Krzywe stożkowe Lekcja V: Elipsa

Transkrypt

1 Krzywe stożkowe Lekcja V: Elipsa Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

2 Czym jest elipsa? Elipsa jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem α < β < π 2 (gdzie α jest kątem pomiędzy wysokością stożka a jesgo tworzącą) tak, aby linia cięcia nie zawiera wierzchołka.

3 Czym jest elipsa? Elipsę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że suma odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała.

4 Czym jest elipsa? Elipsę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że suma odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie: {P R 2 : PF 1 + PF 2 = const}

5 Czym jest elipsa? Elipsę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że suma odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie: {P R 2 : PF 1 + PF 2 = const} Punkty F 1, F 2 nazywamy ogniskami elipsy.

6 Elementy elpisy 2a - oś wielka elpisy, 2b - oś mała elipsy S - środek elipsy, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2.

7 Elementy elpisy 2a - oś wielka elpisy, 2b - oś mała elipsy S - środek elipsy, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2. Zachodzi zależność: c = a 2 b 2.

8 Elementy elpisy 2a - oś wielka elpisy, 2b - oś mała elipsy S - środek elipsy, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2. Zachodzi zależność: c = a 2 b 2. Mimośród elipsy: m = c a

9 Elementy elpisy 2a - oś wielka elpisy, 2b - oś mała elipsy S - środek elipsy, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2. Zachodzi zależność: c = a 2 b 2. Mimośród elipsy: m = c a Oprócz tego wyznacza się tzw. parametr ogniskowy, czyli połowę cięciwy przechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi wielkiej: p = b2 a

10 Równanie kanoniczne elipsy Niech dana będzie elipsa o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych.

11 Równanie kanoniczne elipsy Niech dana będzie elipsa o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie kanoniczne elipsy dane jest wzorem (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 (1)

12 Równanie kanoniczne elipsy Niech dana będzie elipsa o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie kanoniczne elipsy dane jest wzorem (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 (1) Zauważmy, że jeśli a = b to dostajemy równanie okręgu.

13 Równanie kanoniczne elipsy Niech dana będzie elipsa o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie kanoniczne elipsy dane jest wzorem (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 (1) Zauważmy, że jeśli a = b to dostajemy równanie okręgu. Przy takim położeniu ogniska mają współrzędne: F 1 = (x 0 c, y 0 ) F 2 = (x 0 + c, y 0 )

14 Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne elipsy:

15 Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne elipsy: x = x 0 + a cos(α), y = y 0 + b sin(α), α [0, 2π] (2)

16 Równanie w postaci biegunowej Niech środek elipsy będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe elipsy ma postać: p ρ = (3) 1 + m cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród.

17 Równanie w postaci biegunowej Niech środek elipsy będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe elipsy ma postać: p ρ = (3) 1 + m cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród. Zauważmy, że jeśli a = b, to powyższe równanie sprowadza się do równania biegunowego okręgu: ρ = r.

18 Równanie w postaci biegunowej Niech środek elipsy będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe elipsy ma postać: p ρ = (3) 1 + m cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród. Zauważmy, że jeśli a = b, to powyższe równanie sprowadza się do równania biegunowego okręgu: ρ = r. Rówanie (3) jest takie samo dla każdej krzywej stożkowej!

19 Kierownice elipsy Kierownice elipsy są to proste prostopadłe do osi wielkiej elipsy, odległe od środka S o odcinek d = a2 c. Ponieważ SF 1 = c = ma to cd = a 2 i d = a m.

20 Kierownice elipsy Kierownice elipsy są to proste prostopadłe do osi wielkiej elipsy, odległe od środka S o odcinek d = a2 c. Ponieważ SF 1 = c = ma to cd = a 2 i d = a m.

21 Kierownice elipsy Kierownice elipsy są to proste prostopadłe do osi wielkiej elipsy, odległe od środka S o odcinek d = a2 c. Ponieważ SF 1 = c = ma to cd = a 2 i d = a m. Zachodzi związek: r1 d 1 = r2 d 2 = m.

22 Równanie stycznej do elipsy Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do elipsy.

23 Równanie stycznej do elipsy Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do elipsy. Wtedy równanie stycznej do elipsy w punkcie P ma postać: (x 1 x 0 )(x x 0 ) a 2 + (y 1 y 0 )(y y 0 ) b 2 = 1

24 Równanie stycznej do elipsy Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do elipsy. Wtedy równanie stycznej do elipsy w punkcie P ma postać: (x 1 x 0 )(x x 0 ) a 2 + (y 1 y 0 )(y y 0 ) b 2 = 1

25 Pole i obwód elipsy Pole elipsy wyraża się wzorem P = πab.

26 Pole i obwód elipsy Pole elipsy wyraża się wzorem P = πab. Niestety długość elipsy nie jest już taka przyjemna. Wyraża się ona wzorem: ( ( ) 2 ( ) L = 2πa 1 m 2 m 4 ( ) ) m

27 Pole i obwód elipsy Pole elipsy wyraża się wzorem P = πab. Niestety długość elipsy nie jest już taka przyjemna. Wyraża się ona wzorem: ( ( ) 2 ( ) L = 2πa 1 m 2 m 4 ( ) ) m W praktyce stosuje się przybliżone wzory: L π(1, 5(a + b) ab) 64 3λ4 L π(a + b) 64 16λ 2, λ = a b a + b

28 Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e).

29 Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego).

30 Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = , ap =

31 Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = , ap = Wenus: m = 0, 0067, pe = , ap =

32 Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = , ap = Wenus: m = 0, 0067, pe = , ap = Ziemia: m = 0, 0167, pe = , ap =

33 Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = , ap = Wenus: m = 0, 0067, pe = , ap = Ziemia: m = 0, 0167, pe = , ap = Mars: m = 0, 0935, pe = , ap =

34 Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = , ap = Wenus: m = 0, 0067, pe = , ap = Ziemia: m = 0, 0167, pe = , ap = Mars: m = 0, 0935, pe = , ap = Jowisz: m = 0, 0484, pe = , ap =

35 Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = , ap = Wenus: m = 0, 0067, pe = , ap = Ziemia: m = 0, 0167, pe = , ap = Mars: m = 0, 0935, pe = , ap = Jowisz: m = 0, 0484, pe = , ap = Saturn: m = 0, 0542, pe = , ap =

36 Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = , ap = Wenus: m = 0, 0067, pe = , ap = Ziemia: m = 0, 0167, pe = , ap = Mars: m = 0, 0935, pe = , ap = Jowisz: m = 0, 0484, pe = , ap = Saturn: m = 0, 0542, pe = , ap = Uran: m = 0, 0472, pe = , ap =

37 Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = , ap = Wenus: m = 0, 0067, pe = , ap = Ziemia: m = 0, 0167, pe = , ap = Mars: m = 0, 0935, pe = , ap = Jowisz: m = 0, 0484, pe = , ap = Saturn: m = 0, 0542, pe = , ap = Uran: m = 0, 0472, pe = , ap = Neptun: m = 0, 0113, pe = , ap =

38 Rysowanie elipsy Zauważmy następujące zależności: KROK I: Wyznaczamy dwa odcinki prostopadłe przecinające się w połowie. Będą one stanowiły osie elipsy.

39 Rysowanie elipsy KROK II: Cyrklem odmierzamy długość półosi wielkiej.

40 Rysowanie elipsy KROK II: Cyrklem odmierzamy długość półosi wielkiej. KROK III: Nie zmieniając rozstawienia cyrkla wbij go w końcowy punkt krótszej osi i narysuj dwa łuki na osi głównej. Zaznacz punkty przecięcia i opisz je jako F1 i F2. Będą to ogniska elipsy. Wbijamy tam dwie pinezki. Trzecią wbijamy w jeden z końców półosi małej.

41 Rysowanie elipsy KROK IV: Kawałek sznurka obwiązujemy wkoło trzech pinezek. Podmieniamy pinezkę osi małej na ołówek.

42 Rysowanie elipsy KROK IV: Kawałek sznurka obwiązujemy wkoło trzech pinezek. Podmieniamy pinezkę osi małej na ołówek. KROK V: Utrzymując sznurek cały czas napięty, przesuwaj ołówek po łuku, który będzie wyznaczał kształt elipsy. Elipsa jest gotowa. Zaznacz osie wielką i małą oraz ogniska. (Fot.:

43 Podziękowania Dziękuję za uwagę