ZASTOSOWANIE METODY LOSOWANIA LHS W BADANIACH SYMULACYJNYCH MODELI SIECIOWYCH. Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI

Transkrypt

1 ZASTOSOWANIE METODY LOSOWANIA LHS W BADANIACH SYMULACYJNYCH MODELI SIECIOWYCH Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI Wydział Budowictwa i Architektury, Politechika Lubelska, ul. Nadbystrzycka 0, 0-68 Lubli Streszczeie: Metoda symulacji cyfrowej Mote Carlo jest popularym arzędziem wykorzystywaym w aalizie ryzyka oraz plaowaiu przedsięwzięć budowlaych w warukach losowych. Zaletą metody jest możliwość aalizowaia modeli sieciowych złożoych z czyości, których czas trwaia jest opisay dowolymi rozkładami prawdopodobieństwa, bez koieczości wprowadzaia dodatkowych założeń upraszczających. Podejście to umożliwia także modelowaie dowolych ograiczeń czasowych, zasobowych i kolejościowych. W metodzie symulacji Mote Carlo zwiększaie liczby przebiegów symulacyjych wpływa a dokładość estymowaych wielkości. Zmiejszeie rozrzutu wartości zmieych wyjściowych moża także uzyskać stosując jedą z metod redukcji wariacji (lub ich kombiację. W artykule przedstawioo wyiki pilotażowych badań symulacyjych prowadzoych a testowych modelach sieciowych przedsięwzięć budowlaych. Podczas badań symulacyjych w procesie geerowaia liczb losowych zastosowao metodę Lati Hypercube Samplig. Przeprowadzoe eksperymety mają a celu próbę oszacowaia skuteczości redukcji wariacji średiej termiu realizacji przedsięwzięcia za pomocą metody LHS oraz zbadaie możliwości poprawy wyików poprzez zastosowaie liczb atytetyczych (losowaia przeciwstawego. Słowa kluczowe: ryzyko realizacji przedsięwzięć budowlaych, symulacja komputerowa, metody redukcji wariacji.. Wprowadzeie Aaliza modeli sieciowych przedsięwzięć metodą symulacji cyfrowej Mote Carlo ma a celu ajczęściej ustaleie średich, wariacji lub typu i parametrów rozkładu termiów zaistieia zdarzeń i (i =,,, m a podstawie obserwacji x i,j poczyioych w j (j =,,, przebiegach symulacyjych. Wartości x i,j moża traktować jako realizacje zmieych losowych X i termiów zaistieia zdarzeń (Platt, 97. Istota metody MC w aalizie modeli sieciowych polega a losowym geerowaiu w kolejych przebiegach symulacyjych czasów realizacji t l,j czyości (l =,,..., w, w jest to liczba czyości modelu sieciowego i obliczaiu termiów zaistieia zdarzeń jak w Critical Path Method (CPM. W każdej replikacji j czasy realizacji czyości są geerowae zgodie z przyjętym rozkładem prawdopodobieństwa, przy zastosowaiu iezależych od siebie ciągów liczb losowych u l,j z przedziału (0, ]. Nieobciążoy estymator puktowy średiej µ i = E(X i zmieej losowej Xi termiu zaistieia zdarzeia i ma postać (Platt, 97: µ =, ( i x i, j j= atomiast jego wariacja daa jest wzorem: D σ i µ i =, ( gdzie: σ i jest wariacją zmieej losowej X i termiu zaistieia zdarzeia i, tj. σ i = D (X i. Nieobciążoy estymator wariacji jest określoy astępująco: i =, x i j j= µ σ. ( i W metodzie symulacji MC błąd estymacji średiej ( µ i µ i jest przedstawiay w postaci przedziału ufości. Wielkość przedziału ufości jest proporcjoala do σ i. Jedym z podstawowych sposobów zawężaia przedziału ufości (redukcji wariacji estymatora średiej jest zwiększaie liczby obserwacji (przebiegów symulacyjych, co jedak powoduje wydłużeie czasu badań symulacyjych. Autor odpowiedzialy za korespodecję. s.biruk@pollub.pl 09

2 Civil ad Evirometal Egieerig / Budowictwo i Iżyieria Środowiska (0 09- Na dokładość wyzaczaych charakterystyk wpływa także sposób geerowaia zmieych (daych wejściowych do badań. Wywołując korelację między wartościami tych samych wielkości w eksperymetach symulacyjych, uzyskuje się redukcję wariacji estymatora, a co się z tym wiąże zwiększa się dokładość oszacowaia. Zawężeie przedziału ufości estymowaej charakterystyki moża także uzyskać dokoując właściwego wyboru estymatora. Postępowaia mające a celu zmiejszeie rozrzutu obserwowaych wartości zmieych wyjściowych, w literaturze określa się miaem metod redukcji wariacji (Law i Kelto, 99; Tyszer, 990. W artykule podjęto próbę ocey efektywości metody losowaia zgodego ze schematem Lati Hypercube Samplig (LHS oraz jej kombiacji z metodą losowaia przeciwstawego. Aalizowae metody ie wydłużają czasu eksperymetów i są łatwe do zaimplemetowaia w komercyjych językach symulacyjych.. Metoda losowaia LHS Sposób plaowaia eksperymetów symulacyjych Lati Hypercube Samplig (LHS, został zapropooway w pracy McKay a i i. (979. Należy oa do grupy metod losowaia (próbkowaia warstwowego, które mają a celu poprawę rówomierości geerowaia liczb losowych. W metodach losowaia warstwowego dystrybuaty czasu trwaia wszystkich zmieych wejściowych l (l =,,..., w są dzieloe a s (l rozłączych przedziałów (warstw [a l.,k, a l.,k+ ] takich, że 0 = a l, < a l, <... < a l,s(l- =. Liczba przedziałów ie musi być jedakowa dla każdej czyości (zmieej czasu losowej trwaia procesu, ale ich rówa liczba bardzo ułatwia plaowaie i prowadzeie badań symulacyjych. Najczęściej dokouje się podziału dystrybuaty czasu trwaia wszystkich czyości a jedakową liczbę s rówych części, tz. 0 < / s < / s <... < (s / s <. Próbę taką azywa się proporcjoalą, bowiem liczba wygeerowaych w daej warstwie wystąpień (czasów trwaia czyości jest proporcjoala do prawdopodobieństwa ich wystąpieia. W ogólym przypadku, aby dokładie odzorować zmieą losową będącą wyikiem symulacji, powio się wylosować s( s(... s(w (w jest to liczba czyości modelu sieciowego liczb losowych, każdą z iej warstwy dla każdej zmieej wejściowej. Jest to możliwe tylko przy stosukowo iewielkiej liczbie czyości modelu sieciowego. Burt i Garma (97 zalecają, aby przeprowadzić s skorelowaych ze sobą eksperymetów. Należy wylosować s iezależych od siebie liczb losowych u i,, u i,,..., u i,s z przedziału (0, ] dla każdej ze zmieych wejściowych i umieścić je w różych warstwach u l, / s < (u i, + / s <... < (u l,s + s / s. W każdym przebiegu symulacyjym dla każdej czyości wybiera się jedą warstwę, a kolejość przypisywaia warstw do czyości jest losowa. Stosując metodę losowaia warstwowego zawsze uzyskuje się redukcję wariacji estymatora w stosuku do wariacji uzyskaej w klasyczej metodzie Mote Carlo. Stosując schemat losowaia Lati Hypercube Samplig, aby wygeerować s (j =,,, s skorelowaych ze sobą replikacji, liczby losowe ależy określać są zgodie z zależością (Owe 998: U l, j ( j * l + U l, j = π dla l =,, K, w s ( oraz j =,, K, s gdzie: π (, π (,..., π w ( są to permutacje liczb {,,..., s}, losowaymi z jedakowym prawdopodobieństwem ze zbioru s! takich permutacji, a π l (j ozacza j-ty elemet (umer warstwy w permutacji dla czyości l, {U * l,j : l =,,..., s}są liczbami losowymi wzajemie iezależymi oraz iezależymi od permutacji π (, π (,..., π w (. W każdym cyklu r (r =,,..., k badań symulacyjych, obejmującym s replikacji ustaloych według procedury LHS, jest losowaa tylko jeda liczba z każdej warstwy dla daej czyości. Przeprowadzeie przebiegów symulacyjych wymaga wygeerowaia k = / s iezależych permutacji π (, π (,..., π w (. W każdym powtórzeiu są obliczae wartości zmieych losowych termiów zaistieia zdarzeń w modelu sieciowym według metody CPM.. Metoda zmieych atytetyczych Metoda ta, azywaa rówież losowaiem przeciwstawym, polega a przeprowadzeiu eksperymetu symulacyjego w dwóch etapach (Law i Kelto, 99; Tyszer, 990. W pierwszym etapie stosuje się dla każdej czyości ciągi liczb pseudolosowych u l,, u l,,..., u l,/ (l =,,..., w o rozkładzie rówomierym a przedziale (0, ], atomiast w drugim etapie ciągi liczb dopełiających ( - u l,, ( - u l,,..., ( - u l,/. Jeżeli X oraz ( X są odpowiedio estymatorami parametru Xˆ i odpowiedio w pierwszym i drugim etapie badań symulacyjych, to ieobciążoym estymatorem tego parametru jest średia: ( ( ( X ˆ ˆ ˆ i = X i + X i. (5 Wariację tego estymatora moża obliczyć astępująco: ( ˆ ( ˆ ˆ ( X = D X X + D i i i = ( ( ˆ ( ˆ ˆ ˆ ( D X cov, i + D X i + X i X i ˆ i ˆ i. (6 Stosując losowaie przeciwstawe, z ujemą korelacją między wyikami z astępujących po sobie eksperymetów, uzyskuje się miejszą wariację iż w przypadku prowadzeia eksperymetów iezależych. 0

3 Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI Burt i i. (970 stosowali ciągi liczb atytetyczych do symulacyjego rozwiązywaia prostych modeli z czasami trwaia o rozkładzie wykładiczym. Następie wykazali aalityczie, że wariację oczekiwaego czasu realizacji modelowaych przedsięwzięć moża zmiejszyć o poad połowę w stosuku do wariacji estymatora stosowaego w bezpośrediej metodzie Mote Carlo. Rozważaia te zostały uogólioe przez Sullivaa i i. (98, gdzie badao sieci złożoe z czyości o różych rozkładach. Stosując losowaie przeciwstawe, tę samą dokładość jak w metodzie Mote Carlo moża uzyskać średio przy / liczbie replikacji. Metoda zmieych atytetyczych może być rówież łączoa z iymi metodami.. Badaia symulacyje Przeprowadzoo badaia symulacyje trzech modeli sieciowych (rys. -, w których czasy wykoaia czyości opisao za pomocą rozkładów trójkątych (czasy podao a rysukach przy umerze czyości w postaci (a, c, b, gdzie odpowiedio są to czasy optymistycze, ajbardziej prawdopodobe i pesymistycze. Wszystkie programy symulacyje zostały opracowae w języku symulacyjym GPSS World. W celu porówywalości oce skuteczości poszczególych metod redukcji wariacji, dla każdego wariatu badań symulacyjych przeprowadzoo łączie 00 replikacji. (5, 8,6 (, 7,5 (, 7, Koiec (8, 5, 0 Rys.. Model sieciowy I (5, 6, 8 (, 5 7 (8, 0, 5 (,, 7 5 (,, (,, (,, (5, 8, 5 (7, 8, 0 (5, 6, 8 (, 5, 8 (8, 0, 5 (5, 6, 9 Koiec (0,, (0,, 8 (, 6, Rys.. Model sieciowy II

4 Civil ad Evirometal Egieerig / Budowictwo i Iżyieria Środowiska ( (9, 0, (, 5, 7, 50, 56 (, 0, 5 (5, 58, 68 (, 0, 9 (, 5,9 8 (,, 5 9 (, 5, 7 0 (5, 0, 7 Koiec 5 (6, 7, 0 (8, 0, 5 (, 5, 9 (, 5, 0 (0,, 6 6 (, 5, (, 50, 600 (70, 75, 90 Rys.. Model sieciowy III W pierwszym etapie badań symulacyjych został sporządzoy symulator wykorzystujący predefiiowae w języku GPSS World geeratory rozkładu trójkątego. Geeratory te ie pozwalają jedak a bezpośredie stosowaie iektórych metod redukcji wariacji, p. strumiei liczb atytetyczych. Dlatego w dalszych wariatach symulatorach zastosowao do geerowaia rozkładu trójkątego powszechie zaą metodę odwracaia dystrybuaty. W metodzie losowaia LHS, zakres zmieości wszystkich zmieych losowych został podzieloy a 5 warstw o jedakowym prawdopodobieństwie wystąpieia. Ostatim etapem badań symulacyjych było łącze zastosowaie metody losowaia przeciwstawego i LHS. Wykoao 600 replikacji zgodie ze schematem LHS stosując ciągi liczb losowych u l,, u l,,..., u l,/ oraz 600 stosując ciągi liczb przeciwstawych ( - u l,, ( - u l,,..., ( - u l,/. Wyiki badań symulacyjych zestawioo w tabeli. 5. Podsumowaie Metoda symulacji Mote Carlo jest efektywym arzędziem aalizy sieci zależości utworzoych z czyości o dowolych rozkładach czasu ich trwaia bez koieczości wprowadzaia dodatkowych założeń upraszczających. Wykorzystaie metod redukcji wariacji może zarówo skrócić czas prowadzeia badań (zmiejszeie liczby replikacji, jak i poprawić wiarygodość oszacowaia wybraych charakterystyk badaego modelu. Efektywość poszczególych metod redukcji wariacji zależy przede wszystkim od kofiguracji sieci zależości i stosowaych typów oraz parametrów rozkładów czasu trwaia czyości. Na podstawie przeprowadzoych eksperymetów symulacyjych moża wioskować, że zastosowaie Tabela. Wyiki uzyskae przy stosowaiu różych metod wariacji Metoda prowadzeia badań symulacyjych GPSS Metoda odwracaia dystrybuaty Metoda zmieych atytetyczych LHS Model Średia Wariacja estymatora Model I 6,758 0,0088 Model II 76,007 0,008 Model III 76,76 0,099 Model I 6,70 0,0050 Model II 76,009 0,00588 Model III 76,787 0,0976 Model I 6,75 0,0000 Model II 75,95 0,00055 Model III 76,706 0,00057 Model I 6,78 0,0009 Model II 75,96 0,00069 Model III 76,699 0,00 Łącze stosowaie Model I 6,758 0,000 metody zmieych atytetyczych i Model II 75,95 0,0008 losowaia LHS Model III 76,668 0,0000

5 Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI metody LHS prowadzi do zaczej redukcji wariacji. Stosowaie łącze metod LHS i losowaia przeciwstawego prowadzi do dalszej redukcji wariacji estymatora średiej. Literatura Burt J. M., Garma M. B. (97. Coditioal Mote Carlo: A Simulatio Techique for Stochastic Network Aalysis. Maagemet Sciece, Vol. 8, No., Burt J. M., Gaver D. P., Perlas M. (970. Simple Stochastic Networks: Some Problems ad Procedures. Naval Research Logistics Quartely, Vol. 7, No., Law A. M., Kelto W. D. (99. Simulatio Modelig & Aalysis. McGraw Hill, Iteratioal Editio. McKay M. D,. Beckma R. J., Coover W. J. (979. A Compariso of Three Methods for Selectig Values of Iput Variables i the Aalysis of Output from a Computer Code. Techometrics, Vol., No., 9-5. Owe A. B. (998. Lati Supercube Samplig for Very High- Dimesioal Simulatios. ACM Trasactios o Modelig ad Computer Simulatio, Vol. 8, No., 7-0. Platt C. (97. Problemy rachuku prawdopodobieństwa i statystyki matematyczej. PWN, Warszawa. Sulliva R. S., Hayya J., C., Schaul R. (98. Efficiety of the Atithetic Variate Method for Simulatig Stochastic Networks. Maagemet Sciece, Vol. 8, No. 5, Tyszer J. (990. Symulacja cyfrowa. Wydawictwa Naukowo- Techicze, Warszawa. ASSESSING EFFICIENCY OF LATIN SUPERCUBE SAMPLING METHOD IN CONSTRUCTION PROJECT NETWORK SIMULATION Abstract: Mote Carlo simulatio is a popular tool that supports plaig projects affected by risk. Aalysig the results of computer simulatios eables the plaer to formulate ad verify hypotheses o distributio type ad parameters of schedule evet occurrece ad the project duratio. Accuracy of estimates obtaied by meas of simulatios ca be improved by icreasig the umber of replicatios, or by applyig variace reductio methods. The latter may cosist i chage of the way the radom umbers are geerated. The paper aalyses how the method of variace reductio affects simulatio results i terms of stadard error of estimated project duratio mea value. The cosidered methods were: Lati supercube samplig ad its combiatio with atithetic variates method. The object aalysis was based o etwork models with task duratios of triagular distributio. This type of distributio is commoly assumed i modellig the effect of radom occurrecies o orgaisatio of costructio works. Praca aukowa fiasowaa ze środków a aukę w latach jako projekt badawczy