MODELOWANIE PAR KINEMATYCZNYCH MECHANIZMÓW Z ZASTOSOWANIEM ELEMENTÓW SPRĘŻYSTYCH

Transkrypt

1 acta mechaica et automatica vo.5 o. () MODELOWANIE PA KINEMAYCZNYCH MECHANIZMÓW Z ZASOSOWANIEM ELEMENÓW SPĘŻYSYCH Krstof AUGUSYNEK * * Katedra Iformatki Stosowaej Wdiał Zarądaia i Iformatki Akademia echico-humaistca u. Wiowa Biesko-Biała kaugustek@ath.eu Stresceie: Mechaim są rkładami łańcuchów kiematcch amkiętch o strukture drewa. Zais rówań ruchu takich układów we wsółrędch łącowch wmaga wceśiejsego mśowego rocięcia łańcuchów amkiętch i sformułowaia rówań więów domkającch. W reutacie damika mechaimu jest oisaa układem rówań różickowo-agebraicch które są trude do rowiąaia. W rac redstawioo sosób w którm oddiałwaia międ rociętmi mśowo ciałami modeowae są użciem sręż o odowiedio dobrach wsółcikach stwości. Podejście takie eimiuje rówaia więów domkającch dięki cemu rówaia ruchu rjmują ostać rówań różickowch wcajch.. WSĘP Modeowaie mechaimów we wsółrędch łącowch wmaga mśowego rocięcia wsstkich łańcuchów amkiętch (Harecki ). W reutacie otrmuje się astęc układ otwart którego ruch oisują wsółręde łącowe (Wittbrodt i ii 6). Damice rówaia ruchu mechaimu otrmuje się w wiku ołąceia rówań ruchu układu astęcego rówaiami więów domkającch rociętch ar kiematcch. Staowią oe układ rówań różickowo-agebraicch o ideksie 3. owiąwaie rówań o tak wsokim ideksie jest trude i ajcęściej srowada się je do układu rówań różickowch wcajch re wkoaie koejch różickowań rówań więów (Bajer 998; Harecki ). Podejście takie może rowadić do aruseia rówań więów ora ich ierwsej ochodej co moża iweować re astosowaie metod stabiiacji rówań więów. metod Baumgarte a wbogacoego sformułowaia Lagrage a c też odejścia Braua-Godfarba (Bajer 998 ; Frącek ). I sosób modeowaia rociętch ar kiematcch oega a odbieraiu możiwości ruchu łącom eemetom re astosowaie układu sręż trasacjch ub/i rotacjch o odowiedio dużch wsółcikach stwości (Adamiec-Wójcik i ii 8). Zaetą takiego odejścia jest miejsa icba rówań oisującch ruch mechaimu ora brak iewiadomch sił ora mometów reakcji diałającch w rociętch ołąceiach. W rac (Adamiec-Wójcik i ii 8) redstawioo mode astęc ołąceia sfercego w którm deformacje eemetów srężstch okreśoo w układie baowm. W iiejsej rac redstawioe będą modee astęce ołąceń: sfercego obrotowego resuwego ora cidrcego. Odkstałceia astęcch eemetów srężstch wacae będą w układie okam wiąam jedm łącoch ciał.. OPIS UCHU MECHANIZMU W iiejsej rac rjęto że mechaim może bć łożo cłoów stwch ub odatch r cm do dskretacji cłoów odatch stosowaa jest metoda stwch eemetów skońcoch (Wittbrodt i ii 6). Na s. redstawioo mechaim w ostaci łańcucha kiematcego o strukture drewa ojedcm łańcuchem amkiętm. Łańcuch te rocięto mśowo w are łącącej cło ora cło. W scegóm radku gd cło są odate rocięta ara łąc stwe eemet skońcoe a jakie je odieoo. W miejsce rociętej ar wrowadoo sił ora momet reakcji okreśające oddiałwaia achodące międ łącomi ciałami. W dasch roważaiach rjęto że oddiałwaia te rekawae są re układ sręż trasacjch ora rotacjch o odowiedio dobrach wsółcikach stwości. Wsółręde uogóioe oisujące ruch cłoów ora wgędem odstaw moża aisać w ostaci: q ( ) ( b) q ( ) q (.) ( b) q q ( ) gdie: q q i q q ( ) ( ) i i wsółręde okreśające ruch łącoch ciał wgędem cłou b i ( b) ( b) q q i wektor wsółrędch uogóioch ( b ) q (.) i okreśającch ruch ciała b wgędem odstaw. uch cłou baowego b ora ciał oredającch te cło w łańcuchu kiematcm jest wsó da obu łącoch ciał. Moża wkaać że sił diałające w rociętm ołąceiu ie aeżą od wsółrędch uogóioch cłou baowego ec są aeże jedie od wsółrędch uogóioch oisującch ruch cłoów ora wgędem cłou baowego. 5

2 Krstof Augustek Modeowaie ar kiematcch mechaimów astosowaiem eemetów srężstch a) b) s.. Prkładow mechaim red (a) ora o (b) rocięciu łańcucha amkiętego Maciere trasformacji układów {} ora {} wiąach cłoami ora do układu iercjaego moża wraić jako łożeie: ( ) ( b ) ( ) B B B (.) ( ) ( b ) ( ) B B B (.) gdie: B b B b ( q b ) - macier trasformacji układu ( ) baowego {b} do układu iercjaego {} B B ( q ) B B ( q ) - maciere okreśające ołożeie i orietację łącoch ciał wgędem układu {b}. Z cłoami ora wiąao dodatkowo układ {κ} ora {κ} tak ab ich ocątki ajdował się w ukcie κ okreśającm ołąceie. Maciere trasformacji tch układów do układu baowego moża aisać w ostaci: ( ) B B A (3.) B B A (3.) gdie A (κ) A (κ) są macierami trasformacji o stałch eemetach. Maciere te okreśają ołożeie ora orietację układów {κ} ora {κ} wgędem układów okach ciał którmi je wiąao. gdie: rɶ wektor okreśając ołożeie ocątku układu {κ} wgędem układu {κ} [ ] I C macier wsółcików stwości sręż trasacjch rɶ Φ B B I Φ ma- c cier wężająca C c. c Eergia ta jest aeża tko od wsółrędch oisującch ruch cłoów ora wgędem cłou baowego. Pochode eergii (4) wgędem wsółrędch uogóioch moża aisać astęująco: V S E ɶ C rɶ (5.) V S E ɶ C rɶ (5.) gdie: Eɶ ( ) ξ ( ) ξ Eɶ η ( ) η 3. MODEL ZASĘPCZY POŁĄCZENIA SFEYCZNEGO Φ B ξ B I qξ Φ B Bη I. qη Na s. redstawioo regub kuist łącąc ciała ora. Pregub te astąioo układem trech sręż trasacjch którch każda diała w kieruku rówoegłm do osi układu {κ}. Eergię odkstałceia srężstego układu astęcego okreśa aeżość: ɶ ɶ (4) V S r κ C κ κ r Pr odowiedio dużch wsółcikach stwości sręż cło ora orusają się ruchem biżom do kuistego. Sił reakcji diałające w modeowam ołąceiu moża otrmać o obiceiu sił srężstch godie e worem: ɶ C r ɶ (6) gdie ɶ ɶ ɶ ɶ jest wektorem sił reakcji diałającch w regubie kuistm. 6

3 acta mechaica et automatica vo.5 o. () s.. Mode astęc ołąceia sfercego 4. MODEL ZASĘPCZY POŁĄCZENIA OBOOWEGO POSĘPOWEGO I CYLINDYCZNEGO W modeu astęcm ołąceia obrotowego ostęowego ora cidrcego oróc sręż trasacjch wstęują sręż rotacje odbierające możiwość wgędego obrotu cłoów ora. Całkowita eergia otecjaa takiego ołąceia jest sumą eergii otecjaej ochodącej od deformacji sręż trasacjch ora rotacjch co moża aisać astęująco: rɶ C rɶ φɶ C φɶ (6) V κ κ κ κ κ κ κ + ɶ ϕ gdie: φɶ ɶ ϕ ɶ ϕ ɶ ϕ ɶ ϕ kąt omięd osiami ˆ κ ϕ ɶ X ˆ κ Y ˆ κ Z układu { κ } a osiami ˆ X ˆ κ Y ˆ κ Z układu { κ } (s. 3) C - macier wsółcików stwości sręż rotacjch c C c c rɶ C - defiiowae w (4). Pochode eergii (6) wgędem wsółrędch uogóioch okreśają aeżości: V κ rɶ κ κ φɶ C ( ) rɶ + C ( ) (7.) q q q V κ rɶ κ κ φɶ C rɶ + C (7.) q q q Da eemetów wektora achodą wiąki: Xˆ X cos ϕɶ (8.) Yˆ Y cos ϕɶ (8.) Zˆ Z cos ϕɶ (8.3) gdie: ˆ ˆ X X [ ] [ ] [ ] ˆ ˆ Z Z Y Y ˆ Yˆ Y ˆ X X ˆ Z Z ˆ rotacji układu { κ } do układu { κ}. Biorąc od uwagę że: macier gdie są macierami rotacji wstęującmi w macierach trasformacji B B ora wkoując odowiedie rekstałceia moża aisać: ( ) ( ) cos ϕɶ (.) ( ) ( ) cos ϕɶ (.) ( ) ( ) cos ϕɶ (.3) 3 3 i i gdie ( ) ( ) i 3 jest i-tą koumą macier rotacji. óżickując aeżości (8) wgędem wsółrędch uogóioch otrmuje się: - da ξ : ( ξ ) ( ) ξ cos ɶ ϕ ( κ ξ ) cos ξ ɶ ϕ ( ξ ) ( ) ξ cos ɶ ϕ da η : ( ) ( η ) η cos ɶ ϕ (9) (.) (.) (.3) (.) 7

4 Krstof Augustek Modeowaie ar kiematcch mechaimów astosowaiem eemetów srężstch ( κ ) cos η η ɶ ϕ ( ) ( η ) η cos ɶ ϕ 3 3 (.) (.3) dobiera się a odstawie kiku smuacji umercch w trakcie którch srawda się c łącoe ciała wkoują ruch wgęd. 5. ÓWNANIA UCHU MECHANIZMU Damice rówaia ruchu mechaimu wrowadoo rówań Lagrage a II rodaju w ostaci: d E E V + Q dt ɺ (4) gdie: E eergia kietca cłoów stwch ora odatch V eergia otecjaa odkstałceia srężstego cłoów odatch ora ołąceń astęcch Q wektor sił ewętrch ora sił wikającch bewładości cłoów q wektor wsstkich wsółrędch uogóioch. Po wkoaiu rekstałceń oisach w rac (Wittbrodt i ii 6) rówaia ruchu moża aisać astęująco: Aqɺɺ F (5) s. 3. Schemat wacaia deformacji sręż rotacjch Po uwgędieiu wiąków () () ochode eergii odkstałceia srężstego rjmą ostać: V κ E ɶ C rɶ + Λ ɶ C (3.) V κ E ɶ C rɶ + Λ ɶ C (3.) gdie: Λɶ φ Λɶ ɶ. ξ q ( ) ( ) ξ η η Modee oscegóch ołąceń otrmuje się re odowiedi dobór wsółcików stwości sręż. Jeśi rjąć że osie ˆ κ Z ora ˆ κ Z okrwają się osią ołąceia to wartości wsółcików stwości da ołąceia obrotowego ostęowego i cidrcego są okreśoe w ab.. ab.. Wartości wsółcików stwości modei odatch ołąceń ołąceia c κ c κ c κ c κ c κ c κ Obrotowe Postęowe Cidrce W obiceiach umercch w miejsce stwości rówch ieskońcoości stosuje się icb o dużch wartościach. Naeż auważć że bt wsoka wartość tch wsółcików może rowadić do komikacji umercch. W recwistości wsółciki stwości gdie A jest macierą mas atomiast F jest wektorem rawch stro awierającm oostałe składiki wstęujące w rówaiach Lagrage a. W reutacie damika mechaimu jest oisaa układem rówań różickowch wcajch drugiego rędu. Licba wstęującch rówań jest co rawda miejsa w orówaiu do odejścia więami atomiast otrma układ może bć źe uwarukowa (stw). 6. EKSPEYMEN NUMEYCZNY W smuacjach umercch badao cworobok regubow łożo e stwej korb ora odatego łącika i wahaca (s. 4). Wmiar cworoboku ora dae oscegóch cłoów więto rac (Adamiec-Wójcik i Augustek 5). W wiku resuięcia ora obrotu ar łącącej wahac ostoją mechaim staje się układem restrem. uch układu wmusao mometem diałającm a korbę w ostaci: M () t M t t t > t t (6) gdie M jest mometem diałającm w chwii t. W obiceiach rjęto że M.5[Nm] ora t.[ s]. Do dskretacji cłoów odatch stosowao metodę stwch eemetów skońcoch (Wittbrodt i ii 6). Na odstawie rerowadoch testów umercch rjęto odiał łącika ora wahaca a 5 stwch eemetów skońcoch. 8

5 acta mechaica et automatica vo.5 o. () s. 4. Schemat cworoboku regubowego a) b) s. 5. Prebieg remiesceń uktu C w układie {} w aeżości od stwości sręż astęcego ołąceia sfercego a) b) c) s. 6 Prebieg sił diałającch w astęcm ołąceiu sfercm w aeżości od stwości sręż trasacjch Wstęując łańcuch amkięt rocięto w are kiematcej C łącącej łącik wahacem. W smuacjach rjmowao że ara ta może bć kuista ub obrotowa a do jej modeowaia stosowao oisae wceśiej modee astęce. Wiki otrmae użciem modei astęcch orówwao wikami otrmami da modeu w którm formułowao rówaia więów domkającch. Włw wsółcików stwości sręż trasacjch astęcego ołąceia sfercego a remiesceia uktu C ora sił diałające w tm ołąceiu redstawioo a s. 5 ora 6. W smuacjach rjmowao że wsółciki stwości wsstkich sręż są jedakowe. 9

6 Krstof Augustek Modeowaie ar kiematcch mechaimów astosowaiem eemetów srężstch a) b) s. 7. Prebieg wadkowej (a) sił ora (b) mometu reakcji w astęcm ołąceiu obrotowm w aeżości od stwości sręż rotacjej Z redstawioch rebiegów wika że ruch mechaimu jest god więami jeśi rjmie się wsółciki stwości rówe 8 [N/m]. Wsółciki te stosowao daej w odiesieiu do sręż trasacjch wstęującch w astęcm ołąceiu obrotowm. Włw wsółcika stwości sręż rotacjej a wadkową siłę ora momet reakcji wstęując w are kiematcej C okaao a s. 7. Z redstawioch rebiegów moża auważć że sił diałające w ołąceiu otrmae da stwości Nm rad iewiee różią się międ sobą. 5 ora [ ] 7. PODSUMOWANIE W rac redstawioo modee astęce ołąceń w mechaimach astosowaiem eemetów srężstch. Cechą redstawioego odejścia jest miejs romiar agadieia wikając braku rówań więów domkającch. Skutkiem rjęcia dużch stwości astęcch sręż wjściow układ rówań różickowch oisując damikę mechaimu może bć źe uwarukowa. W dasch racach bada będie włw metod całkowaia w tm metod reacoch da układów stwch a efektwość obiceń modei mechaimów ołąceiami astęcmi. 4 LIEAUA. Adamiec-Wójcik I. Augustek K. (5) Modeig damics of feibe mutibod sstems b meas of the rigid fiite eemet method Mutibod Damics 5 o Advaces i Comutatioa Damics: ECCOMAS hematic Coferece Madrid.. Adamiec-Wójcik I. Macński A. Wojciech S. (8) Zastosowaie metod trasformacji jedorodch w modeowaiu damiki urądeń offshore Wdawictwo Komuikacji i Łącości Warsawa. 3. Bajer W. (998) Metod damiki układów wieocłoowch Wdawictwo Poitechiki adomskiej adom. 4. Bajer W. () Methods for costrait vioatio suressio i umerica simuatio of costraied mutibod sstems A comarative stud Comut. Methods A. Mech. Egrg Frącek J. () Modeowaie mechaimów restrech metodą układów wieocłoowch Prace Naukowe- Mechaika.96 Ofica Wdawica Poitechiki Warsawskiej Warsawa. 6. Harecki A. () Metoda aai damicej mechaicch układów wieocłoowch tarciem suchm w arach kiematcch oraw Naukowe Nr Wdawictwo Akademii echico-humaistcej Biesko-Biała. 7. Wittbrodt E. Adamiec-Wójcik I. Wojciech S. (6) Damics of feibe mutibod sstems: rigid fiite eemet method Sriger Beri. MODELLING OF JOINS IN MECHANISMS BY MEANS OF SPING ELEMENS Abstract: Mechaisms are eames of cosed kiematic chais with a tree-ike structure. I order to derive the equatios of motio cosed kiematic chais have to be cut ad costrait equatios have to be formuated. As a resut equatios of motio form set of differetia-agebraic equatios with ide 3 which are difficut to sove. he aer resets a method modeig iteractios betwee bodies at the cut joits b meas of srig eemets with aroriate stiffeess. Such aroach eimiates costraits equatios ad thus the equatios of motio form a set of ordiar differetia equatios.