RACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE

Transkrypt

1 Pzedmiot: Fizk RACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE Wkłd /2016, zim 1

2 Pzedmiot: Fizk Pln Pojęcie wekto Dziłni n wektoch Wekto w ktezjńskim ukłdzie współzędnch Pzkłd wkozstni wektoów i dziłń n nich w fizce Wkłd /2016, zim 2

3 Pzedmiot: Fizk Pojęcie wekto Wekto m tz cech: 1. Kieunek 2. Zwot 3. Wtość (długość) Wkłd /2016, zim 3

4 Pzedmiot: Fizk DŁUGOŚĆ WEKTORA â Oś liczow 5 â Weso jest to wekto jednostkow Długość wekto Wkłd 2 Ogólnie: /2016, zim 4

5 Pzedmiot: Fizk A punkt pzłożeni? Ruch postępow Ruch ootow Wkłd /2016, zim 5

6 Pzedmiot: Fizk Dziłni n wektoch Dodwnie Odejmownie Mnożenie: Iloczn wekto pzez liczę Iloczn skln dwóch wektoów Iloczn wektoow dwóch wektoów Wkłd /2016, zim 6

7 Pzedmiot: Fizk Dodwnie wektoów + Wkłd /2016, zim 7

8 Odejmownie wektoów + ( ) Pzedmiot: Fizk Wekto pzeciwn Wkłd /2016, zim 8

9 Pzedmiot: Fizk Reguł ównoległooku + Wkłd /2016, zim 9

10 Pzedmiot: Fizk WEKTOR WYPADKOWY np. wpdkowe pzemieszczenie, wpdkow sił Wkłd /2016, zim 10

11 Rozkłd wekto k Pzedmiot: Fizk k Wkłd 2 l 2015/2016, zim 11 l + k l

12 Pzedmiot: Fizk ILOCZYN WEKTORA PRZEZ LICZBĘ k 3 1, 5 Wnik dziłni jest wektoem Wkłd /2016, zim 12

13 Wekto i są ównoległe (mją ten sm kieunek) Pzedmiot: Fizk k Gd k>0, zwot zgodne Gd k<0, zwot pzeciwne Wtość (długość) wekto: k Wkłd /2016, zim 13

14 Pzedmiot: Fizk ILOCZYN SKALARNY - DEFINICJA o cosϕ φ Wnik dziłni jest liczą: dodtnią, ujemną (kied?) lu nwet zeo Dziłnie jest pzemienne o o Wkłd /2016, zim 14

15 Pzedmiot: Fizk ILOCZYN SKALARNY - KONSEKWENCJE o cos90 0 φ Jeżeli wekto są postopdłe to ich iloczn skln jest ówn 0 Służ do spwdzni postopdłości wektoów Wkłd /2016, zim 15

16 Pzedmiot: Fizk ILOCZYN SKALARNY - KONSEKWENCJE φ0 0 o 2 Służ do okeśleni długości wekto o Wkłd /2016, zim 16

17 Pzedmiot: Fizk c ILOCZYN WEKTOROWY - DEFINICJA c φ Wnik dziłni jest wektoem. Nleż ztem podć tz jego cech, nie tlko wtość le pzede wszstkim kieunek (!!!!) i zwot Wkłd /2016, zim 17

18 Pzedmiot: Fizk Iloczn wektoow - definicj 1. Kieunek wekto jest postopdł do płszczzn utwozonej pzez wekto i czli i Wkłd /2016, zim 18

19 Pzedmiot: Fizk Iloczn wektoow - definicj 2. Zwot wekto okeślm egułą pwej ęki lu śu pwoskętnej Dziłnie to nie jest pzemienne Wkłd /2016, zim 19

20 Iloczn wektoow - definicj 3. Długość wekto to licz: sin ϕ Pzedmiot: Fizk Uwg: Jeżeli pznjmniej jeden z wektoów jest zeow lu wekto mją ten sm kieunek (pokwją się lu są ównoległe) to W szczególności 0 Wkłd /2016, zim 20

21 Pzedmiot: Fizk 0 DLACZEGO? Bo jeżeli jest tlko jeden wekto to nie możn utwozć płszczzn, do któej wekto ędąc wnikiem ilocznu wektoowego ł postopdł. Jk widć, jest to polem kieunku nie wtości wekto. Wkłd /2016, zim 21

22 Pzedmiot: Fizk Iloczn wektoow - konsekwencje 1. Jeżeli 0 2. Służ do spwdzni ównoległości wektoów Wkłd /2016, zim 22

23 2015/2016, zim 23 Pzedmiot: Fizk Alge wektoów Rozdzielność mnożeni sklnego i wektoowego względem dodwni (odejmowni) c c o o o + + ) ( c c + + ) ( Dzielić pzez wekto nie wolno!!! Wkłd 2

24 Pzedmiot: Fizk Pzkłd 1. Alge wektoów Dne jest ównnie wektoowe: x + o Znleźć wekto x [( ) ] 0 Rozwiąznie: Wkłd /2016, zim 24

25 Alge wektoów x + o Rozwiąznie: 1. Z ozdzielności mnożeni względem dodwni: 3. Dodjąc i odejmując stonmi [( ) ] x 2 o ( o + o ) 0 jk w zwkłm ównniu: x ( o + 2 ) Mm pwo podzielić pzez wżenie w nwisie po upewnieniu się, że jest liczą: 2. Ale: x 2 o + Wkłd /2016, zim 25

26 Pzedmiot: Fizk Dowodzenie twiedzeń Rchunek wektoow ułtwi dowodzenie twiedzeń geometcznch. Pzkłd 2. Udowodnić, że dw wekto muszą mieć ówne długości jeżeli ich sum jest postopdł do ich óżnic. Wkłd /2016, zim 26

27 Pzedmiot: Fizk 1. Jeżeli: Dowód + ( ) ( ) 2. To (z definicji ilocznu sklnego): ( + ) o ( ) 0 3. Kozstjąc z ozdzielności mnożenie względem dodwni: o o + o o 0 Wkłd /2016, zim 27

28 Pzedmiot: Fizk Dowód 4. Iloczn skln jest pzemienn, ztem: o + o 0 5. I: o o + o o 0 edukuje się do: Ztem: c.n.d. Wkłd /2016, zim 28

29 Pzedmiot: Fizk Zdnie 2-1 Stosując chunek wektoow udowodnić twiedzenie cosinusów. Wkłd /2016, zim 29

30 Pzedmiot: Fizk Wekto w ktezjńskim ukłdzie współzędnch pzpdek dwuwmiow ĵ Wkłd 2 î φ x x + x Tw. Pitgos 2015/2016, zim 30 i x x Tgonometi tg ϕ x 2 j

31 Pzedmiot: Fizk x Wekto w ktezjńkim ukłdzie współzędnch 3D z x z k î ĵ i j i o j i o i i x + j + k 0 1 z k Wkłd /2016, zim 31

32 2015/2016, zim 32 Stosując definicje ilocznów sklnego i wektoowego olicz: Pzedmiot: Fizk i j k j k i,, oz j j k j k i,, o o o Zdnie 2-2 Wkłd 2

33 Pzedmiot: Fizk Dziłni n wektoch w ukłdzie ktezjńskim Wkłd /2016, zim 33

34 Pzedmiot: Fizk 1. Dodwnie wektoów + Wnik jest wektoem i x + j + z k i x + j + z k + ( + )i + ( + )j + ( + x x z z ) k Wkłd /2016, zim 34

35 2015/2016, zim 35 Pzedmiot: Fizk 2. Równość wektoów lu k j i z x + + k j i z x + + Wnik z z x x Wkłd 2

36 2015/2016, zim 36 Pzedmiot: Fizk 3. Iloczn skln k j i z x + + k j i z x + + Wnik z z x x + + o OBOWIĄZUJE TYLKO W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM DLACZEGO? Wkłd 2

37 2015/2016, zim 37 Pzedmiot: Fizk 4. Iloczn wektoow k j i z x + + k j i z x + + Wnik z x z x k j i Wkłd 2

38 Pzedmiot: Fizk ZASTOSOWANIE RACHUNKU WEKTOROWEGO W FIZYCE Wkłd /2016, zim 38

39 Wielkości fizczne Pzedmiot: Fizk Długość, czs, sił, ms, pędkość, pzspieszenie, tempetu, ciśnienie, ntężenie pol elektcznego, ntężenie pądu elektcznego, stumień pol mgnetcznego SKALARY WEKTORY Wkłd /2016, zim 39

40 Pzedmiot: Fizk Mnożenie wekto pzez liczę: Pęd: definicj p mv Ptnie: Jki jest kieunek wekto pędu? ms m v wekto pędkości p Odpowiedź: p v Wkłd /2016, zim 40

41 Pzedmiot: Fizk Iloczn skln Pc W F o s F A Wekto sił B Wekto pzesunięci W F s cos φ φ s AB Wkłd /2016, zim 41

42 Pzedmiot: Fizk Iloczn wektoow: 1. Moment sił (ng. toque) L τ p F 2. Moment pędu (ng. ngul momentum) L F Wkłd /2016, zim 42 p

43 Iloczn wektoow: Pzedmiot: Fizk 3. Sił Loentz (ng. mgnetic foce) sił dziłjąc n łdunek q pouszjąc się w polu mgnetcznm o wektoze indukcji B F qv B To jest definicj wekto indukcji pol mgnetcznego Wkłd /2016, zim 43

44 Pzedmiot: Fizk Okeślnie zwotu ilocznu wektoowego : Wkłd /2016, zim 44

45 Pzedmiot: Fizk Pole mgnetczne zkzwi to uchu łdunku elektcznego. p - skok śu p v T - pomień śu mv 2 qv B Wkłd /2016, zim 45

46 Pzedmiot: Fizk Zdnie 2-3 Rozwżć szczególne pzpdki uchu cząstki nłdownej w polu mgnetcznm, gd: )wekto pędkości jest ównoległ do wekto indukcji mgnetcznej )wekto pędkości jest postopdł do wekto indukcji mgnetcznej Odpowiedzieć n ptni: jk sił dził n cząstkę i jk kzw opisuje to uchu cząstki. Wkłd /2016, zim 46

47 Pzedmiot: Fizk Zstnowić się nd innmi zstosownimi chunku wektoowego zówno w mtemtce jk i fizce. Poszukć infomcji n temt ilocznu miesznego oz podwójnego ilocznu wektoowego czli: o ( c) Zdnie 2-4 ( c) Wkłd /2016, zim 47

48 Pole mgnetczne nie zmieni enegii kinetcznej cząstki nłdownej pouszjącej się w tm polu E k m 2 v o de k dt v de k dt m 2 d dt le czli v o F qv ( v B) o E k const 0 v dv o v mv o dt dv m m dt F Wkłd /2016, zim 48

49 TEST 2P 1. Wekto o długości 20 dodno do wekto o długości 25. Długość wekto ędącego sumą wektoów może ć ówn: A) zeo B) 3 C) 12 D) 47 E) Wekto i leżą n płszczźnie x. Możem wnosić, że jeżeli: A) x x D) B) E) C) x x i x x 2 2 / / x i x x x Wkłd /2016, zim 49

50 3. Jeżeli ( 6m) i (8m) j to 4 m wtość: A) 10 m B) 20 m C) 30 m D) 40 m E) 50 m 4. Kąt pomiędz wektoem ( 25m i + (45m) j dodtnim kieunkiem osi OX wnosi: A) 29 o B) 61 o C) 119 o D) 151 o E) 209 o ) 5. Dw wekto, któch początki się pokwją, twozą pewien kąt. Jeżeli kąt pomiędz tmi wektomi zwiększ się o 20 o to iloczn skln tch dwóch wektoów zmieni znk n pzeciwn. Kąt, któ początkowo twozł te dw wekto wnosi: A) 0 B) 60 0 C) 70 o D) 80 o E) 90 0 Wkłd /2016, zim 50

51 6. Dw wekto ( 3m i (2m) j 2m i + (3m) j wznczją jednozncznie płszczznę. Któ z wektoów jest postopdł do tej płszczzn: ( 4m ) i + (6 m) j + (13m) k A) D) ) ( ) (2m) k ( 4m) i + (6 m) j (13m) k B) ( 4 m i + (6m) j + (13m) k E) ) ( 4 m ) i + (6m) j C) ( 4m ) i (6m) j + (13m) k 7. Wtość i o ( j k ) wnosi: A) zeo B) +1 C) -1 D) 3 E) 3 Wkłd /2016, zim 51

52 TEST 2A 1. A vecto of mgnitude 3 CANNOT e dded to vecto of mgnitude 4 so tht the mgnitude of the esultnt is: A) zeo B) 1 C) 3 D) 5 E) 7 2. A vecto hs mgnitude of 12. When its til is t the oigin it lies etween the positive x xis nd negtive xis nd mkes n ngle of 30 o with the x xis. Its component is: A) 6 3 B)-6 3 C) 6 D) -6 E) A vecto hs component of 10 in the +x diection, component of 10 m in the + diection, nd component of 5 m in the +z diection. The mgnitude of this vecto is: A) zeo B) 15 m C) 20 m D) 25 m E) 225 m Wkłd /2016, zim 52

53 4. Two vectos hve mgnitudes of 10 nd 15. The ngle etween them when the e dwn with thei tils t the sme point is 65 o. The component of the longe vecto long the line of the shote is: A) 0 B) 4.2 C) 6.3 D) 9.1 E) If the mgnitude of the sum of two vectos is less thn the mgnitude of eithe vecto, then: A) the scl poduct of the vectos must e negtive B) the scl poduct of the vectos must e positive C) the vectos must e pllel nd in opposite diections D) the vectos must e pllel nd in the sme diection E) none of the ove Wkłd /2016, zim 53

54 Pzedmiot: Fizk Podsumownie Dziłnie Wnik Metod postępowni Zstosownie dodwnie wekto wpdkowe pzemieszczenie, + eguł wpdkow sił odejmownie wekto ównoległooku lge wektoów, dowodzenie twiedzeń ozkłd wekto wekto skłdowe ówni pochł, zut ukośn, itp. Wkłd /2016, zim 54

55 Pzedmiot: Fizk Dziłnie Wnik Definicj Wzó w ukłdzie ktezj. W fizce iloczn skln o iloczn wektoow mnożenie wekto pzez liczę k Wkłd 2 skl wekto wekto o cosϕ sin ϕn 1. kieunek 2. zwot 3.wtość k 1. kieunek 2. zwot 3.wtość k o + + x k k k x i x x x j x z k z z z W mtemtce postopdłość wektoów pc, enegi np.kinetczn ównoległość wektoów ównoległość wektoów moment pędu, moment sił, sił Loentz pęd, II zsd dnmiki 2015/2016, zim z z 55