P 1, P 2 - wektory sił wewnętrznych w punktach powierzchni F wokół punktu A

Transkrypt

1 TEORI TNU NPRĘŻENI. WEKTOR NPRĘŻENI x P P P P, P - wektoy sł wewnętznych w unktach owezchn wokół unktu P = P, P - suma sł wewnętznych na owezchn P = P = P = śedna gęstość sł wewnętznych na owezchn P P naężene w unkce : = lm = (, ) 0 funkca wektoowa. TN NPRĘŻENI W PUNKCIE zbó wektoów naężena w ustalonym unkce zy dowolne łaszczyźne zekou = const = ( ) wybeamy 3 szczególne łaszczyzny zekou - ostoadłe do os układu wsółzędnych x = wekto naężena zynależny łaszczyźne ostoadłe do os x wesoy nomalne łaszczyzn ostoadłych do os x macez naężena T = ( ) =,, 3 =,, 3 = xx x3,, =,, 3 funkca skalana 3 skalaów KONWENCJ ZNKOWNI NPRĘŻEŃ,, 33 - naężena nomalne, ozostałe to na. styczne G 33 F naęż. nomalne est dodatne, eżel est zgodne skeowane z nomalną zewnętzną łaszczyzny x C D B E na. styczne est dodatne, eżel: ) nomalna zewnętzna łaszczyzny est zgodne skeowana z osą układu, do któe est ona ównoległa ) naężene styczne est zgodne skeowane z osą układu, do któe est ono ównoległe lub gdy oba waunk są ednocześne nesełnone. 4. PŁKI TN NPRĘŻENI

2 TEORI TNU NPRĘŻENI stan naężena, dla któego wszystke składowe leżą w edne łaszczyźne, n. (, x ). x tenso naężena 0 T = = Wekto naężena w dowolne łaszczyźne Wyznaczyć wsółzędne wektoa naężena w kt. łaszczyzny o wesoze nomalnym znaąc macez naężena w tym unkce. Wycnamy z cała element tókątny (o gubośc=), o olu ścank ukośne oaz olach ścanek ostoadlych do os x odowedno,. x sły dzałaące na ścankach P = (, ) (, ) (, ) (, ) = cos (, x ) = = (, x ) = sn = cos sła dzałaąca na ścance P = waunek ównowag sł (zamknęty zestzenny welobok sł) P = P + P F = + = + = + = = + + cos = symeta macezy naężeń = (wynka ona ze sawdzena, że suma układu sł owezchnowych masowych dzałaących na cało est ówna zeo) = = wsółzędne wektoa naężena na ścance o nomalne (konwenca sumacyna) = + + = Macez naężena ozwala wyznaczyć wekto naężena odowadaący dowolne łaszczyźne nese zatem ełną nfomacę o stane naężena w unkce. 4.. Tansfomaca składowych macezy naężena

3 TEORI TNU NPRĘŻENI 3 Jaką ostać maą składowe macezy naężena T okeślone w ukł. wsółzędnych (, x ) w nowym układze (, x ) obóconym o kąt względem ukł. ewotnego x x T = T Wycnamy z cała element tókatny, któego ścany są ównoległe do os układu ewotnego, a ścanka ukośna est ostoadła do ewsze os układu nowego. oszukuemy zatem zwązku naężeń z naężenam,. awdzamy ównowagę sł: x x x P ' = 0 = sn + cos + sn + cos F = sn + cos + cos sn + sn cos = cos + sn + sn P ' = 0 = cos sn + cos sn F = sn cos cos sn + cos sn [( ) sn cos ] = cos Dokonuąc analogcznego zekou, ale łaszczyzną ukośną, ostoadłą do duge os układu nowego otzymamy naężena Ostateczne wzoy tansfomacyne dla macezy naężeń zy oboce układu wsółzędnych o kąt maa ostać: x x x = cos + sn + sn = sn + cos sn [( ) sn + cos ] = ± cos 4.3. Naężena główne Poszukuemy take łaszczyzny zechodzące zez dany unkt, aby odowadaący e wekto naężena mał tak sam keunek ak weso nomalny łaszczyzny. x ( ; ) ( ; ) = = - maa wektoa Zauważmy, że utożsamaąc keunek wesoa nomalnego łaszczyzny z keunkem n. "" os nowego układu, wekto naężena twozący ewszy wesz 'nowego" tensoa naężena

4 TEORI TNU NPRĘŻENI 4 małby nezeową tylko ewszą składową - składową nomalną. Byłaby ona nawększa sośód wszystkch możlwych. Take naężene nomalne nos nazwę naężena głównego, a odowadaąca mu łaszczyzna to łaszczyzna główna. waunek kolneanośc = = wekto naężena = T = zagadnene własne T = = δ = 0 + = (wa. ednostkowe dług. wesoa) Waunek koneczny stnena ozwązana ze wzg. na elementy macezy ześca det δ = 0 = 0 I + I = (ówn. chaakteystyczne) 0 I = +, I = każde z watośc głównych odowada łaszczyzna główna, okeślona wesoem nomalnym,, wesoy okeślaące łaszczyzny główne są otonomalne, tzn., = + ( ) o = 0 dla dla ± + 4 tg =, =, seudołask stan naężena - ak wyże, ale Rezultaty ak dla PN, a tzece naężene główne 3 = Ekstemalne naężena styczne Poblem : W unkce znany est tenso naężena w osach głównych. Jaką łaszczyzną należy zekoć cało w kt., aby maa zutu wektoa naężena odowadaącego te łaszczyźne na ną samą była maksymalna? τ ; wekto naężena = ; weso nomalny = - maa zutu wektoa naężena na nomalną τ - maa zutu wektoa naężena na łaszczyznę = = + o = = = Pocedua ozwązana = + ()

5 TEORI TNU NPRĘŻENI 5 = + τ τ = ( ) τ = + + () + waunek + = (3) Zadane sowadza sę do znalezena ekstemum funkc () z waunkem obocznym (3) ) z wa. (3) wyelmnować ) waunek koneczny stnena ekstemum wstawć do funkc () ( ) [( ) ] τ = + + τ ( ; ) ± ± τ ( ± ; ± ) = ± = 0 + elementane oblczena Rozwązane : Naężena styczne osągaą swoe ekstema na łaszczyznach nachylonych od kątam 45 do łaszczyzn głównych. 5. RÓWNNI RÓWNOWGI (RÓWNNI NIER) fomułowane zagadnena: Dowolne cało obcążone ukł. sł zewnętznych (Z) 0 ozostae w ównowadze. Z wnętza cała wycnamy element o obętośc o owezchn o. Okeślć waunk ównowag wycętego elementu. x 0 0 X = 3 X = (X, X, X 3 ) - wekto sł masowych w dowolnym unkce wewnątz obętośc 0 ; ; - wekto naężena w dowolnym unkce na owezchn 0 o nomalne ; ; ( ) = 3 tw. o ównoważnośc układu sł zewnętznych wewnętznych ukł. sł dzałaących na wycęty element est układem zeowym = d + Xd = 0 M = d + Xd = 0 waunek ównowag sł = d + X d = 0 = d + X d = 0

6 TEORI TNU NPRĘŻENI 6 0 d 0 = 0 cos tw. Geena-Gaussa-Ostogadskego, x d0 = d0, (, ) 0 x = d + X d = + X d = Równana ównowag - ównana Navea, + X = X =,, 3, X =,, 3, X = 3, 3, 33, waunek ównowag momentów owadz do symet macezy naężena = WNIOKI ) Macez naężena zawea 6 neznanych składowych, któych ne można wyznaczyć kozystaąc tylko z ównań Navea, któych est edyne 3. ) Równana Navea są ównanam óżnczkowym, zy ch całkowanu oawą sę zatem stałe całkowana. Wyznacza sę e na odstawe analzy elementu cała zaweaącego część ego owezchn zewnętzne. Dzęk temu możlwe est owązane naężeń w unktach na owezchn z obcążenem zewnętznym. Relace wążące naężena z obcążenem zewnętznym cała noszą nazwę statycznych waunków bzegowych. 6. TTYCZNE WRUNKI BRZEGOWE W celu owązana naężeń z obcążenem zewnętznym wycnamy z cała element obętoścowy w kształce czwooścanu, któego 3 ścank są ównoległe do łaszczyzn układu wsółzędnych, a ścanka ukośna aoksymue część owezchn zewnętzne cała. x D B D q B C x 3 q - uśednona gęstość obcążena zewnętznego na ścance F o zewnętznym wesoze nomalnym (,, ) = 3 q q q q (,, ) = 3

7 TEORI TNU NPRĘŻENI 7 - uśednone wektoy naężena na ścankach F (,, 3 ) = waunek ównowag sł dzałaących na czwooścan = 0 Zauważmy, że oszukwane zwązku wektoa q z wektoam naężena est fomalne dentyczne z zadanem wyznaczana wektoa naężena na ścance F ako funkc wektoów naężena na ścankach F (czyl składowym tensoa naężena). Mamy zatem: q = q = q = q 3 = WRUNKI KONIECZNE tego, aby dowolna macez symetyczna II zędu był macezą naężena : ) składowe macezy muszą sełnać ównana Navea, ) składowe macezy muszą sełnać statyczne waunk bzegowe.