ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU:
|
|
- Maja Olszewska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁADOWCA: dr h. inż. Ktrn ZAKRZEWSKA, prof. AGH KATEDRA ELEKTRONIKI, pw. C-1, p. 317, III p. tel , tel. kom k@gh.edu.pl /2011, im 1 ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU: Oecność i ktwność n jęcich (wkłd, ćwiceni, lortorium) Potwn ocen końcow ( 3.0) ćwiceń rchunkowch i lortorium Egmin pisemn i ustn po kżdm semestre. N ocenę końcową predmiotu wpłwją wsstkie ocen or wniki testów n wkłdie (eg/cw/test: 50/35/15) 2010/2011, im 2 1
2 MATERIAŁY DO WYKŁADU: TEKST WYKŁADU PODRĘCZNIKI: 1. D.Hllid, R. Resnick, J.Wlker, Podstw Fiki, PWN W-w, tomów (w skrócie HRW) 2. C.Kittel, W.D. Knight, M.A. Rudermn Mechnik, PWN W-w /2011, im 3 RACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE Wkłd /2012, im 4 2
3 Pln Pojęcie wektor Diłni n wektorch Wektor w krtejńskim ukłdie współrędnch Prkłd wkorstni wektorów i diłń n nich w fice Wkłd /2012, im 5 Wektor m tr cech: 1. Kierunek 2. Zwrot 3. Wrtość (długość) Pojęcie wektor Wkłd /2012, im 6 3
4 DŁUGOŚĆ WEKTORA â Oś licow Długość wektor 5â Ogólnie: Wersor jest to wektor jednostkow 1 Wkłd /2012, im 7 A punkt prłożeni? Ruch postępow Ruch orotow Wkłd /2012, im 8 4
5 Diłni n wektorch Dodwnie Odejmownie Mnożenie: Ilocn wektor pre licę Ilocn sklrn dwóch wektorów Ilocn wektorow dwóch wektorów Wkłd /2012, im 9 Dodwnie wektorów Wkłd /2012, im 10 5
6 Odejmownie wektorów ( ) Wektor preciwn Wkłd /2012, im 11 Reguł równoległooku Wkłd /2012, im 12 6
7 WEKTOR WYPADKOWY np. wpdkowe premiescenie, wpdkow sił Wkłd /2012, im 13 Rokłd wektor k k l k l Wkłd /2012, im 14 l 7
8 ILOCZYN WEKTORA PRZEZ LICZBĘ k 3 1, 5 Wnik diłni jest wektorem Wkłd /2012, im 15 Wektor i są równoległe (mją ten sm kierunek) k Gd k>0, wrot godne Gd k<0, wrot preciwne Wrtość (długość) wektor: k Wkłd /2012, im 16 8
9 ILOCZYN SKALARNY - DEFINICJA φ Diłnie jest premienne cos Wnik diłni jest licą: dodtnią, ujemną (kied?) lu nwet ero Wkłd /2012, im 17 ILOCZYN SKALARNY - KONSEKWENCJE cos90 0 φ= Jeżeli wektor są prostopdłe to ich ilocn sklrn jest równ 0 Służ do sprwdni prostopdłości wektorów Wkłd /2012, im 18 9
10 ILOCZYN SKALARNY - KONSEKWENCJE φ=0 0 2 Służ do określeni długości wektor Wkłd /2012, im 19 c ILOCZYN WEKTOROWY - DEFINICJA c φ Wnik diłni jest wektorem. Nleż tem podć tr jego cech, nie tlko wrtość le prede wsstkim kierunek (!!!!) i wrot Wkłd /2012, im 20 10
11 Ilocn wektorow - definicj 1. Kierunek wektor jest prostopdł do płscn utworonej pre wektor i cli i Wkłd /2012, im 21 Ilocn wektorow - definicj 2. Zwrot wektor określm regułą prwej ręki lu śru prwoskrętnej Diłnie to nie jest premienne Wkłd /2012, im 22 11
12 Ilocn wektorow - definicj 3. Długość wektor to lic: sin Uwg: Jeżeli prnjmniej jeden wektorów jest erow lu wektor mją ten sm kierunek (pokrwją się lu są równoległe) to 0 W scególności 0 Wkłd /2012, im 23 0 DLACZEGO? Bo jeżeli jest tlko jeden wektor to nie możn utworć płscn, do której wektor ędąc wnikiem ilocnu wektorowego ł prostopdł. Jk widć, jest to prolem kierunku nie wrtości wektor. Wkłd /2012, im 24 12
13 Ilocn wektorow - konsekwencje 1. Jeżeli 0 2. Służ do sprwdni równoległości wektorów Wkłd /2012, im 25 Alger wektorów Rodielność mnożeni sklrnego i wektorowego wględem dodwni (odejmowni) ( c) c ( c) c Dielić pre wektor nie wolno!!! Wkłd /2012, im 26 13
14 Alger wektorów Prkłd 1. Dne jest równnie wektorowe: 2 3 Znleźć wektor 0 Rowiąnie: Wkłd /2012, im 27 Alger wektorów Rowiąnie: 1. Z rodielności mnożeni wględem dodwni: 3. Dodjąc i odejmując stronmi jk w wkłm równniu: Mm prwo podielić pre wrżenie w nwisie po upewnieniu się, że jest licą: 2. Ale: Wkłd /2012, im
15 Prkłd 2. Dowodenie twierdeń Rchunek wektorow ułtwi dowodenie twierdeń geometrcnch. Udowodnić, że dw wektor musą mieć równe długości jeżeli ich sum jest prostopdł do ich różnic. Wkłd /2012, im Jeżeli: Dowód 2. To ( definicji ilocnu sklrnego): 0 3. Korstjąc rodielności mnożenie wględem dodwni: 0 Wkłd /2012, im 30 15
16 4. Ilocn sklrn jest premienn, tem: 5. I: Dowód 0 0 redukuje się do: Ztem: c.n.d. Wkłd /2012, im 31 Zdnie 2-1 Stosując rchunek wektorow udowodnić twierdenie kosinusów. Wkłd /2012, im 32 16
17 Wektor w krtejńskim ukłdie współrędnch prpdek dwuwmirow ĵ î φ i Wkłd /2012, im 33 Tw. Pitgors 2 tg Trgonometri 2 j Wektor w krtejńkim ukłdie współrędnch 3D k î ĵ i j i i k j 0 i i 1 j k Wkłd /2012, im 34 17
18 Zdnie 2-2 Stosując definicje ilocnów sklrnego i wektorowego olic: i k, or j k, j i i k, j k, j j Wkłd /2012, im 35 Diłni n wektorch w ukłdie krtejńskim Wkłd /2012, im 36 18
19 19 Wkłd /2012, im Dodwnie wektorów k j i ) ( ) ( ) ( k j i k j i Wnik jest wektorem Wkłd /2012, im Równość wektorów lu k j i k j i Wnik
20 20 Wkłd /2012, im Ilocn sklrn k j i k j i Wnik OBOWIĄZUJE TYLKO W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM DLACZEGO? Wkłd /2012, im Ilocn wektorow k j i k j i Wnik k j i
21 ZASTOSOWANIE RACHUNKU WEKTOROWEGO W FIZYCE Wkłd /2012, im 41 Wielkości ficne Długość, cs, sił, ms, prędkość, prspiesenie, tempertur, ciśnienie, ntężenie pol elektrcnego, ntężenie prądu elektrcnego, strumień pol mgnetcnego SKALARY WEKTORY Wkłd /2012, im 42 21
22 Mnożenie wektor pre licę: Pęd: definicj p mv Ptnie: Jki jest kierunek wektor pędu? ms m v wektor prędkości p Odpowiedź: p v Wkłd /2012, im 43 Prc Ilocn sklrn W F s F Wektor sił W = F s cos φ φ A B Wektor presunięci s AB Wkłd /2012, im 44 22
23 Ilocn wektorow: 1. Moment sił (ng. torque) τ r F F r 2. Moment pędu (ng. ngulr momentum) L r p L r Wkłd /2012, im 45 p Ilocn wektorow: 3. Sił Lorent (ng. mgnetic force) sił diłjąc n łdunek q porusjąc się w polu mgnetcnm o wektore indukcji B F qv B To jest definicj wektor indukcji pol mgnetcnego Wkłd /2012, im 46 23
24 Określnie wrotu ilocnu wektorowego : Wkłd /2012, im 47 Pole mgnetcne krwi tor ruchu łdunku elektrcnego. p - skok śru p v T r - promień śru mv 2 r qv B Wkłd /2012, im 48 24
25 Zdnie 2-4 Rowżć scególne prpdki ruchu cąstki nłdownej w polu mgnetcnm, gd: )wektor prędkości jest równoległ do wektor indukcji mgnetcnej )wektor prędkości jest prostopdł do wektor indukcji mgnetcnej Odpowiedieć n ptni: jk sił dił n cąstkę i jk krw opisuje tor ruchu cąstki. Wkłd /2012, im 49 Zdnie 2-5 Zstnowić się nd innmi stosownimi rchunku wektorowego równo w mtemtce jk i fice. Posukć informcji n temt ilocnu miesnego or podwójnego ilocnu wektorowego cli: ( c) ( c) Wkłd /2012, im 50 25
26 Pole mgnetcne nie mieni energii kinetcnej cąstki nłdownej porusjącej się w tm polu v v m de d E k k m d v v v mv 2 dt 2 dt dt dv le m m F dt de k v F qv ( vb dt cli ) 0 E k =const Wkłd /2012, im 51 TEST 2P 1. Wektor o długości 20 dodno do wektor o długości 25. Długość wektor ędącego sumą wektorów może ć równ: A) ero B) 3 C) 12 D) 47 E) Wektor i leżą n płscźnie. Możem wnosić, że jeżeli: A) D) B) E) C) i / / i Wkłd /2012, im 52 26
27 3. Jeżeli ( 6m) i (8m) j to 4 m wrtość: A) 10 m B) 20 m C) 30 m D) 40 m E) 50 m 4. Kąt pomięd wektorem ( 25m) i (45m) j dodtnim kierunkiem osi OX wnosi: A) 29 o B) 61 o C) 119 o D) 151 o E) 209 o 5. Dw wektor, którch pocątki się pokrwją, tworą pewien kąt. Jeżeli kąt pomięd tmi wektormi więks się o 20 o to ilocn sklrn tch dwóch wektorów mieni nk n preciwn. Kąt, któr pocątkowo tworł te dw wektor wnosi: A) 0 B) 60 0 C) 70 o D) 80 o E) 90 0 Wkłd /2012, im Dw wektor ( 3m) i (2m) j ( 2m) i (3m) j (2m) k wncją jednoncnie płscnę. Któr wektorów jest prostopdł do tej płscn: A) ( 4m) i (6m) j (13m) k D) ( 4m) i (6m) j (13m) k B) ( 4m) i (6m) j (13m) k E) ( 4m) i (6m) j C) ( 4m) i (6m) j (13m) k 7. Wrtość i ( j k) wnosi: A) ero B) +1 C) -1 D) 3 E) 3 Wkłd /2012, im 54 27
28 TEST 2A 1. A vector of mgnitude 3 CANNOT e dded to vector of mgnitude 4 so tht the mgnitude of the resultnt is: A) ero B) 1 C) 3 D) 5 E) 7 2. A vector hs mgnitude of 12. When its til is t the origin it lies etween the positive is nd negtive is nd mkes n ngle of 30 o with the is. Its component is: A) 6 3 B)-6 3 C) 6 D) -6 E) A vector hs component of 10 in the + direction, component of 10 m in the + direction, nd component of 5 m in the + direction. The mgnitude of this vector is: A) ero B) 15 m C) 20 m D) 25 m E) 225 m Wkłd /2012, im Two vectors hve mgnitudes of 10 nd 15. The ngle etween them when the re drwn with their tils t the sme point is 65 o. The component of the longer vector long the line of the shorter is: A) 0 B) 4.2 C) 6.3 D) 9.1 E) If the mgnitude of the sum of two vectors is less thn the mgnitude of either vector, then: A) the sclr product of the vectors must e negtive B) the sclr product of the vectors must e positive C) the vectors must e prllel nd in opposite directions D) the vectors must e prllel nd in the sme direction E) none of the ove Wkłd /2012, im 56 28
29 Podsumownie Diłnie Wnik Metod postępowni Zstosownie dodwnie wektor wpdkowe premiescenie, reguł wpdkow sił odejmownie wektor równoległooku lger wektorów, dowodenie twierdeń rokłd wektor wektor skłdowe równi pochł, rut ukośn, itp. Wkłd /2012, im 57 Diłnie Wnik Definicj Wór w ukłdie krtej. W fice ilocn sklrn ilocn wektorow mnożenie wektor pre licę k sklr wektor wektor cos sin n 1. kierunek 2. wrot 3.wrtość k 1. kierunek 2. wrot W mtemtce prostopdłość wektorów równoległość wektorów prc, energi np.kinetcn moment pędu, moment sił, sił Lorent Wkłd /2012, im 58 3.wrtość k i j k k k k równoległość wektorów pęd, II sd dnmiki 29
ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU:
WYKŁADOWCA: dr hab. inż. Katarzyna ZAKRZEWSKA, prof. AGH KATEDRA ELEKTRONIKI, paw. C-1, p. 317, III p. tel. 617 29 01, tel. kom. 0 601 51 33 35 zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak 2012/2013, zima
Bardziej szczegółowoRACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE
Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik RACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE Mteił do wkłdu 2 2010/2011, im 1 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Pln Pojęcie wekto Diłni ni n wektoch Wekto w ktejńskim
Bardziej szczegółowoRACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE
Pzedmiot: Fizk RACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE Wkłd 2 2015/2016, zim 1 Pzedmiot: Fizk Pln Pojęcie wekto Dziłni n wektoch Wekto w ktezjńskim ukłdzie współzędnch Pzkłd wkozstni wektoów i dziłń n nich w fizce
Bardziej szczegółowo2.3.1. Iloczyn skalarny
2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi
Bardziej szczegółowoWykład z fizyki Budownictwo I BB-ZI. Dr Andrzej Bąk
Wkłd fiki udownictwo I -ZI Dr ndrej ąk Dlcego wrto się ucć fiki? Powsechność jwisk ficnch W świecie, któr ns otc chodi mnóstwo jwisk ficnch, np.: jwisk meteorologicne: opd descu, śniegu, mgł, tęc, włdowni
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Włd : Wetor dr nż. Zgnew Slrs sl@gh.edu.pl http://ler.uc.gh.edu.pl/z.slrs/ Welośc fcne Długość, cs, sł, ms, prędość, pęd, prspesene tempertur, nprężene, premescene, ntężene prądu eletrcnego, ntężene pol
Bardziej szczegółowoWykład 2: Wektory DR INŻ. ZBIGNIEW SZKLARSKI
Włd 2: Wetor DR INŻ. ZIGNIEW SZKLRSKI SZKL@GH.EDU.PL HTTP://LYER.UCI.GH.EDU.PL/Z.SZKLRSKI/ Welośc fcne Długość, cs, sł, ms, prędość, pęd, prspesene tempertur, ntężene prądu eletrcnego, nprężene, ntężene
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowo2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar
2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoWektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor
Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi.
Bardziej szczegółowo14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe
. Krwe stożkowe i form kwdrtowe.. Kwdrki Powierchnią stopni drugiego, lub krótko kwdrką, nwm biór punktów P(,,), którch współrędne spełniją równnie: 33 3 3 kwdrt wr miesne 3 wr liniowe wr woln gdie. 33
Bardziej szczegółowo1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił
. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:
Bardziej szczegółowo1. Podstawy rachunku wektorowego
1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle
Bardziej szczegółowoFizyka. dr Bohdan Bieg p. 36A. wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe
Fizyka dr ohdan ieg p. 36A wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe Literatura Raymond A. Serway, John W. Jewett, Jr. Physics for Scientists and Engineers, Cengage Learning D. Halliday, D. Resnick,
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego
Bardziej szczegółowoSposób opisu symetrii figur lub brył skończonych
Wkłd drugi - smetri Smetri (gr. συμμετρια podobn mir) dl figur lub brł - istnienie nietrwilnego prekstłceni, które odworowuje obiekt w smego siebie minie mogą ulegć współrędne prestrenne, cs, kolor itp.
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA (punkt materialny)
KINEMATYKA (punkt materialny) Wykład 2 2012/2013, zima 1 MECHANIKA KINEMATYKA DYNAMIKA Opis ruchu Przyczyny ruchu Wykład 2 2012/2013, zima 2 1 Y RUCH KRZYWOLINIOWY P XY - Układ odniesienia r y - wektor
Bardziej szczegółowocz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot
- podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.
Bardziej szczegółowoI. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.
Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoMatematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie
Mtemtk I /9 WYKŁD 8. UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH II Mcierow ostć limincji Guss B gdie nn n n n B n Metod elimincji: () Odejmownie od pewnego równni wielokrotności (nieerowej) wrnego innego równni, nie mienijąc
Bardziej szczegółowoPrzykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii
Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) 5 5 5 5 Dl
Bardziej szczegółowoLISTA ZADAŃ Z MECHANIKI OGÓLNEJ
. RCHUNEK WEKTOROWY LIST ZDŃ Z MECHNIKI OGÓLNEJ Zd. 1 Dne są wektor: = i + 3j + 5k ; b = i j + k. Oblicz sumę wektorów e = + b orz kosinus kątów, jkie tworz wektor e z osimi ukłdu ( kosinus kierunkowe
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA (punkt materialny)
KINEMATYKA (punkt materialny) Wykład 3 2016/2017, zima 1 MECHANIKA KINEMATYKA DYNAMIKA Opis ruchu Przyczyny ruchu Wykład 3 2016/2017, zima 2 Y r RUCH KRZYWOLINIOWY P r OP y XY - Układ odniesienia - wektor
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowo2.2. ZGINANIE UKOŚNE
.. ZGINNIE UKŚNE Zginnie ukśne (dwukierunkwe) wstępuje wówcs, gd bciążenie ewnętrne redukuje się d wektr mmentu ginjąceg, leżąceg w płscźnie prekrju, któreg kierunek nie pkrw się żdną głównch, centrlnch
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1
Podstawy fizyki sezon 1 dr inż. Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Fizyka na IMIR MBM rok 2013/14 Moduł
Bardziej szczegółowoH. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania
H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku
Bardziej szczegółowoILOCZYNY WEKTORÓW. s równoległe wtedy i tylko wtedy. b =
St Kowls Włd mtemt dl studentów erunu Mehn włd ILOZYNY WEKTORÓW 3 { : } trówmrow prestre tór mon nterpretow n tr sposo: Jo ór puntów W te nterpret element prestren 3 nw s puntm Nps on e punt m współrdne
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoElektryczność i magnetyzm
Elektcność i mgnetm II ok, III semest Cs twni: wkłd 60 god., ćwiceni 60 god. Zlicenie pedmiotu licenie ćwiceń min.30 pkt: egmin testow 25 pkt egmin ustn 25 pkt Powdąc: d Jcek Semnik Litetu 1. R.P. Fenmn,
Bardziej szczegółowo1. Algebra wektorów. Rys Wektor w układzie współrzędnych (jego współrzędne i kąty)
1. Alger wetorów Welość wetorową chrterue wrtość, cl moduł, erune, wrot. Możn ą predstwć w sposó grfcn o odcne serown o długośc proporconlne do modułu lu te w sposó nltcn. Sposó nltcn poleg n podnu rutów,,
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Fizyka i astronomia Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur OPERONEM Fiyk i stronoi Poio roserony Listopd 0 W niniejsy schecie ocenini dń otwrtych są preentowne prykłdowe poprwne odpowiedi. W tego typu ch nleży również unć
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:
PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci
Bardziej szczegółowoWektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna
Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje
Bardziej szczegółowoPOTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y
POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje
Bardziej szczegółowo2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ
. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ.. Wstęp: metod współrzędnych WYKŁAD 5 W geometrii nlitycznej dmy oiekty geometryczne metodą nlityczną. Njrdziej znną metodą tego typu jest metod współrzędnych
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyki Stosowanej
Fik dl Informki Sosownej Jcek Golk Semesr imow 08/09 Wkłd nr N sronie www predmiou hp://users.uj.edu.pl/~golk/eswf.hml możn nleźć: progrm wkłdu wrunki liceni ermin egminu spis polecnej lierur uupełnijącej
Bardziej szczegółowox od położenia równowagi
RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora
Bardziej szczegółowoR o z d z i a ł 1 PRZEDMIOT I METODOLOGIA FIZYKI
R o d i ł 1 PRZEDMIOT I METODOLOGIA FIZYKI 1.1. Predmiot i podił fiki Od njdwniejsch csów cłowiek oserwuje i d różnorodne jwisk prrod str się je roumieć i wkorstć or nleźć prw które nimi rądą. Fik jest
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 6. Mimośrodowe rozciąganie. Redukcja do środka ciężkości PROJEKT
ĆWICZENIE 6 Mmośrodowe rocągne Redukcj do środk cężkośc N P M P0 M P0 PROJEKT Zprojektowć prmetr prekroju, wncć oś obojętną or brłę nprężeń. Wncć rdeń prekroju. Prekrój obcążono słą N=00 kn prłożoną w
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdenie: Do cego służą wekor? Mp połąceń smoloowch Isige pokuje, skąd smolo wlują i dokąd dolują; pokne jes o pomocą srłek srłki e pokują premiescenie: skąd dokąd jes dn lo, rs.. Mimo, że rjekori lou
Bardziej szczegółowo=I π xy. +I π xz. +I π yz. + I π yz
GEMETRIA MAS moment ewłdności i dewicji Zsd ogólne: 1) Moment ewłdności wględem osi ówn jest sumie momentów ewłdności wględem dwóc postopdłc płscn wiejącc tę oś: I =I π + I π I =I π + I π I = I π +I π
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Wkłd 3: Kinemtk d inż. Zbigniew Szklski szkl@gh.edu.pl http://le.uci.gh.edu.pl/z.szklski/ Wstęp Opis uchu KINEMATYKA Dlczego tki uch? Pzczn uchu DYNAMIKA MECHANIKA 08.03.018 Wdził Infomtki, Elektoniki
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoWykład 1 Podstawy projektowania układów logicznych i komputerów Synteza i optymalizacja układów cyfrowych Układy logiczne
Element cfrowe i układ logicne Wkład Literatura M. Morris Mano, Charles R. Kime Podstaw projektowania układów logicnch i komputerów, Wdawnictwa Naukowo- Technicne Giovanni De Micheli - Sntea i optmaliacja
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia
Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha F.Żarnecki Praca Rozważamy
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Mechanika kwantowa. dx dy dz. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Równanie Schrödingera. zasada zachowania energii
Mecnik kwntow Jk opisć tom wodou? Jk opisć inne cąstecki? Mecnik kwntow Równnie Scödinge Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ opeto óżnickow Hmilton enegi funkcj flow d d d + + m d d d opeto enegii kinetcn enegi kinetcn elektonu
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kinematyka
Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Podstawy fizyki
Fizyka Podstawy fizyki dr hab. inż. Wydział Fizyki e-mail: wrobel.studia@gmail.com konsultacje: Gmach Mechatroniki, pok. 34; środa 13-14 i po umówieniu mailowym http://www.if.pw.edu.pl/~wrobel/simr_f_17.html
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie
J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch
Bardziej szczegółowoPochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:
ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoŁamigłówka. p = mv. p = 2mv. mv = mv + 2mv po. przed. Mur zyskuje pęd, ale jego energia kinetyczna wynosi 0! Jak to jest możliwe?
Łamigłówka p = mv p = 2mv p = mv przed mv = mv + 2mv po Mur zyskuje pęd, ale jego energia kinetyczna wynosi 0 Jak to jest możliwe? Zastosowanie zasady zachowania pędu - zderzenia 2. Zderzenia elastyczne
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowoWektor. Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D).
Wektor Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D). Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, 10.10.2015 1 / 13 Wektor Uporz dkowany
Bardziej szczegółowostosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv
Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży
Bardziej szczegółowoa a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Relcje równowr wnowżności i klsy Definicj: Relcją określoną n zbiorze A nzywmy dowolny test porównwczy pomiędzy uporządkownymi prmi elementów elementów zbioru A. Jeśli pr (, b) œ A ä A spełni ten test,
Bardziej szczegółowo1.5. Iloczyn wektorowy. Definicja oraz k. Niech i
.. Iloczyn ektoroy. Definicj. Niech i, j orz k. Iloczynem ektoroym ektoró = i j k orz = i j k nzymy ektor i j k.= ( )i ( )j ( )k Skrótoo możn iloczyn ektoroy zpisć postci yzncznik: i j k. Poniżej podno
Bardziej szczegółowoOpis ruchu obrotowego
Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
pdkow prestreego ukłdu sił ieżc ecik teoretc kłd r 56 Ukłd prestree. etod grfic: = 2 = = 2 3 2 3 = i 3 2 2 2 3 2 2 litc etod wci wpdkowej α = 2 cosα = = γ 2 β 2 cos α cos β cos γ = cos β = = 2 cosγ = =
Bardziej szczegółowoFizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9
Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski 05.12.2016 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
Bardziej szczegółowocz. 2 dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykłd 11: Elektrosttyk cz. 2 dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://lyer.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Pole elektryczne przewodnik N powierzchni metlicznej (przewodzącej) cły łdunek gromdzi się n
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7
Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoWykłady z fizyki FIZYKA I
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I LOGISTYKI Insttut Mtemtki i Fiki Ktedr Fiki Wkłd fiki FIZYKA I dr Brr Klimes SPRAWY ORGANIZACYJNE Wrunki liceni (RSPO): 1) licenie wsstkich form jęć
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoTreść programu (sem. I)
7-9-7 FIZYKA konsultcje: śod 5-7 Josłw Rutkowski pok. 63/S tel. 6 83 97 8 Teść pogmu (sem. I) Element chunku wektoowego. Ruch postoliniow. Pojęcie pochodnej. Ruch w kilku wmich. Mechnik ównni uchu(cłkownie).
Bardziej szczegółowoPojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy
Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to
Bardziej szczegółowoPrawo Coulomba i pole elektryczne
Prwo Coulomb i pole elektryczne Mciej J. Mrowiński 4 pździernik 2010 Zdnie PE1 2R R Dwie młe kulki o msie m, posidjące ten sm łdunek, umieszczono w drewninym nczyniu, którego przekrój wygląd tk jk n rysunku
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoPlanimetria czworokąty
Plnimetri czworokąty Emili Ruszczyk kl. II, I LO im. Stefn Żeromskiego w Ełku pod kierunkiem Grżyny iernot-lendo Klsyfikcj czworokątów zworokąty dzielą się n niewypukłe i wypukłe, wypukłe n trpezy i trpezoidy,
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoZapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna
Zpis wskźnikow i mow smcjn Pokzć, że e ikm e ikm Pokzć, że e e δ ikm jkm Dn jest mcierzow reprezentcj tensor 7 7 7 ), ), c) 7 7 Podć dziewięć skłdowch d zdefiniownch związkiem: Wrnki nierozdzielności możn
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.2. Płaski stan naprężenia. Płaski stan odkształcenia.
Przkłd 6.. Płski stn nprężeni. Płski stn odksztłeni. ZADANIE. Dl dnego płskiego stnu nprężeni [MP] znleźć skłdowe stnu nprężeni w ukłdzie osi oróonh względem osi o kąt α0 orz nprężeni i kierunki główne.
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoFIZYKA I - Podstawy Fizyki
FIZYKA I - Podstawy Fizyki Wykład: Rajmund Bacewicz, prof. dr hab. p. 325, tel 8628, 7267 bacewicz@if.pw.edu.pl http://www.if.pw.edu.pl/~bacewicz/ Ćwiczenia rachunkowe: prof. dr hab. Małgorzata Igalson
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowo1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoElektrostatyka, cz. 1
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin
Bardziej szczegółowo