KINEMATYKA (punkt materialny)

Transkrypt

1 KINEMATYKA (punkt materialny) Wykład /2017, zima 1

2 MECHANIKA KINEMATYKA DYNAMIKA Opis ruchu Przyczyny ruchu Wykład /2017, zima 2

3 Y r RUCH KRZYWOLINIOWY P r OP y XY - Układ odniesienia - wektor położenia r (t) wektor położenia zależy od czasu O x X r x ˆi yˆj zkˆ Wykład /2017, zima 3

4 Y PRZEMIESZCZENIE Δr P tor ruchu r (t 1 ) r (t 2 ) r r t r 2 t 1 O X Wektor przemieszczenia zależy od czasu Wykład /2017, zima 4

5 Y O r (t 1 ) PRĘDKOŚĆ ŚREDNIA A PRĘDKOŚĆ CHWILOWA P r (t 2 ) t 2 t 1 Δr śr r (t 2 ) X śr r t r t rt 2 t dr Wektor prędkości chwilowej 2 t 1 1 Wektor prędkości średniej Wykład /2017, zima 5

6 Wykład /2017, zima 6 PRĘDKOŚĆ CHWILOWA JAKO GRANICA PRĘDKOŚCI ŚREDNIEJ śr t t t t t r r r d lim0 r r t t sr t lim 0

7 Wektor prędkości chwilowej jest zawsze styczny do toru! dr x ˆi d (x ˆi y ˆj y ˆj z kˆ z kˆ ) Wykład /2017, zima 7 dx ˆi x y dy z ˆj dx dy dz dz kˆ

8 a d PRZYSPIESZENIE Przyspieszenie jest związane ze zmianą wektora prędkości a d d ( x ˆi y ˆj z kˆ ) d x ˆi d y ˆj d z kˆ a a x ˆi a y ˆj a z kˆ Wykład /2017, zima 8 a a a x y z d d x y d z

9 W ruchu krzywoliniowym zawsze występuje przyspieszenie Dlaczego? 1 a Δ Wykład /2017, zima 9

10 PRZYSPIESZENIE NORMALNE I STYCZNE i ˆ t a d d (ˆi t ) d Wykład /2017, zima 10 ˆi przyspieszenie styczne t dˆi t a t a n normalne

11 RUCH KRZYWOLINIOWY PROMIEŃ KRZYWIZNY ds ρ dθ i t i n a n a t ρ-promień krzywizny toru ds d Tor bardziej zakrzywiony mniejszy promień krzywizny a n a n ˆi d t 2 ˆ i n Wykład /2017, zima 11

12 Przypadek szczególny- ruch prostoliniowy x- położenie V x(t) położenie zależy od czasu X=X 0 =0 X Wykład /2017, zima 12

13 Przemieszczenie: Δx = x 2 -x 1 Przemieszczenie może być dodatnie lub ujemne. Znak zależy od zgodności z osią OX. 0 x(t 1 )=x 1 x(t 2 )=x 2 x Wykład /2017, zima 13

14 Prędkość chwilowa i średnia w ruchu prostoliniowym lim x(t2) t ) lim x t 1 2t t t 1 x(t t lim t0 śr To jest definicja pochodnej funkcji czyli: dx Zmiana położenia w nieskończenie krótkim przedziale czasu Wykład /2017, zima 14

15 ANALITYCZNE WYZNACZANIE (t) i a(t) PRZYKŁAD 3-1 Położenie cząstki dane jest wzorem x(t)=4-27t+t 3 Znaleźć (t) i a(t). Wykład /2017, zima 15

16 ROZWIĄZANIE dx d 4 27t 3 t 27 3t 2 Jednostki: 4 m 27 m/s 3 m/s 3 Wykład /2017, zima 16

17 a d d t a 6t [a] = 1 m/s 2 czyli 6 m/s 3 Wykład /2017, zima 17

18 DWA PODEJŚCIA DO RÓWNAŃ RUCHU Dane jest x(t) x dx a a d Dane jest a(t) Wykład /2017, zima 18

19 TE PODEJŚCIA NIE SĄ CAŁKOWICIE RÓWNOWAŻNE CAŁKUJĄC MUSIMY ZNAĆ WARUNKI POCZĄTKOWE Wykład /2017, zima 19

20 PRZYKŁAD 3-2 Zakładając, że a=const. oraz warunki początkowe: (t=0)= 0 x(t=0)=x 0 wyprowadzić równania ruchu (t) oraz x(t). Wykład /2017, zima 20

21 Rozwiązanie a a at C Aby określić C, korzystamy z warunku początkowego: (0) 0 bo a jest stałe stała całkowania Podstawiamy t=0: (0) a 0 C C C 0 Wykład /2017, zima 21

22 at 0 x 0 (at ) 0 at at 1 2 at 2 C 1 0 0t C2 1 2 x at 0t 2 Wykład /2017, zima 22 C

23 Korzystamy z drugiego warunku początkowego: Otrzymujemy: x(0) Podstawiamy t=0: x x(0) a C 2 C x 0 Przedmiot: Fizyka Zatem x x t at Wykład /2017, zima 23

24 GRAFICZNE WYZNACZANIE (t) i a(t) HRW,1 Wykład /2017, zima 24

25 Nasze ciało reaguje na przyspieszenie czyli na zmianę prędkości. Przykłady: W czasie jazdy kolejką w Wesołym Miasteczku można doznawać chwilowo nawet przyspieszenia 3g, czyli 3 9,8 m/s 2 =29 m/s 2. W samochodzie jadącym z prędkością 90 km/h, czy w samolocie lecącym z prędkością 900 km/h, nasze ciało nie ma poczucia ruchu. Wykład /2017, zima 25

26 RUCH KRZYWOLINIOWY - PRZYKŁADY Ruch po okręgu Rzut ukośny Wykład /2017, zima 26

27 RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU 2 a = /t a a a a a 1 W ruchu jednostajnym po okręgu prędkość jest stała co do wartości, ale mimo to występuje przyspieszenie!!! Jak to możliwe??? Wykład /2017, zima 27

28 RUCH PO OKRĘGU WE WSPÓŁRZĘDNYCH KARTEZJAŃKICH r j θ i Y r θ X xˆi yˆj Wykład /2017, zima 28 r cos r x r r cosˆi sin y r rsin ˆj Kąt θ zależy od czasu Wektor prędkości kątowej ω d

29 z ω Związek pomiędzy prędkością liniową i kątową ω r x r ˆ d y W ruchu jednostajnym po okręgu wektor prędkości kątowej jest stały ω = const Z otrzymujemy t Wykład /2017, zima 29

30 Znajdujemy wektor prędkości liniowej: d r d (xˆi yˆ) j d r cosˆi rsin ˆj Ale: r nie zależy od czasu bo torem jest okrąg Wersory układu kartezjańskiego również pozostają stałe w czasie dr dˆ j Wykład /2017, zima 30 dˆ i 0 0

31 d d Przedmiot: Fizyka r cosˆi rsin ˆj r ˆi cos ˆj sin d cos sin sin d d sin cos cos r sin ˆi cosˆj ˆ d d pochodna funkcji złożonej r wektor jednostkowy w kierunku prędkości Wykład /2017, zima 31

32 ZADANIE DOMOWE 3.1 Pokazać, że wektor prędkości liniowej r sin ˆi cosˆj w ruchu po okręgu jest zawsze prostopadły do wektora położenia r r cosˆi rsin ˆj Uwaga: Nie jest to prawdą dla innych krzywych np. dla ruchu po torze eliptycznym! Wykład /2017, zima 32

33 Pokazać, że ZADANIE DOMOWE 3.2 ˆ sin ˆi cosˆj ma wszystkie cechy wersora. Wykład /2017, zima 33

34 DALSZE ROZWAŻANIA NA TEMAT PRĘDKOŚCI KĄTOWEJ Y θ r X T-czas pełnego obiegu czyli okres Miara łukowa kąta ds Wykład /2017, zima 34 s r d r r gdy ω=const 2 T

35 Ruch jednostajny po okręgu jest ruchem okresowym. Można go traktować jak złożenie dwóch ruchów harmonicznych o tej samej częstości, w kierunkach wzajemnie prostopadłych lecz przesuniętych w fazie o r r cosˆi rsin ˆj x(t) rcost y(t) rsin t Wykład /2017, zima 35

36 Wiedząc, że: r sin ˆi cosˆj Szukamy przyspieszenia liniowego: a d rsin ˆi rcosˆj r ˆi sin ˆj cos d d Ale d przyspieszenie kątowe Wykład /2017, zima 36

37 a r ˆ i d sin ˆ d i cos ˆ d j cos ˆ d j sin Ale a 2 d r cosˆi rsin ˆj r ˆsin i ˆj cos r a 2 r rˆ ˆ przyspieszenie normalne (dośrodkowe) przyspieszenie styczne Wykład /2017, zima 37

38 Rozwiązywanie równania ruchu w jednorodnym polu grawitacyjnym y rzut ukośny Rzut ukośny należy traktować jako złożenie dwóch ruchów w kierunkach wzajemnie prostopadłych: Przedmiot: Fizyka poziomym ze stałą prędkością x pionowym ze stałym przyspieszeniem Wykład /2017, zima 38

39 Oś x: F x =0 a x =0, ruch jednostajny g=-gj HRW,1 Oś y: F y =mg a y =g, ruch jednostajnie zmienny Wykład /2017, zima 39

40 Oś x: g=-gj HRW,1 x x x 0x t const Oś y: y 0y gt 0y 0x 0 0 sin θ cosθ 0 0 y 0y t gt 2 2 y (tgθ 0 )x 2( 0 gx 2 cosθ 0 ) 2 równanie toru - parabola Wykład /2017, zima 40

41 ZADANIE DOMOWE 3.3 (a) Wyprowadź równanie toru rzutu ukośnego. (b) Na tej podstawie udowodnij, że zasięg rzutu ukośnego dany jest wzorem: R g 2 0 sin 2θ0 oraz, że maksymalny zasięg rzutu osiąga się dla θ o 0 45 (c) Pokaż, że w rzucie ukośnym energia mechaniczna jest zachowana Wykład /2017, zima 41

42 Siła oporu powietrza wpływa na tor rzutu ukośnego Piłka do gry w baseball rzucona pod kątem 45 z prędkością = 50 m/s osiąga: bez oporu powietrza - wysokość 63 m, zasięg 254 m, z oporem powietrza - wysokość 31 m, zasięg 122 m 45 o tor w powietrzu tor w próżni optymalny kąt rzutu wynosi o Wykład /2017, zima 42

43 ZADANIE DOMOWE 3.4 Piłkę wybito w powietrze z powierzchni ziemi. Na wysokości h=9,1m prędkość piłki (wyrażona w metrach na sekundę) jest równa: 7,6ˆi 6,1ˆ j przy czym î jest wektorem jednostkowym w poziomie, ĵ jest wektorem jednostkowym, skierowanym do góry. (a) Na jaką maksymalną wysokość wzniesie się piłka? (b) Jaką całkowitą odległość przebędzie ona w poziomie? Wyznacz: (c) długość, (d) kierunek wektora prędkości piłki tuż przed jej spadkiem na ziemię. Wykład /2017, zima 43

44 Wektor położenia Przedmiot: Fizyka PODSUMOWANIE r x ˆi yˆj zkˆ r x ˆi yˆj zkˆ dr dx ˆi dyˆj dzkˆ Wektor przemieszczenia Wektor prędkości: zawsze styczny do toru Przyspieszenie występuje zawsze i może mieć oprócz składowej normalnej również składową styczną 2 d a a ˆ i n ˆ i n t t Wykład /2017, zima 44 dr dx ˆi dy ˆj dz kˆ

45 TEST 2P 1. Wektor o długości 20 dodano do wektora o długości 25. Długość wektora będącego sumą wektorów może być równa: A) zero B) 3 C) 12 D) 47 E) Wektory a i b leżą na płaszczyźnie xy. Możemy wnosić, że a b jeżeli: A) x y x y D) B) E) C) a a a 2 x x a a b y x 2 i b b x a 2 b y b y b y 2 a / a b / b a x y x a y i y b x x b y Wykład /2017, zima 45

46 3. Jeżeli a ( 6m)ˆ i (8m) ˆj to 4a ma wartość: A) 10 m B) 20 m C) 30 m D) 40 m E) 50 m 4. Kąt pomiędzy wektorem a ( 25m i (45m) j a dodatnim kierunkiem osi OX wynosi: A) 29 o B) 61 o C) 119 o D) 151 o E) 209 o )ˆ ˆ 5. Dwa wektory, których początki się pokrywają, tworzą pewien kąt. Jeżeli kąt pomiędzy tymi wektorami zwiększy się o 20 o to iloczyn skalarny tych dwóch wektorów zmienia znak na przeciwny. Kąt, który początkowo tworzyły te dwa wektory wynosi: A) 0 B) 60 0 C) 70 o D) 80 o E) 90 0 Wykład /2017, zima 46

47 6. Dwa wektory a ( 3m i (2m) j b 2m i (3m) j wyznaczają jednoznacznie płaszczyznę. Który z wektorów jest prostopadły do tej płaszczyzny: ( 4m)ˆ i (6m) ˆj (13m) kˆ A) D) )ˆ ˆ ( )ˆ ˆ (2m) kˆ ( 4m)ˆ i (6m) ˆj (13m) kˆ B) ( 4 m i (6m) j (13m) k E) )ˆ ˆ ˆ ( 4m)ˆ i (6m) ˆj C) ( 4m)ˆ i (6 m) ˆj (13m) kˆ ˆ 7. Wartość i ( j k ) wynosi: ˆ ˆ A) zero B) +1 C) -1 D) 3 E) 3 Wykład /2017, zima 47

48 8. Punkt materialny porusza się wzdłuż osi OX od x i do x f. Które z podanych wartości współrzędnych początkowych i końcowych odpowiadają przemieszczeniu o największej wielkości: A) x = 4m, x f = 6m D) x i = 4m, x f = - 2m B) x i = - 4m, x f = - 8m E) x i = - 4m, x f = 4m C) D) x i = - 4m, x f = 2m 9. Samochód przejeżdża 40 km ze średnią prędkością 80 km/h i następne 40 km ze średnią prędkością 40 km/h. Średnia prędkość samochodu na całym odcinku 80 km wynosi: A) 40 km/h B) 45 km/h C) 48 km/h D) 53 km/h E) 80 km/h Wykład /2017, zima 48

49 10. Położenie cząstki wyrażone w metrach, dane jest jako: x(t)=16 t 3.0 t 3, gdzie czas t jest mierzony w sekundach. Cząstka zatrzymuje się w chwili t=.. A) 0.75 s B) 1.3 s C) 5.3 s D) 7.3 s E) 9.3 s 11. Prędkość ciała dana jest jako funkcja czasu t wzorem (t)=4t - 3t 2, gdzie jest wyrażone w m/s, t podano w s. Prędkość średnia w przedziale czasu od t 1 =0 do t 2 =2s wynosi: A) 0 B) -2 m/s C) 2 m/s D) -4m/s E) nie może być obliczona bez znajomości położenia początkowego Wykład /2017, zima 49

50 12. Zależność położenia y od czasu t dana jest wzorem y = at bt 2. Wymiary stałych a i b wynoszą odpowiednio: A) L 2 /T, L 3 /T 2 D) L 3 /T, T 2 /L B) L/T 2, L 2 /T E) żadna z odpowiedzi nie jest prawidłowa C) L/T, L/T Samochód początkowo w spoczynku, przebywa 20 m w 4 s wzdłuż linii prostej, ze stałym przyspieszeniem. Przyspieszenie samochodu wynosi: A) 0.4 m/s 2 B) 1.3 m/s 2 C) 2.5 m/s 2 D) 4.9 m/s 2 E) 9.8 m/s 2 Wykład /2017, zima 50

51 TEST 2A 1. A ector of magnitude 3 CANNOT be added to a ector of magnitude 4 so that the magnitude of the resultant is: A) zero B) 1 C) 3 D) 5 E) 7 2. A ector has a magnitude of 12. When its tail is at the origin it lies between the positie x axis and negatie y axis and makes an angle of 30 o with the x axis. Its y component is: A) 6 3 B)-6 3 C) 6 D) -6 E) A ector has a component of 10 in the +x direction, a component of 10 m in the +y direction, and a component of 5 m in the +z direction. The magnitude of this ector is: A) zero B) 15 m C) 20 m D) 25 m E) 225 m Wykład /2017, zima 51

52 4. Two ectors hae magnitudes of 10 and 15. The angle between them when they are drawn with their tails at the same point is 65 o. The component of the longer ector along the line of the shorter is: A) 0 B) 4.2 C) 6.3 D) 9.1 E) If the magnitude of the sum of two ectors is less than the magnitude of either ector, then: A) the scalar product of the ectors must be negatie B) the scalar product of the ectors must be positie C) the ectors must be parallel and in opposite directions D) the ectors must be parallel and in the same direction E) none of the aboe Wykład /2017, zima 52

53 6. A particle moes along the x axis from x i to x f. Of the following alues of the initial and final coordinates, which results in a negatie displacement: A) x = 4m, x f = 6m D) x i = - 4m, x f = - 2m B) x i = - 4m, x f = - 8m E) x i = - 4m, x f = 4m C) D) x i = - 4m, x f = 2m 7. Two automobiles are 150 km apart and traeling toward each other. One automobile is moing at 60 km/h and the other is moing at 40 km/h. In how many hours will they meet: A) 2.5 B) 2.0 C) 1.75 D) 1.5 E) 1.25 Wykład /2017, zima 53

54 8. A car starts from Hither, goes 50 km straight line to Yon, immediately turns around and returns to Hither. The time for this round trip is 2 hours. The magnitude of the aerage elocity of the car for this round trip is: A) 0 D) 200 km/h B) 50 km/h E) cannot be calculated without knowing C) 100 km/h the acceleration 9. A car starts from Hither, goes 50 km straight line to Yon, immediately turns around and returns to Hither. The time for this round trip is 2 hours. The aerage speed of the car for this round trip is: A) 0 D) 200 km/h B) 50 km/h E) cannot be calculated without knowing Wykład /2017, zima 54 C) 100 km/h the acceleration

55 10. A drag racing car starts from rest at t=0 and moes along a straight line with elocity gien by = bt 2, where b is a constant. The expression for the distance traeled by this car from its position at t=0 is: A) bt 3 B) bt 3 /3 C) 4bt 2 D) 3bt 2 E) bt 3/2 11. A ball rolls up a slope. At the end of three seconds its elocity is 20 cm/s; at the end of eighth seconds its elocity is 0. What is the aerage acceleration from the third to the eighth second? A) 2.5 cm/s 2 B) 4.0 cm/s 2 C) 5.0 cm/s 2 D) 6.0 cm/s 2 E) 6.67 cm/s 2 Wykład /2017, zima 55