Wytrzymałość Materiałów

Transkrypt

1 Wtrmałość ateriałów konspekt wkładów dla studentów studiów diennch kierunek: budownictwo dr hab. inż. Janus German Katedra Wtrmałości ateriałów Wdiał Inżnierii Lądowej Politechnika Krakowska Kraków, 5

2 PODSTWOWE POJĘCI, DEFINICJE I ZŁOŻENI Wtrmałość ateriałów - diał mechaniki stosowanej ajmując się achowaniem ciał stałch pod wpłwem różnego tpu obciążeń. Celem anali tego achowania jest wnacenie odpowiedi ciała na diałające obciążenie tn. wnacenie naprężeń, odkstałceń i premiesceń wsstkich punktów ciała.. Predmiot i cel wtrmałości materiałów Tp konstrukcji ateriał konstrukcji Wmiar konstrukcji Wię (podpor) Prekrój poprecn + Zestawienie obciążeń STTYK Reakcje podporowe Sił wewnętrne Sił prekrojowe Pole naprężeń Pole premiesceń Pole odkstałceń ECHNIK CIŁ ODKSZTŁCLNEGO TEORI SPRĘŻYSTOŚCI - wtrmałość mat. TEORI PLSTYCZNOŚCI REOLOGI Warunki projektowania POLSKIE NORY Wmiar prekroju poprecnego

3 PODSTWOWE POJĘCI, DEFINICJE I ZŁOŻENI. Podiał konstrukcji inżnierskich KONSTRUKCJ INŻYNIERSK element nośn + podpor konstrukcje prętowe konstrukcje cienkościenne konstrukcje maswne belki powłoki ram tarce stop fundamentowe łuki płt kratownice rust powłoki kuliste ścian oporowe Konstrukcje: płaskie prestrenne Konstrukcje: statcnie wnacalne statcnie niewnacalne Konstrukcje: stalowe drewniane żelbetowe. Klasfikacja obciążeń Bepośrednie OBCIĄŻENI Pośrednie stałe i mienne (w casie) skupione i ciągłe statcne i dnamicne powierchniowe i objętościowe premiescenia wmusone: - temperaturą - wilgotnością - skurcem - osiadaniem podpór - sprężeniem

4 PODSTWOWE POJĘCI, DEFINICJE I ZŁOŻENI Obciążenia - charakterstcne - obliceniowe (charakterstcne wsp. obc.) Norm obciążeniowe: PN-8/B- PN-8/B- PN-8/B- PN-8/B-4 PN-8/B- PN-77/B- PN-88/B-4 PN-87/B- PN-86/B-5 PN-86/B-5 Obciążenia budowli. Zasad ustalania wartości. Obciążenia budowli. Obciążenia stałe. Obciążenia budowli. Obciążenia mienne technologicne. Podstawowe obciążenia technologicne i montażowe Obciążenia budowli. Obciążenia mienne technologicne. Obciążenia pojadami. Obciążenia w obliceniach statcnch. Obciążenie śniegiem. Obciążenia w obliceniach statcnch. Obciążenie wiatrem. Obciążenia budowli. Obciążenie gruntem. Obciążenia budowli. Obciążenia mienne środowiskowe. Obciążenie oblodeniem. Obciążenia budowli. Obciążenia mienne środowiskowe. Obciążenie temperaturą. Obciążenia budowli. Obciążenia suwnicami pomostowmi, wciągarkami i wciągnikami. 4. Wię (podpor) i ich reakcje (sił bierne) podpora pregubowo-presuwna V podpora pregubowo-niepresuwna H V H V H pełne utwierdenie V utwierdenie presuwem H utwierdenie presuwem V

5 PODSTWOWE POJĘCI, DEFINICJE I ZŁOŻENI Oblicanie reakcji - asada estwnienia - równowaga ciała : równowaga układu sił ciało w spocnku 5. Podstawowe ałożenia S X o Y o o Z o Założenie o ośrodku ciągłm - elementarne składniki ciała stałego (o budowie krstalicnej lub amorficnego) są nieroróżnialne. Predmiotem obserwacji jest tw. punkt materialn (tn. punkt o nieerowej masie). Ciało (ośrodek) ciągł - continuum materialne - to takie ciało, które jest scelnie wpełnione punktami materialnmi (ciało be "diur"). Założenie o równowade statecnej Równowaga statecna Równowaga obojętna Równowaga niestatecna B C Założenie o małch premiesceniach - asada estwnienia premiescenia punktów konstrukcji są małe w porównaniu jej charakterstcnmi wmiarami (np. mniejse od /5 długości belki, /4 grubości płt itp.). Zasada estwnienia : wpłw premiesceń konstrukcji na wartość sił biernch (reakcji podpór) i sił wewnętrnch (prekrojowch) jest pomijalnie mal. Onaca to, że pr oblicaniu tch sił nie roróżniam konfiguracji aktualnej od wjściowej. P a L R B P R RL Pa

6 PODSTWOWE POJĘCI, DEFINICJE I ZŁOŻENI 5 6. Siła wewnętrna ν o ν r P o I II I II P P P ν r const r B P P B r B I II ν P P r ν const P P r, ν Siłą wewnętrną nawam funkcję wektorową wektorów - wektora wodącego punktu i wersora normalnego płascn, określającą wpadkową sił międcąsteckowch diałającch międ wsstkimi punktami cęści II, wnaconej pre tę płascnę i dowolnm punktem materialnm leżącm na płascźnie i należącm do cęści I. 7. Twierdenie o równoważności układu sił ewnętrnch i wewnętrnch. { Z } I { Z } II { Z } I { W } I { W } II { Z } II I II + I II { Z I} + { Z II} { } { Z I} + { WI} { } { Z II} + { WII} { } { WI} + { WII} { } { WII} { Z I} S{ WII} S{ Z I} ; o{ WII} o{ Z I} { WI} { Z II} S{ WI} S{ Z II} ; o{ WI} o{ Z II} Równoważność układu sił ewnętrnch i wewnętrnch nie powala wnacć układu sił wewnętrnch, gdż układów równoważnch można naleźć nieskońcenie wiele. Onaca ona jednak równość sum obu układów i momentów obu układów wg. dowolnego punktu "O". Twierdenia o równoważności układu sił ewnętrnch i wewnętrnch powalają atem w oparciu o najomość układu sił ewnętrnch określić tw. redukowan (do punktu "O") układ sił wewnętrnch (tn. sumę i moment ukł. sił wewnętrnch).

7 PODSTWOWE POJĘCI, DEFINICJE I ZŁOŻENI 6 8. Sił prekrojowe w konstrukcjach prętowch Pręt - brła, której jeden wmiar (długość) jest nieporównwalnie duż w stosunku do dwu poostałch (wmiar prekroju poprecnego) Oś pręta - miejsce położenia punktów będącch środkami ciężkości prekrojów pręta płascnami precinającmi tworące pręta Prekrój poprecn - prekrój pręta płascną prostopadłą do osi pręta- Zadanie : Wnacć redukowan układ sił wewnętrnch { WII }, tn. wnacć wektor sum S { WII } i wektor momentu o { WII }. Zredukowanego układu sił wewnętrnch, posukujem w prekroju poprecnm pręta, a środkiem redukcji jest środek ciężkości prekroju "O" P i S { W } II i r i O I II o { W II } Rowiąanie: Korstając twierdenia o równoważności układu sił ewnętrnch i wewnętrnch, a także uwględniając asadę estwnienia, możem apisać: { II} Pi{ Z I} o { W II } r i P i { Z I } S W Składowe tak wnaconego wektora sum i momentu nawam siłami prekrojowmi (,, Q ) o (,, ) S S N Q Q N Q 8.. Podstawowe prpadki redukcji Układ sił ewnętrnch { ZI } { WII } może redukować się w środku ciężkości prekroju poprecnego do: wpadkowej, prostopadłej do prekroju poprecnego (siła osiowa, normalna, podłużna) ν N ν N Rociąganie Ściskanie

8 PODSTWOWE POJĘCI, DEFINICJE I ZŁOŻENI 7 wpadkowej, leżącej w płascźnie prekroju poprecnego (siła poprecna, ścinająca, tnąca) Q Q Ścinanie par sił leżącej w płascźnie prekroju poprecnego, a atem par o wektore momentu normalnm do prekroju ( moment skręcając ) Skręcanie par sił leżącej w płascźnie prostopadłej do prekroju poprecnego, a atem par o wektore momentu leżącm w płasc. prekroju ( moment ginając ) Zginanie wg. osi "" Zginanie wg. osi "" 9. Statcnie wnacalne płaskie konstrukcje prętowe Definicja: konstrukcje składające się prętów, którch osie leżą w jednej płascźnie, obciążone układem sił określonm w tej samej płascźnie i tak połącone podłożem, że reakcje podporowe można wnacć na podstawie jednie równań równowagi. P q α α α N I α II Q 9.. Reakcje o Z o X Y o 9.. Sił prekrojowe (,, ) (, ) (,, ) ( ) S N Q Q N Q

9 PODSTWOWE POJĘCI, DEFINICJE I ZŁOŻENI 8 9. Układ własn prekroju poprecnego Pr posukiwaniu sił prekrojowch (popre redukcję obciążenia ewnętrnego) regnuje się globalnego układu współrędnch (,) na rec układu lokalnego wiąanego prekrojem poprecnm. Układ taki nosi nawę ukł. własnego prekroju poprecnego. α α N n N n { W II } { Z I } Q Q n Q { W I } { Z II} Q N N n 9.4. Konwencja nakowania momentu od par sił, spod. + " spod " " spod " " spod " " spod " Umowa : graficnm repreentatem momentu od par sił będie łuk skierowan. Za dodatni wrot momentu prjmujem taki, któr powoduje rociąganie dowolnie wróżnionch włókien pręta, wanch spodami. Umowa : Oś licbową, na której będiem odkładać wartości momentów prekrojowch prjmuje, w ten sposób, że jest on prostopadła do prjętch spodów, a jej dodatni wrot "jest godn e spodami" Oblicanie momentu. wektora a wględem punktu O a r o ( a ) r a O a α r d w adaniach płaskich o ( a ) r a sin α d r a a d O r od obciążenia ciągłego wg. pkt. O a b d C ( ) c q() o O b S q d a c b a b a q d q d

10 PODSTWOWE POJĘCI, DEFINICJE I ZŁOŻENI 9 Prkład ( o ) o q d q d q d o b a b a b c ( o c ) q d q d S o b a S 5 4/ / O a b a o 5 ( + ) 8.. Punkt, prediał charakterstcne w konstrukcjach prętowch B C D E F G H K I Punkt charakterstcne - pocątek, koniec pręta:, K - podpor: C, F, K - punkt prłożenia obciążenia: B, G, I - pocątek i koniec obciążenia ciągłego: D, E - miejsca mian geometrii pręta i punkt nieciągłości: H Prediał charakterstcne - prediał położone międ pkt. charakterst.. Zależności różnickowe dla pręta prostego Definicja: pręt prost to pręt, którego oś jest linią prostą. Q, N q (), q Q q () d Q + d Q + d Y Q q ( ) d Q dq dq d Q d q d d o + d q ( d) d d Q, d q d Wnioski:. jeżeli q to wkres funkcji Q() jest stał, a funkcji () jest liniow. jeżeli qconst., to wkres funkcji Q() jest liniow, a funkcji () parabolicn ( ). międ i Q achodą wsstkie ależności, jakie wnikają własności pochodnej

11 BELKI STTYCZNIE WYZNCZLNE. Belki proste. definicja: konstrukcja prętowa, której oś jest linią prostą tp belek prostch : [ kn ] [ kn/m ] [ knm ] belka wolnopodparta belka wolnopodparta prewieseniem belka wspornikowa sił prekrojowe N, Q, Q N reakcje X Y procedura rowiąwania belek. Z równań równowagi oblicć reakcje. Zapisać równania sił prekrojowch jako funkcje położenia prekroju, w jego układie własnm ( w prpadku skorstać tw. " spodów "). Narsować na osi belki wkres N, Q, Q N oś belki spod. Belki ciągłe (pregubowe, "gerberowskie") Zadanie: Dwa pomiescenia prekrć stropem, którego elementami nośnmi są belki. Rowiąanie: wariant - dwie belki proste, jednopręsłowe belki stropowe ścian L L L ql 8 L ql 8 schemat statcn moment ginające

12 BELKI STTYCZNIE WYZNCZLNE wariant - belka pregubowa wielopręsłowa (konstrukcja łożona dwu i więcej belek prostch jednopręsłowch, leżącch w jednej linii i połąconch pregubami) belki stropowe ścian L L- c c schemat statcn R R rokład na belki proste qc 8 q L (L-c) qc 8 moment ginające Porównanie wariantów - maksmalne moment pręsłowe qc ma 8 k c ql 8 L ma c / L k maksmaln moment podporow w wariancie kied jest możliw warunek < ( ) podporow ma ma ql L c ql < c > L L< c< L Wniosek: belki ciągłe w porównaniu jednopręsłowmi powalają uskać korstniejs rokład momentów ginającch, co jednej stron umożliwia pokonwanie więksch ropiętości międ ścianami, a drugiej powala na oscędne projektowanie. Prkład

13 BELKI STTYCZNIE WYZNCZLNE etod rowiąwania belek pregubowch. Równania pregubów Każd pregub na belce wnosi jedno dodatkowe równanie, wnikające faktu erowania się momentu ginającego po obu stronach pregubu. Nosi ono nawę równania pregubu. Równań takich jest tle, ile pregubów awiera belka. Dla belki ciągłej statcnie wnacalnej (i geometrcnie niemiennej) o "n" niewiadomch reakcjach łącna licba równań, jaką można apisać dla belki również wnosi "n", cego to rów. równowagi, a resta to rów. pregubów. Rowiąanie układu n równań algebraicnch liniowch może bć niepraktcne. H V V + pr P le P lub równania równowagi. Rokład belki ciągłej na belki proste Sposób rokładu belki wielopręsłowej, pregubowej na belki proste determinowan jest jej schematem statcnm (a w scególności położeniem pregubów). "Krojąc" belkę w pregubie, tn. w punkcie w którm, wajemne oddiałwanie cęści belki lewej i prawej stron pregubu ależ tlko od sił osiowej N i poprecnej Q. Z punktu widenie momentu ginającego istotna jest tlko siła Q (siła N daje wg. punktów osi belki ), a atem oddiałwanie pionowe, które można uwględnić wprowadając w odpowiedni sposób podpor w miejscu podiału belki. II II R R R R 4 R R R R 4 I I I V R R IV R R III R R II R 4 R 4 I

14 KRTOWNICE Definicja: konstrukcja prętowa, składająca się prętów prostch połąconch e sobą pregubami słupki pas górn krżulce pas doln Założenia: pręt są połącone w węłach pregubami idealnmi (brak tarcia) Prkładowa konstrukcja węła pasa dolnego blacha blachownica osie prętów precinają się w węźle w jednm punkcie obciążenie ewnętrne prłożone jest tlko w węłach kratownic poprecnice podłużnice dźwigar mostowe krokwie płatwie

15 KRTOWNICE Podstawowe informacje nt. geometrcnej niemienności ciał płaskich stopień swobod - nieależn parametr określając położenie ciała na płascźnie pojednca tarca - stopnie swobod: dwa premiescenia i jeden obrót. "T" nieależnch tarc ma raem T stopni swobod dwie tarce SS SS 6 st. swobod SS B' B 5 st. swobod φ Połącenie prętem SS (obrót wokół B - kąt φ, premiescenie po okręgu o promieniu B - wsp. łukowa BB' ) SS B 4 st. swobod SS (obrót wokół B) Połącenie prętami Połącenie prętami B SS 4 st. swobod SS SS st. swobod SS SS SS Połącenie 4 prętami st. swobod Wniosek : dodatkow pręt łącąc dwie tarce nie awse musi odbierać jeden stopień swobod. Zawse prawdiw jest natomiast warunek, mówiąc, że: jeżeli tarce połącone są tak, że tworą układ o stopniach swobod (geometrcnie niemienn), to prawdiw jest wiąek p p - licba prętów W prpadku połąconch T tarc tworącch układ o stopniach swobod T p Stopień geometrcnej niemienności V V T p

16 KRTOWNICE Warunek koniecn (ale nie wstarcając) geometrcnej niemienności układu V < > układ stwn UKł D GEO. NIEZIENNY układ prestwnion układ geometrcnie mienn środek chwilowego obrotu V - - V - - Twierdenia o geometrcnie niemiennm połąceniu i tarc warunkiem koniecnm i wstarcającm połącenia tarc w sposób geometrcnie niemienn jest połącenie ich co najmniej trema prętami (V ), które nie są równoległe, ani ich kierunki nie precinają się w jednm punkcie (środek chwilowego obrotu) warunkiem koniecnm i wstarcającm połącenia tarc w sposób geometrcnie niemienn jest połącenie każdch dwóch co najmniej dwoma prętami (V ) w taki sposób, ab pręt te nie bł równoległe, ani też punkt precięcia się kierunków prętów łącącch każde dwie tarce nie leżał na jednej prostej, ora ab nie schodił się w jednm punkcie. Kratownice W kratownicach - tarce (każd pręt kratownic stanowi jedną tarcę) połącone są pregubami, co odpowiada połąceniu prętami w - licba węłów (punktów, w którch schodą się co najmniej tarce, tn. pręt kratownic T - licba tarc (prętów kratownic) b - licba biegunów prostch V T p V T b T b w T b w T b 5 w b T - w V w T

17 KRTOWNICE 4 w 4 T 4 V ukł. geometrcnie mienn w T ukł. geometrcnie niemienn V tw. o geom. niemienności tarc C D G F B ukł. geometrcnie niemienn w 6 T 9 V tw. o geom. niemienności tarc wewnętrna geometrcna niemienność kratownic - niemienność kratownic be uwględniania sposobu jej połącenia podłożem ewnętrna geometrcna niemienność kratownic - geometrcna niemienność połącenia kratownic podłożem Zredukowan układ sił wewnętrnch w prekroju poprecnm pręta kratownic B D L α E B α α D Q N C α C na długości pręta DE q () d a+ b d ( L ) b a, Q WNIOSEK: układ sił wewnętrnch redukuje się w prekroju poprecnm każdego pręta kratownic do sił podłużnej N.

18 KRTOWNICE 5 Twierdenia o prętach erowch Definicja : pręt erow to pręt, w którm siła N Twierdenie : jeżeli kratownica obciążona dowolnm układem sił ewnętrnch poostaje w równowade, to w równowade poostaje również każd węeł obciążon siłami ewnętrnmi i wewnętrnmi wstępującmi w prekrojach prętów schodącch się w tm węźle. twierdenie Jeżeli w węźle kratownic schodą się pręt i węeł jest nieobciążon, to sił wewnętrne w obu prętach są równe eru α N N X N cos α + N Y N sinα N, N twierdenie Jeżeli w węźle kratownic schodą się pręt i węeł jest obciążon siłą leżącą na kierunku jednego nich, to siła wewnętrne w drugim pręcie jest równa eru N P α N Y N sinα N twierdenie Jeżeli w węźle kratownic schodą się pręt, którch dwa leżą na tej samej prostej i węeł jest nieobciążon, to siła w trecim pręcie jest równa eru N α N N ilustracja astosowania twierdeń o prętach erowch X N sinα N T T T T T

19 KRTOWNICE 6 etod rowiąwania kratownic metoda równoważenia prętów P α G B P C F D E w 7 T r ilość niewiadomch : T + r ilość równań : w V Węeł. Węeł G. Węeł B N B-C P N -B N G- N G-B N G-F B N -G P N B- N B-G N B-F rów. równowagi węła Y N sinα P B X N cos α + N B G itd. wad metod:. kolejność rowiąwania jest determinowana układem prętów,. duża licba "rachunków". kratownica be węła o prętach nie może bć "ręcnie" rowiąana w T 7 r V metoda Rittera - prekrój krat pre pręt nie schodące się w jednm węźle P h F P α B P 4 C a a P β α E D F N N N B α α N h+ P h N... F N h+ P a N... B X lub Y ; Y P + N cos β N... metoda Cremon (graficn odpowiednik metod równoważenia węłów)

20 TEORI STNU NPRĘŻENI. WEKTOR NPRĘŻENI r F ν P P P P, P - wektor sił wewnętrnch w punktach powierchni F wokół punktu P P r, ν i i i P - suma sił wewnętrnch na powierchni F P P P i i F i P średnia gęstość sił wewnętrnch na powierchni F F P F naprężenie w punkcie : p lim p p( r, ν ) F funkcja wektorowa. STN NPRĘŻENI W PUNKCIE biór wektorów naprężenia w ustalonm punkcie pr dowolnej płascźnie prekroju r const p p( ν ) wbieram scególne płascn prekroju - prostopadłe do osi układu współrędnch ν p p ν i p ν wektor naprężenia prnależn płascźnie prostopadłej do osi i i i i wersor normalne płascn prostopadłch do osi i macier naprężenia T ( ) pi pi i, i, i i,, ij ij, i, j,, funkcja skalarna skalarów. KONWENCJ ZNKOWNI NPRĘŻEŃ,, - naprężenia normalne, poostałe to napr. stcne napręż. normalne jest dodatnie, G F jeżeli jest godnie skierowane normalną ewnętrną płascn napr. stcne jest dodatnie, jeżeli: r C D ) normalna ewnętrna płascn jest E godnie skierowana osią układu, do której jest ona równoległa ) naprężenie stcne jest godnie B skierowane osią układu, do której jest ono równoległe, lub gd oba warunki są jednoceśnie niespełnione.

21 TEORI STNU NPRĘŻENI 4. TENSOR NPRĘŻENI p ν C B F F O F F p wektor napr. na ściance F o wersore normalnm ν p ( p, p, p ) p i ν ν ν wektor napr. na ściankach F i p (,, ) i i i i F i pole ścianki prostopadłej do osi i (rut ścianki F na na płascnę prostopadłą do osi i ) ν ( α ν, α, ν α ν ) F I F cos kąta międ ściankami cos kąta międ normalnmi do ścianek F i F cos ν, F F cos ν, F α ν i i i i sił diałające na ściankach F i P p F i i i siła diałająca na ściance F P p F warunek równowagi sił (amknięt prestrenn wielobok sił) P P + + p F p F + p F + p F P P p p α + p α + p α ν ν ν p p p α + α + α α + α + α α + α + α ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν smetria macier naprężeń ij ji p ν α ν α ν α ν + + itd... konwencja sumacjna współrędne wektora naprężenia na ściance o normalnej ν p νi ij α νj W wniku pomnożenia wektora pre macier otrmujem wektor, a atem macier naprężenia musi bć tensorem. 5. TRNSFORCJ TENSOR NPRĘŻENI e e e e e e T p T ν T macier prejścia α ij cos ( e i, e j ) I wiers α cos ( e, e ) α cos ( e, e ) α cos ( e, e ) I kolumna α cos ( e, e ) α cos ( e, e ) α cos ( e, e )

22 TEORI STNU NPRĘŻENI. wierse macier prejścia to współrędne wersorów nowego układu wrażone w ukł. starm. kolumn macier prejścia to współrędne wersorów starego układu wrażone w ukł. nowm. macier ortonormalna wg. wiers i kolumn, tn. α α ik ki α α jk kj i j δ ij i j 4. prawo transformacji ij α ik α jl kl 6. NPRĘŻENI GŁÓWNE Posukujem takiej płascn prechodącej pre dan punkt, ab odpowiadając jej wektor naprężenia p ν miał taki sam kierunek jak wersor normaln płascn ν. p ν ν ( ; ; ) p p p p ν ν ν ν ( ν ; ν ; ν ) ν α α α O - miara wektora p ν Zauważm, że utożsamiając kierunek wersora normalnego płascn kierunkiem np. "" osi nowego układu, wektor naprężenia tworąc pierws wiers 'nowego" tensora naprężenia miałb nieerową tlko pierwsą składową - składową normalną. Błab ona najwięksa spośród wsstkich możliwch. Takie naprężenie normalne nosi nawę naprężenia głównego, a odpowiadająca mu płascna to płascna główna. warunek kolinearności p ν ν p νi α νi wektor naprężenia p ν T ν p νi ij α νj agadnienie własne T ν ν ij α νj α νi ij δ ij α νj + α νj α νj (war. jednostkowej dług. wersora) Warunek koniecn istnienia rowiąania e wg. na element macier prejścia det δ ij ij I + I I (równ. charakterstcne) I + +, I + +, I równanie charakterstcne ma awse pierwiastki recwiste, które można uporądkować > > każdej wartości głównch odpowiada płascna główna, określona wersorem normalnm ν α, α, α ν α, α, α ν α, α, α

23 TEORI STNU NPRĘŻENI 4 wersor określające płascn główne są ortonormalne, tn. ν i o ν j dla i dla i ν ν ν ν ν ν ν ν ν dla dowolnego tensora naprężenia awse istnieją wajemnie prostopadłe naprężenia i kierunki (płascn) główne. procedura określania kierunków głównch, cli araem macier prejścia do kierunków głównch α + α + α np. dla α + α + α α + α + α + α + α + α (*) ) wiąć którekolwiek spośród równań, kładąc w nich np. α t ) naleźć α α (t), α α (t) ) wnacć parametr t warunku " (*) " 4) oblicć wartości α, α, α 5) postąpić analogicnie dla 6) wnacć ν ν ν 7. PŁSKI STN NPRĘŻENI stan naprężenia, dla którego wsstkie składowe leżą w jednej płascźnie, np. (, ). j j tensor naprężenia T macier prejścia,, α cos α α ij sinα sinα cos α naprężenia główne ij α ik α jl kl + prekstałcenia, + ( ) ± + 4 tgα,, pseudopłaski stan naprężenia - jak wżej, ale. Reultat jak dla PSN, a trecie naprężenie główne

24 TEORI STNU NPRĘŻENI 5 8. EKSTRELNE NPRĘŻENI STYCZNE Problem : W punkcie nan jest tensor naprężenia w osiach głównch. Jaką płascną należ prekroić ciało w pkt., ab miara rutu wektora naprężenia odpowiadającego tej płascźnie na nią samą bła maksmalna? ν τ ν ν p ν ( ν ν ν ) p p ; p ; p wektor naprężenia ν ν ν ν ν α ; α ; α wersor normaln ν - miara rutu wektora naprężenia p ν na normalną ν τ ν - miara rutu wektora naprężenia p ν na płascnę p ν p α + p α + p α ν ν o ν ν ν ν ν ν p α p α p α p α νi ij νj ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν Procedura rowiąania α + α + α () p ν ν + τ ν τ ν pν ν ( ) ν ν ν ν ν ν ν τ α + α + α α + α + α () ν ν ν + warunek α + α + α () Zadanie sprowada się do naleienia ekstremum funkcji () warunkiem pobocnm () ) war. () weliminować np. α ν i wstawić do funkcji () ) warunki koniecne istnienia ekstremum τ α ν ν τ ν ; + prekstałcenia α Rowiąanie : Naprężenia stcne osiągają swoje ekstrema na płascnach nachlonch pod kątami 45 do płascn głównch. 9. KOŁ OHR ν ν ν ν ( ; 77. ; 77. ) ; ν ( ; 77. ; 77. ) τ ν ± 77 ± 77 ± ( ;. ;. ) τ ν ± ± ± (. 77 ; ;. 77) τ ν ± ± ± (. 77 ;. 77 ; ) Problem : W punkcie nan jest tensor naprężenia w osiach głównch. Określić biór rowiąań ( ν, τ ν ) dla dowolnch płascn prekroju ciała, prechodącch pre pkt.. ν τ ν ν p ν p p ; p ; p wektor naprężenia ν ν ν ν ( ν ν ν ) ν α ; α ; α wersor normaln ν - miara rutu wektora p ν na ν τ ν - miara rutu wektora p ν na płascnę

25 TEORI STNU NPRĘŻENI 6 tensor naprężenia T Procedura rowiąania > > p ν p α + p α + p α ν ν o ν ν ν ν ν ν p α p α ; p α ; p α νi ij νj ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν α + α + α () p ν ν + τ ν τ ν pν ν ( ) ν ν ν ν ν ν ν τ α + α + α α + α + α () ν ν ν + warunek α + α + α () Rowiąanie układu równań (), (), () wgl. α νi ma postać : α α ν ν + ( ) ( ) ( ) ( ) ν ν ν τ + ( )( ) ( )( ) ν ν ν τ α ν + ( )( ) ( )( ) ν ν ν τ Z relacji więksościowch międ naprężeniami głównmi wnikają nierówności: + ( )( ) ; τ ν + ( ν )( ν ) ; τ ν ( ν )( ν ) ν ν ν τ Prekstałcenia tch nierówności prowadą do wiąków: + K ν + τ ν ewnętre okręgu o promieniu ( - ) / i środku [ ( + ) / ; ] + K ν + τ ν wnętre okręgu o promieniu ( - ) / i środku [ ( + ) / ; ] + K ν + τ ν wnętre okręgu o promieniu ( - ) / i środku [ ( + ) / ; ] + τ ν K WNIOSEK : Dla danego tensora naprężenia w pkt., p ν τ ν określonego w osiach głównch, koniec wektora naprężenia p ν odpowiadają- ν S S K S ν cego dowolnej płascźnie prechodącej pre pkt. musi leżeć w obsare K określonm pre koła ohra (obsar "aciemnion"). Jest to obsar, w którm leżą wsstkie par (ν, τν)

26 TEORI STNU NPRĘŻENI 7 Zastosowanie kół ohra dla płaskiego stanu naprężenia ( ) ZDNIE : Dane są naprężenia główne i ora kąt α, pod jakim nachlona jest płascna do kierunku naprężenia. Wnacć naprężenia normalne ν i stcne τν prnależne tej płascźnie. τ ν ν S α ν τ ν p ν ZDNIE : Dan jest tensor naprężenia w pkt. w dowolnm ukł. współrędnch (, ). Znaleźć naprężenia główne i ora ich kierunki. τ g³ P O N S N α α P g³ Kolejność cnności: ) odłożć na osi "" wartości i ) punktu odłożć na osi "τ" wartość - jeżeli > to po dodatniej stronie osi "τ" ( na rsunku prjęto < ). Z punktu odłożć wartość po stronie preciwnej osi "τ". Otrmujem punkt P i P ) połącć punkt P i P - punkt S, precięcia odc. P -P osią "" jest środkiem koła 4) narsować koło o środku w pkt. S i promieniu S P (S P ). Otrmujem punkt N i N, precięcia się okręgu osią "". Odcinki ON i O N wnacają wartości naprężeń głównch i gł 5) połącć punkt P N - otrmujem oś, określającą kierunek główn odpowiadając pierwsemu naprężeniu głównemu gł 6) połącć punkt P N - otrmujem oś, określającą kierunek główn odpowiadając drugiemu naprężeniu głównemu.

27 RÓWNNI RÓWNOWGI RÓWNNI RÓWNOWGI (RÓWNNI NVIER) Sformułowanie agadnienia: Dowolne ciało obciążone ukł. sił ewnętrnch (Z) poostaje w równowade. Z wnętra ciała wcinam element o objętości V o i powierchni S o. Określić warunki równowagi wciętego elementu. r V S ν p ν X ν ν ν ν X (X, X, X ) - wektor sił masowch w dowolnm punkcie wewnątr objętości V p p ; p ; p - wektor naprężenia w dowolnm punkcie na powierchni S o normalnej ν α ; α ; α ( ν ν ν ) tw. o równoważności układu sił ewnętrnch i wewnętrnch ukł. sił diałającch na wcięt element jest układem erowm warunek równowagi sił S p ds + XdV S ν V r p ds + r XdV S ν V S p ds + X dv i S νi i V Twierdenie Gaussa S ds + X dv i S ijα ν j i V ijανjds ijcos ( ν, j ) ds ij dv j S S V ij, j i ( ij, j i ) S dv + X dv + X dv i V V V RÓWNNI RÓWNOWGI - RÓWNNI NVIER ij, j + X i X,,, X,,, X,,,

28 RÓWNNI RÓWNOWGI warunek równowagi momentów e p ds + e X dv i ijk j νk S V ijk j k e ds + e X dv i ijk j km α ν m ijk j k S V i ( eijk j km ) dv + eijk j X k dv m V V i eimk km + eijk j km, m dv + eijk j X k dv V V [ (, ) ] e + e + X dv i imk km ijk j km m k V e imk km np. i e e + e + e e + e + e + mk km k k k k k k + e + e + e + e + e + e e + e SYETRI TENSOR NPRĘŻENI ij ji WNIOSKI ) Tensor naprężenia awiera 6 nienanch składowch, którch nie można wnacć korstając tlko równań Naviera, którch jest jednie. ) Równania Naviera są równaniami różnickowmi, pr ich całkowaniu pojawią się atem stałe całkowania. Wnaca się je na podstawie anali elementu ciała awierającego cęść jego powierchni ewnętrnej. Dięki temu możliwe jest powiąanie naprężeń w punktach na powierchni obciążeniem ewnętrnm. Relacje wiążące naprężenia obciążeniem ewnętrnm ciała nosą nawę STTYCZNYCH WRUNKÓW BRZEGOWYCH.

29 STTYCZNE WRUNKI BRZEGOWE STTYCZNE WRUNKI BRZEGOWE W celu powiąania naprężeń obciążeniem ewnętrnm wcinam ciała element objętościow w kstałcie cworościanu, którego ścianki są równoległe do płascn układu współrędnch, a ścianka ukośna aproksmuje cęść powierchni ewnętrnej ciała. r D B F D F q ν B ν C F F q ν - uśredniona gęstość obciążenia ewnętrnego na ściance F o ewnętrnm wersore normalnm ν (,, ) ( ν, ν, ν ) ν ν ν ν q q q q ν α α α p i - uśrednione wektor naprężenia na ściankach Fi (,, ) p i i i i warunek równowagi sił diałającch na cworościan S Zauważm, że posukiwanie wiąku wektora q ν wektorami naprężenia p i jest formalnie identcne adaniem wnacania wektora naprężenia na ściance F jako funkcji wektorów naprężenia na ściankach Fi (cli składowmi tensora narężenia). am atem: α q νi ij νj q ν α ν + α ν + α ν α + α + α q ν ν ν ν α + α + α q ν ν ν ν WRUNKI KONIECZNE tego, ab dowoln tensor smetrcn II rędu bł tensorem naprężenia : ) składowe tensora musą spełniać równania Naviera, ) składowe tensora musą spełniać statcne warunki bregowe.

30 TEORI STNU ODKSZTŁCENI. WEKTOR PRZEIESZCZENI P u r r ' P ' stan po deformacji stan pred deformacją położenie pkt. P pred deformacją P( r) P(,, ) położenie pkt. P po deformacji P ( r ) P (,, ) premiescenie punktu P PP u r r wektorowe pole premiesceń u u( r). ZIN ODLEGŁOŚCI IĘDZY PUNKTI ui i i i,, u u i i (,, ) r P d r r + d r u u + d u Q P ' Q ' stan pred deformacją stan po deformacji położenie pkt. P po deformacji P ( r + u) położenie pkt. Q po deformacji Q ( r + dr + u + du) kwadrat odległości międ punktami P i Q pred deformacją ds dr d + d + d d d kwadrat odległości międ punktami P ' i Q ' po deformacji r + u + P' Q' r + dr + u + du PQ ' ' dr+ du ( ) ( ) ( ) ( i i)( i i) ds dr + du d + du + d + du + d + du d + du d + du oblicenie różnic kwadratów odległości punktów po i pred odkstałceniem - różnicka upełna u i du i d j u i, j d j i, j,, j i i

31 TEORI STNU ODKSZTŁCENI ( i i, j j )( i i, j j ) ds d + u d d + u d ds ds u d d + u u d d ij, i j ij, ik, j k u d d u d d ij, i j ji, i j ds ds u d d + u d d + u u d d i, j i j j, i i j k, i k, j i j (,,,, ) ds ds u + u + u u d d ij ji ki kj i j ij i j ds ds e d d ( u + u u u ) e ij i, j j, i + k, i k, j macier stanu odkstałcenia ( II rędu, smetrcna ) acier stanu odkstałcenia jest TENSORE Dowód: w "nowm " układie ( ),,, obróconm wg. układu wjściowego km k m ds ds e d d d α d d α d i ki k j mj m km k m ij i j ij ki mj k m e d d e d d e α α d' d' km ki mj ij e α α e pr. transformacji tensora. ODKSZTŁCENI LINIOWE I KĄTOWE wbieram włókna : PQ równoległe do osi i PR równoległe do. Wnacć długości tch włókien ora kąt międ nimi po odkstałceniu. P R P ' Q β długości włókien PQ, PR i QR pred odkstałceniem Q ' R ' PQ d ds PR d QR d + d długość włókna po odkstałceniu ds ds + e d d długości włókien P ' Q ', P ' R ', Q ' R ' po odkstałceniu ij i j PQ d + e ds PR d + e QR ( + e ) d + ( + e ) d + 4e d d

32 TEORI STNU ODKSZTŁCENI miana kąta międ włóknami P ' Q ' i P ' R ' (tw. Carnota, "tw. cosinusów") e cosβ ( + e)( + e ) ( ) cosβ sin π / β π β arc sin e ( + e)( + e ) odkstałcenia liniowe (wględna miana długości włókna PQ) PQ PQ d i PQ ε lim γ P Q i i ε ii lim di Q i P PQ PQ i PQ i i nie ma sumowania po "i" lim + eii + eii ε ii Q i P odkstałcenia kątowe ε lim π β d d P Q j j i Q i P ' β i j Q ' i ' Q j ε ij lim π β ε γ Q i P Q j P ij ij ij ε ij Q i P Q j P lim e ij arc sin arc sin 4. RÓWNNI GEOETRYCZNE wiąki międ premiesceniami i odkstałceniami e ( + e )( + e ) ( + eii)( + e jj) ii jj e u + u + u u (,,,, ) ij ij ji ki ki ij ε ii + e ii ε ij arc sin są to nieliniowe równania geometrcne e ( + eii)( + e jj) ij

33 TEORI STNU ODKSZTŁCENI 4 linearacja równań geometrcnch ałożenie : pochodne premiesceń są wielkościami małmi L / f L / 5 u L u u u / 5 8 L <<. / ( ) WNIOSEK : kwadrat pochodnch premiesceń, jako małe wżsego rędu można pominąć. odkstałcenia liniowe ( e ) ii ii ii ii ii ε ε + ε + e odkstałcenia kątowe e ii << e ij ε ij arc sin dla małch α arcsin α α ε ij e ij liniowe równania geometrcne - równania Cauch'ego ε ij ( u i, j + u j, i ) ε u ε u ε u,,, ε ( u, + u, ) γ ε ε ( u, + u, ) γ ε ε ( u, + u, ) γ ε ε ε ε tensor odkstałcenia T ε ε ε ε ε ε ε 5. KINETYCZNE WRUNKI BRZEGOWE ε ii e ii liniowe równania geometrcne ( rów. Cauch'ego ) - 6 równań różnickowch cąstkowch wg. nienanch funkcji premiesceń ( u, u, ) ε ij i j + j i rowiąanie ma postać : u u + u i - całka ogólna układu równań różnickowch jednorodnch (opisuje stan beodkstałceniow ε ij - premiescenia punktów brł stwnej) u i o u i s - całka scególna układu równań różnickowch niejednorodnch o i s i

34 TEORI STNU ODKSZTŁCENI 5 elementarne prekstałcenia algebraicne i różnickowe prowadą do całki ogólnej w postaci o o + u a+ b + c u d b f o u g c f Ostatecnie otrmujem atem rodinę rowiąań o 6 parametrach a, b, c, d, f i g. Parametr te określa się warunków wnikającch e sposobu podparcia konstrukcji. Warunki te nosą nawę kinematcnch warunków bregowch. prkład kinematcnch warunków bregowch h h h h B. u(, h) u(, h) h h B. u(, h) u(, h) u (, h) C. u(, ) u (, ) (, ) C u u

35 TEORI STNU ODKSZTŁCENI 6 6. RÓWNNI NIEROZDZIELNOŚCI ODKSZTŁCEŃ - liniowe równania geometrcne ( rów. Cauch'ego ) ( u, u, ) ε ij i j + ji - 6 równań różnickowch e wg. na niewiadome funkcje premiesceń - rowiąanie istnieje tlko wówcas, gd międ odkstałceniami achodą wiąki wane równaniami nierodielności. prestawienia wskaźników : + ε ( u u ) ij i, j + ji,, k ( u u ) ε ij, kl i, jkl + jikl, ε kl, ij k, lij + l, kij ( u u ) + + ( u u ) ( ) ε ik, jl i, k jl k, ijl ( u u ) ( ) ε jl, ik j, lik l, jik ε + ε ε ε ij, kl kl, ij ik, jl jl, ik licba równań (licba 4 elementowch wariacji e bioru elementowego) wnosi 4 8, ale licba równań nieależnch wnosi 6 interpretacja geometrcna ε + ε ε,,, ε + ε ε,,, ε + ε ε,,, ε + ε ε ε,,,,, +,,, ε ε ε ε ε + ε ε ε,,,, NIE TK l

36 TEORI STNU ODKSZTŁCENI 7 7. DEFORCJ SZEŚCINU JEDNOSTKOWEGO Problem : Określić deformację seścianu o jednostkowch krawędiach ("obra" punktu materialnego tn. punktu o prpisanej masie).. W układie współrędnch określonm pre osie główne tensora odkstałcenia () + ε () () pred odkstałceniem + ε + ε po odkstałceniu długości krawędi seścianu jednostkowego po odkstałceniu ε i i k i o i o L L L i,, i o miana objętości seścianu i k L L + ε i,, ( ε )( ε )( ε ) V V V k o + ε + ε + ε + ε ε + ε ε + ε ε + ε ε ε ε + ε + ε ε i i miana kątów międ krawędiami seścianu - nie wstępuje, gdż dla i j, εij. WNIOSEK : ) miana objętości wana dlatacją jest równa I niemiennikowi tensora, jest więc taka sama w każdm układie współrędnch ) nie wstępuje miana postaci B. W dowolnm układie współrędnch V ε i ε ii pred odkstałceniem po odkstałceniu długości krawędi seścianu jednostkowego po odkstałceniu ε i L i k L L i o i o i,, i o i k L L + ε i,, i

37 TEORI STNU ODKSZTŁCENI 8 miana objętości seścianu - dlatacja V ε ii miana kątów międ krawędiami seścianu ε π β β π ε ij ij ij ij WNIOSEK : ) mianę objętości, nieależnie od ukł. współrędnch opisuje I niemiennik V ε i ε ii ) wstępowanie mian postaci ależ od układu współrędnch. 8. DEWITOR I KSJTOR SYETRYCZNEGO TENSOR II RZĘDU TWIERDZENIE :każd tensor smetrcn II rędu można predstawić w postaci sum dwóch tensorów smetrcnch w postaci : D T T + T t t + t aksjator T t m I t ij t mδ ij ij ij D ij I T t m t + t + t t m t m t m ( ) dewiator TD T T t t t δ t t t t T D 9. KSJTOR I DEWITOR TENSOR ODKSZTŁCENI D ij m t t t m t t t t t m ij m ij ε ε m ε ε ε m D ε ε ε ε ε ε ε m m ε ε ε ε m ε m I niemiennik (miana objętości) aksjatora i dewiatora dla aksjatora V ε m + ε m + ε m ε m ε + ε + ε dla dewiatora V ε + ε + ε ε m WNIOSKI : ) całą mianę objętości opisuje aksjator tensora odkstałcenia, nie opisuje on mian postaci ) mianę postaci opisuje dewiator tensora odkstałcenia, nie opisuje on mian objętości

38 RÓWNNI FIZYCZNE. RÓWNNI FIZYCZNE ( KONSTYTUTYWNE ) Zadanie : Określić wiąek międ odkstałceniami i siłami wewnętrnmi, repreentowanmi pre naprężenia. mienne stanu mechanicnego :cas " t ", temperatura " T "... równania Naviera, równania Cauch 'ego równania konsttutwne ε ( t T ) ( t T ),, ij ij k ε,, ij ij k u u,, t T i i k ij, j i, + X dla t t T T ε ij i j j i u, + u, dla t t, T T ε ij ε ij ij, & ij, && ij, t, T. RÓWNNI FIZYCZNE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI ( R. HOOKE ' ) ałożenia:. jawna ależność odkstałceń włącnie od naprężeń ε ij ε ij ( ij ). liniow wiąek międ odkstałceniami i naprężeniami Tε ST + Tεo T Q Tε + Tεo o ij ijkl kl ij ε S + ε Q ε + o ij ijkl kl ij S - macier podatności (macier współcnników materiałowch) Q - macier stwności (macier współcnników materiałowch) Tεo, To - maciere stałch. sprężstość - po djęciu obciążenia nikają odkstałcenia : T T maciere współcnników materiałowch (prpadek ogóln - 8 współc. materiałowch) ε S S S S4 S5 S6 S7 S8 S9 ε ε ε Tε ε T S ε ε ε ε S 8 uproscenia w licbie stałch materiałowch ) smetria tensorów naprężenia i odkstałcenia 6 współcnników najogólniejs prpadek aniotropii T Q Tε Tε S T εo o

39 RÓWNNI FIZYCZNE ) analia gęstości energii odkstałcenia sprężstego smetria macier Q i S współcnników [ (6-6)/ + 6 ] najogólniejs prpadek materiału liniowo sprężstego ) analia możliwch płascn smetrii własności materiału płascna smetrii - materiał monoklinicn stałch płascn smetrii - materiał ortotropow 9 stałch płascna, w której własności materiału są jednakowe w każdm kierunku - materiał poprecnie iotropow 5 stałch w każdm punkcie własności materiału są jednakowe w każdm kierunku - - materiał iotropow i jednorodn stałe. RÓWNNI FIZYCZNE DL IZOTROPOWEGO, JEDNORODNEGO TERIŁU LINIOWO SPRĘŻYSTEGO G ε + λ ε δ ij ij kk ij G, λ - stałe Lame 'go G ε + λ ε + ε + ε G ε + λ ε + ε + ε G ε + λ ε + ε + ε G ε G ε G ε T Q ( G + λ ) λ λ λ ( G + λ ) λ λ λ ( G + λ ) G G G T ε ε ε ε ε ε ε 4. ODWROTN POSTĆ RÓWNŃ FIZYCZNYCH T Q T Q S ε G ε + λ ε δ ε λ ε δ G ij ij kk ij ij ij kk ij i j G ε + λ ε δ G ε + λ ε ii ii kk ii ii kk i k G+ λ ε ε ε kk kk λ G G+ λ ij ij kk ij δ kk G + λ kk m kk ε ε m ( G ) kk m ( G + ) + λ ε kk kk λ ε m

40 RÓWNNI FIZYCZNE wprowadźm następujące definicje G def +ν E G E ν ( + ) moduł ścinania, mod. odkst. postaciowego def λ ν G + λ + ν λ E ν ( + ν) ( ν) K def G + λ K E ν ( ) moduł ściśliwości, mod. odkst. objętościowego ogranicenia na stałe materiałowe ) termodnamiki wnika, że stałe G, λ, K i E ( ODUŁ YOUNG' ) musą bć dodatnie ) dodatnie wartości modułów ścinania i ściśliwości onacają, że achodą relacje: + ν > ν > ν > ν < 5. < ν < 5. ogranicenia na stałą ν ( WSPÓŁCZYNNIK POISSON' ) miana objętości V ε ε ( G + ) ( ) λ ν E ii m m m - jeżeli ν.5 to V - materiał nieściśliw (guma) - materiał o ν < nie są nane - maksmalna miana objętości dla ν ( korek) równania ficne c.d. G ε def [ ] λ G G+ λ ij ij kk ij +ν λ ν E G + λ + ν ε ij + ν ij ν kk δ ij tw. odwrotna postać prawa Hooke'a E ε δ def [( ) ] ε + ν ν + + E [( ) ] ε + ν ν + + E [( ) ] ε + ν ν + + E + ν E ε + ν E ε + ν E T ε ε ε ε ε ε ε E ν E ν E ν E E ν E ν E ν E E S ( + ν) E ( + ν ) E ( + ν) E T

41 RÓWNNI FIZYCZNE 4 5. PRWO ZINY POSTCI I OBJĘTOŚCI - rokład tensorów odkstałcenia na aksjator i dewiator T D + T ε D ε + ε ij m δ ij ij ε m δ ij D ij ij m δ ij D ij ε ij ε m δ ij ε ε G ε + λ ε δ ij ij kk ij ( G ) + λ ε K ε δ m m m ij ( G ) δ G ε + λ ε δ + λ ε δ ij m ij ij m ij m ij δ G ε ε δ ij m ij ij m ij prawo mian postaci D G D prawo mian objętości K ε ε naw równań wnikają interpretacji geometrcnej tensora odkstałcenia: ) całą mianę objętości opisuje aksjator tensora odkstałcenia ) mianę postaci opisuje dewiator tensora odkstałcenia naw stałch G i K wnikają stąd, że: ) moduł G jest współcnnikiem proporcjonalności w prawie mian postaci - stąd G jest modułem odkstałcenia postaciowego (efekt ścinania) ) moduł K jest współcnnikiem proporcjonalności w prawie mian objętości - stąd K jest modułem odkstałcenia objętościowego (efekt ściśliwości) prawo mian postaci i prawo mian objętości są inną postacią równań ficnch dla materiału liniowo sprężstego (pr. Hooke'a)

42 ZDNIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI ZDNIE : dla ciała obciążonego na powierchni Sq i posiadającego wię na powierchni Su wnacć tensor naprężenia T, tensor odkstałcenia Tε i wektor premiescenia u.. NRZĘDZI : komplet równań liniowej (fikalnie i geometrcnie) teorii sprężstości równania równowagi - równania Naviera ij j X i, + równania, 6 niewiadomch ij + statcne warunki bregowe na Sq q νi ij α νj liniowe równania geometrcne - równania Cauch 'ego ( u u ) ε ij i j + j i,, 6 równań, niewiadome u i + kinematcne warunki bregowe na Su liniowe równania ficne - równania Hooke 'a [ ] ε ij + ν ij ν kk δ ij 6 równań, 6 niewiadomch ε ij E Zadanie do rowiąania: układ 5 równań rónickowo - algebraicnch o 5 niewiadomch, równań które musą spełniać narucone statcne i kinematcne warunki bregowe. Dowód istnienia rowiąania: dowód istnienia i jednonacności istnienia adania bregowego liniowej teorii sprężstości podał Kirchhoff (859) (scegół - patr FUNG Y. C., Podstaw echaniki Ciała Stałego, rod. 7.4.). ETODY REDUKCJI LICZBY RÓWNŃ LTS etoda sił eliminacja premiesceń równań Cauch ego równania nierodielności odkstałceń równania Beltramiego (89) - ichella (9) (równania nierodielności odkst. w naprężeniach) 4 równania Hooke ' a równania Naviera

43 ZDNIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI ε + ε ε ε ij, kl kl, ij ik, jl jl, ik ε ν ν ij + ij kk δ ij E E ν, +,,, ν, + δ +, δ, δ, δ gdie kk ij, j + X i ij, jk X i, k równujem wskaźniki k l + + ν ν ij, ij δ, ij + ν ( X i, j + X j, i ) gdie + + ij kl kl ij ik jl jl ik kl ij ij kl jl ik ik jl równujem wskaźniki i j + ν ν X ii, ν ν ν δ X X X + statcne i kinematcne warunki bregowe etoda premiesceń ij kk, ij ij i, i i, j j, i równania równowagi równania Hooke ' a równania geometrcne równania Naviera (8?) (równania równowagi w premiesceniach) ij, j + X i G ε + λ ε δ ij ij kk ij G ε + λ ε δ + X ij, j kk, j ij i ( u, u, ) ε ij i j + j i dwergencja pola wektorowego u gradient pola skalarnego ϕ Gu + G+ λ u + X i, jj j, ji i u u u div u + + u j, j ϕ ϕ ϕ grad ϕ ϕ,,, laplasjan pola skalarnego ϕ ϕ ϕ + ϕ + ϕ ϕ ( λ ), ii i i G u + G+ graddiv u + X + statcne i kinematcne warunki bregowe i

44 ZDNIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ETODY ROZWIĄZNI ZDNI BRZEGOWEGO metoda bepośrednia rowiąania równań Beltramiego-ichella lub Naviera : metoda ogólna, ale b. trudna, metoda "półodwrotna" : możliwa do wkorstania jednie w scególnch prpadkach, niekied "adowala się" prbliżeniami, ale stosunkowo prosta ETOD PÓŁODWROTN Podejście statcne (analogia do met. premiesceń) Podejście kinematcne (analogia do met. sił) "wmślić" T sprawdić stat. war. breg. sprawdić równ. Naviera wnacć odkstałcenia ε i j ε ( ) i j i j sprawdić równ. nierod. odkst. wnacć premiescenia ε i j ( u i, j + u j, i ) + kinematcne war. bregowe "wmślić" u, u, u sprawdić kinematcne war. breg. wnacć odkstałcenia ε i j ( u i, j + u j, i ) wnacć naprężenia i j ( ε ) i j i j + statcne war. bregowe + równania Naviera Jeżeli premiescenia wnikające rowiąania równań geometrcnch nie spełniają kinematcnch warunków bregowch, to prjęta macier naprężeń nie opisuje recwistego pola naprężeń. Należ naleźć inną macier i ponownie prebć całą procedurę. 4. ZSD SUPERPOZYCJI ZDNIE : ciało o ustalonch więach kinematcnch obciążono układem obciążenia ( q () X () ) ciało obciążono układem obciążenia ( q, X ) () () () ε, i otrmano rowiąanie adania bregowego T, T,u. Następnie to samo i uskano rowiąanie T, Tε, u. Jakie jest rowiąanie adania bregowego pr łącnm obciążeniu ciała obdwoma układami obciążeń? ROZWIĄZNIE : rowiąanie dla łącnego układu obciążenia jest sumą rowiąań dla układu () i (), tn.: () ( ) () () q q + q X X + X () ( ) ε ε () ε ( ) () ( ) T T + T T T + T u u + u DOWÓD : wsstkie równania teorii sprężstości, łącnie warunkami bregowmi są równaniami liniowmi, a dla ależności liniowch awse obowiąuje asada superpocji.

45 ZDNIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 4 PRZYKŁD : równania Naviera () () ( ) ( ) ij, j i ij, j i Założenie : + X + X () () Tea : ( ij + ij ) + ( X i + X i ), j () () () () Dowód: ij, j ij, j X i X i ( ij ij ) ( X i X i ) ZSD de SINT-VENNT (855) Zasada intuicjno - empircna, be istnienia ogólnego dowodu teoretcnego jej słusności, Dla brł obciążonej na niewielkiej powierchni w porównaniu całkowitą powierchnią ciała nane jest rowiąanie agadnienia bregowego. Zmieniam obciążenie na tej powierchni, ale tak, ab oba obciążenia bł statcnie równoważne (S () S (), () () ). Zasada de Saint-Venanta mówi, że rowiąanie dla nowego obciążenia różni się od wjściowego dowolnie mało, poa niewielkim obsarem w pobliżu obciążonej powierchni., j

46 SKRĘCNIE PRĘTÓW. SFORUŁOWNIE ZGDNIENI S q v L q v - oś pręta,, - osie główne, centralne prekroju poprecnego pręta pręt prmatcn, utwierdon "punktowo" w pkt. S (,, ) pobocnica wolna od obciążeń denko L obciążone siłami o gęstości q (, q v, q v ). Obciążenie redukuje się do par sił o momencie s, diałającej w płascźnie (, ) sił masowe X. ROZWIĄZNIE PROBLEU SKRĘCNI Podejście kinematcne u( + kin. war. breg.) Tε T ( rów. Naviera + stat. war. breg. ) kinematcne warunki bregowe w pkt. S (,, ) u v w v w brak obrotu wg. osi u w brak obrotu wg. osi u v brak obrotu wg. osi

47 SKRĘCNIE PRĘTÓW FUNKCJE PRZEIESZCZEŃ n n u ' n' s n s n u ' '' α n v '' α ρ ' ρ w n' β '' (, v, w ) s n ' ( u, v, w ) kąt skręcenia prekroju α α () ałożenie : α θ θ - jednostkow kąt skręcenia funkcje premiesceń pkt. [ ] [ ] v ρcosβ ρ cos α + β ρcosβ+ ρ cos αcosβ ρ sinαsin β w ρ sin α + β ρsinβ ρ sinαcosβ+ ρ sinβcosα ρsin β ał. o małch premiesceniach ρ ρ ; sin α α ; cosα v ραsinβ w ρ α cos β ρ sinβ ρ cosβ v θ w θ Funkcja u wiąana jest e "spaceniem" (deplanacją) prekroju i dla różnch kstałtów jest ona odmienna. Dla ustalonego kstałtu prekroju pręta nie obserwuje się jednak różnic w spaceniu poscególnch prekrojów poprecnch pręta. Tak więc u u (, ). ałożenie u(, ) θϕ (, )

48 SKRĘCNIE PRĘTÓW sprawdenie kinematcnch warunków bregowch dla S (,, ) u ; v ;w ϕ (, ) v w w u u ϕ (,,) u ϕ wnacenie składowch tensora odkstałcenia ε u, ε (,,) v, ε w γ v + w θ + θ,, γ γ ϕ u, + v, θ ϕ u, + w, θ + wnacenie składowch tensora naprężenia ; τ, τ ϕ G θ ; τ θ ϕ G + sprawdenie równań równowagi τ τ θ ϕ ϕ, +, +, G + ϕ poostałe dwa równania Naviera są spełnione tożsamościowo sprawdenie statcnch warunków bregowch pobocnica ν (, α ν, α ν ) ϕ ϕ τ α ν + τ α ν α ν α ν + + poostałe dwa warunki są spełnione tożsamościowo ścianki poprecne ν ( ±,, ) ν q ν τ Gθ ϕ ± ± q ν τ Gθ ϕ ± ± + q

49 SKRĘCNIE PRĘTÓW 4 Podsumowanie : funkcja ϕ (, ) musi bć taka, że spełnia :. równanie harmonicne ϕ. statcne warunki bregowe. kinematcne warunki bregowe ϕ (, ) ϕ (,) ϕ ϕ α ν α ν + + ϕ (,) usą ponadto bć spełnione relacje międ składowmi obc. ewnętrnego i funkcją ϕ (, ) q ν Gθ ϕ ± q ν Gθ ϕ ± + agadnienie Neumanna (W) (W) ϕ ϕ ϕ + α ν α ν + + Istnieje tlko jedno rowiąanie ag. Neumanna dokładnością do stałej, którą wnaca ϕ,. się warunku Warunki (W) dla prekroju co najmniej jedną osią smetrii są spełnione, a dla innch wstarcającą dokładnością. Obciążenie ewnętrne musi bć takie, ab spełnione bł warunki (W), gdie θ jest parametrem obciążenia. Obciążenie ścianki poprecnej momentem skręcającm q v q v s Rowiąanie uskane dla obciążenia q (, q v, q v ) może bć pr wkorstaniu asad de Saint-Venanta astosowane dla obciążenia w postaci momentu skręcającego s pod warunkiem, że obciążenia są statcnie równoważne, tn. ϕ ( q q ) d G ϕ s + + ν ν θ d I s def ϕ ϕ + + d s θ GIs θ GI s s Inne wię kinematcne Stosując podejście statcne można wkaać, że tensor odkstałcenia i naprężenia nie mieniają się. Inne są jednie funkcje premiesceń.

50 SKRĘCNIE PRĘTÓW 5. SKRĘCNIE PRĘT O PRZEKROJU KOŁOWY R ν ( α ν, α ν ) α ν α ν R R agadnienie Neumanna ϕ + ϕ ϕ + + ϕ,, Jednorodność równania harmonicnego i warunków bregowch prowadi do rowiąania funkcje premiesceń ϕ (, ) s u ; v ; w GI GI WNIOSEK: prekrój kołow nie ulega deplanacji naprężenia s s s τ τ r τ R τ R τ s ; τ I I s τ τ + τ I s s r s s τ kierunek wektora naprężenia (,, ) (, rr, ) τ τ τ ; ν τo ν WNIOSEK: wektor naprężenia stcnego jest prostopadł do promienia wodącego punktu naprężenie maksmalne τ ma I def π d πr Is + d Io warunki projektowania. warunek wtrmałościow τ ma R t s s R 4 4 W s o R t W I o πr π d o R 6. warunek geometrcn θ θ ma dop GI s o θ dop

51 SKRĘCNIE PRĘTÓW 6 4. SKRĘCNIE PRĘT O PRZEKROJU PROSTOKĄTNY h b b h h > b warunki bregowe na krawędiach ± b/ ( α v ±, α v ) ϕ ϕ ( ± ) warunki bregowe na krawędiach ± h/ ( α v, α v ± ) agadnienie Neumanna ϕ + Skic rowiąania - wprowadam funkcję - agadnienie Neumanna ϕ ϕ + ( ± ) ϕ ϕ ϑ ϕ,, ; + (, ) ϕ(, ) ϑ ϑ ϑ + - prjmujem funkcję ϑ w postaci seregu - oblicenia prowadą do reultatu B (, ) ϕ n rokład naprężeń stcnch n ; + (, ) n n ϑ f g n k 8b ( n + ) n n B n sink n coshk n cosh h k n π ; k n ( n + ) b π ϑ,, τ ( h/) h > b τ ( b/) τ ma τ b ma. napr. stcne w połowie dłużsego boku

52 SKRĘCNIE PRĘTÓW 7 moment bewładności na skręcanie I h s b hb β wskaźnik wtrmałości pr skręcaniu warunki projektowania. warunek wtrmałościow τ ma R t W h s b hb α W s s R t. warunek geometrcn θ θ ma dop GI s s θ dop 5. PRZYBLIŻONE ROZWIĄZNIE SKRĘCNEGO PRĘT CIENKOŚCIENNEGO Pręt o profilu otwartm i b i 4 k n j i - t element h i >>b i h i Założenia :. Jednostkow kąt skręcenia każdej cęści jest taki sam i równ jednostkowemu kątowi skręcenia całego prekroju θ s GIs si si θ θi GIsi Gβ h b i i i. Całkowit moment skręcając jest sumą momentów skręcającch poscególne cęści prekroju maksmalne naprężenie stcne θ GI θ G β h b s n n n si si i i i I n β h b s i i i i i i i ma τ i τ i ma W si si τ i ma I s s β α i i b i uproscenie dla prekrojów o cęściach składowch spełniającch warunek hi 5 bi α i β i τ ma I s s b ma

53 SKRĘCNIE PRĘTÓW 8 Pręt o profilu amkniętm Założenie :. Rokład naprężeń stcnch na grubości ścianki jest równomiern δ s τ τ δ Równowaga sił w kierunku osi τ δ τ δ τ δ τ δ τ δ const. Warunek równoważności układu sił ewnętrnch i wewnętrnch τ τ c s df ds df ds h(s) s s h(s) τδ dph s h s ds s c c df h s ds τδ df τδf F - pole obsaru ograniconego linią środkową "c" Naprężenie stcne s τ ma c s τ δ F F δ s min

54 ROZCIĄGNIE PRĘTÓW PROSTYCH. SFORUŁOWNIE ZGDNIENI TZW."CZYSTEGO ROZCIĄGNI" q L - pręt prmatcn, utwierdon "punktowo w pkt. (,,) - - oś podłużna pręta,, - osie centralne prekroju - obciążenie ewnętrne: denko q ( q,, ) q const pobocnica q (,, ) - sił masowe P (,, ) ZDNIE: wnacć tensor napręż. T, tensor odkst. Tε i wektor premiescenia u.. ROZWIĄZNIE.. Komplet równań TS ij, j () ( u u ) ε ij i j + j i,, () [ ] + statcne war. bregowe q νi ij α νj denko L, ν (,, ) ε ij + ν ij ν kk δ ij () E q αν + αν pobocnica ν (, αν, αν ) αν + αν (4b) αν + αν + kinematcne war. bregowe w pkt. utwierdenia (,,) u u u (5) u u u u u u (4a)

55 ROZCIĄGNIE PRĘTÓW PROSTYCH.. Podejście statcne do agadnienia bregowego "wmślić" T sprawdić stat. war. breg. sprawdić równ. Naviera wnacć odkstałcenia ε i j ε ( ) i j i j sprawdić równ. nierod. odkst. wnacć premiescenia ε i j ( u i, j + u j, i ) + kinematcne war. bregowe - macier naprężenia ( II ) ( I ) ( II ) ( I ) S W S Z W Z q T acier naprężenia (6) spełnia równania równowagi () i statcne warunki bregowe (4) - macier odkstałceń (r.hooke'a) [( ) ] ε + ν ν + + E E q [( ) ] ε ν ν ν E E q [( ) ] ε ν ν ν E E q [ ] ε + ν E ε ε (6) T ε E ν E ν E q (7) acier (7) spełnia równania nierodielności odkstałceń, gdż ε ij const ε ij, kl - funkcje premiesceń (rów. Cauch'ego) u u u q E q ν E q ν E u u u u + u + u + Ukł. (8) to układ 6 równań różnickowch cąstkowch liniowch I rędu " CORN" "CORJ" + "CSRN" u u + u i o i s i (8)

56 ROZCIĄGNIE PRĘTÓW PROSTYCH Całka ogólna równania jednorodnego opisuje premiescenia punktów ciała stwnego (rów. jednorodne tn. ε ij, a to onaca brak odkstałceń ciała, cli araem ciało stwne). W każdm agadnieniu teorii sprężstości całka ogólna jest identcna. o - całka ogólna u, a+ b + c o u, d b + f o u, g c f - całka scególna równania niejednorodnego : metoda prewidwania - funkcje premiesceń q u (,, ) E + a + b + c q u (,, ) ν E + d b + f (9) q u (,, ) ν E + g c f Stałe całkowania a, b, c, d, f, g należ wnacć kinematcnch war. bregowch (5). a b c d f g q u (,, ) E q u (,, ) ν E () q u (,, ) ν E WNIOSEK : acier naprężenia (6) macier odkstałcenia (7) i wektor premiescenia () spełniają ściśle komplet równań teorii sprężstości wra e statcnmi i kinematcnmi war. bregowmi. Są więc ścisłm rowiąaniem agadnienia cstego rociągania dla pręta stanowiącego predmiot anali.. NLIZ ROZWIĄZNI. Stan naprężenia opisan pre macier (6) to jednorodn (identcn w każdm punkcie ciała) i jednoosiow (tlko jeden element macier naprężenia jest nieerow) stan naprężenia.. Diagonalna postać macier naprężenia świadc o tm, że jedne nieerowe naprężenie jest maksmalnm naprężeniem normalnm spośród wsstkich możliwch odpowiadającch dowolnm płascnom prekroju pręta.. Stan odkstałcenia opisan pre macier (7) to jednorodn (identcn w każdm punkcie ciała) i trójosiow (nieerowe składowe w wajemnie prostopadłch kierunkach) stan odkstałcenia. 4. Diagonalna postać macier odkstałcenia świadc, że cstemu rociąganiu towarsą jednie odkstałcenia liniowe. Włókna równoległe do osi wdłużają się najbardiej, a równoległe do i najmniej.