Wytrzymałość materiałów

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wytrzymałość materiałów"

Konrad Alojzy Nowakowski
7 lat temu
Przeglądów:

1 Wtrmałość materiałów EiP - Wkład Nr 9 Odkstałceia beek giach iia ugięcia beki, kąt obrotu beki, waruek stwości pr giaiu, rówaie różickowe iii ugięcia beki, waruki bregowe, waruki ciągłości

1 1 Wtrmałość materiałów EiP - Wkład Nr 9 Odkstałceia beek giach iia ugięcia beki, kąt obrotu beki, waruek stwości pr giaiu, rówaie różickowe iii ugięcia beki, waruki bregowe, waruki ciągłości odkstałceń, astosowaie asad superpocji do wacaia odkstałceń beek, wacaie reakcji w bekach statcie iewacach. Wdiał Iżierii Mechaicej i Robotki Katedra Wtrmałości, Zmęceia Materiałów i Kostrukcji Dr hab. iż. Tomas Machiewic

2 9.1. Liia ugięcia beki 𝑴𝒈 h c a M. ic Warstw ściskae (skrócoe) Liia ugięcia w ie 𝑴𝒈 Warstw rociągae (wdłużoe) T Liia ugięcia iia łącąca środki ciężkości prekrojów poprecch odkstałcoej beki. Proste giaie prpadek obciążeia kied wpadkow momet giając w prekroju poprecm beki diała wdłuż jedej główch osi bewładości. T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9

9.. Waruek stwości beki ic Rówaie iii ugięcia beki: f() w ie Strałka

aeż od preaceia beki, T ugięcie beki w dam pukcie, kąt obrotu beki

3 9.. Waruek stwości beki ic Rówaie iii ugięcia beki: f() w ie Strałka ugięcia: fmax ( ) f h c a M. 𝒍 Zwke: 𝒇𝒅𝒐𝒑 𝒌 Kąt obrotu beki: 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝒕𝒈(𝜶) Waruek stwości beki: f() 𝒇𝒅𝒐𝒑 - dopuscaa strałka ugięcia (, mm, cm, ) długość beki, k współcik aeż od preaceia beki, T ugięcie beki w dam pukcie, kąt obrotu beki (rad) Poieważ wke kąt jest bardo mał, więc: T. Machiewic 𝒇 𝒇𝒅𝒐𝒑 Stąd: 𝒕𝒈(𝜶) 𝜶 𝒅𝒚 𝜶 𝒅𝒛 WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 3

4 9.3. Rówaie różickowe iii ugięcia beki 𝑴𝒈 f h c a M. f() Według geometrii różickowej (da układu osi - jak wżej): 𝟏+ T. Machiewic T 𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒛𝟐 𝟏 𝝆 ic d 𝒅𝒚 𝒅𝒛 w ie 𝑴𝒈 d Krwia osi beki poddaej cstemu giaiu (por. giaie war. bepieceństwa): 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝑴𝒈(𝒛) 𝝆 𝑬𝑱 (𝑬𝑱) - stwość gięta WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 4

T 𝑬𝑱 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝑬𝑱𝒚 𝑴𝒈(𝒛) 𝒅𝒛 + 𝑪 E J Mg() f 𝟏+ 𝟑 𝟐 𝟐 𝑴𝒈(𝒛) 𝑬𝑱 𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒛𝟐 f() moduł Youga momet bewładości momet gąc ugięcie

5 9.3. Rówaie różickowe iii ugięcia beki 𝒅𝒚 𝒅𝒛 h c a M. 𝟐 𝒅𝒚 poieważ: 𝟎 𝒅𝒛 Rówaie różickowe iii ugięcia beki: 𝒅𝟐 𝒚 𝑬𝑱 𝟐 𝑴𝒈(𝒛) 𝒅𝒛 jedokrote całkowaie powtóre całkowaie ic w ie T 𝑬𝑱 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝑬𝑱𝒚 𝑴𝒈(𝒛) 𝒅𝒛 + 𝑪 E J Mg() f 𝟏+ 𝟑 𝟐 𝟐 𝑴𝒈(𝒛) 𝑬𝑱 𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒛𝟐 f() moduł Youga momet bewładości momet gąc ugięcie beki - rówaie ma kąt obrotu (𝜶 𝑴𝒈(𝒛) 𝒅𝒛𝒅𝒛 + 𝑪𝒛 + 𝑫 𝒅𝒚 ) 𝒅𝒛 - rówaie iii ugięcia 𝑪, 𝑫 stałe całkowaia, wacae a podstawie waruków bregowch T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 5

9.3. Waruki bregowe wacaie stałch całkowaia Stałe całkowaia C i D waca się: a) waruków bregowch, tw. waruków podparcia: (0) 0 () 0 b) waruków ciągłości odkstałceń w sąsiedich prediałach, tw.

6 9.3. Waruki bregowe wacaie stałch całkowaia Stałe całkowaia C i D waca się: a) waruków bregowch, tw. waruków podparcia: (0) 0 () 0 b) waruków ciągłości odkstałceń w sąsiedich prediałach, tw. waruków scia (beki o wieu prediałach mieości fukcji mometu M g() ): prediał -1-1 prediał prpadek iemożiw gd ie ma pregubu prediał (0) 0 (0) 0 prediał prediał -1 T. Machiewic T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 prediał -1 prpadek iemożiw da beki ciągłej 6

7 M U 9.4. Wacaie odkstałceń beek - prkład Prkład 9.1 Wacć ugięcie (f ) i kąt obrotu ( ) a swobodm końcu beki jak a rsuku. Dae: EJ, P, R EJ M g() 0 EJ M g EJ P + C EJ P3 6 Sukae: f, M g() P P + C + D P Waruki bregowe: 1) α 0 () 0 P + C 0 C P ) 0 () 0 P 3 6 P + D 0 D P3 3 Rówaia kątów obrotu i iii ugięcia mają postać: α 1 EJ P P T. Machiewic Stąd: α (0) P EJ T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 1 EJ P 6 3 P P3 + 3 f (0) P3 3EJ 7

8 9.4. Wacaie odkstałceń beek - prkład ic Prkład 9. Korstając gotowch worów a wartości ugięć i kątów obrotu beek obciążoch poscegómi rodajami obciążeń, obicć godie asadą superpocji ugięcie środka ((/)) ora kąt obrotu w prekrojach podporowch (, ) beki jak a rsuku. 𝑹 h c a M. Sukae: f(/),, Dae: EJ,, 𝑹 𝑷 𝒍 / w ie / T 𝑴 𝒇(𝒍/𝟐) 𝒇𝒛𝒍/𝟐 + 𝒇𝑷 𝒛𝒍/𝟐 + 𝒇𝒛𝒍/𝟐 𝒇(𝒍/𝟐) 𝟓𝒍𝟒 𝒍 𝒍𝟑 𝟑 𝒍𝟐 𝒍𝟐 + + 𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱 𝟒𝟖𝑬𝑱 𝟒𝟖𝑬𝑱 𝒇(𝒍/𝟐) 𝟑𝟕𝒍𝟒 𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱 T. Machiewic 𝜶𝑨,𝑩 𝒍𝟑 𝟐𝟒𝑬𝑱 𝒇(𝒍/𝟐) 𝑷𝒍𝟐 𝟏𝟔𝑬𝑱 𝑷𝒍𝟑 𝑷 𝒇(𝒍/𝟐) 𝟒𝟖𝑬𝑱 𝜶𝑷 𝑨,𝑩 𝑴𝒍 𝟑𝑬𝑱 𝑴𝒍 𝜶𝑴 𝑩 𝟔𝑬𝑱 𝜶𝑴 𝑨 𝒇𝑴 (𝒍/𝟐) WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 𝟓𝒍𝟒 𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱 𝟑𝑴𝒍𝟐 𝟒𝟖𝑬𝑱 8

9 9.4. Wacaie odkstałceń beek - prkład ic Prkład 9. Korstając gotowch worów a wartości ugięć i kątów obrotu beek obciążoch poscegómi rodajami obciążeń, obicć godie asadą superpocji ugięcie środka ((/)) ora kąt obrotu w prekrojach podporowch (, ) beki jak a rsuku. Dae: EJ,, 𝑹 h c a M. Sukae: f(/),, 𝑹 𝑷 𝒍 / w ie / 𝑴 𝜶𝑨 𝜶𝑨 + 𝜶𝑷 𝑨 + 𝜶𝑨 T 𝒍𝟑 𝒍 𝒍𝟐 𝒍𝟐 𝒍 𝜶𝑨 + + 𝟐𝟒𝑬𝑱 𝟏𝟔𝑬𝑱 𝟑𝑬𝑱 𝜶𝑨 𝟐𝟏𝒍𝟑 𝟒𝟖𝑬𝑱 T. Machiewic 𝒍𝟑 𝟐𝟒𝑬𝑱 𝟓𝒍𝟒 𝒇(𝒍/𝟐) 𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱 𝜶𝑨,𝑩 𝑷𝒍𝟐 𝟏𝟔𝑬𝑱 𝑷𝒍𝟑 𝑷 𝒇(𝒍/𝟐) 𝟒𝟖𝑬𝑱 𝜶𝑷 𝑨,𝑩 𝑴𝒍 𝟑𝑬𝑱 𝑴𝒍 𝜶𝑴 𝑩 𝟔𝑬𝑱 𝜶𝑴 𝑨 𝒇𝑴 (𝒍/𝟐) WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 𝟑𝑴𝒍𝟐 𝟒𝟖𝑬𝑱 9

10 9.4. Wacaie odkstałceń beek - prkład ic Prkład 9. Korstając gotowch worów a wartości ugięć i kątów obrotu beek obciążoch poscegómi rodajami obciążeń, obicć godie asadą superpocji ugięcie środka ((/)) ora kąt obrotu w prekrojach podporowch (, ) beki jak a rsuku. Dae: EJ,, 𝑹 h c a M. Sukae: f(/),, 𝑹 𝑷 𝒍 / w ie / 𝑴 𝜶𝑩 𝜶𝑩 + 𝜶 𝑷 𝑩 + 𝜶𝑩 T 𝒍𝟑 𝒍 𝒍𝟐 𝒍𝟐 𝒍 𝜶𝑩 + + 𝟐𝟒𝑬𝑱 𝟏𝟔𝑬𝑱 𝟔𝑬𝑱 𝜶𝑩 𝟏𝟑𝒍𝟑 𝟒𝟖𝑬𝑱 T. Machiewic 𝒍𝟑 𝟐𝟒𝑬𝑱 𝟓𝒍𝟒 𝒇(𝒍/𝟐) 𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱 𝜶𝑨,𝑩 𝑷𝒍𝟐 𝟏𝟔𝑬𝑱 𝑷𝒍𝟑 𝑷 𝒇(𝒍/𝟐) 𝟒𝟖𝑬𝑱 𝜶𝑷 𝑨,𝑩 𝑴𝒍 𝟑𝑬𝑱 𝑴𝒍 𝜶𝑴 𝑩 𝟔𝑬𝑱 𝜶𝑴 𝑨 𝒇𝑴 (𝒍/𝟐) WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 𝟑𝑴𝒍𝟐 𝟒𝟖𝑬𝑱 10

11 9.4. Wacaie odkstałceń beek - prkład Prkład 9.3 Napisać rówaie różickowe iii ugięcia beki jak a rsuku, obicć ugięcie jej środka ( (/) ) ora kąt obrotu w prekrojach podporowch (, ). Dae: EJ,, R / M g(1) 1 Sukae: f (/),, P 1 / / + EJ M g 1 EJ C 1 EJ C D 1 M T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 R M i i1 F i i R 0 0 / M g() R + EJ M g EJ C EJ C + D R 0 0 R + R 0 T. Machiewic R 11

12 9.4. Wacaie odkstałceń beek - prkład Prkład / EJ C 1 R EJ C D 1 P 1 / / T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 R EJ C Dae: EJ,, Sukae: f (/),, 0 / EJ C + D waruki bregowe: 1 ( 1 0) 0 D 1 0 ( 0) 0 D 0 waruek ciągłości odkstałceń a graic sąsiedich prediałów: / + C 1 6 ( /) (te sam kąt ma preciwą wartość w obu układach współrędch) T. Machiewic C C C 1 C 1 + C

13 9.4. Wacaie odkstałceń beek - prkład Prkład / EJ C 1 R EJ C D 1 P 1 / / T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 R EJ C Dae: EJ,, Sukae: f (/),, 0 / EJ C + D waruki bregowe: 1 ( 1 0) 0 D 1 0 ( 0) 0 D 0 waruek ciągłości odkstałceń a graic sąsiedich prediałów: / 1 / ( /) ( /) C 1 + C T. Machiewic + C C C + C C 1 C

14 9.4. Wacaie odkstałceń beek - prkład Prkład / EJ C 1 R EJ C D 1 waruki bregowe: D 1 0 D 0 0 P 1 / / T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 R EJ C waruek ciągłości odkstałceń a graic sąsiedich prediałów: C C ( 1 ) 1 EJ ( 1 ) 1 EJ C Dae: EJ,, Sukae: f (/),, 0 / EJ C + D C 1 + C C Ostateca postać rówań kątów obrotu i ugięć: ( ) 1 EJ C 1 C T. Machiewic ( ) 1 EJ

15 T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r Wacaie odkstałceń beek - prkład Prkład 9.3 R / ( 1 ) 1 EJ ( 1 ) 1 EJ α 1 0 f (/) ( 1 /) 1 EJ 13 48EJ 4 P 1 / / 4 ( ) 1 EJ ( ) 1 EJ R Dae: EJ,, Sukae: f (/),, 0 / α ( 0) EJ EJ T. Machiewic α 13 48EJ co odpowiada wikom otrmam w prkładie 9.: f (/) EJ α EJ

M U M U1 9.5. eki statcie iewacae - wacaie reakcji Prkład 9.

16 M U M U eki statcie iewacae - wacaie reakcji Prkład 9.4 Wacć reakcje i sił wewętre da beki jak a rsuku: Dae: EJ,, Sukae: R, R, M, M g(), T R () M i 0 M U i1 + R 0 (1) R F i 0 R + R 0 () i1 f P + f R 0 (3) 1) Ugięcie beki pobawioej podpor : R 1 f P 0 EJ M g M U R R EJ C 1 EJ C 1 + D 1 Waruki bregowe: α 0 () C 1 0 C f R T. Machiewic 0 f P (0) D 1 EJ () 0 f P 4 8EJ D 1 0 T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 D

17 M U M U1 M U 9.5. eki statcie iewacae - wacaie reakcji Prkład 9.4 Dae: EJ,, Sukae: R, R, M, M g(), T R () R R 1 R 3) Obicaie sił R : f P f R f P + f R 0 Wacć reakcje i sił wewętre da beki jak a rsuku: T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 R f P f R () 0 f f P 4 P + f R 0 (3) 8EJ ) Ugięcie beki pod wpłwem sił R : 0 EJ M g R EJ R + C EJ R C + D Waruki bregowe: () 0 R + C 0 R R 3 + D 0 T. Machiewic 4 8EJ R 3 3EJ 0 R 3 8 f P (0) D EJ C R D R 3 3 f R R 3 3EJ 17

M U M U1 M U 9.5. eki statcie iewacae - wacaie reakcji Prkład 9.4 R R 1 R 5 8 1 8 0 Dae: EJ,, T.

18 M U M U1 M U 9.5. eki statcie iewacae - wacaie reakcji Prkład 9.4 R R 1 R Dae: EJ,, T. Machiewic WEiP, Wtrmałość materiałów, Wkład r 9 R R f P f R T 3 8 R 3 8 M i i1 F i i1 Sukae: R, R, M, M g(), T () 0 M U + R 0 0 R + R 0 4) Obicaie poostałch reakcji: (1) M U R M U 1 8 () R R R 5 8 5) Rówaia sił wewętrch: T() R + 0 T. Machiewic 9 18 M g T M g () 3 8 M g 1 8 (1) () M g (0) 0 M g ( 0 )

Podobne dokumenty

Mechanika i wytrzymałość materiałów

Mechanika i wytrzymałość materiałów 1 eik i trmłość mteriłó Wkłd Nr 13 Odkstłei beek gi ii ugięi beki, kąt obrotu beki, ruek stośi pr giiu, ró różikoe iii ugięi beki, ruki bregoe, stoso sd superpoji do i odkstłeń beek, prkłd obioe Wdił Iżrii