1 Ciągłe operatory liniowe
|
|
- Tomasz Marczak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego B E. Operator liniowy jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Zdefiniujmy: L(E, F) = {T : E F : T jest liniowy i ciągły} oraz L(E) = L(E, E). W przestrzeni L(E, F) wprowadzamy normę: T x T = sup{ T x : x = 1} = sup{ : x 0}. x Fakt 1.1. Niech E, E, E będą przestrzeniami unormowanymi 1. Jeżeli T L(E, E ), S L(E, E ), to S T S T. 2. Jeżeli E jest przestrzenią Banacha, to L(E, E ) jest przestrzenią Banacha. 3. (Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym) Niech E, E będą przestrzeniami Banacha oraz niech T L(E, E ) będzie na. Wówczas dla każdego zbioru otwartego U E zbiór T (U) jest otwarty. 4. (Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu odwrotnym) Jeżeli E, E są przestrzeniami Banacha oraz T : E E jest odwzorowaniem liniowym, ciągłym i odwracalnym, to odwzorowanie odwrotne S : E E jest również liniowe, ciągłe i odwracalne. Definicja 1.2. Operator T L(E, F) nazywamy regularnym, jeżeli jest odwracalny. Jeżeli T jest operatorem odwracalnym, to z nierówności wynika, że T 1 T 1. 1 = Id = T T 1 T T 1 Lemat 1.2. Jeżeli T L(E) oraz T < 1, to odwzorowanie Id T jest regularne. Dowód. Oznaczmy T n = T T (n razy) oraz T 0 = Id. Wówczas T n T n. Szereg T n jest szeregiem geometrycznym, zatem jest zbieżny. Z nierówności T n T n wynika, że szereg T n również jest zbieżny (na mocy kryterium porównawczego). Pokazaliśmy zatem, że szereg T n jest normowo zbieżny, a stąd otrzymujemy zbieżność. W szczególności, operator S = Id + T n jest dobrze zdefiniowany. Pokażemy, że S (Id T ) = (Id T ) S = Id. Niech S n oznacza n-tą sumę częściową szeregu T n. Wówczas Ponadto S (Id T ) = lim n S n(id T ) = lim n (Id T n+1 ) = Id lim n T n+1 = Id. (Id T ) S = lim n (Id T ) S n = lim n (Id T n+1 ) = Id 1
2 Oznaczmy Gl(E, F) L(E, F) (Gl(E) L(E) zbiór odwzorowań regularnych T : E F (T : E E) Twierdzenie 1.3. Gl(E) jest otwartym podzbiorem L(E). Dowód. Ustalmy S Gl(E). Pokażemy, że kula otwarta U = {T L(E) : S T < 1 S 1 } jest zawarta w Gl(E). Z poprzedniego twierdzenia mamy dla T U: Id S 1 T = S 1 (S T ) S 1 (S T ) < 1, co oznacza, że S 1 T = Id (Id S 1 T ) Gl(E). Jako, że Gl(E) jest zamknięty na składanie odwzorowań, otrzymujemy: T = S(S 1 T ) Gl(E). Uwaga 1.4. Można pokazać, że Gl(E, F) jest otwartym podzbiorem L(E, F). Dla danego operatora T L(E) oraz dowolnego λ R określamy operator λ Id T L(E) wzorem (λ Id T )x = λx T x. ( Spektrum) σ(t ) R określamy jako zbiór wszystkich λ R takich, że operator λ Id T nie jest regularny. Wartością własną operatora T nazywamy liczbę λ R taką, że istnieje x E, x 0 taki, że T x = λx. Wektor x nazywamy wówczas wektorem własnym operatora T. Zauważmy, że jeżeli λ jest wartością własną operatora T, to λ σ(t ). Wynika to z tego, że jeżeli x jest wektorem własnym T, to ker(λ Id T ) 0. Nie jest jednak prawdą, że λ σ(t ) jest wartością własną: Przykład 1.1. Rozważmy operator T L(l 2 ) dany wzorem T (x 1, x 2,... ) = (0, x 1, x 2,... ). Wówczas T jest różnowartościowy, ale nie jest na, czyli 0 σ(t ). Ale 0 nie jest wartością własną. Definicja 1.3. Zbiór ρ(t ) = R\σ(T ) nazywamy rezolwentą operatora T. Definicja 1.4. Przestrzeń ker(λ Id T ) nazywamy podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej λ Z algebry wiemy, że wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne. Twierdzenie 1.5. Dla T L(E), σ(t ) jest zwartym podzbiorem R. Dowód. Jeżeli λ > T, to λ / σ(t ), gdyż 1 λ T < 1 oraz λ Id T = λ(i 1 λt ). Zatem σ(t ) jest zbiorem ograniczonym. Pokażemy, że jest domknięty. Rozważmy w tym celu odwzorowanie F : R L(E) dane wzorem F (λ) = λ Id T oraz zauważmy, że jest to odwzorowanie ciągłe. Ale σ(t ) = R\F 1 (Gl(E)) oraz Gl(E) jest zbiorem otwartym. To kończy dowód. Definicja 1.5. Niech E, F będą przestrzeniami Banacha oraz T L(E, F). Operatorem dualnym do operatora T nazywamy operator T : F E spełniający zależność dla dowolnych f F oraz x E. f, T x = T f, x Można pokazać, że dla każdego T L(E, F) istnieje dokładnie jeden operator T L(F, E ). 2
3 2 Trochę topologii Definicja 2.1. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną oraz A X. Zbiór S ɛ nazywamy ɛ-siecią dla zbioru A, jeżeli dla każdego x A istnieje x 0 S ɛ taki, że d(x, x 0 ) < ɛ. Twierdzenie 2.1. Niech (X, d) będzie przestrzenią zupełną. Zbiór A X jest relatywnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ɛ > 0 istnieje skończona ɛ-sieć S ɛ A zbioru A. Załóżmy, że X jest przestrzenią zwartą. Wówczas przestrzeń C(X) jest przestrzenią zupełną. Definicja 2.2. Zbiór A C(X) nazywamy wspólnie ograniczonym, jeżeli istnieje liczba rzeczywista r taka, że f A x X f(x) < r, Zbiór A nazywamy zbiorem funkcji równociągłych, jeżeli ɛ>0 δ>0 f A x,y X d(x, y) < δ f(x) f(y) < ɛ Twierdzenie 2.2 (Arzeli - Ascoli). Zbiór A C(X) jest relatywnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem funkcji ciągłych i wspólnie ograniczonych. 3 Operatory zwarte Definicja 3.1. Mówimy, że T L(E, F) jest operatorem zwartym, jeżeli obraz kuli domkniętej D(0, 1) E jest relatywnie zwarty w F, to znaczy cl(t (D(0, 1))) jest zbiorem zwartym w F. Uwaga 3.1. Niech T L(E, F).Następujące warunki są równoważne: 1. T jest zwarty 2. Dla każdego zbioru ograniczonego B E, zbiór T (B) jest relatywnie zwarty w F 3. Dla każdego ciągu ograniczonego (x n ) E, ciąg (T x n ) zawiera podciąg zbieżny w F. Definicja 3.2. Niech E, F będą przestrzeniami Banacha. Operator T L(E, F) nazywamy pełnociągłym, jeżeli dla każdego ciągu (x n ) E, takiego, że x n x ciąg T x n T x zbiega do 0. x n x oznacza słabą zbieżność, to znaczy dla dowolnego y E y(x n ) y(x). Twierdzenie 3.2. Niech E, F będą przestrzeniami Banacha, T L(E, F). Wówczas 1. Jeżeli T jest operatorem zwartym, to jest operatorem pełnociągłym. 2. Jeżeli E jest przestrzenią Hilberta (wystarczy refleksywną), to z pełnociągłości wynika zwartość. Dowód. kartka, strona 1 Zbiór operatorów zwartych oznaczamy K(E, F) (K(E)). Można pokazać, że jest to podprzestrzeń liniowa L(E, F)(L(E)). Przykład 3.1. Przykłady operatorów zwartych 1. Każdy ciągły operator skończenie wymiarowy (tzn. obraz T (E) jest zawarty w przestrzeni skończenie wymiarowej) jest zwarty. 2. Ustalmy g C([0, 1], R) oraz zdefiniujmy operator T : C([0, 1], R) C([0, 1], R) wzorem (T f)(x) = x 0 f(t)g(t)dt. Można pokazać (korzystając z twierdzenia Arzeli - Ascoli), że tak zdefiniowany operator jest zwarty. 3
4 3. (Twierdzenie Schaudera) Niech E będzie przestrzenią Banacha. Wówczas T K(E) wtedy i tylko wtedy, gdy T K(E ). 4. (Twierdzenie Rellicha-Kondraszowa) Niech U R n będzie zbiorem otwartym i ograniczonym, 1 p < N, q [1, n p 1,p pn ). Wówczas włożenie W0 (U) L q (U) jest odwzorowaniem zwartym. W 1,p 0 (U) = cl(c 0 (U)) w normie u = u L p + n i=1 u x i L p Twierdzenie 3.3. Niech E, F będą przestrzeniami Banacha. Wówczas K(E, F) jest domkniętą podprzestrzenią L(E, F). W szczególności jest również przestrzenią Banacha. Dowód. kartka, strona 2 Lemat 3.4. Niech E, E, E będą przestrzeniami unormowanymi oraz T K(E, E ), S L(E, E ). Wówczas ST K(E, E ). Jeżeli S K(E, E ), T L(E, E ), to T S K(E, E ). Dowód. Załóżmy najpierw, że T K(E, E ), S L(E, E ). Pokażemy, że ST K(E, E ). W tym celu weźmy ciąg (x n ) E. Ze zwartości T wynika, że istnieje podciąg zbieżny T x nk. Ale z ciągłości S wynika, że ST x nk również jest zbieżny. Pokażemy drugą część lematu. Weźmy ciąg ograniczony (x n ) E oraz zauważmy, że Sx n S x n, czyli ciąg (Sx n ) jest ograniczony. Zatem ze zwartości T wynika zwartość T S. Zdefiniujmy obraz R(T ) = T (E) oraz przestrzeń zerową N(T ) = {x E : T x = 0}. Niech E będzie przestrzenią Banacha. Twierdzenie 3.5 (Lemat Riesza). Niech V E będzie domkniętą podprzestrzenią taką, że V E. Wówczas dla każdego ɛ > 0, istnieje x X taki, że x = 1 oraz inf{ x v : v V } 1 ɛ. Lemat 3.6. Jeżeli T K(E), to istnieje M > 0 o następującej własności: dla dowolnego y R(Id T ) istnieje x E taki, że (Id T )x = y oraz x M y. Twierdzenie 3.7. Jeżeli T K(E), to N(Id T ) jest domkniętą i skończenie wymiarową podprzestrzenią E. Ponadto przestrzeń liniowa R(Id T ) jest domknięta. Dowód. kartka, strona 3 Twierdzenie 3.8. Jeżeli T K(E) oraz dim E =, to 0 σ(t ). Dowód. kartka, strona 4 Przykład 3.2. Jeżeli T K(E), to 0 σ(t ). Nie musi być to jednak wartość własna operatora T. Dzieje się tak, gdy T jest różnowartościowy, ale nie na, jak we wcześniejszym przykładzie (tam jednak operator nie był zwarty). Zdefiniujmy operator T : l 2 l 2 wzorem T (x 1, x 2,..., x n,... ) = (x 1, 1 2 x 2,... 1 n x n,... ). Zauważmy, że jest to operator różnowartościowy, ale nie jest na, bo (1, 1 2,..., 1 n,... ) / T (l 2). Ponadto T jest operatorem zwartym, gdyż jest granicą ciągu operatorów skończenie wymiarowych {T n } danych wzorem T n (x 1, x 2,..., x n,... ) = (x 1, 1 2 x 2,... 1 n x n, 0, 0,... ). Na koniec, zauważmy, że 0 nie jest wartością własną operatora T (ponieważ jest różnowartościowy czyli ker T = 0). 4
5 Twierdzenie 3.9 (Alternatywa Fredholma). Jeżeli T K(E) oraz 0 λ σ(t ), to λ jest wartością własną T. Dowód. kartka, strony 5-6. Z alternatywy Fredholma wynika, że jeżeli T K(X) oraz λ 0, to mamy dwie możliwości: 1. λ jest wartością własną T, czyli równanie (λ Id T )x = 0 posiada niezerowe rozwiązanie, 2. λ Id T jest odwzorowaniem regularnym, zatem równanie (λ Id T )x = y posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Twierdzenie Jeżeli T K(E), to σ(t ) jest zbiorem skończonym lub jest ograniczonym ciągiem zbieżnym do 0. Dowód. kartka, strona 7 4 Obliczanie LS-stopnia Niech E będzie przestrzenią Banacha taką, że dim E = oraz niech T K(X). Zauważmy, że (Id T ) n = n ( ) n ( 1) k T k = Id k k=0 Zdefiniujmy operator liniowy S n K(E). S n = n ( 1) k+1( n k=1 n ( n ( 1) k+1 k k=1 ) T k. k) T k, czyli (Id T ) n = Id S n. Dla T K(E) niech N n = ker(id T ) n oraz niech R n = R(Id T ) n ). Zauważmy, że N n jest podprzestrzenią N n+1 oraz R n+1 jest podprzestrzenią R n. Twierdzenie 4.1. Dla każdego T K(E) istnieją liczby naturalne ν, ρ takie, że 1. N n N n+1 dla każdego n < ν oraz N n = N n+1 dla każdego n ν. 2. R n R n+1 dla każdego n < ρ oraz R n = R n+1 dla każdego n ρ. Dowód. kartka, strona 9 Lemat 4.2. Dla każdego m 1 N m R ρ = 0. Dowód. kartka, strona 10 Twierdzenie 4.3. Dla dowolnego T K(E) powyżej zdefiniowane liczby ν i ρ są równe. Dowód. kartka, strona 11 + uzupełnienie Twierdzenie 4.4. Przy wcześniejszych założeniach E = N ρ R ρ (= N ν R ν ). Dowód. kartka, strona 12 Twierdzenie 4.5. Dla każdego n T (N n ) N n oraz T (R n ) R n. Dowód. kartka, strona 12 Ustalmy 0 λ R, T K(E) oraz rozważmy liczbę ρ (zdefiniowaną jak wcześniej) dla operatora 1 λ T. Zdefiniujmy N ρ (λ) = N(Id 1 λ T )ρ oraz R ρ (λ) = R(Id 1 λ T )ρ. Mamy wówczas rozkład E = N ρ (λ) R ρ (λ). Podobnie jak wcześniej pokazujemy, że T (N ρ (λ)) N ρ (λ) oraz T (R ρ (λ)) R ρ (λ). Twierdzenie 4.6. Jeżeli λ σ(t ) oraz λ 0, to σ(t Nρ(λ)) = {λ} Dowód. kartka, strona 13 5
6 Twierdzenie 4.7. Dla rozkładu E = N ρ (λ) R ρ (λ) istnieje odpowiedni rozkład spektrum, to znaczy Dowód. kartka, strona 14 σ(t Rρ (λ)) = σ(t )\{λ} Krotnością λ σ(t ) nazywamy wymiar przestrzeni N ρ (λ). Niech 0 µ R będzie takie, że 1 µ wartością własną operatora T, zatem 1 µ / σ(t ). Zdefiniujmy nie jest H(µ) = {λ σ(t ) : λµ > 0 oraz λ > 1 µ }. Z wcześniejszych twierdzeń wynika, że jest to zbiór skończony. Zdefiniujmy β(µ) jako sumę krotności wartości własnych należących do H(µ). Twierdzenie 4.8. Niech T K(E) oraz µ 0 będzie takie, że 1 µ / σ(t ). Wówczas E = E 1 E 2, gdzie dim E 1 = β(µ) oraz T (E 1 ) E 1, T (E 2 ) E 2. Ponadto σ(t E1 ) = H(µ) i σ(t E2 ) = σ(t )\H(µ) Dowód. kartka, strona 15, 16 Fakt (Straight-Line Homotopy Property) Niech U E będzie zbiorem otwartym oraz niech odwzorowania f, g : U E będą odwzorowaniami zwartymi (w sensie f(u), g(u) są zbiorami relatywnie zwartymi) takimi, że tf(x) + (1 t)g(x) x dla każdych x U, t [0, 1]. Wówczas d(id f, U) = d(id g, U) 2. Jeżeli U jest zbiorem otwartym takim,że 0 U, to d(id, U) = 1 3. Jeżeli U R n jest zbiorem otwartym takim,że 0 U, to d( Id, U) = ( 1) n Dla η > 0 połóżmy B = B(0, η). Rozważmy operator Id µt na B. Jeżeli µt x = x dla x 0, to 1 µ jest wartością własną T, zatem przy odpowiednich założeniach na µ, odwzorowanie zwarte µt B nie ma punktów stałych na B. Wtedy LS-stopień d(id µt, B) będzie dobrze zdefiniowany. Twierdzenie Niech T K(E), µ 0 będzie takie, że 1 µ / σ(t ) oraz niech B = B(0, η) dla η > 0. Wówczas d(id µt, B) = ( 1) β(µ). Dowód. kartka, strona 17, 18 5 Własności przestrzeni Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Odwzorowanie, : H H K nazywamy iloczynem skalarnym jeżeli dla każdych x, y, z H, a, b K spełnione są warunki: 1. x, x > 0 oraz x, x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0, 2. ax + by, z = a x, y + b y, z, 3. x, ab + bz = a x, z + b y, z, 4. x, y = y, x. Parę (H,, ) nazywamy przestrzenią unitarną. Jeżeli norma indukowana przez iloczyn skalarny x = x, x jest zupełna, to parę (H,, ) nazywamy przestrzenią Hilberta. 6
7 Fakt 5.1. Niech (H,, ) będzie przestrzenią unitarną. Wówczas 1. (Nierówność Schwartza) Dla dowolnych x, y H prawdziwa jest nierówność x, y x y. 2. Jeżeli M H jest niepustym zbiorem, to M jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni H. 3. M = (span(m)). 4. Jeżeli H jest przestrzenią ośrodkową oraz A jest układem ortogonalnym ( x, y = 0 dla x y, x, y A), to A jest zbiorem przeliczalnym (lub skończonym). 5. Jeżeli {x 1,..., x n } H jest układem ortogonalnym niezerowych elementów, to elementy x 1,..., x n są liniowo niezależne. 6. (Twierdzenie o rzucie prostopadłym) Jeżeli M H jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta H, to dla każdego x H istnieje dokładnie jeden x 1 M oraz dokładnie jeden x 2 M takie, że spełnione są warunki: (a) x = x 1 + x 2, (b) x x 1 = inf{ x y : y M}. W szczególności H = M M. Co więcej, mamy odwzorowanie P M : H M dane wzorem P M (x) = x 1 zwane projekcją ortogonalną. 6 Ciągłe operatory liniowe na przestrzeniach Hilberta (H,, ) - przestrzeń Hilberta Twierdzenie 6.1 (Riesza - Frecheta). Dla każdego f H istnieje dokładnie jeden y H taki, że f(x) = x, y dla dowolnego x H W przestrzeni H zdefiniujemy iloczyn skalarny. W tym celu określamy najpierw odwzorowanie L: H H wzorem L(f) = y, gdzie y wyznaczony jest przez powyższe twierdzenie. Można pokazać, że H z iloczynem skalarnym f, g = L(f), L(g) jest przestrzenią Hilberta oraz f, f = f = sup{ f(x) : x = 1} Ustalmy operator T L(H). Wówczas operatorem sprzężonym do T nazywamy jedyny operator T : H H spełniający zależność T x, y = x, T y dla każdych x, y H. Fakt 6.2. Niech T, T 1 L(H). Wówczas 1. T L(H), 2. T = T, 3. (T ) = T, 4. Dla każdego λ K, (λt ) = λt, 5. (T + T 1 ) = T + T 1, (T 1 T ) = T T 1. Dowód. kartka, strona 19 Twierdzenie 6.3. Niech K = C oraz T L(H). Jeśli dla każdego x H T x, x = 0, to T = 0. Ponadto, jeśli S L(H) oraz dla każdego x H T x, x = Sx, x, to T = S. 7
8 Dowód. kartka, strona 21 Uwaga [ 6.4. Jeżeli ] K = R, to powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe, wystarczy wziąć H = R 2 oraz 0 1 T = 1 0 Definicja 6.1. Niech T L(H). Wówczas T nazywamy 1. samosprzężonym (hermitowskim), jeżeli T = T, 2. dodatnio (ujemnie) określonym, jeżeli dla każdych x H spełniony jest warunek T x, x 0 ( T x, x 0), 3. normalnym, jeśli T T = T T, 4. unitarnym, jeśli T T = T T = Id, 5. rzutem, jeśli T 2 = T. Widać, że operatory samosprzężone i unitarne są normalne. Twierdzenie 6.5. Niech K = C. Wówczas odwzorowanie T L(H) jest samosprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy T x, x jest liczbą rzeczywistą dla każdego x H. Twierdzenie 6.6. kartka, strona 20 Uwaga [ 6.7. Jeżeli ] K = R, to powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe, wystarczy wziąć H = R 2 oraz 0 1 T = 1 0 Twierdzenie 6.8. Jeśli T L(H), to N(T ) = R(T ) oraz N(T ) = R(T ). Dowód. kartka, strona 21 Twierdzenie 6.9. Niech K = C oraz T L(H). Wówczas T jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy T x = T x dla każdego x H. Jeżeli T jest operatorem normalnym, to: 1. N(T ) = N(T ), 2. N(λ Id T ) = N(λ Id T ), 3. T (N(λ Id T )) N(λ Id T ) oraz T (N(λ Id T ) ) N(λ Id T ), 4. jeśli λ 1, λ 2 są różnymi wartościami własnymi operatora T, to podprzestrzenie własne odpowiadające tym wartościom własnym są wzajemnie prostopadłe. Dowód. kartka, strona 22 Twierdzenie Niech T L(H) będzie samosprzężony. Wówczas 1. σ(t ) R (a nawet σ(t ) [ T, T ]). 2. T = sup T x, x x =1 Dowód. Kartka, strona 23,24 Lemat Niech T K(H), λ 0 oraz Dowód. Kartka, strona 25 inf (T λ Id)h = 0. Wówczas λ σ(t ). h =1 8
9 Lemat Niech T L(H) będzie zwartym operatorem samosprzężonym. Wówczas przynajmniej jedna z liczb ± T należy do spektrum T. Dowód. Kartka, strona 24 Twierdzenie 6.13 (Twierdzenie spektralne). Niech T K(H) będzie operatorem samosprzężonym, P λ będzie projekcją ortogonalną na N(λ Id T ). Wówczas Dowód. Kartka, strona 27,28 T = λ σ(t )\0 Wniosek Przyjmijmy założenia twierdzenia spektralnego. Wówczas λp λ, (1) w szczególności w szczególności R(T ) = N(λ Id T ), λ σ(t )\({0} x = P λ (x). λ σ(t )\({0} H = N(λ Id T ), λ σ(t ) x = P λ (x). λ σ(t ) Dowód. Kartka, strona 28 Twierdzenie Operator T K(H) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg operatorów skończenie wymiarowych (T n ) takich, że lim n T n T = 0. 7 Operatory Fredholma Jeżeli E jest przestrzenią liniową oraz M jest liniową podprzestrzenią E, to zawsze mamy rozkład E = M M oraz codim(m) = dim(m ). Konsekwentnie dim(e) = dim(m) + codim(m). W całym rozdziale będziemy zakładać, że E, F są przestrzeniami Banacha Twierdzenie 7.1 (Twierdzenie Banacha o domkniętych wartościach). Niech T L(E, F). Następujące warunki są równoważne 1. R(T ) jest domknięty, 2. R(T ) jest domknięty, 3. R(T ) = N(T ), 4. R(T ) = N(T ), gdzie N(T ) = {y F : y, y = 0 dla każdego y N(T )} N(T ) = {x E : x, x = 0 dla każdego x N(T )} 9
10 Definicja 7.1. Operator T L(E, F) nazywamy operatorem Fredholma, jeżeli dim N(T ), codim R(T ) są skończone. Liczbę ind(t ) = dim N(T ) codim R(T ) nazywamy indeksem T. Przestrzeń operatorów Fredholma będziemy oznaczać F(E, F). Twierdzenie 7.2. F(E, F) jest otwartym podzbiorem przestrzeni L(E, F) oraz odwzorowanie ind: F(E, F) Z jest lokalnie stałe. Twierdzenie 7.3. Operator T L(E, F) jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje operator S L(F, E) takie, że T S Id, ST Id są zwarte. Ogólnie, operator T L(E, F) jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularyzowalny w sposób zwarty (compactly regularizable), tzn. istnieją operatory R, L L(F, E) oraz S 1 L(F), S 2 L(E) takie, że T R = Id +S 1, LT = Id + S 2. Operatory R, L nazywa się prawą i lewą regularyzacją operatora T. Twierdzenie 7.4. Niech T : E F będzie operatorem Fredholma. 1. Jeżeli ind(t ) = 0 oraz N(T ) = {0}, to równanie T x = y(x X) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego y F oraz T 1 L(F, E). 2. Zbiór R(T ) jest domknięty. Dla każdego y F równanie T x = y ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy x, y = 0 dla każdego x N(T ). 3. Zaburzenie T + S jest również operatorem Fredholma oraz ind(t + S) = ind(t ), jeżeli S L(X, Y ) i spełniony jest jeden z warunków: (a) S jest zwarty, (b) norma operatora S jest mniejsza od liczby dodatniej zależnej od T. 4. Operator dualny T jest również operatorem Fredholma oraz dim N(T ) = codim R(T ), codim R(T ) = dim N(T ). Ponadto ind(t ) = ind(t ). Równanie T x = y (x Y ) ma rozwiązanie dla ustalonego y X wtedy i tylko wtedy, gdy y, x = 0 dla każdego x N(T ). 5. Niech T, S będą operatorami Fredholma. Wówczas złożenie T S oraz iloczyn T S również są operatorami Fredholma. Co więcej, ind(t S) = ind(t ) + ind(s) = ind(t S). Przykład 7.1. Przykłady operatorów Fredholma. 1. Jeżeli T L(R n, R m ), to T jest operatorem Fredholma o indeksie n m. 2. Jeżeli T K(E), to dla dowolnego λ R operator Id λt jest operatorem Fredholma o indeksie Jeżeli T K(E) oraz S Gl(E), to T + S jest operatorem Fredholma indeksu 0. 10
1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Analiza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Analiza funkcjonalna II Ryszard Szwarc
Analiza funkcjonalna II Ryszard Szwarc Wykład prowadzony w semestrze letnim 28 Opracowany na podstawie notatek Wiktora Malinowskiego Wrocław 21 2 Analiza funkcjonalna II Spis treści 1 Operatory ograniczone
Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Zastosowania twierdzeń o punktach stałych
16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie
Informacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Twierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Analiza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
Analiza funkcjonalna Wykłady
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.. Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Analiza funkcjonalna
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc
Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe
7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych
O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych Marcin Borkowski Streszczenie Wszyscy znamy twierdzenie Banacha o kontrakcji czy twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Stosunkowo rzadko jednak mamy okazję
n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Teoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że
4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio
Praca magisterska. Równania całkowe i teoria Hilberta-Schmidta
Politechnika Łódzka wydział FTIMS Praca magisterska Równania całkowe i teoria Hilberta-Schmidta Piotr Kowalski Promotor Pracy : dr Jerzy Kalina Kierunek: Matematyka Stosowana Specjalność: Matematyka Finansowa
Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Wstęp do komputerów kwantowych
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Wstęp do topologii Ćwiczenia
Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Twierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki XXXI Sesja KNM UŚ Motywacje, intuicje, konstrukcje Szczyrk 10 13 listopada 2011 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Analiza Funkcjonalna II Functional Analysis II Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: II
Analiza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie
Informacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Geometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
ZAGADNIENIA OKRESOWE DLA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ EWOLUCYJNYCH. Piotr Kokocki UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA W TORUNIU
UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA W TORUNIU Piotr Kokocki ZAGADNIENIA OKRESOWE DLA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ EWOLUCYJNYCH Praca magisterska przygotowana na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4
Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Wykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą.
Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Ciągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Liga zadaniowa Seria I, 2014/2015, Piotr Nayar, Marta Strzelecka
Seria I, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: nayar@mimuw.edu.pl. Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres martast@mimuw.edu.pl,
Podstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Zasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest