Sposób opisu symetrii figur lub brył skończonych

Transkrypt

1 Wkłd drugi - smetri Smetri (gr. συμμετρια podobn mir) dl figur lub brł - istnienie nietrwilnego prekstłceni, które odworowuje obiekt w smego siebie minie mogą ulegć współrędne prestrenne, cs, kolor itp. skłdnie opercji smetrii możn sprowdić do mnożeni mcier opisującch te opercje Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Brł pred dokonniem opercji smetrii i po niej musi bć nieodróżniln. Opercje smetrii musą chowwć odległości międ punktmi są to opercje iometrcne Zchownie odległości nkłd wię n prekstłceni: d 2 = T = T = (A) T (A) = T A T A A T A= I cli A T = A - or det(a T A) = det(a) det(a) =: det(a) = lub det(a) = mciere tkich prekstłceń nwm ortogonlnmi Mciere o wncniku det(a) = prekstłcją ukłd współrędnch prwoskrętn n lewoskrętn. Powodują minę chirlności obiektu. Njcęściej smetrie w krstlogrfii opisne są pomocą mcier wierjącch tlko licb cłkowite, i. Jest to możliwe dięki odpowiedniemu wborowi wektorów bowch. Sposób opisu smetrii figur lub brł skońconch Opercje smetrii - prekstłceni iometrcne - chowujące odległości punktów. Tlko obrot i obrot inwersjne. Możn je opisć pomocą mcier. Element smetrii to obiekt geometrcne definiujące opercje smetrii oś, płscn itp. Są to podprestrenie niemiennice dl dnej opercji: odbicie w punkcie: punkt D, obrót: oś, lini D, płscn smetrii: 2D jeden element smetrii może opiswć kilk opercji smetrii, np. oś : obrot o 9, 8, 27 i 6. Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Osie obrotu 6 Oś n-krotn opisuje obrót figur o kąt n or dowolną krotność tkiego obrotu. W krstlogrfii wstępują tlko nstępujące osie: jednokrotn - obrót o 6 (identcność) dwukrotn 2 - obrót o 8 trójkrotn - obrót o 2 cterokrotn - obrót o 9 seściokrotn 6 - obrót o 6 Mcier obrotu, wprowdenie Ogólnie obrót dookoł osi Z w kierunku odwrotnm do wskówek egr o kąt f opisuje prekstłcenie: = r(+f) = rf rf = f f = r(+f) = rf + rf = f + f = r Y f r X ' f f ' f f ' Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26

2 2 Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Mcier obrotu Mcier obrotu m nstępujące włściwości: det(a) =, tr(a) = S ii = + 2, Prkłd mcier repreentującch obrot Z [,,] Z 2 Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Oś dwukrotn, 2 Prekstłcenie obrót, element smetrii oś (ng. is) oś obrotu do osi Y: (,, )(,, ) det (A) =, tr(a) = prekstłcenie nie mieni chirlności obiektu Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Środek smetrii (inwersj) Prekstłcenie (,, ) (,, ) prekstłcenie mieni chirlność obiektu, mcier jednostkow r (mnożenie wse premienne), det(a) =, tr(a) = Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Osie inwersjne Oś inwersjn to łożenie obrotu i inwersji. Onc się ją popre umiescenie kreski nd smbolem osi, tn. Oś dwukrotn inwersjn jest identcn płscną smetrii do niej prostopdłą 6,, 2,, Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Mcier obrotu inwersjnego Ogólnie obrót inwersjn opisuje mcier łożeni obrotu R inwersją I: det(a) =, tr(a) = 2, W rmch obrotów inwersjnch mm: smetrię środkową!, odbicie w i osie #, $ i ^. Obiekt $ i ^ nie mją ni środk smetrii, ni odpowiedniej osi! 2 Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Odbicie w płscźnie Element smetrii płscn smetrii smbol m - mirror (smmetr plne) płscn do osi Y: (,, ) (,, ) wncnik det (A) =, tr(a) = (formlnie prekstłcenie mieni chirlność obiektu

3 Zmin orientcji osi 2 w prestreni mieni mcier smetrii, le nie mieni ni wncnik, ni śldu: oś Y, oś Z, oś (X+Y) Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 X Y Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Niemienniki smetrii Nieleżnie od obrni wektorów bowch o tej smej orientcji chowne są wncnik i śld mcier. Może to służć do roponwni opercji smetrii. Dl obrotów: det(a) = +, tr(a) = + 2 Dl obrotów inwersjnch: det(a) =, tr(a) = 2 Kąt Oś 6 2 Śld 2 - Oś! ^ $ Śld Śld mcier definiown jest jko tr(a) = Σ i ii. Wżną włsnością śldu jest tr(ab) = tr(ba). Jeżeli prekstłcim wektor bowe np. X=SX or Y=SY, to równni Y=AX otrmm SY =ASX cli Y = S - ASX. W nowch współrędnch A =S - AS, tr(s - AS) = tr(ss - A) = tr(a) Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Inwersj jko łożenie Środek smetrii wstępuje wse, jeżeli wstępuje oś 2 i do niej płscn m or gd wstępuje nieprst oś inwersjn, np. (mnożenie pre mcier inwersji jest premienne! =! ), Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Inwersj jko łożenie Środek smetrii wstępuje również, jeżeli wstępują tr wjemnie płscn smetrii, mmm X Y Z i Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Prkłd Znjdź element smetrii w literch: C I K M O P U V X Y Z S Roponj smetrię dną kodem:,,;,,;,, Znjdź element smetrii w brłch definiującch ukłd krstlogrficne Prenliuj smetrię cąstecek CH 2 Cl 2, CHCl, C 6 H 6, C 6 H 2 łódkow, C 6 H 2 kresłow

4 Smetri mkroskopow krstłów Struktur obiektów skońconch, w którch wstępuje punkt stł, wspóln dl wsstkich opercji smetrii, opiswn jest popre: Opercje smetrii Grup punktowe smetrii Definicj grup Grupę stnowi biór elementów or diłnie (ilocn), spełnijące nstępujące wrunki: ilocn dowolnch dwu elementów grup też jest elementem grup, b G diłnie jest łącne, (b) c = (b c) istnieje jednk e, tn. e = e = dl kżdego elementu istnieje element odwrotn - G, tki że - = e W krstlogrfii rolę e spełni oś Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Prkłd grup bstrkcjnch Zbiór licb cłkowitch i dodwnie Zbiór licb wmiernch be er i mnożenie Zbiór mcier odwrclnch stopni n i ich mnożenie Zbiór opercji smetrii i ich łożenie Inne: bior elementów mogą bć nieskońcone lub skońcone Zbiór (,, 2) i dodwnie modulo Zbiór licb ( i ) i mnożenie Prkłd grup smetrii Grup: 2/m; Element: 2, m,,! Tbel mnożeni grup:! 2 m! 2 m!! m m! m m 2! Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 Smbolik grup smetrii Kierunki smetrii w smbolch międnrodowch ukłd po. po. 2 po. prkłd jednoskośn [] 2/m rombow [] [] [] mm2 tetrgonln [] [] lub [] heksgonln [] [] lub [] lub [!!] regulrn [] lub [] lub [] [] lub [!!] lub [!!] lub [!!] Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 [] lub [!] [!] lub [2] lub [@!] mm 6/mmm [] lub m#m [!] lub... Prkłd i dni Zkwlifikuj grup punktowe do ukłdów krstlogrficnch n podstwie smbolu: m, mm2, 222, mm, #m, 2 W której grupie wstępuje środek smetrii:, 6, / m, mm2, 222, m, m, 6, Prenliuj smetrię cąstecek CH 2 Cl 2, CHCl, C 6 H 6, C 6 H 2 łódkow, C 6 H 2 kresłow Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26

5 Podsumownie Smetrię obiektów skońconch możn opiswć posługując się elementmi smetrii: osie obrotu, płscn smetrii, środek smetrii or osie inwersjne. Niektóre element smetrii wnikją obecności innch elementów Popre podnie grup smetrii mm pełną informcję o wsstkich opercjch smetrii możliwch do stosowni n obiekcie Jrosłw Chojncki PG, Gdńsk 26 5