˆ cs cs = cd ˆ εψ% ε c ˆ + w% ε = cs w% ( r) % ( cˆ ) 3 3 cs r r r= ε + ε + + ε ε θ ε cs ( r ( ) ϕ ) 3 ˆ ε * * cd ˆ ε θ T ε T ε θ r ε ε θ + ε + ε sc + ± + ( + ) cs cs ( ) ( cˆ ( )) ( w ) 3 * * T r T 3 * ε cs cˆ w c d % cs ˆ ˆ ( + ) + ε + T ε = ε + ψ ε cs w% ( r cs ) 3 ( ε cˆ ( ) ) w% ( ε) cˆ ε( ) εθ% ϕ cs ( r) r r= ε (.37)

217 6 Rozdział = cs ( r ( ) ϕ ) 3 ε * * cd ˆ ε θ T ε T ε θ r ˆ sc ( ) + ± + ( + ) cs cs ( ) ( ) cˆ ( ) w ε ε θ ε + + ε 4 * * T r T 3 cs ( ) ˆ cˆ T ε w cˆ d ( ) ( + ) cs ε ( ) cˆ ( ) w% ( ε ) 3 * cs + ε + + ε ε = ε + ψ% ( ε ) + + ( r) cs cs w% 3 % θ 4 r + ( ε ( + ) + cˆ ε( )) ε. (.37) r r r= ε r= ε cd. W szczegóym przypadku gdy a wewętrzą część płyty ie działa obciążeie mometowe m r = m ϕ całki szczegóe ~ w c s ( r) okreśoe są wzorem (9.79) całka ~ c s ψ ( r) a % cs cs θr () r % θ ϕ () r jak już wspomiao wcześiej wyzaczamy za c s c s wzorów (.9) podstawiając w ich zamiast fukcji wˆ ( r) ˆ ψ ( r) fukcje ~ c s ~ c w r s ψ ( r). Rówaia (.37) wraz z trzema rówaiami okreśającymi waruki brzegowe a brzegu r = i rówaia (.7) ((.8) da = ) da k = 3 4 tworzą ieskończoy układ rówań różiczkowych pozwaających a rozwiązaie aaizowaego probemu.4. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Przykład. Przedstawioą w iiejszym rozdziae metodę zastosujemy do rozwiązaia zagadieia drgań wymuszoych harmoiczie obciążeiem rówomierie rozłożoym w przypadku płyty pierścieiowej sztywo utwierdzoej a brzegu zewętrzym swobodej a brzegu wewętrzym. Aaizowao dwie płyty o geometrii przedstawioej a rysuku. i opisaej wzorem (3.68) różiące się wartościami parametrów b c. W płycie pierwszej przyjęto b = m c = 5 m w płycie drugiej b = m c = m. Pozostałe parametry układu przyjmują wartości: a = m r = 5 m ρ V = 4 kg/m 3 E = 8 N/m v = (G = 6667 N/m. Itesywość obciążeia rówomierie rozłożoego wyosi N/m a częstość

218 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a 7 wymuszeia harmoiczego ω = 5 rad/s. Otrzymae wykresy fukcji przemieszczeń oraz fukcji obrotu przekroju poprzeczego przedstawioo da beki pierwszej a rysuku. da beki drugiej a rysuku.3. Na rysukach tych w ceu porówaia umieszczoo rówież rozwiązaia płyty ciekiej. c b b c.... r a... r Rys.. Przekrój aaizowaej płyty a) b) Rys... Wykresy: a) fukcji przemieszczeń b) kąta obrotu przekroju poprzeczego; płyty średiej grubości i płyty ciekiej b = m c = 5 m

219 8 Rozdział a) b) Rys..3. Wykresy: a) fukcji przemieszczeń b) kąta obrotu przekroju poprzeczego; płyty średiej grubości i płyty ciekiej b = m c = m Rys..4. Wykresy: a) fukcji przemieszczeń b) kąta obrotu przekroju poprzeczego; płyty średiej grubości da różych częstości wymuszeia ω = 5 rad/s ω = rad/s ω = rad/s

220 Kołowa płyta średiej grubości według teorii Hecky ego Boe a 9 W przypadku płyty drugiej rozważao rówież wpływ częstości wymuszeia przyjmując za częstość wymuszeia harmoiczego ω = 5 rad/s rad/s rad/s. Otrzymae wyiki w postaci wykresów przedstawioo a rysuku.4 Aaizując otrzymae wyiki widzimy różice w rozwiązaiach płyty o średiej grubości i płyty ciekiej. Różice te są zae i zaeżą od stosuku wysokości płyty do jej promieia. Im te stosuek jest większy tym różice są większe (zagadieie statycze patrz p. Kączkowski [83] s. 99). Niezaczy wpływ częstości wymuszeia a fukcje przemieszczeń i kątów obrotu przekrojów poprzeczych wyika z tego że częstości te ie eżą w obszarach rezoasowych. Na podstawie przeprowadzoych ecz ie prezetowaych w iiejszym rozdziae doświadczeń umeryczych zauważoo że zbieżość i dokładość rozwiązań płyt pierścieiowych maeje wraz ze wzrostem promieia wewętrzego r. Z aaizy wyika że środkiem zaradczym może być zastosowaie zamiast przesuiętych wieomiaów Czebyszewa T * ( x) = T (x ) wieomiaów Czebyszewa okreśoych w przedziae [a b] tz. wieomiaów a + b T x gdzie a jest wewętrzym b a b a promieiem płyty a b jest jej promieiem zewętrzym. Zmiaa ta jedak pociąga za sobą koieczość zmiay współczyików występujących we wzorach (.4) (.) twierdzeia oraz zmiay postaci wzorów (.37) i (.38).

221 . PODSUMOWANIE W moografii a podstawie twierdzeia opisującego metodę rozwiązywaia rówań różiczkowych zwyczajych z zastosowaiem wieomiaów Czebyszewa oraz korzystając z właściwości tych wieomiaów opracowao agorytmy umożiwiająca dyamiczą aaizę dźwigarów o zmieych charakterystykach geometryczych i fizyczych. Otrzymae agorytmy umożiwiają rozwiązaie dyamiczych układów ciągłych w których zmiee parametry są opisae dowoymi fukcjami. Jedym z ieiczych ograiczeń dotyczących tych fukcji jest wymóg aby pewe (okreśoe w założeiach stosowaego twierdzeia) iiowe kombiacje tych fukcji i ich pochodych dawały się rozwiąć w zbieże szeregi Czebyszewa. Uzyskae agorytmy prowadzą do ieskończoego układu rówań różiczkowych zwyczajych a w przypadku zagadień stacjoarych do ieskończoego układu rówań agebraiczych. W pracy aaizowao układy prętowe oraz płyty kołowe i pierścieiowe. W przypadku układów prętowych do opisu wykorzystao dwa modee prętów: mode Euera oraz mode Timosheki atomiast probemy dotyczące płyt rozwiązywao stosując do opisu teorię płyt ciekich oraz teorię Hecky ego Boe a opisującą płyty średiej grubości. W rówaiach ruchu daego typu dźwigara starao się uwzgędić wszystkie ajważiejsze czyiki wpływające a zachowaie się dźwigara. Datego otrzymywae w pracy rozwiązaia mają charakter ogóy i umożiwiają rozwiązaie wieu zagadień szczegółowych. W przypadku układów prętowych rozwiązao astępujące zagadieia szczegółowe beek: zagadieie włase drgaia wymuszoe harmoiczie oraz drgaia wymuszoe aperiodyczie przyjmując róże sposoby podparcia beek. W zagadieiu drgań wymuszoych aperiodyczie aaizowao dwa typy obciążeń aperiodyczych: obciążeie w postaci impusu prostokątego oraz poruszające się po bece ze stałą prędkością obciążeie ruchome. Na podstawie omawiaych przykładów moża bez większych probemów uogóić otrzymae rozwiązaia w przypadku obciążeń o bardziej złożoym rozkładzie. W ceu sprawdzeia dokładości prezetowaej metody porówao rozwiązaia zagadieia własego z dokładymi rozwiązaiami aaityczymi oraz wyikami uzyskaymi iymi metodami takimi jak: MES oraz metody aproksymacyje w których rozwiązaia poszukuje się w postaci trygoometryczego szeregu Fouriera oraz kasyczego szeregu potęgowego. Przedmiotem rozważań była pryzmatycza beka Euera w której przyjęto róże sposoby podparcia.

222 Podsumowaie Uzyskae wyiki pokazały że propoowaa metoda w porówaiu z iymi rozważaymi metodami dała wyiki obarczoe ajmiejszymi błędami wzgędymi. Błędy te były co ajmiej o kika rzędów miejsze od błędów które dawały ie metody. Mając świadomość że wyiki uzyskae w kiku przykładach ie pozwaają a wyciągięcie wiosków ogóych typu: prezetowaa metoda w porówaiu z iymi metodami jest metodą ajdokładiejszą możemy a podstawie otrzymaych wyików a pewo stwierdzić że metoda ta bardzo dobrze przybiża rozwiązaia dokłade dając bardzo małe błędy wzgęde. Aaogicze porówaie wykoao da beek Timosheki. Uzyskae w tym przypadku wyiki pozwaają a wyciągięcie wiosków podobych jak w przypadku porówań wykoaych da beek Euera. Koejym ważym ze wzgędu a praktykę iżyierską rozwiązywaym zagadieiem był probem utraty stateczości. Wyprowadzoe rozwiązaie ogóe umożiwia uwzgędieie różych typów obciążeń: obciążeń potecjaych i iepotecjaych. Rozwiązae w tym przypadku przykłady potwierdziły zgodość otrzymaych wyików z rozwiązaiami uzyskaymi przez iych autorów. W większości rozwiązywaych w pracy zagadieiach przedmiotem aaizy były beki iepryzmatycze o osi prostoiiowej. Rozwiązao rówież zagadieie drgań beek o zmieym przekroju i osi krzywoiiowej. W tym przypadku rówaia opisujące probem są rówaiami sprzężoymi. Na podstawie wyprowadzoego rozwiązaia ogóego zagadieia własego pokazao że wyiki otrzymae da beki o osi krzywoiiowej różią się od wyików otrzymaych da jej wyprostowaego odpowiedika. Różice występowały w podłużych formach własych. Rozwiązując w pracy probem drgań beki o osi krzywoiiowej z uwzgędieiem wpływu sił osiowych a poprzecze przemieszczeia beki pokazao możiwość wykorzystaia prezetowaej metody do zagadień ieiiowych. Przedstawioa procedura iteracyja cechowała się szybką zbieżością do rozwiązaia dokładego. Pokazay przykład wskazuje że omawiaą metodę moża zastosować z powodzeiem do iych zagadień ieiiowych. Ze wzgędu a szczegóe zaczeie oddziaływaia podłoża a rzeczywiste kostrukcje iżyierskie we wszystkich rozwiązaiach ogóych uwzgędioo probem iterakcji układu z podłożem sprężystym. Rozważao uproszczoe modee podłoża sprężystego takie jak: mode Wikera modee dwuparametrowe Pasteraka Własowa oraz modee bardziej złożoe szczegóie przydate w aaizie probemów faowych modee typu iercyjej półprzestrzei sprężystej. Probem iterakcji beki iepryzmatyczej obciążoej harmoiczie zmieym obciążeiem z iercyją półpłaszczyzą sprężystą pokazuje możiwość zastosowaia omawiaej metody do rozwiązywaia probemów dyamiczych z uwzgędieiem skompikowaych pod wzgędem matematyczym modei. Koejych ważym z praktyki iżyierskiej rozwiązywaym probemem było zastosowaie prezetowaej metody do opisu iepryzmatyczych eemetów skończoych. Stosując metodę eemetów skończoych mamy dwa sposoby a zwiększeie dokładości rozwiązań. Sposób pierwszy poega a zagęszczaiu siatki podziału a eemety co prowadzi w przypadku złożoych układów do dużych rozmiarów baz

223 Rozdział aproksymujących. Sposób drugi poega a dokładiejszym opisie fukcji rozkładu przemieszczeń wewątrz eemetu tzw. fukcji kształtu. W przypadku aproksymacji wieomiaowej zwiększa się wtedy stopień wieomiaów przyjętych do opisu fukcji kształtu. Trzeba tutaj wspomieć że ie zawsze zagęszczaie siatki podziału prowadzi do zwiększeia dokładości wyików. Typowym przykładem jest tak zway efekt bokady ściaia (shear ockig) pojawiający się przypadku zastosowaia w eemecie Timosheki do aproksymacji przemieszczeń poprzeczych i kątów obrotu przekrojów poprzeczych fukcji iiowych. W tej sytuacji mimo zagęszczaia siatki podziału ie uzyskujemy zbieżości do rozwiązaia dokładego. W pracy przyjęto drugi sposób postępowaia poegający a dostateczie dokładym wyzaczeiu fukcji kształtu aaizowaego eemetu skończoego. Prezetoway przykład pokazał że przyjęcie podziału w którym jede pręt to jede eemet skończoy prowadzi do dostateczie dokładych wyików. Takie postępowaie pozwaa a zacze zmiejszeie bazy aproksymującej w razie zastosowaia MES z opisaymi w pracy iepryzmatyczymi eemetami skończoymi. W przypadku dźwigarów płytowych podobie jak w przypadku układów prętowych w wyjściowych rówaiach ruchu starao się uwzgędić wszystkie ajważiejsze czyiki mające wpływ a rozwiązaia aaizowaego probemu. W przyjętym opisie uwzgędioo obciążeie zewętrze o dowoym rozkładzie wpływ dowoie rozłożoych obciążeń tarczowych a poprzecze przemieszczeia płyty wpływ temperatury. Przyjęto co prawda założeie o osiowo-symetryczym rozkładzie parametrów geometryczych i fizyczych samej płyty ae przyjęcie tego założeia miało a ceu uproszczeie i tak już skompikowaych przekształceń oraz złożoych wzorów końcowych i ie wyikało z ograiczeń stosowaej metody. Jak już wspomiao aaizowao dwa modee płyt: płyty ciekie oraz płyty o średiej grubości. Za pomocą modeu płyty ciekiej podobie jak w przypadku beek rozwiązao zadaie testowe poegające a porówaiu otrzymaego rozwiązaia zagadieia własego ze zaymi rozwiązaiami aaityczymi oraz z wyikami uzyskaymi z zastosowaiem do rozwiązaia iych metod. Porówywaymi metodami były: MES metody aproksymacyje wykorzystujące do aproksymacji rozwiązaia kasycze szeregi Fouriera oraz szeregi potęgowe. Podobie jak w przypadku beek stosowaa metoda dawała zazwyczaj ajmiejsze błędy wzgęde w porówaiu z iymi metodami. W tym jedak przypadku różice ie były tak spektakuare jak w przypadku beek. Jedym z powodów było pojawiaie się w aaizowaym przykładzie dodatkowych błędów wyikających z przybiżoego ujęcia waruków brzegowych w środku płyty. Koieczość zastosowaia tego przybiżeia spowodowaa było brakiem możiwości bezpośrediego wykorzystaia waruków ograiczoości rozwiązań w środku płyty. Rozwiązae da płyty średiej grubości zagadieie drgań wymuszoych harmoiczie potwierdziło istote różice między rozwiązaiami uzyskaymi da modeu płyty ciekiej a wyikami da płyty średiej grubości. Różice są oczywiście tym większe im większy jest stosuek wysokości płyty do jej średicy.

224 Podsumowaie 3 W pracy pomiięto przykłady rozwiązań układów o skokowo zmieych parametrach. Moża je bowiem rozwiązywać tymi samymi metodami które zaprezetowao w rozprawie. W tym przypadku aeży jedak oczekiwać że uzyskaie porówywaie z układami o ciągłych parametrach małych błędów będzie wiązało się z koieczością zwiększeia rozmiarów baz aproksymacyjych (szeregi fukcji z ieciągłością typu skok są woiej zbieże). Prostszym sposobem a uzyskaie bardzo dokładych rozwiązań bez koieczości zwiększeia rozmiarów baz aproksymacyjych jest podział układu w pukcie skokowej zmiay parametrów a dwa oddzieie rozwiązywae podukłady i zastosowaie dodatkowych rówań uwzgędiających waruki ciągłości rozwiązań w miejscu podziału. Oprócz wymieioych zaet wyprowadzoych agorytmów tj. ich ogóości oraz bardzo dużej dokładości uzyskaych rozwiązań dodatkową ich zaetą jest półaaitycza postać rozwiązaia szczegóie przydata w razie koieczości wykoywaia daszych przekształceń otrzymaych rozwiązań. Występuje to m.i. w sytuacji rozwiązywaia złożoych zagadień z wykorzystaiem kiku metod. Przykładem może być rozwiązaie zagadieia beki spoczywającej a półpłaszczyźie sprężystej. Jedą z wad przedstawioej metody jest koieczość wykoaia złożoych przekształceń w przypadku wyprowadzaia rozwiązań ogóych. Raz jedak wyprowadzoe rówaia umożiwiają rozwiązaie każdego zadaia w którym uwzgędioo czyiki takie same jak w agorytmie ogóym. Wystarczy do układu rówań podstawić współczyiki rozwiięć parametrów aktuaie aaizowaego układu i układ te rozwiązać. Ią wadą może być duży rozmiar układów rówań otrzymaych da złożoych układów prętowych. W tym przypadku wygodiejsze wydaje się jest zastosowaie MES z eemetami iepryzmatyczymi opisaymi w iiejszej pracy. Podsumowując możemy stwierdzić że wyprowadzoe agorytmy pozwaają a rozwiązaie wieu probemów dyamiczych z którymi spotykamy się w praktyce iżyierskiej. Bezpośredio adają się oe zwłaszcza do rozwiązywaia układów w których iczba eemetów ie jest zbyt duża. Da układów składających się z dużej iczby eemetów agorytmy te możemy pośredio stosować do rozwiązaia metodą eemetów skończoych z użyciem eemetów iepryzmatyczych opisaych w rozprawie. Ze wzgędu a dużą dokładość uzyskiwaych rozwiązań agorytmy te mogą służyć rówież do testowaia prawidłowości i dokładości rozwiązań uzyskaych iymi metodami.

225 LITERATURA [] ABBAS B.A.H. THOMAS J. The secod frequecy spectrum of Timosheko beams Joura of Soud ad Vibratio (977) 5() s [] ABBAS B.A.H. Vibratios of Timosheko beams with easticay restraied eds Joura of Soud ad Vibratio (984) 97(4) s [3] ASHOUR A.S. A semi-aaytica soutio of the fexura vibratio of orthotropic pates of variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio () 4(3) s [4] AUCIELLO N.M. ERCOLANO A. A geera soutio for dyamic respose of axiay oaded ouiform Timosheko beams Iteratioa Joura of Soids ad Structures (4) 4 s [5] AUCIELLO N. M. Free vibratio of a restraied shear-deformabe tapered beam with a tip mass at its free ed Joura of Soud ad Vibratio () 37(3) s [6] AUCIELLO N. M. O the trasverse vibratios of o-uiform beams with axia oads ad easticay restraied eds Iteratioa Joura of Mechaica Scieces () 43 s [7] AVALOS D. LAURA P.A.A. BIANCHI A.M. Aaytica ad experimeta ivestigatio o vibratig circuar pates with stepped thickess over a cocetric circuar regio The Joura of the Acoustica Society of America (987) 8() s [8] AVRAMIDIS I.E. MORFIDIS K. Bedig of beams o three-parameter eastic foudatio Iteratioa Joura of Soids ad Structures (6) 43 s [9] BAMBILL D.V. ROSSI R.E. LAURA P.A.A. ROSSIT C.A. Vibratios of orthotropic rectaguar pates of o-uiform thickess ad two adjacet free edges Joura of Soud ad Vibratio (998) 5() s [] BANERJEE J.R. WILLIAMS F.W. Couped bedig-torsioa dyamic stiffess matrix for Timosheko beam eemets Computers ad Structures (99) 4(3) s [] BANERJEE M.M. O the vibratio of skew pates of variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio (979) 63(3) s [] BARAKAT R. BAUMANN E. Axisymmetric vibratios of a thi circuar pate havig paraboic thickess variatio The Joura of the Acoustica Society of America (968) 44() s [3] BATHE K.J. WILSON E.L. Numerica methods i fiite eemet aaysis. New Jersey Pretice- Ha Ic [4] BAYER I. GUVEN U. ALTAY G. A parametric study o vibratig camped eiptica pates with variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio () 54() s [5] BECK M. Die Kicast des eiseitig egespatee tagetia gedrückte Stabes Zeitschrift für Agewadte Mathematik ud Physik (95) 3 s [6] BERT C.W. MALIK M. Differetia quadrature method i computatioa mechaics: a review Appied Mechaics Review (996) 49() s. 8. [7] BHASHYAM G.R. PRATHAP G. The secod frequecy spectrum of Timosheko beams Joura of Soud ad Vibratio (98) 76(3) s [8] BRUCH J.C. Jr. MITCHELL T.P. Vibratios of a mass-oaded camped-free Timosheko beam Joura of Soud ad Vibratio (987) 4() s [9] BURR K.P. TRIANTAFYLOLLOU M.S. YUE D. K.P. Asymptotic goverig equatio for wave propagatio aog weaky o-uiform Euer-Beroui beams Joura of Soud ad Vibratio () 47(4) s [] CHEHIL D.S. JATEGAONKAR R. Determiatio of atura frequecies of a beam with varyig sectio properties Joura of Soud ad Vibratio (987) 5(3) s

226 Literatura 5 [] CHEN D. W. WU J.S. The exact soutios for the atura frequecies ad mode shapes of o-uiform beams with mutipe sprig mass systems Joura of Soud ad Vibratio () 55() s [] CHEN W.Q. LU C.F. BIAN Z.G. A mixed method for bedig ad free vibratio of beams restig o a Pasterak eastic foudatio Appied Mathematica Modeig (4) 8 s [3] CHEN W. STRIZ A.G. BERT C.W. A ew approach to the differetia quadrature method for fourthorder equatios Iteratioa Joura for Numerica Methods i Egieerig (997) 4 s [4] CHEUNG Y.K. AU F.T.K. ZHENG D.Y. CHENG Y.S Vibratio of muti-spa o-uiform bridges uder movig vehices ad trais by usig modified beam vibratio fuctios Joura of Soud ad Vibratio (999) 8(3) s [5] CHEUNG Y.K. ZHOU D. The free vibratios of tapered rectaguar pates usig a ew set of beam fuctios with the Rayeigh Ritz method Joura of Soud ad Vibratio (999) 3(5) s [6] CHEUNG Y.K. ZHOU D. Vibratio of tapered Midi pates i terms of static Timosheko beam fuctios Joura of Soud ad Vibratio (3) 6 s [7] COSKUN I. The respose of a fiite beam o a tesioess Pasterak foudatio subjected to a harmoic oad Europea Joura of Mechaics A/Soids (3) s [8] DE ROSA M.A. MAURIZI M.J. Dampig i exact aaysis of tapered beams Joura of Soud ad Vibratio (5) 86 s [9] DEMIDOWICZ B.P. Matematycza teoria stabiości Wydawictwo Naukowo-Techicze Warszawa 97. [3] DUAN W.H. QUEK S.T. WANG Q. Geeraized hypergeometric fuctio soutios for trasverse vibratio of a cass of o-uiform auar pates Joura of Soud ad Vibratio (5) 87 s [3] DUGUSH Y.A. EISENBERGER M. Vibratios of o-uiform cotiuous beams uder movig oads Joura of Soud ad Vibratio () 54(5) s [3] EFRAIM E. EISENBERGER M. Exact vibratio aaysis of variabe thickess thick auar isotropic ad FGM pates Joura of Soud ad Vibratio (7) 99 s [33] EISENBERGER M. Exact static ad dyamic stiffess matrices for geera variabe cross sectio members America Istitute of Aeroautics ad Astroautics Joura (99) 8 s [34] EISENBERGER M. Expicit stiffess matrices for o-prismatic members Computers ad Structures (985) 4 s [35] EISENBERGER M. REICH Y. Static vibratio ad stabiity aaysis of o-uiform beams Computers ad Structures (989) 3 s [36] ELBARBARY ELSAYED M.E. EL-KADY M. A Chebyshev expasio method for sovig oiear optima cotro probems Appied Mathematics ad Computatio () 9 s [37] EL-GENDI S.E. Chebyshev soutio of differetia itegra ad itegro-differetia equatios The Computer Joura (969) () s [38] ELISHAKOFF I. Axisymmetric vibratio of ihomogeeous camped circuar pates: a uusua cosed-form soutio Joura of Soud ad Vibratio () 33(4) s [39] ELISHAKOFF I. Axisymmetric vibratio of ihomogeeous free circuar pates: a uusua exact cosed-form soutio Joura of Soud ad Vibratio () 34() s [4] ELISHAKOFF I. BECQUET R. Cosed-form soutios for atura frequecy for ihomogeeous beams with oe sidig support ad the their pied Joura of Soud ad Vibratio () 38(3) s [4] ELISHAKOFF I. BECQUET R. Cosed-form soutios for atura frequecy for ihomogeeous beams with oe sidig support ad the other camped Joura of Soud ad Vibratio () 38(3) s [4] ELISHAKOFF I. CANDAN S. Apparety first cosed-form soutio for vibratig ihomogeeous beam Iteratioa Joura of Soids ad Structures () 38 s [43] ELISHAKOFF I. JOHNSON V. Apparety the first cosed-form soutio of vibratig ihomogeeous beam with a tip mass Joura of Soud ad Vibratio (5) 86 s

227 6 Literatura [44] ELISHAKOFF I. MEYER D. Iverse vibratio probem for ihomogeeous circuar pate with trasatioa sprig Joura of Soud ad Vibratio (5) 85 s. 9. [45] ELISHAKOFF I. PELLEGRNI F. Exact soutios for buckig of some divergece-type ocoservative systems i terms of Besse ad Lomme fuctios Computer Methods i Appied Mechaics ad Egieerig (988) 66 s [46] ELISHAKOFF I. Some uexpected resuts i vibratio of o-homogeeous beam o eastic foudatio Chaos Soitos ad Fractas () s [47] ELISHAKOFF I. STORCH J.A. A uusua exact cosed-form soutio for axisymmetric vibratio of ihomogeeous simpy supported circuar pates Joura of Soud ad Vibratio (5) 84 s [48] ESMAILZADEH E. OHADI A.R. Vibratio ad stabiity aaysis of o-uiform Timosheko beams uder axia ad distributed tagetia oads Joura of Soud ad Vibratio () 36(3) s [49] EWING W.M. JARDETZKY W.S. PRESS F. Eastic waves i ayered media New York Toroto Lodo McGraw-Hi Book Compay 957. [5] FICCADENTI DE IGLESIAS G.M. LAURA P.A.A. Numerica experimets o vibratig circuar pates of o-uiform thickess ad variabe rotatioa costrait aog the edge Joura of Soud ad Vibratio (986) () s [5] FILIPKOWSKI J. HRYNIEWICZ Z. SIENKIEWICZ Z. Probemy drgań fudametów bokowych a podłożu grutowym i zagadieia faowe Wydawictwo Wyższej Szkoły Iżyierskiej w Koszaiie Moografie Koszai 987. [5] FRYBA L. Vibratio of Soids ad Structures uder Movig Loads Academia Prague 97. [53] GALLEGO JUAREZ J.A. Axisymmetric vibratios of circuar pates with stepped thickess Joura of Soud ad Vibratio (973) 3(3) s [54] GAWĘCKI A. Mechaika materiałów i kostrukcji prętowych T. I i II Wydawictwo Poitechiki Pozańskiej 998. [55] GHANI RAZAQPUR SHAH K.R. Exact aaysis of beams o two-parameters eastic foudatios Iteratioa Joura of Soids ad Structures (99) 7 s [56] GLABISZ W. MATHEMATICA w zagadieiach mechaiki kostrukcji Oficya Wydawicza Poitechiki Wrocławskiej Wrocław 3. [57] GLABISZ W. Siły iekoserwatywe w mechaice ustrojów prętowych Oficya Wydawicza Poitechiki Wrocławskiej Wrocław 998. [58] GLABISZ W. Stabiity of o-prismatic rods subjected to o-coservative oads Computers ad Structures (993) 46 s [59] GONGA RAO H.V.S. SPYRAKOS C.C. Cosed form series soutios of boudary vaue probems with variabe properties Computers ad Structures (986) 3 s. 5. [6] GORMAN D.G. Natura frequecies of trasverse vibratio of poar orthotropic variabe thickess auar pates Joura of Soud ad Vibratio (983) 86() s [6] ГРАДШТЕЙН И.С. РЫЖИК И.М. Таблицы интегралов сумм рядов и проиэведенеий Иэдательство Наука Москва 97. [6] GRAFF K.F. Wave Motio i Eastic Soids Dover Pubicatios Ic. New York 99. [63] GUO S.J. KEANE A.J. MOSHREFI-TORBATI M. Vibratio aaysis of stepped thickess pates Joura of Soud ad Vibratio (997) 4(4) s [64] GUPTA K. Vibratio of tapered beams Joura of Egieerig Mechaics ASCE (985) s [65] GUPTA U.S. ANSARI A.H. Free vibratio of poar orthotropic circuar pates of variabe thickess with easticay restraied edge Joura of Soud ad Vibratio (998) 3(3) s [66] GUPTA U.S. LAL R. Buckig ad vibratios of circuar pates of variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio (978) 58(4) s [67] GUPTA U.S. LAL R. JAIN K. Buckig ad vibratios of poar orthotropic circuar pates of ieary varyig thickess restig o a eastic foudatio Joura of Soud ad Vibratio (99) 47(3) s

228 Literatura 7 [68] GUPTA U.S. LAL R. JAIN K. Effect of eastic foudatio o axisymmetric vibratios of poar orthotropic circuar pates of variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio (99) 39(3) s [69] GUTIERREZ R.H. LAURA P.A.A. GROSSI R.O. Vibratios of rectaguar pates of biieary varyig thickess ad with geera boudary coditios Joura of Soud ad Vibratio (98) 75(3) s [7] GUTIERREZ R.H. LAURA P.A.A. ROSSI R.E. Fudameta frequecy of vibratio of a Timosheko beam of o-uiform thickess Joura of Soud ad Vibratio (99) 45() s [7] GUTOWSKI R. Rówaia różiczkowe zwyczaje Wydawictwo Naukowo-Techicze Warszawa 97. [7] HEIDEBRECHT A.C. Vibratio of o-uiform simpy-supported beam Joura of the Egieerig Mechaics Divisio ASCE (967) 93 s. 5. [73] HUANG M. MA X.Q. SAKIYAMA T. MATUDA H. MORITA C. Free vibratio aaysis of orthotropic rectaguar pates with variabe thickess ad geera boudary coditios Joura of Soud ad Vibratio (5) 88 s [74] HUANG T.C. The effect of rotatory iertia ad of shear deformatio o the frequecy ad orma mode equatios of uiform beams with simpe ed coditios Trasactios of the America Society of Mechaica Egieers Joura of Appied Mechaics (96) 8 s [75] IGUCHI M. LUCO J.E. Dyamic respose of fexibe rectaguar foudatios o a eastic hafspace Earthquake Egieerig ad Structura Dyamic (98) 9 s [76] IRIE T. YAMADA G. KITAYAMA M. Vibratio ad stabiity of a circuar pate of uidirectioay varyig thickess Joura of Soud ad Vibratio (983) 9() s [77] IRIE T. YAMADA G. TAKAHASHI I. Vibratio ad stabiity of o-uiform Timosheko beam subjected to a foower force Joura of Soud ad Vibratio (98) 7(4) s [78] JADDU H. Direct soutio of oiear optima cotro probems usig quasiiearizatio ad Chebyshev poyomia Joura of the Fraki Istitute () 339 s [79] JEMIELITA G. Goverig equatios ad boudary coditios of a geeraized mode of eastic foudatio Joura of theoretica ad Appied Mechaics (994) 3(4) s [8] JEMIELITA G. SZCZEŚNIAK W. Sposoby modeowaia podłoża Prace Naukowe Poitechiki Warszawskiej Budowictwo (993) z. s [8] JU F. LEE H. P. LEE K.H. Free vibratio of pates with stepped variatios i thickess o ohomogeeous eastic foudatios Joura of Soud ad Vibratio (995) 83(3) s [8] KACNER A. Pręty i płyty o zmieej sztywości Bibioteka Mechaiki Stosowaej IPPT PAN PWN Warszawa 969. [83] KĄCZKOWSKI Z. Płyty obiczeia statycze Arkady Warszawa 98. [84] KĄCZKOWSKI Z. Static of o-homogeeous rectaguar pates ad discs Bueti de Academie Pooaise des Scieces Serie des scieces techiques (959) VII 3 s [85] KANG JAE-HOON LEISSA A. W. Three-dimesioa vibratio aaysis of thick tapered rods ad beams with circuar cross-sectio Iteratioa Joura of Mechaica Scieces (4) 46 s [86] KARAGEORGHIS A. A ote o the Chebyshev coefficiets of the momets of the geera order derivative of a ifiitey differetiabe fuctio Joura of Computatioa ad Appied Mathematics (988) s [87] KARAMI G. MALEKZADEH P. A efficiet differetia quadrature methodoogy for free vibratio aaysis of arbitrary straight-sided quadriatera thi pates Joura of Soud ad Vibratio (3) 63 s [88] KARAMI G. MALEKZADEH P. A ew differetia quadrature methodoogy for beam aaysis ad the associated differetia quadrature eemet method Computer Methods i Appied Mechaics ad Egieerig () 9 s

229 8 Literatura [89] KARAMI G. MALEKZADEH P. SHAHPARI S.A. A DQEM for vibratio of shear deformabe ouiform beams with geera boudary coditios Egieerig Structures (3) 5 s [9] KARAMI G. MALEKZADEH P. Static ad stabiity aayses of arbitrary straight-sided quadriatera thi pates by DQM Iteratioa Joura of Soids ad Structures () 39 s [9] KHALIFA AHMED K. ELBARBARY ELSAYED M.E. ABD ELRAZEK MOHAMED A. Chebyshev expasio method for sovig secod ad fourth-order eiptic equatios Appied Mathematics ad Computatio (3) 35 s [9] KLASZTORNY M. Fiite beam eemets of Euer ad Timosheko type Computer Methods i Civi Egieerig (99) s [93] KLASZTORNY M. LANGER J. MIRONOWICZ W. Aaiza dyamicza fudametów bokowych pod maszyy ieudarowe Prace Naukowe Istytutu Iżyierii Lądowej 3 Moografie 6 Wyd. PWr. Wrocław 978. [94] KLEIBER M. red. Komputerowe metody mechaiki ciał stałych Mechaika Techicza T. XI PWN Warszawa 995. Praca pod redakcją M. Keibera. Autorzy: A. Borkowski T. Burczyński L. Demkowicz K. Dems J. Grabacki W. Gutkowski Z. Kączkowski M. Keiber J. Kruszewski Z. Mróz J. Orkisz Z. Waszczyszy. [95] KOUNADIS A.N. KATSIKADELIS J.T. Shear ad rotatory iertia effect o Beck s coum Joura of Soud ad Vibratio (976) 49() s [96] KOUNADIS A.N. O the derivatio of equatios of motio for a vibratig Timosheko coum Joura of Soud ad Vibratio (98) 73() s [97] КОВАЛЕНКО А.Д. Избранные труды Иэдательство «Наукова Думка» Киев 976. [98] КОВАЛЕНКО А.Д. Круглые пластины переменной толщины Государственное Иэдательство Фиэико-Математической Литературы Москва 959. [99] КОВАЛЕНКО А.Д. Пластины и оболочки в роторах турбомашин Иэдательство Академии Наук Украинской ССР Киев 955. [] KRUSZEWSKI J. SAWIAK S. WITTBRODT E. Metoda sztywych eemetów skończoych w dyamice kostrukcji WNT Warszawa 999. [] KRUSZEWSKI J. WITTBRODT E. Drgaia układów mechaiczych w ujęciu komputerowym T. I WNT Warszawa 99. [] KRUSZEWSKI J. WITTBRODT E. WALCZYK Z. Drgaia układów mechaiczych w ujęciu komputerowym T. II WNT Warszawa 99. [3] KRYNICKI E. Drgaia ram złożoych z prętów o iiowo zmieej wysokości przekroju poprzeczego Archiwum Iżyierii Lądowej (966) T. Z.. [4] KRYNICKI E. MAZURKIEWICZ Z. Ramy z prętów o zmieych sztywościach. PWN Warszawa 966. [5] KUTTLER J.R. SIGILLITO V.G. Vibratioa frequecies of camped pates of variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio (983) 86() s [6] LAL ROSHAN SHARMA SHUCHITA Axisymmetric vibratios of o-homogeeous poar orthotropic auar pates of variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio (4) 7 s [7] LANGER J. BRYJA D. Timosheko beam eemet i FEM aaysis of bar system Proceedigs of th Poish Coferece o Computer Methods i Mechaics Kiece -Cedzya (993) s [8] LANGER J. Dyamika budowi Wydawictwo Poitechiki Wrocławskiej Wrocław 98. [9] LANGER J. Zastosowaie wieomiaów Legedre a do obiczaia ortotropowej płyty mostowej Archiwum Iżyierii Lądowej (966) T. Z. s [] LAURA P.A.A. GUTIEDRREZ R.H. ROSSI R.E. Vibratios of circuar auar pates of cyidrica aisotropy ad o-uiform thickess Joura of Soud ad Vibratio () 3() s [] LAURA P.A.A. GUTIERREZ R.H. CARNICER R. SANZI H.C. Free vibratios of a soid circuar pate of ieary varyig thickess ad attached to a Wiker foudatio Joura of Soud ad Vibratio (99) 44() s

230 Literatura 9 [] LAURA P.A.A. MAURIZI M.J. ROSSI R.E. A survey of studies deaig with Timosheko beams The Shock ad Vibratio Digest (99) () s. 3. [3] LAURA P.A.A. ROSSI R.E. VEGA D.A. VERA S.A. SANCHEZ M.D. Vibratios of orthotropic circuar auar pates of o-uiform thickess ad a free ier edge Joura of Soud ad Vibratio (998) 8() s [4] LEBIEDIEW N.N. Fukcje specjae i ich zastosowaia PWN Warszawa 957. [5] LEE S.Y. YANG C.C No-coservative istabiity of a Timosheko beam restig o Wiker eastic foudatio Joura of Soud ad Vibratio (993) 6() s [6] LEIPHOLZ H. H.E. MADAN O.P. O the soutio of the stabiity probem of eastic rods subjected to uiformy distributed tagetia foower forces Igeieur Archive (975) 44 s [7] LEISSA A.W. Pate vibratio research : cassica theory Shock ad Vibratio Digest (98) 3(9) s.. [8] LEISSA A.W. Pate vibratio research : compicatig effects Shock ad Vibratio Digest (98) 3() s [9] LEISSA A.W. Recet studies i pate vibratios: part I cassica theory The Shock ad Vibratio Digest (987) 9() s. 8. [] LEISSA A.W. Recet studies i pate vibratios: part II compicatig effect The Shock ad Vibratio Digest (987) 9(3) s. 8. [] LEUNG A.Y.T. ZHOU W.E. Dyamic stiffess aaysis of axiay oaded o-uiform Timosheko coums Computers ad Structures (995) 56(4) s [] LEVINSON M. COOKE D.W. O the two frequecy spectra of Timosheko beams Joura of Soud ad Vibratio (98) 84(3) s [3] LI Q.S. Free vibratio of easticay restraied fexura-shear pates with varyig cross-sectio Joura of Soud ad Vibratio () 35() s [4] LIN S.M. The cosed-form soutio for the forced vibratio of o-uiform pates with distributed time-depedet boudary Coditios Joura of Soud ad Vibratio () 3(3) s [5] LIN Y.J. Dyamic Respose of Circuar Pates Restig o Viscoeastic Haf Space Joura of Appied Mechaics Trasactios of the ASME (978) 45 s [6] LIU F.L. LIEW K.M. Free vibratio aaysis of Midi sector pates: umerica soutios by differetia quadrature method Computer Methods i Appied Mechaics ad Egieerig (999) 77 s [7] LUESCHEN G.G.G. BERGMAN L.A. MCFARLAND D.M. Gree s fuctios for uiform Timosheko beams Joura of Soud ad Vibratio (996) 94() s. 93. [8] MALEKZADEH P. KARAMI G. Vibratio of o-uiform thick pates o eastic foudatio by differetia quadrature method Egieerig Structures (4) 6 s [9] MARTINEZ-CASTRO A.E. MUSEROS P. CASTILLO-LINARES A. Semi-aaytic soutio i the time domai for o-uiform muti-spa Beroui Euer beams traversed by movig oads Joura of Soud ad Vibratio (6) 94 s [3] MASSEY C. VAN DER MEEN A.T. Errata o stabiity of o-prismatic catiever coums uder tagetia oadigs Joura of Appied Mechaics (97) 38 s [3] MATEJA O. Drgaia swobode dwóch sprężyście sprzężoych prętów o zmieych przekrojach Archiwum Iżyierii Lądowej (97) T. 6 Z. 3. [3] MATEJA O. Drgaia swobode pasma płytowego o zmieej grubości Rozprawy Iżyierskie (968) 6(4). [33] MATEJA O. Probemy statyki i dyamiki płyt pierścieiowych oraz powłok obrotowych Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Iżyierskiej w Opou Z. 4 Opoe 97. [34] MAZURKIEWICZ Z. The probem of bedig ad free vibratio of a simpy supported isotropic o-homogeeous rectaguar pate Archiwum Mechaiki Stosowaej (96) (4) s [35] MAZUR-ŚNIADY K. ŚNIADY P. Desig Sesitivity of the Beam with Periodicay Variabe Geometry uder Harmoic Excitatio Agewadte Mathematik ud Mechaik Vo. 8 sup-

231 3 Literatura pemet s. S395 S396 Komuikat z Aua Meetig Geseschaft für Agewadte Mathematik ud Mechaik GAMM 99. Metz Frace Apri [36] MAZUR-ŚNIADY K. ŚNIADY P. Dyamic respose of a micro-periodic beam uder movig oad-determiistic ad stochastic approach Joura of theoretica ad Appied Mechaics () 39() s [37] MAZUR-ŚNIADY K. ŚNIADY P. Vibratios of the beam with variabe cross-sectio caused by movig stochastic oad Proceedigs Appied Mathematic ad. Mechaics () s [38] MIHIR CHANDRA MANNA Free vibratio aaysis of isotropic rectaguar pates usig a highorder triaguar fiite eemet with shear Joura of Soud ad Vibratio (5) 8 s [39] NOWACKI W. Dyamika Budowi Arkady Warszawa 97. [4] NOWACKI W. Dźwigary powierzchiowe PWN Warszawa 98. [4] O REILLY O. M. TURCOTTE J. S. Aother mode of vibratio i Timosheko beam Joura of Soud ad Vibratio (996) 98(4) s [4] OSIŃSKI Z. Teoria Drgań PWN Warszawa 978. [43] PARASKEVOPOULOS P. N. Chebyshev Series Approach to System Idetificatio Aaysis ad Optima Cotro Joura of the Fraki Istitute (983) 36() s [44] PASZKOWSKI S. Zastosowaia umerycze wieomiaów Czebyszewa PWN Warszawa 975. [45] POSIADAŁA B. Free vibratios of uiform Timosheko beams with attachmets Joura of Soud ad Vibratio (997) 4() s [46] RAJ ANIL SUJITH R.I. Cosed-form soutios for the free ogitudia vibratio of ihomogeeous rods Joura of Soud ad Vibratio (5) 83 s [47] RAJAPAKSE R.K.D. Dyamic Respose of Eastic Pates o Viscoeastic Haf Space Joura of Egieerig Mechaics (989) 5(9) s [48] RAZAQPUR GHANI SHAH K.R. Exact aaysis of beams o two-parameters eastic foudatios Iteratioa Joura of Soids ad Structure (99) 7 s [49] ROY P.K. GANESAN N. Studies o the dyamic behaviour of a square pate with varyig thickess Joura of Soud ad Vibratio (995) 8(3) s [5] RUTA P. Appicatio of Chebyshev series to soutio of o-prismatic beam vibratio probems Joura of Soud ad Vibratio (999) 7() s [5] RUTA P. Dyamic stabiity probem of a o-prismatic rod Joura of Soud ad Vibratio () 5(3) s [5] RUTA P. The appicatio of Chebyshev poyomias to the soutio of the oprismatic Timosheko beam vibratio probem Joura of Soud ad Vibratio (6) 96 s [53] RUTA P. The vibratio of a o-prismatic beam o a iertia eastic haf-pae Joura of Soud ad Vibratio (4) 75 s [54] SAITO H. OTOMI K. Vibratio ad stabiity of easticay supported beams carryig a attached mass uder axia ad tagetia oads Joura of Soud ad Vibratio (98) 6() s [55] SAKIYAMA T. HUANG M. Free-vibratio aaysis of right triaguar Pates with variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio () 34(5) s [56] SAKIYAMA T. HUANG M. Free vibratio aaysis of rectaguar pates with variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio (998) 6(3) s [57] SANKARAN G.V. VENKATESWARA RAO G. Stabiity of tapered catiever coums subjected to foower forces Computers ad Structures (976) 6 s. 7. [58] SATO K. O the goverig equatios for vibratio ad stabiity of a Timosheko beam: Hamito s pricipe Joura of Soud ad Vibratio (98) 45() s [59] SAVIDIS S.A. RICHTER T. Dyamic respose o eastic pates o the surface of the haf-space Iteratioa Joura for Numerica ad Aaytica Methods i Geomechaics (979) 3 s [6] СЕЙМОВ В.М. Применение метода ортогональных многочленов к линамическим контактным эадачам Прикладная Механика (97) 8 s

232 Literatura 3 [6] СЕЙМОВ В.М. ОСТРОВЕРХ Б.Н. ЕРМОЛЕНКО А.И Динамика и сейсмостойкость гидротехническх сооружений Киев Наукова Думка 983. [6] SEKHAR CHANDRA DUTTA ROY RANA Review Artice: A critica review o ideaizatio ad modeig for iteractio amog soi foudatio structure system Computers ad Structures () 8 s [63] SELMANE A. LAKIS A.A. Natura frequecies of trasverse vibratios of o-uiform circuar ad auar pates Joura of Soud ad Vibratio (999) () s [64] SELVADURAI A.P.S. Eastic Aaysis of Soi-Foudatio Iteractio Esevier Scietific Pubishig Compay Amsterdam Oxford New York 979. [65] SHEN J. Efficiet Spectra-Gaerki method II. Direct Sovers of secod- ad fourth- order equatios usig Chebyshev poyomias SIAM Joura o Scietific Computig (995) 6() s [66] SHING HUEI HO CHA O KUANG CHEN Free trasverse vibratio of a axiay oaded ouiform spiig twisted Timosheko beam usig differetia trasform Iteratioa Joura of Mechaica Scieces (6) 48 s [67] SHUFRIN I. EISENBERGER M. Vibratio of shear deformabe pates with variabe thickess first-order ad higher-order aayses Joura of Soud ad Vibratio (6) 9 s [68] SIENKIEWICZ Z. Drgaia sztywej bryły a iiowo odkształcaym podłożu Wydawictwo Wyższej Szkoły Iżyierskiej w Koszaiie Moografie 55 Koszai 995. [69] SINGH B. SAXENA V. Axisymmetric vibratio of a circuar pate with doube iear variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio (995) 79(5) s [7] SINGH B. SAXENA V. Trasverse vibratio of a quarter of a circuar pate with variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio (995) 83() s [7] ŚNIADY P. Drgaia dźwigarów wywołae ruchomym obciążeiem Prace Naukowe Istytutu Iżyierii Lądowej Poitechiki Wrocławskiej Moografie 5 Wyd. PWr. Wrocław 976. [7] STEPHEN N.G. The secod frequecy spectrum of Timosheko beams Joura of Soud ad Vibratio (98) 8(4) s [73] STORCH J. A. ELISHAKOFF I. Apparety first cosed-form soutios of ihomogeeous circuar pates i years after Chadi Joura of Soud ad Vibratio (4) 76 s [74] SZCZEŚNIAK W. Drgaia pasma płytowego o zmieej grubości Zeszyty Naukowe Poitechiki Rzeszowskiej Mechaika Z. 5 Probemy dyamiki kostrukcji X Jubieuszowe Sympozjum Dyamiki Kostrukcji Rzeszów 999 s. 3. [75] SZCZEŚNIAK W. Iercyje obciążeie ruchome a bekach i płytach. Przegąd podstawowych pozycji iteratury Prace Naukowe Poitechiki Warszawskiej Budowictwo (99) Z. s [76] SZCZEŚNIAK W. O pewej częstości krytyczej w zagadieiu własym beki Timosheki Koferecja: Komputerowe Systemy Wspomagaia Nauki Przemysłu i Trasportu TRANSCOMP Zakopae s [77] SZCZEŚNIAK W. Wybrae zagadieia koejowe wzajeme oddziaływaie w układzie pojazd - tor koejowy podtorze podłoże grutowe Prace Naukowe Budowictwo 995 Z. 9 Oficya Wydawicza Poitechiki Warszawskiej. [78] SZCZEŚNIAK W. Wybrae zagadieia z dyamiki płyt Oficya Wydawicza Poitechiki Warszawskiej Warszawa. [79] TAHER H. ROKNI DAMAVANDI OMIDI M. ZADPOOR A.A. NIKOOYAN A.A. Free vibratio of circuar ad auar pates with variabe thickess ad differet combiatios of boudary coditios Joura of Soud ad Vibratio (6) 96 s [8] TIMOSHENKO S. P. GERE J. M. Teoria stateczości sprężystej ARKADY Warszawa 963. [8] TOŁSTOW G. Szeregi Fouriera PWN Warszawa 954. [8] TOMSKI L. PRZYBYLSKI J. GOŁĘBIOWSKA-ROZANOW M. SZMIDLA J. Vibratios ad stabiity of eastic coums subjected to a geeraized oad Archive of Appied Mechaics (996) 67 s. 5 6.

233 3 Literatura [83] TOMSKI L. PRZYBYLSKI J. GOŁĘBIOWSKA-ROZANOW M. SZMIDLA J. Vibratio ad stabiity of a catiever coum subject to a foower force passig through a fixed poit Joura of Soud ad Vibratio (998) 4() s [84] TOMSKI L. PRZYBYLSKI J. GOŁĘBIOWSKA-ROZANOW M. SZMIDLA J. Vibratios ad stabiity of coums subjected to a certai type of geeraised oad Joura of Theoretica ad Appied Mechaics (999) 37() s [85] TOMSKI L. PRZYBYLSKI J. Static Istabiity of a Easticay Restraied Catiever Uder a Partia Foower Force America Istitute of Aeroautics ad Astroautics Joura (985) 3() s [86] TOMSKI L. SZMIDLA J. Loca ad goba istabiity ad vibratio of overbraced Euer s coum Joura of Theoretica ad Appied Mechaics (3) 4() s [87] TOMSKI L. SZMIDLA J. Vibratio ad stabiity of a coum subjected to the geeraised oad by a force directed towards the poe Joura of Theoretica ad Appied Mechaics (4) 4() s [88] TONG X. TABARROK B. YEH K.Y. Vibratio aaysis of Timosheko beams with ohomogeeity ad varyig cross-sectio Joura of Soud ad Vibratio (995) 86(5) s [89] VAN DOOREN R. VLASSENBROECK J. Chebyshev Series Soutios of the Cotroed Duffig Osciator Joura of Computatioa Physics (98) 47 s [9] WANG J. Geeraized power series soutios of the vibratio of cassica circuar pates with variabe thickess Joura of Soud ad Vibratio (997) (4) s [9] WANG X. BERT C.W. STRIZ A. G. Differetia quadrature aaysis of defectio buckig ad free vibratio of beam ad rectaguar pates Computers ad Structure (993) 48(3) s [9] WASZCZYSZYN Z. red. Współczese metody aaizy stateczości kostrukcji Ossoieum Wrocław 98. [93] ВЛАСОВ В.Э. ЛЕОНТЕВ Н.Н. Балки плиты и оболочки на упругом основании Фиэматгиэ Москва 96. [94] WOŹNIAK CZ. A Mode for Aaysis of Micro-Heterogeeous Soids Toerace Averagig Versus Homogeizatio Mechaik Berichte (999) IAM. [95] WOŹNIAK CZ. Mechaika sprężystych płyt i powłok Mechaika Techicza T. VIII PWN Warszawa. Praca pod redakcją Cz. Woźiaka. Autorzy: S. Borkowski G. Jemieita B. Michaak R. Nagórski W. Pietraszkiewicz M. Rudicki M. Woźiak i Cz. Woźiak. [96] WRANA B. Metoda krępych eemetów spektraych i jej zastosowaie do aaizy dyamiczej fudametów pod turbozespoły Wydawictwo Poitechiki Krakowskiej seria Iżyieria Lądowa Moografie 53 Kraków 999. [97] XIANG Y. Exact buckig ad vibratio soutios for stepped rectaguar pates Joura of Soud ad Vibratio () 5(3) s [98] XIANG Y. ZHANG L. Free vibratio aaysis of stepped circuar Midi pates Joura of Soud ad Vibratio (5) 8 s [99] YANG J.S. The vibratio of a circuar pate with varyig thickess Joura of Soud ad Vibratio (993) 65() s [] YAVARI S. SARKANI S. REDDY J.N. O o-uiform Euer-Beroui ad Timosheko beams with jump discotiuities Iteratioa Joura of Soids ad Structures () 38 s [] ZHENG D.Y. CHEUNG Y.K. AU F.T.K. CHENG Y.S. Vibratio of muti-spa o-uiform beams uder movig oads by usig modified beam vibratio fuctios Joura of Soud ad Vibratio (998) (3) s [] ZHOU D. Vibratios of poit-supported rectaguar pates with variabe thickess usig a set of static tapered beam fuctios Iteratioa Joura of Mechaica Scieces () 44 s

234 APPLICATION OF CZEBYSHEV POLYNOMIALS IN THE DYNAMICS OF GIRDERS WITH VARIABLE GEOMETRIC AND MECHANICAL PARAMETERS The paper presets a method ad agorithms (based o the method) for the dyamic aaysis of girders (beams ad pates) with variabe geometric ad physica parameters. The key compoet of the agorithms is a theorem describig the way i which iear differetia equatios with variabe coefficiets are approximatey soved usig Czebyshev poyomias. The appicatio of the theorem eads to a ifiite system of ordiary differetia equatios ad i the case of statioary probems (eigeprobems harmoicay excited vibratio probems etc.) to a ifiite system of agebraic equatios. The coefficiets of the equatios are described by cosed aaytica formuas. The soutios obtaied as Czebyshev series have a haf-aaytic form which is coveiet for further trasformatios. The proposed method makes it possibe to sove probems i which the geometric ad materia parameters of aaysed systems are described by arbitrary fuctios. The oy coditio which the fuctio must meet is the possibiity of expadig certai (defied by the theorem s assumptios) iear combiatios of the fuctios ad their derivatives ito coverget Czebyshev series. Bar systems ad circuar ad auar pates are the subject of the aaysis. Most of the factors havig a bearig o the soutio of the aaysed structures are take ito accout i the equatios describig the cosidered probems. Thaks to the geera descriptio geera soutios coud be obtaied. The Euer mode ad the Timosheko mode were adopted for descriptio i the case of the bar systems. Usig the obtaied geera soutios specific probems such as: the free vibratio probem ad the harmoicay ad periodicay excited vibratio probems (icudig the probem of vibratios excited by a movig oad ad the stabiity oss probem) were soved. I a the geera soutios the iteractio betwee the system ad the eastic foudatio was take ito accout. The Wiker mode a two-parameter (Pasterak Wasov Fioieko-Borodicz) foudatio ad a iert foudatio of eastic haf-space type were adopted as the foudatio modes used to sove the harmoicay excited vibratio probem for the fiite Euer beam. I the case of circuar ad auar pates as with the bar systems geera soutios were derived. A arbitrary trasverse oad distributio a arbitrary static shear oad distributio the effect of the disk oad o the trasverse dispacemet of the pate ad the temperature effect were take ito accout i the soutio. Thi pates ad medium-thick pates described accordig to the Hecky- Boe theory were aaysed. Specific soutios were imited to eigeprobems ad the harmoicay excited vibratio probem.

235 34 I order to verify the effectiveess ad accuracy of the preseted method each specific probem was iustrated with a umerica exampe. The exampes ca be divided ito two geera groups: oe group comprises exampes which are to show the possibiities of appyig the proposed method to a give probem whie the other group comprises exampes which are to demostrate the accuracy of the obtaied soutios i compariso with exact aaytica soutio (oy for prismatic systems) or soutios obtaied by other approximate methods. The resuts i a the cacuatio exampes were obtaied by meas of programs coded by the author i Mathematica usig the system s umerica procedures. The exampes have show the suitabiity of the proposed method for sovig compex egieerig probems i which systems with variabe geometric ad mechaica parameters are the subject of aaysis. It has aso bee show that the soutios obtaied by the method are highy accurate i compariso with those yieded by other methods whereby the agorithms ca be used to test the correctess of soutios obtaied by other cacuatio methods.

236