W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6

Transkrypt

1 achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo geometrycne. Prykłady do adania. : (a) Pry dwukrotnym rucie monetą aobserwowano, że konfiguracja O (tn. oreł w jednym rutów, reska w drugim) pojawia się w prypadków. Cy moneta, którą wykonywano rut, jest symetrycna? Pryjmujemy Ω = {(O, O), (O, ), (, O), (, )}, F = Ω, P określone pre p = P {(O, O)}, p = P {(O, )}, p = P {(, O)}, p = P {(, )}. Niech p onaca sansę na wyrucenie orła, < p <. Wtedy p ta sansa na reskę. Moneta jest symetrycna, gdy p =,. uty są nieależne, więc mamy p = p, p = p = p( p), p = ( p). (Spr. p i dla i =,,, ora p n = p + p( p) + ( p) = (p + p) =.) W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji O wynosi i= P (O) = P ((O, ), (, O)) = p + p = p( p). Sukamy takiego p, dla którego P (O) = /. owiąujemy równanie p( p) = /, cyli równanie kwadratowe 6p 6p + =. Otrymujemy =, p =, lub +, (Zauważmy, że wartości p sumują się do. Nie ma w tym nic diwnego. Wynika to symetrycnej roli orła i reski w modelu i badanym dareniu.) W obu prypadkach p,, atem w ramach modelu wnioskujemy, że moneta nie jest symetrycna. (b) Hasło potrebne do uyskania połącenia w sieci komputerowej składa się jednej cyfry i następnie pięciu dużych liter alfabetu angielskiego. Znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba postronna odgadnie hasło, jeśli wiadomo, że cyfra jest nieparysta, a wśród liter są dokładnie try litery E. Ω = {(c, l,..., l ), gdie c {,,, 7, 9}, l i to duże litery, dokładnie wśród nich to E}, F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasycne. #Ω = () () =, bo jest możliwości wyboru cyfry, ( ) możliwości wyboru miejsc na E, (6 ) możliwości wyboru liter innych niż E na każde dwóch poostałych miejsc darenie, że osoba postronna odgadnie hasło, = {właściwe hasło}, # = P () = # #Ω =,.

2 (c) Użytkownik karty kredytowej używa cterocyfrowego hasła dostępu. Bankomat blokuje kartę, gdy po ra treci hasło ostanie nieprawidłowo podane. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łodiej karty dostanie się na nase konto nie nając hasła? Ω = {{h, h, h }, gdie h i to try różne hasła spośród możliwych haseł}. F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasycne. = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h, h }} #Ω = ( ) ( ), # =. P () = # #Ω = ( )!!( )!!( )! ( )! =,. (d) Drewniany seścian, którego wsystkie boki są pomalowane na niebiesko, ropiłowano na 6 = jednakowej wielkości mniejse seścianiki. Seścianiki te dokładnie wymiesano, następnie wylosowano nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jeden wylosowanych seścianików będie miał niebieskie ściany? Odpowiedź uasadnić. Ω = {{s,..., s }, gdie s i to różne seścianiki spośród 6 możliwych} F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasycne. = {dokładnie jeden narożny} = {{narożny,s,..., s }, gdie s i nie są narożne} #Ω = ( ( ) 6 ), # = 8 6 )( 9 P () = # #Ω = 97,. 679 Prykłady do adania. : (a) Losujemy licbę naturalną, tak że sansa na wylosowanie licby i wynosi i. Oblicyć prawdopodobieństwo, że wylosowana licba jest podielna pre 6. Ω = {,,...}, F = Ω, a prawdopodobieństwo P określone jest ciągiem p i = i. (Spr. p i dla każdego i ora p i = (/) i = / i= i= / =.) P (wylosowana licba jest podielna pre 6) = i= p 6i = (/)6 (/) 6 = 6, 9. (b) ucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa ray pod rąd na tę samą stronę. Określić Ω i P odpowiadające temu eksperymentowi dla monety symetrycnej. Oblicyć prawdopodobieństwo, że wykonamy mniej niż 7 i więcej niż ruty. Ω = {OO, OO, OOO,...} {, O, O,...}, F = Ω, p n,o = P (n rutów+oo) = ( ) n+, pn, = P (n rutów+) = ( dla monety symetrycnej. Prestreń probabilistycna jest dobre określona, bo p n,o, p n, dla dowolnego n ora (p n,o + p n, ) = ( ) n = n= n= =. P (mniej niż 7 i więcej niż ruty) = P (,, lub 6 rutów) = (p n,o + p n, ) = n= (ilość rutów= n + ). ) n+

3 (c) Niech Ω = {ω n, n =,,...}, F = Ω. Weźmy ciąg p n = c n, n =,,..., gdie > jest ustalone. Dobrać stałą c tak, aby ciąg (p n ) określał prawdopodobieństwo P na biore Ω tak, że p n = P ({ω n }). Oblicyć P ({ω,..., ω }). p n dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c p n = c ( ) n = c n= n= = c = wtedy i tylko wtedy, gdy c = Oba warunki na ciąg określający prawdopodobieństwo na Ω są spełnione dla c = P ({ω,..., ω }) = p n = ( ) ( ) n = ( ) n= n= ( ) ( ) = Prykłady do adania. : (a) Na okręgu wybieramy losowo cięciwę. Uściślić na kilka sposobów pojęcie losowo i dla każdego nich oblicyć prawdopodobieństwo, że długość cięciwy będie więksa od promienia okręgu.. sposób Ustalamy kierunek i wybieramy spośród cięciw o tym samym kierunku od średnicy do cięciwy erowej, pry cym nie wyróżniamy żadnej nich. Odpowiada to jednostajnemu wyborowi punktu x odcinka [, ], gdie to promień okręgu... l(x) x Ω = [, ], F to rodina biorów borelowskich tego odcinka, Dla wybranego x długość odpowiadajęcej mu cięciwy wynosi l(x) = x l(x) > wtedy i tylko wtedy, gdy x [, /). Zatem P (l(x) > ) = P ([, / /)) = =.

4 . sposób Ustalamy punkt na okręgu i wybieramy spośród cięciw o punkcie pocątkowym, pry cym nie wyróżniamy żadnej nich. Odpowiada to jednostajnemu wyborowi punktu (końcowego punktu cięciwy) okręgu, albo równoważnie wyborowi kąta ϕ prediału [ π, π], patr rysunek... l(fi) fi Ω = [ π, π], F to rodina biorów borelowskich tego odcinka, Dla wybranego ϕ długość odpowiadajęcej mu cięciwy wynosi l(ϕ) = ( + cos ϕ). l(ϕ) > wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ ( π/, π/). Zatem P (l(ϕ) > ) = P (( π/, π/)) = π/ = π.. sposób Wybieramy be wyróżniania punkt koła be środka. Punkt ten potraktowany jako środek cięciwy jednonacnie ją wynaca (wyjątkiem byłby środek koła odpowiadający średnicom, odrucając środek koła na pocątku pryjęliśmy, że prawdopodobieństwo wylosowania średnicy wynosi )... l(). r Ω =koło o promieniu, F to rodina biorów borelowskich na tym kole, Dla wybranego długość odpowiadajęcej mu cięciwy wynosi l() = r, gdie r to odległość punktu od środka koła. l() > wtedy i tylko wtedy, gdy r < /, tn. gdy leży w otwartym kole K() o tym samym środku co Ω i promieniu /. Zatem P (l() > ) = P (K()) = π / π =.

5 (b) Oblicyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punkt kwadratu x <, y < leży na ewnątr koła x + y <. Ω = {(x, y) : x <, y < } - kwadrat, F to borelowskie podbiory Ω, P - prawdopod. geometrycne. = {(x, y) : x + y < } - koło. P ( c ) = P () = pole pole Ω = π 6, 9. c Ω (c) W prypadkowych chwilach prediału casu [, 6] minut mogą nadejść do odbiornika dwa sygnały. Odbiornik ostaje uskodony, jeśli różnica w casie międy tymi dwoma sygnałami jest mniejsa od minut. Oblicyć prawdopodobieństwo uskodenia odbiornika. Ω = {(t, t ) : t, t [, 6]}, F to borelowskie podbiory Ω, P - prawdopod. geometrycne. - darenie, że odbiornik ostał uskodony. = {(t, t ) Ω : t t < } P () = pole pole Ω = 6 8 6, 6. 6 t Ω t =t + t =t t 6