Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Transkrypt

1 Wprowdenie: Do cego służą wekor? Mp połąceń smoloowch Isige pokuje, skąd smolo wlują i dokąd dolują; pokne jes o pomocą srłek srłki e pokują premiescenie: skąd dokąd jes dn lo, rs.. Mimo, że rjekori lou nie jes ką okrągłą srłką, ki sposó pokni premiesceni jes rdo wgodn. Rsunek włoskiej 6-leniej diewcnki pokuje skok pre preskodę. Z pomocą prerwnej linii diewcnk pokł, że w njwżsm punkcie skoku prędkość jes poiom. Rsunek 8-leniego Kmil regu ilusruje derenie dwóch piłek. Mimo, że n wkłdie ł pokn lko ekspermen, młod słuchc pokł derenie pomocą srłek. Dorosł suden prpisł m srłkom ncenie pędu, kór wmieniją piłki w rkcie dereni. Niekóre wielkości ficne jes ich rdo wiele) wro opisć pomocą ego rodju srłek. Wielkości e, opróc wrości mją kierunek i punk cepieni n mpie połąceń lonicch jes o punk wlou, n rsunku skoku - środek ciężkości le. Dl ścisłości, kierunkiem nwm kierunek dereni w pionie, wroem ncm, c piłk odskocł w górę c w dół dl smolou lo m, c powró ). Dl odmin, słupek ręci rcej lkoholu) w ermomere soi wcj nieruchomo lu rośnie le powoli), więc nie ncm jego kierunku. Temperurę fic nwją sklrem. Sklrem jes eż ilość pienięd n koncie lu dee). Resumując, wekor w fice mją cer wielkości: wrość, - kierunek, - wro, - punk prłożeni. Zdni:. Określ wrość, kierunek ką do poiomu), wro np. w lewo w górę ) i punk prłożeni współrędne ego punku) nieieskich wekorów n rsunkch. Jednosk mir jes podn n rsunkch.

2 . Sum wekorów Wekor się sumują, le o sumownie musi uwględnić ich kierunek i wro, jk n prkłdie dwóch sił poniżej. Prkłd Toruńskiego poręcnik do fiki UMK.) Rowżm inn prpdek dwóch holowników, kóre ciągną ciężki nkowiec o. rs. 4.). Kżd holowników ciągnie w nieco innm kierunku, le nkowiec płnie proso pred sieie. Dlcego? Mówim, że dwie sił się skłdją i dją siłę sumrcną, wną eż po polsku wpdkową. F F w F Rs. 4.. Dw holowniki ciągną nkowiec. Kżd holowników dił siłą o wrości F nieieskie srłki) le nieco pod innm kąem od osi nkowc. Z ego powodu wpdkow sił F w diłjąc n nkowiec, ncon kolorem cerwonm, m wrość nieco mniejsą od F. Wekorem jes również prędkość. Rowżm prkłd łódki płnącej w poprek reki. Wioślr wiosłuje ile sił, le łódk i k jes noson prądem. Wpdkow kierunek ruchu ędie łożeniem prędkości włsnej łódki o nc prędkości, jką mił łódk n sojącej wodie) i prędkości prądu reki, oc rs Mówim, że wpdkow wekor prędkości jes sumą prędkości skłdowch. Sposó n sumownie wekorów jes pokn n rsunkch

3

4 . Wekor w ukłdie współrędnch

5 Prkłd rsunku.4 wskuje, że wgodnie jes predswić wekor w ukłdie współrędnch, ncjąc punk pocąkow, np. o współrędnch,) i,4). Wekor, nieieski n rsunku, skierown jes w lewo w górę. opisć o memcnie, policm, że wdłuż osi OX jes o presunięcie o w lewo cli o minus ) i + wdłuż osi OY. Wekorowi prpisujem więc współrędne [-, ]. Jk olicm współrędne wekor? Tk jk o roiliśm n rsunku powżej: od współrędnch końc wekor, cli punku,) odejmujem współrędne pocąku wekor, cli,4) = [-, -4]=[, -] Innmi słow = [, ] = [ -, - ].4. Wekor swoodn Opisując wekor pomocą jego współrędnch, dokonliśm sporego uogólnieni: pominm, że wekor m punk cepieni. Jes o rdo prdne, również w fice. Prąd n Wiśle w Toruniu jes wsędie ki sm: lew n prwo prąc e Srego Mis). I mew n kre i łódk nosone są wse ką smą prędkością drfu. W dlsej cęści ego kursu, ędiem rkowć wekor jko wekor swoodne, cli po prosu uporądkowną prę lic. Pr określ kierunek, wro i wrość wekor.

6 Wekor możn piswć w posci sndrdowo sosownej w geomerii: OP =,. Możn kże użwć pisu mcierowego: OP = =. Wekor jes wówcs rkown jk mcier skłdjąc się jednej kolumn. Mcierą nwm prosokąną licę o m wiersch i n kolumnch, posci: n n, m m mn gdie ij, nwn elemenem mcier, jes licą. Licę wiers m i licę kolumn n mcier nwm jej wmirem i oncm mn. W presreni rójwmirowej, kżd punk opiswn jes pomocą rech współrędnch. Zem wekor w kiej presreni kże opisn jes pomocą rech współrędnch. Definicj. Wekorem w presreni rójwmirowej nwm uporądkowną rójkę lic,, c). Lic e nwm współrędnmi wekor. Jeżeli pocąkiem wekor jes punk O o współrędnch,, ) końcem punk P o współrędnch,, ), o wekor możn pisć w posci: =, gdie =, =, c =. c Definicj. Długością wekor nwm pierwisek sum kwdrów jego współrędnch. Długość wekor oncm smolem. W prpdku wekor n płscźnie wekor OP jes preciwprosokąną rójką prosokąnego, kórego prprosokąne mją długości odpowiednio i. Z wierdeni Pigors wnik więc, że OP wekor w presreni rójwmirowej. Prkłd. Olicć długości wekorów: ) =. Podoną leżność możn wprowdić dl

7 ) = 9 8 Rowiąnie ) 4 9 ) ) Prkłd. Dne są punk P 5, 6, -) i P -, 8, 7). Olicć współrędne i długości wekorów P P or P P. Rowiąnie 9 8 ) P P ) P P ) 5 P P ) ) 8 P P

8 . Podswowe diłni n wekorch Podm definicje i włsności diłń n wekorch w presreni dwuwmirowej. Diłni w presreni rójwmirowej definiowne są nlogicnie i mją nlogicne włsności. Definicj.4 Mówim, że wekor o ch smch wmirch, = n i = n są równe, =, wed i lko wed, gd i = i dl i =,,, n. Definicj.5 Sumą wekorów o ch smch wmirch, = n i = n nwm wekor c ki, że c = + = n n. Różnicą wekorów o ch smch wmirch, = n i = n nwm wekor c ki, że c = - = n n. Ilocnem wekor = n pre słą k nwm wekor c ki, że c = k = k n k. Definicj.6 n wmirowm wekorem erowm nwm wekor =.

9 Definicj.7 Wekorem preciwnm do wekor = n nwm wekor - = n. Zchodą nsępujące włsności. ) + = + ) + + c) = + ) + c c) + =, d) + -) =. Definicj.8 Dw nieerowe wekor i mją en sm kierunek, jeśli isnieje k nieerow lic k, że = k. Jeśli pondo: k >, o wekor e mją en sm wro, k <, o wekor e mją wro preciwn. Prkłd. 4 Niech =, =. Znjdź: ) +, ), c) /). Rowiąnie 4 ) 5 4 ) ) c) 9 6 Definicj.9 Wersorem nwm wekor, kórego długość jes równ.

10 Scególnie prdne w diłnich n wekorch są wersor wiąne osimi krejńskiego ukłdu współrędnch. W presreni dwuwmirowej są o wekor i or j, nomis w presreni rójwmirowej i, j or k. Kżd wekor możn predswić w posci komincji liniowej odpowiednich wersorów. Prkłd.4 Zpisć wekor 5 i w posci komincji liniowej odpowiednich wersorów. j i k j i Widć sąd, że współrędne wekor są rem współcnnikmi worącej en wekor komincji liniowej wersorów.. Ilocn sklrn wekorów. Definicj. Niech = n i = n. Ilocnem sklrnm wekorów i o ch smch wmirch nwm: = = n n = n n. Z powżsej definicji wnik, że ilocn sklrn dwóch wekorów jes licą.

11 Niekóre włsności ilocnu sklrnego: Niech, i c ędą wekormi i niech k ędie licą. Zchodą nsępujące włsności: ) =, ) =, c) + c) = + c, d) k ) = k ) = k), e) = = Ilocn sklrn jes cęso wkorswn do njdowni ką wrego mied wekormi. Definicj. Niech i ędą wekormi nieerowmi cepionmi w jednm punkcie. Kąem międ wekormi i nwm mniejs kąów wnconch pre e wekor., ), ) N rsunku.4, ką mied wekormi i oncon jes smolem. O Rs..4 Twierdenie. Jeśli jes kąem mied nieerowmi wekormi i, o: = cos Dowód: Jeśli k, o nc jeśli wekor i nie są równoległe, o mm sucję predswioną n rs..4. Sosując wierdenie cosinusów do rójką O ormujem: = + - cos. Zem, podswijąc współrędne poscególnch wekorów, ormujem: ) + ) = cos. Po podniesieniu nwisów do kwdru i redukowniu mm: - - = - cos, co po podieleniu pre -) dje udowdniną równość. Z powżsego wierdeni wnikją wżne wnioski.

12 Wniosek. Jeśli jes kąem mied nieerowmi wekormi i, o: cos Wniosek. Dw nieerowe wekor i są orogonlne wed i lko wed, gd =. Prkłd.4 Sprwdić orogonlność wekorów: ) i ) 5 i 8 7 Rowiąnie ) = + -) -) = =. Wekor nie są orogonlne. ) = -) ) = =. Wekor są orogonlne. Q Q S P R P Rs..5 S R Jeśli wekor PQ i PR są cepione w m smm punkcie, i jeśli punk S jes ruem orogonlnm punku Q n prosą wnconą pre punk P i R, o sklr PQ cos

13 ędiem nwli komponenem wekor PQ wdłuż PR. Zuwżm, że PQ cos jes dodni jeśli < / lu ujemn jeśli / <. Dl = / komponen jes równ. Zuwżm, że PQ PR PQ cos Wór en możn sosowć do olicni wrości PR prc wkonnej pre siłę diłjącą pod kąem do kierunku ruchu presuwnego cił. Złóżm, że mm do cnieni sucją predswioną w pierwsej cęści rsunku.5, n. sił PQ prłożon jes w punkcie P i powoduje presunięcie ego punku o wekor PR. Wekor PQ jes sumą wekorów PS i SQ, wekor SQ jko prosopdł do kierunku presunięci nie wpłw n presunięcie punku P. Wkonn prc może więc ć pisn w posci : W = gdie PS PR, PS PQ cos. Sąd W Zem PQ PR cos PQ PR Twierdenie. Prc wkonn pre słą siłę PQ, kór spowodowł presunięcie punku prłożeni sił o wekor PR jes równ ilocnowi sklrnemu wekorów PQ i PR, W PQ PR. Prkłd Olicć prcę wkonną pre ę siłę podcs presuwni pewnego cił punku P, -, ) do punku R4,, -). Wrość i kierunek słej sił wrżone są pomocą wekor Rowiąnie. Njpierw olicm współrędn wekor PR. Ormujem PR = [, 4, -]. Zgodnie wierdeniem. wrością prc jes: PR = ) = 5. Jeśli presunięcie wrżone ło w merch sił w niuonch, o jednoską prc jes dżul. Możem więc powiedieć, że wkonn osł prc W = 5 J.

14 .4 Ilocn wekorow. Definicj. Niech i, j or k. Ilocnem wekorowm wekorów = i + j + k or = i + j + k nwm wekor k j i.= )i )j + )k Skróowo możn ilocn wekorow pisć w posci wncnik: k j i. Prkłd.6 Znleźć jeśli = [, -, 6] i = [-, 5, ]. Rowiąnie k j i k j i = - )i - + 8)j + )k = -i j + 7k = [-, -, 7]. Twierdenie. Wekor jes orogonln do wekorów i. Dowód: Wsrc wkć, że ) = or ) =. ) = ) - ) + ) = = =.

15 Podonie dowodim, że ) =. W inerprecji geomercnej, rs..6, wierdenie. pokuje, że jeśli wekor i cepione są w jednm punkcie, o ilocn wekorow jes wekorem prosopdłm do płscn wnconej pre i. Jego wro wncon jes pomocą reguł śru prwoskręnej: orcjąc wekor w sronę wekor godnie e srłką, wierm wro wekor wskn pre wkręcnie się śru prwoskręnej. / / Ilocn wekorow, podonie jk sklrn, może ć uż do wncni ką międ wekormi. Rs..6 Twierdenie.4 Jeśli jes kąem międ dwom nieerowmi wekormi i, o = sin Z powżsego wierdeni or włsności sin = wnik nsępując wniosek. Wniosek. Nieerowe wekor i są równoległe wed i lko wed, gd = Ilocn wekorow m nsępujące włsności. Twierdenie.5 Jeśli, i c są dowolnmi wekormi, jes wekorem erowm, m jes sklrem, o: ) = =, ) = -, c) m) = m ) = m), d) + c) = ) + c), e) + ) c = c) + c), f) ) c = c), g) c) = c) )c.

16 Zsosowni. Twierdenie.6 Pole równoległooku, kórego prległmi okmi są wekor i, jes równe P =. Dowód. Niech i ędą prległmi okmi równoległooku, niech ędie kąem międ nimi, rs..7. Ze woru n pole równoległooku mm: P = sin. Zem godnie wierdeniem.4, sin P =. Prkłd.6 Rs..7 Olicć pole równoległooku, kórego kolejnmi wierchołkmi są punk o współrędnch, 5, ),, -, ) i 5, 4, ). Rowiąnie Mjąc r kolejne wierchołki możem uworć r równoległooki. Poniewż pole kżdego równoległooku jes równe podwojonemu polu rójką uworonego pre r kolejne wierchołki, em pol ch równoległooków ędą jednkowe. Wsrc wlicć pole jednego nich, np. równoległooku, kórego prległmi okmi są wekor o pocąku w punkcie, -, ) i końcu w punkcie, 5, ) or o pocąku w punkcie, -, ) i końcu w punkcie 5, 4, ). Wekor e mj nsępujące współrędne. = - )i )j + - )k = i + 6j, = 5 - )i )j + - )k = 4i + 5j k. Zem i j k 6 6 i - j k 5 = -6i + j -9k. Zem P = = 6) 9)

17 Zd. C wekor [,,], [,,] i [,,] są liniowo nieleżne? Wekor,,... n są liniowo nieleżne, jeśli żden nich nie jes komincją liniową poosłch, o nc nie isnieje ki esw lic,,... n, że n j j j i gdie j i. Dl podnch rech wekorów widć, że nie są one liniowo nieleżne: pierws wekor jes sumą drugiego i reciego. Wekor są liniowo nieleżne, gd wncnik mcier nich uworonej jes różn od er. Sprwdźm, że Predsw wekor w=[,,] w posci komincji liniowej wekorów =[,,], =[,,] i c=[,,] Sprwdźm, c podne r wekor są liniowo nieleżne cli e wekor są liniowo nieleżne Sukm lic,, c kich, że + + cc = w cli c Jes o ukłd rech równń liniowch rem niewidommi,,, c. Możem go pisć jko + c = = *) + =, skąd ormujem =, =, c =. Sprwdm: Z pomocą komincji liniowej podnch u wekorów,, c możn predswić dowoln wekor w presreni rójwmirowej, mogą więc one snowić ę w kiej presreni.

18 Zd. Dl wekor w = [-,] nleźć skłdową równoległą i prosopdłą do wekor = [,4] w w w w Długość skłdowej równoległej w njdiem definicji ilocnu sklrnego. Prpominm φ = cos φ Zuwżm, że cos φ o ru wekor n wekor cli cos φ= )/ *) Olicm dl podnch wekorów długość wekor = +4 ) = 5 Ilocn sklrn wekor w [-, ] i wekor [, 4] wnosi -+ = 9, cli długość ruu wekor w n wekor wnosi e woru *) w =9/5. Wekor w njdiem mnożąc ę długość pre wersor cli wekor o długości ) równoległ do wekor w = w / = 9/5 [,4] = [7/5, 6/5] porównj n rsunku) Ogólnie, wór n wekor, ędąc skłdową wekor równoległą do wekor wnosi Skłdową prosopdłą do wekor njdiem jko różnicę międ wekorem w i w w = w - w = [-, ] - [7/5, 6/5] = [ -5/5, 9/5] porównj n rsunku) Sprwdźm, jesce c wekor w i w są prosopdłe, cli w w =

19 II OPIS RUCHU PUNKTU MTERILNEGO Rs.II.. Krejński ukłd współrędnch Że opisć ruch punku merilnego w presreni i w csie musim wprowdić k wn ukłd odniesieni. Ukłd odniesieni o ukłd współrędnch or egr. Dl pomiru csu możem korsć dowolnego okresowego procesu ficnego, n prkłd whdł. W ukłdie SI jednoską pomiru csu jes sekund s ). W mechnice klscnej mechnice Newon) kłd się, że cs płnie we wsskich ukłdch odniesieni k smo. Onc o, że w pociągu i w smolocie, n Ziemi i n Słońcu wskówki egrów orcją się ką smą prędkością. Umownie mechnik osł podielon n kinemkę or dnmikę. Jeżeli jmujem się opisem ruchu cił, nie rowżjąc prcn wwołującch en ruch, o mówim, że mm do cnieni kinemką. Jeżeli uwględnim sił, kóre wwołują ruch cił, o mówim, że mm do cnieni dnmiką. Njprossm gdnieniem kinemki jes ocwiście kinemk punku merilnego. Kinemk punku merilnego Mówim, że ruch punku merilnego jes cłkowicie określon, jeżeli nm położenie ego punku w wrnm ukłdie współrędnch w dowolnej chwili. Z punku memcnego, o onc, że wiem jk leżą od csu współrędne ), ), ) punku merilnego, innmi słow wiem, jk leż od csu wekor wodąc punku merilnego Krw r ) r ) ) e ) e ) e. II.) w rójwmirowej presreni nosi nwę oru lo rjekorii punku merilnego. Wro podkreślić, że kżd punk rjekorii m określon cs, kóre wskuje n o, kied punk meriln ł lo ędie w m włśnie punkcie. Niech w chwili punk meriln jmuje położenie rs.ii.), w chwili późniejsej en sm punk jmuje położenie. Ilor

20 r r r csu predil enie premiesc II.) nw się prędkością średnią punku merilnego. Z pomocą skłdowch współrędnch) wekorów równnie II.) możem pisć w posci Z e e e e e e ) ) ) [. II.) Tu,, są współrędnmi wekor wodącego punku,,, są współrędnmi wekor wodącego punku. Z równni II.) wnik, że II.4) II.4) II.4c) Jk widć Rs.II., wro wekor premiesceni r r r, więc i wro wekor prędkości średniej nie pokrw się, w ogólnm prpdku, ni wekorem r ni wekorem r. Rs.II.. Tor punku merilnego Zdnie : punk meriln porus się wdłuż oru e C e e r ) ) ) ), gdie C,, są słe. Olicm prędkość średnią n odcinku csowm. Rowiąnie: ) ), ) ), C C ) ),

21 em ) e e C e cons. Zdnie : punk meriln porus się wdłuż oru e r ) ) e C ), gdie,, C są słe. Olicm skłdowe wekor prędkości średniej n odcinku csowm. Rowiąnie: ), ), ) ) C C. Zdnie : promień Ziemi wnosi około ruchu oroowego cił njdującego n równiku powierchni Ziemi. ) e R 6 4 km. Olicm średnią prędkość Rowiąnie: ciło njdujące n równiku powierchni Ziemi w ciągu do 4 godin) pokonuje drogę r, jk i R 6, km, em prędkość średni wnosi R 49 7 km/h. 4 Prędkością chwilową w chwili nw się grnicę prędkości średniej, gd równo dążą do er r dr lim. II.5) d W memce grnicę II.5) nwm pochodną wekor r wględem csu i oncm dr jko. W fice cęso pochodną wględem csu oncją jko r. Wro podkreślić, że d wekor prędkości chwilowej w ogólnm prpdku może mieć dowoln kierunek wględem kierunku wekor wodącego. Prędkość chwilow, godnie II.5) m wmir długość/cs) cli L / T). W ukłdie jednosek SI prędkość mierm w jednoskch Zdnie 4: punk meriln porus się k, że m/ s. r ), II.6) gdie i są słe wekor nie leżne od csu. Olicm prędkość chwilową.

22 Rowiąnie: r [ ) ] [ ] lim lim cons. II.7) Więc równnie II.6) opisuje ruch punku merilnego e słą prędkością. Może powsć pnie: co onc wekor w równniu II.6)? Sens ficn rcej memcn ego wekor łwo ormć rowżjąc pocąkową chwilę, cli rowżjąc chwilę, kied włącliśm egr. Podswijąc do równni II.6) ormujem, że r r ), II.8) em wekor określ położenie punku merilnego w pocąkowej chwili. iorąc pod uwgę II.8) i wprowdjąc oncenie równnie II.6) możem pisć w posci r ) r. II.9) Równnie II.9) opisuje prosoliniow wdłuż prosej) i jednosjn e słą prędkością) ruch punku merilnego. Zdnie 5: punk meriln porus k, że r ) C, II.) gdie, i C są o wekor słe. ) Jkie wmir mją wekor, i C? ) Olicć prędkość chwilową punku. Rowiąnie:. Z lewej sron równni II.) njduje się wekor, kór m wmir długości, em prwej sron musi ć eż wekor o wmire długości. Sąd wnik, że wekor m wmir L /T ), wekor m wmir prędkości L / T), wekor C m wmir długości L.. r lim lim [ ) ) C] [ C] ) lim. II.)

23 Jeżeli nów rowżm pocąkową chwilę, o e woru II.) ormm, że sł wekor ędie prędkością punku merilnego w chwili. Ze woru II.) wnik kże, że w ogólnm prpdku prędkość chwilow punku merilnego może ć mienną w csie. Ilor nw się prspieseniem średnim. ) ) II.) Prspieseniem chwilowm nw się grnicę prspieseni średniego, gd równo, jk i dążą do er d lim. II.) d iorąc pod uwgę wór II.5), określjąc wekor prędkości, wór II.) możem pisć w posci W memce wielkość d r / d fice cęso ą pochodną oncją jko r. d dr d r. II.4) d d d nosi nwę drugiej pochodnej od r, wględem csu. W Prspiesenie, godnie II.) i II.) m wmir prędkość/cs) cli L/ T) / T) L/ T m / s.. W ukłdie jednosek SI prspiesenie mierm w jednoskch Zdnie 6: punk meriln porus się wdłuż oru określonego worem II.): Olicm prspiesenie chwilowe punku. r ) C. Rowiąnie: prędkość punku merilnego porusjącego się wdłuż rjekorii II.) jes określon worem II.): Korsjąc ego woru ormujem r lim. [ ) ] [ ] lim lim lim cons. II.5)

24 Oncjąc słe prspiesenie punku jko, prędkość i wekor wodąc punku w chwili jko i r, wór II.) możem pisć w posci r ) r Równnie II.6) opisuje ruch punku merilnego e słm prspieseniem. Słe r,. II.6), określjące położenie, prędkość i prspiesenie punku merilnego w chwili pocąkowej nwm wrunkmi pocąkowmi. Zdnie 7: ciło njdujące się n dchu domu cn w chwili swoodnie spdć n powierchnie Ziemi. ) Npisć wór określjąc rjekorię ego cił. ) Zkłdjąc, że dch domu njduje się n wsokości 4,9 m od powierchni Ziemi nleźć cs spdku cił or ) prędkość cił w chwili dereni Ziemią. Rowiąnie: ) Ze skoł średniej wiem, że ciło spd n powierchnie Ziemi e słm prspieseniem g 9,8 m / s, kóre nw się prspieseniem grwicjnm Ziemi. Wekor ego prspieseni jes skierown w dorm prliżeniu ku środkowi Ziemi. Wierem oś O od środk Ziemi ku góre, pocąek ukłdu wierem n powierchni Ziemi. Zgodnie II.6), rjekorię spdjącego cił, określ wór gdie h, II.7) ) ) g h h 4, 9m. Tu uwględniliśm, że wekor g m ujemną skłdową wdłuż wrnej osi O or, że w chwili pocąkowej ciło njdowło się w spocnku ). upłnie cs ) Ze woru II.7) njdujem, że w chwili gd ciło doknie się Ziemi h ) ) h s. II.8) g i II.) ) prędkość, kórą ędie miło ciło w chwili dereni cił Ziemią określ wór ) g. II.9) Po podswieniu II.8) do ego woru ormujem g 9,8 m/s 6 km/h. sp