ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE ZET
|
|
|
- Gabriela Kruk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 CPS /007 ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE ZET Ropatrymy agadieie odtwaraia dysretego sygału casowego x[] jego trasformaty X(. Do wyaceia ciągu x[] w sposób jedoacy musimy ać obsar bieżości (OZ. Odwracaie X( pre roład a ułami proste Aaliując systemy LTI wyle trasformatę ZET prebiegów otrymujemy w postaci - fucji wymierej mieej P P. Niech daa będie trasformata sygału dysretego x[] w postaci: X B A M b + b + + b 0 M N a a N ora stopień wielomiau w liciu jest miejsy od stopia wielomiau w miaowiu t. M<N. Jeżeli M N to musimy astosować dieleie wielomiaów aby predstawić X( w formie astępującego wyrażeia: X M N f + 0 B A Wówcas stopień wielomiau w liciu B jest tera miejsy od stopia wielomiau w miaowiu.
2 P a CPS /007 Metoda roładu a ułami proste powala a wyaceie trasformaty odwrotej wyrażeia: Trasformatę odwrotą sumy B A, M N 0 f otrymamy wyorystując trasformatę delty δ [ ] Z w diediie casu. ora właściwość presuięcia ciągu W wielu problemach pratycych trasformata X( wyrażoa jest jao stosue - wielomiaów mieej a ie P P. W taich prypadach możemy stosować metodę roładu a ułami proste jeżeli - wceśiej prestałcimy X( do postaci stosuu wielomiaów o mieej P P. Kowersji tej możemy dooać popre wyciągięcie pred awias w liciu ajwięsej potęgi, a w miaowiu wyciagięcie pred awias ajwięsej potęgi raem e współcyiiem pry tej potęde. UPryład: Jeżeli trasformata ma postać X W liciu wyciągiemy pre awias P X 3 w miaowiu 3P P. ( ( Roład a ułami proste stosuje się do wyrażeia w awiasie, atomiast cyi jest uwględiay późiej astosowaiem właściwości presuwaia ciągu w casie. 3
3 są CPS /007 Roład a ułami proste fucji w postaci X M b0 + b + + bm N a an wyouje się popre prestałceie wielomiau w miaowiu wyrażeia X( do postaci ilocyu wielomiaów pierwsego stopia X ( d ( d ( d M b0 + b + + bm N gdie dbb bieguami fucji X(. Jeżeli wsystie bieguy są jedorote to możemy fucję X( apisać w postaci sumy ułamów prostych w postaci: X A A A d d d N N Współcyii oblicamy ależości: i ( i A d X Z di Odwrotą trasformację ZET ażdego sładia osobo wyacamy wyorystując pary trasformat prostych ciągów: [ ] Z A A d OZ > d d A A [ ] Z d OZ < d d Im Re 0 d Im Re 0 d
4 jest CPS /007 Relacje pomiędy obsarem bieżości (OZ wiąaym X( i ażdym bieguem determiują, tóre sładii są trasformatami ciągów lewostroych, a tóre prawostroych. Jeżeli biegu dbib wieloroty o rotości r, to otrymamy r sładiów rowiięcia wiąaych tym bieguem: A A A,,, d d d i i ir i i i r Współcyii oblicamy ależości: A im, r m d r r m ( di X ( ( r m! d d i Trasformację odwrotą otrymamy wyorystując pary: ( + ( + m [ ] ( m A A d OZ >d! Z im, im, i m i ( d i Im 0 d Re ( + ( + m [ ] ( m A A d OZ < d! Z im, im, i m i ( d i Im Re 0 d Położeie bieguów wględem OZ fucji X( determiuje to, tóra trasformata odwrota, lewostroa cy prawostroa ostaie wybraa do odwróceia sładia. Aby poprawie wyacyć odwrotą trasformatę ZET ależy po rołożeiu fucji X( a ułami proste oreślić dla ażdego sładia jego obsar bieżości. Polega to a oreśleiu dla ażdego biegua jego położeia wględem obsaru bieżości fucji X(. Jeżeli OZ fucji X( ma promień więsy iż biegu musimy wybrać prawostroą trasformatę odwrotą. Jeżeli OZ fucji X( a promień miejsy iż biegu ależy wybrać lewostroą trasformatę odwrotą dla tego sładia.
5 CPS /007 UPryład: Należy wyacyć odwrotą trasformatę ZET pry adaym obsare bieżości + X OZ < < Zastosujemy roład a ułami proste: ( ( ( ( A X Z + ( ( ( ( X + 4 Po wyaceiu współcyiów X A A + + ( ( ( ( A X Z ( ( ( ( A ( ( ( 3 ( A X Z 3 + ( ( ( ( +
6 CPS /007 Zajdiemy tera odwrotą trasformatę ZET dla ażdego sładia X( biorąc pod uwagę położeie bieguów wględem obsaru bieżości. Obsar bieżości OZ ora położeie bieguów prestawia rysue. Im{} Re{} 0 /. Obsar bieżości ma promień więsy iż biegu, więc dla pierwsego sładia X( astosujemy prawostroą trasformację odwrotą [ ] Z. Obsar bieżości ma promień miejsy iż biegu, więc dla drugiego sładia X( astosujemy lewostroą trasformację odwrotą Z [ ] 3. Obsar bieżości ma promień więsy iż biegu, więc dla treciego sładia X( astosujemy prawostroą trasformację odwrotą Z [ ] Sumując poscególe sładii otrymujemy ostatecie [ ] ( [ ] [ ] [ ] x
7 P i P CPS /007 UPryład: Wyacyć odwrotą trasformatę ZET X OZ < 3 4 Bieguy trasformaty ZET ajdują się w putach - ora. Obsar bieżości ora położeie bieguów prestawia rysue. Im{} Re{} - 0 Na wstępie ależy prestałcić X( do postaci ilorau wielomiaów mieej P 3 tego wyprowadając pred awias w liciu P miaowiu P - P. Dooamy X 3 ( ( Cyi uwględimy późiej stosując właściwość presuięcia w diediie casu.
8 CPS /007 Stosując dieleie wielomiaów reduujemy stopień wielomiau w liciu: : + ( W( Dooamy roładu a ułami proste 3 ( + ( ( ( ( 3 + W OZ < ( Promień obsaru bieżości jest miejsy iż promieie wsystich bieguów, dlatego astosujemy lewostroą trasformatę odwrotą: [ ] [ ] 3 [ ] δ + δ [ ] + 3 [ ] w Ale W( X Zgodie własością presuięcia w casie Ostatecie [ ] w [ + ] x [ ] δ[ ] + δ[ + ] ( [ ] + 3 [ ] x
9 P są P i P lub CPS /007 Odwracaie X( pre rowiięcie w sereg potęgowy (sygały jedostroe. Jeżeli predstawimy fucję X( w postaci seregu potęgowego mieej P to - godie defiicją trasformaty ZET, współcyii pry P wartościami olejych próbe sygału x[]. - Metoda jest ograicoa dla prebiegów jedostroych, t. jeżeli obsar bieżości defiiuje ależość >a lub <a. Jeżeli OZ jest <a to X( jest seregiem potęgowym mieej i geeruje ciąg lewostroy. Jeżeli OZ jest >a to X( jest seregiem potęgowym mieej P prawostroy. - geeruje ciąg Sereg potęgowy otrymamy dieląc wielomia w liciu pre wielomia w miaowiu X(. UPryład: Wyacymy odwrotą trasformatę ZET fucji + X( OZ > stosując rowiięcie w sereg potęgowy Im{} 0 / Re{}
10 CPS /007 - Stosujemy dieleie wielomiaów mieej P P, poieważ obsar bieżości dotycy sygału prawostroego: + : + + : Zatem oblicoy sereg potęgowy : X odpowiada sygałowi: [ ] [ 0] [] [ ] [ 3] x x x x x 0 dla< 0
11 CPS /007 Jeżeli mieimy obsar bieżości dla tej samej fucji < rowijamy X( wględem mieej : Im{} 0 / Re{} Rowijamy fucję w sereg potęgowy mieej + : : Otrymujemy X +
12 CPS /007 wyrażeie to jest trasformatą prebiegu: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x 0 dla> 0 x 0 x 8 x 6 x 3 3 Metoda wyorystująca sereg potęgowy do odwróceia trasformaty dotycy rówież wyrażeń, tóre ie są w postaci ilorau wielomiaów. Poauje to astępujący pryład: UPryład Należy wyacyć ciąg, tórego trasformata ZET a postać X e OZ Wyorystamy ależość e a a 0! Stąd fucję X( moża predstawić w postaci seregu: X 0! 0 ( tórego trasformata odwrota jest ciągiem lewostroym pryjmującym astępujące wartości:! 0 dla > 0 i ieparyste x [ ] poostale!
13 P po CPS /007 Odwracaie X( astosowaiem metody residuów Oacmy pre C dowoly orąg położoy wewątr pierścieia o promieiach a i b: a< < b i środu w pucie 0. Oblicymy całę rywoliiową fucji X( wdłuż tego oręgu. Na podstawie właściwości liiowości możemy mieiać olejość operacji całowaia i sumowaia. [ ] X d x d C C x [ ] d C Jeżeli mieą wyraimy w postaci wyładicej j re ϕ całowaie fucji P - rywej C wyrażoe w uładie bieguowym pryjmie postać ϕ d π jre C π r e π j j ( ϕ e dϕ r π π j, 0, re j j ϕ jϕ dϕ
14 CPS /007 Zatem wyorystując właściwość presuięcia w casie możemy apisać C C C π jx[ ] X d π jx[ ] X d π [ ] X d jx Ostatecie oleje wartości próbe sygału otrymamy rowiąując wyrażeie całowe x [ ],,,0,,, π j X d C Powyżse wyrażeie całowe jest pryjmowae jao defiicja odwrotego prestałceia ZET i jest stosowaa do obliceia trasformaty odwrotej. Do oblicaia całi po rywej amiętej wyorystuje się twierdeie Cauchy ego o residuach. π j C e X d r s X w bieguach wewątr C Wyorystując twierdeie Cauchy ego o residuach, fucję orygialą moża wyacyć jao sumę residuów licoych dla wsystich bieguów [ ] x res X i gdie dla r rotego biegua dbib r d res F ( d F di! d ( r r r i di
15 UPryład: CPS /007 Dla więsych lub rówych : X( > a a x res X res i i a [ ] (biegu roty rówy a x a a a a a [ ] lim ( [ ] lim [ ] UPryład: X + + > + ( ( F X >. dla 0 dwa bieguy dbb- (r dbb0 (r + + d + + x[ 0] res F( + res F( ( dla dwa bieguy dbb- (r dbb0 (r [] ( + d ( x res F res F dla jede biegu dbb- (r [ ] + + ( + ( + ( + 0 [ ] x res F +
16 CPS /007 Oblicaie odwrotej trasformaty ZET w Matlab ie Fucja MATLAB-a residue powala roładać a ułami proste trasformatę ZET, - wyrażoą w postaci ilorau dwóch wielomiaów mieej P P. Format poleceia jest astępujący: [r, p, ] residue(b,a gdie b, a są wetorami repreetującymi współcyii wielomiaów w liciu i miaowiu w ieruu malejących potęg mieej. Wetor r repreetuje współcyii roładu a ułami proste, odpowiedio do bieguów daych jao wetor p. Wetor awiera współcyii odpowiadające sładiom wiąaym olejymi - potęgami P P, tóre pojawiają się gdy stopień licia jest rówy lub więsy od stopia miaowia. UPryładU oblicaia trasformaty odwrotej: X Pred astosowaiem obliceń w MATLABIE ależy wielomiay w liciu i miaowiu - predstawić wględem mieej P P: X Y( X Y
17 CPS /007 Zastosujemy fucję residue do wyaceia roładu wyrażeia Y(:»[r,p,] residue([ 0 4 4], [ -] r -3 p Zatem roład jest astępujący: Y Aby wyacyć trasformatę odwrotą ależy oreślić obsar bieżości fucji Y(. Graice obsaru bieżości wyacają bieguy BB, BB-.» plae([ ], [0 - -] 0.5 Imagiary Part Real Part
18 CPS /007 Jeżeli obsar bieżości wybieremy a ewątr oręgu o promieiu, to orygiał jest fucją casu prawostroą, dla casów od 0 do. 3 [ ] + ( [ ] + 3δ[ ] δ[ ] y ostatecie uwględiając współcyi i presuięcie: [ ] [ ] 3 δ[ ] δ[ x ] *Prygotowao a podstawie: S. Hayi, B.Va Vee Sigals ad System New Yor 999
Transformata Z Matlab
Aademia Morsa w Gdyi Katedra Automatyi Orętowej Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab Mirosław Tomera. WPROWADZENIE W uładach sterowaia cora cęściej stosowae są regulatory cyfrowe i stąd oiecość oreślaia
PRZEKSZTAŁCENIE ZET. definicja. nst. Stąd po dokonaniu podstawienia zgodnie z definicją otrzymamy wyrażenie jak dla ciągu.
CPS 6/7 PREKSTAŁCENIE ET Defiicja rekstałceia Prekstałceie ET jest w diediie casu dyskretego odowiedikiem ciągłego rekstałceia Lalace a w diediie casu ciągłego. Podamy dwie rówoważe defiicje rekstałceia
Z-TRANSFORMACJA Spis treści
Z-TRANSFORMACJA Spi treści. Deiicja. Pryłady traormat 3. Właości -traormacji 4. Zwiąe -traormacji traormacją Fouriera 5. Z-traormacja ygału dwuwymiarowego Deiicja -traormacji Z-traormata jet eregiem Laureta
( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 9
Teoria Sygałów III rok Iformatyki Stosowaej Wykład 9 Dla sygału skońoego, dyskretego fukję widmowej gęstośi moy wyaa się a podstawie fukji autokorelaji: ϕ Φ m [ m] [ ] [ m] M [ k] w[ m] m ( M ) ϕ π m,,,
Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Programowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład 3
Programowaie dyamice i modele rekurecyje w ekoomii Wykład 3 Michał Ramsa sierpia 0 Stresceie Wykład treci bauje główie a [, ro 7] i dotycy wykorystaia fukcji tworacych do rowiaywaia rekurecji Materiał
Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
1. ALGEBRA Liczby zespolone
ALGEBRA Licby espoloe Opracowaie: Vladimir Marcheko WYKŁAD Postać algebraica i trygoometryca licby espoloe; dodawaie, możeie, potęgowaie i dieleie licb espoloych A+B+C (Wstęp: pochodeie licb espoloych)
FILTRY FILTR. - dziedzina pracy filtru = { t, f, ω } Filtr przekształca w sposób poŝądany sygnał wejściowy w sygnał wyjściowy: Filtr: x( ) => y( ).
FILTRY Sygał wejściowy FILTR y( ) F[x( )] Sygał wyjściowy - dziedzia pracy filtru { t, f, } Filtr przekształca w sposób poŝąday sygał wejściowy w sygał wyjściowy: Filtr: x( ) > y( ). Działaie filtru moŝe
Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)
Opis ruchu we współrędch prosokąch (karejańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch jes podob do opisu a pomocą wekora wodącego, kórego pocąek leż w pocąku układu odiesieia. Położeie. Położeie puku A
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Zajęcia nr. 2 notatki
Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:
f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
III. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.
Plan wykładu. Obliczanie pierwiastków wielomianów. Własności wielomianów. Własności wielomianów. Schemat Hornera. Własności wielomianów. p z. p c r.
Pl wyłdu Olicie pierwistów wielomiów Włsości wielomiów Schemt Horer olicie wrtości dieleie wielomiów deflcj omplety schemt Horer metod Newto eśli, to p m stopień. p p /3 3/3 Włsości wielomiów Włsości wielomiów
, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn
EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Deiicja 1,, +, u = ( x x x ) v = ( y y y ),,..., 1 2,,..., 1 2 1 1 2 2 u/ v : = x y + x y +... + xy - aywamy ilocyem skalarym Możemy go rówież oacać
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
MACIERZE I WYZNACZNIKI
MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)
6.1. Rodzaje momentów bezwładności
6.. Rodaje oetów bewładości W pucie (4.4) poaliś wielości charaterujące roład as, awae oetai statci. W podach ta worach (4.0) współręde wstępują w pierwsej potęde. Preoa się, że w daice doiosłą rolę odgrwają
Algebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Elmtar fucj mij spoloj: wilomiay, pirwiasti jdości, fucja: pirwiast stopia, fucja wyładica, fucja logarytmica. Podstawow własości wilomiaów: podilość, twirdi Bout, podstawow twirdi algbry, suai
Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI
CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE PODSAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUOMAYKI Do podstawowych form opisu dyamii elemetów automatyi (oprócz rówań różiczowych zaliczamy trasmitację operatorową s oraz trasmitację
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?
EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl Ciągłość uji w puie e. Fuję : azywamy iągłą w puie jeżeli Heie Cauhy Uwaga: Put ale ie musi być putem supieia zbioru. Jeżeli jest putem izolowaym
Zbiór wszystkich punktów brzegowych D nazywamy brzegiem D (ozn. D). Mówimy, że zbiór D jest domknięty D D. Domknięciem zbioru D nazywamy D D (ozn. D).
Defiicja: Metryką w biore licb espoloych aywamy fukcję d: C, w w R :. Kołem w C o środku w i promieiu r aywamy biór K, r = * C: < r + (otoceie puktu ). Mówimy, że biór D jest otwarty D r > : K(, r) D.
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)
Szybka trasformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Trasform) Pla wykładu: 1 Trasformacja Fouriera, iloczy skalary 2 DFT - dyskreta trasformacja Fouriera 3 FFT szybka trasformacja Fouriera a) algorytm PFA b)
( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Iwona śak, Paweł Niemiec
8. ROZTWORY BUFOROWE Iwona śa, Paweł Niemiec Rotwory buforowe posiadają dolność buforowania, tn. preciwstawiania się nacnym mianom ph po dodaniu do nich niewielich ilości mocnego wasu lub mocnej asady.
Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Funkcje analityczne. Wykład 13. Zastosowanie rachunku residuów do rozwiązywania problemów analizy rzeczywistej. Paweł Mleczko
Funkcje analitycne Wykład 3. Zastosowanie achunku esiduów do owiąywania poblemów analiy ecywistej Paweł Mlecko Funkcje analitycne ok akademicki 8/9 Plan wykładu W casie wykładu omawiać będiemy astosowanie
Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Liczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności
Liczby Stiriga I rodzaju - defiicja i własości Liczby Stiriga I rodzaju ozaczae symboem s(, ) moża defiiować jao współczyii w rozwiięciu x s(, )x, 0 (1) 0 gdzie x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały
1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Definicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Twierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.
15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia
Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Prosta w 3. t ( t jest parametrem).
Prosta w 3 by wyacy rówaie prostej w 3 wystarcy a jede put tej prostej i wetor adajcy jej ierue (way wetore ieruowy) Jei P = ( P yp P ) = [ p] to rówaia paraetryce prostej aj posta = P t : y = yp t t (
Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE
P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.
Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =
Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Wykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Metody numeryczne Laboratorium 5 Info
Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.
A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)
Szybka trasformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Trasform) Pla wykładu:. Trasformacja Fouriera, iloczy skalary. DFT - dyskreta trasformacja Fouriera 3. FFT szybka trasformacja Fouriera a) algorytm PFA b)
IV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce
IV Uiwersyteca Sobota Matematycza 4 wietia 208 Fucje tworzące w ombiatoryce Dla ciągu a 0 a a 2... defiiujemy fucję tworzącą: G(x) = a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0. Zajdź fucje tworzące dla poiższych
Mechanika kwantowa III
Mecaika kwatowa III Opracowaie: Barbara Pac, Piotr Petele Powtóreie Moet pędu jest wielkością pojęciowo bardo istotą, gdż dla wsstkic pól o setrii sfercej operator jego kwadratu ( ˆM koutuje ailtoiae (
Wykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Przekształcenie Z. Krzysztof Patan
Przekształcenie Z Krzysztof Patan Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji
2. ELEMENTY TEORII PRĘTÓW SILNIE ZAKRZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9, 11, 13, 34, 51])
![2. ELEMENTY TEORII PRĘTÓW SILNIE ZAKRZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9, 11, 13, 34, 51])](/thumbs/88/115066441.jpg "2. ELEMENTY TEORII PRĘTÓW SILNIE ZAKRZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9, 11, 13, 34, 51])")
P Litewka Efektywny eement skońcony o dżej krywiźnie ELEENTY TEOII PĘTÓW SILNIE ZKZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9,, 3, 34, 5]) Premiescenia i odkstałcenia osiowe Pre pręty sinie akrywione romie się
Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
c 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Analiza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
LICZBY ZESPOLONE. = 0, wie c np. i v 3 = q
LICZBY ZESPOLONE W tym rodiale ajmiemy sie omówieiem defiicji i iektórych w lasości licb espoloych. Zaciemy od uwagi o charaktere historycym. W XVI w. aucoo sie rowia ywać rówaia treciego stopia. Każde
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW
Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW I. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest zapozaie
EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N
Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
( y) Otrzymujemy ogólne rozwiązanie równania (5.): (5.34) Po uwzględnieniu również części funkcji falowej zależnej od czasu otrzymamy: (5.
Kometar do władu 5 FCS Prład rowiąań rówaia Scrodigera. Cąsta swoboda w jedm wmiare. Ropatrujem cąstę w ieograicom obsare, w tórm eergia potecjala cąsti jest wsędie taa sama U (,, ) cost (poieważ awse
SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.
D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań
Metoda najszybszego spadku
Metody Gradietowe W tym rozdziale bdziemy rozwaa metody poszuiwaia dla fucji z przestrzei R o wartociach rzeczywistych Metody te wyorzystuj radiet fucji ja rówie wartoci fucji Przypomijmy, czym jest zbiór
FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)