RACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE

Transkrypt

1 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik RACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE Mteił do wkłdu /2011, im 1 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Pln Pojęcie wekto Diłni ni n wektoch Wekto w ktejńskim ukłdie współ ędnch Pkłd wkostni wektoów w i diłń n nich w fice Mteił do wkłdu /2011, im 2 1

2 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Pojęcie wekto Wekto m t cech: 1. Kieunek 2. Zwot 3. Wtość (długo ugość) = = Mteił do wkłdu /2011, im 3 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik DŁUGOŚĆ WEKTORA â Oś licbow Długość wekto 5 â Ogólnie: = ˆ = ˆ Weso jest to wekto jednostkow ˆ =1 Mteił do wkłdu /2011, im 4 2

3 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik A punkt płoŝeni? Ruch postępow pow Ruch obotow Mteił do wkłdu /2011, im 5 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Dodwnie Diłni ni n wektoch Odejmownie MnoŜenie: Ilocn wekto pe licbę Ilocn skln dwóch wektoów Ilocn wektoow dwóch wektoów Mteił do wkłdu /2011, im 6 3

4 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Dodwnie wektoów b + b Mteił do wkłdu /2011, im 7 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik b Odejmownie wektoów b = + ( b) b b Wekto peciwn Mteił do wkłdu /2011, im 8 4

5 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Reguł ównoleg wnoległobokuoboku b + b b Mteił do wkłdu /2011, im 9 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik WEKTOR WYPADKOWY np.. wpdkowe pemiescenie, wpdkow sił Mteił do wkłdu /2011, im 10 5

6 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Rokłd wekto k k l = k + l Mteił do wkłdu /2011, im 11 l Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik ILOCZYN WEKTORA PRZEZ LICZBĘ = b k = b 3 1, 5 = b Wnik diłni ni jest wektoem Mteił do wkłdu /2011, im 12 6

7 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik b Wekto i sąs ównoległe (mją ten sm kieunek) k = b b Pedmiot: Fik Gd k>0, wot godne Gd k<0, wot peciwne Wtość (długość) wekto: b = k Mteił do wkłdu /2011, im 13 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik ILOCZYN SKALARNY - DEFINICJA b φ o b Diłnie nie jest pemienne = b cosϕ Wnik diłni ni jest licbą: dodtnią,, ujemną (kied?) lub nwet eo o b = b o Mteił do wkłdu /2011, im 14 7

8 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik ILOCZYN SKALARNY - KONSEKWENCJE b o b cos90 0 JeŜeli wekto s φ=90 0 b = 0 = eli wekto są postopdłe to ich ilocn skln jest ówn 0 SłuŜ do spwdni postopdłości wektoów Mteił do wkłdu /2011, im 15 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik ILOCZYN SKALARNY - KONSEKWENCJE φ=0 0 o = 2 SłuŜ do okeśleni długod ugości wekto = o Mteił do wkłdu /2011, im 16 8

9 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik c ILOCZYN WEKTOROWY - DEFINICJA b = c b φ Wnik diłni ni jest wektoem. NleŜ tem podć t jego cech, nie tlko wtość le pede wsstkim kieunek (!!!!) i wot Mteił do wkłdu /2011, im 17 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Ilocn wektoow - definicj b 1. Kieunek wekto jest postopdł do płscn p utwoonej pe wekto i cli b b i b b Mteił do wkłdu /2011, im 18 9

10 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Ilocn wektoow - definicj b 2. Zwot wekto okeślm egułą pwej ęki lub śub pwoskętnej Diłnie nie to nie jest pemienne b = b Mteił do wkłdu /2011, im 19 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Ilocn wektoow - definicj 3. DługoD ugość wekto to licb: b b = bsin ϕ Uwg: JeŜeli eli pnjmniej jeden wektoów jest eow lub wekto mją ten sm kieunek (pokwją się lub sąs ównoległe) e) to b = 0 W scególno lności = 0 Mteił do wkłdu /2011, im 20 10

11 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik = 0 DLACZEGO? Pedmiot: Fik Bo jeŝeli eli jest tlko jeden wekto to nie moŝn utwoć płscn, do któej wekto będąc b wnikiem ilocnu wektoowego błb postopdł. Jk widć,, jest to poblem kieunku nie wtości wekto. Mteił do wkłdu /2011, im 21 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Ilocn wektoow - konsekwencje 1. JeŜeli eli b b = 0 2. SłuŜ S do spwdni ównoleg wnoległości wektoów Mteił do wkłdu /2011, im 22 11

12 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Algeb wektoów Rodielność mnoŝeni sklnego i wektoowego wględem dodwni (odejmowni) o ( b + c) = o b + o c ( b + c) = b + c Dielić pe wekto nie wolno!!! b Mteił do wkłdu /2011, im 23 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Pkłd 1. Algeb wektoów Dne jest ównnie wektoowe: 2 3b + = Znleźć wekto [( + b) o b] 0 Rowiąnie: nie: Mteił do wkłdu /2011, im 24 12

13 Algeb wektoów 2 3b + + b o b = [( ) ] 0 Rowiąnie: nie: 1. Z odielności mnoŝeni wględem dodwni: 3. Dodjąc c i odejmując c stonmi jk w wkłm ównniu: 4. Mm pwo podielić pe wŝenie w nwisie po upewnieniu się, Ŝe e jest licbą: 2 3b + = 2 b ob =b 2. Ale: ( o b + b o b) 0 wnniu: ( o b + b 2 ) = b Mteił do wkłdu /2011, im b = 2 o b + b Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Pkłd 2. Dowodenie twiedeń Rchunek wektoow ułtwi u dowodenie twiedeń geometcnch. Udowodnić, Ŝe e dw wekto musą mieć ówne długości jeŝeli eli ich sum jest postopdł do ich óŝnic. Mteił do wkłdu /2011, im 26 13

14 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik 1. JeŜeli: eli: Dowód + b ( ) ( b) 2. To ( definicji ilocnu sklnego): ( + b) o ( b) = 0 3. Kostjąc c odielności mnoŝenie wględem dodwni: o o b + b o b o b = 0 Mteił do wkłdu /2011, im 27 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik 4. Ilocn skln jest pemienn, tem: 5. I: Dowód o b + b o = 0 o o b + b o b o b = 0 Pedmiot: Fik edukuje się b = 0 6. Ztem: = b 2 Mteił do wkłdu /2011, im 28 2 c.n.d. 14

15 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Zdnie 2-12 Stosując c chunek wektoow udowodnić twiedenie kosinusów. Mteił do wkłdu /2011, im 29 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Wekto w ktejńskim ukłdie współ ędnch ppdek dwuwmiow ĵ î φ = + Mteił do wkłdu /2011, im 30 = Tw.. Pitgos 2 ˆi + = + Tgonometi tg ϕ = 2 15

16 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Wekto w ktejńkim kim ukłdie współ ędnch 3D î ĵ = ˆ i = ˆ i o = ˆ i o ˆi = ˆi Mteił do wkłdu /2011, im 31 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Zdnie 2-22 Stosując c definicje ilocnów w sklnego i wektoowego oblic: ˆ i,, ˆi o ˆi o, o, o Mteił do wkłdu /2011, im 32 16

17 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Diłni ni n wektoch w ukłdie ktejńskim Mteił do wkłdu /2011, im 33 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik 1. Dodwnie wektoów = + b = ˆi + + b + Wnik jest wektoem b = b ˆi + b ( + b )ˆi + ( + b) + ( + b + b ) Mteił do wkłdu /2011, im 34 17

18 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik 2. RównoR wność wektoów = b lub b = ˆi + + b = b ˆi + b + b Wnik = b = b = b Mteił do wkłdu /2011, im 35 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik 3. Ilocn skln = ˆi + + b = b ˆi + b + b Wnik o b = b + b + b OBOWIĄZUJE TYLKO W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM DLACZEGO? Mteił do wkłdu /2011, im 36 18

19 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik = ˆi 4. Ilocn wektoow + b = b ˆi + ˆ + bj + b Wnik b = ˆi b b b Mteił do wkłdu /2011, im 37 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik ZASTOSOWANIE RACHUNKU WEKTOROWEGO W FIZYCE Mteił do wkłdu /2011, im 38 19

20 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Wielkości ficne Pedmiot: Fik Długość, cs, sił, ms, pędkość, pspiesenie, tempetu, ciśnienie, ntęŝenie pol elektcnego, ntęŝenie pądu elektcnego, stumień pol mgnetcnego SKALARY WEKTORY tempetu cs długość ciśnienie ntęŝenie pądu elektcnego ms stumień pol mgn. pędkość sił ntęŝenie pol elektcnego p spiesenie Mteił do wkłdu /2011, im 39 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik MnoŜenie wekto pe licbę: Pęd: definicj p = mv Ptnie: Jki jest kieunek wekto pędu? p ms m v wekto pędkości p Odpowiedź: p v Mteił do wkłdu /2011, im 40 20

21 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Pc Ilocn skln W = F o s F Wekto sił W = F s cos φ φ A B Wekto pesunięci s = AB Mteił do wkłdu /2011, im 41 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Ilocn wektoow: 1. Moment sił (ng. toque) τ = F Pedmiot: Fik F 2. Moment pędu p (ng. ngul momentum) L = p L Mteił do wkłdu /2011, im 42 p 21

22 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Ilocn wektoow: 3. Sił Loent (ng. mgnetic foce) sił diłjąc n łdunek q pousjąc się w polu mgnetcnm o wektoe indukcji B F = qv B To jest definicj wekto indukcji pol mgnetcnego Mteił do wkłdu /2011, im 43 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Okeślnie wotu ilocnu wektoowego : Mteił do wkłdu /2011, im 44 22

23 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Pole mgnetcne kwi to uchu łdunku elektcnego. p - skok śub p = v T - pomień śub mv 2 = qv B Mteił do wkłdu /2011, im 45 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Zdnie 2-42 RowŜć scególne ppdki uchu cąstki nłdownej downej w polu mgnetcnm, gd: )wekto pędko dkości jest ównoleg wnoległ do wekto indukcji mgnetcnej b)wekto pędko dkości jest postopdł do wekto indukcji mgnetcnej Odpowiedieć n ptni: jk sił dił n cąstk stkę i jk kw opisuje to uchu cąstki. Mteił do wkłdu /2011, im 46 23

24 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Zdnie 2-52 Zstnowić się nd innmi stosownimi chunku wektoowego ówno w mtemtce jk i fice. Posukć infomcji n temt ilocnu miesnego o podwójnego ilocnu wektoowego cli: o( b c) ( b c) Mteił do wkłdu /2011, im 47 Pole mgnetcne nie mieni enegii kinetcnej cąstki nłdownej pousjącej się w tm polu v ov m de d E k = k m d v = v ov = mv o 2 dt 2 dt dt dv le m = m = F dt de k = v o F = qv o ( v B dt cli ) E k =const Mteił do wkłdu /2011, im

25 TEST 2P 1. Wekto o długości 20 dodno do wekto o długości 25. Długość wekto będącego sumą wektoów moŝe bć ówn: A) eo B) 3 C) 12 D) 47 E) Wekto i b leŝą n płscźnie. MoŜem wnosić, Ŝe = b jeŝeli: A) + = b + b D) B) E) + = b + b C) = b i = b / = b / b = i b = b Mteił do wkłdu /2011, im JeŜeli = ( 6m)ˆ i (8m) to 4 m wtość: A) 10 m B) 20 m C) 30 m D) 40 m E) 50 m 4. Kąt pomięd wektoem = ( 25m )ˆ i + (45m) dodtnim kieunkiem osi OX wnosi: A) 29 o B) 61 o C) 119 o D) 151 o E) 209 o 5. Dw wekto, któch pocątki się pokwją, twoą pewien kąt. JeŜeli kąt pomięd tmi wektomi więks się o 20 o to ilocn skln tch dwóch wektoów mieni nk n peciwn. Kąt, któ pocątkowo twoł te dw wekto wnosi: A) 0 B) 60 0 C) 70 o D) 80 o E) 90 0 Mteił do wkłdu /2011, im 50 25

26 6. Dw wekto = ( 3m)ˆ i (2m) b = ( 2m)ˆ i + (3m) (2m) wncją jednoncnie płscnę. Któ wektoów jest postopdł do tej płscn: A) ( 4m )ˆ i + (6m) + (13m) D) ( 4m)ˆ i + (6m) (13m) B) ( 4m )ˆ i + (6m) + (13m) E) ( 4m )ˆ i + (6m) C) ( 4m )ˆ i (6m) + (13m) 7. Wtość i ˆ o ( ) wnosi: A) eo B) +1 C) -1 D) 3 E) 3 Mteił do wkłdu /2011, im 51 TEST 2A 1. A vecto of mgnitude 3 CANNOT be dded to vecto of mgnitude 4 so tht the mgnitude of the esultnt is: A) eo B) 1 C) 3 D) 5 E) 7 2. A vecto hs mgnitude of 12. When its til is t the oigin it lies between the positive is nd negtive is nd mkes n ngle of 30 o with the is. Its component is: A) 6 3 B)-6 3 C) 6 D) -6 E) A vecto hs component of 10 in the + diection, component of 10 m in the + diection, nd component of 5 m in the + diection. The mgnitude of this vecto is: A) eo B) 15 m C) 20 m D) 25 m E) 225 m Mteił do wkłdu /2011, im 52 26

27 4. Two vectos hve mgnitudes of 10 nd 15. The ngle between them when the e dwn with thei tils t the sme point is 65 o. The component of the longe vecto long the line of the shote is: A) 0 B) 4.2 C) 6.3 D) 9.1 E) If the mgnitude of the sum of two vectos is less thn the mgnitude of eithe vecto, then: A) the scl poduct of the vectos must be negtive B) the scl poduct of the vectos must be positive C) the vectos must be pllel nd in opposite diections D) the vectos must be pllel nd in the sme diection E) none of the bove Mteił do wkłdu /2011, im 53 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Podsumownie Diłnie Wnik Metod postępowni Zstosownie dodwnie b + odejmownie b okłd wekto wekto wekto wekto skłdowe eguł ównoległoboku wpdkowe pemiescenie, wpdkow sił lgeb wektoów, dowodenie twiedeń ówni pochł, ut ukośn, itp. Mteił do wkłdu /2011, im 54 27

28 Wdił EAIiE Kieunek: Elektotechnik Pedmiot: Fik Diłnie Wnik Definicj Wó w ukłdie ktej. W mtemtce W fice ilocn skln o b ilocn wektoow b mnoŝenie wekto pe licbę k skl wekto wekto o b = b cosϕ b = b sin ϕnˆ 1. kieunek 2. wot 3.wtość k = b b 1. kieunek 2. wot postopdłość wektoów ównoległość wektoów ównoległość wektoów pęd, II sd dnmiki Mteił do wkłdu /2011, im 55 3.wtość k o b = b + b + b b = k k k ˆi b b = b = b = b b pc, enegi np.kinetcn moment pędu, moment sił, sił Loent 28