Cząstki elementarne i ich oddziaływania III

Transkrypt

1 Cząstki elementarne i ich oddziaływania III 1. Przekrój czynny. 2. Strumień cząstek. 3. Prawdopodobieństwo procesu. 4. Szybkość reakcji. 5. Złota Reguła Fermiego 1

2 Oddziaływania w eksperymencie Oddziaływania badamy obserwując doświadczalnie dwa typy procesów: 1. Rozpraszanie cząstek 2. Rozpady cząstek. Wyznaczamy przekrój czynny σ na określony proces Z drugiej strony jak porównać obserwacje dośw. z teorią (przewidywaniami)? W mechanice kwantowej (nierelatywistycznej) obliczenia przejść pomiędzy stanami początkowym i a końcowym f dokonywane są na podstawie: Złotej Reguły Fermiego: Γ fi = 2π T fi 2 ρ(ei ) T fi = f H i ρ(e i ) gęstość stanów końcowych (dozwolonych przez zasady zachowania) T fi - element macierzowy operatora energii 2

3 Zderzenia Rozważamy zderzenia wiązki cząstek z tarczą. Doświadczalnie rejestrujemy liczbę przypadków w jednostce czasu ( rate ) R = dn dt. Obliczamy ile ich jest w stosunku do jednej cząstki z wiązki i jednej z tarczy N a A a Wiązka cząstki tego samego typu a (elektrony, pozytony, protony, jony,... ) poruszające się w tym samym kierunku o zbliżonej energii. gęstość cząstek: n a = N a /V natężenie wiązki I a to liczba cząstek w jednostce czasu, strumień cząstek (flux) Φ a to liczba cząstek padających na tarczę w jedn. czasu na jedn. powierzchni: Φ a = N a A a t 3

4 Przekrój czynny Tarcza kawałek materiału, złożony z jąder, nukleonów, elektronów czy kwarków. Charakteryzowany: gęstością n b = N b V [cząstek/objętość], N b całkowitą liczbą cząstek- centrów rozpraszania Przekrój czynny σ - miara prawdopodobieństwa oddziałania; geometrycznie powierzchnia centrów rozpraszania, jeśli cząstka trafi w tę powierzchnię, to zajdzie oddziaływanie, 1 barn = m 2 powierzchnia jądra o A=100 (uranu) cząstka a o prędkości v a wpada na tarczę o powierzchni A b, w czasie dt cząstka a przecina region A b, w którym jest dn = n b A b v a dt cząstek b prawdopodobieństwo oddział. (geometryczne) procesu jest to efektywne pole powierzchni: P = dn σ A b = = n b v a A b dt σ A b = n b v a σ dt a szybkość reakcji (rate): r a = dp dt = n bv a σ 4

5 Prawdopodobieństwo reakcji Dla wiązki cząstek a w objętości V: R a = r a n a V = n b v a σ n a V n a = N a V = n b = N b V N a Av a t R a = N a A v t v N b a σ V V R a = N a A t N b σ Φ a strumień cząstek a Szybkość (prawdopodobieństwo) reakcji zależy od strumienia cząstek początkowych i od przekroju czynnego tej reakcji. Przekrój czynny jest to zatem: σ = Liczba zdarzeń na liczbę cząstek tarczy/czas strumień cząstek "a" Problem: strumień cząstek (flux) nie jest niezmienniczy lorenzowsko, dla każdego procesu należy go wyznaczać oddzielnie. Można pokazać (M.Thomson), że strumień w niezmienniczej postaci wyrażony jest poprzez: F = 4 p a p b 2 m a 2 m b 2 1/2 5

6 Zderzenia Zderzenia są to procesy typu a + b c + d Obserwable doświadczalne: energia, pędy każdej (lub nie każdej) cząstki, kierunki lotu, polaryzacje, kąty w układzie lab, CMS, Przekrój czynny: inkluzywny - gdy interesuje nas jedynie jedna obserwabla, nie znamy energii i pędów wszystkich cząstek, całkujemy po pozostałych, np. przekrój czynny na produkcję cząstek do przodu ekskluzywny wszystkie parametry są zmierzone. W wyniku zderzenia mogą powstać różne stany końcowe: a + b a + b c 1 + d 1 c i + d i + e i elastyczne nieelastyczne są to różne kanały reakcji, na każdy kanał jest określony parcjalny przekrój czynny: σ i A jeśli interesuje nas tylko wycinek kąta bryłowego: różniczkowy przekrój czynny σ = dσ dω dω 6

7 Rozpady Rozpady są to procesy typu a b + c + d Cząstka może rozpadać się poprzez wiele kanałów rozpadu. Prawdopodobieństwo każdego z nich może być obliczone i wyznaczone niezależnie. Parcjalne szybkości reakcji (lub szerokości) dla każdego kanału. Jeżeli cząstka rozpada się na i sposobów, to: dn = N Γ 1 dt N Γ 2 dt = N gdzie całkowita szybkość rozpadu jest sumą wszystkich rozpadów parcjalnych: Γ = i Γ i a liczba cząstek, które pozostały po czasie t: i Γ i = N Γ dt N t = N 0 e Γ t = N(0)e t τ względna częstość rozpadu (Branching Ratio): BR i = Γ i Γ τ = 1 Γ 7

8 Złota Reguła Fermiego Złota reguła Fermiego podaje przepis na prawd-two przejścia dla reakcji na jednostkę czasu (w odniesieniu do 1. cząstki tarczy): Γ fi = 2π T fi 2 ρ(ei ) T fi = f H i ρ E i gęstość energii dn/de stanów końcowych; przestrzeń fazowa; obszar kinematyczny dostępny w procesie dla n stanów końcowych f; zasady zachowania; T fi - element macierzowy amplitudy przejścia i f, H - hamiltonian oddziaływania (fizyka!) przewidywania, teoria! Alternatywna postać reguły: Γ fi = 2π T fi 2 δ Ei E dn dn liczba dostępnych stanów końcowych o energii (E, E + de) Szybkość przejścia zależy zatem od: macierzy przejścia (teoria oddziaływań), liczby dostępnych stanów (zasady zachowania), która zależy od kinematyki 8

9 ZRF - przykład Rozpady a 1 + 2: W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń amplituda przejścia: T fi = ψ 1 ψ 2 H ψ a = ψ 1 ψ 2 H ψa d 3 x ψ ψ d 3 x = 1 A w przybliżeniu Borna stan początkowy i końcowy reprezentowany jest przez falę: ψ x, t = A ei p x Et Niezmiennicza lorentzowsko postać ZRF jest nieco inna, funkcja falowa jest znormalizowana do całkowitej energii: ψ ψ d 3 x = 2E czyli: ψ = 2E ψ Ogólnie dla procesu typu: a + b Niezmienniczy lorentzowsko element macierzowy liczony dla niezmienniczej fcji falowej ma postać: M fi = ψ 1 ψ 2 H ψ a ψ b = 2E 1 2E 2 2E a 2E b 1/2 T fi 9

10 ZRF w postaci niezmienniczej Dla rozpadu dwuciałowego a Złota Reguła Fermiego jest w postaci: Liczba dozwolonych stanów: Γ fi = 2π T fi 2 δ Ea E 1 E 2 dn dn = 2π 3 δ 3 p a p 1 p 2 d 3 p 1 2π 3 d 3 p 2 2π 3 A w postaci niezmienniczej: Γ fi = Gdzie: M fi 2 = (2Ea 2E 1 2E 2 ) T fi 2 4 2π 2 M 2E fi δ 3 d 3 p 1 p a p 1 p 2 a 2π 3 2E 1 d 3 p 2 2π 3 2E 2 Mamy już zatem zakreślony (prosty) plan działania w FWE: 1. Formujemy teorię (hamiltonian) 2. Określamy zasady zachowania 3. Liczymy elementy macierzy przejścia M fi i szerokość rozpadu Γ fi (szybkość reakcji). 4. Budujemy eksperyment i mierzymy przekrój czynny σ. 5. Porównujemy nasze przewidywanie z doświadczeniem. 10

11 Do zapamiętania DOŚWIADCZENIE akcelerator: wiązka cząstek (energia, świetlność), strumień detektory: pomiar pędu i energii, identyfikacja, topologia przypadku (wierzchołki produkcji i rozpadu) Złota Reguła Fermiego Γ fi = 2π T fi 2 ρ(ei ) T fi = f H i szybkość rozpadu Γ, przekrój czynny σ, stosunki rozgałęzień BR Przewidywania teoretyczne hamiltonian, zasady zachowania

12 Podsumowanie I 1. Strumień cząstek 2. Przekrój czynny 3. Złota reguła Fermiego prawdopodobieństwo przejścia, amplituda przejścia, gęstość stanów. 4. Szerokość rozpadu, branching fraction (stosunek rozgałęzień) 12

13 Funkcja falowa 13

14 Równanie Kleina-Gordona ad 1. Relatywistyczna wersja równania powinna prowadzić do: jak podstawimy w niej operator energii i pędu: E E = i d dt E 2 = p 2 + m 2 p p = i d dx dostaniemy równanie (Kleina-Gordona 1927) lub zapisane w innej postaci: a jak zapiszemy go we współrzędnych sferycznych: d2 d2 Ψ x, t = dt2 dx 2 Ψ x, t + m2 Ψ x, t d 2 dt 2 Ψ x, t = 2 m 2 2 Ψ r = 1 r 2 r r2 Ψ r = m2 Ψ(r) gdy m=0 równanie falowe Ψ x, t = Ne i(et px) to rozwiązaniem jest (zad): Ψ r = g 0 4πr e r/r R = 1/m potencjał Yukawy np. R=2 fm, m=100 MeV a dla fotonów (m = 0) Ψ r = e 4πr potencjał kulombowski! 14

15 Interpretacja równania K-G 15

16 Równanie Diraca 16

17 Równanie Diraca 17

18 Antycząstki wg Diraca 18

19 Interpretacja Feynmana 19

20 Podsumowanie II 1. W mikroświecie stan cząstki opisywany jest przez podanie funkcji falowej. 2. Zamiast równań ruchu, mechaniki i newtonowskiej mamy równanie Schrödingera (operatorowe), dzięki któremu obliczymy dozwolone energie, pędy, a także zbadamy ewolucję w czasie funkcji falowej. 3. Ale w FWE pojawia się problem z opisem cząstek relatywistycznych. 4. Jeśli wyjdziemy z niezmiennika relatywistycznego: E 2 = p 2 + m 2 i włożymy do niego operatory pędu i energii, dostaniemy równanie Kleina-Gordona (niezmeinnicze lorenzowsko). 5. Po pewnych przekształceniach zauważymy, że to równanie opisuje poprawnie fotony i cząstki spinie całkowitym (bozony). 6. Widać również, że rozwiązania równania K-G są takie same jak potencjał Yukawy, z którego można było obliczyć zasięg oddziaływań i masę cząstki pośredniczącej. 7. W K-G pozostaje problem obecności rozwiązań z ujemną energią i brak opisu dla fermionów. 8. Równanie Diraca zostało sformułowane w sposób zarówno niezmienniczy, jak i od razu prowadzący do rozwiązań, w których widoczny jest połówkowy spin. 9. Pozostał problem interpretacji ujemnych rozwiązań, w końcu zinterpretowany przez Feynmana jako antycząstki. 20