1. Algebra wektorów. Rys Wektor w układzie współrzędnych (jego współrzędne i kąty)

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Algebra wektorów. Rys Wektor w układzie współrzędnych (jego współrzędne i kąty)"

Kazimiera Mikołajczyk
5 lat temu
Przeglądów:

1 1. Alger wetorów Welość wetorową chrterue wrtość, cl moduł, erune, wrot. Możn ą predstwć w sposó grfcn o odcne serown o długośc proporconlne do modułu lu te w sposó nltcn. Sposó nltcn poleg n podnu rutów,, wetor ( ch nm) n ose ułdu współrędnch, lo też n podnu modułu wetor (oncene: lu ) ątów e twor on osm ułdu (rs.1.1). Lc słdowch ątów leż od tego c wetor ndue sę w prestrenu 3 wmrowe, c też n płscźne (prestreń wmrow) c też n proste (prestreń 1 wmrow). Do nltcnego predstwen wetor pomocą słdowch tre wprowdć wersor, cl wetor ednostowe os prostoątnego ułdu współrędnch, oncne pre,,, pr cm 1. W prestrene wetor możn prestwć w postc (1.1) Wetor est ednoncne oreślon wted, gd nn est tró lc,,. W prpdu wetorów nduącch sę n płscźne dowoln wetor może ć predstwon w nstępuąc sposó (1.) W tm prpdu dl ednoncnego oreślen wetor potreuem nć tlo dwe ego współrędne,. Rs Wetor w ułde współrędnch (ego współrędne ąt)

2 Moduł wetor est równ (1.3) Kąt, e twor wetor osm ułdu współrędnch oreślą nstępuące wor cosα (1.4) cosβ (1.5) cosγ (1.6) pr cm tlo dw ąt są neleżne, ponewż cos α cosβ cosγ 1 (1.7) Jeśl wetor est oreślon pomocą modułu ątów α β, to rut wetor n ose ułdu współrędnch możn olcć leżnośc: cosα (1.8) cosβ (1.9) cosγ (1.10) Wetorem precwnm do dnego nw sę wetor o precwnm wroce do dnego wetor tm smm module erunu. Wprowdene poęc wetor precwnego powl sprowdć odemowne wetorów do dodwn wetor precwnego. (1.11) Sumę (węc tże różncę) dwóch wetorów, wnc sę grfcne w nstępuąc sposó (rs. 1.): eden wetorów np. (lu w prpdu odemown wetor do nego precwn ) presuw sę równolegle t ego onec porł sę pocątem wetor. W wnu sumown (różnc_ wetorów powste now wetor, np. c ( d ) c (1.1) d (1.13)

3 Konec powstłego w ten sposó wetor porw sę ońcem wetor presuwnego wetor ( ) pocąte porw sę pocątem ne presuwnego wetor ( ). Postł wetor sum różnc m tże swoe słdowe c c c c (1.14) d d d d (1.15) Poscególne ego współrędne możn wlcć epośredno e współrędnch sumownch wetorów Rs. 1.. Sumowne wetorów Słdowe sum (różnc) dwóch wetorów możn predstwć nltcne pomocą leżnośc: c c c (1.16) (1.17) (1.18) d d d (1.19) (1.0) (1.1)

4 c cosδ (1.) d cosδ (1.3) gde ąt δ onc ąt pomęd wetorm. W scególnm prpdu wetorów równoległch o godnch wrotch ąt δ 0 wted równn uprscą sę do leżnośc c (1.4) d (1.5) ntomst gd wetor te są równoległe precwne równn uprscą sę do c (1.6) d (1.7) W rchunu wetorowm możlwe są nstępuące operce mnożen (lu ch omnce): - mnożene wetor pre slr (lcę), - mnożene slrne wetor pre wetor, - mnożene wetorowe wetor pre wetor. Jeśl chod o delene to możlwe est edne delene wetor pre slr o mnożene wetor pre slr odwrotn (lcę odwrotną). Ilocnem wetor pre slr m nw sę t wetor m (1.8) tórego moduł równ sę m (1.9) Wetor m ten sm erune co wetor ten sm wrot eżel slr m est neuemn. Jeśl slr m est uemn to wetor mą precwn wrot lec ndl ten sm erune. Ropsuąc równne 1.8 n słdowe otrmuem m (1.30) m (1.31) m (1.3)

5 Mnożene wetor pre lcę est dłnem premennm m m Jest tże dłnem łącnm (1.33) ( mn ) m( n) n( m) (1.34) tże rodelnm wględem dodwn wetorów slrów m ( ) m m (1.35) ( m n) m n (1.36) gde: m,n slr (lc) Ilocnem slrnm dwóch wetorów nwm slr (lcę) l cosδ (1.37) Ponewż cos δ (1.38) est modułem rutu wetor n wetor węc locn slrn est równ modułow ednego wetor pre rut drugego wetor n perws. Ilocn slrn est dodtn eśl ąt pomęd wetorm est ostr uemn eśl ąt ten est rowrt. W scególnm prpdu wetorów prostopdłch locn slrn prmue wrtość 0. Rs Rut wetor n wetor (w erunu drugego wetor) Dl wersorów,, chodą tem nstępuące wą 1 (1.39) 0 (1.40)

6 Ilocn slrn m nstępuące włsnośc - premenność (1.41) - łącność (1.4) - rodelność wględem dodwn (1.43) (1.41) m ( ) ( m) ( m) (1.4) ( c) c (1.43) Korstąc powżsch włsnośc leżnośc, możn olcć locn slrn, gd nne są słdowe ou wetorów wdłuż os prostoątnego ułdu współrędnch (1.44) Mnożene wetorowe est to operc, tóre wnem est now wetor c utworon w nstępuąc sposó: - moduł c snδ (1.45) - erune c oreśl prost prostopdł do płscn wncone pre wetor - wrot c wnc sę pomocą reguł orocągu (śru prwosrętne) tór mów: eśl ręoeść orocągu ręcć w ten sposó perws wetor porł sę drugm reśląc mnes dwóch ątów to erune ruchu orocągu wsże wrot wetor c. Z powżse defnc wdm e locn wetorow ne est premenn (wn leż od olenośc cnnów) (1.46) Jeśl wetor są równoległe to n podstwe woru 1.45 (ąt δ0) e wnem mnożen wetorowego est wetor erow.

7 Ilocn wetorow m nstępuące włsnośc: - łącność (1.47) - rodelność (1.48) ) ( ) ( ) ( m m m (1.47) c c ) ( (1.48) N podstwe defnc locnu wetorowego możn poć, że dl wersorów prostoątnego ułdu współrędnch oowąuą leżnośc: 0 (1.49) (1.50) (1.51) (1.5) (1.53) (1.54) (1.55) Rs Ilocn wetorow Ilocn wetorow możn wrć pomocą słdowch ou wetorów ( ) ( ) ( ) (1.56)

8 Korstąc poęc wncn, locn wetorow możn predstwć w łtwe do pmętn postc: (1.57) Ilocn wetorow m prostą nterpretcę geometrcną ego moduł est równ polu powerchn równoległoou udownego n wetorch. Wąże sę to e stosownm powsechne sposoem repreentc powerchn pomocą wetor prostopdłego do te powerchn o module proporconlnm do pol te powerchn. Ten sposó predstwn powerchn worstue sę w fce, np. pr defnownu strumen eletrcnego Φ E mgnetcnego Φ B. Ltertur: M.A.Hermn, A.Klestńs, L.Wdoms, Podstw f dl nddtów n wżse ucelne studentów, PWN Wrsw 1999

Podobne dokumenty

dr inż. Zbigniew Szklarski

dr inż. Zbigniew Szklarski Włd : Wetor dr nż. Zgnew Slrs sl@gh.edu.pl http://ler.uc.gh.edu.pl/z.slrs/ Welośc fcne Długość, cs, sł, ms, prędość, pęd, prspesene tempertur, nprężene, premescene, ntężene prądu eletrcnego, ntężene pol